Математическое моделирование деформационных процессов характерных стадий "жизненного" цикла полимерных (НАНО) композитов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

Налтравах рукописи

Евстафьев Олег Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ХАРАКТЕРНЫХ СТАДИЙ "ЖИЗНЕННОГО" ЦИКЛА ПОЛИМЕРНЫХ (НАНО) КОМПОЗИТОВ

01.04.17 - Химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 НОЯ 2009

Ижевск 2009

003484815

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте прикладной механики Уральского отделения РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Альес Михаил Юрьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бадриев Ильдар Бурханович

доктор технических наук, профессор Зезин Юрий Павлович

Ведущая организация: Вычислительный центр ДВО РАН (г. Хабаровск)

Защита состоится 10 декабря 2009 г. в 16.00 час. на заседании диссертационного совета ДМ 004.013.01 при Институте прикладной механики УрО РАН по адресу: 426067, г. Ижевск, ул. Т.Барамзиной, 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ УрО РАН. Автореферат разослан 5 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного сове д. ф.-м.н.

Копысов С.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие технологических процессов получения современных полимерных композиционных материалов (ПКМ), в том числе и активно развивающемся применении наноразмерных наполнителей, многочисленные области применения таких материалов, требуют ясного понимания закономерностей формирования конечного продукта с требуемыми физико-механическими и эксплутационными характеристиками. Особо важной составляющей этой проблемы является понимание эволюционных процессов изменения свойств материала в ходе технологического цикла. Понимание физических процессов, происходящих на этапе технологического процесса формования изделий из полимерных композиционных материалов с учетом широкого спектра тепловых, диффузионных, кинетических и реологических изменяющихся факторов является весьма актуальным в связи с развитием технологических процессов изготовления конструкций из материалов этого типа.

Современные полимерные композиты обладают рядом механических свойств, кардинально отличающихся от свойств других материалов, особенно выражено это отличие при циклических нагружениях (режимы достаточно часто встречающиеся при эксплуатации изделий). Понимание физических процессов, происходящих в циклически деформируемом композите, позволяет оценить эффективность применения тех или иных типов наполнителя, оптимальную степень наполнения, параметры техпроцесса получения композита с заданными свойствами, что, в целом, обеспечивает более высокую эксплуатационную надежность изделий из ПКМ. Кроме того, для построения определяющих соотношений, описывающих механическое поведение композитов, необходим ряд материальных констант, входящих в модель. Для решения этих задач перспективным является метод молекулярно-динамического (МД) моделирования, позволяющий исследовать физические процессы, происходящие в деформируемом материале на атомно-молекулярном уровне и, используя полученные результаты, прогнозировать макроскопические характеристики материала. Дополнительным стимулирующим фактором развития метода МД-моделирования является появление высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных систем и разработки алгоритмов параллельного решения задач математического моделирования с их использованием.

Целями настоящего исследования являлись:

- развитие реологических моделей структурирования наполненных полимерных систем;

- теоретическое исследование изменения реологических свойств материала в процессе полимеризации и математическое моделирование процессов отверждения изделий из полимерных материалов при различных технологических режимах;

- используя математический аппарат метода молекулярной динамики исследовать физические процессы, протекающие при циклическом нагружении изделий из полимерных композитов и являющиеся причиной их необычного механического поведения ( "эффект Маллинза", гистерезисные явления при циклических нагрузках и т.д.);

- используя метод молекулярно-динамического моделирования, получить эффективные макрохарактеристики полимеров и композитов на их основе;

- в рамках механики сплошной среды разработать математические модели и исследовать влияние циклического воздействия внешних факторов окружающей среды на длительную прочность изделий из полимерных композитов с целью выработки рекомендаций по оптимизации режимов хранения таких конструкций.

Научная новизна работы. В работе получены следующие новые результаты:

1. На основе анализа математической модели процесса полимеризации изделий из полимерных композиционных материалов предложено кинетическое уравнение, описывающее изменение реологических свойств материала в процессе полимеризации.

2. Предложены вычислительные схемы решения систем проекционно-сеточных уравнений неупругого поведения полимерных изделий в условиях малых деформаций при больших значениях модуля всестороннего растяжения (сжатия). Получены оценки устойчивости предложенных алгоритмов.

3. Предложен оригинальный алгоритм формирования пакетов начальных данных для задач молекулярно-динамического моделирования линейных полимеров и композитов на их основе.

4. На основе численного анализа методом молекулярной динамики циклического деформирования полимерных композитов исследованы причины нелинейности вязкоупругого механического поведения этих материалов и их эффективные макрохаракгеристики, такие как модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль объемного сжатия.

5. Исследовано влияние температурного воздействия внешних факторов окружающей среды на величину накопленных повреждений в изделиях из ПКМ.

Достоверность и обоснованность результатов представленной работы обеспечивается адекватностью используемых модельных представлений реальным рассматриваемым физическим процессам; корректностью используемого математического аппарата, фундаментальными принципами механики сплошной среды,

термодинамики, молекулярной механики, использованием современных методов численного решения краевых задач; качественным совпадением результатов численных исследований с известными экспериментальными данными.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на конференции "Молодежь Удмуртии - ускорению научно-технического прогресса" (Ижевск, 1987 г.), II Всесоюзной научно-технической конференции "Реология и оптимизация процессов переработки полимеров" (Ижевск, 19-21 сентября 1989 г.), XV Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 27 февраля 2007 - 2 марта 2007 г.), Всероссийской конференции с международным интернет-участием "От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к наноиндустрии" (Ижевск, 27-29 июня 2007 г.), XII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 17-22 сентября 2007 г.), научной конференции-семинаре 2008 "Теория управления и математическое моделирование", (Ижевск, 4-9 мая 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных работ, из них 8 - в ведущих журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения библиографического списка из 98 наименований; содержит 120 страниц, 59 рисунков, 1 таблицу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы: обоснована актуальность темы, поставлены цели исследования и сформулированы задачи для ее достижения, обозначена новизна и практическая значимость проводимых исследований.

В первой главе проводится литературный обзор по особенностям сложного механического поведения полимерных композитов, находящихся в различных фазовых и релаксационных состояниях. В настоящее время нет законченной физической теории, способной в полной мере описать все особенности механического поведения полимеров. Ещё более проблематично обстоят дела при рассмотрении процессов деформирования полимерных систем в условиях их отверждения, так как речь о материале с постоянно меняющимися вязкоупругими характеристиками.

С учетом вышеизложенного в настоящей работе математическая модель напряженно-деформированного состояния отверждаемого материала формулируется в рамках линейной теории вязкоупругости.

Реологическое поведение полимерных композиций очень сильно зависит от температуры Т и степени полимеризации (3 . Экзотермическая природа реакций, низкая диффузионная способность реагентов и низкая теплопроводность обуславливают необходимость учета комплексного влияния Г и р на материальные параметры модели. В области перехода от вязкотекучего состояния к высокоэластичному модуль упругости, в общем случае пропорциональный Т и (5, значительно более чувствителен к степени структурирования материала, чем к температуре. Зависимостью мгновенного модуля сдвига ц от Т в данном случае можно пренебречь. Чтобы

упорядочить сложный характер зависимости релаксационного спектра от Г и Р , функциональную зависимость разделяют, представляя её в виде произведения независимых функций

г(Г,р) = т(Г.,р.)ДГ)<р(Р), (1)

где 1 - время механической релаксации; т., р, — параметры приведения.

При описании влияния температуры на релаксационный спектр применяется метод температурно-временной аналогии (ТВА).

Характер изменения релаксационного спектра при отверждении непосредственно связан с особенностями механизма и кинетики химических реакций. В общем случае справедливы следующие модельные представления. На начальном этапе структурирования полимерную композицию можно считать жидкостью, которая при статическом нагружении испытывает только гидростатическое напряженное состояние. С позиций линейной теории вязкоупругости это означает, что время релаксации сдвиговых напряжений для такого материала близко к нулю. Конечный же продукт представляет вязкоупругий материал с некоторым конечным временем релаксации. Пусть х — характерное время релаксации сдвиговых напряжений. Полагая, что при Р=Р0 имеем т = х0 и обозначая х при Р =Р„ (Р„ - предельно достигаемая степень превращения) через т0 + тп, можно предложить следующую аппроксимационную зависимость ( а -константа)

' ЖР„-Р)

-с=т„ехр

(2)

V Р-Ро

описывающую характер изменения релаксационного спектра в широком диапазоне механизмов химических реакций (свободно-радикальная полимеризация, поликонденсация, цепная полимеризация и т.д.). Используя для регулярной части ядра сдвиговой релаксации экспоненциальное представление с характерным временем т, будем иметь (С - константа)

Г(<,р) = СехрН/т). (3)

Зависимость мгновенно упругого модуля сдвига от степени структурирования тогда определяется соотношением

ц = 0,5Ст. (4)

Таким образом, в рамках принятых допущений термомеханическая модель отверждаемой полимерной композиции с параметрами вязкоупругости, зависящими от температуры т и степени структурирования Р, и с учетом относительного изменения объема за счет т и р , имеет вид (3>. = ЗК-2ц)

с^Ы^-в^ + ЬКМ.-Г,, (5)

е-алг'-зе^о, (6)

где г{( -£,',[}(£,)), ц - определяются соотношениями (2), (3) и принципом температурно-временной аналогии,

6кг=а7.(Г-Г0)-а^(Р-Р0), где аг, а^ — коэффициенты теплового расширения и полимеризационной усадки; т0, ро - некоторые "равновесные" (отсчетные) температура и степень структурирования, когда, в отсутствие силового воздействия, напряжения и деформации в среде равны нулю.

Аргументы Г и р связаны кинетическим уравнением, которое в рамках макрокинетического подхода и пренебрежимо малом вкладе механизмов диффузионного и конвективного переноса степени структурирования р , примем в виде

|-=/Срехр(-£//гГ)(1-Р)(1-С0Р). (7)

Квазистатическая задача термовязкоупругости отверждаемого полимерного изделия описывается следующими уравнениями:

— равновесия Коши;

- определяющими уравнениями (4-6);

- теплопроводности;

— макрокинетики реакций полимеризации (7).

При записи уравнений теплопроводности и макрокинетики конвективным переносом Т , р , а также диффузией Р , из-за высокой вязкости среды, низкой диффузионной способности Р , пренебрегается. Не учитывается также пренебрежимо малый в данном случае разогрев среды за счет диссипации механической энергии.

Краевые условия охватывают все возможные кинематические, силовые и тепловые условия рассматриваемых процессов полимеризацию Область интегрирования v , положение границ при решении задачи в рамках рассматриваемых в данном случае малых деформаций известны заранее. В начальный момент времени /0 = 0 задается распределение температуры , степени полимеризации

Сформулированная задача является несвязанной - распределение Г и р отыскивается независимо от напряженно-деформированного состояния. Расчет полей т и р при решении несвязанной задачи термовязкоупругости осуществляется при помощи метода конечных элементов с использованием "слабой" формулировки метода Галеркина.

Анализ процессов, происходящих на стадии полимеризации изделия и последующего его охлаждения до температуры эксплуатации рассмотрим на примере конструкции, верхняя половина поперечного сечения которой, триангуляция области интегрирования, физико-механические и теплофизические параметры корпуса (отмечаются индексом "К") и полимерной системы показаны на рис.1.

В рассматриваемой задаче можно выделить три характерных временных участка.

На первой стадии процесса происходит прогрев изделия до температуры полимеризации. Скорость протекания реакций полимеризации

на этой стадии наибольшая. Материал структурируется в направлении от поверхности вглубь изделия. Мощность тепловыделений меньше мощности кондуктивного переноса тепла, реакции полимеризации во внутренних (ещё не достаточно прогретых) точках реакционного объёма протекают менее активно. Значения е„ и ои возрастают. Изолинии ея ,сти, в момент времени

С = 0,17 , соответствующий наибольшей неоднородности полей т , |3 , ц показаны на рис.3 Концентратором НДС является вершина перфорации.

Л,/Л, = 0Д1; ^/Л, =0,37 Л,/Л, = 0,02; С,1(2 =1,4; а = 60' рс,Ирс,)к =12,6 тк = 0,08 ;(А'/ц)л: =1,02 ат1(ат)к =102 а^=10"5

= 2; т. / т0 = 10'; = 1,05; р„ = 0,952 р0 = 0,1; 2£/с(т„ + т0) = 250;с, = 20,4 с2/Г. = 0,34

т £Л/7^, = 10,2

т!р = 0,1 ; 5/Д = 0,610-1 ВД/с(т„ + т0) = Г°';г1/д = 4,2

-т-¡7» (К, + й)/йз = 1,007

Рис. 1. Схема конструкции, триангуляция, физико-механические и теплофизические параметры модели, температурный режим технологического цикла

Вторая стадия ( <*«0,17...0,5 ) характеризуется незначительным увеличением интенсивности деформаций в вершине перфорации, сдвиговые напряжения релаксируют (рис. 2). На второй стадии процесса происходит выравнивание температурно-конверсионных полей. Скорость химических реакций уменьшается. К моменту времени « 0,5 (=///„,,, - время технологического цикла) полимеризация изделия почти завершена (на 95%). Процесс увеличения степени структурирования материала в дальнейшем протекает очень медленно (р -» Р т при /-><»). Распределение полей Т, Р, ц к концу второй стадии близко к однородному.

На третьей стадии происходит охлаждение изделия до температуры эксплуатации. Здесь, как и на стадии активного прогрева реакционной массы, распределение температуры по объёму изделия неоднородно. Продолжающиеся незавершённые реакции полимеризации приводят к тому, что внутренние слои изделия имеют несколько большую степень структурирования.

е

На рис. 4 показаны изолинии интенсивностей деформаций и напряжений, реализуемых в изделии к моменту его извлечения из термокамеры (/' = 0,99).

А Ч

[Л

i']

№

/ / / ,

1 1 1

£ ... \ ii Л

. \

Рис. 2. Изменение интенсивности деформаций £я и интенсивности напряжений <5 и, 108Ла в характерных точках конструкции в процессе полимеризации

Г=0 17

Рис. 3. Распределение интенсивности деформаций Еи а) и интенсивности напряжений сти, МПа б)

е„ Г=0.?9

а„ Г=0.99

а) б)

Рис. 4. Распределение интенсивности деформаций Еи и интенсивности напряжений аи, МПа

Во второй главе рассматривается молекулярно-динамическое моделирование механического поведения полимерных композитов при циклических нагружениях, получение эффективных характеристик и прогнозирование свойств композита, начиная с наномасштабного уровня.

Исхода из природы любого вещества, очевидно, что естественным пределом его численного деления на малые составляющие являются атомы и молекулы, несущие в себе информацию о химических свойствах, в силу этого естественно рассматривать макроскопическое поведение материала с учетом его атомно-молекулярного строения. Особенно актуальным такой подход представляется для описания свойств полимерных нанокомпозитов (типичных гетерогенных сред), включающих взаимодействующие между собой полимерные ингредиенты и наноразмерные наполнители.

В общем случае механические и прочностные характеристики композитов (гетерогенных сред) целесообразно моделировать в рамках комплексного многоуровневого подхода. Данный подход представляет собой взаимосвязанные и взаимодополняющие друг друга микро- и макроскопические методы, начиная с атомно-молекулярного моделирования (молекулярная динамика) и заканчивая методами описания эффективных свойств материала на макроуровне.

В этой иерархии молекулярно-динамическое моделирование является важным шагом описания структуры и механических свойств композитов на наноуровне.

В работе рассматриваются следующие типы молекулярных систем:

1. Восемь (А/СН] = 8) макромолекул ПЭ по 1095 (Л^ = 1095) мономерных

единиц в каждой макромолекуле;

2. Нанокомпозит Л/СН;=8 №сн =1095 , наполненный 5-ю частицами

фуллеренов Си (МСи =5) (степень наполнения 2.85 массовых процентов);

3. Нанокомпозит А/с„=8 Л^,, = 1095 , наполненный А/Св = 10 (степень

наполнения 5.685 массовых процентов);

4. Нанокомпозит МСНг = 8 Д-„ =1095, наполненный МСш = 30 (степень наполнения 17.11 массовых процентов);

5. Нанокомпозит Маи =31 МСН1 = 1100 , наполненный 1 частицей

шунгитового наполнителя, состоящей из 2002 атомов углерода (степень наполнения 5.411 массовых процентов).

В задаче моделирования механического поведения полиэтилена, наполненного частицами фуллерена Си, использовалось следующее описание взаимодействий в полимерной матрице.

Мономерное звено макромолекулы полиэтилена СН2 представлено в виде объединенной частицы. Длина химической связи между мономерными группами считалась постоянной и равной / = 0.153 им.

Вклад СНг в потенциальную энергию системы от парных взаимодействий между несоседними мономерными группами макромолекулы и межмолекулярные взаимодействия описывается потенциалом Леннард-Джонса.

Потенциальная энергия валентных углов представлялась квадратичной функцией, торсионный потенциал -трехкосинусный.

Для моделирования полиэтилена, наполненного шунгитовым наполнителем использововалась несколько другая (более уточненная) модель полимерной матрицы.

Мономерное звено макромолекулы полиэтилена СН2 также представлено в виде объединенной частицы. Химическая связь между мономерными группами описывалась гармоническим потенциалом,, торсионный потенциал - пятикосинусный.

Для описания фуллеренаС60в работе используется следующая модель. Длина химической связи между соседними атомами углерода принималась постоянной и равной 0.141 нм. Потенциал взаимодействия между атомами углерода частицы фуллерена и мономерными группами снг полимерной матрицы - Леннард-Джонса.

Шунгит — природное фуллереноподобное, неграфитирующееся углеродистое вещество. В опубликованных работах по исследованию структуры шунгитовых пород представлены нередко противоречивые данные о его их структуре. Считается, что основной единицей надмолекулярной структуры углеродистого вещества шунгитовых пород является глобула — плавно изогнутые пакеты углеродных слоев. Молекулярная структура шунгита характеризуется графитоподобным структурным порядком. При этом нарушения периодичности в графеновых слоях могут быть вызваны наличием негексагональных углеродных колец.

На основании выше приведенных данных, шунгитовый наполнитель моделирируется пакетом из 5-ти гексагональных дефектных графитоподобных углеродных сеток (слоев), случайно развернутых относительно друг друга и содержащих от 397 до 422 атомов углерода Химическая связь между атомами углерода в сетке описывалось гармоническим потенциалом, взаимодействия между атомами углерода соседних сеток представлены потенциалом Леннарда-Джонса.

Наиболее простой алгоритм МД-моделирования описывает систему частиц, в которой обеспечивается сохранение постоянного числа частиц N. объема v и полной энергии молекулярной системы е.

е = и+ к, (8)

где и - полная потенциальная энергия молекулярной системы, состоящая из слагаемых, описанных выше, к — полная кинетическая энергия рассматриваемой системы, представляющая сумму кинетических энергий всех частиц.

Микроканонический ансамбль ЫУЕ , описывающий замкнутую систему с постоянной полной энергией (8), не позволяет моделировать

(11)

V <«

внешнее воздействие на молекулярную систему. Сратегия выбора МД ансамбля определяется характером внешнего воздействия на рассматриваемую молекулярную систему: одноосное растяжение моделировалось в МД ансамбле ЮГ, нагружение внешним давлением в ансамбле ирт.

При моделировании в ансамбле ЛГКГ используется термостат Носа-Гувера, гамильтониан которого Н,от связан с гамильтонианом НОТЕ ансамбля ыуе соотношениями:

Н т=к + и (9)

Н^ = Ннте+квТ„^^Ш+)'х(8>ь| (10)

где %(0~ "коэффициент трения" термостата, который может быть определен из решения дифференциального уравнения dx.it) = 1 а

\т — характерное время релаксации термостата, т1х1- внешняя температура "приведения" для термостата.

Гамильтонианы Н/Уиг и Н с точностью до постоянной совпадают со свободной энергией Гельмгольца системы.

При моделировании в каноническом ансамбле ырт в работе используется алгоритм Гувера. Алгоритм приводит к хорошо определенному статистическому механическому ансамблю. Консервативной величиной в данном каноническом ансамбле является свободная энергия Гиббса системы, гамильтониан Н^:

+ (12) где т](/) - коэффициент "трения" баростата, хр - характерное время флуктуации внутреннего давления в рассматриваемой системе, ры -внешнее давление, У(() - мгновенное значения объема рассматриваемой системы, кв - постоянная Больцмана.

Для анализа напряженно-деформированного состояния материала используется тензор вириальных напряжений, определяемый соотношением

¡Г""' (13)

где а„р и еа(1 - компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно.

В соответствии с принятыми выше типами межчастичных взаимодействий, каждый тип взаимодействия будет вносить свой вклад в тензор вириальных напряжений: от Ван-дер-Ваальсовых сил, химических связей, потенциалов валентных и торсионных углов макромолекул.

Построенные начальные конфигурации молекулярных систем приводились в равновесное состояние с использованием канонического ырт МД-ансамбля при нормальных условиях т = 300к,р=105па с периодическими граничными условиями.

Для определения эффективных упругих характеристик нанокомпозита используется обобщенный закон Гука, определяющий связь между компонентами тензоров деформаций и напряжений через тензор упругих коэффициентов Са№:

а,р,у,5 = й. (14)

Для анизотропных упругих тел, когда процесс деформирования проходит изотермически или адиабатически, число независимых коэффициентов упругости равно 21. Обратив 6x6 матрицу упругих коэффициентов С можно получить матрицу податливости материала .

Используя компоненты матрицы 5 можно определить упругие константы материала: модуль Юнга е , коэффициент Пуассона V анизотропного композиционного материала в направлениях различных координатных осей

= ~ 05)

= и = 1,2,3 (16)

из численного эксперимента по всестороннему объемному сжатию материала.

Для проверки адекватности предложенной математической модели, возможности сравнения получаемых механических характеристик с известными экспериментальными данными, анализа причин нелинейности механического поведения полимерных материалов были проведены серии расчетов по циклическому нагружению образцов полиэтилена и нанокомпозитов на его основе избыточным внешним давлением (в ансамбле ЫРТ ) и циклическому растяжению-сжатию (ансамбль N77).

Для оценки изменения механических свойств материала при нагружении избыточным внешним давлением естественно использовать объемную деформацию в и модуль объемного сжатия материала в , определяемые соотношениями

v -v (1р

<9 = ——2-, 5 = -К0— . (17)

к ¿Пг

Из рис. 5а видно, что полимер при циклическом нагружении ведет себя нелинейно (траектории изменения модуля В на ветвях нагрузки и разгрузки не совпадают).

Причины нелинейности механического поведения макромолекул анализировались на модельной задаче, когда из рассмотрения взаимодействий, присущих линейным полимерным макромолекулам были

исключены потенциалы взаимодействий валентных и двугранных углов и оставлены только Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия между несоседними мономерными группами (рис. 56) ( ст1 - первый инвариант тензора вириальных напряжений). Видно, что зависимость а1 от в не меняется на ветвях нагрузки-разгрузки в отличие от случая, когда рассматриваются все типы взаимодействий (рис. 5в).

и г

У

а г

-а а ■»!

ч

а) б) в)

Рис. 5. Изменение объемного модуля а), зависимость первого инварианта тензора вириальных напряжений сг, от в 6) в модельной задаче (без учета валентных и торсионных взаимодействий), зависимость сг, от в в) с учетом всех рассмотренных типов

взаимодействий

Таким образом, полученные результаты позволяют предположить, что нелинейность механического поведения полимерных материалов (даже при уровнях деформации не достигающих разрыва макромолекул) может быть обусловлена изменением конформационных состояний полимерных цепей (т.е. изменение пространственного взаиморасположения мономерных групп) в процессе приложения внешней нагрузки. Во время разгрузки образцов конформационные изменения макромолекул полимера противодействуют возврату полимерной матрицы в исходное состояние, формируя гистерезисную петлю.

На рис. 6 представлены результаты анализа энергетических характеристик образца нанокомозита при его циклическом нагружении внешним давлением с увеличивающейся амплитудой цикла. Видно, что энергия Ван-дер-Ваальсовых взаимодействий практически не изменяется, в то время как вклады потенциалов валентных и торсионных углов четко отслеживают программу нагружения, что дополнительно подтверждает конформационный характер изменений происходящих в полимерах и композитах на их основе при циклическом нагружении.

Гистерезисные свойства нанокомпозита при моделировании циклического деформирования образцов по схеме "нагружение-сокращение" ( ЫУТ -ансамбль) также представляются достаточно необычными: неизменная амплитуда деформации приводит к вырождению гистерезисной петли с ростом числа повторения циклов (рис. 8). Гистерезисная петля уменьшается, и материал становится как бы упругим с пониженными механическими характеристиками. Изменяется форма кривой. Начальный

модуль существенно снижен. На фазе разгрузки нанокомпозит ведегг себя как размягченный упругий материал (рис. 7). Однако при достижении заданного уровня деформации наблюдается резкий рост сопротивления, приближающий материал к первоначальным прочностным характеристикам.

Мся,= 8

Лея, " Н195 Л/&о = 5

§ *

I

1- -- >. •МУОИ г|

-50 •СО 1

1 А

Ъг к до к,

500 1000 1500

ПС

$00 1000 1500 2000 ПС

а) б)

Рис. 6. Вклады в суммарную потенциальную энергию молек лярной системы энергий от различных типов ззаимодействн I . а) Ван-дер-Ваальсовых и торсионных углов,б) валентных I лов.

<= Я /\ /\ Мсн,= 8

'-"■/ \ / \ Ней, = 1095

С, пс

= 5 МСт = Ю

Рис. 7. Изменение модуля объемного сжатия нанокомпо:;лтов (полиэтилен + фуллерены С60) с различными степенями нап щнения при циклическом нагружении с постоянной амплитудой цикла

Нелинейность механического поведения ианокомпозитов усиливается с увеличением степени наполнения (рис. 7). При этом существенно повышаются начальные упругие модули материала при незначительном увеличении степени наполнения.

Еще более выраженную анизотропию механических свойств проявляют нанокомпозиты с включениями "слоистого" типа (шунгитов! ш наполнитель),

рис. 9а, табл. 1. При растяжении материала в поперечном относительно пластины шунгитового наполнителя начальный уровень напряжений оказывается выше, чем при том же эксперименте, когда деформирование идет параллельно углеродным сеткам (рис.9а). Однако, при достижении определенного уровня деформации, характер поведения кривых а-Е меняется.

Для исследования такого эффекта были проведены расчеты, позволяющие оценить причины этого явления. Рассчитывалось количество мономерных групп полиэтилена, взаимодействующих с частицей наполнителя для обоих случаев направления деформирования материала, рис. 96 (в данной математической модели находящихся в пределах радиуса обрезания/;). Из полученных данных видно, что в поперечном направлении на определенном этапе деформирования происходит отслоение полимерной матрицы от наполнителя, в то время как при растяжении параллельно углеродным сеткам количество взаимодействующих с наполнителем групп -СН2 - меняется значительно меньше, происходит так называемое "проскальзывание" полимерных цепей относительно частицы наполнителя композита, что обеспечивает, как следствие, более высокий уровень напряжений при достаточно больших деформациях (рис. 9а).

В табл. 1 представлены результаты расчетов эффективных упругих характеристик полиэтилена и нанокомпозитов на его основе с различными степенями и типами наполнителя, рассчитанные по вышеизложенной методике.

Мен, = 8

10 5

/ \ / \

/ 1 ч / \

/ \

С

Сч

й С I- ,

ф: | 1

/н Л*' . А

1 ¥

Ь, ас б)

Рис. 8. Зависимость главного напряжения (7| при одноосном циклическом растяжении образца с постоянной амплитудой цикла: а) - от деформации £п, б) от времени /.

а) б)

Рис. 9. Зависимость напряжения <т1 от времени / (а) и зависимость количества взаимодействующих с частицей щунгита мономерных групп полимера (6) при одноосном растяжении образца нанокомпозита с шунгитовьш наполнителем в различных

направлениях

Таблица 1

Эффективные упругие характеристики полиэтилена и нанокомпозитов на его основе с различными степенями и типами наполнителя

Массовая доля наполнителя, % Модуль Юнга, ГПа Осредненный коэффициент Пуассона v Модуль объемною сжатия /; , ГПа

Ей Еи En

ПЭ 0 % 1,112 1,109 1,114 0,368 1,402

ПЭ +2,85 С60 3,756 3;212 3,114 0,461 14,225

ПЭ +5,685 С60 3,831 4,779 4,326 0,468 22,458

ПЭ+17,11 С60 5,831 5,527 6,129 0,481 51,130

ПЭ+5 % шунгит 3,586 3,463 2,918 0,448 14,246

В третьей главе рассматривается задача численного моделирования воздействия окружающей среды на величину накопленных повреждений в конструкциях из полимерных композиционных материалов.

Задача исследования качественных закономерностей теплового воздействия на конструкции из полимерных композитов рассматривается в следующем приближении.

Конструкция представлена схемой кругового многослойного (послойно однородного) цилиндра, работающего в условиях плоской деформации и осевой симметрии.

Температурное поле в конструкции отыскивается независимо от напряженно-деформированного состояния (НДС). Влиянием температуры на теплофизические свойства материала можно пренебречь. Задача о НДС решается в линейной вязкоупругой квазистатической постановке с

применением метода температурно-временной аналогии. Величина накопленных повреждений оценивается при помощи интеграла Бейли с использованием принципа линейного суммирования.

В рамках принятых допущений задача определения температуры Г(г,г) в конструкции сводится к интегрированию линейного нестационарного уравнения теплопроводности. На границах между слоями принимается условие идеального теплового контакта, при г = 0 - условия симметричного распределения теплового профиля. Полагая, что наружная поверхность конструкции (г = Я3) подвергается воздействию температуры окружающей среды тс , ветра и солнечного излучения, краевое условие на внешней поверхности можно записать в виде:

= Тс)+<г' (т: - т:)-кфе0 (18)

дг

а=а,+ал а, =а\тс + т,)(тсг+ т,г), где а — суммарный коэффициент теплообмена; а,,а, — коэффициенты конвективного и лучистого теплообмена соответственно; тг - температура поверхности; та - эффективная температура неба; а' - приведенный коэффициент лучеиспускания; кф — коэффициент формы; £ - коэффициент поглощательной способности поверхности конструкции; <2 - поток солнечного излучения, достигшего поверхности.

Задача решалась численным методом с использованием разностной схемы Кранка-Николсона. Для решения системы сеточных уравнений применялась итерационная схема

АТ = Р(Т.) (19)

при условии локальной сходимости 1 ат

где а - матрица коэффициентов; т - вектор искомых узловых температур; /•"(7^) — вектор правой части, нелинейно зависящий от температуры поверхности; е - номер итерации; а,л - коэффициенты температуропроводности и теплопроводности соответственно; г - шаг решения задачи по времени; м = ат/Дг/, Дг, = Л, - , л = 1,3.

Учитывая, что вязкоупругий' наполнитель конструкции практически несжимаем, расчет НДС реализован при помощи метода конечных элементов на основе вариационного принципа Геррмана.

Для описания механического поведения использованы уравнения линейной вязкоупругой среды, объемная деформация которой не релаксирует. Влияние температуры на реологические свойства материала учтено при помощи принципа температурно-временной аналогии.

14/11 ^ А. Ж1

Г—+—V+4а'т;) [а г,

< 1, (20)

Для оценки длительной прочности введем функцию повреждаемости

/

О < со < 1 и воспользуемся интегралом Бейли |сЛ I . Пусть в течение времени

о

г = <>+1 -tj в конструкции реализуется некоторое эквивалентное напряжение а 1 и постоянная температура т) и пусть долговечность материала при этих условиях равна 1Ч]. Используя принцип линейного суммирования, величину накопленных повреждений за у шагов по времени запишем в виде

со

(21)

В качестве примера рассматриваются некоторые результаты расчетов теплового воздействия окружающей среды на процесс накопления повреждений в трехслойной конструкции, содержащей наполнитель из полимерного композита (рис 10а) со следующими параметрами (индексами 1,2,3 отмечены номера слоев)

л, = 0,025вт/(м град) а, = 0.197-Ю-4мг /град X,/Я, = 5.24-10'2 а2/а3 = 0.885-10"2 =0.893-10"2 к,.V, =1.663 аг2/аг3 = 8.88

^/^, = 2.8 /?3/Я, =2.84 кф = 0.5 £- = 0.25 70 = 20°С Г(г)/2//2 = 0/05Г1|2(/>10~3с) (.„ = ват(т„)а;а Я = 1.52-Ю40 н-с1мг

а = 8.75 ^ат(Т, С) = 1.42

3.38-

8.86(7'+ 34.6) 1 ' 182+ (Г+ 34.6)']'

1 1 1 и :¡'

1 \ -- -- --

а)

б)

в)

Рис. 10. Схема конструкции (1 -воздух, 2-вязкоупругий наполнитель, 3-оболочка) а), изменение скорости ветра б), интенсивности солнечного излучения в) и температуры окружающей среды г) в течение летних и зимних суток

В качестве эквивалентного напряжения принималась интенсивность напряжений. Изменения температуры окружающей среды, скорости ветра в течение летних и зимних суток представлены на рис. 106,в,г. Эффективная температура неба та и коэффициент конвективного теплообмена

аК(Вт/м2 К) оценивались по следующим эмпирическим соотношениям:

та = тс-20°; ак = с/л/К/2Д,; с{ = 0.6 при 3-10"4<КЛ1<3 и с, = 1 при

> 3, где v - скорость ветра, м/с.

Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 11,12 (г = 288с). Кривыми 1 обозначены результаты расчетов при хранении конструкции на открытом воздухе зимой, кривыми 2,3,4 — при хранении в течение летних суток под навесом, на открытом воздухе и в ангаре соответственно. Условия хранения на открытом воздухе моделировались совместным воздействием температуры воздуха, ветра и солнечного излучения; под навесом -температурой и ветром; в ангаре — температурой.

- w '

. ../%

!:: > —

а) б)

Рис. 11. Кольцевые деформации канала а) и контактные отрывные напряжения б)

у у

J / / у у

Г/ г

Рис. 12 Изменение параметра повреждаемости.

Из соотношения для функции повреждаемости а (рис.12) видно, что на величину накопленных повреждений оказывают влияние, с одной стороны, напряжения в конструкции (прямо пропорционально), с другой - функция вязкоупругого смещения (обратно

пропорционально). Вследствие этого напряжения и повреждения по-разному зависят от температуры, реализуемой в изделии. Расчеты показали, что в рамках принятой модели в данной задаче большее влияние на величину накопленных повреждений а оказывает функция ат(Т) , в меньшей степени напряжения сг.

Приведенные результаты отражают процесс накопления повреждений качественно, в первом приближении. Для полноценной количественной оценки накопления повреждений в конструкциях из полимерных композиционных материалов от теплового воздействия окружающей среды и определения оптимальных условий их хранения необходимы детальные исследования при длительном времени.

В четвертой главе обсуждаются функциональные возможности разработанного программного комплекса Finite Element Method for Heat Stress Analysis ( FEMHSA ), реализующего рассмотренные в гл. 1,3 методики расчетов теплового и напряженно-деформированного состояния многосвязных неоднородных изотропных конструкций произвольной формы методом конечных элементов в плоской и осесимметричной постановках.

Отдельно рассмотрены аспекты параллельной реализации алгоритмов молекулярной динамики на многопроцессорных вычислительных системах и алгоритмы формирования пакетов исходных данных для МД-расчетов, постпроцессорная обработка полученных результатов и их визуальное представление.

Программный комплекс FEMHSA состоит из трех модулей PDFEM, FEMHT, FEMSA, каждый из которых может использоваться независимо или во взаимной связи.

Автоматизированная программная система PDFEM предназначена для генерации сетки треугольных конечных элементов в многосвязных двумерных областях произвольной формы, последующей ее коррекции и перенумерации узлов сетки с целью получения минимальной ширины ленты системы разрешающих уравнений. Для генерации сетки треугольных элементов используется один из наиболее эффективных методов -выравнивание-выемка. Перенумерация узлов сетки производится при помощи высокоэффективного безытерационного фронтального алгоритма Коллинза.

Программный комплекс FEMHT предназначен для решения стационарных и нестационарных задач теплообмена в плоской и осесимметричной постановках для областей произвольной формы с граничными условиями I, II, III рода. В основу FEMHT заложен метод конечных элементов исходя из слабой формулировки Галеркина для нестационарного уравнения теплопроводности. Интегрирование по времени проводится по схеме Кранка-Николсона. Средства визуализации полученных в результате решения данных позволяют отображать распределения температурных полей в виде изолиний в рассматриваемый момент времени во всей области интегрирования и произвольно выбранном фрагменте, расчет температуры в конкретной точке конструкции и ее изменение во времени при решении нестационарных задач.

Модуль FEMSA предназначен для решения линейных задач термоувязкопругости в плоской и осесимметричной постановках для конструкций произвольной формы с любыми кинематическими и силовыми граничными условиями. Системы конечноэлемеитпых уравнений строятся по схеме Галеркина относительно узловых перемещений и функции гидростатического давления в элементах, что дает возможность расчета конструкций с любой объемной сжимаемостью. Работа с комплексом FEMSA предполагает использование файлов последовательного доступа, сформированных автоматизированной системой подготовки исходных данных PDFEM и программным комплексом для задач теплообмена FEMHT, либо файлов данных, подготовленных пользователем самостоятельно. Зависимость реологических характеристик от температуры учитывается при помощи принципа температурно-временной аналогии. Для реологических характеристик могут быть заданы любые кинетические уравнения, что открывает возможность расчета процессов с химическими реакциями отверждения и плавления, кристаллизации, упрочнения и т.д.

Комплекс РЕМИЗА может быть использован специалистами предприятий и организаций машиностроения, химической и пищевой промышленности, горного дела, а также всеми, кому приходится иметь дело с прогнозированием и анализом теплового и напряженно-деформированного состояния различных объектов.

Отличительной особенностью задач молекулярной динамики является большая размерность моделируемых систем, которые могут достигать сотен тысяч и даже миллионов атомов.

Формирование пакетов исходных данных для таких задач является самостоятельной достаточно сложной задачей. В параграфах 4.2.1 и 4.2.2 предложен алгоритм построения начальных конфигураций молекулярных систем, состоящих из линейных макромолекул и композитов на их основе. Предложенный алгоритм достаточно эффективен и позволяет получать начальные конфигурации полимерных систем в широком диапазоне задаваемой плотности и композитов с различными степенями и типами наполнителей.

Появление высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных систем требует разработки параллельной реализации алгоритмов математического моделирования, в том числе и алгоритмов метода молекулярной динамики. В параграфах 4.3.1-4.3.4 обсуждаются методы распараллеливания задач молекулярной динамики: метод декомпозиции частиц, метод декомпозиции области, метод декомпозиции по силам. Проведен сравнительный анализ эффективности применения этих методов для рассматриваемого класса задач.

ВЫВОДЫ

1. Разработана физико-математическая модель формирования изделий из полимерных композиционных материалов, учитывающая закономерности кинетических процессов при протекании реакции полимеризации, по результатам анализа которой предложено кинетическое уравнение, описывающее эволюцию реологических свойств полимерного материала в ходе процесса отверждения в рамках теории линейной термовязкоупругости.

2. Определены критические условия, при которых возникают существенное (имеющие потенциальное влияние на конструкционные свойства изделия) напряженно-деформированное состояния изделий в ходе процесса полимеризации.

3. Результатами расчетов показано, что структурные изменения в отверждаемом материале влияют на температурный режим (теплонапряженное состояние материала), на процесс полимеризации и химико-кинетическое взаимодействие процессов тепломассопереноса и напряженно-деформированного состояния .

4. Проведена количественная оценка остаточных напряжений на основе решения задачи отверждения цилиндра из вязкоупругого композита, скрепленного с оболочкой при различных теплофизических режимах

(рассмотрены адиабатический и изотермический варианты технологического процесса).

5. Разработана молекулярно-динамическая модель механического поведения нанокомпозитов на основе полиэтилена с наполнителями различных типов (фуллерены С60 и углеродные нанокластеры, содержащиеся в шунгитовых породах). Рассмотрены различные типы нагружения в рамках модели молекулярной динамики с использованием канонического ансамбля ИРТ для моделирования всестороннего сжатия и ансамбля ЫУТ для рассмотрения задачи одноосного растяжения.

6. Разработаны методики расчета термомеханических макроскопических характеристик композиционного материала на основе применения метода молекулярно-динамического моделирования. Получены оценки модуля Юнга, коэффициента Пуассона, модуля объемного сжатия полимерных нанокомпозитов с различными типами и степенями наполнения. Выявлен эффект усиления механических свойств композита в 3-5 раз относительно ненаполненного полимера.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Альес М.Ю., Булгаков В.К., Евстафьев О.И. Численное исследование влияния окружающей среды на величину накопленных повреждений в цилиндрических конструкциях из композиционных материалов // Тезисы докладов конф. "Молодежь Удмуртии - ускорению научно-технического прогресса". Ижевск. 1987 г. С. 132.

2. Евстафьев О.И., Альес М.Ю. Методика расчета формования изделий из отверждающихся эластомеров. // Тезисы докладов II Всесоюзной научно-технической конференции "Реология и оптимизация процессов переработки полимеров" (Ижевск, 1921 сентября 1989 г.). Ижевск. 1989 г. С 154.

3. Липанов A.M., Альес М.Ю., Евстафьев О.И. и др. Спецтема // Отраслевой журнал. М. 1989. №5.

4. Альес М.Ю., Липанов A.M., Булгаков В.К., Евстафьев О.И. О численном моделировании воздействия окружающей среды на величину накопленных повреждений в двигателях летательных аппаратов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1990. №2, С. 65-67.

5. Липанов A.M., Альес М.Ю., Евстафьев, О.И. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния отверждающихся полимерных систем // Изв. АН СССР. Высокомолекулярные соединения. 1991. Т. (А) 33, № 1, С. 52-59.

6. Уткин В.Ф., Евстафьев, О.И. Альес М.Ю. и др. Спецтема // Отраслевой журнал. М. 1992. №1.

7. Альес М.Ю., Евстафьев О.И., Константинов Ю.Н., Санников В.М. Программный комплекс FEMHSA для анализа задач вязко и термовязкоупругости // Численные методы механики сплошной среды . Тез. докладов IV Всерос. шк. молодых ученых (Абрау-Дюрсо, 26.05-31.05 1992 г.). Красноярск. 1992. С. 183.

8. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование процессов размягчения наполненных полимерных систем // Известия Института математики и информатики. Ижевск : УдГУ. 2006. Вып. 3(37). С. 37-38.

9. Евстафьев О. И., Копысов С. П. Определение эффективных упругих характеристик полимерных нанокомпозитов при циклическом деформировании // Химическая физика и мезоскопия. 2007. Т.9, № 4. С.377-383.

/

10. Евстафьев ОМ., Копысов С.П. Молекулярно-динамическое моделирование наполненных полимеров при циклическом нагружении // Сб. статей "Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая)". В 3-х частях. 4.2. Екатеринбург : УрО РАН, 2007. С. 7-10.

11. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование циклического деформирования нанокомпозитов // Сб. трудов XII Всерос. шк.-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо, Изд-во Южного федерал, ун-та. Абрау-Дюрсо. 2007. С. 83-88.

12. Евстафьев О.И. Определение упругих характеристик полимерного материала, наполненного наноразмерными частицами, методом молекулярно-динамического моделирования // Численные методы в математике и механике. Ижевск. ИПМ УрО РАН. 2007, С. 50-53.

13. Липанов A.M., Евстафьев О.И., Копысов С.П. Определение эффективных упругих характеристик полимерных нанокомпозитов методом молекулярной динамики // Тезисы докл. Всерос. конф. с междунар. интернет-участием «От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к наноиндустрии». Ижевск . ИПМ УрО РАН. 2007.

14. Липанов A.M., Евстафьев О.И., Копысов С.П. Молекулярно-динамическое моделирование циклического нагружения полимерных нанокомпозитов // Тезисы докл. Всерос. конф. с междунар. интернет-участием «От наноструктур, наноматериалов и нанотехнологий к наноиндустрии». Ижевск. ИПМ УрО РАН. 2007. С. 61.

15. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование структуры и свойств шунгитонаполненного полимерного композита // Актуальные проблемы математики, механики, информатики. Пермь. 2008. С. 62-67

16. Евстафьев О.И., Копысов С.П., Пряхин В.В. Математическое моделирование деформирования композитов на наноуровне//Вестник ИжГТУ. 2008. №3. С. 137-140

17. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Молекулярно-динамическое моделирование структуры и свойств нанокомпозита с шунгитовым наполнителем // Вестник Удмуртского университета. 2008. № 2. С. 179-181.

18. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование структуры и физико-механических свойств полиэтилена с шунгитовым наполнителем // Химическая физика и мезоскопия. 2008. Т. 10, №1. С.25-31.

19. Алъес М.Ю., Евстафьев О.И. Методика получения начальных конфигураций для молекулярно-динамического моделирования линейных полимеров и композитов на их основе // Химическая физика и мезоскопия. 2009. Т. 11, №1. С.28-34.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Евстафьева Олега Ивановича

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ХАРАКТЕРНЫХ СТАДИЙ "ЖИЗНЕННОГО" ЦИКЛА ПОЛИМЕРНЫХ (НАНО) КОМПОЗИТОВ

Подписано в печать 29.10.09 Бумага офсетная. Формат 60x84/16 Объем 1,44 п.л. Тираж 100 экз. Отпечатано в ИПМ УрО РАН 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

С. 60.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ПРОЦЕССЕ ПОЛИМЕРИЗАЦИИ

1.1 Определяющие уравнения.

1.2 Линейная вязкоупругая модель термомеханического поведения полимеризующегося материала.

1.3 Постановка задачи расчета напряженно-деформированного состояния, возникающего в процессе полимеризации изделий.

1.4 Алгоритмы численного расчета НДС в процессе полимеризации изделий из ПКМ. Проекционно-сеточная аппроксимация уравнений.

1.5. Особенности решения систем проекционно-сеточных уравнений неупругого поведения полимерных изделий в условиях малых деформаций при больших значениях модуля всестороннего растяжения (сжатия).

1.6 Численные исследования напряженно-деформированного состояния на стадии реакционного формования изделий.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛИМЕРНЫХ НАНОКОМПОЗИТОВ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНО-ДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1 Выбор силового поля.

2.2 Уравнения движения.

2.3 Выбор молекулярно-динамического ансамбля

2.3.1 Термостат Носа-Гувера.

2.3.2 Баростат Гувера.

2.4 Определение напряжений.

2.4.1 Вклад потенциала Ван-дер-Ваальсовых сил.

2.4.2 Вклад потенциала валентных углов.

2.4.3 Вклад потенциала торсионных углов.

2.5 Задание начальных условий для рассматриваемых молекулярных систем и приведение их в равновесное состояние 66 2.6. Периодические граничные условия.

2.7 Определение эффективных упругих характеристик нанокомпозитов.

2.8 Результаты численного моделирования.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ НА ВЕЛИЧИНУ НАКОПЛЕННЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ В КОНСТРУКЦИЯХ И ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

3.1 Постановка задачи отыскания температурных полей.

3.2 Методика расчета напряженно-деформированного состояния и величины накопленных повреждений.

3.3 Результаты численных исследований.

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ЗАДАЧ ПОЛИМЕРИЗАЦИИ, ВОЗДЕЙСТВИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

4.1 Структура программного комплекса РЕМИЗА.

4.1.1 Модуль построения конечноэлементных сеток РЭИЕМ.

4.1.2 Модуль решения нестационарых задач теплопереноса РЕМНТ.

4.1.3 Модуль решения задач напряженно-деформированного состояния конструкций РЕМЭА.

4.2 Формирование начальных данных метода молекулярной динамики.

4.2.1 Получение начальных конфигураций линейных макромолекул.

4.2.2 Получение начальных конфигураций нанокомпозитов.

4.3 Алгоритмы параллельной реализации метода молекулярной динамики и обработка данных МД расчетов.

4.3.1. Виды учитываемых сил.

4.3.2. Метод декомпозиции частиц.

4.3.3. Метод декомпозиции области.

4.3.4. Метод декомпозиции по силам.

4.3.5. Обработка данных МД-расчетов.

Согласно аналитическим прогнозам ученых ряда ведущих индустриально развитых стран в ближайшие 10-20 лет еще более широкое применение в различных отраслях промышленности получат композиционные материалы и конструкции из них. Сегодня использование силикатных, углеродных, и других наполнителей (в качестве армирующих элементов) в сочетании с полимерными связующими (в роли матриц) позволяет создавать конструкции с существенно более высокой прочностью и жесткостью, по сравнению с традиционными, получать заметный выигрыш в весе и габаритах, а также хорошие демпфирующие свойства при низкой теплопроводности и прекрасной коррозийной стойкости.

С точки зрения механики современные композиты - гетерогенные, анизотропные, нелинейные среды. Необходимость прогнозирования свойств и поведения таких объектов поставило перед наукой много новых проблем, которые требуют глубокого теоретического осмысления и математического оформления. В рамках механики сплошной среды создано множество моделей, описывающих механическое поведение и учитывающих как реономные, так и склерономные эффекты [1-11].

Рассматривая композиционные материалы как гетерогенные нелинейные среды, ученые ищут пути предсказания механического и прочностного поведения таких систем. Поскольку внутренние параметры гетерогенной среды неизвестны, то для описания макромеханических свойств гетерогенных композитов очень важно уметь моделировать их микромеханическое поведение, в частности, на уровне межфазных слоев. Это относится как к армированным (волокно-наполненным) композитам, так и к усиленным мелкодисперсными наполнителеми материалам. При моделировании строения таких композитов перспективными могут оказаться структурные модели, в которых последовательно рассматриваются свойства наполнителя, матрицы и межфазных слоев, на границе наполнитель-матрица и т.д.

Учитывая сложную природу и многообразие существующих типов композитов необходимо привлекать различные модельные подходы: упругий, нелинейно-упругий, упругопластический, вязкоупругий и т.п. Если матрица полимерная, то следует учитывать и особенности ее строения. Для наполнителей важно научиться моделировать свойства поверхности, а именно, их химическую или физическую активность, силы взаимодействия между наполнителем и композитной матрицей. Следует разрабатывать методы оценки свойств в межфазных слоях, в частности новые методы имитационного моделирования. При описании макромеханических свойств гетерогенного композиционного материала в целом существенным является выбор метода расчета эффективных механических свойств.

Современные задачи по оценке механических характеристик новых полимерных композиционных материалов (ПКМ) на базе соотношений только теории упругости и механики твердого тела решить невозможно. Они требуют объединения знаний многих дисциплин. Разработка теоретических основ создания композиционных материалов и конструкций, определение условий, в которых их структурные составляющие адгезионно хорошо связаны и согласованно работают в конструкции, совместно воспринимая действующие нагрузки, является актуальной задачей сегодняшнего дня.

Для решения перечисленных задач эффективно может быть использован метод математического моделирования. Математическое моделирование любого объекта включает в себя формулировку модели в виде соответствующих уравнений, разработку алгоритмов их решения и создание пакетов прикладных программ для реализации разработанных алгоритмов [12].

При построении численных алгоритмов очень важно учитывать свойства решений, выражающиеся в присущих им законах сохранения. В связи с этим следует подчеркнуть необходимость соблюдения принципа консервативности [13].

При оценке напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций из ПКМ можно выделить три характерных стадии:

- НДС в процессе изготовления изделия (полимеризационные напряжения);

- эксплуатационные нагрузки, которые часто имеют циклический характер;

- НДС, обусловленное внешним воздействием окружающей среды на изделие (температура воздуха, ветер, солнечное излучение).

В работе рассмотрены математические модели механического поведения ПКМ на этих стадиях "жизни" изделия.

В первой главе формулируется задача расчета теплового и напряженно-деформированного состояний отверждающегося материала в рамках теории линейной вязкоу пру гости. Предложено кинетическое уравнение, описывающее изменение реологических свойств полимера в, процессе полимеризации.

Численно задача решается методом конечных элементов на основе., "слабой" формулировки Галеркина [14,15]. Проведены серии расчетов НДС конструкций из ПКМ в одномерной, плоской и осесимметричной постановках при различных технологических режимах отверждения (изотермический, адиабатический).

Вторая глава посвящена математическому моделированию механического поведения полимерных композитов с наноразмерными наполнителями, как к активно развивающемуся типу материалов [48, 64, 65], и получению их макрохарактеристик методом молекулярной динамики [60].

Уравнения классической механики являются одним из старейших объектов изучения в математике и играют исключительно важную роль во многих приложениях.

Одним из применений механического подхода к изучению объектов на микроуровне является математическое моделирование их динамики на основе классических представлений о движении.

В диссертационной работе рассматриваются как теоретические, так и прикладные вопросы математического моделирования молекулярных микроструктур. В основе механического подхода лежит представление о молекулярной структуре как о совокупности частиц, взаимодействующих между собой и с внешней средой по определенным законам.

Полученные результаты серий численных расчетов позволяют оценить причины нелинейности механического поведения нанокомпозитов при циклическом деформировании ("эффект Маллинза" [18,19], гистерезисные явления и т.д.). Кроме того, такой многомасштабный подход от исследования механического поведения материала на атомно-молекулярном уровне до получения макрохарактеристик представляется перспективным для получения набора констант для определяющих уравнений, описывающих свойства ПКМ в рамках механики сплошной среды.

В третьей главе рассматривается задача численного моделирования воздействия окружающей среды на величину накопленных повреждений в конструкциях из полимерных композиционных материалов.

Исследования накопления повреждений и длительной прочности изделий из ПКМ ведутся в нескольких направлениях [66-70].

Как один из вариантов можно предложить описание внешнего воздействия факторов воздействия окружающей среды (температура воздуха, интенсивность солнечного излучения, влажность, ветер) на изделие стохастическими процессами различного типа (например, марковский, пуассоновский [20]). Преимуществом такого подхода является возможность прогнозирования процесса накопления повреждений на длительных временах при малых вычислительных затратах. Недостатком является то, что при этом оценка НДС конструкции производится с учетом некоторых осредненных тем или иным способом характеристик.

Развитие компьютерной техники, использование высокоэффективных вычислительных алгоритмов позволяет решать такие задачи "прямым" методом, учитывая неоднородность НДС конструкций, подвергающихся внешнему воздействию окружающей среды. Это значительно повышает точность прогнозов длительной прочности изделий из ПКМ. В диссертационной работе рассматривается задача определения величины накопленных повреждений методом, который предусматривает анализ НДС конструкции из ПКМ в режиме "реального" времени, не прибегая к процедурам осреднения. Таким образом, предложенная методика прогнозирования длительной прочности изделий из ПКМ, может быть применена для определения оптимальных условий хранения конструкций из ПКМ, обеспечивающих высокий уровень эксплуатационной готовности.

В четвертой главе обсуждаются функциональные возможности разработанного программного комплекса Finite Element Method for Heat and Stress Analysis (FEMHSA), реализующего рассмотренные в гл. 1,3 методики расчетов теплового и напряженно-деформированного состояния многосвязных неоднородных изотропных конструкций произвольной формы методом конечных элементов в плоской и осесимметричной постановках.

Отдельно рассмотрены аспекты параллельной реализации алгоритмов молекулярной динамики на многопроцессорных вычислительных системах и алгоритмы формирования пакетов исходных данных для молекулярпо-динамических расчетов, постпроцессорная обработка полученных результатов и их визуальное представление.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана физико-математическая модель формирования изделий из полимерных композиционных материалов, учитывающая закономерности кинетических процессов при протекании реакции полимеризации, по результатам анализа которой предложено кинетическое уравнение, описывающее эволюцию реологических свойств полимерного материала в ходе процесса отверждения в рамках теории линейной термовязкоу пру гости.

Определены критические условия при которых возникают существенное (имеющие потенциальное влияние на конструкционные свойства изделия) напряженно-деформированное состояния изделий в ходе процесса полимеризации.

Результатами расчетов показано, что структурные изменения в отверждаемом материале влияют на температурный режим (теплонапряженное состояние материала), на процесс полимеризации и химико-кинетическое взаимодействие процессов тепломассопереноса и напряженно-деформированного состояния .

Проведена количественная оценка остаточных напряжений на основе решения задачи отверждения цилиндра из вязкоупругого композита, скрепленного с оболочкой при различных теплофизических режимах (рассмотрены адиабатический и изотермический варианты технологического процесса).

Разработана молекулярно-динамическая модель механического поведения нанокомпозитов на основе полиэтилена с наполнителями различных типов (фуллерены С60 и углеродные нанокластеры, содержащиеся в шунгитовых породах). Рассмотрены различные типы нагружения в рамках модели молекулярной динамики с использованием канонического ансамбля ЫРТ для моделирования всестороннего сжатия и ансамбля ЫУТ для рассмотрения задачи одноосного растяжения.

Разработаны методики расчета термомеханических макроскопических характеристик композиционного материала на основе применения метода молекулярно-динамического моделирования. Получены оценки модуля Юнга, коэффициента Пуассона, модуля объемного сжатия полимерных нанокомпозитов с различными типами и степенями наполнения. Выявлен эффект усиления механических свойств композита в 3-5 раз относительно ненаполненного полимера при достаточно малых степенях наполнения.

Исследовано механическое поведение нанокомпозиционных материалов с различными с степенями и типами наполнителей при циклическом нагружении Выявлены закономерности изменения напряженно-деформированного состояния и физико-механических характеристик образцов при циклическом деформировании и причины их нелинейности. Методом молекулярной динамики получен эффект Маллинза ("размягчения"), наблюдаемый при циклическом деформировании полимерных композиционных материалов.

Сформулирована математическая модель температурного воздействия факторов окружающей среды на процесс накопления повреждений в изделиях из полимерных композиционных материалов при их хранении в различных условиях при совместном или раздельном воздействии температуры окружающего воздуха, ветра, солнечного излучения. Таким образом моделировались условия хранения изделий на открытом пространстве, под навесом (отсутствует температурное влияние солнечного излучения), в ангаре (воздействует только температура воздуха).

Проведены исследования влияния внешних факторов окружающей среды на длительную прочность изделий из полимерных композиционных материалов. Полученные качественные результаты позволяют рекомендовать условия хранения изделий из полимерных композиционных материалов в различных климатических зонах и временах года.

Разработан и внедрен программный комплекс Finite Element Method for Heat Stress Analysis (FEMHSA), позволяющий методом конечных элементов рассчитывать в рамках теории сплошной среды тепловое и напряженно-деформированное состояние конструкций произвольной формы в плоской и осесимметричной постановках. Программный комплекс FEMHSA состоит из трех модулей: формирования конечноэлементной сетки для рассматриваемой области произвольной формы с ее последующей регуляризацией и возможностью ручной коррекции, модуль решения задачи нестационарной теплопроводности с различными краевыми условиями (условия 1,11 и III рода), программа решения задачи о напряженно-деформированном состоянии конструкции при различных типах нагружения (точечные силы, внешнее давление, заданные перемещения на границах рассматриваемой области интегрирования). При этом расчет может производится с учетом температурных нагрузок.

Предложен оригинальный алгоритм формирования начальных данных для молекулярно-динамических расчетов систем, состоящих из линейных полимерных макромолекул и композиционных материалов на их основе, в широких диапазонах плотности и степени наполнения рассматриваемых материалов.

Разработаны компьютерные программы постпроцессорной обработки результатов решения задач молекулярной динамики полимерных нанокомпозитов, что при очень большом количестве выходных данных, является достаточно сложной самостоятельной задачей. Определены программные средства, позволяющие наиболее эффективно визуализировать результаты расчетов с целью их последующего анализа и обработки.

1. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе). М. Наука, 1972, 328 С.

2. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М. Наука. 1970, 280 С.

3. Зезин Ю.П. О механическом поведении материалов, обладающих свойствами незатухающей памяти. // В кн.: Физика структуры и свойств твердых тел. Куйбышев. 1977. вып.2, С. 136-144.

4. Farris R.J. The Character of the Stress — Strain Function for Highly Filled Elastomer. // Trans. Soc. Rheol. 1968. v. 12, N 2, P. 303-314.

5. Fitzgerald J.E., Farris R.J. Deficiencies of Viscoelastic Theories as Applied to Solid Propellants. // Bull, of the First Joint Army-Navy NASA -tAir Force Meeting of the Working Group on Mech. Ben. 1970. Pub 1,. N 160.

6. Зезин Ю.П., Малинин Н.И. Экспериментальная проверка концепции Фитцджеральда о незатухающей памяти наполненных полимеров. // МТТ. 1977. N3, С. 125-129.

7. Farris R.J. Homogeneous Constitutive Equations for Materials with Permanent Memory. Dissertation Doctor Philosophy. Ph. Dept. of Civil Eng., Univ. of Utah. 1970. 143 P.

8. Малкин А.Я. О типах и механизмах нелинейности механического поведения полимеров. // Высокомолекулярные соединения. 1987. т.(А) 29, N4, С. 801-806.

9. Шепери Р. Вязкоупругое поведение композиционных материалов. // В кн.: Механика композиционных материалов, т.2. М. Мир. 1978. С. 102-195.

10. Farris R.J. The Influence of Vacuole Formation on the Responce and Failure of Highly Filled Polymers. // Trans. Soc. Rheol. 1968. v.12. N 2, P.315-334.

11. Шепери P. Анализ деформирования и разрушения вязкоупругих композитов. // В кн.: Неупругие свойства композиционных материалов. М. Мир. 1978, 294 С.

12. Самарский А.А. Математическое моделирование — интеллектуальное ядро информатики // Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М. Наука. 1988. С.19-30.

13. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука. 1988. 616 С.

14. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М. Мир. 1988. 352 С.

15. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М. Наука. 1989. 608 С.

16. Андриевский Р.А. Наноструктурные материалы. М. Академия. 2005. 192 С.

17. Головин Ю.И. Введение в нанотехнику. М. Машиностроение. 2007. 496 С.

18. Mullius L. Effect of Stretching on the Properties of Rubber. // J. Rubber Res. 1947. v.16, P.275-289.

19. Mullins L. Softening of Rubbers by Deformation. // Rubber Chem. and Tech. 1969 v.42. N 1, P.339-362.

20. Гардинер КВ. Стохастические методы в естественных науках. М. Мир. 1986. 526 С.

21. Виноградов В.Г., Малкин А.Я. Реология полимеров. М. Химия. 1977. 440 С.

22. Малкин А.Я., Куличихин С.Г. Реология в процессах образования и превращения полимеров. М. Химия. 1985. 240 С.

23. ФерриДж. Вязкоупругие свойства полимеров. М. Мир. 1963. 535 С.

24. Smith T.L. Volume Changes and Dewetting in Glass Bead Polyvinylchloride Elastomeric Composites under Large Deformations. // Trans. Soc. Rheol. 1959 v.3, P.113-136.

25. Oberth A.E., Bruenner R.S. Tear Phenomena around Solid Inclusions in Castable Elastomers. // Trans. Soc. Rheol. 1965. v.9. N 2, P. 165-185.

26. Oberth A.E. Principle of Strength Reinforcement in Filled Rubbers. // Rub. Chem. Techn. 1967. v.40, P. 1337-1363.

27. Усиление эластомеров // Сб. статей под ред. Дж. Крауса. М. Химия. 1968. 448 С.

28. Эйрих Ф.Р.,Смит T.JI. Молекулярно-механические аспекты изотермического разрушения эластомеров. // В кн.: Разрушение, т.7. часть 2. М. Мир 1976. С. 104-390

29. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966, 752 С.

30. Бленд Дж. Теория линейной вязкоупругости. М. Мир. 1965. 199 С.

31. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М. Наука. 1973 288 С.

32. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М. Мир 1974. 338 С.

33. Байзенбергер Дж.А., Себастиан Д.Х. Инженерные проблемы синтеза полимеров. М. Химия 1988. 688 С.

34. Волъфсон С. А., Еныколонян Н.С. Расчеты высокоэффективных полимеризационных процессов. М. Химия. 1980. 312 С.

35. Малкин А.Я., Куличихин С.Г. Реология в процессах образования и превращения полимеров. М. Химия. 1985. 240 С.

36. Голъдман А.Я. Прочность конструкционных пластмасс. Л. Машиностроение. 1979. 320 С.

37. Голъдман А.Я. Прогнозирование деформационно-прочностных свойств полимерных и композиционных материалов. JI. Химия. 1988. 272 С.

38. Шадрин O.A. Исследование напряженно-деформированного состояния изделий в процессе фазовых превращений полимеров. // В сб.: Исслед.течений и фазовых превращ. в полимерных системах. Свердловск. УНЦ АН СССР. 1985. С.106-109.

39. Зезин Ю.П. Использование метода временных аналогий для учета влияния температуры и гидростатического давления на механические свойства высоконаполненных полимерных систем. // Мех Композиционных материалов. 1982. N 1, С.23-28

40. Полимерные нанокомпозиты. под редакцией Ю Уинг Май, Жонг Жен Ю. М. Техносфера. 2008. 238 С.

41. Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир нанорасчета // Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2005. 160 С.

42. Ковалевский В.В. Углеродистое вещество шунгит: Структура, генезис, классификация: Автореф. дисс д-ра геолог.-мин. наук: 25.00.05 // Ин-т геологии УрО РАН. Сыктывкар, 2007. 37 С.

43. Кучер Е.В, Фофанов А.Д., Никитина Е.А. Компьютерное моделирование атомной структуры углеродной составляющей шунгита различных месторождений //Исследовано в России. 2002. № 102., С. 1113-1121.

44. Яновский Ю.Г., Мягков H.H., Никитина Е.А. и др. Компьютерное моделирование и наноскопические исследования структуры и свойств шунгита // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. №4, С. 513-529

45. Михайлин Ю.А. Конструкционные полимерные композиционные материалы. М. изд. Научные основы и технологии. 2008. 822 С.

46. Mouiee В.В, Гаришин O.K. Структурная механика дисперсно-наполненных эластомерных композитов // Успехи механики. 2005. Т.З №2, С.3-36.

47. Verlet L. Computer «experiments» on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules//Phys. Rev. 1967. V. 159. P. 98;

48. Verlet L. Computer «experiments» on classical fluids. II. equilibrium correlation functions// Phys. Rev. 1967. V. 165. P. 201.

49. Berendsen H.J.C., Postma J.P.M., van Gimsteren W.F. и др. Molecular dynamics with coupling to an external bath // J. Chem. Phys. 1984. V. 81. P. 36843690.

50. Tieleman D.P., Marrink S.J., Berendsen H.J. A computer perspective of membranes: molecular dynamics studies of lipid bilayer systems. // Biochem. Biophys. Acta . 1331 . 1997. P.235-270.

51. Lemak A.S., Balabaev N.K. On the Berendsen thermostat. // Mol. Simul. 13. 1994. P.177-187.

52. Evans, D. J.; Holian, B. L. The Nose-Hoover thermostat. The Journal of Chemical Physics. Volume 83. Issue 8. October 15. 1985. P.4069-4074.

53. Melchionna S., Cicotti G. and Holian B.L. II Molec. Phys. 1978. P. 533-558.

54. Zhou M. A new look at the atomic level virial stress: on continuum-molecular system equivalence. // Proc. R. Soc. Lond. A 459, 2003. P. 2347-2392.

55. Лурье А.И. Теория упругости. M. Наука. 1970. 939 С.

56. Аменадзе Ю.А. Теория упругости. М. Высшая школа. 1971.287 С.

57. Товбин Ю.К Метод молекулярной динамики в физической химии. М. Наука 1996 334 С.

58. Norman G.E,. Stegailov V.V. Stochastic and Dynamic Properties of Molecular Dynamics Systems: Simple Liquids, Plasma and Electrolytes, Polymers // Computer Physics Communications.2002. 147, P. 678-683.

59. Mouiee B.B., Евлампиева C.E. Роль трибоупругости в формировании циклического поведения эластомерных нанокомпозитов.// Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Том 14. №4, С. 511-517.

60. Ryckaert J.-P., Bellemans A. Molecular dynamics of liquid alkanes // Faradey Discussion ofthe Chemical Society. 1978. V. 66. P. 96-105.

61. Фостер, Линн. Нанотехнологии. Наука, инновации и возможности. М. Техносфера, 2008. 352 С.

62. В.А. Попов В.А., А.Г. Кобелев А.Г., В.Н. Чернышев В.Н. Нанопорошки в производстве композитов. М. : Интермет инжиниринг. 2007. 336 С.66.

63. Ильюшин А.А. Об одной теории длительной прочности. МТТ 1967. №3.67.

64. Мошев В.В., Галотина JI.A. Напряженно-деформированное состояние вокруг отверстия в пластине из композиционного материала с неисчезающей накопленной поврежденностью // В кн.: Механика эластомеров. Краснодар. 1988. С.16-21.

65. Москвитин В.В. Некоторые вопросы деформаций вязкоупругих тел с учетом влияния накопленных повреждений. Механика полимеров. 1977. №5, С. 802-807.

66. Zibdeh H.S. and Heller R.A. Environmental Thermal Stress as a First Passage Problem. // In Random Vibration Status and Present Developments. Ed. Elishakoff and Lyon Elsevier New York. 1986.

67. Heller R.A. and Singh M.P. Thermal Storage Life of Solid Propellent Motors. // Journal of Spacecraft and Motors. Vol.20 №2, P. 144-149.

68. Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. Наука. 1972. 736 С.

69. Heller R.A., Singh М.Р., Zibdeh H.S. Enviromental effect of culative damage in rocket motors. //J. Spacecraft and Rockets. 1985. v.22. №2, P 149-155.

70. Лыков А.В. Тепломассообмен. M. Энергия. 1978. 480 С.

71. Геррмани Л.Р. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых или почти несжимаемых материалов. // Ракетная техника и космонавтика. 1965. №10, С. 139-144.

72. Ргос. 2nd Symposium on Large-Scale Digital Computing Machinery, Cambridge: Harvard University Press. 1951. P. 141-146.

73. Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. М. Наука. Гл. ред. Физ-мат. Лит. 1989. 344 С.

74. Алъес М.Ю., Копысов С.П., Вариавский А.И., Новиков А.К. Построение диаграмм Вороного и триангуляции Делоне на плоскости и в пространстве. Препринт ИПМ УрО РАН. 1996. 39 С.

75. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. Наука, 1987.

76. Бухбергер Б., Коллинз Дэ/с., Лаос Р. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986.

77. Товбин Ю.К. Метод молекулярной динамики в физической химии. М. Наука. 1996. 334 С.

78. Липанов A.M., Алъес М.Ю., Евстафьев О.И. и др. Спецтема // Отраслевой журнал. М. 1989. №5.

79. Алъес М.Ю., Липанов A.M., Булгаков В.К, Евстафьев О.И. О численном моделировании воздействия окружающей среды на величину накопленных повреждений в двигателях летательных аппаратов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1990. № 2, С. 65-67.

80. Липанов A.M., Алъес М.Ю., Евстафьев, О.И. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния отверждающихся полимерных систем // Изв. АН СССР. Высокомолекулярные соединения. 1991. Т. (А) 33, № 1, С. 52-59.

81. Уткин В.Ф., Евстафьев, О.И. Альес М.Ю. и др. Спецтема // Отраслевой журнал. М. 1992. №1.

82. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование процессов размягчения наполненных полимерных систем // Известия Института математики и информатики. Ижевск: УдГУ. 2006. Вып. 3(37). С. 37-38.

83. Евстафьев О. И., Копысов С. П. Определение эффективных упругих характеристик полимерных нанокомпозитов при циклическом деформировании // Химическая физика и мезоскопия. 2007. Т.9, № 4. С.377-383.

84. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Молекулярно-динамическое моделирование наполненных полимеров при циклическом нагружении // Сб. статей "Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая)". В 3-х частях. 4.2. Екатеринбург : УрО РАН, 2007. С. 7-10.

85. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование циклического деформирования нанокомпозитов // Сб. трудов XII Всерос. шк.-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо, Изд-во Южного федерал, ун-та. Абрау-Дюрсо. 2007. С. 83-88.

86. Евстафьев О.И. Определение упругих характеристик полимерного материала, наполненного наноразмерными частицами, методом молекулярно-динамического моделирования // Численные методы в математике и механике. Ижевск : ИПМ УрО РАН. 2007, С. 50-53.

87. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование структуры и свойств шунгитонаполненного полимерного композита // Актуальные проблемы математики, механики, информатики. Пермь. 2008. С. 62-67

88. Евстафьев О.И., Копысов С.П., Пряхин В.В. Математическое моделирование деформирования композитов на наноуровне // Вестник ИжГТУ. 2008. № 3. С. 137-140

89. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Молекулярно-динамическое моделирование структуры и свойств нанокомпозита с шунгитовым наполнителем // Вестник Удмуртского университета. 2008. № 2. С. 179-181.

90. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование структуры и физико-механических свойств полиэтилена с шунгитовым наполнителем // Химическая физика и мезоскопия. 2008. Т. 10, №1. С.25-31.

91. Альес М.Ю., Евстафьев О.И. Методика получения начальных конфигураций для молекулярно-динамического моделирования линейных полимеров и композитов на их основе // Химическая физика и мезоскопия. 2009. Т.11, № 1. С.28-34.