Математические задачи ньютоновской аэродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 571.938, 517.97

4846В/О

Плахов Александр Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НЬЮТОНОВСКОЙ АЭРОДИНАМИКИ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2011}

1 9 МАЙ 2011

4846878

Работа выполнена на кафедре оптимальных проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН,

профессор Трещев Дмитрий Валерьевич;

доктор физико-математических наук, профессор Арутюнов Арам Владимирович;

доктор физико-математических наук, профессор Левин Владимир Львович.

Ведущая организация:

Владимирский государственный университет.

Защита состоится 10 июня 2011 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 28 апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук

профессор В. Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению задач о наименьшем аэродинамическом сопротивлении, о биллиардном рассеянии на препятствии и связанной с ними задачи Монжа-Канторовича.

Актуальность темы. Задача о наименьшем сопротивлении была впервые поставлена Ньютоном в его книге "Principia". Рассматривалось тело, движущееся в разреженной среде неподвижных точечных частиц, в предположении, что частицы не взаимодействуют между собой, а при столкновении с поверхностью тела отражаются от нее абсолютно упруго. Ньютон рассмотрел задачу о нахождении формы тела, при которой сила сопротивления движению тела в среде минимальна, в классе выпуклых тел фиксированной длины и ширины, обладающих вращательной симметрией относительно оси, параллельной направлению движения.

Эта задача сводится к минимизации функционала

I! îïh)dr (1)

в классе выпуклых неубывающих функций ip : [0, 1] [0, h]. Здесь график функции г = ~<р(^х2 + у2) определяет верхнюю часть границы тела в подходящей системе координат (в которой движение происходит вверх вдоль оси Oz), a h обозначает высоту тела. Ньютон описывает тело наименьшего сопротивления, но не дает никаких указаний на то, каким образом оно найдено. В настоящее время принято считать, что эта задача послужила одним из истоков вариационного исчисления и даже оптимального управления1.

Впоследствии математики неоднократно обращались к задаче Ньютона и ее модификациям. Как правило, модификации заключались в том, что задача минимизации функционала (1) рассматривалась в классах функций, отличных от ньютоновского. Так, в работе Лежандра2 задача минимизации (1) рассматривалась при условии, что длина графика функции / (а не ее амплитуда h) постоянна.

В 1993 г. начался новый этап в изучении этой задачи. Была поставлена задача о минимизации сопротивления в классе выпуклых (не обязательно осе-симметричных) тел, вписанных в заданных прямой круговой цилиндр (скажем, радиуса 1 и высоты /г)3. Она сводится к минимизации функционала

_Ш+тхж*с*и {2)

'Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. - 2-е изд. - М., Физматлит, 2005.

2Legendre, A.M. Mémoire sur la Manière de distinguer le Maxima et les Minima dans les Calcul des Variations. Mémoires de L'Académie royale des Sciences, Année MDCCLXXVI (Paris 1788), pp. 7-37.

3G. Buttazzo and B. Kawohl. On Newton's problem of minimal resistance. Math. Intell. 15, 7-12 (1993).

в классе выпуклых функций / : О. [0, h], где Q — единичный круг. Таким образом, от одномерной вариационной задачи перешли к (намного более трудной) задаче в двух измерениях. Она до сих пор не решена полностью; тем не менее в статьях4 был получен ряд важных результатов. В частности, было доказано, что решение задачи (2) существует и не является осесиммет-ричным, а следовательно, наименьшее сопротивление меньше ньютоновского. Были установлены некоторые свойства минимизирующей функции. Кроме того, было найдено решение в более узком классе функций, график которых есть выпуклое замыкание объединения единичной окружности в плоскости 2 = 0 и выпуклого множества в плоскости z = h5.

В статье3 был также поставлен вопрос о нахождении тела наименьшего сопротивления в различных классах невыпуклых тел. Значительные результаты в этом направлении были получены Комте и Лашан-Робером6. Некоторые задачи были ими с большой изобретательностью решены в предположении, что каждая частица среды испытывает не больше одного соударения с телом. Это предположение получило название single impact assumption. Оно является необходимым и достаточным условием для того, чтобы сопротивление тела выражалось формулой (2), и поэтому служит необходимой предпосылкой для применимости вариационных техник к задаче минимизации сопротивления.

Без этого предположения, однако, вопрос о наименьшем сопротивлении невыпуклых тел некоторое время оставался открытым. Впоследствии стало ясно, что задачи такого рода следует решать с привлечением математической теории биллиардов. В настоящее время эта теория достигла высокого уровня развития; обзоры по этой теории, разной степени трудности и охвата материала, можно найти, например, в книгах7. Детально изучены биллиарды внутри ограниченной области (к таким биллиардам можно свести и газ Лоренца); имеются результаты о биллиардах в неограниченных областях (к ним относятся и результаты по оценке числа соударений в системе конечного

4F. Brock, V. Ferone, and В. Kawohl. A symmetry problem in the calculus of variations. Calc. Var. 4, 593599 (1996); G. Buttazzo, V. Ferone, and B. Kawohl. Minimum problems over sets of concave functions and related questions. Math. Nachr. 173, 71-89 (1995); G. Buttazzo and P. Guasoni. Shape optimization problems over classes of convex domains. J. Convex Anal. 4, 343-351 (1997); T. Lachand-Robert and M. A. Peletier. An example of non-convex minimization and an application to Newton's problem of the body of least resistance. Ann. Inst. H. Poincaré, Anal. Non Lin. 18,179-198 (2001); T. Lachand-Robert and E. Oudet. Minimizing within convex bodies using a convex hull method. SIAM J. Optim. 16, 368-379 (2006).

5T. Lachand-Robert and M. A. Peletier. Newton's problem of the body of minimal resistance in the class of convex developable functions. Math. Nachr. 226, 153-176 (2001).

6M. Comte and T. Lachand-Robert. Newton's problem of the body of minimal resistance under a single-impact assumption. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 12, 173-211 (2001); M. Comte and T. Lachand-Robert. Existence of minimizers for Newton's problem of the body of minimal resistance under a single-impact assumption. J. Anal. Math. 83, 313-335 (2001).

7Г.А. Гальперин и A. H. Земляков. Математические бильярды. M.: Наука, 1990; Г. А. Гальперин и Н.И. Чернов. Биллиарды и хаос. М.: Знание, 1991; В. В. Козлов и Д. В. Трещев. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991; S. Tabachnikov. Billiards, Paris: Société Mathématique de France (1995); S. Tabachnikov. Geometry and billiards. (Student Mathematical Library, Vol. 30.) Providence, RI: AMS, 2005; N. Chernov and R. Markarian. Chaotic billiards. American Mathematical Society, 2006.

числа шаров)8. Однако, по-видимому, мало или совсем не изучался биллиард во внешности ограниченной области в евклидовом пространстве Rd.9 Такая теория могла бы сыграть роль корпускулярного аналога теории волнового рассеяния на препятствии.

Еще одна математическая дисциплина, которая также оказалась тесно связанной с задачами о наименьшем сопротивлении, — это задача Монжа-Канто-ровича об оптимальном переносе массы. Она весьма динамично развивается начиная примерно с середины 80-х гг. (см. книги и обзоры10). По-видимому, описание оптимального транспорта в явном виде может быть получено лишь в некоторых весьма редких случаях; тем не менее, представляет интерес выявление таких случаев и описание точных решений. (Ситуация здесь такая же, как и в теории интегрируемых динамических систем.) В настоящее время известно еще очень немного таких случаев. Отметим здесь статьи Мак-Кеняа11 и Укельмана12 в одномерной задаче и В. Л. Левина13 в двумерной задаче. Мак-Кенн изучал задачу на прямой с четной функцией ценности, вогнутой на положительной полуоси. Укельман рассматривал функцию ценности с тремя интервалами выпуклости и начальное и конечное распределения массы, заданные лебеговой мерой на единичном отрезке. В. Л. Левин рассматривал начальное распределение, заданное лебеговой мерой на некоторой фигуре на плоскости — в частности, были рассмотрены прямоугольник размера 1x2, равносторонний треугольник, квадрат, — и конечное распределение, полученное из начального некоторой изометрией: прямоугольник поворачивался вокруг своего центра на 90°; треугольник поворачивался вокруг центра на 60° или отражался относительно одной из своих сторон; квадрат поворачивался вокруг центра на 45°. Функция ценности равнялась расстоянию или квадрату расстояния между двумя точками. Кроме того, В. Л. Левин рассмотрел две фигуры, полученные одна из другой сдвигом, и функцию ценности, равную

8Я. Г. Синай. Биллиардные траектории в многогранном угле. УМН, 1978, т. 33, вып. 1 (199), с. 229-230; Т. J. Murphy and Е. G. D. Cohen. On the sequences of collisions among hard spheres in infinite space, pp 29-50, in "Hard ball systems and the Lorentz gas"(Editor D. SzSsz), Springer, 2000.

'Здесь мы не касаемся теории так называемого внешнего биллиарда, в которой динамика определяется по-другому.

10S.T. Rachev, L. Riischendorf. Mass transportation problems. Vol. J: Theory. Springer, 1998; L. Ambrosio. Lecture notes on optimal transport problems. Lectures given in Madeira (PT), Euro Summer School "Mathematical aspects of evolving interfaces 2-9 July 2000; C. Villani. Topics in optimal transportation. Graduate Studies in Mathematics, 58. American Mathematical Society, Providence, HI, 2003; L. C. Evans. Partial differential equations and Monge-Kantorovich mass transfer, pp. 26-87, in "Current Developments in Mathematics" (R. Bott et al., eds), International Press, Cambridge, 1997.

nR. J. McCann. Exact solutions to the transportation problem on the line. Proc. R. Soc. Lond. A 455,13411380 (1999).

12L. Uckelmann. Optimal couplings between one-dimensional distributions. Distributions with given marginals and moment problems (ed. V. Benes k J. Stepan), pp.275-281. Dordrecht: Kluwer (1997).

13B. Л. Левин. Решение задач Монжа и Монжа-Канторовича. Теория и примеры. ДАН 388, No.l, 7-10

(2003); V.L. Levin. Optimal solutions of the Monge problem. Advances in Mathematical Economics, 6, 85-122

(2004); В.Л. Левин. Условия оптимальности и точные решения двумерной задачи Монжа-Канторовича. Записки научных семинаров ПОМИ, 312 (2004). Специальный выпуск "Теория представлений. Динамические системыXI (ответственный редактор A.M. Вершик), с 1456-1463.

квадрату расстояния. Во всех описываемых случаях оптимальный транспорт реализуется с помощью кусочно-изометрических отображений специального вида.

Цель работы. Основной целью настоящей работы является изучение задач оптимизации сопротивления движению тела в разреженной среде для различных классов как выпуклых, так и (преимущественно) невыпуклых тел, для случая поступательного движения тела и для случая поступательного движения вместе с вращением; (11) изучение задач о характеризации бил-лиардного рассеяния на невыпуклых и шероховатых телах; (Ш) получение в явном виде решения задачи Монжа-Канторовича на прямой с нечетной и вогнутой на положительной полуоси функцией ценности и задачи Монжа-Канторовича на сфере с функцией ценности, равной квадрату расстояния; (¡у) выявление связи между этими тремя видами задач.

Методы исследования. В работе систематически используются методы теории биллиардов (главы 2, 4, 6). В задачах, связанных с изучением выпуклых тел, мы обращаемся к вариационным методам (глава 3). В главах 5 и 7 используются методы оптимального транспорта массы.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем.

• Для нескольких классов невыпуклых тел в случае поступательного движения доказано, что инфимум сопротивления равен нулю.

• Подробно изучена обобщенная задача Ньютона для выпуклых осесиммет-ричных тел, движущихся в среде с тепловым движением частиц. Обнаружено, что имеется 2 вида решений в трехмерном случае и 5 видов решений в двумерном случае, и найдены условия (на скорость движения тела и распределение скоростей теплового движения), обеспечивающие принадлежность решения тому или иному виду.

• Дано определение шероховатого тела, адаптированное к задаче о билли-ардном рассеянии на поверхности. Получены результаты о характеризации законов биллиардного рассеяния на невыпуклых и шероховатых телах.

• Решена частная задача Монжа-Канторовича на прямой с нечетной функцией ценности, вогнутой на положительной полуоси, а также частная задача Монжа-Канторовича на сфере, где функция ценности равна квадрату расстояния.

• Решена двумерная задача о минимизации сопротивления невыпуклого тела фиксированной площади для случая медленного равномерного вращения. Кроме того, в случае произвольной размерности решена задача об оптимальном рифлении выпуклого медленно вращающегося (кувыркающегося) тела, обеспечивающем наименьшее или наибольшее сопротивление.

• Изучена динамика быстро вращающегося шероховатого диска, движуще-

гося на плоскости. Исследована зависимость силы и момента силы, действующих на диск, от вида шероховатости. Эта зависимость представлена в виде интегральной формулы. Задача о нахождении всех возможных сил ставится и решается как векторнозначная задача Монжа-Канторовича.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории биллиардов, в теории оптимального транспорта массы, в задачах оптимизации формы. В то же время результаты работы могут представлять интерес для космической аэродинамики и геометрической оптики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на следующих конференциях:

• Международная конференция по динамическим системам и приложениям к теоретической небесной механике, посвященная памяти В. М. Алексеева, Москва, декабрь 2002 г.

• Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, июнь 2003 г.

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004 и 2010 гг.

• 4-я Международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, авг. 2005 г.

• 22-я конференция по дифференциальным уравнениям и смежным вопросам, посвященная памяти И. Г. Петровского, МГУ, май 2007 г.

• Международная конференция по анализу и сингулярностям, посвященная 70-летию В. И. Арнольда, Москва, август 2007 г.

• XXIV Workshop on Geometric Methods in Physics, Bialowieza (Польша), июнь 2005 г.

• MSRI Workshop on Optimal Mass Transport and its Applications, Беркли (США), ноябрь 2005 г.

• Workshop on Calculus of Variations, Oberwolfach (Германия), 2006 и 2010

гг.

• ICMS Workshop on Optimal Transportation and Applications to Geophysics and Geometry, университет Эдинбурга (Великобритания), июль 2007 г.

• Workshop on Variational Analysis and Aerospace Engineering, Erice (Италия), 2007 и 2010 гг.

• Workshop on Geometric Probability and Optimal Transportation, Институт Филдса, Торонто (Канада), ноябрь 2010 г.

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных семинарах:

• МГУ им. М. В. Ломоносова, семинар по динамическим системам под рук. акад. РАН Д. В. Аносова и проф. А. М. Степина, 2002, 2003, 2004, 2006 гг, март

и сент. 2008 г, 2009 г.

• Семинар Математического Института им. В. А. Стеклова РАН, Москва,

2004, 2010 гг.

• ИППИ им. A.A. Харкевича РАН, Москва (семинар добрушинской математической лаборатории и семинар под рук. акад. РАН Я. Г. Синая): 2004,

2005, 2006, 2008, 2009, 2010 гг.

• семинар кафедры аэромеханики МГУ им. М. В. Ломоносова, 2004 г.

• МГУ им. М. В. Ломоносова, семинар кафедры теоретической механики под рук. вице-президента РАН акад. В. В. Козлова и чл.-корр. РАН Д. В. Тре-щева, 2005, 2008, 2010 гг.

• МГУ им. М. В. Ломоносова, семинар по геометрии под рук. акад. РАН А. Т. Фоменко, 2005 и 2008 гг.

• Семинар кафедры ОПУ под рук. проф. В. М. Тихомирова, МГУ им. М. В. Ломоносова, март 2010 г.

• Семинар по математической физике, Институт Прикладной Математики им М. В. Келдыша, Москва, дек. 2010 г.

• Семинар в Независимом Университете, Москва, март 2010 г.

• Семинар университета Пизы (Италия) под рук. проф. Дж. Буттаццо, 2003 г.

• Семинар по динамическим системам, Университет г. Порто (Португалия), 2003, 2004, 2007 гг.; семинар в Instituto Superior Técnico, Лиссабон (Португалия), февраль и май 2004 г. и 2005 г.; семинар в Лиссабонском университете, февр. 2007 г.

• Семинар университета Chambéry (Франция), янв. 2004 г.

• Семинар в Georgia Institute of Technology, Атланта, США, март 2006 г.

• Семинар на Филдсовском Коллоквиуме по прикладной математике, Торонто, Канада, янв. 2007 г.

• Семинар Dynamic, Imperial College, Лондон, янв. 2008 г.

• Семинар в University of Surrey, окт. 2008 г.

• London Analysis Seminar, University College of London (Великобритания), окт. 2010 г.

• Семинар в университете г. Лидса (Великобритания), окт. 2010 г.

• Семинар в Queen Mary University of London (Великобритания), окт. 2010.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах автора, рекомендованных ВАК, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из семи глав, разбитых на разделы (первая глава — введение), и списка литературы из 67 наименований. Общий объем диссертации составляет 223 страниц. Нумерация теорем, лемм, формул, рисунков — двойная: номер главы и собственный номер. В работе имеется 48 иллюстраций.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1: Введение. В первой главе вначале дана общая характеристика работы: исторический обзор рассматриваемых вопросов и формулировка задач, поставленных в диссертации. Затем даны основные определения, которые систематически используются в дальнейшем: определяются понятие тела, биллиардного рассеяния на нем и сопротивления тела.

Ограниченное множество с кусочно-гладкой границей в Ж^, (1 > 2, называется телом и обозначается буквой В. Рассматривается биллиард в \ В и выбирается выпуклое ограниченное тело С, содержащее В. Обозначим п(£) внешнюю единичную нормаль к дС в регулярной точке £ € дС и {•, •) — скалярное произведение. Обозначим также (дС х := {(£, у) 6 дС х Б*1'1 :

±мад>о}.

Для биллиардной частицы, в начальный момент находящейся в точке £ и имеющей скорость и, (£, у) 6 (дС х фиксируем точку =

в которой частица пересечет дС во второй раз, и ее скорость у+ = УдС(£,у) в этой точке. Отображение г>дС(£,и) описывает биллиардное рас-

сеяние на теле В.

Сопротивление тела В определяется как

/ \Ш,у)\<%с1Х(У). (3)

J{дCxSd-^^)-

Оно не зависит от выбора объемлющего тела С. Здесь подынтегральная функция (ценности) с : 5й-1 х 5сг_1 Е9, д > 1, удовлетворяющая условию с (у, у) = 0, и борелевская вероятностная мера х на определяются спецификой задачи.

Так, функция с(у, у+) = у - у+ соответствует случаю, когда на неподвижное тело налетает поток частиц, причем распределение скоростей в потоке задается мерой х- В этом случае 11х (3) есть сила давления потока на тело. Подынтегральное выражение у—уу) пропорционально импульсу, который индивидуальная частица передает телу.

В частности, обозначим §щ вероятностную меру, сосредоточенную в точке Уо € Б11-1-, тогда (В) есть сопротивление тела в направлении Уо.

Функция с(и, и+) = ('¡;-'У+, у) соответствует случаю, когда на тело налетает поток параллельных частиц, причем направление потока выбирается случайно из с распределением х• В этом случае значение Я.х равно математическому ожиданию продольной компоненты силы давления потока. Подынтегральное выражение {у — Уд(£,у), у) пропорционально проекции импульса, переданного телу индивидуальной частицей, на направление потока.

Функции ценности с других видов (как скалярные, так и векторнознач-ные) используются в задаче оптимизации сопротивления быстро вращающегося шероховатого диска.

Аэродинамическая задача Ньютона и ее непосредственное обобщение сформулированы во введенных выше терминах.

Напомним, что решение классической задачи Ньютона есть выпуклое тело вращения, передняя и задняя часть поверхности которого есть плоские диски, а боковая поверхность гладкая и строго выпуклая. Неформально выражаясь, это тело напоминает усеченный конус со слегка раздутой боковой поверхностью. Угол излома поверхности в граничных точках переднего диска равен 135°.

Далее в главе 1 кратко изложены результаты последующих глав диссертации.

Глава 2: Задача о наименьшем сопротивлении поступательно движущихся тел. Эта задача изучена в некоторых классах невыпуклых тел. А именно, рассмотрены следующие классы:

(1) Т(К) — класс связных тел В, содержащихся в некотором прямом круговом цилиндре и таких, что проекция В на плоскость, содержащую перпендикулярное сечение цилиндра, совпадает с этим сечением.

(2) 5(Ь) — класс связных тел, содержащихся в цилиндре и содержащих хотя бы одно его перпендикулярное сечение.

(3) Для любых двух выпуклых ограниченных тел К\ и таких, что К\ С К<1 и дК\ П Ж2 — 0, В{К\,К2) обозначает класс связных тел В таких, что Кх С В С Кг.

Рассмотрены задачи о наименьшем сопротивлении 11$ в классах (1), (2) и (3), где вектор «о в случаях (1) и (2) параллелен оси цилиндра. Результаты выражены следующей теоремой.

Теорема 1. В каждом из трех классов Т{Ы), £(/1), В(К\,К2) справедливо равенство (В) = 0.

Другими словами, получен довольно неожиданный результат: в каждом из рассмотренных классов существуют "почти абсолютно обтекаемые" тела.

Наконец, мы рассматриваем задачу о наименьшем сопротивлении для аналогов классов (1) и (2) в двумерном случае. Найден инфимум сопротивления; он всегда положителен.

Глава 3: Задача Ньютона в средах с ненулевой температурой.

Рассмотрена задача о минимизации сопротивления в случае, когда имеется тепловое движение частиц среды, в трехмерном и двумерном случаях. Она (как и классическая задача Ньютона) решена в классе выпуклых осесиммет-ричных тел фиксированной длины и ширины, поступательно движущихся в среде.

Оказывается, в случае ненулевой температуры возникает гораздо большее разнообразие решений, нежели в исходной задаче Ньютона. В отличие от задачи Ньютона, здесь приходится учитывать состав среды: решение для случая

однородной (то есть содержащей частицы одинаковой массы) среды не такое, как в случае среды, состоящей из нескольких однородных компонент и тем самым содержащей частицы различной массы.

В трехмерном случае имеется два различных вида решений. Решение первого вида подобно решению классической задачи Ньютона: задняя часть его поверхности есть плоский диск, а передняя ее часть состоит из плоского диска меньшего размера посредине и строго выпуклой боковой поверхности. Заметим, что, в отличие от решения Ньютона, угол излома передней поверхности в граничных точках переднего диска, вообще говоря, не равен 135°.

Решение второго вида есть объединение двух тел, подобных решению Ньютона, "склеенных" задними частями своих поверхностей. Длина (вдоль направления движения) переднего тела всегда больше длины заднего "перевер-нутого"тела. Решения первого и второго вида реализуются, когда скорость V движения тела в среде больше или меньше некоторого критического значения УС) соответственно.

В двумерном случае классификация решений в некотором смысле более сложная. Существует пять видов решений:

(а) трапеция;

(б) равнобедренный треугольник;

(в) объединение треугольника и трапеции;

(г) объединение двух равнобедренных треугольников;

(д) объединение двух треугольников и трапеции.

Решения (а) - (г) реализуются для любых распределений скоростей теплового движения частиц в среде и для любых значений V; решение (д) реализуется лишь для некоторых. Можно сказать, что оптимальные формы (а) -(г) реализуются уже в случае однородного одноатомного газа, в то время как форма (д) может возникнуть в случае, когда газ есть смесь по крайней мере двух однородных компонент. Заметим также, что в двумерном аналоге классической задачи Ньютона (соответствующей случаю нулевой температуры) имеются только два вида оптимальных форм: (а) и (б).

В предельном случае, когда скорость тела велика по сравнению со средней скоростью теплового движения частиц, V -> +оо, оптимальная форма совпадает с решением классической задачи Ньютона. В другом предельном случае, V —> 0+, трехмерное оптимальное тело становится симметричным относительно плоскости, перпендикулярной направлению движения, то есть является объединением двух одинаковых ньютоноподобных тел. Двумерное же оптимальное тело есть, в зависимости от длины /г, одна из четырех фигур: (а) трапеция при О < Н < 1.272; (Ь) равнобедренный треугольник при к — 1.272; (с) объединение равнобедренного треугольника и трапеции при 1.272 <Н< 2.544; (с!) ромб при 1г > 2.544. Оптимальная форма наименьшего сопротивления, в пределе низкой скорости, является универсальной: она зави-

сит только от длины тела h и не зависит от распределения скоростей частиц.

Глава 4: О рассеянии в биллиардах. Изложенные в главе 2 результаты о телах сколь угодно малого сопротивления получены при весьма ограничительных условиях; в частности, температура среды предполагается равной нулю и вращательное движение тела отсутствует. В связи с этим возникли новые вопросы об оптимизации сопротивления для тел, которые движутся не только поступательно, но и вращательно, а также для случая, когда невыпуклое тело движется в среде с тепловым движением частиц. Многие из этих вопросов сводятся к задаче изучения сопротивления, усредненного по континууму направлений, и поэтому требуют предварительной работы по изучению биллиардного рассеяния во внешности ограниченных множеств.

Такая работа проделана в главе 4. В двумерном случае дано определение ямки на границе связного невыпуклого тела и закона биллиардного рассеяния на ямке. Закон рассеяния — это мера, описывающая совместное распределение начальной и конечной скоростей случайно выбранной частицы, падающей на ямку. Оказывается, закон рассеяния может быть более естественно записан в виде совместного распределения угла падения частицы ip и угла при ее вылете из ямки ip+. Закон рассеяния на выпуклой части границы тела определяется известным правилом "угол падения равен углу отражения" и является мерой, сосредоточенной на диагонали </?+ = —<р. Далее, определена мера 1]в — "редуцированный" закон рассеяния на всем теле В — которая выражает совместное распределение угла падения частицы на тело и угла отраженной частицы. Она является взвешенной суммой законов отражения на всех ямках тела и на выпуклой части его границы.

Более точно, для С = ConvB и (£, v) е {дС х S1)± обозначим tp{(,v) 6 [—7г/2, 7г/2] угол между v и ±п(£), отмеряемый против часовой стрелки. Определим меру ¡х на (дС х S1)_ согласно v) = ^ |(и, n(£))| dv и зададим отображение Тв из (дС х 51). в □ := [—тг/2, тг/2] х [—7г/2, тг/2] согласно Тв : у = ¥>(£,«), = ОбР33 меРы А» под

действием отображения Тв обозначается щ.

Классификация законов рассеяния на двумерных невыпуклых телах дается следующей теоремой.

Определим вероятностную меру А на [—7г/2,7г/2] согласно d\{<p) = \ cos tp dp. Обозначим nv и irv+ естественные проекции, р+) = <р, <р+) = <р+,

и определим отображение па согласно Ttd{<P, <Р+) = <р). Здесь и ниже 7г#?7 обозначает образ меры rj под действием отображения 7г.

Определение 1. М обозначает множество борелевских мер г) на для которых справедливо (Ml) тг#г) = X — ir^+rj и (М2) nfrj = г].

Пусть К\ и — выпуклые ограниченные тела таких, что К\ С К2 и

dKi П дК2 = 0.

Теорема 2. Справедливо М — {77В : В 6 В(К\, Яг)}, где верхняя черта обозначает замыкание в слабой топологии.

В случае произвольной размерности определено шероховатое выпуклое тело. Закон рассеяния на нем — это совместное распределение тройки векторов: начальной и конечной скорости и нормали в точке соударения — для случайно выбранной частицы, столкнувшейся с телом. Таким образом, закон рассеяния на шероховатом теле В — это мера на

Sd-1

xSd 1 х Sd

Неформально шероховатое тело можно описать следующим образом. На поверхности выпуклого тела делаются микроскопические ямки; таким образом, с макроскопической точки зрения полученное тело с ямками (шероховатое тело) неотличимо от выпуклого, но закон биллиардного рассеяния на нем может быть совершенно другим.

Математическое определение шероховатого тела таково. Пусть С — ограниченное выпуклое тело в Md, содержащее некоторое тело В. Определим меру ¡л = /ige на дС х согласно cf/x(£,u) = bd |{тг(£), d£dv, где bd -r(^p)7r(1-d'/2 есть нормировочная постоянная, выбранная так, что ß (дС х Sd~ 2|öC|. По определению, мера ив,с задана на (Sd~1)3 и является образом меры ц под действием отображения (£, v) >-» (v, Vß C, n(f)).

Определение 2. Мы говорим, что последовательность тел {Bn, п = 1,2,.. представляет шероховатое тело, полученное рифлением выпуклого тела С, если (R1) Вп С С и Vol(C \ Вп) 0 при п -> 00; (R2) последовательность мер 1Ув„,с слабо сходится. Две такие последовательности называются эквивалентными, если соответствующие им предельные меры совпадают, а объемлющее тело С одно и то же. Шероховатое тело В есть класс эквивалентности таких последовательностей. Предельная мера vq называется законом биллиардного рассеяния на В.

Шероховатое тело иначе называется телом, полученным рифлением выпуклого тела С; ясно, что у каждого выпуклого тела имеется бесконечно много рифлений, отличающихся, неформально говоря, формой ямок.

Следующие определение и теорема дают характеризацию законов рассеяния на шероховатых телах. Обозначим тс поверхностную меру выпуклого множества С. Меры т£ и на (5d-1)2 определяются следующим равенством /(s,_1)a f(v, п) dt£(v, п) = Jgi-г f(v, п) bd{v, п)± dv drc(n), справедливым для любой непрерывной функции / на (S,(i_1)2. Определим отображение 7г0 : (v,v+,n) = (-v+, —v,n) из (Sd_1)3 в себя.

Определение 3. Обозначим Гс множество мер v на (5d-1)3 таких, что (Г1) фи = Täu 7#я«/ = (Г2) ф = »/.

Теорема 3. {ив, В получены рифлением С} — Гр.

Общая форма утверждения в теоремах 2 и 3 одинакова: утверждается, что мера является (или может быть приближена) законом рассеяния в том и только том случае, если она имеет фиксированные проекции и обладает определенным свойством симметрии.

Глава 5: Некоторые специальные задачи оптимального переноса массы В ряде случаев задача оптимизации сопротивления шероховатых поверхностей при помощи вышеупомянутых теорем 2 и 3 может быть сведена к задаче о нахождении меры с фиксированными проекциями (то есть закона рассеяния), минимизирующей или максимизирующей некоторый линейный функционал. Последняя задача носит название задачи об оптимальном переносе массы, или задачи Монжа-Канторовича. В главе 5 мы рассматриваем частную одномерную задачу оптимального переноса массы, порожденную задачей о наименьшем усредненном сопротивлении.

А именно, обозначим Г(А1,Аг) множество мер на , проекции которых на оси х и у совпадают с А1 и Лт, соответственно. Требуется найти меру ь»*, решающую задачу

// с(х,у)<Ь/(х,у).

Мы рассматриваем случай, когда с(х,у) = /(ж + у), причем / — нечетная функция, строго вогнутая при х > 0 (а значит, строго выпуклая при х < 0), и Л1 = А2, причем носитель меры А1 есть объединение конечного числа ограниченных отрезков и А^мера любой точки равна нулю.

Решение этой задачи основывается на том свойстве, что носитель оптимальной меры г/*, эр^*, является с-монотонным множеством, то есть для любых двух точек (хь у\), (х2, ¡/2) € и„ справедливо неравенство с(х\, уг) + с{х2, уг) < с(®1, уг) + с(х2, У\). Довольно легко видеть, что этот носитель есть объединение графика некоторой монотонно убывающей функции, лежащей в полуплоскости х + у < 0, и графика монотонно возрастающей функции, принадлежащей полуплоскости х + у > 0. Уточнение вида этих графиков составляет содержание большей части главы 5. В результате оказывается, что график монотонно возрастающей функции принадлежит прямой х = у и, более того, оптимальная мера и» принадлежит конечно- или счетнопарамет-рическому семейству мер, которое определяется только мерой Ах и не зависит от /. Более точно, справедлива следующая теорема 4.

Будем обозначать А1 = А. Зададим знакопеременную меру А на :— [0, +оо) формулой А (В) = А (В) - А(-3 В), где 5сМ+- произвольное боре-левское множество, —3В := {—За; : х 6 В}, и обозначим А+ и А_ верхнюю и нижнюю вариации А. Рассмотрим конечное или счетное семейство интервалов 1 = {/¿}, где индексы г — целые неотрицательные числа. При г ф 0 интервалы

семейства имеют вид /, = (а,-, Ьг), где 0 < щ < Ъ{ < +оо. Если значение i = О принадлежит множеству индексов {г}, то соответствующий интервал имеет вид /о = [0, Ьо); таким образом, ао = 0. Замыкания интервалов семейства попарно не пересекаются: Л — 0 при г ф Наконец, справедливо включение К+ \ (и*7г) с sptЛ+. Семейство X содержит ровно один полубесконечный интервал. Соответствующий ему индекс обозначим г — г. Если г ф 0, то этот интервал имеет вид 7Г = (аг, +оо), то есть справедливо Ьт — +оо. Может оказаться, что г = 0; в таком случае семейство X содержит ровно один этот интервал [0, +оо).

Определение 4. Семейство интервалов X называется допустимым, если оно (дополнительно к вышеизложенным) обладает следующими свойствами.

(а) Для любого г Ф 0 справедливо А(7,) = 0.

Определим множество на плоскости Ох, ассоциированное с допустимым семейством X. Для этого сначала зададим множество (7+ = С+(1) согласно С7+ := {(а;,ж) : х € К+ \ (и*7г)}. Далее, положим С?^ := {(х,у) : у — —Зх, х € , у е А}, обозначим множество, симметричное

относительно прямой {х = у} и определим (?(о) = С(о)(£) согласно С?(о) := и й^у При г ф 0 положим := {(х,у) : х Е spt А П 7,, у 6 sptA П (—37$), А((х, Ь,-)) = А((—36{, у))}, обозначим множество, симметричное С? относительно прямой {х = у}, и зададим множество С?,- = Gi(X) согласно (?г := С?Р и Если множество индексов {г} содержит 0 (другими словами, если семейство X содержит интервал вида (0, &о)), то положим С?о = {(Я) у) '■ х, у 6 вр1А П (—36о, Ьо), \((х, Ьо)) — А((—360, у))}- Обозначим множество = С~(Х) формулой := С(о)11(и*С{) и, наконец, положим С% = иС~.

Теорема 4. (а) Для любого допустимого семейства X = {/¿} существует единственная мера е Г(А, А), имеющая носитель С?х.

(б) Оптимальная мера совпадает с для некоторого допустимого семейства интервалов X.

Таким образом, решение данной задачи Монжа-Канторовича сводится к нахождению минимума некоторой функции конечного или счетного числа переменных (в наиболее интересных случаях — функции всего лишь одного переменного).

Глава 6: Задачи оптимизации усредненного сопротивления. В

этой главе рассматривается задача об оптимизации функционала 71и{В) (3) с

справедливо

А((-3Ьи -2Ьг - я)) < А((х, Ь)) < А((-3Ьи -2сц - х)).

функцией ценности с(и,у~1~) = {у — , и) и равномерной вероятностной мерой и на 5<г_1. Этот функционал можно интерпретировать следующим образом.

Тело В движется поступательно с фиксированной скоростью и в то же время совершает медленное вращательное движение (кувыркается). Скорость этого вращения настолько мала, что им можно пренебречь при рассмотрении взаимодействия тела с индивидуальными частицами. В системе отсчета, связанной с телом, вектор скорости описывает кривую на сфере Б^1 и тем самым индуцирует некоторую (сингулярную) меру на этой сфере: мера множества А С 5"*"1 есть доля времени, проведенного вектором скорости в А. Предположим, что при неограниченном увеличении периода наблюдения эта мера слабо сходится к и. Тогда среднее значение сопротивления в течение этого периода стремится к Яи{В).

В двумерном случае сопротивление Яи{В) связного тела В представлено в виде интеграла по мере, представляющей закон рассеяния,

где □ = [—7г/2, 7г/2] х [—ж/2,7г/2]. Ставится задача 1 о наименьшем значении сопротивления т£ Яи{В) в классе (а) связных (вообще говоря, невыпуклых) тел В фиксированной площади; (б) выпуклых тел В фиксированной площади.

С помощью теоремы 4 о характеризации мер т}в задача 1 (а) сведена к следующей частной задаче Монжа-Канторовича (МК): найти

которая, в свою очередь, сведена к задаче МК на прямой, рассмотренной в главе 5. Затем строится минимизирующая последовательность тел, которая может быть отождествлена с шероховатым кругом заданной площади. В результате доказана следующая теорема.

Теорема 5. Рассмотрим задачи о наименьшем сопротивлении

(а) 7х = т{{^(В) : В— связное тело, Агеа(В) = с};

(б) 12 = т£{Яи(5) : В— выпуклое тело, Агеа(5) = с}.

Справедливо следующее. Решением задачи (б) является круг В(с) площади с. Существует последовательность тел Вп, п > 1, решающая задачу минимизации (а) и такая, что ({) Иш^эо Агеа(ВпАВ(с)) = 0;

(п) последовательность редуцированных законов рассеяния, порожденных этими телами, т]вп, слабо сходится к мере к, служащей решением задачи МК (4).

К{В) = \д{СотВ)\ + соз(<^ - ¿7?

о

С помощью численного счета найдено отношение тч = Д//2: ТП2 ~ 0.9878. Иными словами, справедливо

(наименьшее сопротивление в классе невыпуклых тел) ^ ^ ^^ (наименьшее сопротивление в классе выпуклых тел)

Пусть С\ и С2 — ограниченные выпуклые тела такие, что С\ С С2 С R2 и dC\C\dCi = 0. Рассматривается класс связных тел В таких, что Су С В С С2. Ставится задача 2 о нахождении

(a) inf (б) sup ЩВ).

CjCS сС2 СхСВсСз

Решение задачи 2 (а) по существу повторяет решение (а) предыдущей задачи. Минимизирующие последовательности тел в случаях (а) и (б) можно отождествить с шероховатыми телами, полученными рифлением Су и С2, соответственно. Доказана следующая теорема.

Теорема 6. Справедливы равенства

^bRu(B) вчрдДиСД)

- т2 ~ 0.9878 « ___ _ 1.5.

Далее, показано, что сопротивление тела в среде с тепловым движением частиц пропорционально сопротивлению в среде неподвижных частиц, причем коэффициент пропорциональности больше 1 и зависит только от характера движения частиц: чем выше температура, тем больше этот коэффициент, тем больше сопротивление. Таким образом, задачи 1 и 2 в средах с ненулевой температурой имеют те же решения, что и при нулевой температуре.

В случае произвольной размерности, d> 2, решаются задачи оптимизации сопротивления в классе шероховатых тел, полученных рифлением фиксированного выпуклого тела С. Ставится задача 3 о нахождении

(а) —j—r sup{Ru(B) : В — рифление С};

ЩО)

(б) -J— ini{Ru{B) : В - рифление С].

H[L)

Оказывается, эти отношения зависят только от размерности d, но не от конкретного тела С. При помощи теоремы 3 о характеризации мер, порожденных многомерными шероховатыми телами, задача 3 сводится к частной задаче о переносе массы на Sd~l, которая затем (благодаря присущей ей осевой симметрии) сводится к одномерной задаче Монжа-Канторовича

inf // (1 4-cos(o? - ip+)) dn(ip,ip+).

ijer(KMJ Ja+

где □+ = [0, 7г/2]2, а мера Ап на [О, ж¡2} задается своей плотностью <1\ц{ф) = (d—1) sind_2 ip cos <p dip. Последняя задача, в свою очередь, сводится к задаче, рассмотренной в главе 5. Приведем лишь численные ответы.

Справедливо

вирвЯ^В) _ d+í infBRujB) _

R(C) ~ 2 И R(C) ~ md>

где m2 w 0.9878, m3 » 0.9694 и

i /-i _

lim та = -(1 + / y/\nz\n{\- z)dz) и 0.791. ti-> oc 2 J o

Проиллюстрируем эти результаты на следующем примере. Рассмотрим искусственный спутник сферической формы, вращающийся вокруг Земли и тормозимый остатками ее атмосферы. Предположим, что поверхность спутника изготовлена из материала, обеспечивающего упругое отражение от нее молекул атмосферы. Задача двоякого рода состоит в том, чтобы (а) уменьшить или (б) увеличить сопротивление спутника, нанося на его поверхность рифление подходящим образом. Из наших результатов следует, что сопротивление в результате рифления может быть уменьшено самое большее на 3.05% и увеличено самое большее вдвое.

Суммируя некоторые результаты глав 2 и б, заключаем, что нижняя грань сопротивления по одному направлению (для разумных классов тел) равна нулю, а усредненного сопротивления по всем возможным направлениям — положительна. В первом случае мера х сосредоточена в одной точке (х = 5„„), а во втором — равномерно распределена на сфере (х~и)-

Глава 7 В последней главе мы продолжаем изучение сопротивления вращающихся тел, но, в отличие от предыдущей главы, рассматривается случай быстрого вращения. Последнее означает, что произведение угловой скорости вращения и диаметра тела имеет тот же порядок величины, что и скорость поступательного движения тела. Рассмотрен простейший случай шероховатого диска (круга), вращающегося и движущегося в разреженной среде на плоскости. Центр масс круга совпадает с его геометрическим центром.

Основная особенность быстрого вращения заключается в том, что сила сопротивления, вообще говоря, не параллельна направлению движения тела. Это явление хорошо известно физикам и называется эффектом Магнуса. Перпендикулярная составляющая силы сопротивления может быть сонаправлена или противонаправлена мгновенной скорости передней точки границы тела; в этих случаях говорят, соответственно, о собственном или обратном эффекте Магнуса. Физикам хорошо известно также, что в плотных газах обычно возникает собственный эффект, в то время как обратный эффект чаще всего реализуется в разреженных газах.

Эффект Магнуса обычно выводят из неупругого взаимодействия частиц газа с телом. В нашей модели, напротив, этот эффект возникает вследствие сложного взаимодействия частиц с ямками тела. Величина и направление силы сопротивления, а также вид эффекта (собственный или обратный) определяются видом шероховатости, причем обратный эффект в некотором смысле встречается чаще.

Сила, действующая на диск, и момент этой силы представлены в виде (соответственно, векторнозначного и скалярного) линейных функционалов на множестве мер. Каждая мера из этого множества представляет определенный (редуцированный) закон рассеяния на диске. А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Сила сопротивления и момент этой силы, действующие на шероховатый диск радиуса г, движущийся на плоскости в направлении (О, и) в разреженной среде плотности р и вращающийся (против часовой стрелки) с угловой скоростью и, равны

Ъ = -г2рь2 ■ ^{г), А].

Здесь г] есть редуцированный закон рассеяния, порожденный диском, А = ыг/у, а безразмерные величины Я[т], А] и А] определяются интегральными формулами

%А] =

А] = JJ cj{x, у, А) йф, у),

где подынтегральные функции с и c¡ заданы соотношениями (5)-(12), приведенными ниже. Напомним, что □ — [—тг/2, 7г/2] х [-тг/2, тт/2]. Мы также используем обозначения £ = ^(о:, Л) = arcsin \J 1 — A2 eos2 х и Хо = яо(А) = arceos а X обозначает характеристическую функцию, (а) Если 0 < А < 1, то

,ч 3 (Asina; + sin С)3 х-у С>'У'Л) = 4-sinC-

cos(C + ^) -sin (С+

, .. 3 (A sin х + sin С)3 , . . ч c¡{x,y,X) = -- --—-(sin ж + sinу);

(5)

в частности,

с{х,у, 1) = Зет2 ж

соз(2а; -у) + соэх - 8т(2а; - у) - эт х

Хх>о {х,у),

1) = -Зят2 х(8тх + 8\пу)хх>о{х,у). В предельном случае А —> 0+ справедливо

С1{х,у) (б) Если А > 1, то

с{х,у, А) = --9А

5т(ж - у) 1 + соз(а; - у)

0( А),

8тж(зта; 4- вту) + 0(А2).

(7)

(8)

(9)

(10)

■з гоя ,

А) -

2 втС - (ЗА2вт2®апС + 31п'3С)™С

СОБ^

(А эт х 4- ЗА вт х бт" () соэ (

Jxx>x0(x,y),

х-у 2

х-у 2 J

(П)

С1(х, у, А)

3 А3зт3а; + ЗА5та;8т2С, . . ч , , „ч

"4-^-{8тх + 8ту)хх>х0{х,у). (12)

Таким образом, задача нахождения всех допустимых сил сведена к вектор-нозначной задаче Монжа-Канторовича14. Эта задача решена численно для нескольких значений угловой скорости.

Наконец, выписаны уравнения динамики диска и в нескольких простых случаях явно найдена его траектория. Так, в случае, если шероховатость образована ямками в виде равностороннего треугольника, наблюдаются три разных вида траектории диска, в зависимости от соотношения его линейной и угловой скоростей в начальный момент времени. Эти траектории есть сходящаяся спираль, окружность и кривая, неограниченно приближающаяся к прямой линии.

Выражаю глубокую благодарность профессору Анатолию Михайловичу Степину за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения и сотрудникам кафедры ОПУ за конструктивные обсуждения рассматривамого круга задач и полученных результатов.

14Векторнозначная задача Монжа-Канторовича рассматривается здесь, по-видимому, впервые.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В журналах из официального перечня ВАК

1. А. Ю. Плахов. К задаче Ньютона о теле наименьшего аэродинамического сопротивления. Доклады РАН, 390, №3, с. 1-4 (2003).

2. А. Ю. Плахов. Задача Ньютона о теле наименьшего сопротивления с ограниченным числом соударений. Успехи математических наук, 58, №1, с. 195-196 (2003).

3. А. Ю. Плахов. Задача Ньютона о теле наименьшего усредненного сопротивления. Мат. сборник, 195, №7, с. 105-126 (2004).

4. А. Ю. Плахов. Точные решения одномерной задачи Монжа-Канторо-вича. Мат. сборник, 195, №9, с. 57-74 (2004).

5. А. Ю. Плахов. Тела наименьшего аэродинамического сопротивления в разреженных средах с тепловым движением частиц. Доклады РАН, 403, №1, с. 1-5 (2005).

6. А. Ю. Плахов и Д. Ф. М. Торреш. Аэродинамическая задача Ньютона в средах хаотически движущихся частиц. Мат. сборник, 196, №6, с. 111160 (2005).

Теоретическую часть статьи 6 выполнил А. Ю. Плахов, в то время как Д. Ф. М. Торреш выполнил работу по компьютерному счету и изготовлению иллюстраций.

7. А. Ю. Плахов. О бильярдах в неограниченных областях, обращающих направление движения частиц. Успехи математических наук, 61, с. 179180 (2006).

8. А. Ю. Плахов и А. И. Алексенко. Об аэродинамической задаче Ньютона для невыпуклых тел. Успехи математических наук, 63, №5, с. 181-183 (2008).

В статье 8 основная идея и метод построения тела наименьшего сопротивления принадлежат А. Ю. Плахову, в то время как А. И. Алексенко провела детальные вычисления, реализующие этот план.

9. А. Ю. Плахов и Т. В. Чемисова. Сила, действующая на вращающийся шероховатый диск в потоке невзаимодействующих частиц. Доклады РАН, 424, №1, с. 26-30 (2009).

Теоретическая часть статьи 9 выполнена А. Ю. Платовым, в то время как Т. В. Чемисова выполнила работу по компьютерному счету и изготовлению иллюстраций.

10. А. Ю. Плахов. Рассеяние в биллиардах и задачи ньютоновской аэродинамики. Успехи математических наук, 64, с. 3-72 (2009).

В журналах, включенных в базы цитирования MathSciNet и Zentralblatt Math

11. A. Plakhov. Newton's problem of minimal resistance for bodies containing a half-space. J. Dynam. Control Syst. 10, 247-251 (2004).

12. A. Plakhov. On the minimum and maximum averaged resistance problem of moving bodies. J. Math. Sci. (N.Y.) 145, 5295-5302 (2007).

13. A. Plakhov. Problems of minimal and maximal aerodynamic resistance. Chapter 19 in the book Variational Analysis and Aerospace Engineering (Eds G. Buttazzo and A. Frediani), pp. 349-365, Springer Optim. Appl., Vol. 33, Springer, New York, 2009.

14. A. Plakhov. Billiard scattering on rough sets: Two-dimensional case. SIAM J. Math. Anal.40, 2155-2178 (2009).

15. A. Plakhov. Billiards and two-dimensional problems of optimal resistance. Arch. Ration. Mech. Anal. 194, 349-382 (2009).

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж |20экз. Заказ № 3О

0.1 Введение.

0.1.1 Общая характеристика работы.

0.1.2 Основные определения.

0.1.3 Аэродинамическая задача Ньютона

0.1.4 Результаты главы

0.1.5 Результаты главы

0.1.6 Результаты главы

0.1.7 Результаты главы

0.1.,8 Результаты главы

0.1.9 Результаты главы

0.2 Задача о наименьшем сопротивлении поступательно движущихся тел.

0.2.1 Множества, вписанные в цилиндр

0.2.2 Множества, модифицированные в окрестности границы

0.2.3 Двумерная задача.

0.3 Задача Ньютона в средах с ненулевой температурой.

0.3.1 Вычисление сопротивления и постановка задачи минимизации

0.3.2 Вспомогательные задачи на минимум.

0.3.3 Решение задачи наименьшего сопротивления.

0.3.4 Гауссовское распределение скоростей: точные решения

1. Алексеев В. M., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. - 2-е изд. - М., Физматлит, 2005.

2. Г. А. Гальперин и А. Н. Земляков. Математические бильярды. М.: Наука, 1990.

3. Г. А. Гальперин и Н.И. Чернов. Биллиарды и хаос. М.: Знание, 1991.

4. В. В. Козлов и Д. В. Трещев. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.

5. В. JI. Левин, Решение задач Монжа и Монжа-Канторовича. Теория и примеры, Доклады АН, 388, No.l, 7-10 (2003).

6. В. JI. Левин, Условия оптимальности и точные решения двумерной задачи Монжа-Каиторовича.Записки научных семинаров ПОМИ, 312 (2004). Специальный выпуск "Теория представлений. Динамические системы XI (ответственный редактор A.M. Вершик), с 1456-1463.

7. С.Т. Рачев. Задача Монжа-Канторовича о перемещении масс и ее применения в стохастике. Теория вероятностей и ее прим., т 29, №4, с. 625653 (1984).

8. Я. Г. Синай. Биллиардные траектории в многогранном угле. УМН 33, вып. 1 (199), 229-230 (1978).

9. В. М. Тихомиров. Аэродинамическая задача Ньютона. Квант, по. 5, IIIS (1982).

10. В. М. Тихомиров. Рассказы о максимумах и минимумах. 2-е издание. М.: МЦНМО, 2006.И. L. Ambrosio. Lecture notes on optimal transport problems. Lectures given in Madeira (PT), Euro Summer School "Mathematical aspects of evolving interfaces 2-9 July 2000.

11. M. Belloni and B. Kawohl. A paper of Legendre revisited. Forum Math. 9, 655-668 (1997).

12. M. Belloni and A. Wagner. Newton's problem of minimal resistance in the class of bodies with prescribed volume. J. Convex Anal. 10, 491-500 (2003).

13. К. I. Borg and L. H. Soderholm. Orbital effects of the Magnus force on a spinning spherical satellite in a rarefied atmosphere. Eur. J. Mech. B/Fluids 27, 623-631 (2008).

14. К. I. Borg, L. H. Soderholm, and H. Essen. Force on a spinning sphere moving in a rarefied gas. Physics of Fluids 15, 736-741 (2003).

15. F. Brock, V. Ferone. B. Kawohl. A symmetry problem in the calculus of variations. Calc. Var. 4, 593-599 (1996).

16. D. Bucur and G. Buttazzo, Variational Methods in Shape Optimization Problems. Birkhauser (2005).

17. L. B. Bunimovich. Mushrooms and other billiards with divided phase space, Chaos 11, 802-808 (2001).

18. G. Buttazzo, V. Ferone, B. Kawohl, Minimum problems over sets of concave functions and related questions. Math. Nachr. 173, 71-89 (1995).

19. G. Buttazzo and P. Guasoni. Shape optimization problems over classes of convex domains. J. Convex Anal. 4, 343-351 (1997).

20. G. Buttazzo, B. Kawohl. On Newton's problem of minimal resistance. Math. Intell. 15, 7-12 (1993).

21. N. Chernov. Entropy, Lyapunov exponents, and mean free path for billiards. J. Stat. Phys 88, 1-29 (1997).

22. N. Chernov and R. Markarian. Chaotic billiards. American Mathematical Society, 2006.

23. M. Comte, T. Lachand-Robert. Newton's problem of the body of minimal resistance under a single-impact assumption. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 12, 173-211 (2001).

24. M. Comte, T. Lachand-Robert. Existence of minimizers for Newton's problem of the body of minimal resistance under a single-impact assumption. J. Anal. Math. 83, 313-335 (2001).

25. M. Comte and T. Lachand-Robert, Functions and dom,ains having minimal resistance under a single-impact assumption. SI AM J. Math. Anal. 34 (2002), 101-120.

26. L. C. Evans. Partial differential equations and Monge-Kantorovich mass transfer, pp. 26-87, in "Current Developments in Mathematics"(R. Bott et al., eds), International Press, Cambridge, 1997.

27. Legendre, A. M. Mémoire sur la Manière de distinguer le Maxima et les Minima dans les Calcul des Variations. Mémoires de L'Académie royale des Sciences, Année MDCCLXXVI (Paris 1788), pp. 7-37.

28. P. D. Fieseler. A method for solar sail¿7ig in a low Earth orbit. Acta Astronáutica 43, 531-541 (1998).

29. IK. Harrison and G. G. Swinerd. A free molecule aerodynamic investigation using multiple satellite analysis. Planet. Space Sci. 44, 171-180 (1996).

30. S. G. Ivanov and A. M. Yanshin. Forces and moments acting on bodies rotating around a symmetry axis in a free molecular flow. Fluid Dyn. 15, 449 (1980).

31. T. Lachand-Robert and E. Oudet. Minimizing within convex bodies using a convex hull method. SIAM J. Optim. 16, 368-379 (2006).

32. T. Lachand-Robert, M. A. Peletier. Newton's problem of the body of minimal resistance in the class of convex developable functions. Math. Nachr. 226, 153-176 (2001).

33. T. Lachand-Robert, M. A. Peletier. An example of non-convex minimization and an application to Newton's problem of the body of least resistance. Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lin. 18, 179-198 (2001).

34. A.M. Legendre. Memoires de L'Academic royale de Sciences annee 1786, 7-37, Paris (1788).

35. V. L. Levin, Optimal solutions of the Monge problem, Advances in Mathematical Economics, 6, 85-122 (2004).

36. R.J. McCann, Exact solutions to the transportation problem on the line, Proc. R. Soc. Lond. A 455, 1341-1380 (1999).

37. R. D. Mehta. Aerodynamics of sport balls. Annu. Rev. Fluid Mech. IT, 151189 (1985).

38. K. Moe and M. M. Moe. Gas-surface interactions and satellite drag coefficients. Planet. Space Sei. 53, 793-801 (2005).

39. I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica. 1687.

40. A. Plakhov and P. Gouveia. Problems of maximal mean resistance on the plane. Nonlinearity 20, 2271-2287 (2007).

41. A. Plakhov, T. Tchemisova and P. Gouveia. Spinning rough disk moving in a rarefied medium. Proc. R. Soc. A. 466, 2033-2055 (2010).

42. L. Prandtl. Application of the "Magnus Effect "to the wind propulsion of ships. Die. Naturwissenschaft 13, 93-108; transl. NACA-TM-367, June 1926.

43. S.T. Rachev, L. Rüschendorf. Mass transportation problems. Voll: Theory. Vol. II: Applications. Probability and its Applications (New York). SpringerVerlag, New York, 1998. xxvi+508 pp.

44. S.I. Rubinov and J.B. Keller. The transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid. J. Fluid Mech., 11, 447-459 (1961).

45. T. J. Murphy and E. G. D. Cohen. On the sequences of collisions among hard spheres in infinite space, pp 29-50, in "Hard ball systems and the Lorentz gas" (Editor D. Szász), Springer, 2000.

46. S. Tabachnikov, Billiards. Paris: Société Mathématique de France (1995).

47. S. Tabachnikov. Geometry and billiards. (Student Mathematical Library, Vol. 30.) Providence, RI: AMS, 2005.

48. L. Uckelmann, Optimal couplings between one-dimensional distributions, Distributions with given marginals and moment problems (ed. V. Benes & J. Stepan), pp. 275-281. Dordrecht: Kluwer (1997).

49. C. Villani. Topics in optimal transportation. Graduate Studies in Mathematics, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.

50. C.-T. Wang. Free molecular flow over a rotating sphere. AIAA J. 10, 713 (1972).

51. P. D. Weidman and A. Herczynski. On the inverse Magnus effect in free molecular flow. Physics of Fluids 16, L9-L12 (2004).Список основных работ автора по теме диссертации

52. А. Ю. Плахов. К задаче Ньютона о теле наименьшего аэродинамического сопротивления. Доклады РАН, 390, №3, с. 1-4 (2003).

53. А. Ю. Плахов. Задача Ньютона о теле наименьшего сопротивления с ограниченным числом соударений. Успехи математических наук, 58, №1, с. 195-196 (2003).

54. А. Ю. Плахов. Задача Ньютона о теле наименьшего усредненного сопротивления. Мат. сборник, 195, №7, с. 105-126 (2004).

55. А. Ю. Плахов. Точные региения одномерной задачи Монжа-Канторовича. Мат. сборник, 195, №9, с. 57-74 (2004).

56. А. Ю. Плахов. Тела наименьшего аэродинамического сопротивления в разреженных средах с тепловым движением частиц. Доклады РАН, 403, №1, с. 1-5 (2005).

57. А. Ю. Плахов. О бильярдах в неограниченных областях, обращающих направление движения частиц. Успехи математических наук, 61, с. 179180 (2006).

58. А. Ю. Плахов. Рассеяние в биллиардах и задачи ньютоновской аэродинамики. Успехи математических наук, 64, с. 3-72 (2009).

59. A. Plakhov. Newton's problem of minimal resistance for bodies containing a half-space. J. Dynam. Control Syst. 10, 247-251 (2004).

60. A. Plakhov. On the minimum and maximum averaged resistance problem of moving bodies. J. Math. Sci. (N.Y.) 145, 5295-5302 (2007).

61. A. Plakhov. Problems of minimal and maximal aerodynamic resistance. Chapter 19 in the book Variational Analysis and Aerospace Engineering (Eds G. Buttazzo and A. Frediani), pp. 349-365, Springer Optim. Appl., Vol.33, Springer, New York, 2009.

62. A. Plakhov. Billiard scattering on rough sets: Two-dimensional case. SIAM J. Math. Anal.40, 2155-2178 (2009).

63. A. Plakhov. Billiards and two-dimensional problems of optimal resistance. Arch. Ration. Mech. Anal. 194, 349-382 (2009).