Математическая теория приборов систем оринтации и стабилизации летательных аппаратов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

• •' - Ь '

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи УЖ 531.383

Антончик Владимир Степанович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРИБОРОВ СИСТЕМ ОРИЕНТАЦИИ И СТАВИЛИ ЗАВДИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация иа соискание ученой степени доктора 4изико-матекатаческих наук

Санкт-Петербург - 1992

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор

ЛЕСТЕВ Александр Михайлович (г.Санкт-Петербург)

- доктор физико-мптематических наук, профессор

ВШЕВ Ким Галямович (г.Киев)

- доктор технических наук, профессор

ВОРОБЬЕВ Алексей Минаевич (г.Саккт-Петербург)

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.ВЛомоносоэа

Защита состоится "^ 1992 г.

в "/У" часов на заседании специализированного совета Д.063.57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 1989М, г.Петродворец," Библиотечная пл.,- д.2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургском государственном университете: Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан* 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета профессор

( С.А.Зепсда)

рОС-^-йСЧАЯ ОСУ;,-"'

бййЛЛО /ЛКА

¡АЯ

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Современные автономные инерциальные

системы управления (ИСУ) летательных аппаратов СЛА) строятся с гироскопической стабилизацией клерикальных чувствительных элементов, которая, как правило, осуществляется с помощью трехосного гироскопического стабилизатора (ТГС). Погрешность ИСУ включает в себя погрешности, вносимые ТГС. Поэтому при проектировании ТГС особое внимание уделяется решении двух основных задач: 1) высокоточной начальной ориентации (выставке) платформы, 2) обеспечению устойчивости платформ в полете или устойчивости ТГС как системы автоматического управления путем формирования соответствующих каналов разгрузочных устройств (задача стабилизации).

Соверешенствование теории для решения отих задач в направлении возможности применения ЗШ для рационального выбора параметров канала разгрузки и системы начальной ориентации платформы, для численного интегрирования уравнений движения ТГС с учетом режимов его работы, имеет первостепенное значение.

В диссертации развиваатся математические катоды анализа и синтеза системы стабилизации ТГС по доступной информации и алгоритм! построения управляющих моментов в системе ЦВМ, осуществляющих начальную оркзнтацио (выставку) платформы при известных и заданных с погрепностьв параметрах системы, при этом строятся математические модели ТГС с использованием в качестве чувствительных элементов либо трех гироскопов с двумя степенях: свободы каддый (уточняются уравнения движения), либо дзух двухкольцевых динамически настраиваемых гироскопов (ДНГ) с параллельным соединением колец.

Объект исследования и цель работы. В диссертации рассматриваются к.шструктивные схемы одно- и трехосных или пространственных гироскопических стабилизаторов, новых чувствительных элементов - ДНГ, для которых разрабатываются математические модели, описывающие с необходимой для практики точностью их поведение.

Основное внимание уделяется постановке математических задач синтеза контура стабилизации и системы начальной ориентации платформы, разработке подходов, методов и алгоритмов решения этих задач.

Цель работы состоит в поиске путей алгоритмического ( удобгого для применения. ЭВМ ) решения вышеуказанных задач ориентации и стабилизации на основе более глубокой разработки существующих подходов.

Общие методы исследования. Описание движения гироскопических приборов проводится на базе законов механики системы твердых тел. Для решения задач управления ориентацией и стабилизацией платформы ТГС используются методы теории управления, устойчивости движения, численного анализа и алгебры.

Научная навизна. Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем:

I. Предложена новая алгебраическая теория построения всего множества стабилизирующих динамических регуляторов линейной системы при неполной информации (обратной связи), т.е.

а) даны способы (четыре) сведения задачи синтеза регулятора к задаче отыскания такого решения линейной алгебраической системы с прямоугольной матрицей, что если вектор-решение взять в качестве коэффициентов многочлена, ' то этот многочлен имеет все корни в левой полуплоскости;

б) установлены новые свойства многочленов Гурвица;

в) построено отображение первого (положительного)Л-мерного квадранта на множество многочленов Гурвица Л -ой степени, т.е. установлен для многочлена Гурвица любой степени общий вид коэффициентов, которые зависят от . положительных параметров;

г) предложены алгоритмы (два) решения алгебраической системы так, чтобы вектор-решение представлял собой коэффициенты многочлена Гурвица.

2. Дан алгоритм проверки будет ли заданный многочлен гурвицевым? Этот алгоритм не требует составления матрицы Гурвица и вычисления ее главных диагональных миноров.

3. Установлены новые условия отабилизируемости управ-

ляемой системы при неполной информации и изучено предельное поведение корней замкнутой системы в зависимости от коэффициентов усиления.

Доказано, что в линейной системе при релейном управлении и неполной информации возникает стабильное колебание и если имеется лиоь один управляющий орган, тоетам стабильным колебанием является единственное периодическое движение ("автоколебание), устойчивое по Ляпунову.

5. Получена другая'форма записи формул Биета в случае простых корней многочлена.

6. Создана целостная методика анализа и синтеза контура стабилизации и системы начальной ориентации платформы, с инерциальными чувствительными элементам, включапяая методы качественного анализа и численного моделирования'уравнений движения ТГС. Она состоит из

а) уточненных математических моделей и наиболее полных' дифференциальных уравнений движения ТГС на подвижном основании, в качестве чувствительных элементов которых используются либо три двухстепенных силовых гироскопа, либо два двухкольцевых ДНГ с параллельным соединением колец;

б) математической постановки задачи формирования каналов разгрузки гироскопических стабилизаторов и методов ее репения, основанных на указанной в п. I теории;

в) новых методов (три) численного интегрирования жестких систем диффереициальных уравнений, к которым относятся уравнения, описывающие поведение гироскопических систем;

г) математических методов решения задачи начальной ориентации .'выставки) ГСП при известных и заданных с погре-сшостыо параметрах системы как раздельно по каждому каналу, так и одновременно по трем каналам для нелинейной системы дифференциальных уравнения.

Теоретическое и практическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при создании ИСУ ЛА, при ре-пснни вопросов проектиротания ТГС и изучения их поведения в

различных режимах функционирования, на подвижном основании и при случайных возмущениях, при обработка телеметрии.

Результаты, связанные с построением динамических регуляторов и исследованием динамических систем, являются вкладом в математическую теорию управления и найдут широкое применение в этой области науки.

Апробация работы.Результаты работы по мере их получения и в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, школах и семинарах:

- в Московской государственном университете на семинаре по прикладной механике и управлению под руководством академика А.Ю. Ишлинского, профессоров И.В. Новоиилоеэ и Е.А. Де-вянина ;

' - в Санкт - Петербургском государственном университете на семинарах кафедр теории управления (руководитель - член-корреспондент АН СССР В.И.Зубов ), высшей математики (руководитель - доктор физ.мат.наук, проф. В.З.Алешков),теоретической и прикладной механики (руководитель - доктор физ.мат. наук, проф. П.Е.Товстик) ;

- на Всесоюзной Четаевской конференции по аналитической механике, устойчивости и управлении движением(декабрь,1982);

- на Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва,1978);

- на школе-семинаре " функции Ляпунова и их применение" ( Иркутск, 1986 ); ' .

- на 71 Международной конференции б,

( ЧССР, Брно, 1985 ■)•

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложиния и списка литературы, включающего 122 наименования.

Диссертация изложена на 282 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении сформулированы основные задачи, решаемые в диссертации, обсуждается общая прблематика исследований, дается краткое описание работы и излагается основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе, состоящей из четырех параграфов(§1-4),' приводятся дифференциальные уравнения движения гироскопических при боров и осуществляется постановка математических задач формирования каналов разгрузки одноосного (ОГС) и трехосного гиростабилизатороз и начальной выставки ГСП. В § I приведена констуктивная схема ТГС и составлены с помощью уравнений Лагранкз 2-го рода полные дифференциальные уравнения движения его на подвижном основании при несовпадении центрор платформы и гироскопов с учетом сил инерции кар-данова подвеса и деформаций элементов двухстепенных гироскопов. В полученных уравнениях сгруппированы члены так, что они отражают вид сил взаимодействия между элементами ТГС. Из' этих уравнений можно получить систему дифференциальных уравнений движения ТГС на неподвижном основании, а также без учета деформации элементов гироскопов и для того случая, когда центры инерции платформа и гироскопов совпадают.

Силозые гироскопические стабилизаторы являются электромеханическими системами. Поэтому в совокупность дифференци- ' альных уравнений,опиенвавщих их поведение, включаются также я уравнения переходных процессов, протекающих в электрических цепях таких систем. В 5 2 обсумдаотся обобщенные силы и моменты, развиваемые двигателями разгрузочных устройств, и формулируется задача построения каналов разгрузки ТГС,при этом основной проблемой является построение множества систем стабилизации ТГС. Это даст возможность выбрать из него управление с учетом реальных условий движения основания, погрея-ностей в измерении углов прецессии гироскопов, наличия люфтов в редуктарах стабилизирующих двигателей, возмущающих сил случайного харахтера, а в случае ТГС на основе ДНГ - членов,

- 8 -

изменяющихся с частотой Я-Т,

Поскольку силовые одноосные стабилизаторы являются составной частьп двух- или трехосных гиростэбилизаторов, то из уравнений § Г с наложением соответствуют ограничений получены в § 3 уравнения движения одноосного гиростабилизатора на неподвижном основании,, совпадающие с уравнениями работы (С*],с.Цвб ) и поставлена задача синтеза его канала разгрузки,' при этом синтез может осуществляться в следующих вариантах: I) структура системы задана, требуется наати значения некоторых параметров - синтез системы с заданной структурой',

2) структура канала разгрузки неизвестна, требуется определить его передаточную функцию ЪГ(рЗ - полный синтез;/

3) канал разгрузки частично задан и требуется определить корректирующий контур - синтез с заданной неизменяемой частью.

В § Ч этой главы, исходя из уравнений § I,устанавливается вид уравнений в задаче начальной ориентации (выставки)ги-ростабилизированной платформы (ГСП). Последняя состоит в том, чтобы систему координат ,'свяэанную с платформой^

определенным образом ориентировать относительно абсолютной системы координат •

В главе П' (§ 5-П)преАложени методы сведения'задачи построения динамического регулятора, стабилизирующего линейную управляемую' систему, в которой не все фазовые координаты доступны измерению,к задаче отыскания такого решения линейной алгебраичейкой системы с прямоугольной матрицей, что если вектор-решение взять в качестве коэффициентов многочлена, то этот многочлен имеет все корни в левой полуплоскости. Для последней задачи указаны необходимые и достаточные условия ее разрешимости и алгоритмы решения, позволяющие определить все множество стабилизирующих управлений.

В § 5 отавится следующая задача. Пусть имеется система дифференциальных уравнений

ос. в. СО

Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация,- М.: Наука,1976. - 670 о.

в которой измеряется величина

- РЩСС.. (2)

Здесь ОС - фгзовый 1г - вектор; го - скалярное управление; Л - постоянная йхй - матрица; & , Г - -П. - вектора, ^ - означает операции транспонирования. Задача. Построить динамический регулятор

^(р)-^ + о, О)

так, чтобы нулевое решение системы (I), замкнутой управлением (3), было асимптотически устойчиво по Ляпунозу.

Здесь 'ЗЗт.Ср), р-дифференциальные

операторы вида

%рг(р)- р* + рР!''ч- ... у- с/, р 4^

Далее, в этом параграфе дается обзор результатов по данной задаче стабилизации.

Пусть пара С) вполне упрезляег«*. Тогда существует такея неособая матрица О , что преобразование х-Од. приводит систему (I) к системе, оквиваленгноя одному уравне-ниюнио -п -го порядка:

а выход (2) принимает вид ^->

у* 0СЯ.< с4* с/, 5%.., + ыа., о)

Здесь /V - коэффициенты характеристического уравнения

рлч >*'+ ... +р-,л <-Ро = ¿е, (6)

Г6} _____(7>

Обозначим вектор-столбцы

р* 0>'Ф, • • •, Р»-Г, = 6ч ■ ■] *

коэффициенты многочлене (6) степени ^ и степени Я- + РЪ . Пусть г/* -вектор и е = , • ..^¿Т-

(¿■ц) -вектор коэффициентов дифференциальных операторов <%„(р), и - вектор.

Определенте.Вектор р будем называть гурвицевым и писать ре Сгп. , если уравнение (б) имеет все корни в левой полуплоскости.

В § б получена линейная алгебраическая система для определения коэффициентов динамического регулятора

Я,

Матрица Я/ коэффициентов системы (8) постоянна, размера ,(/н-гч)х и имеет вид: в первом столбце ее стоит

вектор (р* дополненный нулями до размера 7г+»1 , во втором - он сдвигается вниз на единицу и сверху дополняется нулем. Так последовательным' сдвигом образуется т столбцов матрицы /// . Последующие 4*-/ столбцы этой'матрица образуются аналогичным образом только ухе с вектором

Пусть матрица имеет полный ранг. Если -Л/ не полного ранга, тогда обозначим чач^М, ¿с, ,где и в этом случае индексы со значком <5 следует заменить на^ ,

Пусть -векторы г?/ , ¿= fJЛJ ■ •

являются линейно независимыми решениями системы

хг%=*о. <9)

Составим матрицу . размера

и найдем вектор . ^

Рассмотрим линейную алгебраическую систему относительно компонент вектора л. :

^ с (Ю)

Теорема 6.1 . Для того чтобы система (I) с выходом (2) была стабилизируема с помощью управления (3), необходимо и достаточно, чтобы система (10) с прямоугольной (п-ц)*^**!}-матрицей 2* имела репение в виде такого вектора , что

^-"Нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.

"11 "

£ , при этом компоненты вектора являются коэф-

фициентами характеристического уравнения для замкнутой системы.

Кроме того, в этом параграфе показано, как построить матрицу 3 система (10%

В 5 7 развивается метод Пирсона, основанный на расширении исходной система (I). Зто развитие состоит в том, что получена алгебраическая система вида (10), которой удовлетворяют коэффициенты характеристического уравнения или собственные значения .Д; матрицы замкнутой системы, при этом получена другая форма записи формул Виета в случае простых корней многочлена:

где

Если определить собственные значения Л; , то легко по приведенной в работе формуле найти соответствуете им собственные векторы и этим самым написать решение системы (I) - (3.) в явном виде.

В 6, 7 вектор коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы имеет размерность 7Т* /п, и определяется из системы линейных алгебраических уравнений вида (10) порядка так, что свободных параметров имеется

В 5 8 дан третий способ сведения упомянутых задач одной к другой путем искусственного введения большого параметра в. С помощью теории сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнения и метода функций Ляпунова устанавливается устойчивость нулевого решения замкнутой системы.

Алгоритм выбора динамического регулятора состоит в следующем. Пусть вектор таков, что С^ о . Из систены уравнений определим вектор с- :

/>, л* г.. А а«

и пусть числа ¿д^ = с?, ^ . . . г 'Pt-Í выбраны так, что матрица / О 1 О ... о ]

/ ? ? I : : : f ) \-cto -Z, ■ • • -Z/».t J

имеет все корни в левой полуплоскости. Возьмем параметр где Cv - некоторое положительное число. Коэффициенты дифференциальных операторов C_¡(p), ^mfe) вычислим по формулам

g; = - Z. е^с: , ¿= С; ó • (12)

i- ' ~М * (13)

sj

Теорема 8.Г. Динамический регулятор (3), у которого коэффициенты Q¿ ; c¿j определены по формулам (12)—стабилизирует систему (I).

Четвертый способ указанного выше сведения задач излагается в § 9. Он основан на том, что лвбое решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с ростом стремится к нулп вместе с ее частным решением, если матрица коэффициентов системы имеет все собственные значения в левой полуплоскости и неоднородный член стремится к нулю как эко-понента. ~ '

Пусть векторы к. , « - («о,. . .j^-zi-iJ выбраны как и ранее. Положим

и будем считать, что Ф & . Соотавим две прямоуголь-

ные матрицы следующих размеров ^н)'^ и (т+ij х т. :

jo о ... о

RJr)- / r-м r'é • • • с? t

[rJs'fé гл**е ---re

о о ... о

Z/t \ / ^ ^ о

¿1&J = VJê ■ о

Коэффициенты динамического регулятора (3) определим из системы _ , /

и с помощьо равенства _

¿/'V Я"- С 2Л(Г). (1б)

Теорема 9.1. Динамический регулятор (3) с коэффициентами, определяемыми из системы (15) и с помоцьв формулы (16), является стабилизируисим для системы (I).

В §§ 8,9 зектор (эквивалентно вектор ) определяется как решение линеяноя алгебраической системы из (n-s-i) уравнений таким, что q.6 , а компоненты вектора SC выбираются в основном произвольно, лишь бы матрица Mo имела все собственные значения в левой полуплоскости и в § 9 о дополнительным условием detcbï- О . При этом коэффициенты динамического регулятора (3) однозначно определяется по формулам (12)-(1<0 гибо (25), (16) в зависимости от , d и d § 3 от искусственио введенного параметра

В § 10 изучаются многочлены, все корни которцх имеет отрицательные вещественные чести - многочлены Гургица. Некоторые свойства этих многочленов содеряатся л следуввдх леммах.

Лемма I. Если корни многочлена

■ • ■ +<г,\+ав = о (Г7)

лежат в левой полуплоскости ...¿7г. » то

этом свойством обладают и хорни многочлена

а„., -с J"1''* . . afxn''} О (18)

при Vz^o , т.е.

Справедливость ленмм следует из формул Виета'""''.

& Мейлахс А.М. О стабилизации при наличии ограничений. -Вести.ЛГУ, 1982, И 13* c.5?-56.

- Ik - _

Лемма 2. Пусть Л 6 и некоторое число <2.л ;» о, Положим a-i - 5.1 /й-л. .. j7i-J . Тогда существует та-кое_^число tc (cl.j -knj^O, что при вектор ха.'= C'cZUtTa,_t...JVAn,) G^t » т*е* К0РНИ многочлена

a^'rir«»^ + = о (19)

лежат в левой полуплоскости.

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2 и возьмем любой вектор .. ¿^ е Тогда существует такое t„= z ¿cLn-j А, О . что при Vv*T0 вектор

Лемма Ц. Пусть Gfix^ и возьмем любой вектор 2••• Тогда существует такое число

Г„= хТк.е)* 'о • что nP" Vt*Z0 вектор

т.е. корни уравнения

... -(го)

лежат в левой полуплоскости.

Эти леммы позволяют переходить от многочлена Гурвица -И -ой степени к многочлену Гурвица (/г.* О-ой степени так, что коэффициенты их удовлетворяют линейной алгебраической системе с прямоугольной матрицей.

Введем в рассмотрение постоянные прямоугольные матрицы h^Cfy), размера £anjjt/t, п* Z> , причем

I =Л'1[i^'fj при четном (21)

¿¿r,l при нечетном, п, , (22)

остальные элементы матрицы 1>п. равны нулю.

Теорема 10.2.Все корни стандартного (сумма корней равна -I ) вещественного многочлена -п. -й степени

имеют отрицательную вещественную часть в том и только в том случае, если ото верно для многочлена Сп~0 -й степени (не обязательно стандартного)

аектор коэффициентов • • • ,, вп-л^ которого

связан с коэффициентами исходного многочлена (23) соотноое-нием

(V-

(25)

где Х/г. -матрица представлена равенством (21) для четного и равенством (22) для нечетного п. » Теорема 10.2 и лемма I позволяет построить общий вид коэффициентов многочленов 1^рвица двбой степени, зависящих от положительных параметров. Например, ( @tj'r€: ^'

К6****),Р

где £¿>0, ¿-1Ь.

Далее^в этом параграфе приводится алгоритм проверки лежат ли все корни в левой полуплоскости, не трейувдий составления определителя Гурвица и вычисления его главных миноров.

Действительно, введем следувгие постоянные квадратные матрицы Т^п,- порядка п-1 , 3 1 причем =/

и

/ С = при четном ,

'«V»« = -З'В+С-^1 У "Рч нечетном п* , Пусть имеем V. -вектор О, коэффициентов многочлена (17) степени 1Ь . С помощьв леммы I этот многочлен можно сделать стандартным, если положить . Пусть <Д/ =

вектор, полученный из коэффициентов стандартного многочлена без коэффициентов при старших степенях ть и С11'*) г которые равны ' £ .

Вектор а- будет гурвицевым ( а е &п, ) тогда и "только тогда, когда (тг-1) -вектор ё будет гурвицевым ( Сгп.«) .

О ■ - 16 -

где £ - С1, . эТот процеоо можно продолжить о вектором £ до тех пор, пока и, следовательно, выполнение

неравенств 6суО,£,>о является необходимым и достаточным условием того, что ^ ¡^ ,

С помощью установленных свойств многочленов Гурвица в §'11 предложены два алгоритма решения системы (10) ?цк, что а &п .

При определенных условиях матрицу системы (10) можно записать

= ъ.ъ.к).

Тогда имеет место теорема.

Теорема ПЛ. о) Если ¿ - П-1 , то система (I), (2) стабилизируема динамическим регулятором (3), причем замкнутая система имеет любые наперед заданные собственные значения.

б) Если Л-^п-Л , то система (10) вырождается в одно

которое разрешимо ( ер й Сгптогда и только тогда, . когда в совокупности ,

и01 О(п-0 р«) п(л-1) Ш /гт'1-п-) М

, Д

имеются положительные числа.

в) Если элементы последнего ($+1) -го столбца матрицы К . образующие вектор-сФодбец= (£'¿,1

таковы, что <гл-4-4 либо

элементы первого столбца матрицы таковы, что (£11, пСЧ г>^> р

уи ¥п ¡-4 <; е 1*41-л-4 г то существует при

О$ решение С^, системы (10), удовлетворяющее

а 6 1.

Второй алгоритм построения решения системы (10) озно-ван на представлении обвдго вида коэффициентов многочлена Гурвица степени . в зависимости от положительных пара-метров^у^.....

как

Определим матрицу (р.) положительного параметра

9„„ (/<)* ^ б* V"*' - • - А О-

Теперь построим матрицу

[¡(¡и) - %п+ти 5

Она зависит от -т+б*! положительных параметров у4^ и имеет размеры (п. + м+4)х(п^). Положим

(V- ^ б,

где $-(ёо} • • , Это значение у, подставим в

систему (10), тогда

отсюда, если1 возможно, определим вектор 3 - , Если положительные параметры /< можно выбрать так, что46 Сл-б-!* то тогда суь бп+гч , и вектор С^ является реиениеи системы (10).

Далее, здесь рассмотрен частный случай безынерционного управления ( /К = о, л=.о) системы (I) по выходу (2). В этом случае система (10) принимает вид

где 21 =/>; - ^ ро „ Л'*.

Рассмотрим многочлена

Ыгг-г -А

п-1

Теорема Н.Э. Еоли корни многочлена f,Ci) либо . лежат в левой полуплоскости комплексного переменного^ , то система (I) стабилизируема управлением (3), при этом в первом случае имеем: de - IjCv^TZ + i^'-P-J/^cjVAt * о % £„ - произвольно выбранное число, один из корней характеристического уравнения замкнутой системы стремится к - «о , а (пч) остальных корней стремятся к корням многочлена при в0-*~=> ( либо zr-*» «»с ); во втором случае -d0st, е-о в - ро )/d„ , где Г^-гГе, , корни характеристического уравнения замкнутой системы в этом случае стремятся один - к нулю, остальные (р-'*) - к корням многочлена при о* , и предельное значение коэффициента усиления ее-- Р'/ы0 .

Возможность стабилизации системы (I) безынерционным управлением (3) в виде условий на корни многочлена /гС*) получены в работе [*] другим путем для нестационарных систем, при этом допускается беспредельное увеличение коэффициента усиления G0 . Оно не является новым. Условия на корни многочлена ^(х) неизвестны, при этом коэффициент усиления ограничен.

3 этом параграфе также дан алгоритм проверки устойчивости нулевого решения управляемой системы о динамическим регулятором и кратко описан один из алгоритмов стабилизации.

Развитые во второй Isiase методы синтеза динамического регулятора для системы произвольного порядка в главе Ш применены к формированию каналов разгрузки одно- <§ 12) и. трехосных (§ D) с учетом взаимовлияния каналов гироскопических стабилизаторов, при этом построено все множество стабилизирующих динамических регуляторов,' а также показано, что нет необходимости в построении наблюдавши*"устройств, кок это предлагается в работе при синтезе этой цепи ОГС методом

C*J Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. -Л.:ИЗд-во Ленингр. ун-та, 1981. -198 о. Сж] Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства.-М.: Машиностроение, 1976. - 181 с.

- 19 -

логарифмического корневого годографа.

В § 12 к тому же изучается разгрузочное устройство с характеристикой типа гистерезисной петли. Это приводит к системе /

Мх.+ ёч,. (26)

Управление ЦШ принимает лишь два значения

I -т.^ при <5-^- <?, где -С, < Сь и тп^ло**^. Сигнал обратной связи выражается так _ „,

^ С (28) где измеряемый ?<; .-вектор

Г*хл (29)

Если теяп г то имеем полную обратную связь.

Определение Г*7 • Замкнутое, ограниченное, инвариантное множество М- называется стабильным колебанием системы (26)--(29), если существует такое £>0 и $(£)>о , что при £ выполняется для всех

Задача.Указать сигнал обратной связи (28), т.е. выбрать коэффициенты усиления так, чтобы в системе (2б)-(29) возникало стабильное колебание М. в окрестности точки СС.- О .

Стабильными колебаниями, как следует из приведенного определения, могут быть точка покоя, периодическое, почти периодическое или рекуррентное движение, а также любое движение, устойчивое по Лагранжу в обе стороны.

Пусть пара вполне управляема и -4с - вектор-строка-^* такова, что . Преобразование х= Фу приводит систе-

му (26) к системе, эквивалентной одному уравнению /г -го порядка (4) и .

Теорема 12.2. Пусть многочлен , #

-л + -А + • • •

является гурвицевым. Тогда

[*2 Зубов В.И. Лекции по теории управления. -М.: Науха, 1975, -495 с.'

- 20 -

1) существует непрерывное управление Мн. - С РГ"Х- , стабилизирующее систему (26);

2) можно построить матрицы Vквадратичных форм , 1лГСх) » удовлетворяющие соотношению

Л*)!, — -Ю'Сос)

такие, что будет справедливо равенство V е - / а с- ;

3) в системе (26) при релейном управлении (27)-(28) и любых

, где -достаточно малая положительная константа, возникают стабильные колебания в окрестности точки Х-О .

Теорема 12.4. В системе (26) при релейном управлении (27) и выборе сигнала обратной связи с помощью равенства

ег=

и достаточно малом В0) I £¿1 £е, , существует един-

ственное периодическое движение, представляющее собой упомянутое стабильное колебание. Око орбиталько (асимптотически) устойчиво и устойчиво по Ляпунову.

Множество ¡Г72, / \ 1

{х-. иъцг т^

содержится в области притяжения автоколебания.

Теорема 12.10. Пусть заданы матрицы Л, У7 и вектор <?. Если суцес.твует такой вектор-строка Р , что = Г/7*' и оС* - Г"(2 , причем о(е Ста-4 , тогда при достаточно налом £о справедливы утверждения теоремы 12.4.

Отметим, что развитый здесь подход к изучению окрестности периодического движения является распространением метода В.И.Зубова, изложенного в работе ¿"«7 для непрерывных систем и нормальной гиперплоскости ^ (плоскость с нормалью Ф С*) ) на системы вида (26) о гиперплоскостью 6"= Р'сс = 2. -

Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. - Л.: Судпромгиз, 1962, - 630 с.

- 21 -

Уравнения движения гироскопических систем относятся к классу "жестких" систем дифференциальных уравнений. Для анализа системы стабилизации и моделирования на ЭШ движений ТГС в § 14 предложены три новых метода численного интегрирования "жестких" систем дифференциальных уравнений. Пусть имеется система

З^/бу, {30)

у которой, матрица - имеет большой разброс

собственных значений. Известно решение системы (30) в виде таблицы хь.. ссл. на множестве точек * & Л, я = О,},.■■, п • Требуется вычислить значение ^/г*/ при 4п*1 = ¿п > т.е. проинтегрировать систему (30) на один шаг.

В системе (30) сделаем замену переменных "С* -¿-4п, , тогда

% = М**)у * К*-') + Я С**.у), у(р)= О.

где

АЫ* ЧИг' чНЫ-*(*-)?.

Обозначим через

фундаментальную матрицу системы

и рассмотрим равенство

где Г

¡у "с*) ¿а,

г Ут IУа,) & * *(*)) Ж. <зп

о

Отметим, что вектор-функция

где/

является решением следующей задачи Коши:

ЛЫ г + М**> * ф §(**, Ъ *). (32)

г (о) = о .

Для получения более точной расчетной формулы решения задачи Коши (30) нужно точнее аппроксимировать вектор-функцию 2(р) , определяемую равенством (31) или как решение задачи Коши (32).

Три численных алгоритма решения задачи Коши для системы (30) основаны: первый - на использвалии матрицы СпСР) при аппроксимации в формуле (31); другой - на постро-

ении последовательных приближений для решения уравнений (31); третий - типа Рунге-Кутты с весом, в который внесена жесткость системы (32).

Глава 1У посвящена построению управляющих моментов в системе ЦВМ, осуществляющих начальную ориентацию (выставку) платформы.

Уравнения движения ГШ по каждой из осей стабилизации (показано в § 4) представляют собой уравнения движения системы с одной степенью свободы и можно записать их в виде

где

М*

(33)

О; при У-о и Жу ^ /г/(бг>/,

- сV- ¿у- Мтр#¿»4- ггью- Ув;

при ** О либо * ■

Б дискретные моменты времени "¿а * л Т , где -шаг дискретности, измеряются величины Ч'п.- Ч'О^'), &п -- В(пТ], п=о,1... . Подача управляющего воздействия и (С/ на систему (33) происходит с запаздыванием % ¿о* Т,* 1") в дискретные моменты =» , так что

при (34)

Нелинейная кусочно-постоянная функция УО) в точках определяется следующим образом:

тг/, при и,(»т)*иМ1

1 . , (35)

с ^ , При и,(кГ)?

ЦС*Ф£( (зб)

при этом положительная постоянная р характеризует постоянное квантование по уровню дискретной части цифровой систеш, а - СопдЬ О определяет ее насыщение, ВС*) - наи-больиее целое число, не превосходящее -

Сигнал обратной связи формируется в момент времени -Ь-пТ в виде

<ГЛ=/^ Л-*, О/г., бп-л) (37)

и с помощью формул (36), (35), (34) можно вычислить управляющий момент и*и(, который воздействует на систему (33) в момент времени ■¿■«•л У* 7%.

Пусть задано значение Ч>- с ■

Задача. Определить сигнал обратной связи (37) так, чтобы Оп~ Утр— О при П «•*» .

Сигнал обратной связи

^Г [-к

+Мтр ь'^зъ-и.,*+1! % Тл-у] ш

решает задачу, если коэффициенты усиления tJ-P/Ь•••^ ^ выбрать таким образом, чтобы решение £&} дифференциально-разностного уравнения

Уё+Яг+а** мсо, (зэ)

Г**-!, при

^ ' ~ С гГп. при

- 24 -

стремилось к нулю с ростом -Ь , .

Для выбора требуемых коэффициентов используется теория многочленов Гурвица, развитая в главе П и позволяющая • определить все множество стабилизирующих управлений системы (39). Сигнал обратной связи (38) обеспечивает начальную выставку платформы в течение 3 сек при частоте обмена информацией в 40 гц. Этот алгоритм начальной ориентации ГСП, изложенный в § 15, в § 16 распространен на тот случай, когда параметры системы , Мгр, заданы с некоторой погрешностью путем их идентификации по измеряемы:,! величшим

Коэффициенты усиления в формуле (40) зависят от параметров системы к % . Если с, заданы с погрешностью / С- с„/ ± /А,-А«./ & <1 , то за счет выбора величин Т и Т, можно добиться значений таких, что решение %системы (39), (40) будет стремиться к нулю с ростом независимо от допустимых значений А и С . Следовательно, имеем алгоритм выбора шага дискретности и запаздывания в воздействии управления 7/ .

Алгоритмам синтеза адаптивного управления для решения задачи $ 16 посвящен § 17. Здесь представлены алгоритмы прогноза поведения и идентификации параметров системы, основанные на обработке наблюдений с весом; указан алгоритм настройки неизвестных параметров системы путем минимизации оценочной функции ]= !>пц с изменением настраиваемых коэффициентов в направлении, противоположном градиенту функции . При этом ограничиваемся в каадый момент времени выполнением только одного градиентного шага.

В § 18 этой главы с помощью метода функций Ляпунова проводится построение управляющих моментов непрерывного и дискретного типов, осуществляющих одновременно трехканальную ориентацию ГСП в нелинейной системе дифференциальных уравнений.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы и отмечены приложения разработанных алгоритмов.

Уравнения движения ДЙГ на подвижном основании к ТГС с

- 25 -

двумя двухкольцевыми ДНГ о параллельным соединением колец в качестве чувствительных элементов приводятся в приложении. ТГС представляет собой систему твердых тел (из 9-и тел в § I и 11-и - в приложении), уравнения движения которых достаточно громоздки и в автореферате не приводятся.

■ Диссертационная работа является результатом исследований, проведенных автором по госбюджетной и хоздоговорной тематике, темам "Расстояние", "Роксана", к работе приложены два акта внедрения. Имеется 23 публикаций и 8 отчетов по хоздоговорам.связанных с темой исследования, причем основное содержание диссертации опубликовано в работах [£ - 14]. В совместных работах-и отчетах диссертанту принадлежат постановка задачи, вывод основных уравнений и зависимостей, алгоритм решения задачи и анализ полученных результатов.

СОздан целый комплекс прорамн на языке PL'l в виде стандартных процедур на ЕС ЭВМ, реализующих изложенные в диссертации алгоритмы анализа и синтеза систем управления в режимах стабилизации и ориентации ТГС. Расчеты на ЗВМ кон- . кретных механических систем и стендовые испытания системы управления (§ 15) начальной ориентацией ГСП подтверждают эффективность и работоспособность предложенных алгоритмов.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое достижение ъ развитии теории гироскопических систем, при этом изложено научно обоснованное математическое решение задач анализа и синтеза контура стабилизации и высоко-^ точной начальной ориентации платформа с инерциальными чувствительными элементами.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Антончик B.C. О стабилизации линейных регулируемых систем // Вестн. ЛГУ, Сер. Г, 1990, вып.1 (й I). - С.6-10.

2. Антончик B.C. О построении динамического регулятора для линейной управляемой системы // Дифференциальные уравнения. - 1988, - т.24, № б. - С.9 23-929

- 26 -

3. Антончик B.C. О построении устойчивых линейных систем регулирования // Автоматика и телемеханика. - 1987. -

№ I. - С.174-182.

4. Антончик B.C., Романюк И.И. Дифференциальные уравнения движения трехосного гаростебилизатора // Вести. ЛГУ, Cep.I, 1984, » I. -C.5S-63.

5. Антончик B.C. О стабилизации стационарных систем с неполной обратной связью. - В кн.: Математические методы и структурирования систем. Калинин. - 1979. - С.50-52.

6. Антончик B.C. К вопросу гироскопической стабилизации. - В кн.: Исследования по прикладной математике. Саранск

- 1982. - С.5-7.

7. Антончик B.C. Один численный метод решения задачи Коши'для жестких систем// Еурн. Вычислительной математики и матфизики. - С.85, !S II. - С.1723-1725.

8. Антончик B.C., Дорофеев Б.В. К вопросу о численном интегрировании, жестких систем. - В кн.: Вопросы механики и процессов управления. Вып. II. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та.

- 1989. - С.66-70.

9. Антончик B.C. Достаточное условие стабилизации стационарной системы о неполной обратной связью. - В кн.: Управление, надежность и навигация. Саранск. Вып.5. - 1979.

- С.203-204. "

10. Антончик B.C. О релейной стабилизации программных дзижений с неполной обратной связью. - В кн.: Математическая физика. - Киев. Вып. 25. - 1979. - С.22-24.

11. Антончик B.C. О стабилизации линейных систем с неполной информацией. - В кн.: Математические методы оптимизации и управления в сложных системах. Калинин. - 1986. -

С. I09-115. "

12. Антончик B.C. Динамический регулятор одноосного та-ростабилизатора. - В кн.: Математические методы оптимизации и управления в систеиах.Калинин. - 1985. - C.I08-II5.

13. Антончик B.C. Об исследовании устойчивости системы дифференциальных уравнений с неправильной линейной частью.