Математические методы оптимизации процессов диффузии и переноса частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 ОД 2 о ШОП »593

АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный сонет Д 01. 93. ОЯ.

На кранах рукописи

РАФАТОВ Р.

Математические методы оптимизации процессов диффузии и переноса частиц

01. 01,03.—Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Бишкек-1993

АКАДЕМИЯ ШК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 01.93.08

На правах рукописи

' _ РАФАТОВ РАМИС

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ И ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ

01*01.03 - математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Биакек-1993

Работа выполнена на кафедре высшей математики Кыргызского технического университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Д.УЛмбетнаноз, доктор физико-математических наук, профессор О.Шаршекеев, доктор физико-математических наук, профессор 3.С.Мельник.

Ведущая организация: Казахский Национальный государственный университет имени Аль-Фараби.

Защита диссертации состоится " 19 " июля 1993 г. в 9 часов на заседании Специализированного совета Д 01.93.08 пс присуждению ученых степеней доктора и кандидата наук в йкституз математики АН Кыргызской Республики.

С диссертацией ыокно ознакомиться в научной библиотеке АН Кыргызской Республики,

Автореферат разослан "/¿Г " ///¿Ут1^_1993 г.

Отзывы на .автореферат просш прислать по адресу: 720071, г. Бишкек-1

АН КР, Специализированный совет Д 01.93.08.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник

Искандаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Одной из наиболее характерных особенностей развития науни и техники в последние годы являетея все более возрастающий интерес к проблемам оптишгаации. Это связано с тем, что при математическом моделировании таких актуальных задач естествознания, техники, экономики, охраны окружающей среды и т.д., где велико активное участие человека, всегда возникает проблема отыскания наилучшего или оптимального управления из возможных. Решение этой проблемы невозыожно без создания хорошо развитого аппарата матеыатичесхой теории оптимизации процессов теплопроводности, диффузии частиц и переноса излучения.

Основа современной теории оптинальяого управления заложены группой советских математиков во гяаэе с Л.С.Поигрягинш. Главный результат этой теории - принцип ыакеанума - один из фундаментальных принципов теории оптимальных процессов, а именно: группа теорем о необходимых условиях оптимальности для различного типа:задач оптимизации. Другое направление исследования по оптимальным системам развивалось Р.Беллманоы, а таете его сотрудниками в последователями. В его основе лежат принцип оитиыа-зьвости и связанный с ним метод динамичеоноге программирования. Дальнейшие важные результаты в теории оптимального управления зовучевы Я.Н.Красовским, Ф.П.Васильевыи, А.ИЛетовын, В.И.Зубо-вш, Р.Калманоц, Л.Нейштадтом, А.Балзкрншнаноа, Ж.-З.Лионсом, С.К.Сиразетдиновыы. Существенный вклад в развитие теории опти-¿изации внесли также Ю.В.Егоров, А.И.Егоров, Р.Габасов, Ф.11. Сириллова, В.И.Коробов, Ю.С.Осипов, В.И.Плотников а другие.

В настоящее время ужа можно говорить о том, что современен теория управления сформировалась в самостоятельное научное «правление, занимающееся реиением проблей модального я оптима-

львого управления, наблюдением, фильтрацией и идентификацией динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. Роль этой теории в решении разнообразных прикладных задач неуклонно возрастает. Непрерывное усложнение энергетичес; ких систем, повышение их мощности делают актуальным всемерное использование теории управления для оптимизации таких систем, и их звеньев. Б этом плане особый интерес представляют системы, ■источником энергии в которых являются атомные энергетические установки.

Совершенствование различных химических реакторов, 8 также установок, основанных на использовании атомной и. тепловой энергии, вопросы, связанные с проблемами округающей среды и ее восстановления делают актуальной задачу оптимизации тепловых и диффузионных процессов и.разработки эффективных методов их исследования, учитывающих как аналитическую специфику моделей изучаемых процессов управления, так ж возможности современной вычислительной техники. Многие из такого рода вадач могут быть исследованы и решены липь с поноете современных математических методов. Возникающие при этом математические проблемы управления, оказываются нетривиальными и послуаили источником и стимулом для разработки новых аналитических и численных методов, изложению которых посвящена настоящая диссертационная работа.

ЦЕЛЬЮ РА®Ш_являетоя-радрабогка'^овых математических методов оптимизации процессов теплопроводности, диффузии частиц и переноса излучения, которые мояяо описать дифференциальными и Ентегро-длфференпиаяьншш уравнениями в частных производных, при различных идах управляющих воздействий (распределенных, граничных, конечномерных, точечных).

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ основан не сведении задачи оптимизации

- 5 -

V

роцессов теплопроводности, диффузии частиц я переноса издуче-ия путем разложения по поркальнын йодам - по совокупности соб-твенных функций, отвечающих дискретным собственннн значениям оответствуэдей однородной краевой задачи переноса (дискретные :оды) и непрерывной части спектра собственных значений 1яон-инуум под), к решению задачи оптимального управления системой семейством) иитегро-дифференциальянх,дифференциальных или итегральных уравнений. А эта последняя задача в большинстве лучаев решена методом введения ее к бесконечномерной проолеие юментов относительно семейства показательных функций. В друга случаях ^см.,например, главы 4 и 5) для реиения поставлен-;ых задач сначала применен метод динамического программирования, а затеи - разложение по нормальным цодаы соответсвуящей |днородяой стационарной краевой задачи переноса. Отметим, что ютребности теории управления поставили здесь ряд новых задач, юшение которых приводится в диссертации.

Исследование задач оптимизации процессов диффузии частиц I переноса излучения началось сравнительно недавно в работах '.И.Марчука, А.П.Рудика, А.И.Егорова, Д.А.Овсянникова в было ['родолжено автором диссертации. Важно отметить, что я здесь задачи теории оптимального управления системам*, описываемыми щтегро-дифференциальныыи уравнениями в частных производных юслужили мощным стимулом и направляющей нитыэ ряда исоладова-[ий, результаты которых изложена в книге [21] я реферируемой 180010.

В диссертации используются также методы теории обобщенных пункций, комплексного анализа» функционального анализа, теории [нтегро-дифферевциальннх уравнений о частными производным*.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации разработана целостная лето-

дика исследования динамических систем, включающая ыатекатичас-кие методы анализа, оптимизации и моделирования процессов теплопроводности, диффузии частиц аэрозольной субстанции и переноса излучения. Задача оптимизации тюля нейтронов, переноса излучения и диффузии вредных примесей в атмосфере сформулирована как единая математическая задача управления процессом диффузии. Для решения почти всех встречающихся "х работе звдач оптимизации нестационарных процессов переноса применен метод разложения по нормальный ыодам (но совокупности дискретных и континуума мод) полной системе ортогональных с весом собственных функций, отвечающих дискретному и непрерывному спектрам собственных значений соответствующей стационарной однородной краевой задачи переноса Развиты математичесние методы анализа и синтеза оптимальных управлений процзссами теплопроводности, диффузии и переноса при различных критериях эффективности в системах иатегро-дифферен-циальных уравнений Болыщана. Даны различные формулировки задачи управляемости процессом переноса излучения и получены достаточные условия их разрешимости. Разработаны методы решения задач синтеза оптимального управления процессом переноса излучения при неполных измерениях.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Построена математическая модель процессов диффузии

—примвсей-в-атмосферетшереноса излучения, обеспечивающая появление сплошного спектра, однородной стационарной граничной задачи переноса и диффузии.

2. Составлено нестационарное интегро-дифференциальное уравнение переходкого процесса в управляемом ядерном реакторе, учитывающее концентрацию запаздывающих нейтронов.

3. Получены достаточные (а иногда и необходимые) условия

- ? -

разрешимости задачи на определение минимальных критических размеров реакторов различных геометрий.

Доказано, что простейшее диффузионное уравнение имеет решение , экспоненциально и симметрично убывающее в

оба направления от «г—л,. При этой найдена формула для количества вещества аэрозольной субстанции в расматриваемой бесконечной среде, в случае, когда коэффициент диффузии

* 5. Составлено уравнение переноса примесей в атмосфере с переменным коэффициентом диффузии и построено решение чч-г^) диффузионного уравнения с коэффициентом диффузии ^/г0

при отсутствии и наличии сплошного спектра собственных значений соответствующей стационарной однородной краевой задачи переноса. Сделано то же самое и в случав, когда коэффициент диффузии изменяется по закону Фу*)—у-Ар) .

6. Доказано, что для дифференциального уравнения, обобщающего уравнение, изученное Г.И.Ыарчуком в его книге "Математическое моделирование в проблеме окружающей среды" (М.:Наука,1982.-320с.), и;содергащее интегральное слагаемое, оптимизационная задача нахождения совокупности планируемых выбросов аэрозолей

/О,которая обеспечивала бы предельно допустимые дозы аэрозольного загрязнения (*=/,,.., /л-) при минимальных

затратах, т.е. ^^(/¿¡¿-И}?} — /п£л » на технологическую реконструкцию предприятий, обеспечивающую установленный объем выпуска продукции при заданном уменьшении выбросов, сводится к задача линейного программирования по отыскании оптимального набора

7. Задача об оптимальном управлении процессом, который описывается краевой задачей для однородного уравнения тепло-

<

проводности, сведена к решению интегрального уравнения типа • фредгольма относительно оптимального управления. Это уравнени решено и даны необходимые оценки погрешности.

8. Задача управл'яемости для уравнения переноса впервые методой разложения по нормальным кодак сведена к бесконечномерной проблеме моментов, для которой даны достаточные уоловш разрешимости и вид решения.

3, Задача об оптимальном по быстродействию управлении пр( цессом переноса частиц такяе впервые методом разложения по нормальным ыодаи сводится к бесконечномерной проблеме ноиентоз которая затем решается с помощью неравенства Гельдера.

10. Задача об управлении с минимальной энергией процессов переноса частиц также методом разложения по нормальным модам сводится к бесконечномерной проблеме моментов, которая решается с помощью построения новых фуЕкционвльных пространств.

11. Доказано, что построение синтеза оптшального управления процессом перекоса частиц сводится к решению интегро--дифференциальной краевой задачи типа Риккати, которая затем впервые решается методом разложения по нормальным модам.

12. Получена формула синтеза оптимального управления в задаче минимизации квадратичного функционала для уравнения переноса частиц.

-13»-Вадач8-С1штез5-бптимального управления процессом

переноса при неполных измерениях, т.е. при условии, что измеряемая переменная является некоторым функционалом, определенным на состоянии системы, также сводится к решению интегро-диф' ференциальной краевой задачи типа Риккати, которая в свою очередь решается методом разложения по нормальным йодам однородно] стационарной граничной задачи переноса.

14. Построен синтез оптимального управления процессом пекоса частиц при неполных измерениях.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В диссертации выяв-ны новые возможности применения методов теории функций и нкционального анализа - теории обобщенных функций для пссде-вания я решения задач оптимального управления системами с определенными параметрами и обратных задач математической эики. Полученные результаты могут служить теоретической осно-й для решения прикладных задач управления химико-технологи-скими процессами, задач геофизики, совершенствования химичес-х реакторов, и установок, основанных на использовании атомной тепловой энергии, вопросов, связанных с проблемами окружающей еды и ее восстановления.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты исследований, содержащиеся в нной диссертации, по мере выполнения, поэтапно были долоаены Республиканских, Всесоюзных и Международных научных конферента, а именно:

1. На У научно-технической конференции Института автомата-АН Киргизской ССР, октябрь,1969, г.Фрунзе.

2. На Всесоюзной конференции "Математическая теория опти-иьного управления", октябрь,1972,г.Баку.

Т. На I Международной семинаре социалистических стран зучное космическое приборостроение", май-июнь,1976,г.Фрунзе.

4. На Всесоюзной научно-технической конференции "Автоматами и пути развития судовых электроэнергетических систем", иябрь,1976,г.Севастополь.

5. На 2-й Всесоюзной конференции по оптимальному управла-о в механических системах, январь,1978,г.Казань.

6. На I Республиканской научно-технической конференции но-

лодых ученых Киргизии, ноябрь,I97B,г.Фрунзе.

7. На Всесоюзной конференции "Математическая теория оптимального улравления",1978,г.Минск.

8. На П Всесоюзном совещании по адаптивным системам, июнь, 1984,г.Фрунзе.

9. На П Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости, июнь, 1985, г. Фрунзе.

10. На Всесоюзном семинаре "Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химических и химико-металлургических производствах",сентябрь,1986,г.Донецк.

11. На конференции математиков, и механиков Киргизии, посвященной 70-летию Октября,октябрь,1987,г.Фрунзе.

12. На Всесоюзной научно-технической конференции "Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами'!,сентябрь,IS87,г.Одесса.

13. На Всесоюзном семинаре "Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химических и химико-металлургических производствах", сентябрь,1988,1991,г.Донецк.

14. На Международной математической конференции "Ляпунов-ские чтения", посвященной 100-летию создания А.Ы.Ляпуновым теории устойчивости движения,сентябрь,1992,г.Харьков.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано более 45 ра-—бот,—в-том-числе-монографийТШ • Основные результаты изложены работах [1-25] .

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 223 наименования. Обьем работы - 257 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность выбранного направления

исследования, дан краткий обзор литературы по вопросам оптимизации процессов теплопроводности, диффузии частиц и переноса излучения и приведена аннотация результатов диссертации.

В первом параграфе ГЛАВЫ I приводятся необходимые сведения из области математического описания движения тепловых нейтронов в предположении, что все нейтроны имеют постоянную по величина икорость Ц" , а плотность Ф нейтронов зависит от эгой скорости, т.е. Ф—Ф(Л/, . Кроме того предполагает-

ся, что рассматриваемые нейтроны при столкновении с ядрами не изменяют своей энергии, а изменяют лишь направление скорости.

Результаты этого параграфа носят вспомогательный характер и используются в дальнейшем в § 1.2-1.4 при построении математических моделей управляемых процессов диффузии примесей в атмосфере и переноса излучения в поглощающих средах.

Во втором параграфе ГЛАВЫ I исслодувтся некоторые модели переноса и диффузии субстанций - интегро-дифференциальные уравнения, описывающие эти процессы и обобщающие уравнения, изученные в вышеупомянутой книге Г.И.Марчука, а танке рассматриваются области определения и свойства раиений в простейших случаях. Здесь в отличив от работы Г.И.Марчука, учитывается наличии сплошного спектра собственных значений, обусловленного наличием интегрального слагаемого в математической модели, и связанного с ним континуального множества собственных функций однородной стационарной граничной задачи переноса.

В третьем параграфе первой главы, обобщающем известные результаты работ' К.Кейза и П.Цвайфелн, А.Д.Галанина, А.И.Егорова, С.Б.Шихова и др., выводятся условно-критическое и нестационарное уравненле переноса нейтронов, учитывающие влияние мгновенных и запаздывающих нейтронов. В отличив от выпеуказан-

ных работ здесь получены математические модели - нестационарна уравнения диффузии частиц, удобные для дальнейшего исследовани и позволяющие применять метод разложения по нормальным модам -по полной системе дискретного и континуального множеств собственных функций, соответствующих однородной стационарной гранич ной задаче перенооа.

Четвертый параграф ГЛАВЫ I обобщает результаты известных работ А.Д.Гэлэнина, Б.А.Дементьева, А.Е.Рудика, А.й.¿борова, С.Б.Шихова и посвящен выводу уравнения переходного процесса в управляемом ядерном реакторе, в предположении, ч?о при ¿^о реактор находился в стационарном состоянии и процесс в нем описывался уравнением Больцмана

=15 $ЧЦк^^^мЩ^й', ^ №

АХ

и что в момент времени 1=0 ъ активную зону реактора ввели стержни управления. Тогда вместо критического коэффициента раз-мноаения /Скв будем иметь К^л-ЪкЦ) , где - возму-

щение реактивности, вносимое регулирующими стержнями (иными словами - управление). В этом случае с моменте

¿= 0 в реакторе начинается нестационарный процесс, который описывается интегро-дифференциальным уравнением Больцмана вида

_.-^тл чЧЛ^М) ^(-м) ч> -

=ч>(л*Д I) [V 12 %

А/

■X Хч/М^ Vй'

С I 0

[¿^Те/г ¡[хк + Ш', Ь- г) А ъ

Задачи управления переходным процессом в реактора, в предположении, что этот процесс описывается соотношениями, приводимыми в данном параграфе, решаются в дальнейшем в главах 3-5.

; ВТОРАЯ ГЛАВА диссертации посвящена исследованию задачи оптимизации стационарных процессов диффузии нейтронов, переноса излучения и вредных примесей з атмосфере.

Первый параграф обобщает результаты работ А.Д.Галанина, И.Егорова, К.Кейза, П.Цвайфеля и посвящен исследованию задач яа определение 'минимальных критических размеров реакторов различных геометрий, в случае, когда процесс описывается уравнением переноса типа (I) и учитывается наличие сплошного спектра и соответствующего ему континуума собственных значений однородной зтационарноЯ граничной задачи.

Плоская задача на критичность реиалась многими авторами. Здесь гее задача критичности плоского реактора сначала сводится к сингулярному интегральному уравнению

еде

Мс, а числа С>( и а характеризуют критический коэффициент размножения и размеры реан-гора, - модуль чисто мнимого корня дисперсионной функции

Лш -!-С±АМ с/А).

Уравнение (3) методом регуляризации сводится затеи к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода

= Я/4) (4)

0 (здесь З^^АШсЬСй/А^

с ОГрбНЕЧЕЙЕКЦИ ял?0, ^ членом оСлас.

та п ^ , смаиоияво# Таким обрезом,

конко веси речь о рет гдакся «редгоаьма (4) в обычном смысле, т.е. 0 раскат его Е хла2се 0Гр5Щ!гекншс

(и, разумеется, «.«и*««) -к,^. Поскольку можно пай**

явный вид ядре ^ и сгонного члене в зависимости

£'С ^ * ^ ' 10 ножйо «решить знзченЕя критического ковф-

:'::"еНга С 2 р£5Д:ера ¿2" , гриводящае к критической

какфигурацЕК реактора ?ете2Щческо& формы. Но введу

громоздкости указанных к отмнв, нельзя получить

НС ни условия «»ипюося, де к^еп» для связанной с ним

стационарной фазовой гкяезхк в&грж. Однако можно указа**

итерационный процесс, ^стро сходятся к регекию.

Сформулируем нескор теорем, яииюъ. из Фредгольмовост интегрального уравнения (4),

Т20РШ I. к £ с.-ЕК£е, «0 шьет место неравенство

то уравнение ¿4) шеет едквсззенное решение Я(м)еС[0/} яри любой руагщки [¿7,/]

ТЕОРЕМА 2. Если суаесггую С и а > грл которых выполняемся неравенство / '

< I

го уравнение (4) тег егвгосгсгво? реденго ^>€¿^¿7,/]

при любой функции /.*[<?,/] _ '

ТВОРШ 3. Если одаороям урезает, сссивмиувдее уравнению (4), разрешимо (шее* кггратЕглыгов рдавяэ), то неоднородное уравнение (4), ьоо^з ггюря, не гзарезао. Оно будет разрешимо тогда и только аогдг, когда фуггщпп ^ будет ортогональна в [0, /] ко ъоех сссзногс огородного уравнения,

отвечающим данным значениям С я и -

Зо втором параграфе глаза 2 oSoizагтся результаты Г.И.Узр-чуаа и изучаются свойства ре^знурознзн;:й перенссз и диффузии аэрозольной субстанции з басконеч^сй среде з прэстейлих случаях. Сначала рассматривается простейшее диффузионное уравнение

которое при условии, что коэффициент диффузии cons' ~>G , сводится к уравнению /

+2.UXуflSU-, (5)

J - J, J *

где 6"=/Да), Q'Qf/Я, время зизнз

частиц аэрозольной субстанции, Я - характеризует коэффициент размножения, а ¿7 - мощность источников чзстлц. Ищется нзпре-рьшное ресеяиа уравнения (5 ), исчезасцээ при X—— +<» Доказана следующая теорема.

TZ0PZJA Если 6"~> Л , то урзвнезие (5') имеет решение > экспоненциально и симметрично убывающее в сбэ напрзз-ления от Х-Х0 . При этом количество зезестзз аэрозольной субстанции в рассматриваемой бесконечной среде вычисляется по фор-

f +е»о _____

муле J djx J ak = 4Q/y/Q~ I •

Показывается^что при Si Я указанная предельная задача не имеет решения.

Третий и четвертый параграфы второй главы посзяцэны исследованию уравнения (5) при условии, что коэффициент диффузии Й)=ЯХ,1Л~ переменная величина. При этом рассматриваются разлзч-

J

нке виды зависимости коэффициента диффузии от аапразлеяая движения частиц. Нестандартный характер рассматриваемых задач порождает необходимость специального их исследования. К особенностям этих задач следует отяэстя лрэадэ зеего тот фз.тг, что

здесь наряду с дискретными йодами - собственными функциями, соответствующими дискретной части спектра собственных значений однородной краевой задачи, необходимо учитывать еще и континуум мод - собственные функции, соответствующие непрерывному спектру собственных значений однородной краевой задачи переноса.

В простейшем случае, когда учитываются лишь дискретные собственные значения соответствующей однородной краевой

задачи, доказана теорема.

ТЕОРЕМ 5. Если коэффициент диффузии изменяется по закону

и экспоненциально и симметрично убывающее в оба направления от

Если 2,Т0>1 , то соответствующая однородная краевая задача имеет четыре дискретных собственных значения. Найдено решение указанной предельной задачи к в этом случае, и доказана теорема.

ТЕОРЕМА 6. Если коэффициент диффузии изменяется по закону 2)(/и)=$/Т0 и 3.7">/. то диффузионное уравнение (5) имеет решение , экспоненциально и симметрично убывающее в оба направления от х= Л0 .

--Бычиспвно_тзжв_КбЛ1честзо вещества аэрозольной субстанции

в рассматриваемой бесконечной среде в случае отсутствия непрерывного спектра однородной краевой задачи переноса.

Интересным является случай, когда рассматриваемая предельная задача имеет собственные функция, отвечающие непрерывному спектру. Тогда полная и ортогональная с весом ^ в промежутке [-({^система дискретных и континуума мод функций определяются

ОС ** З&ф

ПО формулам 2 г 2

2 2 Доказана следующая георема.

ТЕОРЕМА 7. Если коэффициент диффузии изменяется по закону ' и Учитывается весь спектр (дискретный и

непрерывный) собственных значений однородной задачи переноса, то уравнение (5) имеет решение, представимое в виде

тт г/гп { ^

оно экспоненциально и симметрично убывает в оба направления от

Количество вещества аэрозольной субстанции в бесконечной среде вычисляется по формуле , " . , „ ,

i 4 pg i tí Mf « Z /

Здесь " известное число, - нормировочный коэффициент

для континуума мод Ч^С/) /] , ^yHG./])•

TEQPEfiA 8. Если коэффициент диффузии изменяется по закону > т0 решение диффузионного уравнения (5) убывающее в oda направления от Jc=X0 в случае можно представить в виде i ,

■ f .t_л<р , . ¿p-ttfd.

'с\di;

а в случае \Ja > / - в виде

ЧЧя,^-«

-(Л-ЛЛ/оС. , Р ' Н / Л, ^ уу

»Л/ ^ 1Л-Д

О

Здесь с и Д(.)- известные коэффициенты, определяемые через £)(<х) и нормальные моды (Цр) [-/, Ф .

Далее строится решение поставленной задачи в случае, когда

в уравнении (5) коэффициент диффузии изменяется по закону -

В параграфа патаа второй главы доказано, что если диффузия субстанций Л индустриальных объектов определена уравнением

и краевыми условиями

т>г

/>51. '/^я. при (дггл)<01

то оптимизационная задача нахождения совокупности плакируемых' выбросов ¿?. (¿^...^ , которая обеспечивала бы предельно допустимые дозы аэрозольного загрязнения

Чг£ < Ск /77•)

при ыинимшшшх затратах, т.е.

т

'¿/2

на технологическую реконструкцию предприятий, обеспечивающую установленный объем выпуска продукции при заданном уменьшении выбросов, сводится к задача линейного программирования

то отысканию оптшгалигса наЗа?а £ , /г).

1?й1ьл ГЛАЗА ДШг<»рюншаг£но& работы посвящена за;

дачам об

оптимальном управлении процессом теплопроводности и управляемости процессов диффузии и переноса. Б первом параграфе на примере одной частной задачи излагается методика отыскания приближенного значения минимума квадратичного функционала в линейной системе с распределенными параметрами без ограничений на область управлений. Рассматривается задача об оптимальном управлении процессом, который описывается краевой задачей для одномерного уравнения теплопроводности. Она исследовалась во многих работах, в которых были получены необходимые условия оптимальности, доказаны теоремы существования и единственности, а также указаны различные примеры построения приближенных решений без получения соответствующих оценок погрешности. Здесь же на основе необходимых и достаточных условий оптимальности получено интегральное уравнение типа Фредгольма относительно оптимального управления. Это уравнение решается приближенно и даются необходимые оценки погрешности. В результате оказывается, что процесс аппроксимации сходится быстро и при решении конкретных задач можно ограничиться третьим или даже вторым приближением. Далее эта же задача решается методом, основанным на сведении краевой задачи к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и сравниваются приближенные решения задачи оптимального управления, полученные двумя различными методами: методом' основанным на использовании интегрального уравнения и методом конечномерной аппроксимации.

Во втором и третьем параграфах третьей главы исследуется проблема управляемости процесса переноса частиц, который описывается линейным интегро-дифференциальным уравнением Больцмана. Ради упрощения вычислений.предполагается, что допустимые управления не зависят от пространственных координат, а являются функциями времени £ , и в отличие от случая, рассмотренного' в § Ь

главы I, входят не в коэффициент при состоянии системы (плотность частиц), а в свободный член уравнения Больцмана (в функцию, характеризующую мощность источников частиц). Сначала решается стационарная однородная задача переноса. Решение зтой задачи разлагается по нормальным модам: по совокупности дискретных и континуума мод, соответствующих дискретному и непрерывному спектрам собственных значений однородной задачи переноса. Далее по найденным нормальным модам разлагается решение нестационарной задачи переноса и даются различные формулировки задачи управляемости процессом переноса частиц. В четвертом и пятом параграфах главы 3 показывается, что сформулированная задача об управляемости процессом переноса сводится к бесконечномерной проблеме моментов и приводится решение полученной проблемы моментов. Приведем основной полученный результат.

Допустим, что в момент ¿=0 в активную зону реактора ввели стержни управления. В этот момент критический коэффициент размнояения нейтронов Ккр изменяется - получает приращение (избыточная реактивность) - и в реакторе возникает нестационарный процесс, который в области -а^ х ¿¡й. ^ ОйЬ^Т описывается нестационарным линейным уравнением Больцмана

СЧ О

с краевыми условиями

где Ц^Сл^)- решение стационарной однородной задачи, соответствующей задаче (6), (7), ЧН&^.Ъ - плотность нейтронов в точке в момент времени í ; - сечение ядерных реакций с

учетом количества запаздывающих нейтронов I й группы; Я; -время жизни запаздывающих нейтронов ¿" группы; плотность источников нейтронов в точке в момент времени

t , симметрична по переменны!! л , /к и представина в виде

-i -а допустимые управления ÜJJ.) /] и U0+Li)~ суть произ-

вольные функции из L [О, Г] . В представлении (8) -

нормальные моды однородной краевой задачи, соответствующей задаче (б), (7):

Здесь q>0+ (jh-) - дискретные моды, отвечающие дискретным собственным значениям, a í-f^cjHV (<¿6 ["/, íl") - континуум мод-отвечающих непрерывной части спектра собственных значений однородной краевой задачи переноса.

ТЕОРЕМА 9. Если числа jL¿, С>1 такие, что

выполняется неравенство

V -к > (C~n(/V+ О (20)

™ S:

1=1 1 ■ и, кроме того, при выбранных С и S уравнение (4) имеет решение £W)=AU)cfiCa/dO , где функция A(JJ) удовлетворяет неравенству |/}(о01<ов « 10 задача об управляемости процесса (б)-(8), а именно, задача о существовании допустимых управлений ¿Ijtt) (с££ Н. /]"), таких, что соответствующее им решение задачи (5), (7) удовлетворяло конечному условию

Ф^,^ (II)

и чтобы после момента времени Т достигнутое стационарное распределение Ц^(ду>0 оставалось неизменным при

при всех ¿>Г , имеет единственное решение и это решение пред-ставимо в виде

¡0+ <><*■

В последнем, шестой параграфе главы 3 рассматривается случай, когда функция, характеризующая мощность источников частиц, линейно зависит от управляющей функции и дается другой подход к решению бесконечномерной проблемы моментов, полученной в четвертом и пятом параграфах этой главы.

В четвертой главе, состоящей из семи параграфов, решаются динамические задвчи оптимизации процессов диффузии нейтронов и переноса излучения. Б первом параграфе дается постановка задачи об оптимальном по быстродействию управления процессом переноса при различных предположениях относительно диффузии нейтро- ( нов и форме реактора. При этом предполагается, что управляемый объект описывается интагро-дифференциаль'ным уравнением Больцма-на. Процесс переноса нейтронов рассматривается в реакторе, имеющем плоскую геометрическую форму • Предполагается также, что допустимые управления не зависят от пространственных координат и являются функциями времени 6 и входят в коф-фициент при состоянии системы. Во ьтором_параграфе-атой-главы-

показано, что поставленная задача об оптимальном по быстродействию управлении процессом переноса, описываемым нестационарным уравнением Больцмана с помощью собственных функций, отвечающим дискретному и непрерывному спектрам собственных значений соответствующей однородной стационарной граничной задачи переноса, сводится к аналогичной задаче для сеиействэ дифференциальных

- 23 -

^ а

уравнений. В следующих двух параграфах задача оптимального быстродействия процессом переноса сводится к решении некоторого семейства интегро-дифференциальных уравнений, а затеи к решению следующего семейства интегральных уравнений (и.у.) типа Вольтерра

°t

да - w- c¿e к i ],

где требуется найти "допустимое управление d/((é) , удовлетворяющее условию j S/f(¿)|4 ЪКтах и такое, чтобы соответствующее ему решение семейства и.у. (14) удовлетворяло

условиям

%Д7U€ [-/,/]) (15)

при минимальйом положительном Т и, кроме того, V¿e[OtT] долано выполняться неравенство t

ччy . ^= (/)+ex¡da^ dd > o.

-i

Здесь %+iJft\%(.J<i)Ue[-l,l]) - нормальные моды однородной граничной задачи переноса, определяемые по формулам (9); Qq+Ф),

/у [-/,/jr известные функции, для которых

выведены двусторонние оценки, необходимые в дальнейших исследованиях задачи (14), (15). А в пятом параграфе дается метод решения этой задачи. А именно, доказана теорема, из которой следует, что при любом допустимом управлении £л\t) соответствующая ему функция - решение первого из уравнений (14), не мо-

жет обращаться в нуль и, тем более, принимать отрицательные значения в любой конечный момент времени, чего нельзя сказать о функции (de Г-/, / ]) - решении второго из уравнений

(14), где ядро KJJ.) Ые К О") Б доказанных в предыдущих параграфах неравенствах принимает только отрицателхяыз знетззш.

Этот факт на позволяет игнорировать фазовое ограничение в задаче оптимального быстродействия и затрудняет использование принципа максимума Понтрягина. Поэтому для решения задачи (14), (15) применяются методы функционального анализа, для чего задача (14), (15) сводится к бесконечномерной проблеме моментов

i cíe)

J о

f/£i (7- Sx(i)dt-fa, «¿6 С-/, / ] ,

.. o

где 2o+ , 2ol_Cpl6f-/, — известные величины. Показывается, что решение задачи (16) имеет "вид (

где величины ,^(<¿6[-/,/]) удовлетворяют условию

Шестой параграф главы 4 посвящен исследованию проблемы управления с минимальной энергией для процесса переноса частиц, который описывается линейным интегро-дифференциальным уравнением; Больцмана, при условии, что процесс переноса частиц осуществляется в реакторе, имеющем плоскую геометрическую форму и что допустимые управления, как и в предыдущих параграфах этой главы, не зависят от пространственных координат, а являются функциями времени t ив отличие от предыдущих параграфов, входя^ в свободный член уравнения - в функцию -FCr¿/) > характеризующую мощность истозников-частид—С-помошью-нормальных— мод - дискретных и континуума мод, отвечающих дискретному и непрерывному спектрам собственных значений соответствующей однородной стационарной задачи переноса, проблема управления с минимальной энергией для процесса переноса также сводится к бесконечномерной проблеме моментов. В последнем, седьмом, параграфе главы 4 различными методами решается проблема моментов, получен-

ная в § 4.6, при разных предположениях относительно функции «Кдук,/, ¿1) » характеризующей мощность источников частиц. Даны структуры решений задачи и функциональных пространств, содеряа-щих эти решения.

Имеет место

ТЕОРЕМ 10. Пусть управляемый процесс описывается краевой задачей (б), (7), где имеет вид (8), а допустимы-

ми управлениями являются произвольные функции (е£€[-/,/]') . Пусть далее С>1,й, , входящие в уравнение (6) такие, что выполяется неравенство <10).'

Тогда задача об управлении с минимальной энергией, а именно, задача о переводе системы (б), (7) из состояния Н^О! ») в

у

состояние (II) за время Г и, чтобы при этой функционал

1 I -

принимал наименьшее возможное значение,, имеет единственное решение и это решение представзшо в виде (12), (13), а соответствующее минимальное значение функционала вычисляется по формуле

Далее в этом параграфе рассматривается случай, когда вместо (8) имеет место равенство

Ш) (И)

и задача об управлении с минимальной энергией (6),(7),(П),([7) сводится к бесконечномерной проблеме моментов, а именно, к семейству и.у.

(и, т-{№)^ъие[-и1) , (19) ;

О О

при условии, что 3[и] из (17) достигает своего минимального • значения. Здесь И^С^)(о1б[-/,/],)опрвделяются по формулам (13)

Ь^ ^ибК/З)- известны.

- 2 Вводится пространство Гильберта ¿+[-/,/] с элементами

» которые удовлетворяют условию

И ЯПЯ К0Т°РЫХ определено скалярное произве-

дение

и положительный оператор Г , действующий из [-/,/] в ¿+[-/,/] Вводится также энергетическое пространство НГ оператора Г . Имеют место следующие теоремы.

ТЕОРЕМА II. Если в (19) > ^Л^"6^ пРинаДлекиг

пространству [-/,/] > то проблема моменховуопределяемая условиями (17) и (39), сводится к отысканию функции

(с^ (74) , , в которой ,СА](р1е[-1, /Г) является элементом пространства

Нг , доставляющим минимальное значение функционалу

т)={Гс,с)-2ц>с) в ■ нг.

ТЕОРЕМ 12. Для существования элемента £'={С0+1Со1.}в///- , . доставляющего минимальное значение функционалу ЮСС)\ необходимо и достаточно, чтобы "существовала постоянная М>0 такая! что неравенство справедливо для всех Се.1^ [-/,/]

Таким образом, в четвертой главе решены динамические задачи оптимизации процессов диффузии нейтронов и переноса излученщ а именно: задача об оптимальном по быстродействию управлении процессом переноса нейтронов, при условии;-: что допустимые управления входят в коэффициент при состоянии системы; проблема упраз ления с минимальной энергией для процесса переноса частиц, в сл^ чае, когда допустимые управления входят в свободный член уравнения Больцмана - в функцию, характеризующую мощность источников частиц. Принципиальное отличие исследованных здесь задач от тех, которые рассмотрены другими авторами заключается в том, что здесь наряду с дискретными модами - собственными функциями, отве-

чающими, дискретной части спектра собственных значений, возникла необходимость учета еще и континуума мод - собственных функций, отвечающих непрерывному спектру собственных значений однородной стационарной граничной задачи переноса. С помощью нормальных мод - дискретных и континуума мод, отвечающих дискретному и непрерывному спектрам собственных значений соответствующей однородной стационарной задачи .'Переноса, проблема управления по быстродействию, а также проблема управления с минимальной энергией процессом переноса, сведена к бесконечномерной проблеме моментов, которая затем решается в соответствующих функциональных пространствах. Даны структуры решений задач и функциональных пространств, содержащих эти решения.

Пятая, последняя, глава посвящена применению метода динамического программирования к решению различных задач управления процессами диффузии и переноса. Хороко известны успехи, достигнутые з применении этого метода для исследования управляемых дискретных и непрерывных систем с конечным числом степеней свободы. Особо следует подчеркнуть результаты, полученные в решении задач оптимальной стабилизации, где синтез методов Ляпунова и Беллмана позволил построить стройную теорию. Иная ситуация сложилась к настоящему времени в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами. Здесь опыт применения метода Беллмана оказалсы менее богатым. Трудности заключаются не только в исследовании уравнения Беллмана, но и в получении удовлетворительной формы самого уравнения. Результаты, кратко изложенные в книге:Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами (М.:Наука, 1978.-4-бЗс.), показывают, что наиболее подходящим в этой ситуации является аппарат обобщенных решений краевых задач, а также понятие дифференциала Фреше.

- 28 - ■

Такой подход позволяет не только развить некоторые аспекты теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, но также указать пути приближенного решения задачи синтеза оптимального управления, по крайней мере в некоторых частных . случаях. Здесь мы ограничиваемся рассмотрением этого круга вопросов применительно к задачам управления процессами диффузии и переноса.

Б первом параграфе главы 5 излагается применение метода динамического программирования к решению задач оптимального управления, когда процесс описывается краевыми задачами для уравнения переноса частиц. Во втором параграфе показывается, что построение синтеза оптимального управления процессом переноса в задаче минимизации квадратичного критерия сводится к решению интегро-дифференциальной краевой задачи типа Риккати. Третий параграф главы 5 посвящен реиеникт интегро-дифференциальной краевой задачи Риккати, ..полученной во втором параграфе, методом раз-лонения ее решения по нормальным модам (9) однородной стационарной граничной задачи переноса. В четвертом параграфе с помощью результатов, полученных в § 3, строится синтезирующее управление

120)

в задаче оптимизации процесса переноса частиц. Здесь -' известные функции.

_Пятый параграф ггппвящан пртянян.иа_цмпдд_диняи1тояр.кпгп-

программирования к задаче синтеза оптимального управления процессами переноса при неполных измерениях, т.е. при условии, что измеряемая переменная является некоторым функционалом, определенным на состоянии системы. Предполагается, что управляемый процесс, как и выше, описывается с помощью интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Показывается, что указанная задача синтеза

сводится к уравнению Беллмана, а решение последнего в свою очередь сводится к решению интегро-дифференциальной краевой задачи типа Риккати. Последний, шестой, параграф главы посвящен выводу формулы синтеза оптимального управления процессом переноса частиц при условии, что измеряемая переменная связана с состоянием системы по формуле

где - функция, характеризующая способ измерения, предпо-

лагается заданной. С этой целью сначала методом разложения по нормальным модам (9) однородной стационарной граничной задачи переноса ищется решение интегро-дифференциальной краевой задачи Риккати, выведенной в предыдущем параграфе. Затем в результате подстановок и некоторых преобразований строится синтезирующее управление

а '

_ -а -1 -

в задаче оптимизации процесса переноса при неполных измерениях.

Здесь ~ известные функции.

Надо отметить, что-в этой главе приведены формальные процедуры получения оптимальных управлений процессами переноса частиц ' с помощью динамического программирования Беллмана. Б дальнейшем необходимо провести обоснование полученных результатов и прежде всего показать, что управление (20) (или (21)) принадлежит клас-зу допустимых управлений, а отвечающая ему функция ЧЧ«*,^,/) ■ эднозяачно определяется соответствующим интегральным тождеством, фиведенным в пятой главе диссертации и соответствующими краевы-ш условиями.

Таким образом, в диссертационной работе разработана целостен методика исследования динамических систем, включающая ыатв-атические методы анализа, оптимизации и моделирования процессов

теплопроводности, диффузии частиц аэрозольной субстанции и переноса излучения, при этой задача оптимизации поля нейтронов, переноса излучения и диффузии вредных примесей в атмосфере сформулирована и решена как единая*математическая задача управления процессом диффузии.

Развиты математические методы анализа и синтеза оптимальных управлений процессами теплопроводности, диффузии частиц и переноса излучения при различных критериях эффективности в системах интегро-дифференциальных уравнений Больцмава и даны различные формулировки задачи управляемости процессом переноса излучения, получены достаточные условия их разрешимости, а такие разработаны методы решения задач синтеза оптимального управления процессами диффузии частиц и переноса излучения при неполных измерениях.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В

, швдщда: работах

1. Рафатов Р. Энергетический метод для интегро-дифференциальных уравнений.//Сборник.научных трудов (математика).-Фрунзе:ФПИ, 1973,вып.62.-с.71-77.

2. Егоров А.И.,Рафатов Р. О приближенном решении одной задачи оптимального управления.//Журн.выч.матем.и матем.физ.-1972., т.12,№4.-0.943-959.

3. Рафатов Р. Об управлении процессом переноса нейтронов в ядер-ных-ре акторах.-//Труды~ф1Ш~( г ехнич7кйбернетика)~Фрунзе:1976.

вып.95.-с.135-140.

4. Рафатов Р. Применение метода Беллмана к решению одной задачи управления ядерным реактором.//Труды ФПИ (технич.кибернети-" ка).-фрунз е:ФПИ,1976.Вып.95.-с.141-147.

5. Шарпеналиев Ж., Рафатов Р., Рсмащенко А.И. Оптимальный синтез автономных приводов по расходу энергии при фиксированном

- 31 -

времени перехода движения.//Тезисы докладов I Международного семинара соц.стран "Научн;космич.прибостроение".-М.:ИКИ АН СССР,I976.Вып.I.-с.147-150.

6. Иаршеналиев X.,Рафатов Р. Оптимальный алгоритм для построения дискретных регуляторов методом моментов.//Тезисы докладов П Всесоюзной конферении по оптим.управ.в механич.системах.-Казань, 1977.-с. 36-37.

7. Шаршеналиев ж.,Рафатов Р. Алгоритм построения оптимального управления дискретными системами методом моментов.//Изв. вузов СССР.Приборостроение.-1979,т.22,№9.-с.28-33.

8. Рафзтов Р. Уравнение Беллмана для одной задачи оптимального управления процессом переноса частиц.//Труды ФПИ (Некоторые задачи теории и.-д.у. и оптим.управл.).-Фрунзе,1979.-с.85-90.

9. Рафатов Р., Палько B.C. Математическая модель оптимального управления расходами воды на канальных системах.//Труды ФПИ (Некоторые задачи теории интегро-дифференц.уравнений и оптимального управления).-Фрунзе,1979.-е.91-98.

10. Рафатов Р. Оптимальное управление процессом переноса частиц при неполном измерении.//Тезисы докладов Республ.научн.техн. конф."Состояние и перспективы развития технических наук'в Киргизии".-Фрунзе, 1980.-е.

11. Рафатов Р. Об одном приближенном методе решения задачи оптимального управления упругими колебаниями.//Тезисы Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости.-Фрунзе:Илим,

. 1985.-с.344-346.

12. Рафатов Р. Уравнение Беллмана в одной задаче оптимального управления процессом переноса частиц.//Тезисы Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости.-Фрунзе:"йлш", 1985.-с.305-306.

- 32 - •

13. Рафатов Р. Оптимальное управление процессами переноса нейтронов в ядерных реакторах методом аналитического конструирования по критерию обобщенной работы.//Тезисы докладов П Всесоюзного совещания по адаптивным системам.--Фрунзе:"Илга1", I985.-c.6I.

.14. Рафатов Р. Оптимальное по быстродействию управление переходным процессом в ядерном реакторе.//Тезисы докладов конф.матем. механ.Киргизии,посвященной 70-летию Октября.-Фрунзе,1987.-с.58.

15. Рафатов Р., Палько В.С. Математическая модель оптимизации расходов воды на канальных.системах.//Гезисн докладов конф. матем.механ.Киргизии,посвященной 70-летию Октября.-Фрунзе, 2987.-c.59. '

16. Рафатов Р. Оптимальное управление процессов иврэноса частиц при неполном измерении.//Исслед.по кнтегро-Ей£-5.ур.-Фрунза: "йлим",1987,ВЫП.20.-С.256-264.

17. Шаршеналиев Ж.,Рафатов Р.,Калманбетов М.К. ОнгшшЭзде процессов переноса частиц по критерию обобщенной работ.//1зв, АН Кир.ССР.-физ.-тех. и матем.науки.-1989.№2.-с.23-32.

18. Рантов Р. Управление с минимальной энергией для уравнения переноса.//йсслед.по интегро-дифф.ур.-фрунзе;"Илими,1989.-

V Вып.22.-С.193-199.

19. Рафатов Р. Об интегро-дифференциальных уравнениях переноса частиц7//Сб.научн.трудов ФЩ. (Некоторые задачи теории диф.,

и.-д.у.~и их приложений.)-Фрунзе,1989.

20. Рафатов Р. Стационарная задача переноса и диффузии примесей в атмосфере и ее решение.//Оптимальное управление системами с особенностями.-фрунзе:-1990.-с.15-21.

- зз -

21. Егоров Л.И.,Рафатов Р. Математические методы оптимизации

. процессов теплопроводности и диффузии.'-Фрунзе:"Илии",1990. -337с.

22. Рафатов Р. Интегральные уравнения в одной задача оптимизации процоссов диффузии.//Исслед.по интегро-дифф.ур.-Фрунзе:"Илин" 1991.-Вып.23.-с.51-ге.

23. Рафатов Р. Решение задачи синтеза оптимального управления процессом переноса частиц.//Тезисы Международной математической конференции "Ляпуновекие чтения", посвященной 100-летию создания А.М.Ляпуновым теории устойчивости движения,-Харьков, 1992.-е.131-132.

24. Рафатов Р. Исследование задачи оптимизации процессов переноса при пополных измерениях.//Сб.научн.трудсв:Математичес-нив методы оптимизации, ИА АНРК.-Бишкек,1992.-с.68-74.

25. Егоров А.И.,Рафатов Р. Управление с минимальной силой процессом переноса частиц.//Автоматика.-Киев,1993.-№!.__