Математическое моделирование и устойчивость сложных гидродинамических систем в процессах синтеза композиционных полимерных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

российская академия наук уральское отделение физико-технический институт

На правах рукописи

ЛЯЛЬКИНА Галина Борисовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПРОЦЕССАХ СИНТЕЗА КОМПОЗИЦИОННЫХ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ижевск 1995

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете

Научный консультант - доктор технических наук, профессор В. П. Первадчук

Официальные оппоненты -доктор физико-математических наук; профессор М. Ю. Альес

доктор физико-математических наук, профессор С. А. Вавилов

доктор технических наук, профессор В.И.Янков

Ведущая организация -Всероссийский научно-исследовательский институт синтетических волокон С г. Тверь)

Защита состоится " ДД-" igg.Tr. в /У часов

на заседании диссертационного ■ совета Д 003.58.01 при Физико-техническом институте УрО РАН по адресу: 426001, Ижевск, ул.Кирова, 132 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института УрО РАН

Автореферат разослан

"3_" 199Д г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук / > В.Г. Чудиног.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В последние -ода особое внимание как в России, так и зарубежом, уделяется технологии получения разноообразных композиционых полимерных материалов,- в том числе полимерных оптических волокон (ПОВ). Сфера применения таких материалов непрерывно расширяется, а об'емы производства резко возрастают, особенно в последние годы. В связи с этим возникает настоятельная необходимость разработки' новых прогрессивных технологий, создание которых немыслимо без построения соответствующей теоретической базы. Методы математического моделирования дают возможность, исходя из важнейших законов сохранения, получать качественную и количественную информацию о поведении и свойствах реальных, физических систем, в том числе информацию о единственности и неединственности их стационарных состояний, а также устойчивости к малым и конечным Возмущениям без дорогостоящих лабораторных и производственных экспериментов. Методы нелинейного функционального анализа позволяют проводить исследование моделей, закладывая основу для построения численных и других приближенных методов решения соответствующих краевых задач, операторных уравнений и "неравенств, в том , числе с разрывными параметрами. Отдельные процессы, составляющие некоторую технологию, должны быть исследованы на основе единого методологического подхода. Изучение их устойчивости необходимо для повышения эффективности производства и повышения качества готовой продукций Важнейшие процессы, составляющие технологию производства полимерных оптических волокон и других композиционных полимерных материалов - это синтез исходных полимеров,- а также процессы многослойных течений в каналах формунцих фильер и вне этих каналов. Задачи их изучения не являются частными проблемами технологии производства полимерных композиционных материалов и уже давно составляют предмет интенсивных разработок . прикладного и теоретического характера, так . как лежат в основе разнообразных технологий энергетической, пищевой, строительной, химической, машиностроительной и других видов промышленности.. Все перечисленные выше процессы представляют собой нелинейные • системы с распределенными параметрами. Модели многослойных течений включают в себя условия на свободных границах, в том числе на границах раздела слоев.

-4В настоящее время сложилось значительное число российских и зарубежных школ исследователей, использующих метода математического моделирования для анализа перечисленных выше проблем. Процессы полимеризации на основе математических моделей различных типов изучаются в работах Бабажданяна A.C., Берлина А .А., Бостандаияна С.А., Бутакова A.A., Вольтера Б.В, Вольфсона С.А., Галягина К.С., Давтяна С.П., Ениколопяна Н.С., Хиркова П.В., Зайцева D.M., Малкина А'.Я., Мержанова А.Г., Перлмуттера Д., Радугиной A.A., Сальникова Е.И. и других исследователей.

Математическому моделированию процессов течения полимерных материалов в каналах сложной формы посвящены работы Боярченко В.И., Первадчука В.П., Русяка И.Г., Торнера Р.В., Труфановой Н.М., Скульского О.И., Шерышева М.А., Янкова В.И. и других авторов.

Течения со свободными границами, в том числе многослойные течения, рассмотрены в работах Альвса М.Ю., Березина И.К., Ентова А.Л., Липанова A.M., Монахова В.Н., Овсянникова Л.В., Онянова В.А., Духначева В.В., Радева С.П., Ярина А.Л. и других многочисленных исследователей.

Течение растяжения на основе разнообразных нелинейных математических моделей изучается в работах Антуркара Н., Денна М.М., Жиганова Н.К., Зябицкого А., Касе С., Колпащикова В.Л., Матовича М.А., Матсуо Г., Пирсона И.Р.А., Фишера Р.Д., и других авторов.

Теория устойчивости Ляпунова применительно к системам с распределенными параметрами развивается в работах Азбелева Н.В., Зубова В.И., Красовского H.H., Максимова В.П., Мартынша A.A., Матросова В.М., Пановко Я.Г., Рахматуллиной Л.Ф., Сиразетдинова Т.К. и других исследователей.

Теория гидродинамической устойчивости продолжает интенсивно развиваться в трудах Вонга В.Т., Ганиева Р.Ф., Гольдштика М.Л., Демидовича Б.П., Джозефа Д., Колобова Б.П., Линя Ц.-Ц., Монина A.C., Пенкиной O.A., Ренарди Ю.и М., Струминского В.В. и его учеников, Хусида Б.М., Чена К., Штерна В.И., Шульмана З.П. и многих других. Исследованию конвективной устойчивости посвящены работы Гершуни Г.З., Хуховицкого Е.М., Любимова Д.В., Мартыненко О.Г., Тарунина Е.Л. и многие другие.

Вопросам математического обоснования методов гидродинамики посвящены работы Лаврентьева М.А., Ладыженской О.И., Лере X., Осколкова А.Н., Соболева С.Л., Шаудера D., Цдовича В.И. и других.

Методы функционального анализа применительно к уравнениям, моделирующим сложные системы, разрабатывались Абдуллаевым А.Р., Вайнбергом М.М., Гаевским X., Гохбергом И.Ц., Далецким Ю.Л., Красносельским М.А. и его многочисленными учениками, Кре#ном М.Г., Крейном С.Г., Мисюркеевым И.В., Садовским Б.Н., Соболевским П.Е., Треногшшм В.А. и другими исследователями.

Однако обзор литературы указывает на необходимость изучения основных процессов в рамках единого подхода, так как различные исследователи рассматривают отдельные возникающие вопросы с разной степенью полноты и с различных методологических позиций. При реализации втой задачи возникает также целый ряд нерешенных проблем, связанных с построением и изучением моделей отдельных перечисленных выше процессов.

Цель работы. Построение математических моделей, учитывающих эффекты неоднородности, а также нелинейность поведения сложных гидродинамических систем в процессах синтеза полимерных композиционных материалов. Разработка комплексного подхода к расчету параметров устойчивых состояний рассматриваемых систем, включая изучение вопросов существования, единственности и ветвления стационарных режимов на базе операторных методов нелинейного анализа, а также построение численных алгоритмов и реализацию компьютерных моделей.

Основные нерешенные проблемы.

1. Не проведено теоретическое исследование процесса полимеризации в цилиндрическом химическом реакторе фронтального типа с внутренней подачей реагентов. Одна из трудностей состоит в необходимости исследования корректности и разработки высокоточного алгоритма решения нелинейной стационарной дифференциальной краевой задачи. Исследование ее ' устойчивости приводит к системе дифференциальных уравнений в частных производных и в линейном приближении требует изучения краевой задачи на собственные значения.

2. В литературе отсутствует математическая модель, теоретический и численный анализ условий существования и возможного ветвления стационарных режимов многослойных потоков жидкостей о сильной зависимостью вязкости от температуры .

3. Не проведено исследование стационарного изотермического двухслойного течения несмешиващихся нвньютоковских жидкостей с учетом различия их вязкоупругих свойств в цилиндрических каналах.

Постановка граничных условий на возмущенной границе раздела слоев для ■ решения задачи об устойчивости требует аккуратного критического пересмотра. Необходима разработка методов решения задачи на собственные значения для неклассического уравнения Орра -Зоммерфельда.

4. Отсутствует математическая модель . двухслойного осесимметричного течения растяжения и ее анализ.

5. Оператор Грина двухточечной .краевой . задачи, возникающей в теории систем с бесконечным числом степеней свободы, не является вполне непрерывным. Необходимы достаточные условия, при выполнении которых он будет являться уплотняющим относительно некоторой меры некомпактности и достаточные условия существования его неподвижной точки. Математическая модель реакции свободно -радикальной полимеризации в реакторе фронтального типа приводит к операторному уравнению с нелинейным некомпактным . интегральным оператором. В связи с этим возникает интерес к достаточным условиям разрешимости интегрального уравнения Урысона с некомпактным несжимамцим оператором.

Научная новизна выполненного исследования:

- получена новая математическая модель реакции свободно -радикальной полимеризации в цилиндрическом реакторе фронтального типа с внутренней подачей реагентов в форме нелинейного операторного уравнения с интегральным оператором. На ее основе впервые получены достаточные условия существования и единственности решения соответствующей нелинейной стационарной дифференциальной краевой задачи, представляющей модель указанной реакции полимеризации с учетом протяженности фронта горения. Разработан и реализован на ЭВМ новый приближенно -аналитический алгоритм

нахождения этого решения;

- проведено исследование устойчивости стационарных режимов фронтальной полимеризации в проточном цилиндрическом химическом реакторе с внутренней подачей реагентов на базе нелинейной стационарной дифференциальной модели с непрерывно распределенными параметрами. Задача об устойчивости к малым возмущениям на основе указанной модели сведена к самосопряженной краевой задаче Штурма-Лиубилля;

- исследовано явление гидродинамического теплового взрыва в стратифицированном течении типа Цуазейля для вязких жидкостей о сильной зависимость!) от температуры. Получены эффективно

проверяемые необходимые и достаточные условия, при выполнении которых соответствующая нелинейная краевая задача имеет решение. Получены аналитические выражения атих решений вместе с условиями их существования и проведены расчеты на ЭВМ областей 'глобальной устойчивости;

проведено исследование линейной гидродинамической устойчивости двухслойного осесимметричного установившегося течения несмешивавдихся неньютоновских жидкостей в бесконечном круглом цилиндре с учетом различия не тб'лько их вязких, но и упругих свойств. Сформулированы условия существования стационарного режима течения вязкоупругой жидкости, описываемой моделью максвелловского типа с производной Яумана, и выполнено исследование соответствующей задачи на собственные значения для уравнения типа Орра-Зоммерфедьда с разрывными коэффициентами для вязкоупругой жидкости. Критерий устойчивости найден как функция отношения времен релаксации и отношения других характеристик двухслойного потока. Проведены численные расчеты областей нестабильности в условиях, характерных для соекструзии полимеров в процессе производства ПОВ.

- построена новая модель двухслойного течения растяжения вязких жидкостей с учетом неоднородности потока. Проведено ее аналитическое исследование, выяснена единственность решения соответствующей двухточечной нелинейной дифференциальной краевой задачи;

- для некомпактного оператора Грина двухточечной краевой задачи в банаховом пространстве получены достаточные условия, при выполнении которых он будет уплотняющим относительно меры некомпактности в пространствах непрерывно дифференцируемых

функций;

- получены условия, при выполнении которых сильная асимптотическая производная и производные по конусу (к,у)-ограниченного оператора являются (к,у)- ограниченными операторами. Результаты применены к доказательству теорем существования решения нелинейного интегрального уравнения Урысона с уплотняющим оператором, действующим в пространствах непрерывных и суммируемых функций.

Автор выносит на защиту: 1) математические модели гидродинамики реологически сложных сред с распределенными параметрами, а также процессов полимеризации в реакторах фронтального типа; 2) результаты теоретического исследования

корректности.построенных моделей' и других аналогичных систем с распределенными параметрами; 3) алгоритмы расчета стационарных состояний исследуемых систем и результаты их численного анализа; 4) алгоритмы расчета критериев устойчивости сложных гидродинвмиче скм течений; 5) результаты теоретического и численного анализа устойчивости исследуемых систем.

Достоверность научных, положений, выводов в результатов, полученных в работе, подтверздается следунцим: 1) предложенные модели основаны на фундаментальных законах физики, химии и механики сплошной среда; .2) теоретические исследования опираются на научно обоснованные методы анализа; 3) расчеты на ЭВМ типа 1ВМУРС проведены с использованием стандартных процедур проверки точности . результатов; 4) опытные данные находятся в согласии с результатами численного анализа и теоретическими выводами; 5) в частных случаях из полученных результатов вытекают известные.

Практическая в теоретическая ценность работы.

Полученные в работе условия тепловой гидродинамической . устойчивости ' могут быть использованы при расчете параметров стационарных режимов в производстве многослойных полимерных волокон.

Математическая модель двухслойного течения растяжения и результаты ее анализа могут быть применены для расчета характеристик и контроля стационарных режимов вытягивания композиционных волокон. -

Результаты исследования стационарных режимов пояимеризациошшх процессов могут служить тестовой проверкой численных методов, а также основой дальнейших теоретических и численных исследований устойчивости реакций фронтального типа.

Изложенные в диссертационной работе условия существования и единственности решений, а также разработанные алгоритмы поиска атих решений представляют методику применения абстрактной теории нелинейных операторных уравнений к конкретным интегральным уравнениям и нелинейным краевым задачам, возникающим в физике, химии и механике сплошной среда.

Реализованный в работе комплексный подход к изучению технологических процессов производства многослойных полимерных материалов совместно с новыми теоретическими результатами гл.7 расширяет сферу использования методов математического моделирования нелинейных систем с распределенными параметрами и может быть

применен к исследования других технологических процессов.

Материалы по исследованию устойчивости двухслойных течений , в канале фильеры, вошедшие в диссертационную работу, внедрены в Инженером Центре полимерного оптического волокна (г.Тверь).

Апробация работы в публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на 5 Международном симпозиуме по химическим волокнам (Калинин, 1990); на Международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошной среды" (Новосибирск, 1991); 2 Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1994); 19 Международном симпозиуме по передовым методам и задачам механики жидкости (Польша, Коцубник, 1989); 1 Международной конференции "Кол- "5ания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике" ( Минск, 1994); 2 Всесоюзной конференции "Реология и оптимизация процессов переработки полимеров" (Ижевск, 1989); Всесоюзной конференции с международным . участием "Полимермаш-91" (Киев, 1991);

4 Межреспубликанском симпозиуме "Остаточные напряжения: моделирование и управление" (Пермь, 1992); Республиканской конференции "Современное оборудование и процессы переработки полимерных материалов" (Киев, 1990); 2 Региональной конференции "Математическое моделирование в процессах производства и переработки полимерных материалов" (Пермь, 1990); Республиканской конференции "Современное оборудование и процессы переработки полимерных материалов" (Киев, 1988); 1,2 и 3 Уральских региональных конференциях по функционально -дифференциальным уравнениям" (Пермь, 1986,1987,1988); Всероссийской конференции о меадународным участием "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики и управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1994); на научной школе- семинара "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" (Киев, 1990); Международной конференции "Математическое моделирование процессов обработки материалов" (Пермь, 1994); 10 Зимней, школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995) и других конференциях.

Основные результаты диссертации опубликованы в 39 печатных работах, из которых 2 отчета о научно -исследовательской работе (номера гоо. регистрации N01860076375, N01890033071), 14 тезисов докладов и 23 статьи.

Структура И Об'ей работы. Диссертация состоит из введения, 7 глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Об*ем диссертации 256 о., из которых 56 рисунков, 1 о. приложения. Список

- ГО-

литературы содержит 263 наименования.

Автор выражает глубокую признательность профессору В.П.Первадчуку за помощь и ценные советы, а также профессору Н.В.Азбелеву и профессору Н.М.Матвееву за внимание к 'работе и поддержку.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ КОРРЕКТНОСТИ МА1ЕМАГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА)

В первой главе в качестве фундамента для построения математических моделей многослойных течений и процессов синтеза полимерных материалов приведены базовые уравнения механики сплошной среды (уравнения движения, неразрывности и анергии), реологические уравнения состояния и кинетики химических реакций, а также указаны основные краевые условия.

Проведен анализ работ по исследованию математических моделей процессов производства композиционных полимерных материалов, в том числе многослойных течений жидкостей со сложным реологическим поведением и экзотермических реакций в химических реакторах различных типов. Выяснена необходимость изучения влияния неоднородности, свободных границ и нелинейности свойств неньютоновских жидкостей на поведение многослойных потоков. Сделаь' вывод, что реакция полимеризации требует изучения в постановке, учитывающей протяженность фронта горения.

Выполнен краткий обзор современных методов исследования корректности и устойчивости сложных систем. Проведен анализ работ, посвященных .операторным методам исследования вопросов существования, оценки числа решений и . алгоритмов поиска приближенных решений нелинейных систем. Приведены базовые определения и теоремы нелинейного функционального анализа. Отмечена необходимость разработки теории нелинейных . уравнений с некомпактными операторами применительно к конкретным интегральным уравнениям и краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ос.обое внимание уделено обзору методов исследования устойчивости нелинейных систем о распределенными параметрами. Выделены основные положения теории устойчивости по Ляпунову.

На. основашш анализа литературы в конце первой главы сделаны следующие выводы.

Несмотря на большой об'ем выполненных исследований, при математическом моделировании процессов многих . промышленных производств, связанных .с движением нелинейных неоднородных жидкостей, возникают проблемы, имеющие важное практическое и теоретическое значение.

Во -первых, отсутствует ряд моделей гидродинамических течений со сложным реологическим поведением и разрывными параметрами. Во -вторах, из литературных данных вытекает,- что численный анализ нелинейных гидродинамических систем •требует предварительного изучения вопросов корректности рассматриваемых моделей. В -третьих, вопросы исследования устойчивости систем с распределенными параметрами приводят к проблемам разработки высокоточных алгоритмов расчета стационарных состояний етих систем. В-четвертых, недостаточно разработана алгоритмы построения критериев устойчивости нелинейных систем с распределенными (в том .числе с разрывными) параметрами. Наконец, исследование основных процессов единой технологии должно проводиться в комплексе, охватывающем все перечисленные проблемы на базе единого методологического подхода, что приводит к постановке и необходимости решения новых задач в теории современного нелинейного функционального анализа.

Все это определило постановку и решение следующих задач: ■ 1) построение новых моделей сложных гидродинамических систем и процессов синтеза полимерных материалов с 'заранее заданными свойствами;

2 )• исследование корректности построенных моделей и других • аналогичных систем с распределенными параметрами;

3) построение алгоритмов расчета стационарных' состояний исследуемых систем;

4) разработку методов расчета критериев устойчивости систем с распределенными (в том числе с разрывными) параметрами;

5) построение компьтерных моделей для проведения численного анализа построенных моделей;

6) проверку достоверности результатов путем их сравнения с известными теоретическими и экспериментальными данными;

Результаты исследования перечисленных проблем изложены во 2 -7 главах диссертационной работы.

Глава 2. ДВУХСЛОЙНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ ' ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

Во второй главе рассмотрено изотермическое осесимметричное течение несмешивающихся вязкоупругих жидкостей в бесконечном цилиндрическом канале кругового сечения. Течение предполагается простым сдвиговым, а вектор скорости - имеющим вид (О,О,и (г)),

* 3

где индекс а=а для внутреннего слоя -(ядра) течения и в=Ь для его внешнего коаксиального слоя (оболочки течения). Граница раздела слоев представляет собой цилиндрическую поверхность радиуса , через й,) обозначен радиус канала. Использована цилиндрическая система координат (г.р.г), бсь а направлена вниз по течению. Через т^ обозначены (физические) компоненты тензора экстра -напряжений, Р„ - давление, р -плотность, -время релаксации, т>„„ -коаффициент

о о' 8 ОЗ

вязкости з-го слоя течения. Введены'безразмерные переменные (х, С, и.Р.Т1^) Ц.д =1,2,3): т^р^Т13, р=РаП2Р, г^хК.,, К=гЪл, и=йи,

— —Л _' —Л

Ке=РаиН1 (т>оа) -число Рейнольдса, №е=>-аи(Е^ ) -число Вайесснберга,

2 —2 —1 — ? =и (И.^) -число Фруда, и -некоторая постоянная (характерная

скорость потока). г^Р^УЯ^, г:х=1 -граница раздела слоев.

Математическая модель включает в себя уравнения движения

--+х ' -=0, (1) --+х"п - +т Р =0, (2)

<?х <1х ак йх ' г

реологические уравнения состояния (РУС), краевые условия и условия

на 1*ранице раздела слоев. Для описания реологических свойств

полимерных жидкостей в каждом из слоев использована модель

максвеловского типа с производной Яумана. В работе показано, что

для каждого из слоев модель может быть приведена к виду

т11+п\У?е^ 5)13=0• (3> Т33-^е ^13=0, (4) а?22=Т12=Т23=0, (5)

Т13+ 0.5 1у?е ^ ((Р33 - Т11) = (к^ИеГ1 ^ . (6)

В уравнениях (1)-(6) индекс слоя а опущен для простоты записи. В общем случае параметры уравнений, содержащие физические характеристики жидкостей, различны в разных слоях: к^т^пуИ для ядра течения, а для оболочки течения к^= к= 1>0£/г>01)» <5 =

Краевые условия и условия на границе Г раздела слоев учитывают симметрию течения, прилипание жидкости к стенкам канала,

непрерывность скорости,а также касательных и нормальных напряжений: г. dU I n п

сК |х=0=0, Vn>=°- V1)=V1>' *l3<U=®b3<1>V . ' (?)

Анализ поставленной краевой задачи показывает, что она может иметь два решения. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Краевая задача (1)-(7) имеет и притом два решения тогда и только тогда, когда (продольный) градиент давления <?Р/<?С =2А удовлетворяет условию

О < |2А.| £ min [(WeRe)-1, (<5kn. We Re)~1]. . (8)

Решения краевой задачи (1)-(7) можно представить в виде: для ядра течения

(Wea^x)-1 (1-На), T33=tYe Ах sa, ?11=-Т33, х<=[0,1]; ^

Ра= (2We Re)"1{-2+2Ha-ln[ 0.5(1+На)]} + PQa+ 2А.С , х*[0,1]; для оболочки течения

Г^ъ = (<52kWe а,*)-1 (1+Hb), T33=5We Ах , Т^1=-Т33, ^^^

Pb= (26kWe Re)~1 {-2 ± 2Hb -ln[ 0,5 (1%)])' + PQb+ 2AC, зге(1,п].

Здесь Ha=(1-a^x2)1/2,Hb=[1-Ca2x)2]1/2, Poa-?ob=(2ffeRe)"1 [(1-1/6k)+

+ + 1п[0.5(1+Я1)] - (<5k)~1ln[0.5(1±H2):J (причем верхние

знаки в последнем выражении и в системе уравнений (10) относятся к первому решению, а нижние -ко второму), а^ =2WeReA, ag=<5ka^ , Н.=(1-а2)1/2, (i=1,2,3).

Невыполнение неравенства (8) означает,что ' при . некоторых сочетаниях геометрических и физических ■характеристик . потока стационарные режимы течения отсутствуют. Но при етом наличие двух решений еще не означает, что оба решения могут быть физически реализованы. Одной из причин ненаблюдаемости ' теоретически обнаруженного режима течения' может быть его неустойчивость к малым возмущениям. Вторая причина может заключаться в глобальной неустойчивости процесса.Из анализа литературы следует, что при атом особое внимание следует уделять напорно-расходным характеристикам. При исследовании двухслойных течений надо учитывать расхода жидкостей в каждом из слоев установившегося потока.

Численный анализ зависимости расходов жидкостей в ядре и

-74- .

оболочке течения указывает, что цмзически реализуемым является только одно из. атих решений, которое и принимается в Качестве модели рассматриваемого стационарного течения. В частном сдучйе, если положить число Вайссенберга равным нулю: Ие=0, то ото- решение совпадет с известным для двухслойного течения чисто вязких жидкостей, в случае потока однородной вязкой (№е=0) жидкости из него вытекает классическая формула Пуазейля -Гагена.

Глава 3. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОГО

ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ БЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ ДЕ ВИТТА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЫ

В етой главе работы исследована устойчивостсь к малым возмущениям решения стационарной задачи о двухслойном течении вязкоупругих жидкостей, рассмотренного в главе 2. На представленное выше стационарное решение и(х), Т1*'(х), Р(х,С) налагаются малые

А . - Л ' А | 4 Л

осесимметричные возмущения и, V, р, в " в виде и(х;)+и(т,х,С),

у(т,х,С), Т1;5'(х)н-з1;*(г,х,С), .Р(х,0+р(т,х,С), . =1,2,3).

Уравнение невозмущенной границы г раздела слоев имеет вид Г:х=1, а

Л

а возмущенная граница Г описывается уравненем х= 1+?(т,С), где ?(т,С) -ее отклонение от стационарного состояния, - ^

-безразмерное время. Математическая модель состоит из уравнений движения, уравнения неразрывности, РУС максвелловского типа с производной Яумана и краевых условий вместе, с условиями на возмущенной границе Г раздела слоев. Все уравнения линеаризованы и записаны в цилиндрических координатах в безразмерных переменных. Уравнения движения с учетом симметрии течения имеют вид:

ач ву 1 Г 4 1 а(хз11) а22 а313

+ и— = ---:+-----+ - I (11)

ву 1 Г ар 1 а(ш ) а 0а'-' 1

и — = ---:+ - ----+ -

ас "У I ах х ах х ^ )

аи . (Щ 1 Г ар 1 а(хз13) а3зэ 1

_ + v — = ---+--+ - . (12)

ат йх >1 ас I «I ас J

Уравнение неразрывности и РУС имеют следующий вид: 1 а (ху) аи

х ах + ЗГ

= О

»

(13)

В33+

Г аа33 А йТ аа33 .,,Г ау аи 1 л~ <Ш 1 2• аи

т №е — + v — + и — + ш13 -----в1-* — = 5г1та —

I ат (1х ас ас 9х ) с1х J %кв ас

„ г<»э13 а<и?13 а313 „г^ «»¡1 1 гз22 1 1 глад

з +п\ Ч1в I — v— +и--Г^-ч- + -^з-'-, — =- —i— ,

й 1.3С ) I 2 )&* ) kjRel.ec

Г аз22 зз221 2 V (14)

£ )= ^ I з"+з22+з33 = о. з12=з23=о.

Краевые условия на стенках канала и на оси течения, а также условия равенства скоростей, нормальных и касательных напряжений на возмущенной границе раздела слоев записаны в виде:

АЛЛ- Л1

иь(п) = 0; уь(п)=0; уа(0) = О ; ^а=0„ . х=0; (15)

7а(1) = V1)' иа<1> + сЕ |х=1 < = иЪ<1> + Ш |Х=1 * ! <1б> [з13+ ^(Т11- Т33)]^ = О , х=1 ; (1?)

[-

ар <?з11 <ц?11 (12т11 <?р <?2Р , <ш13"|ь

+ — + — + ?-?---<Г—р - 2?. - = о? , х=1. (18)

31 ¿1 Л Лх^ ах 4 4х ]а

Здесь о -поверхностное натяжение жидкостей между слоями, Н -средняя

Л _ ' 1 А

кривизна поверхности Г, п=(1, 0, ).-нормальный к поверхности Г

вектор, пт -транспонированный к нему вектор. Условие (18) получено

— —т Ъ

из равенства нормальных напряжений [п 5 п ]_=-°Н, выполненного на

А А ЗА

границе Г:х=х=1+£(т.С), с целью исключить давление р в явном виде, сохранив его производные. Вывод условия приведен в работе. Все условия разложены в ряд Тейлора в окрестности невозмущенной границы раздела слоев г:х=1 с сохранением линейных членов и с учетом стационарного решения. Для краткости использовано обозначение: 1"(х)]^="(Ь)-ш(а). Вектор скорости можно выразить через функцию

а

А ."»У А

тока V: щ-, и=-х Отклонение £ (С ,т) границы г от

невозмущенного состояния найдено из кинематического условия на

А *

границе г в виде: ? (т,£ )=р (1 )[и (1)-о] *ехр[1а(С-ст ) ].Кроме того, 11 рр

з =-(з +■ з ). Эти соображения позволили уменьшить число искомых

А А О 22 ТЗ

функций до пяти: (у,р,з ,з ,з ).

Ненулевое решение краевой задачи (11)-(18) ищется в виде:

{у.р.з13 в22 а33}={»»(х),^(х),Р1(х),Р2(х),Р3(х)}вхр[1о.(С-от)], (19) Здесь а -волновое число, о =ог+1о^ -искомое комплексное собственное число. Как обычно, при о^>0 течение неустойчиво, при о^<0 - течение считается устойчивым. После подстановки равенств (19) в уравнения (11)-(18) ати уравнения принимают следующий вид (штрих означает дифференцирование по х)I

*>x~1 (U-o) а2 = m~1[r'+ r'j t 2x"1P2 + ?'2 - ia?1 + x"1?3], (20)

X~Vu'- x_1 (U-o)p' = [P^ + x~1P1 - iaf + 1а?31; (21)

-P1mKWeU,+P3[1+iam>kWe(U-o)]=-2(kj)Re)'"1io. x'V-n^WeT^Ex'V ]' -

- iom^We x~V c.amxWe x~1*> T13. (22) ?1 [1 ч-iam^We (U-o) ]+?3m^WeU '+0. SP^WeU'=[- (k^Re )_1 -t-m^WeT33 ] [x~V ]' -

- o2(k Ee)-1x~V~ian^ffe x~1*> d2?13+ «2ni ffex"V T33, (23)

-1 -3

Pg[ 1 +ian^We (U-o) ] = 2ia(]y?e) 1x V . (24)

Исключая из уравнений (20)-(21) функцию f, получаем уравнение

—1 I ' f _0 4 f _-J Г 4

i(m^) (Р1 +х 1Р1 - х - «(ву) 1 [2Р3+х 7P3+?2+2x -

-a[(U-o)(x~V )' -p(x~V)'] = -ia2m~1P1 - «3(U-c)x~V . (25) Краевые условия и условия на границе Г раздела слоев примут следующий вид:

*>'(п)=0, р. (n)=0, lim x~V„(x)=0, iim (x~V)'=0, *> (1 )=*>h(1 ), (26) D D x-»0 а - x->0 а D

tUa(1 )-o][^(1 )]-bPa(1 )[U^(1 )-U^(1 )]=0, (27)

Р1а(1)-Р1Ь(1)+21а[Т33(1)ЧС33(1)][иа{1)-о]-1Ра(1) =0, (28)

?3а(1) - ?зъ(1) + 2Р2а(1) - 2P2b(1H i« [P1b(1)-?1a(D] = (29)

-?а +—+—?а-рЪ •

dx dx дхг Jx=1 Поставленная задача на собственные значения имеет более общий вид, чем классическая задача Орра -Зоммерфельда и содержит разрывные коаффициенты. В частном случае, если принять число Вайссенберга We равным дулю и положить к^пуИ для обоих слоев, то уравнение (25), в которое необходимо подставить функции Р1, ?2 и ?3, превращается в классическое уравнение Орра -Зоммерфельда с обычными краевыми условиями. При атом условия на границе раздела . слоев выполнятся тривиальным образом. При решении классической задачи Орра- Зоммерфельда особое внимание уделяется большим значениям числа Рейнольдса Не, так как течение Цуазейля вязких однородных жидкостей устойчиво до значительных по величине значений числа Не. В рассматриваемом же случае нетривиальные решения могут появиться при значениях числа Рейнольдса Re, близких к нулю, что связано с появлением разрывных параметров (свободной границы

раздела слоев). Решешш краевых задач типа Орра -Зоммерфельда с разрывными параметрами в последние года уделяется самое пристальное внимание. Однако единственным методом решения таких задач остается метод, предложенный Йи Ц.-Ш. в его известной работе о двухслойном течении вязких жидкостей по наклонной плоскости, согласно которому собственная функция р и собственное число о ищутся г? виде рядов

Р = Р0 + аг>^ + ар2 +... 0 = 00+ас.| + аО£ +. . . (35)

по степеням волнового числа <*, которое предполагается малым. Далее выражения (35) подставляются в уравнения (21)—(25) и краевые условия (26)-(29). При о=0 получается нулевое приближение задачи. Если же при подстановке в уравнениях и краевых условиях сохранять члены с числом в первой степени, пренебрегая старшими степенями <*, то получится первое приближение. Известно, что неустойчивость плоских течений при малых значениях числа Рейнольдса зависит как от отношения вязких, так и от отношения упругих свойств жидкостей. Влияние различия вязких и неньютоновских свойств жидкостей на устойчивость двухслойного течения в круглом цилиндрическом канале ранее было исследовано в работах К.Хикокса и В.Вонга -К.Йенга, а влияние различия упругих свойств впервые рассмотрено автором.

В диссертационной работе собственная функция <ро (х) пулевого приближения для ядра и оболочки течения найдена аналитически ■ с точностью до постоянного множителя, который, как обычно, можно положить равным единице. Нулевое приближение со собственного числа о оказалось действительным, поэтому далее было рассмотрено первое приближение. Для этого были выделены действительная и мнимая части функции и первого приближения с^ собственного числа с в вида: р.|=ф(х) +1х(х), После преобразований для функции

получается дифференциальное уравнение четвертого порядка вида: ЛШ-(кг?Не)"1+2т^е I33]}+2т^ИГе Ш-^КеГ^'-Т^+т^УУеи'т33? ¡' г

+ т^Яе У х_1[-(к0Не)"1и' - Т13 + и'т33] =

= А[Т10]- т"1 (и-о0) '+ )'. (36)

Здесь Л -дифференциальный оператор Эйлера второго порядка вида (Лу)(х) 3 у"(х)+ Х_1у'(х) - 1"2У(1).

Х(х) = [1 + (т^е и')2] (х"У)', (37)

Т10(х) = п^??е[1+-(тч»еи,)г]"1[2(и-о<>)(1г1ах+112ах-1)+(и-о0).[-(к0Не)"1 +

¿/¡ИЭ 3

Ь1э, (э=а,Ь) -постоянные. Краевые условия и условия на границе

раздела слоев имеют вид:

*Лп) = 0, хь(п) = О, 11ш х~1*_(х) = о, 11ш и-1*')' = (38)

».■.»> а х-»'0 а И

*а(1)=*Ь(1)' ^а^^Ь^^оа^)^3^^3053^^)-^ ' (39)

[Р30а<1 >-*30ъ(1 )] [роЪ<1 ^оа*1 >](*а<1 И°а<1 '"V1 »

+ [иа(1)-о0][дга(1)-А:ь(1)])=я:а(1)А!Р33+2[Р2Ь(1)-?2а(1)]. (40)

Здесь Р^оз -нулевые приближения функций Р^д (з=а,Ь). Критерий устойчивости о^. имеет вид:

си=-*а(1 )«(1 >№(1 Ь*а<1 >) М )-°о] Къ<1 Ка<1 ))"1

и зависит от отношения п радиусов, отношения к вязкостей, а также

от отношения <5 времен релаксации слоев, чисел Рейнольдса и

ВаЙссенберга. Для численного анализа критерия с^ ^ в работе решается

краевая задача (36)-(40) относительно функции х(х).

Результаты расчетов частично приведены на рис.1 -5. Рис.1

демонстрирует, что в согласии с опытными и теоретическими данными,

отношение вязкостей к=г)оа/*)0^ и положение границы раздела слоев

п ^ =1^оказывают существенное влияние на устойчивость ' течения.

Но, как показано в работе при исследовании устойчивости двухслойных

течений вязкоупругих жидкостей в цилиндрическом канале необходимо

также' учитывать отношение их упругих свойств. Например, если

отношение времен . релаксации б=х./\ =1, то значения критерия

о и

устойчивости е.. . отрицательны при п > 0.7 (поток устойчив) и —1

положительны при п <0.65 (поток неустойчив) (кривые 1 и 3, рис.2); но если <5=2, то при тех же значениях других параметров- знаки критерия о^ меняются на противоположные (кривые 2 и 4, рис.2). При атом, если упругие свойства жидкостей в ядре и оболочке течения одинаковы (<5=1), то изменение отношения вязкостей к на обратное,' как правило, приводит к изменению знака критерия (кривые 2 и 3, рис.3). Если жэ упругие свойства жидкостей различны (<5*1), то такой вывод в общем случае неверен (кривые 2 и 3, рис.4), и знак критерия устойчивости определяется как отношением вязкостей, так и отношением времен релаксации жидкостей в ядре и оболочке течения (рис.3 и рис.4). При <5<1 (оболочка менее упруга по сравнению с ядром потока) изменение отношения вязкостей к на обратное, как и в двухслойных течениях ньютоновских жидкостей, обычно приводит к смене знака критерия устойчивости. В более полной и наглядной форме зависимость знака критерия устойчивости от всех трех параметров

уробно изображать при фиксированных положениях границы раздела слоев на плоскостях (к,<5). На рис.5 и рис.б представлены карты устойчивости двухслойного течения для отношения радиусов слоев п~1 = 0.7 и п_1=0.9. Значком (+)отмечены области, соответствующие неустойчивым режимам течения, а значком (-) -устойчивым. Численный анализ подтверждает полученный в работе теоретический вывод о совместном влиянии всех трех факторов: отношения к вязкостей, отношения <5 времен релаксации и положения границы раздела слоев

_-I

п =1Ц/З^, на устойчивость. Полученные результаты согласуются также с известными опытными данными о параметрах устойчивых режимов формования ПОВ с ядром из полиметилметакрилата и оболочкой из полистирола и позволяют рассчитывать параметры устойчивых режимов других аналогичных течений.

Глава 4. ДВУХСЛОЙНОЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

Нелинейность реологических характеристик жидкостей, как было указано в главе 2 диссертационной работы, может явиться причиной отсутствия стационарных режимов течения при одних значениях параметров потока и его ветвления при других. Изучение условий существования стационарных режимов неизотермического течения вязких жидкостей в бесконечной круглой трубе впервые теоретически было проведено С.А.Бостанджияном, А.Г.Мержановым, С.И.Худяевым в 1965 г. Условия отсутствия стационарных режимов осесимметричного течения однородной вязкой жидкости ввиду саморазогрева потока были представлены в виде неравенства *<2, где х -некоторый безразмерный параметр, связывающий вязкость, теплопроводность, анергию активации и другие теплофизические характеристики потока с его геометрическими параметрами.

В четвертой главе диссертационной работы рассмотрено осесимметричное течение двух несмешивающихся жидкостей в бесконечном канале кругового сечения. Сохранены обозначения, введенные в главе 2. Предполагается, что жидкости во внутреннем слое (ядре) течения и его внбпшем коаксиальном слое (оболочке) течения имеют различные вязкости и коэффициенты теплопроводности. Течение предполагается простым сдвиговым, вектор скорости стационарного штока имеет одну ненулевую компоненту: (0,0,и (г)).

о

Далее индекс в=а для величин, относящихся к ядру течения и в=Ь для

величин оболочки течения. Математическая модель содержит уравнения движения и анергии, а также гидродинамические и тепловые условия на стенках трубы и на границе Г раздела слоев. Система уравнений для каадого из слоев имеет вид:

^ I 3 СИ- Л 8 г (1г ■ «г а2* 1 <13! "з Гйи]2

7Т + ~ — + Г" сЕг = 0 • (41 >

йг г йг коа J

Здесь п - вязкость., коа - коеффициент теплощюводности, ид -скорость течения, <>р /<5г = к -(продольный градиент давления ), Ф -

3 о э

абсолютная температура з-го слоя,касательные напряжения выражаются

<1и

по формуле тд ^зд^ » (з=а,Ъ). Гидродинамические краевые условия предполагают симметрию течения и прилипание жидкости к стенкам канала. На границе г раздела слоев предполагается равенство скоростей, касательных и нормальных напряжений. Условия теплового баланса - вто условия симметрии теплового профиля, постоянство температуры на стенках канала, а также равенство температур и тепловых потоков на границе г. раздела слоев. Для обоих слоев вязкости жидкостей зависят от температуры по закону Аррениуса, записанному в виде:

*ехр(В3/КТ0) *ехр[-Еа(Т3-'Г0)/КГ2] , (в=а,Ь)

Здесь Ед - анергия активации з-го слоя, Л - газовая постоянная.

Стационарная краевая задача рассмотрена при постоянном

градиенте давления А. Зависимость скорости течения от температуры

несложно найти из уравнения (4-0). После подстановки этой

зависимости в уравнение (41) остается решить краевую задачу для

о р

температуры Т. В безразмерных переменных е=Еа(Т-Г0)/КР0, ?=(г/й1) уравнение (41) теплового баланса для обоих слоев принимает вид:'

й2в 1 йв

—53 + --3 + т * *ехр(ш б ) = 0, (з=а,Ь) (42)

<1? ? <1? у а у а

Безразмерные параметры х„, к__ и пи принимают различные

В ОЭ г

значения в разных слоях: коа=пу.='' для ядра течения и т^=г = ®[/Еа>

коа= к= коа/коЬ АЛЯ 6го об°лочки,

*в = АЭД (1бНр2ваг,озкод)-1*9хр(-Еа/М!0). (в=а,Ь)

Краевые условия и условия на границе г раздела слоев имеют вид: <1в | р <Хва аеь

аП?=о=°> Vй >-°» ка?=з?» «=1- <«>

В работе выяснено, что задача (42)-(43) может иметь два решения. Первое из решений имеет вид:

1п( § ) + 21п[ Л , , ?«=[0,1],

е+(?)=

+ Ч^Ы'

о ?0-1

—1п(1б) + - 1п [--т-1, ?е(1,п2].

г г 1(20 +Б)+ег (2о -В)п ^

п-2с+2

(44)

у

Здесь постоянная о является корнем уравнения:

[(2о +В)+ И40 (2о -Б)]2 где <52=у1п4(2к}'-у1)~1, у1=1-о(1-сШ4о)(14с1 И0)-1. Второе решение имеет вид:

1п(-§-) + 21п Г—р-§-2—1 • ?«[0,1], а I

?1(°)_ [(20 +В)+ Н40 (2о -Б)]2 [ *а к2!14г2 ) ~

в (?)=

2 -о-1 2с+2 . (45)

1 2 Г о К 1

—1п(1б) + - 1п -^-ш , ?е(1,п'

Г г I (2о+В) +? (2о-В)п J

есть корень следующего уравнения: 1бс2Г4°"4 г 2(210^2- з|

_ Г

Здесь постоянная о есть корень следующего уравнения:

1бс2Г4°"4 г 2 (2107а- 4 >л

?2<0) ~ [ (2о +13)+ ]Г40 (2о -В)]2 (. *а ^ 1Л'2 \ где = У2п4(2ку-у2)-1, у2=1+о(1-<1 ГТ4с)(1+<1 1Г4оГ1.

п=й2/Й1, ^п'1^^/!^, В=(4с2-2дгь)1/2, й=(2о -V) (2о Вопрос о существовании решений краевой задачи в работе сведен к вопросу о существовании корней трансцендентных уравнений Р^(о)=0, (1=1,2) при условии выполнения некоторых дополнительных неравенств. В результате анализа выяснено, что необходимые условия существования решения вида (44) составляет следующая система неравенств, связывающая исходные параметры задачи х^, ха, N. г и к:

/ 2с2-2 <хь< 2с2, 2ку >1-о(1-ч1 1Г40) (1+а И40)-1,.

I Н4о> (о-1) (2о+Б) [ (о+1) (2сЧ)) . (46)

Для существования решения вида (45) необходимо, чтобы выполнялась система неравенств *ъ < 8о2Н4о(1+ГГ4о)~2 , 2ку > 1 + о(1-<1 Ы"4о)(1+й Я"40Г1. (47) При использовании неравенств (46) и (47) необходимо учитывать, что ати-неравенства заданы в неявной форме, так как параметр о, входящий в них, является корнем либо уравнения Р^(о) = О, либо уравнения ?2(о)=0, в которое входят N и г, то есть

параметр о зависит от параметров и г. Численное решение

неравенств (46) и (47) опирается на эффективно проверяемые достаточные условия их совместности. В результате анализа в диссертационной работе установлены следующие утверждения. Теорема 4.3. Пусть для произвольного числа о параметры к и N удовлетворит системе неравенств (46), а х& вычисляется по формуле

<1)= 2(игЮ')-2(2Ю'У1-у2)[(2о+В)+Н4с(гс-В)]г/}' [1бо2И4с"4Г1/г. Тогда краевая задача (420-(43) имеет по крайней мере одно решение вида (44).

Теорека 4.4. Пусть для произвольного числа с параметры и к

удовлетворяют системе неравенств (47), а ха вычисляется по формуле *а= 42 )=2 ]~2 ) [ (2о+Ю)+Г4° (2сЧ)) ]2/г (1 бо2^40-4)-1 /г.

Тогда краевая задача (42)-(43) имеет по крайней мере одно решение вида (45).

Теорема 4.5. Пусть для некоторого заданного заранее числа о

параметры ^,к и М удовлетворяют системе неравенств (46). Пусть

(1 > (2) (1) параметр г есть корень уравнения хп =х„ ' и х=х„ ■ Тогда задача

а а а а

(43)-(43) имеет по крайней мере два решения, одно из которых имеет вид (44), а другое имеет вид (45).

Эти и некоторые другие теоремы, доказанные в работе, закладывают основу для численного анализа числа стационарных режимов и возможности переходов с одного режима на другой. Некоторые из полученных результатов демонстрируются на рис.7-10. Рис.7 и рис.8 иллюстрируют поведение функций ?1(с) и ?2(с) при различных значениях параметра (п~^=0.5, к=2, , ха=0.5).

Отметим, что кривая 4 (рис.7) занимает предельное положение, при котором она может пересекать ось абсцисс. Точка пересечения кривой с осью приближается к границе области допустимых значений переменной о и при *ь>0.45 уравнение (с)=0 У*® нэ имеет корней, то есть соответствующий стационарный режим разрушается, если параметр превысит значение 2^=0.45. Уравнение Р^(с)=0 при атом может иметь только один корень (кривые 1 и 2, рис.7), то есть в рассматриваемом примере при хь> 0.45 существует единственный стационарный режим течения вида (44). При *^<0.45 возможны два различных режима течения вида (44) и (45) (функции ?^(с) и имеют каждая по одному нули (кривые 1,2 и 3,4 рис.7)). Поведение функций- Р1 (с) н?г(о) при значениях п= 0.5, к=0.5, г=2, *а=2 демонстрируется на рис.8. При значительном изменении значений параметра =0.15 и *ь =0.43) значения функции Р1(с) почти нэ

-zr-

изменение отношения вязкостей (в 100 раз) слабо изменяет вид

профиля течения. В работе выполнен также численный анализ полей

«

скоростей. Результаты указывают на то, что большее влияние на поведение двухслойного потока оказывет не отношение • вязкостей жидкостей в слоях, а отношение их плотностей.

Глава 6. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА СВОБОДНО- РАДИКАЛЬНОЙ ПОЛИМЕРИЗАЦИИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ РЕАКТОРЕ С ВНУТРЕННЕЙ ПОДАЧЕЙ РЕАГЕНТОВ

Для обеспечения высокой чистоты и оптической прозрачности

полимерных светопроводящих волокон используются цилиндрические

реакторы фронтального типа, в которых реагирующая масса находится

между двумя, соосными цилиндрами радиусов R^ и Rg н высотой Ь.

При втом начальная смесь мономера и инициатора вытекает из

проницаемых стенок внутреннего цилиндра, а продукты реакции

покидают рабочую зону реактора через внешнюю, также проницаемую,

поверхность второго цилиндра. Впервые изучение стационарных режимов

полимеризационных процессов в реакторах такого типа выполнено в

работах Бабажаняна A.C., Давтяна С.П. и других в конце 80-х годов.

В этих работах фронт горения (зона интенсивных химических

превращений) предполагался бесконечно узким, что не соответствует

опытным данным. Использование конечно -разностных методов не

eeinef/«£

позволяет получить стационарное4^-з априорно заданной достаточно малой погрешностью, что затрудняет использование численных результатов для изучения устойчивости процесса к малым возмущениям. Возможность ветвления стационарных режимов реакции полимеризации также требует анализа. Поэтому возникает необходимость в такой математической модели процесса, которая, с одной стороны, описывает его характерные особенности, а с другой -позволяет осуществить теоретическое исследование и разработку ■ высокоточных методов расчета стационарных состояний. Построению и изучению такой модели посвящена шестая глава.

Кинетическая схема описывает механизм полимеризации как инициирование, рост и обрыв цепей свободных радикалов. В реакции участвует один инициатор термического действия. Предполагается осевая симметрия процесса, постоянство массового расхода и однородность смеои по высоте реактора. Скорость течения в цилиндрической системе координат (r,p,z) записывается в виде (и(г), 0, 0). Математическая модель содержит уравнение анергии, а

также уравнения массопереноса мономера и инициатора:

? ^(гиМ) = - Ы11/2 кр(21^/ к0<5)1/2»ещ)[(-2Вр-ЕИ+Е0(5)/гКТ]. (56) 1 й

г

^(гиХ) = - кИХ*е1р(-ЕИ/1«!). (5'0

1 <1 \ <1 «И! °о 1/2л Г 2Гк„11 /2 Г2Ер"Еи+ЕоЬ1

5 ро га?^ + г»«1 * ехР[———] •

Краевые условия включают в себя постоянство концентрации инициатора и мономера на входе в реактор, постоянство температуы на входе в реактор, теплообмен на внешней стенке на выходе из реактора :

<1Т И

1(10=1 , м(н1)=и„, (59) т(я. )=5? , х —=--с.(0нр ) г=йр• (60)

010 1 ° ¿г Ь р • ^

Здесь 1=1(г) и М=М(г) -концентрации инициатора и мономера

соответственно; И -газовая постоянная, к^, кр ,к^^ -постоянные

предакспоненциальные множители в законе Аррениуса; Еи, Ер,

Еой и Г - вяерии активации инициирования, роста и обрыва цепи и

эффективность инициирования соответственно. Т=Т(г) - температура

реагирующей смеси, С5о -удельная теплота полимеризации; р

-плотность, х, с -коэффициенты теплопроводности и теплоемкости

реагирующей смеси соответственно. 1о, М0~ начальные концентрации

инициатора и мономера, Ф0 -начальная температура подаваемой смеси,

И -мощность внешнего нагревателя, Т -температура окружающей среды.

ср

Условие постоянства массового расхода 0 приводит к равенству ги= —1 "

С(2"рЬ) =G=conзt. После преобразований модель процесса записана в виде уравнения

Т = И? (61 )

с оператором Р, определяемым; последовательно равенствами

(РТ)(г)=Т0+а"1[аЕ1^М0][(г/К1)''-1]+ ра 1/>_?,"1Н(г,Т(г))аг, (62)

(58)

г "1

Кг) = 1(г,Т(г)) н ^ехр^а ехр[-Ви/М!(г)]с1г], (63)

К1

И(г)=М(р,Ф(г))гИ{>вч>[-Ка~1Хг 11/2[г,1(г)]ехр[-В/Ю!(г)]с1г]. (64)

А А

Здесь (М)(г)=Г(г,1(г)), (1Й?) (г)=И(г,Т(г)) -операторы суперпозиции, определяемые правыми частями уравнений (63) и (64) соответственно, а краевые условия приводят к следующему уравнению относительно

л I

неизвестного значения постоянной с=Т (1Ц):

о-А = « + «№ср-Т0) + с^Мо0~1 (п^И ) + ^(аН2Г1[п>М0- ^

- (ИРН^)] -[ха(аВ2Г1+а] (¡К* а-1/1*2 г^-'Щг.КгЛаг .

К1

Для постоянных для краткости введены следующие обозначения: С =С(2прЬ)"1, а=Х(ро)"1, а-1, «=»(2п1Л2)~1, -В=0.5(-2Ер-Ви+Воб), К ^(гхкд/ Коб)1/г. п=Н2/й1, А =Хп/~1+айН10''1 (пГ-1), О =0оС(ро)-1, 2 2

V =лЬ(Н2~Я|)- об'ем рабочей зоны реактора. Приведенные ниже условия существования и единственности стационарного режима реакции полимеризации получены с помощью принципа сжатых отображений. Теореиа 6.2 Если

О > 0.5 7Ыо1уга?;2ХЕ0о(ро)""1(пг-1) = 0.5 (пу-1) , (66) то решение уравнения (61) существует и единственно.

Неравенство (66) показывает, что при заданных размерах рабочей зоны реактора и других известных характеристиках процесса для единственности стационарного режима достаточно подобрать массовый расход реагентов. Далее с целью изучения устойчивости процесса к малым возмущениям в диссертационной работе на основе принципа сжатых отображений разработан алгоритм последовательных приближений для расчета стационарных значений температуры и концентраций реагентов с заданной заранее точностью. Нулевое приближение выбрано с учетом требований теоремы 6.2. Контроль точности вычислений выполнен в метрике пространства ССИ^,!^].

Нестационарные уравнения тепломассоперноса в реагирующей среде, линеаризованные относительно возмущений, выписаны в виде:

аЬ 5 Л а а , <П, Ли 0 ат .

+ ? 3? = ? 5?[г 5?] " <Уро) + <67>

й + ? й = -^(1+ви(кггГ1")*ехР(-Еи/га?) , (68)

Л.

¿т а * л/о г "

5Г + ? = -Ы^^тНд ■+• 1Ш5(К1^Г1]»е*р(-Б/Щ!) ; (69)

Краевые условия предполагают постоянство температуры и концентраций реагентов на входе в реактор, а также теплообмен на его стенках:

П,

ш(т)=0, Кт,^)» О, 4(т,Н1)=0, X т «Ю.00). (70)

Здесь 1;(т,г), т(т,г) и 1(т,г) -вомущения температуры и концентраций

мономера и инициатора соответственно. Ненулевые решения краевой задачи (67) -(69) .ищутся в следующей форме:

1=41(г)«ехр(-<5т), 1=*2(г)«ехр(-бт), т=$э(г)*ехр(-бт). (71) Здесь и $3 ^собственные функции задачи, б -собственное число.

После подстановки выражений (71) краевая задача (67) -(70) принимает следупцкй вид:

аг~1(г4^)'- + <5$1 = 0о(ро)"1(Сг~1$з - <5«3), (72)

+ $гки*езр(-Еи/ИР) - а$2= Ки®н1 (НР2)""1 *ехр(-Еи/КГ), (73)

+ $3Ы1/2*ехр(-В/И?) -«5$3 =

= - к($2/21 + ^Е/КП2) 11/2М * ехр(-Е/КЕ) . (74) *3(Я,)=0, Ф2(Н1) = 0. (ГЦ ) = О, Х*.^) = - а*.,^). (75)

Для решения задачи (72) -(75) на собственные значения в работе построен алгоритм последовательных приближений с помощью перехода к интегральныму операторному уравнению. На атой основе выполнен приближенный анализ устойчивости. В первом приближении задача сведена к однородной, а во втором -к неоднородной самосопряженной краевой задаче Штурма -Лиувилйя. Собственные числа построенных краевых задач образуют не более чем счетное множество и -все они строго положительны, то есть в рассмотренном приближении изучаемый процесс устойчив. Следующие приближения выполнить не удается ввиду разветвленности и громоздкости задачи. Подученный результат об устойчивости, имеющий оценочный характер, находится в согласии с результатами наблюдений моделируемого процесса в производственных условиях, а также с данными численных и экспериментальных исследований фронтальной реакции полимеризации в реакторах других типов. А именно, известно, что такие процессы устойчивы, если расход реагентов превышает некоторое определенное значение. Это условие согласуется с условием теоремы 6.2.

Отметим, что операторы суперпозиции I, И и оператор ? действуют и непрерывны в пространстве СЕЯ^,!^]» но, вообще говоря, не являются вполне непрерывными. Поэтому более тонкие достаточные условия существования и единственности решения стационарной задачи о реакции полимеризации рассматриваемого типа могут быть подучены с помощью теории уравнений с некомпактными несжимаюацши (например, уплотняющими) операторами Операторные уравнения с уплотняющими интегральными операторами рассмотрены в седьмой главе работы.

Численный анализ стационарного режима процесса полимеризации

выполнен при характерных значениях параметров, соответствующих реакции синтеза полистирола и полиметилметакрилата в присутствии термического инициатора типа АИБН. Результаты показывают, что в соответствии с опытными данными, фронт горения является протяженным по радиусу (рис.12 -14). Инициатор 1(г) вступает в реакцию в точке максимального тепловыделения и далее выгорает почти полностью, после чего температура реагирующей смеси • становится практически постоянной (рис.12). При уменьшении анергии инициирования фронт горения смещается к питателю, процесс проходят при более низких температурах, а выход непрореагировавшего мономера увеличивается, то есть использование инициаторов с большей анергией инициирования позволяет увеличить степень конверсии (рис.13). Изменение енергии обрыва полимерной цепи не отражается на

степени конверсии, но фронт горения смещается близ» к выходу из реактора (рис.14). Уменьшение начальной температуры Ф0 подавамой на вход реактора смеси приводит к значительному смещению фронта горения ближе к выходу из реактора. Процесс разогрева происходит более медленно, температура на выходе из реактора возрастает и возрастает степень конверсии. Однако следует иметь ввиду, что смещение положения фронта горения к выходу из реактора может привести либо к тому, что реакция не успеет начаться, либо стенки реактора окажутся нагретыми до слишком высоких температур.

Полученные в работе результаты позволяют рассчитывать температуру, концентрации реагентов, протягеннность и положение фронта горения,' а также степень конверсии при любых заранее заданных параметрах процесса. Разработанная модель и методика ее исследования могут быть использованы для расчета характеристик и прогнозирования поведения реакции полимеризации' во фронтальных реакторах других типов.

Глава Т. ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Как отмечалось выше, построенные в работе математические модели, а также ряд других задач нелинейной механики приводят к необходимости исследования краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и к нелинейным уравнениям о некомпактными интегральными операторами. В седьмой главе для изучения таких задач использованы метода теории уравнений о уплотняющими операторами.

-зг-

Рассмотрено обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка...

х" = Г^.х.х'), х'= <1х/<и, 1;е[0,Т], ги)еЕ . . (76)

с двухточечными краевми условия вида:

а11Х(0) + а12х'(0) + а13х(0!) + а14х' (Т) = О . (1=1,2). (77) Здесь Е -действительное банахово пространство,функция I:[0,Т]хЕ*Е+ Е; а^ = eonзt, ранг матрицы к' = равен двум. Через

С1([0,Т],Е) обозначено пространство непрерывно дифференцируемых функций х: [0,Т]+Е с нормой Цх||г =зир||х(Ш+зир||х С~Ь>||_ Если у -

г • t

некоторая монотонная мера некомпактности, то равенство .(О) =

у[{х("Ь): хеП,Ы[0,Т])]+у'[{х (t): }] определит монотонную

меру некомпактности в пространстве С^([0,1],Е). Оператор Грина

краевой задачи (76)-(77) записывается в следующей форме:

(Р ' г ,

(ГхЖ) ои,г)г|г,х(т),х (т.^ат. Г7«>

^24_А13 )т_А14Т+Л23 2 )• 0<т<^;.

Здесь а(г,т)=(д)~1

а? . ■ ■ I т. т ,

1=т1п/а(1;,т)<1т, Ь=тах/аи,т)ат, т=тт/ 04(1;,т)<1т, М=тах]" 0^.(1;,т)с1т,

' * 0 'о . 'о t0

р = шах{|1|,|Ь|} + тах{|т|,|М|} . Разрешимость краевой задачи (76)-(7 7) еквивалентна существованию неподвижных точек оператора Грина г в пространстве С^([0,Ф],£). Леиыа 7.1. Пусть выполнены следующие условия: 1)оператор I:[0,Т]хЕх&>Е непрерывен, ограничен и для него существует такая постоянная к>0, что выполняется неравенство

у(г[[0,0?),и,и1]]< к[*<(и) +■ У-О^)], (79)

для любых ограниченных множеств Ч.и^Е; 2)мера не компактности у полуаддитивна и полуоднородна; 3)функция Грина С(I,т) и ее частная производная знакопостоянны в каждом из треугольников 0£т<-Ь£?. Тогда оператор Грина г (№,ус )-ограничен в С1 ([0,1],Е).

Теореиа 7.1. Пусть выполнены все условия леммы 7.1. Пусть мера векомпактности ц> 1-правильна и удовлетворяет условию у(Кии)=у(И) для каждого компактного множества КеЕ и ограниченного множества 11еВ. Пусть оператор Г: [0,Т]хВхЕ-»Е квазилинеен на бесконечности:

fltU.x,u)|lR

lim - = а = oonst.

11*Е1ММ1Г°» ||x||B + ||u||K Пусть, кроме того, max(i?k,/5c.)<i. Тогда задача (76)-(77) разрешима.

В диссертации приведено несколько примеров выполнения условий теоремы 7.1, в том числе в счетномерном пространстве. В работе рассмотрено также уравнение Урысона:

u(t) = (Pu)(t) = fK(t,3,u(s))d3 (80)

С

в пространстве Lp(G.R) (р>1) суммируемых функций.Здесь G -замкнутое

ограниченное множество конечномерного -евклидова пространства,

(a,t) <= GxG; ядро K(t,s,u) удовлетворяет условиям Каратеодори, то

есть функция K(t,s,u): G х G х R R измерима по совокупности

переменных (з,t) е G х G при любых фиксированных значениях и и

непрерывна по и почти при всех (s,t). Доказано несколько теорем.

Теорема 7.6. Пусть выполнены следующие условия: 1) . |K(t,s,u)| <

Q(t,s)(a + Ъ|и|р где а, b -положительные числа, а Q(t,a) -

суммируемая со степенью р функция: 2) неравенство blz^-z +

al(mesG)1/q>0, (q~1+p_1=1 ),где lp = f f' |Q(t,3)|pd3dt, mesG - мера

G G •

области G, имеет ограниченные положительные решения z. Тогда уравнение (80) имеет ограниченные решения в пространстве Ьр(0).

Для доказательства используется принцип Шефера для вполне непрерывных операторов. В работе автора [10], а также в некоторых других принцип Шефера перенесен на класс уплотняющих операторов. На этой основе доказано новых несколько теорем о разрешимости уравнения Урысона с некомпактным оператором. При доказательстве некоторых из них использованы свойства асимптотических производных и производных по конусу (к,у) -ограниченных опертороя, также полученные ранее в работе автора [11].

Теорема 7.в.,Пусть выполнены следующие условия: 1)оператор Урысона

(80) действует непрерывно в пространстве 1^(0) (1 <р<со) и вполне

непрерывно из пространства Ьда(0) в пространство Ьр(0); 2) для

каждой функции uebp(G) функция (t ,з) -> K(t,s,u(3)) лежит в Iip(GxG);

3) для любого г >0 lim sup || fK(t,B,u(3))d3 || £ kr ;

mesl>»0 |u|psP Q p

4) 11ш mar (|K(t,3,u)|/|u|)= а; 5)тах(к,ашез0)<1. Тогда уравнение |u|-»a> 3,teG

(80) имеет хотя бы одно решение в пространстве Ь^ (G). Теорема 7.9. Пусть выполнены все условия теоремы 7.8 и, кроме того, K(t,s,u) £ 0 при а 2 О и (t,s) « GxG. Тогда уравнение (80) имеет по крайней мере одно неотрицательное решение в пространстве (G).

Теореиа 7.10. Пусть для положительного оператора Урысона (80) выполнены первые два условия теоремы 7.8, причем к<1. Пусть оператор Р имеет сильную асимптотическую производную Р (®) по конусу К неотрицательных функций пространства 1^(0) и спектр оператора Р (<*>) лежит в круге |\|<р<1. Тогда уравнение (80) имеет по крайней мере одно неотрицательное решение в пространстве .

ОБЩИЕ ВЫВОДИ

1. Анализ математической модели двухслойного стационарного осесимметричного изотермического , течения цесмешивакцнхся вязкоупругих жидкостей в бесконечной круглой трубе показывает, что соответствующая краевая задача имеет два различных решения, каждое из которых существует, только если выполнены некоторые условия, связывающие геометрические и физические характеристики течения. Физически реализуемым является только одно из решений, найденое в аналитической форме.

2. Устойчивость указанного двухслойного течения зависит не только от отношения вязкостей жидкостей во внешнем и, внутреннем слое течения, но и от отношения их упругих характеристик. Найденный критерий устойчивости и построенная компьютерная модель позволяют выполнять расчет параметров устойчивых и неустойчивых режимов.

3. Двухслойное осесимметричное стационарное течение жидкостей с вязкостями, експоненциально зависящими от температуры, может происходить в. двух различных температурных режимах. При изменении характеристик стационарного течения возможны резкие изменения его температуры (переход с одного температурного режима на другой) или переход в нестационарные режимы из -за явлений вязкой диссипации' енергии. Условия существования и ветвления стационарных режимов зависят от теплофизических характеристик жидкостей в обоих слоях и сформулированы в работе в виде нескольких теорем. Разработанная программа . для ЭВМ позволяет предсказывать характер поведения течения и выполнять расчет его скоростных и температурных полей.

4. Построена модель двухслойного осесимметричного течения растяжения вязких жидкостей и выполнен ее анализ. Найдены приближенные выражения для вычисления скоростей и напряжений, а также для расчета формы поверхности раздела слоев и внешней поверхности течения, зависящие от отношения вязкостей и плотностей жидкостей в обоих слоях и их начальных радиусов.

5. Выполнен приближенный анализ локальной устойчивости

-

процесса свободно -радикальной полимеризации в цилиндрическом реакторе с внутренней подачей реагентов. Сформулированы и доказаны достаточные условия единственности и устойчивости стационарного режима реакции. В аналитическом виде представлен алгоритм расчета полей температур и концентраций реагентов. Положение и размеры фронта горения, а также степень конверсии вычисляются с заранее заданной погрешностью с помощью соответствующей компьютерной модели. Численный анализ подтверждает устойчивость процесса при выполнении условий. его единственности, а также зависимость характеристик процесса от начальных концентраций и температуры реагентов, от их анергий активации инициирования, роста и обрыва радикальных цепей, от условий теплообмена на внешних стенках реактора и от его размеров.

6. Методами нелинейного математического анализа проведено исследование ряда моделей сложных гидродинамических течений неньютоновских жидкостей. Условия существования, единственности и ветвления решений поставленных краевых задач сформулированы в аналитической форме, допускающей их использование для изучения моделей других аналогичных течений. Получен ряд теорем о разрешимости нелинейных операторных уравнений с некомпактными операторами.

7. В ходе Исследования в диссертационной работе реализован комплексный подход к математическому моделированию и изучению устойчивости гвдродинамичскиз процессов, связанных с изготовлением композиционных полимерных волокон. Подход включил в себя: 1)построение моделей и методику их преобразования к операторным и другим аналитическим формам; 2) вопросы математической корректности построенных и других аналогичных моделей; 3) изучение стационарных состояний систем, их глобальной и локальной устойчивости; 4)разработку алгоритмов численного анализа, реализацию компьютерных моделей и проверку достоверности результатов.

Комплексность методики исследования позволяет применить полученные результаты к задачам совершенствования оборудования и технологии изготовления полимерных композиционных материалов, а также открывает возможность их применения к широкому классу прикладных и фундаментальных проблем хш^-от н гидродинамики неньютоновских жидкостей.

8. Результаты диссертационной работы частично внедрены в Инженерном центре полимерных оптических волокон (г.Тверь).

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Лялышна Г.Б. Условия корректности математической модели свободно -радикальной полимеризации в цилиндрическом реакторе с внутренней подачей реагентов.- В кн.: Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика, til, с. 3-9.- Пермь: Перм. гос. тех. ун-т, 1994, 117 с.

2.Лялькина Г.Б. Разрешимость краевой задачи для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве.-В кн.: Математическая физика. Межвуз. сб. научных трудов.-Ленинград: Ленинград, гос. пед. ин-т, 1987, с.З -10.

3.Первадчук В.П., Лялышна Г.Б., Казаченко T.Á. Стационарное двухслойное течение вязкоупругих расплавов полимеров в цилиндрическом канале.- Инженерно -физич. журнал, 1989, т.56, N1, с.135 -136.

4.Лялышна Г.Б. Условия разрешимости одной двухточечной краевой задачи в банаховом пространстве.- В кн.: Качественные и асимптотические методы интегрирования возмущенных дифференциальных уравнений,- Саранск: Мордов. гос. ун-т, 1987, с.З -6.

5.Pervadchuk 7.Р., byalklna C.B., Kazachenko Т.A. Two- layer flow stability of viscoelastic fluida in a circular pipe.- Aroh.meoh., 1990, N4-5, pp.551 -564.

e.Kralnov V.R., Lyalkina G.B., Pervadchuk V.P., Yankov V.V. Analisis of the ■ two- layer polymer fiber spinning.- Abstracta Int.Conference "Free boundary problems in continuum mechanics"--Novosibirsk: Inst, of Hydrodynamics, 1991, PP-74 -76.

7.Первадчук В.П., Левин B.M., Лялышна Г.В., Олейник A.A. Задача оптимального управления и проблема устойчивости двухслойного потока в процессе производства синтетических оптических волокон.- В кн.: Препринты Т Междунар. симпозиума по хим. волокнам, т.4.- Калинин, 1990, с. 142 -147.

8. Лялышна Г.В., Первадчух В.П. 0 гидродинамическом тепловом взрыве в двухслойных течениях.- В кн.: Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика, N1, с. 44 -50.- Пермь: Перм. гос. тех. ун-т, 1994, 117 с.

9.Первадчух В., Лялышна Г., Олейник А.. Онянсв В., Нечаева И., Александров В., Геташвшш С. Математическое моделирование двухслойных течений вязкоупругих жидкостей: проблемы устойчивости и оптимального управления.- В кн.: Труды Второй Международной научно -технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных

-J?-

наук", 1994, т.1(1), p. А90 -А92,- Москва: Teohnoaphere -INFORM, 1994, 340 с.

10.Лялькина Г.Б. Об обобщении принципа Шефера на уплотняющие 'операторы.- В кн.: Проблемы нелинейного анализа. Уч. записки ППГ, N309.- Пермь: Перм. гос. ун -т, 1ЭТ4, с. 13 -19. II .Лялышна Г.Б. 0 производных и производных по конусу (к,у)~ ограниченных операторов.- В ка.: Некоторые задачи нелинейного анализа и механики деформируемых тел. Уч. записки ИГУ, N291.-Пермь: Перм. гос. ун-т, 1975, с. 14 -17.

12.Покорный D.B., Лялькина Г.Б..Краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с нелинейными краевыми условиями.- В кн.: Краевые задачи. Межвуз. сб. научных трудов.-Пермь: ППИ, 1979, с. 136 -140.

13.Лялышна Г.В., Первадчук В.П. Устойчивость двухслойных течений полимерных жидкостей.- В кн.: 10-я Зимняя школа по механике сплошных сред.- Пермь: ИМСС РАН, 1995, с.157-158.

14.Лялькина Г.Б., Первадчук В.П., Геташвили С.Т. Проблема затухания колебаний в двухслойных течениях вязкоупругих жидкостей.-Тезисы докл. Международной конф. "Колебания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике".- Минск, Беларусь, 1993,

с .err.

15.Лялькина Г.Б. 0 неподвижных точках положительных сильно асимптотически линейных по конусу уплотняющих операторов.- В кн.: Некоторые задачи нелинейного анализа и механики деформируемых тел. Уч. записки ПГУ, N291.- Пермь: Перц. гос. ун-т, 1975, с. 25- 31.

16.Лялышна Г.Б. 0 разрешимости одной двухточечной краевой задачи в банаховом пространстве.- Деп. ВИНИТИ, 1985, N4721- 85, деп., 9 с.

17.Лялышна Г.Б. Краевая задача для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве.- В кн.: Краевые задачи. Межвуз. сб. научных трудов. -ЕТермь: Перм. " политех, ин -т, 1977, с. 139-141.

[в.Лялькина Г.Б., Первадчук В.П. Анализ стационарных режимов течения двухслойных неизотермических потоков.- В кн.: Вестник ТТУ. Механика. N2, с.201 -211.- Пермь: Перм. гос. тех. ун-т, 1995, ?29 с.

! 9.Лялькина Г.Б. Об устойчивости двухслойного течения расплавов юлимеров в процессе формования оптических волокон.- Тезисы ржл. Всесоюзной конф."Полимермаш-91 Киев, 1991, с. 14. Ю.Лялькина Г.Б., Иванова В.В. Исследование устойчивости

стратифицированных течений вязкоупругих жидкостей при совкструзии. - Тезисы докл. 11 Всесоюзной научно -техн. конф. "Реология и оптимизация процессов переработки полимеров". - Ижевск, 1989, с.54. 21 .Первадчук В.П., Лялышна Г.Б,, Вдовина О.Н. Комплексный подход к математическому моделированию процессов изготовления полимерных оптических волокон.- Тезисы докладов Международной конф. "Математическое моделирование процессов обработки материалов".-Пермь, 1994, с.38 - 39.

22.Лялькина Г.В. Об условии y(i ([0,Т] .U.U.,) £ klvUO+viU., )].- Деп. ВИНИТИ, 1986, N4994-B86, Деп., 4 с.

23.Лялышна Г.В., Первадчук В.П. Исследование устойчивости процессов формования полимерных оптических волокон.- Тезисы докл. научной школы - семинара "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов".- Киев, 1991, с.56 -57.

24. Лялышна Г.В. Условия *-уплотняемости оператора Урысона в пространствах С и Ъ. В кн.: Функционально -дифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики. Межвуз. сб. научных трудов.- Пермь: Перм. политех, ин-т, 1978, с.166 -168.

25. Лялышна Г.В. Разрешимость счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.- Тезисы докладов 111-й Уральской региональной конференции по ФДУ и их приложениям.- Пермь: Перм. гос. тех. ун-т, 1988, с. 57.

26.Лялышна Г.Б. Устойчивость установившегося двухслойного течения вязкоупругих полимеров в цшшндриче с ком канале.- Тезисы докл. республиканской научно- технической конф. "Современное оборудование и процессы переработки полимерных материалов".- Киев, 1988, о.9.

27.Лялышна Г.Б. Об одной нелинейной краевой задаче.- В кн.: Краевые задачи. Межвуз. сб. научных трудов.- Пермь: Перм. политех, ин-т, 1981, с. 99 -102.

28.Мисюркеев И.В., Лялышна Г.В. Исследование одного класса нелинейных интегральных уравнений топологическими методами. - Уч. записки ПТУ (математика), N271.- Пермь: Перм. гос. ун-т, 1973, с.20-25.

29.Мисюркеев И.В., Лялышна Г.В. О разрешимости нелинейных интегральных уравнений.- В кн.: Приближенное решение краевых задач и функциональных уравнений. Сб. научн. трудов.- Пермь: Перм. политех, ин-т, 1971, N84, с.141-145.

30.Первадчук В.П., Лялышна Г.Б., Александров В.Л. Двухслойное стационарное течение растяжения ньютоновских жидкостей,- Тезисы

докладов Международной ' конф. "Математическое моделирование-процессов обработки материалов".- Пермь, 1994, с.38.

31.Первадчук В.П., Лялькина Г.В., Казаченхо Т. А. Стационарное двухслойное течение вязкоупругих расплавов полимеров в цилиндрическом канале.- Деп. ВИНИТИ, 1988, N 6670-В88, б с.

32. Лялькина Г.Б. Критерий устойчивости стратифицированного течения вязкоупругих жидкостей в цилиндрическом канале круглого сечения.- Тезисы докл. научной школы - семинара "Моделирование й исследование устойчивости физических процессов".- Киев, 1990, с.42i

33.Первадчук В.П., Лялькина Г.Б., Александров В.Л. Двухслойное стационарное течение растяжения ньютоновских жидкостей.- Тезисы докладов Мезвдународной конф." Математическое моделирование процессов обработки материалов".- Пермь, 1994, с.38.

34.Pervâdchuk V.P., Lyalkina G.B., Alexandrov V.L. Two -layer spinning procesa during the polymer Iibre3 production.- Тезисы докл. Российской научной конф. с участием зарубежных ученых "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах".- Тверь, 1994, с.67.

-3.00 I I I I I I I I I I I I I И Ч I I I | I I I I I И I И I I I I I II I I I I I I I Ч М I I —1 0.00 0.20 0.40 ало 0.80 1.00 II

Рис.1. Зависимость критерия устойчивости 6т положения границы раздела слоев для различных значений отношения <5 времен релаксации и различных значений отношения вязкостей к: 1- к= 2.5. <5= 2; 2- к=2.5, <5=0.5; 3- к=0.4. «5=2; (Ие=0.1. Не=1*10~4, 0=1)

°1110'

1.00 П

-1

Рис.2. Влияние отношения времен релаксации и числа Вайссенберга на критерий устойчивости для различных значений отношения <5 времен релаксации при отношении вязкостей к=0.4: 1- <5=1, 2- <5 =2 (Ие=0.1); 3- <5=1, 4- <5=2 (У?е=0.05) (Ке=1*10~4, 0=1) .

си10

7 4.00

1.00

2.00 1.00 о.оо -1.00 • -2 ДО ■

Л

у

/ 1

г

-1

положения

Рио.З. Зависимость критерия устойчивости о^ от границы раздела слоев Я| при значении отношения времен

релаксации слоев 6=1 для различных значений отношения вязкостей к: 1- к=0.2; 2- к=0.4; 3- к=2.5 (??е=0.1, Нв=1*10~4, 0=1)

сп10'

У 1 Л ' \ \

\ 3" г

-1

Рис.4. Зависимость критерия устойчивости с... от положения

—1

границы раздела слоев п /К^ при отношении времен

релаксации слоев <5=2 для различных значений отношения вязкостей к: 1- к=0.2; 2- к=0.4; 3- к=2.5 (»е=0.1, йе=1*10~4, <3=1)

Рис.5, п. 1= 0.7 Рис.б. п 1= 0.9

Зависимость критерия устойчивости с^ от отношения 6 времен релаксации и отношения к вязкостей слоев при различных значениях отношения их радиусов п~1: значками (-> отмечена область неустойчивости (о^>0); а значками (+) -область устойчивости (о1.<0); (Не=10~4, ??е=0.1, 0=1)

?ю

-1

У / • / /

х** У У у /

==== _ -—/

Рис.7. Поведение функций Р=Р1(о) и • Р=?2(о) при различных значениях параметра 1- *ь=0.15. 2- *ь=0.4$ (Р=Р1(о)) ; 3- хъ=0.15 , 4- *ь=0.45 (Р=Р2(о)) (п1=0.5. к=2, г=1, *а=0.5)

Рис.8. Поведение функций Р=?1(о) и Р=Р2(о) при различных значениях параметра 1 - *ь=0.15, 2- *ь=0.43 (Р=?1 (о)) ; 3- д:ъ=0.15 ., 4- хь=0.43 (Р=Р2(о)) (п~1=0.5, к=0.5, г=2, *а=2)

Рис.9. Зависимость температуры (?) (первое решение) от

радиуса при различных значениях параметра 1- хь=0.15;

2- ягь=0.4; 3- лгь=0.45; 4- *ъ=1 (гГ1=0.5, к=2, >-=1, *а=0.5)

е*1СГ

4.00

3.00 2.00 1.00 0.00 •

3

\

0.00 1.00 2.00 З.ОО 4.00

Рис.10. Зависимость температуры ) от радиуса при

различных значениях параметра 1- *ь=0.15; 2- лгь=0.4; 30.45 (п_1=0.5, к=2, 1, яг =0.5)

о1

Й-Ю^1

з.оо • 2.00 1.00 0.00

К

! N ^ г

;

III 1 1 Г 1 1 1 ТТГТ 1 1 тгг г 1 1 Г 11111- "Г Г1 1 1 1 1 I I 1 Г» 1 1 Т ГП

. 0.40

Рис.11. Влияние отношения вязкостей к=п„ /п„к на

ОЭ ' о о

1.00

поведение

внешней поверхности и поверхности раздела слоев двухслойного потока: 1- к=0.1, 2- к=10 (внешняя поверхность); 3- к=0.1, 4- к=10 (поверхность раздела слоев) (г=1 ,Б=10,Йе=0.1» аЬ~1.= 0.7)

-н-

Г - н : 3

л

; \ г

Т ; 0.00 - ггггггттг к ГГГГГ1 1 » 1 Т1 1111 11 1 ■»ГТТТТТТТ 1ТП1 1111

г-Ю3м

Рис.12. Зависимость величии процесса полимеризации от . текущего радиуса г: 1- концентрация инициатора 1(г); 2- концентрация

Л,

мономера М(г); 3- температура е(г) ( 3?(г) = 10'[в(г> +25] К ( 1о=15«10°моль/м3; Ио=1*104моль/м3; Т0=101 (25+4.3 )°К =293°К (Ен=1.28*105Д«/моль, Ер=0.182*1О^Дж/моль, Воб=0.294*104Дж/моль)

Рис.13.Влияние анергии инициирования Еи на процесс полимеризации: 1- 1(г), 2- Ы(г), 3- е(г) (Би=1.28*105Дж/моль); 4-1 (г)", 5- И(г), Т (г) (Ви=1.16*104Дж/моль) (Ер=0.182*105Дж/моль,Ео($=0.294*104Дж/моль)

Рис. 14.Влияние энергии обрыва Еи на процесс полимеризации:'1- Кг), 2- М(г); 3- в(г) "(В^=2.94*103д*Люль); 4- 1(г), 5- М(г), .6- е(г) (Еоб=1.84*103Дж/моль) (Вр=1.8г*104Д*/иоль, .28*105Д*/моль)

Сдано в печать 18.10.95 г. Формат 60x84/16. Объем 2,75 п.л. Тираж 100. Заказ 1404. Ротапринт ПГТУ.