Математическое моделирование и оптимизация противоударных и виброзащитных систем в условиях неопределенности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ



г

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Научно-исследовательский институт прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОТИВОУДАРНЫХ И ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

На правах рукописи

Баландин Дмитрий Владимирович

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (специальность 01.02.01 - теоретическая механика)

Нижний Новгород - 1997

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.............................;.............................................................................5

Глава 1. Виброизолированные механические системы

1.1. Цель, эффективность и примеры использования виброизоляторов..28

1.2. Внешние воздействия и показатели качества виброизоляции...........37

1.3. Расчет и оптимизация виброизолированных систем как задача управления.......................................................................................... .40

Глава 2. Оптимальная противоударная защита в случае одиночного удара

2.1. Постановка задач оптимизации.........................................................46

2.2. Предельные возможности противоударной изоляции......................48

2.3. Параметрическая оптимизация противоударных изоляторов..........50

2.3.1. Постановка задач......................................................................50

2.3.2. Свойства критериев качества...................................................52

2.3.3. Методика решения задач оптимизации противоударных изоляторов в общем случае..........................:..........................66

2.3.4. Параметрическая оптимизация противоударных изоляторов со степенными характеристиками...........................................71

2.4. Задача двухкритериальной оптимизации.........................................84

Глава 3. Оптимизация противоударных изоляторов при неполной информации об ударных возмущениях

3.1. Постановка задач...............................................................................90

3.2. Интегральное ограничение на внешнее воздействие........................92

3.2.1. Описание класса воздействий...................................................92

3.2.2. Задача о наиболее опасном ударном воздействии..................93

3.2.3. Пример виброизолированной системы, для которой мгновенный удар не является самым опасным.....................108

3.3. Предельные возможности противоударной изоляции

3.4. Параметрическая оптимизация....................................

.110 .114

Глава 4. Оптимизация противоударных изоляторов при неточно известной массе защищаемого объекта

4.1. Постановка задач...........................................................................-117

4.2. Исследование оптимизационной задачи.........................................120

4.2.1. Переход к безразмерным переменным....,..............................120

4.2.2. Анализ одномерной задачи оптимизации.............................121

4.2.3. Алгоритм вычисления оптимальных параметров.................132

4.2.4. Решение оптимизационных задач в исходных переменных..133

4.3. Оптимизация параметров изолятора с квадратичным демпфером

и линейным упругим элементом......................................................134

4.3.1. Предварительный анализ задачи...........................................134

4.3.2. Вычисление оптимальных параметров..................................137

4.3.3. Асимптотика оптимального решения....................................142

Глава 5. Оптимальное управление демпфированием в противоударных изоляторах

5.1. Постановка задач..............................................................................144

5.2. Математическое исследование задач оптимального управления... 148

5.2.1. Анализ свойств функционалов.................................................148

5.2.2. Достаточные условия оптимальности......................................156

5.2.3. Алгоритм поиска оптимального управления..........................159

5.3. Пример решения задачи оптимального управления........................167

5.3.1. Математическая модель противоударной системы.................167

5.3.2. Численная реализация алгоритма............................................172

Глава 6. Оценивание максимального смещения тел в системах с сухим трением при ударных возмущениях

6.1. Математические модели систем и постановка задачи....................181

6.1.1. Одномассовая система............................................................181

6.1.2. Многомассовая система..........................................................185

6.1.3. Постановка задачи..................................................................188

6.2. Оценки максимального смещения контейнера................................189

6.2.1. Предварительный анализ.......................................................189

6.2.2. Уточнение полученной оценки...............................................192

6.2.3. Оценки смещения контейнера в случае линейной системы материальных точек...............................................................196

6.3. Оценки максимального смещения твердого тела в гибридной системе.............................................................................................201

6.3.1. Постановка задачи..................................................................201

6.3.2. Анализ задачи.........................................................................204

Глава 7. Оптимальная виброзащита упругих систем

7.1. Оптимальная виброзащита многомассовой упругой конструкции.....................................................................................211

7.1.1. Постановка задач....................................................................211

7.1.2. Предельные возможности виброзащиты.....:.........................217

7.1.3. Задача оптимизации гарантированного качества.................225

7.2. Оптимальная виброзащита упругих объектов с распределенными параметрами.....................................................................................229

7.2.1. Постановка задач....................................................................229

7.2.2. Задача о предельных возможностях виброзащиты...............237

7.2.3. Оптимизация гарантированного качества............................239

7.2.4. Пример численного расчета...................................................242

7.3. Выводы и возможные обобщения....................................................245

Заключение...................................................................................................247

Список литературы......................................................................................249

ВВЕДЕНИЕ

Проблема защиты машин, приборов, зданий, да и самого человека от вредного воздействия вибраций и ударов имеет многовековую историю. На первых порах, проектируя и создавая примитивные средства виброзащиты, люди действовали, подчиняясь инженерной интуиции и накопленному опыту. Езда в карете по неровной ухабистой дороге, доставлявшая много неудобств пассажирам, стала намного приятнее, когда карету оснастили рессорами, т.е. между корпусом кареты и осями колес установили упругие элементы. В древних японских пагодах, чтобы уберечь их от разрушительного воздействия землетрясений, к куполу храма прикрепляли тяжелый маятник. Так возникли первые средства сейсмозащиты зданий. С развитием техники потребность в средствах виброзащиты становилась все острее. Появились высокоточные приборы, то и дело выходящие из строя в условиях их эксплуатации на различных движуттщхся средствах: кораблях, автомобилях, летательных аппаратах. Резко возросли скорости движения автомобилей, и любая значительная неровность на дороге грозила серьезной поломкой. Росла высота зданий, в том числе и в сейсмических районах Земли, и уберечь их от разрушения могли только эффективные способы сейсмозащиты. Короче говоря, одной лишь инженерной интуиции становилось недостаточно для эффективной борьбы с вредным, а порой и разрушительным воздействием вибраций и ударов. Требовалась научная теория виброударозащиты, использующая математические модели и методы для количественной оценки эффективности применяемых и создаваемых вновь средств защиты. Такая теория действительно возникла в начале 60-х годов. Рождение ее совпало с бурным развитием и становлением науки об управлении, или кибернетики. И это, конечно, не простая случайность. Дело в том, что с точки зрения кибернетики задача виброударозащиты является типичной задачей управления, а именно: требуется так управлять объектом защиты, чтобы в максимальной степени парировать действующие на него возмущения. При этом управляющим органом как раз и является виброуда-

розащитное устройство. Исторически первыми работами, в которых задача виброударозащиты рассматривается с позиций теории управления, являются работы В.В.Гурецкого [73] и М.З.Коловского [106], а также В.Д.Пилки и Е.Севина [242].

В настоящее время спектр применения средств защиты от вибраций и ударов чрезвычайно широк: защита прецизионных установок и приборов [72], [111], [112], [113], [152]; сейсмозащита зданий и сооружений [207], [212], [214], [217], [234], [246], [245]; гашение колебаний упругих космических конструкций [33], [231], [233]; амортизация транспортных машин и летательных аппаратов [58], [91], [102]; защита фундаментов от нагрузок, порождаемых работающими машинами и агрегатами [103], [174], [175]; защита космических аппаратов от ударов метеорных частиц и частиц космического мусора [133]. Создание устройств, способных защитить объекты от вибраций и ударов, и, вместе с тем, обладающих ограниченными размерами, представляет собой сложную техническую задачу, которая остается актуальной до сих пор. Одним из традиционных и широко распространенных способов виброударозащиты является применение упруго-демпфированных виброзащитных систем пассивного типа. В последнее время значительное развитие получили управляемые (активные) виброзащитные системы. Это системы автоматического управления вибрацией объекта с целью снижения ее до заданного уровня в определенных точках или области пространства, в заданном диапазоне частот, для определенного класса внешних воздействий [68], [90], [91], [106], [111], [112], [113], [141], [183]. Несомненно, что управляемые виброзащитные системы обладают в целом гораздо большими возможностями в защите объектов от вредных механических воздействий, нежели системы пассивного типа. Тем не менее, системы виброударозащиты пассивного типа продолжают играть важную роль в силу свой относительно малой стоимости, простоты конструкции, удобства эксплуатации.

Естественное стремление к максимальной эффективности виброударо-защитных систем приводит к необходимости ставить и решать оптими-

зационные задачи. Одной из наиболее простых для анализа (и вместе с

V о \

тем, как оказалось, весьма плодотворной и интересной для исследователей) является система с одной степенью свободы. Механической моделью этой системы является твердое тело, расположенное в прямолинейно движущемся корпусе и закрепленное на виброударозапщтном устройстве (виброизоляторе) таким образом, что оно может перемещаться относительно корпуса в направлении его движения. Рассмотрение подобных систем целесообразно по двум причинам. Во-первых, они удовлетворительно описывают работу многих виброударозащитных устройств, во-вторых, относительная простота модели позволяет провести полный анализ и получить результаты, позволяющие, с одной стороны, качественно судить о поведении более сложных систем, а с другой, - использовать количественные данные для задания начального приближения при их расчете и оптимизации. Анализом и оптимизацией систем с одной степенью свободы занимались многие ученые, среди которых П.М.Алабужев, Н.Н.Болотник, Э.М.Болычевцев, В.В.Гурецкий, С.В.Елисеев, А.Ю.Ишлинский, М.З.Коловский, В.Б.Ларин, Ю.П.Максимович, В.Г.Саранчук, A.B.Синев, В.А.Троицкий, J.S.Arora, E.J.Haug, E.Sevin, W.D.Pilkey, J.E.Ruzicka. Результаты исследований отражены в работах [5], [6], [8], [43]-[52], [58], [73]-[81], [89],''[90], [95], [99], [100], [105], [115], [116], [119]-[122], [126], [127], [156]-[160], [164]-[167], [184], [185], [206], [235], [239], [241]-[244], [248].

Математически указанная система описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

х + м(-) = w(t), #(0) = ¿(0) = ¿о, (0.1)

где u(-) - функция из заданного класса, определяющая характеристику виброизолятора, численно равная силе, действующей на виброизолируемое тело, отнесенной к его массе в случае внешнего воздействия кинематического типа и отнесенной к приведенной массе системы в случае динамического воздействия; w(t) - ускорение корпуса или сила, приложенная к корпусу,

отнесенная к его массе, х - смещение виброизолируемого объекта относительно корпуса.

Постановка оптимизационной задачи определяется как требованиями, предъявляемыми к виброударозащитной системе, так и характером внешнего воздействия Важнейшими типами внешних воздействий, рассматриваемых в теории виброзащитных систем, являются удары и вибрации. Кроме того, внешние воздействия можно разделить на детерминированные и случайные. Пусть система с одной степенью свободы (0.1) подвергается детерминированному воздействию ударного типа. Введем функционалы, характеризующие качество защиты от ударного воздействия

Л[м(')1 = тах I Ь «Ы«0)1 = тах I ~ I»

здесь 3\[«(•)] - максимум модуля смещения объекта защиты, а [«(•)] -максимум модуля абсолютного ускорения (перегрузки) объекта защиты. Рассмотрим следующую задачу (именуемую в дальнейшем "задача 1"): из заданного класса функций и(-) (Е У найти такую, чтобы функционал -Л [«(•)] принимал наименьшее значение при условии, что другой функционал /2[и(')] ограничен заданной величиной щ. Задача в такой постановке была впервые сформулирована и исследована В.В.Гурецким в работе [73]. Было показано, что если оптимальная характеристика и{{) из класса кусочно-непрерывных функций существует, то среди множества возможных решений существует характеристика, принимающая значения ±гго и, может быть, тНа основании этого результата в работе [78] был предложен графоаналитический метод решения указанной задачи, а в работе [79] установлены оценки снизу для наибольшего числа переключений оптимальной характеристики в зависимости от вида внешнего воздействия.

В математическом плане задача выбора оптимальной характеристики виброизолятора представляет собой задачу оптимального управления с функционалом типа максимума функции фазовых координат на траектории движения системы. Для решения этой и других задач с функционалами указанного типа могут быть использованы методы численного поиска опти-

мальных управлений [63], [64], [83], [85], [117], [139], [143], [162], [163], [178], [180], [181], [186], [242].

Реальные характеристики виброизоляторов пассивного типа, как правило, имеют вид и(х,х) [60], [105], [183]. Поэтому целесообразно решать задачу 1 в классе кусочно-непрерывных функций фазовых координат. Задача в такой постановке часто называется задачей синтеза оптимального виброизолятора. Поскольку любому решению задачи синтеза соответствует характеристика виброизолятора, зависящая только от времени, то оптимальное значение критерия качества, полученное в классе управлений u(t), можно рассматривать как предельное для фиксированных начальных условий, которое нельзя уменьшить никакими техническими средствами. Для некоторых видов ударных воздействий решение задачи синтеза получено в работах [50], [81], [126], [160], [177]. В качестве оптимальных фигурируют изоляторы с демпфером типа сухого трения, релейной пружины и их комбинации.

Постановка задачи 1 не является единственно возможной при изучении вопроса об оптимальной виброударозащите. Так, в работе [129] рассмотрена задача о предельных возможностях противоударной изоляции в системе с одной степенью свободы, в которой минимизируется максимум модуля абсолютного ускорения при ограничении на максимум модуля смещения объекта защиты (в дальнейшем эту задачу будем именовать "задача 2"). Авторы работы [9], рассматривая систему с одной степенью свободы, подверженную ударному воздействию, принимали за критерий качества интеграл по времени от взвешенной суммы квадратов ускорения объекта защиты, управляющей функции u(t) и ее производной, который требовалось минимизировать и при этом вернуть виброизолируемый объект в исходное положение.

Много работ посвящено оптимизации систем с одной степенью свободы в случае внешнего детерминированного периодического воздействия [76], [126], [127], [156], [157], [159], [160], [178]. Следует отметить, что в отличие

от задач оптимальной противоударной защиты, где качество функционирования определяется механическими характеристиками свободных колебаний защищаемого тела, качество устройств, предназначенных для защиты от вибраций, определяется характеристиками установившихся колебаний. При этом оптимальная характеристика виброизолятора ищется в классе ограниченных по модулю периодических функций.

Задача синтеза оптимального виброизолятора, даже для систем с одной степенью свободы, может быть точно решена лишь для весьма узкого класса внешних воздействий. Поэтому представляется разумным построение приближенного решения этой задачи. Широко используемый в практике проектирования виброударозащитных систем подход состоит в том, чтобы искать оптимальную характеристику среди параметрического семейства функций и = ... ,ап) и свести исходную задачу к минимизации

функции многих переменных. Технически это означает, что структурная схема виброударозащитного устройства выбрана и требуется оптимальным образом подобрать конструктивные параметры. Этот подход широко использовался для решения конкретных задач проектирования и оптимизации виброударозащитных систем [5], [8], [43], [44], [47], [77], [86], [161], [179], [184], [185], [203], [205], [206], [209], [230], [223], [229], [242]. Методы решения подобных задач обычно сочетают в себе приемы аналитического [48]-[51], [77], [160] и численного [209], [228], [222], [244] исследования функции, определяющих показатели качества системы виброизоляции. Естественно, чем меньше известно �