Применение уравнения энергетического баланса в задачах механики разрушения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

КАШТАНОВ АРСЕНИЙ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена на кафедре теории упругости математико-механического факулыега Санкт-Петербургского государственного университета (г. Санкт-Петербург).

НАУЧНЫЙ академик РАН,

РУКОВОДИТЕЛЬ профессор Морозов Никита Федорович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ доктор физико-математических наук, ОППОНЕНТЫ профессор Мовчан Андрей Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Греков Михаил Александрович

ВЕДУЩАЯ Институт проблем механики Российской

ОРГАНИЗАЦИЯ Академии Наук

Защита состоится 30 октября 2003 г. в ^ часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Университетский пр., 28, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « ^ » С^сГ^^Л 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.30, доктор физико-математических наук,

профессор Зегжда С. А.

i

-3-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

Концепция энергетического баланса, предложенная Аланом Гриффитсом почти сто лет назад, до сих пор остается наиболее часто используемым инструментом при решении задач механики разрушения. Однако в ряде случаев использование критерия Гриффитса в его классической постановке оказывается невозможным в силу различных обстоятельств. Прежде всего, речь идет о задачах, в которых микроструктура образующейся поверхности разрушения оказывает существенное влияние на характер формирования макротрещины. Предложенный Бенуа Мандельбротом фрактальный подход к описанию поверхностей разрушения вызвал всплеск работ, посвященных исследованию подобных задач (Бородич Ф.М., Гольдштейн Р.В., Панин В.Е., Черепанов Г.П., Bazant Z.P., Mandelbrot В.В.). В диссертации предлагается подход к фрактальному обобщению уравнения энергетического баланса, позволяющий решать конкретные задачи механики разрушения, в которых характер поля напряжений в окрестности конца образующейся трещины определяется некорневой сингулярностью.

Другой класс рассмотренных в диссертации задач - это задачи механики накопления повреждений. Одним из важнейших аспектов описания процессов ползучести является корректная постановка начального условия для уравнения повреждаемости, отражающего реальный уровень поврежденности материала, изначально существующий в образце, и еще более увеличивающийся в момент приложения постоянной нагрузки (Арутюнян Р.А., Вакуленко А.А., Проскура А.В., Нарбут М.А., Шестериков С.А.). В диссертации предлагается подход к определению уровня начальной поврежденности при помощи уравнения баланса энергии, на основании которого удаии^ ца^Й'о^аЙ^'Й'/Й4

(БИБЛИОТЕКА СПетербург

, оэ Ш3.433

начальное условие для уравнения типа Качанова-Работнова и получить при помощи этого уравнения более адекватное описание процесса накопления повреждений в хрупких телах.

В заключительной главе диссертации рассмотрена задача о страгивании интерфейсной трещины по границе раздела двух упругих сред, являющаяся одной из ключевых задач для механики композитов (Греков М.А., Саврук М.П., Салганик Р.Л., Симонов И.В., Hutchinson J.W., Rice J.R., Sih G.C.). Известно, что решение плоской линейной задачи теории упругости об интерфейсной трещине содержит осциллирующую особенность. Однако можно показать, что размер зоны, в которой происходит перехлест берегов, чрезвычайно мал по сравнению с размером самой трещины. Кроме того, существенным преимуществом линейного решения оказывается корневая асимптотика упругих полей, что позволяет использовать для решения задачи о страгивании интерфейсной трещины по интерфейсу уравнение энергетического баланса Гриффитса. В диссертации показано, что при подсчете работы по раскрытию трещины осциллирующие члены в упругих полях интегрируются и «гасят» друг друга. Это позволило корректно составить уравнение энергетического баланса и определить величину критической нагрузки, необходимой для старта интерфейсной трещины.

Таким образом, в диссертации рассмотрены задачи, при решении которых до сих пор не использовалось уравнение баланса энергии Гриффитса. При этом получены как новые точные решения рассматриваемых задач механики разрушения, так и новые интересные теоретические результаты, имеющие широкое практическое применение.

Цель работы

Построение решений ряда задач механики разрушения при помощи уравнения энергетического баланса, анализ полученных результатов, построение и анализ фрактальных моделей для задач механики трещин.

Научная новизна работы

1. Предложена концепция фрактального обобщения уравнения энергетического баланса на задачи линейной механики разрушения. Получена связь между величиной фрактальной размерности модельной трещины и реальными структурными характеристиками процесса разрушения. Решена плоская задача механики разрушения об угловом концентраторе напряжений. Проведен анализ построенного решения, сравнение с решением по методу Нейбера-Новожилова и данными экспериментов.

2. Построен вывод кинетического уравнения повреждаемости типа Качанова-Работнова из уравнения сохранения массы. Предложен подход к определению уровня начальной поврежденности материала, возникающего в образце в момент приложения постоянной нагрузки. Решена плоская задача о накоплении повреждений, построена фрактальная модель для этой задачи, сформулировано начальное условие для уравнения повреждаемости. Проведен анализ решения уравнения повреждаемости с этим начальным условием и его сравнение с результатами экспериментов.

3. При помощи уравнения энергетического баланса решена задача о страгивании интерфейсной трещины по границе раздела двух упругих сред на основе линейного решения соответствующей задачи теории упругости. Показано, что энергетическое решение

этой задачи оказывается корректным за счет того, что при подсчете работы по раскрытию трещины осциллирующие члены в упругих полях интегрируются и «гасят» друг друга.

Достоверность результатов работы

Достоверность представленных результатов подтверждается сравнением с экспериментальными и численными данными, а также использованием точных аналитических соотношений.

Положения, выносимые на защиту

1. Основы теории построения фрактальных моделей в задачах механики разрушения. Особенности процесса разрушения хрупких материалов и подходы к описанию процесса образования трещин в хрупких телах при помощи фрактальных моделей. Фрактальное обобщение уравнения энергетического баланса. Связь между величиной фрактальной размерности модельной трещины и реальными структурными характеристиками процесса разрушения. Решение и анализ задачи о развитии трещины из вершины углового концентратора напряжений в виде круговой симметричной лунки.

2. Вывод кинетического уравнения повреждаемости типа Качанова-Работнова из закона сохранения массы. Формулировка начального условия для уравнения повреждаемости при помощи решения модельной задачи о накоплении повреждений. Фрактальная интерпретация задач континуальной механики разрушения.

3. Обсуждение особенностей решения задачи теории упругости об интерфейсной трещине. Построение и анализ решения задачи о страгивании интерфейсной трещины по границе раздела двух упругих сред.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на XXVII Международной летней школе-семинаре "Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems" (NOMS'99) (Санкт-Петербург, Репино, 1999); XXV, XXVI, XXVII, XXVIII и XXIX Международных молодежных научных конференциях "Гагаринские чтения" (Москва, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003); Всероссийском конкурсе научных работ молодых ученых по механике и процессам управления, посвященном столетию со дня рождения А.И. Лурье (Санкт-Петербург, 2001); Международном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященном 90-летию со дня рождения А.А.Ильюшина (Москва, 2001); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); XXX Международной научной летней школе «Advanced Problems in Mechanics» (АРМ 2002) (Санкт-Петербург, Репино, 2002); VII Научном семинаре «Механика рассеянного повреждения и разрушения» (Санкт-Петербург, 2002); научных семинарах кафедры теории упругости мат.-мех. ф-та СПбГУ под руководством проф. Н.Ф. Морозова (Санкт-Петербург).

Публикации

Полный список научных трудов по теме диссертации содержит десять наименований.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 40 наименований. Работа содержит 76 страниц и 19 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, описывается ее структура и формулируются основные результаты.

Первая глава посвящена обсуждению вопросов применения фрактальных моделей в задачах механики разрушения, обсуждению принципов фрактального обобщения уравнения баланса энергии, и построению на этой основе решения задачи об угловом концентраторе напряжений.

Изложение начинается с обсуждения проблематики тех задач, где принципиальную роль играет учет геометрической структуры возникающей поверхности разрушения. Это задачи, где мы имеем дело с энергетическими процессами и вынуждены оперировать какими-то удельными характеристиками: на единицу длины, площади или объема. Но если граница исследуемого объекта сильно изрезана и плохо приближается гладкой поверхностью, то реальные длина, площадь и объем сильно отличаются от тех, с которыми работает традиционная теория. При этом возникаег ряд эффектов, которые противоречат экспериментальным наблюдениям и, как правило, такие задачи неразрешимы с позиций критерия о приращении поверхностной энергии Гриффитса. Именно для задач такого рода введение фрактальной поправки при определении удельных характеристик позволяет учесть шероховатость поверхности и получить более точное описание процесса разрушения.

Существенная часть первой главы посвящена обсуждению понятия «фрактал» и вопросам определения размерности природных объектов. В результате сформулированы следующие выводы:

несмотря на то, что фрактальные модели природных объектов позволяю г гораздо более точно описать их структуру, они все равно являются лишь аппроксимацией реальных объектов в ограниченном

диапазоне масштабных уровней. Тем не менее, в ряде случаев фрактальное представление оказывается более точным и удобным, чем линейная аппроксимация;

для того чтобы с достаточной степенью точности утверждать, что размерность одной трещины больше, чем размерность другой, необходимо, чтобы измеренные величины размерностей этих трещин достаточно сильно различались. По этой причине представляется сомнительным путь модификации существующих классических теорий разрушения посредством введения в них фрактальных поправок, полученных при помощи экспериментального измерения фрактальных размерностей поверхностей разрушения. Более целесообразной представляется методика моделирования трещины фракталом и определение размерности модельной трещины на фиксированном масштабном уровне из каких-либо теоретических соображений. Тогда, решая конкретную задачу для этой трещины, можно определить величины, значения которых легко проверяются экспериментально. В частности, предлагается вычислять фрактальную размерность путем удовлетворения уравнению баланса энергии на макроскопическом масштабном уровне. Решая задачу для трещины полученной размерности, можно определить, например, величину критической нагрузки, экспериментальная проверка которой не представляет существенных трудностей.

Далее в диссертации, на основе решения задачи о плоском угловом концентраторе напряжений, формулируются принципы фрактального обобщения уравнения энергетического баланса:

верна гипотеза Гриффитса: вся произведенная над системой работа затрачивается исключительно на образование новой поверхности; трещина моделируется фракталом некоторой размерности £>;

работа по раскрытию трещины АIV, которая является интегральной характеристикой задачи, определяется на макроскопическом масштабном уровне;

поверхностная энергия АП трещины считается через ее фрактальную длину, чтобы учесть микроструктуру разрушения; фрактальная размерность И модельной трещины определяется из условия выполнения уравнения энергетического баланса на макроскопическом масштабном уровне.

Здесь же выводится соотношение для определения длины модельной фрактальной трещины для случая, когда она несильно отклоняется от прямой линии:

¿ = (1) где Ь - фрактальная, / - макроскопическая длина трещины, О - ее

2 К^

фрактальная размерность, а размер <1 ---характеризует

П СТ и с

элементарную ячейку разрушения на макроскопическом масштабном уровне.

В качестве примера применения изложенной методики рассматривается важный частный случай задачи об угловом концентраторе напряжений, а именно, задача об упругой плоскости, ослабленной вырезом в виде симметричной лунки. Известно, что также как и в задаче о плоскости, ослабленной угловым вырезом, в задаче о лунке упругие поля в ее вершине не обладают корневой сингулярностью, то есть ее невозможно решить, пользуясь классическим уравнением баланса энергии. Однако, при помощи фрактального обобщения этого уравнения, удается определить критическую нагрузку, необходимую для прорастания трещины из вершины лунки. При этом фрактальная размерность модельной трещины определяется исключительно величиной угла луночного выреза. Для

проверки полученного решения проведено его сравнение с решением, полученным при помощи критерия Нейбера-Новожилова, и экспериментальными данными и отмечено хорошее совпадение результатов.

Таким образом, фрактальная трактовка поверхностей разрушения позволяет избежать противоречий при применении уравнения энергетического баланса к упругим областям с угловыми точками.

Во второй главе рассматриваются возможности применения уравнения энергетического баланса в задачах континуальной механики разрушения.

После введения в проблематику задач континуальной механики разрушения излагается вывод кинетического уравнения повреждаемости типа Качанова-Работнова из закона сохранения массы. Показано, что существующие континуальные модели отличаются друг от друга способом аппроксимации дивергенции скорости частиц материала в процессе ползучести. Однако известно, что при описании экспериментальных данных по длительной прочности хрупких материалов, для наилучшего приближения результатов эксперимента теоретической кривой, при больших номинальных напряжениях приходится рассматривать вязкий механизм разрушения. По-видимому, для того, чтобы описать эти эксперименты в рамках чисто хрупкой модели разрушения, необходимо, кроме выбора правильной аппроксимации для дивергенции скорости движения частиц материала, решить еще один вопрос - выбор начального условия для уравнения повреждаемости. Очевидно, что материал, используемый в экспериментах, имеет некоторую начальную поврежденность, еще более увеличивающуюся в момент приложения нагрузки. Обычно этим пренебрегают, но оказывается, что именно правильный учет уровня начальной поврежденносги материала позволяет

описать экспериментальные данные по длительной прочности хрупких материалов, не апеллируя к вязким механизмам разрушения. Для этого необходимо решить задачу о накоплении повреждений. Несмотря на то, что аналитическое решение этой задачи не может быть получено при помощи доступного нам математического аппарата, в простых случаях ее можно решить приближенно при помощи уравнения энергетического баланса Гриффитса.

В диссертации рассмотрена задача о растяжении упругой плоскости равномерной нагрузкой величины р, приложенной на бесконечности. Под действием этой нагрузки по всей оси симметрии плоскости образуется поверхность разрушения, представляющая собой набор микротрещин, которая моделируется периодической системой трещин. Решение этой задачи приводит к простому соотношению, связывающему приложенную нагрузку с уровнем поврежденности материала, соответствующим этой нагрузке:

где сгв - временная прочность материала.

Итак, в простейшей задаче континуальной механики разрушения, моделируя развитие повреждений периодической системой трещин, при помощи уравнения баланса энергии Гриффитса, удалось построить зависимость между приложенной нагрузкой и уровнем поврежденности. Принимая величину со, определяемую формулой (2), в качестве начальной поврежденности материала, возникающей в образце в момент приложения постоянной нагрузки величины р, и решая кинетическое уравнение повреждаемости с таким начальным условием, удается описать изгиб экспериментальной кривой длительной прочности при больших номинальных напряжениях для хрупких материалов исключительно в

рамках хрупкой модели. Полученные теоретические кривые демонстрируют хорошее совпадение с результатами экспериментов.

Также во второй главе диссертации проведена фрактальная интерпретация процесса накопления повреждений. Основываясь на принципах, сформулированных при выводе фрактального обобщения уравнения энергетического баланса, снова удается построить зависимость между фрактальной размерностью модельной трещины и реальными характеристиками процесса разрушения. При этом использованы разреженные (lacunar) фракталы размерности 0 < D < 1.

Заключительная третья глава диссертационной работы посвящена решению задачи о страгивании интерфейсной трещины по границе раздела двух сред при помощи уравнения баланса энергии Гриффитса на основе линейного решения задачи теории упругости об интерфейсной трещине. Как известно, это решение содержит осциллирующие члены и в напряжениях, и в перемещениях, что подразумевает перекрытие берегов трещины вблизи ее вершины. Однако, строгое нелинейное решение, также как и решение, учитывающее контакт берегов, является гораздо более сложным по структуре. Кроме того, можно показать, что размер зоны, в которой происходит предсказанный линейным решением перехлест берегов трещины, пренебрежимо мал по сравнению с ее длиной. Другим фактором, говорящим в пользу использования именно линейного решения при определении нагрузки, необходимой для страгивания трещины, является то, что асимптотика упругих полей в линейном решении является корневой, а значит, допускает энергетический подход Гриффитса.

В диссертации подробно рассмотрен процесс построения линейного решения задачи теории упругости о трещине, лежащей на границе раздела двух упругих полуплоскостей и проведена оценка размера зоны перекрытия берегов трещины, предсказываемой этим решением. Показано,

что размер зоны перехлеста пренебрежимо мал по сравнению с размером самой трещины, и можно считать, что построенное линейное решение достаточно точно описывает напряженное состояние в рассматриваемой задаче.

На основании этого решения составлено уравнение баланса энергии в задаче о страгивании интерфейсной трещины вдоль по интерфейсу и показано, что при подсчете работы по раскрытию трещины осциллирующие члены в упругих полях интегрируются и нивелируют друг друга. Это позволяет определить величину критической нагрузки, необходимой для старта интерфейсной трещины. В случае, когда упругие модули двух сред совпадают, решение полностью идентично решению задачи Гриффитса о страгивании трещины в плоскости. Анализ построенного решения позволяет сделать важный вывод о том, что наибольшее влияние на величину нагрузки, которую необходимо приложить для страгивания трещины, лежащей на границе раздела двух упругих материалов, оказывает наименьший из двух модулей жесткости этих материалов.

Итак, несмотря на то, что решение плоской линейной задачи теории упругости об интерфейсной трещине содержит осциллирующую особенность (чго подразумевает перекрытие берегов трещины вблизи ее концов), энергетическое решение такой задачи оказывается вполне корректным.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Построено фрактальное обобщение уравнения энергетического баланса на задачи линейной механики разрушения, что позволяет решать конкретные задачи механики разрушения, в которых характер поля напряжений в окрестности конца образующейся трещины определяется некорневой сингулярностью. В качестве примера рассмотрена плоская задача об угловом концентраторе напряжений, для которой удалось составить обобщенное уравнение баланса энергии и определить критическую нагрузку, инициирующую процесс разрушения. Показано, что в этой задаче фрактальная размерность поверхности разрушения определяется исключительно величиной угла выреза.

Предложен вывод кинетического уравнения повреждаемости из закона сохранения массы и энергетический подход к учету уровня начальной поврежденности материала, существующего в образце и увеличивающегося в момент приложения постоянной нагрузки, что позволяет сформулировать начальное условие для уравнения повреждаемости. Для описания процесса накопления повреждений построена фрактальная модель, опирающаяся на понятие «разреженного» (lacunar) фрактала.

Построено решение задачи о страгивании интерфейсной трещины по границе раздела двух сред. Показано, что при построении уравнения энергетического баланса можно использовать линейное решение соответствующей задачи теории упругости. Выяснено, что наибольшее влияние на величину нагрузки, которую необходимо приложить для страгивания трещины, лежащей на границе раздела двух упругих материалов, оказывает наименьший из двух модулей жесткости этих материалов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Каштанов A.B., Петров Ю.В. Об энергетическом балансе в задаче о разрушении упругой области с угловым вырезом. // Вестник СПбГУ. 1998. Сер. 1. Вып. 4. (№ 22). С. 102-104.

2. Каштанов A.B., Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Фрактальная модель разрушения упругой плоскости с угловым вырезом. // Доклады Академии Наук. 1999. Т. 367. № 2. С. 194-196.

3. Каштанов A.B. Фрактальная модель разрушения упругой плоскости с угловыми вырезами. // Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика. 2000. № 3. С. 91-95.

4. Каштанов A.B., Петров Ю.В. Фрактальное обобщение энергетического баланса в линейной механике разрушения. Уч. пособие. // СПб, Институт проблем машиноведения РАН. 2001. 53 С.

5. Каштанов A.B., Петров Ю.В., Зимин Б.А., Темнов О.В. О развитии представлений фрактальной геометрии в механике деформируемого тела. // Сборник трудов НИИ математики и механики им. акад. В.И. Смирнова (к 70-летию основания института). Под ред. М.К. Чиркова. // СПб, НИИХ СПбГУ. 2002. С. 136-147.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати /¿С^Я 2003 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3007. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 26.

P1 5 8 08

Введение.2

Глава 1. Фрактальное обобщение уравнения энергетического баланса в линейной механике разрушения.6

1.1. О фракталах в природе.8

1.2. Плоская задача об угловом концентраторе напряжений.23

Глава 2. Уравнение энергетического баланса в задачах о накоплении повреждений.34

2.1. О выводе кинетического уравнения повреждаемости типа Качанова-Работнова из закона сохранения массы материала.35

2.2. Простейшая задача о накоплении повреждений.40

2.3. Выбор начального условия для кинетического уравнения повреждаемости типа Качанова-Работнова.47

Глава 3. Энергетический подход к решению задачи об интерфейсной трещине.50

3.1. Решение плоской задачи теории упругости об интерфейсной трещине .52

3.2. Решение задачи механики разрушения об интерфейсной трещине.59

Одна из важнейших задач механики разрушения - определение условий, при которых произойдет разрушение некоторого образца или конструкции. В рамках линейной механики хрупкого разрушения в качестве основного фактора, вызывающего разрушение, рассматривается величина приложенной нагрузки, а сам процесс разрушения представляется как процесс формирования макротрещины в образце. Чаще всего для определения критической нагрузки, необходимой для образования поверхности хрупкого разрушения, используют энергетический или эквивалентный ему силовой критерий. Энергетический подход к описанию процесса развития трещин был предложен английским ученым Аланом Гриффитсом еще в 20-х годах 20-го века. Работы Гриффитса явились основополагающими для механики разрушения, так как именно в них процесс разрушения был связан с появлением в теле трещин. Гриффите сформулировал два условия, согласно которым происходит распространение трещины: рост трещины должен быть энергетически выгоден, и в процессе разрушения должно происходить преобразование энергии. Таким образом, процесс развития трещины должен описываться уравнением баланса энергии. В случае хрупкого разрушения трещина в твердом теле развивается, когда скорость освобождения потенциальной энергии деформации больше скорости прироста поверхностной энергии тела в результате образования новых поверхностей. То есть при разрушении рост трещины происходит исключительно за счет упругих деформаций без дополнительной работы внешних сил.

Несмотря на то, что Алан Гриффите сформулировал положения теории развития трещин почти век назад, большая часть современных исследований по механике разрушения опирается на результаты его работ. Более того, для решения большинства практических задач критерия Гриффитса в его классической формулировке оказывается достаточно. Однако существует ряд проблем, при решении которых классический энергетический критерий оказывается неприменим в силу различных обстоятельств или результаты его использования плохо согласуются с экспериментальными данными. Это, в основном, те задачи, в которых необходимо учитывать структуру образующейся поверхности разрушения, то есть задачи, где поверхность развивающейся трещины не является гладкой, а содержит множество неровностей разных размеров, что существенно влияет на макроскопические параметры разрушения. Такая геометрия трещины делает невозможным вычисление удельных энергетических характеристик в рамках классической линейной механики разрушения. Выходом в этом случае оказывается представление трещины фракталом. В первой главе диссертации рассматриваются фрактальные модели, применяемые в механике хрупкого разрушения, и обсуждаются их особенности и возможности использования. На основе этих рассуждений строится фрактальное обобщение уравнения энергетического баланса на задачи линейной механики разрушения. В частности, рассматриваются плоские задачи, в которых поле напряжений имеет «нетрадиционную» для линейной механики разрушения особенность (сг ~ г~а,аФ\/2) в окрестности конца трещины, и их адекватное решение не может быть получено при помощи классического критерия Гриффитса. В качестве примера рассмотрена задача о разрушении плоскости, ослабленной вырезом в виде симметричной лунки. Полученные результаты хорошо согласуются как с экспериментальными данными, так и с результатами решения этой же задачи при помощи критерия Нейбера-Новожилова.

Вторая глава посвящена вопросам континуальной теории повреждаемости. В простейшей задаче о накоплении повреждений уравнение энергетического баланса Гриффитса используется для оценки уровня начальной поврежденности материала в образце при приложении постоянной нагрузки. Показано, что при соответствующем выборе начального условия, кинетическое уравнение типа Качанова-Работнова позволяет описать данные экспериментов по ползучести хрупких материалов в рамках чисто хрупкого механизма разрушения. Кроме того, рассмотрены теоретические аспекты вывода кинетического уравнения повреждаемости из закона сохранения массы и дана фрактальная интерпретация процесса накопления повреждений.

В третьей главе диссертации рассматривается плоская задача механики разрушения о страгивании интерфейсной трещины по границе раздела двух сред. Линейное решение этой задачи является достаточно простым по структуре, но содержит осциллирующие члены как в перемещениях на берегах трещины, так и в напряжениях на ее продолжении. То есть оно предсказывает перехлест берегов вблизи вершин трещины. Однако легко показать, что размер зоны перехлеста пренебрежимо мал по сравнению с длиной самой трещины, и поэтому можно считать, что линейное решение достаточно точно описывает напряженное состояние в рассматриваемой задаче. А поскольку асимптотика упругих полей остается корневой, то для решения задачи о страгивании трещины по интерфейсу можно использовать энергетический подход Гриффитса. В диссертации показано, что энергетическое решение оказывается корректным за счет того, что при подсчете работы по раскрытию трещины, осциллирующие члены в упругих полях интегрируются и «гасят» друг друга. Это позволило определить величину критической нагрузки, необходимой для старта интерфейсной трещины.

Таким образом, в диссертации рассмотрены задачи, при решении которых до сих пор не использовалось уравнение баланса энергии Гриффитса. При этом получены как новые точные решения рассматриваемых задач механики разрушения, так и новые интересные теоретические результаты, имеющие широкое практическое применение.

Заключение

Концепция энергетического баланса, предложенная Аланом Гриффитсом почти сто лет назад, до сих пор остается наиболее часто используемым инструментом при решении задач механики разрушения. Однако в ряде случаев использование критерия Гриффитса в его классической постановке оказывается невозможным в силу различных обстоятельств. Прежде всего, речь идет о задачах, в которых микроструктура образующейся поверхности разрушения оказывает существенное влияние на характер формирования макротрещины. В этом случае необходимо учитывать микроструктуру берегов при подсчете энергии, затраченной на разрушение. Это можно сделать, представляя трещину фракталом дробной размерности. Вопросы о применении фрактальных кривых при описании процессов разрушения хрупких тел неоднократно обсуждались в литературе. Однако, в основном, фракталы использовались для численного моделирования процессов образования трещин. Были также сделаны попытки пересказать основы классической механики хрупкого разрушения на языке фрактальных трещин. При этом для определения масштабных уровней разрушения эксплуатировалось главное свойство фрактальных объектов — самоподобие. Однако, как уже говорилось, фрактальная модель - это лишь аппроксимация изучаемого объекта в определенном диапазоне масштабных уровней. В диссертации предлагается подход к фрактальному обобщению уравнения энергетического баланса, который оперирует только с макроскопическим масштабным уровнем. В этом случае удается аналитически построить связь между величиной фрактальной размерности модельной трещины и реальными структурными характеристиками процесса разрушения. Это позволяет решать конкретные задачи механики разрушения, в которых характер поля напряжений в окрестности конца образующейся трещины определяется некорневой сингулярностью, и энергетический критерий в его классической формулировке не работает. В качестве примера рассмотрена плоская задача об угловом концентраторе напряжений, для которой удалось составить обобщенное уравнение баланса энергии и определить критическую нагрузку, инициирующую процесс разрушения. Оказалось, что в этой задаче фрактальная размерность поверхности разрушения определяется исключительно величиной угла выреза. То есть предложенный подход позволяет абстрагироваться от проблемы измерения фрактальной размерности поверхности трещин. Дискуссия на тему о справедливости применения той или иной методики измерения размерности до сих пор не закрыта. Возможно, что, сравнивая результаты экспериментальных измерений с полученным аналитическим представлением, удастся выбрать те методики, которые наиболее подходят именно при изучении хрупкого разрушения. Кроме того, полученные результаты позволяют по-новому взглянуть на связь между масштабными уровнями самого процесса разрушения и структурой поверхности образующейся трещины, благодаря соотношению между фрактальной размерностью и характерным структурным размером разрушения. Это соотношение может быть использовано в дальнейшем для аналитического моделирования процессов динамического распространения трещин.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы теории повреждаемости. Основой континуальной теории накопления повреждений является уравнение повреждаемости типа Качанова-Работнова, представляющее собой результат обобщения экспериментов по накоплению повреждений, причем набор определяющих параметров, входящих в это уравнение, каждый раз выбирается исходя из соображения наилучшего приближения конкретных экспериментальных данных. Однако смысл уравнения повреждаемости типа Качанова-Работнова гораздо шире. В диссертации предлагается вывод кинетического уравнения повреждаемости из закона сохранения массы. Однако в закон сохранения массы входит дивергенция скорости движения частиц материала, которая, кроме простейших случаев, не может быть подсчитана аналитически, а должна быть аппроксимирована на основе обобщения экспериментальных данных. Тем не менее, до сих пор не построено ни одного кинетического уравнения повреждаемости, способного описать эксперименты по длительной прочности хрупких материалов исключительно в рамках хрупкой модели разрушения, не апеллируя к вязким механизмам при больших номинальных напряжениях. Оказывается, что это позволяет сделать правильный учет уровня начальной поврежденности материала, существующего в образце в момент приложения постоянной нагрузки. Для определения уровня начальной поврежденности необходимо рассмотреть задачу о накоплении повреждений. Несмотря на то, что в общем случае ее не решить, при помощи уравнения энергетического баланса можно построить решение какой-нибудь несложной модельной задачи. В качестве такой задачи рассмотрена плоская задача о формировании периодической системы трещин. Ее решение позволяет сформулировать начальное условие для уравнения типа Качанова-Работнова с учетом уровня поврежденности, возникающего в образце при приложении нагрузки. Построенное решение дает адекватное описание процесса ползучести и позволяет существенно упростить экспериментальные процедуры исследования процесса накопления повреждений в хрупких телах.

Кроме того, для описания процесса накопления повреждений построена фрактальная модель, опирающаяся на понятие «разреженного» (lacunar) фрактала. При этом параметры модели снова определяются на макромасштабе, используя характерный структурный размер процесса разрушения. Это также дает возможность проанализировать существующие методики измерения фрактальной размерности на предмет применимости при описании процессов формирования микроразрушений.

Последняя глава диссертации посвящена построению решения задачи о страгивании интерфейсной трещины по границе раздела двух сред. Известно, что решение плоской линейной задачи теории упругости об интерфейсной трещине содержит осциллирующую особенность. Это подразумевает перекрытие берегов трещины вблизи ее концов и, как следствие, некорректность такого решения. Однако можно показать, что размер зоны, в которой происходит перехлест берегов, чрезвычайно мал по сравнению с размером самой трещины. Это дает основания считать, что линейное решение достаточно точно описывает упругое состояние в рассматриваемой задаче. Существенным преимуществом линейного решения оказывается корневая асимптотика упругих полей. Именно это позволяет использовать для решения задачи о страгивании интерфейсной трещины по интерфейсу уравнение энергетического баланса Гриффитса. При этом при подсчете работы по раскрытию трещины, осциллирующие члены в упругих полях интегрируются и «гасят» друг друга, что дает возможность корректно составить уравнение энергетического баланса и определить величину критической нагрузки, необходимой для старта интерфейсной трещины. В случае, когда упругие модули двух сред совпадают, решение полностью идентично решению задачи Гриффитса о страгивании трещины в плоскости. Анализ построенного решения позволяет сделать важный вывод о том, что наибольшее влияние на величину нагрузки, которую необходимо приложить для страгивания трещины, лежащей на границе

раздела двух упругих материалов, модулей жесткости этих материалов. оказывает наименьший из двух

1. Ravi-Chandar К., Knauss W.G. // 1.ternational Journal of Fracture. 1984. №№25-29.

2. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. // М., Наука. 1984. 256 С.

3. Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. // New York, Freeman. 1983.480 P.

4. Мосолов А.Б. // Журнал технической физики. 1991. Т. 61. №7. С.57-60.

5. Гольдштейн Р.В., Мосолов А.Б. // Доклады Академии Наук. 1993. Т. 329. №4. С. 429-432.

6. Гольдштейн Р.В., Мосолов А.Б. // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. № 4. С. 663-671.

7. Каштанов А.В., Петров Ю.В. // Вестник СПбГУ. 1998. Сер. 1. Вып. 4. (№22). С. 102-104.

8. Каштанов А.В., Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. // Доклады Академии Наук. 1999. Т. 367. № 2. С. 194-196.

9. Каштанов А.В., Петров Ю.В. Фрактальное обобщение энергетического баланса в линейной механике разрушения. Уч. пособие. // СПб, Институт проблем машиноведения РАН. 2001. 53 С.

10. Ю.Федер Е. Фракталы. // М., Мир. 1991. 254 С.

11. Borodich F.M., Onishchenko D.A. // International Journal of Solids and Structure. 1999. № 36. PP. 2585-2612.

12. Falconer K.J. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. // Chichester, John Wiley. 1990. 372 P.

13. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. // М., Наука. 1994. 384 С.

14. Cherepanov G.P., Balankin A.A., Ivanova V.S. // Engineering Fracture Mechanics. 1995. Vol. 51. № 6. PP. 997-1033.

15. Mandelbrot B.B., Passoja D.E., Pullax AJ. // Nature. 1984. Vol.308. PP. 721-722.

16. Kuznetsov P.V., Panin V.E., Shreiber. J. // Proceedings of the Third International Conference for Mesomechanics. Beijing, Tsinghua University Press. 2000. Vol. 1. PP. 185-192.

17. Кузнецов П.В., Панин B.E., Левин K.B., Липницкий А.Г., Шрайбер Ю. //Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3. С. 89-95.18.3олотухин И.В. // Соросовский образовательный журнал. 1998. №7. С. 108-113.

18. Структурные уровни пластической деформации. // Новосибирск, Наука. 1990. 205 С.

19. Bazant Z.P. // International Journal of Fracture. 1997. № 83. PP. 41-65.

20. Maz'ya V.G., Morozov N.F., Nazarov S.A. On the Elastic Strain Energy Release Due to the Variation of the Domain Near the Angular Stress Concentrator. // Linkoping. 1990. 36 P.

21. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. // Л., Гидрометеоиздат. 1982. 255 С.

22. Петров Ю.В. «Квантовая» макромеханика динамического разрушения твердых тел. Препринт № 139. // СПб, Институт проблем машиноведения РАН. 1996. 51 С.

23. Каштанов А.В. // Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика. 2000. № 3. С. 91-95.

24. Качанов Л.М. // Известия АН СССР. Отд. технических наук. Механика и машиностроение. 1958. № 8. С. 26-31.

25. Работнов Ю.Н. Механизм длительного разрушения. // Вопросы прочности материалов и конструкций. //М., Наука. 1959. С. 5-7.

26. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. // М: Наука. 1966. 708 С.

27. Williams M.L. The stresses around a fault or crack in dissimilar media. // Bull. Seism. Soc. Amer. 1959. Vol. 49. № 2. PP. 199-204.31 .Rice J.R., Sih G.C. Plane problem of cracks in dissimilar media. // Trans.

28. ASME. 1965. Vol. 32. PP. 418-423. 32.Comninou M. The interface crack. // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1977.

29. Vol. 44. PP. 631-636. ЗЗ.Черепанов Г.П. О напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами. // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение. 1962. № 1.С. 131-137.

30. England А.Н. A crack between dissimilar media. // Trans. ASME. 1965. Vol. 32. PP. 400-402.

31. Салганик P.JI. О хрупком разрушении склеенных тел. // ПММ. 1963. Вып. 5. С. 957-962.

32. Греков М.А. Плоская задача для трещины, расположенной между двумя линейно-упругими средами. // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 146-158.

33. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости. // СПб: Изд-во СПбГУ. 2001. 192 С.

34. Rice J.R. Elastic Fracture Mechanics Concepts for Interfacial Cracks. // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1988. Vol. 55. PP. 98-103.

35. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике. // М: Наука. 1974. 832 С.

36. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твердых тел. // СПб: Профессия. 2002. 320 С.