Математическая модель критерия разрушения твердых тел типа Гриффитса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

рг6 од

Государственный комитет российской федерации по высшему образованию кубанский государственный университет

Диссертационный совет К 063.73.02 по физико-математическим наукам

На правах рукописи УДК 539.3

ДУНАЕВ Владислав Игоревич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРИТЕРИЯ РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ТИПА ГРИФФИТСА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФ ЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КРАСНОДАР 1996

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Кубанского государственного университета

Научный руководитель - член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Бабешко В.А.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Защита состоится : 2 июля 1996 года в 1002- часов на заседании диссертационного совета К 063.73.02 но физико-математическим наукам в Кубанском государственном университете по адресу : 350040, г. Краснодар, ул.Ставропольская, 149, КубГу, ауд.231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КубГу. Автореферат разослан 0 1,0 0, 1996 г.

Ученый секретарь

профессор Глушков Е.В.,

кандидат физико-математических наук

Фролов Н.Н.

Ведущее предприятие - Кубанский государственный аграрный

университет

диссертационного

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования:

Построение математических моделей в теории разрушения твердых тел представляет одну из основных задач механики сплошных сред (МСС) и ее приложений в технике. Решения замкнутых систем уравнений МСС при заданных начальных и граничных условиях определяют функции перемещений, деформаций, напряжений и температуры, необходимые для расчета и проектирования инженерных конструкций. Эти решения должны быть дополнены критериями разрушения твердых тел с заданными свойствами при заданных внешних воздействиях.

Предметом настоящего исследования являются :

• математические основы теории квазихрупкого разрушения при однократном нагружении,

• математические модели твердого тела, содержащего врожденный или образовавшийся дефект (трещину),

• термодинамический анализ критериев A.A. Гриффитса, Е.О. Орована и Дж. Р. Ирвина.

• формулировки критериев типа Гриффитса и на этой основе решение некоторых классических задач разрушения твердых тел, подчиняющихся закону Гука при изотермическом деформировании.

Актуальность темы:

Прочность и разрушение материалов и конструкций интенсивно изучают с позиции механики сплошной среды. Математические и физические проблемы, возникающие при изучении моделей теории разрушения являются объектом наиболее актуальных исследований для теоретического обоснования концепций в теории прочности.

Среди этих проблем математическое описание хрупкого и квазихрупкого разрушения материалов и конструкций занимает центральное место, поскольку именно этот тип разрушения реализуется в многочисленных практических случаях. В диссертации исследуется одно из наиболее актуальных направлений математической теории разрушения - обоснование концепций предельных условий (критериев), которые являются интегральными характеристиками процесса разрушения. Эти обоснования приводят к необходимости использования эффективных математических методов МСС при вычислении интегральных термодинамических функций, например, энергии деформации и решении краевых задач. Несмотря на значительные успехи исследователей в этой области, начиная с основополагающих работ A.A. Гриффитса, в последние десятилетия существенно расширился круг проблем и некоторых не решенных задач. Некоторые из этих проблем рассмотрены в настоящей работе.

Цель работы:

• Разработка математической модели твердого тела, содержащего врожденный или образовавшийся дефект (трещину) и термодинамических условий разрушения при однократном нагружении.

• Теоретическое исследование зависимостей критических напряжений от физико-механических характеристик материала, геометрических размеров дефекта, температуры и вида напряженно-деформированного состояния.

• Исследование методов вычисления потенциальной и кинетической тепловой энергий в плоской задачи теории упругости (ТУ).

Достоверность научных результатов и методов исследования.

Исследование поставленных задач выполнено на основе уравнений и методов МСС, теории функции комплексного переменного, ассимптотических представлений решений дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа и оценок интегралов энергий, вытекающих из этих представлений, а также термодинамики неравновесных процессов и математической модели разрушения типа Гриффитса-Орована-Ирвина.

На защиту выносится :

• Математическая модель твердого тела, содержащего врожденный или образовавшийся дефект, термодинамическое условие разрушения и на этой основе, энергетический критерий квазихрупкого разрушения твердых тел при однократном нагружении.

• Критерий разрушения твердых тел типа Гриффитса, подчиняющихся закону Гука и, в частности, при условиях изотермического деформирования, позволяющий определять критические напряжения растяжения и сжатия из энергетического условия без привлечения дополнительных гипотез, например, общеизвестной гипотезы нормального отрыва.

« Теоретические зависимости критических напряжений от физико-механических характеристик материала, геометрических размеров дефекта, температуры и условий нагружения.

• Метод вычисления потенциальной и кинетической тепловой энергии з плоской задаче ТУ на основе ассимптотических разложений и оценок Мазья-Назарова-Пламеневского, в частности, в задачах ТУ, решения которых получено методом конформных преобразований.

Практическая значимость

Полученные в диссертации результаты могут быть непосредственно применены для оценки прочности различных конструкционных материалов и конструкций. Научная новизна

Совокупность полученных результатов представляет новые научные исследования в механике квазихрупкого разрушения при однократном нагружении, а также новые результаты по применению и разработке математических методов в теории разрушения. Публикации

По материалам диссертации опубликованы две печатных работы, одна работа направлена в печать. Объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, занимающих 70 страниц машинописного текста. Список используемой литературы - 55 наименований работ отечественных и зарубежных авторов и рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Проблемы построения математических моделей и физических концепций разрушения являются предметом интенсивных исследований, особенно в последние десятилетия. Главный вклад в создании математической теории хрупкого разрушения на основе MCC принадлежит Гриффнтсу, который в двух основополагающих статьях, опубликованных в 20-е годы впервые предложил модель хрупкого разрушения, основанную на понятиях энергии деформирования твердого тела и поверхностной энергии, необходимых для распространения трещины. Идеи, изложенные в работах A.A. Гриффитса, породили многочисленные исследования в области

хрупкого и квазихрупкого разрушения. Наиболее полный обзор этих исследований, выполненных в период до 70-х годов содержится в семитомном энциклопедическом руководстве по разрушению, опубликованном в США под редакцией Гарольда Либовица. Для исследований выполненных в рамках настоящей работы, наибольший интерес представляет второй том "Математические основы теории разрушения", библиография, приведенная в этом томе и, особенно, три основополагающие статьи Дж.Гудьера, Г.Си и Г.Либовица и Дж. Раиса. Эти исследования выполнены в различных странах и, в частности, в трудах отечественных ученых А.Ф.Иоффе, H.H. Давиденкова, А.П. Александрова, С.Н. Журкова, Серенсена C.B., H.H. Афанасьева, Г.П. Черепанова, Г.Г. Баренблатта, Н.М. Бородачева, Андрейкива А.Е., Е.М. Морозова, Н.Ф. Морозова, В.З. Партона, Никитина Л.В., Панасюка В.В., Каминского A.A. и др. Многие отечественные и зарубежные ученые внесли свой вклад в этом новом направлении в механике разрушения. Развитие новых идей происходило под влиянием и при непосредственном участии выдающихся отечественных ученых : Н.И. Мусхелишвили, А.Ю. Ишлинского, В.В. Новожилова, Ю Н. Работнова, Л.И. Седова. P.A. Христпановича, A.A. Ильюшина, И.И. Воровичи, а также аругих известных ученых : В. И. Моссаковского, М.Я Леонова, Г.С. Писаренко, Г.Н. Савина, C.B. Серенсена, В.А. Бабешко, В.В. Болотина, Г.M. Бартеньева, И.А. Одинга, Г.В. Ужика, А.Ф. Улитко, Д.Д. Ивлева, и др. Последние годы круг проблем в механике разрушения и чисго публикаций значительно расширились и особый интерес имеют публикации, предстазленные на международных конгрессах по механике разрушения, что указывает на возрастающую актуальность исследований, проведенных в диссертационно!", работе.

В первой главе приведены вспомогательные сведения из МССи механики разрушения, необходимые для построения и обоснования критерия разрушения типа Гриффитса. В п. 1.1 приведены замкнутые системы уравнений теории упругости (ТУ) постановки краевых и начальных условий, а также уравнения плоской задачи ТУ (случай плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния) и представление решений плоской задачи ТУ через две функции комплексного переменного предложенные Колосовым и Мусхелишвили. В п. 1.2 приведены выражения термодинамических функций : свободной энергии Гельмгольца, внутренней энергии, энтропии и температуры и сформулированы дза закона термодинамики при термоупругой деформации твердых тел. В п. 1.3 изложена краткая формулировка некоторых энергетических критериев хрупкого и квазихрупкого разрушения и приведен анализ основных допущений и их следствий в критериях Гриффитса-Орована-Ирвина. Этот анализ содержит исходные предпосылки для построения критерия квазихрупкого разрушения, в котором разрушающие нагрузки при растяжении и сжатии непосредственно следуют из энергетического условия без дополнительного условия нормального отрыва.

Во второй главе получены основные результаты исследования. В п.2.1 сформулированы соотношения термодинамики необратимых процессов с учетом внутренней поверхностной энергии различной природы. Макрочастицы (точки) тела, расположенные на поверхности дефекта (или вновь образующейся поверхности) в некотором тонком слое находятся в условиях, отличные от условий внутри тела. Макрочастицы внутри тела окружены со всех сторон макрочастицами с такими же свойствами, а макрочастицы на поверхности тела имеют одинаковых с ними "соседей" только с одной стороны. Это приводит к тому, что удельная внутренняя энергия макрочастиц в поверхностном

слое отлична от внутренней энергии макрочастиц внутри тела. Потенциалы, определяющие удельную поверхностную внутреннюю энергию зависят от природы сил, определяющих сцепление в материале и от удельной энергии пластической деформации, сосредоточенной в тонком слое у контура дефекта, то есть от совокупности энергий, затрачиваемых на образование единицы новой поверхности. Уравнения термодинамики необратимых процессов с учетом внутренней поверхностной энергии вместе с предположениями относительно моделей материала и дефекта являются исходными при построении критерия разрушения, предложенного в п. 2.2.

В п.2.2 содержится главный результат диссертационной работы. В нем сформулированы условия квазихрупкого разрушения, при следующих предположениях:

• бесконечно малое необратимое приращение площади поверхности

дефекта представляет термодинамически необратимый процесс; ° в качестве математической идеализации трещины выбирается эллипсоид, для которого одна из полуосей значительно меньше каждой из двух других полуосей. Для плоской трещины это условие имеет вид : Ь/а « 1, где Ь и а - полуоси эллипса. Первое предположение основано на экспериментальных наблюдениях. Из него следует, что в выражении второго закона термодинамики имеет место строгое неравенство и термодинамические условия разрушения имеют вид :

(1)

v

v

V

Здесь введены обозначения:

и'^1 - удельная внутренняя энергия тела, занимающего объем V, и'1'-; удельная внутренняя поверхностная энергия, £ - площадь поверхности дефекта, аналогично обозначены выражения для энтропии, - приток тепла извне, Т - абсолютная температура, А - работа внешних сил.

Естественно, что первое предположение не является ограничительным, если рассматривается конечное приращение площади поверхности дефекта. Второе предположение совпадает с предположением теории Гриффитса. Вычисляя при заданных внешних силах и заданной исходной поверхности дефекта приращение внутренней энергии тела и поверхностной энергии тела, из закона сохранения энергии (1) с учетом первого предположения можно определить связь между критическими параметрами нагружения и параметрами, определяющими площадь поверхности дефекта, при которых начнется разрушение. При этом, направление необратимого развития дефекта, положение и площадь новой образующейся поверхности остаются неопределенными. Использование критерия разрушения в наиболее общем виде представляет известные математические трудности. В случае изотермического деформирования Т=соп5г термодинамические условия разрушения (1), (2), упрощаются и приводятся к виду :

5|и<уМУ + 5[и(-)с1£ = 5{АаУ (3)

v 5; v

б^'сГУ + б^-'с^О. (4)

v i

При этом, удельная внутренняя энергия = + может

предсгавлять энергию нелинейно-упругого тела. Здесь : и^-

потенциальная энергия, и'/'- кинетическая тепловая энергия. В п.2.2.1 сформулирован частный случай при дополнительных предположениях:

• материал тела предполагается идеально упругим, подчиняющимся закону Гука;

• процесс разрушения происходит в условиях изотермического деформирования;

• приращение внутренней поверхностной энергии равно удельной внутренней поверхностной энергии у=сопб1 при Т^сопб!, умноженной на приращение поверхности дефекта.

В этом случае условия (критерий разрушения) (3), (4) преобразуются к виду:

-5У/П + 3\УК = 0 (5)

58.(у)+58(-'>0 (6)

где:

\УП = /и^'МУ, \¥к =

(7)

v i

Заметим, что в энергетическом условии (2), в отличие от аналогичного условия Гриффитса, содержится слагаемое бАЛ'к, учитывающее изменение кинетической тепловой энергии. Это является следствием основного предположения о термодинамической необратимости процесса разрушения (2), (6). Если предположить, что процесс разрушения термодинамически обратим, то условие (6) обращается в равенство с учетом которого, из уравнения (5) получаем критерий Гриффитса:

-5\УП +уп§2 = 0 (8)

Термодинамические условия (5) могут быть переписаны с учетом обозначений :

\У„=\У°+Д\УП, Шк = + Шк,

где , ДШК , АХ - изменения потенциальной, кинетической и

поверхностной энергий соответственно, вызванные наличием отверстия; W0, - соответствующие энергии в теле без

отверстия, а также, подобные обозначения для энтропии. Тогда, условия (5), (6) могут быть записаны через изменение энергий, вызванных наличием отверстия:

Использование критерия (9), (10) при сформулированных условиях для случая плоской задачи теории упругости существенно упрощается и все трудности сводятся к эффективным методам подсчета приращений потенциальной и кинетической тепловой энергий. В соответствии с концепцией Е.О. Орована при изучении разрушения в квазихрупком материале наряду с поверхностной энергией материала необходимо учитывать удельную энергию пластической деформации, сосредоточенную в тонком слое у контура дефекта, то есть энергию затрачиваемую на образование единицы площади новой поверхности. В этом случае в формулах (5), (8), коэффициент у равен сумме удельной поверхностной энергии и удельной поверхностной энергии пластической деформации при квазихрупком разрушении.

Результаты, полученные во второй главе используются в третьей главе для решения задачи о всестороннем равномерном растяжении (сжатии) пластинки, ослабленной отверстием эллиптической формы. В п.3.1 рассмотрена математическая постановка решения и]{ задачи классической ТУ в плоской области Эк, ослабленной отверстием (дефектом). Предположим, что граница дефекта М представляет собой простой гладкий замкнутый контур дМ. Диаметр Я является большим параметром. Здесь, йк - вектор перемещения точек, принадлежащих

-8(Д\¥п) + 5(Л\Ук) + 75(Д1)= 0

(9)

(Ю)

еБ0

области Ок. Пусть О0 - подобласть плоскости И2, ограниченная простым гладким замкнутым контуром сЮ° . Введем две бесконечно дифференцируемые функции х, и такие, что :

Х1(Л)=К + о{1),1 = 1,2, приЯ-юо

Положим

г

кШгг^)

Предположим, что число Я настолько велико, что Б^з М. Введем область Эя = М. Рассмотрим задачу классической теории

упругости о всестороннем равномерном растяжении области ослабленной дефектом М, с границей ЗМ, свободной от напряжений. Граничные условия имеют вид :

а„ = 6у=Р,а^=0 на а = <т = стг = 0 на ЗМ.

Л / лу

Решение поставленной задачи ищем в виде :

А(х> >) = у)+ $ + у)

где : у(х, у) соответствует решению задачи ТУ о всестороннем равномерном растяжении области О^ без дефекта (это решение известно), \у(л, у)- решение задачи классической ТУ в области Я'\Мс граничными условиями равномерного растяжения (сжатия) на М и традиционными условиями убывания на бесконечности, решение некоторой классической задачи ТУ. В работах Мазья-Назарова-Пламеневского получено ассимптотическое представление для вектора Г/к(х, у) :

Р=1

где ур,\\'р - некоторые решения классических задач ТУ в областях О0 и

Я2 \ М, соответственно. В п.3.2 на основании ассимптотического представления вектора перемещения получены выражения для приращений потенциальной и кинетической тепловой энергий. В п.3.3 для плоской задачи ТУ, решение которой получено методом комформных преобразований изложен способ вычисления потенциальной и тепловой кинетической энергий. Используя формулу Грина и преобразования Колосова-Мусхелишвили, получено комплексное представление интеграла внутренней энергии. Затем, с помощью замены переменных, определяемых комформным преобразованием, используемым в конкретной плоской задаче, вычислена внутренняя энергия для бесконечной пластинки с эллиптическим отверстием под действием равномерных нормальных или касательных напряжений, заданных на поверхности дефекта. Задача сводится к вычислению интегралов по окружности, внутри которой подинтегральная функция имеет полюсы, что позволяет применить теорему о вычетах. Напряженно-деформированное состояние при плоской деформации или плоском напряженном состоянии в линейной изотропной теории упругости при отсутствии объемных сил и температурных напряжений можно выразить с помощью двух аналитических функций <р (г) и *|/ (/) комплексного переменного г - х + ¡у. При этом, компоненты напряжений ах, , а*, и перемещений и, и вычисляют по формулам :

■ (и + ю ) = г-^'(г) ~ \|/(¿) (11)

а,+а, = [ф'(*) + фч7)] (12)

где к = 3 - 4у для плоской деформации, к = (3 - у)/(1 + v) для плоского напряженного состояния, v - коэффициент Пуассона, ц = Е12(1 + v), Е-модуль упругости, В выражениях (Н)-(13) и далее х - ¡у-сопряженная комплексной переменной г, <р(.г) и *[/(.?) означают функции, сопряженные к <р(г) и 41(2), получающиеся из последних

заменой ^ на z, и кроме того, заменой входящих в них постоянных коэффициентов на сопряженные к ним величины. Выражение для внутренней энергии деформации в некоторой области Б,

занимаемой "материалом", в условиях изотермической деформации при постоянной абсолютной температуре Т имеет вид:

II

- о

где а - коэффициент линейного расширения, к, = Е/(1-2у) при плоской деформации и ^ = Е/(1-у) при плоском напряженном состоянии. В выражении (14) первый интеграл представляет потенциальную энергию деформации, а второй - кинетическую энергию деформации при тепловом движении макрочастиц твердого тела. Переходя к криволинейному интегралу по формуле Грина получаем внутреннюю энергию деформации (14) в виде :

= yx))dx-(G хи + с ^(¡у-аЪк^иёх- иёу, (15)

- с с

где С - контур, ограничивающий область О, причем направление обхода контура выбрано так, что область остается слева. Тогда комплексное представление интегралов (15) имеет вид :

ди Эо (до ди

■ — + ст „— + а „--н —

дх у ду Ч ах ду,

</х(/у + аТк, \\ ^ + у | <Шу, (14

-аТк, /1 (и + л>) ¿г

Ке

4ц

4

¿г

(17)

Символ Яе означает действительную часть некоторого комплексного выражения. Подставляя формулы (11)-(13) в выражение (16) получаем :

(кф(^) - г- ф'(4 - у(4)(ф '(-^ + Ч> '(4) ~

-(кф(^ - г- - + у 'С-2))

аТк,

V I с

Пусть г = го(£) - некоторое конформное отображение комплексной плоскости г на комплексную плоскость Тогда контуру С в плоскости г соответствует контур С* в плоскости и выражение (17) принимает вид:

WD =- —Ке

_1_ 4ц

МО

■СО-

»'(5)

аТк

где }|(£,) и Л2(У - соответствующие подинтегральные функции.

Для эллиптического отверстия, край которого подвержен равномерному растяжению (сжатию) Р, из выражения (18) после вычислений получаем :

В п.3.4, используя результаты п.3.2, п.3.3, вычислены критические напряжения растяжения и сжатия при всестороннем растяжении (сжатии) плоской области с эллиптическим отверстием. В п.3.5 приведен анализ теоретических зависимостей критических напряжений от физико-механических характеристик материала, геометрических размеров дефекта и температуры. Полученные теоретические зависимости сопоставлены с теоретическими зависимости в случае применения критерия Гриффитса. В п.3.6 найдены критические напряжения при растяжении и сжатии пластинки, ослабленной эллиптическим отверстием при совместном действии растяжении (сжатия) и чистого сдвига.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТА ТЫ И ВЫВОДЫ

• Предложена математическая модель твердого тела, содержащего врожденный или образовавшийся дефект, термодинамическое условие разрушения и на этой основе, энергетический критерий квазихрупкого разрушения твердых тел при однократном нагружении.

• Сформулирован критерий разрушения твердых тел типа Гриффитса, подчиняющихся закону Гука и, в частности, при условиях изотермического деформирования, позволяющий определять критические напряжения растяжения и сжатия из энергетического условия без привлечения дополнительных гипотез, например, общеизвестной гипотезы нормального отрыва.

» Исследованы теоретические зависимости критических напряжений от физико-механических характеристик материала, геометрических размеров дефекта, температуры и условий нагружения. • Развит эффективный метод вычисления потенциальной и кинетической тепловой энергии в плоской задаче ТУ на основе ассимптотических разложений и оценок Мазья-Назарова-Пламеневского, в частности, в задачах ТУ, решения которых получено методом конформных преобразований.

В целом, диссертационная работа выполнена по координационному плану научно-исследовательских работ АН РФ отделения механики и процессов управления по проблемам прочности и пластичности по теме : "Развитие механики разрушения, обоснование и формулировка критериев разрушения для различных классов нагружения".

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дунаев В.И. Об одном способе вычисления внутренней энергии в плоской задаче теории упругости./ КубГу.-Краснодар, 1996.-1 Ос.-Деи в ВИНИТИ 14.05.96 № 1523-В96.

2. Дунаев В.И. Энергетический критерий разрушения типа Гриффитса./КубГу.-Краснодар, 1996.-10с.-Деп. в ВИНИТИ 28.05.96 № 1725-В96.

Подписано в печать 30.05.96 Формат бумаги 60x84 1/16.

Усл. п.л. 1,2. Уч.-изд. л.1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ЦХ ,

Типография Кубанского государственного университета 350023, г. Краснодар, ул. Октябрьская, 25