Математическое моделирование нестационарного движения снежно-пылевых лавин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ргб 0московский ордена ленина, октябрьской революции

. И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

; ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

НАЗАРОВ Александр Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ СНЕЖНО-ПЫЛЕВЫХ ЛАВИН

01.02.05. Механика жидкости, газа и-плазмы

Автореферат . диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель - доцент, кандидат физико-математических наук М. Э. ЭГЛИТ

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета и в научно-исследовательской лаборатории снежных лавин и селей МГУ им. М. В. Ломоносова

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

A.A. Бармин

доктор географических наук, старший научный сотрудник

К. С. Лосев

Ведущая организация: Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии

Защита состоится " ^ " 1993 года в "■ ¡1^" часов на

заседании Специализированного Совета Д 053.05.02 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва,. ГСП-3, .Ленинские .горы, МГУ, механико -математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико -■ математического факультета.

Автореферат разослан "

1993 г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета Д 053.05.02

профессор В. П. Карликов

Снежные лавины возникают в результате нарушения устойчивости снежного покрова на горных склонах и представляют собой движущийся с большой скоростью поток снег^. Лавины причиняют значительный ущерб, повреждая возводимые в горной местности сооружения и блокируя нормальную работу коммуникаций. Выбор оптимальной конструкции и размещения объектов, обеспечивающих надежную защиту от снежных лавин, ' невозможен без предварительного прогноза ' потенциальной лавинной опасности. Существенную помощь здесь может оказать использование математических моделей лавин. Используемые в настоящее время математические модели снежных■ лавин слишком упрощенно описывают явление, не позволяя, зачастую, достичь необходимых на практике точности и полноты данных. Наиболее сложно и непредсказуемо ведут себя пылевые лавины. Разработка новых математических моделей и исследование особенностей движения снежно-пылевых лазин является, таким образом, АКТУАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ заключается в разработке более точной и информативной, нежели существующие, математической модели снежно-пылевой лавины и изучение на ее. основе особенностей движения лавин. Для этого решены СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАЧИ: .

- проведен критический анализ существующих математических моделей движения пылевых лавин;

- разработаны новые модели, позволяющие определить большинство практически важных характеристик лавинного течения, и сформулирована начально-краевая задача о движении лавинного потока;

- разработан' и реализован программный комплекс- для расчета-движения снежных лавин;

- выполнены численные эксперименты по определению влияния условий движения и параметров модели на характеристики движения ла-

- г -

винного патока;

- проведен расчет реальных пылевых лавин и осуществлена калибровка модели.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы.состоит в следующем:

- получены уравнения, описывающие квазиодномерное (с учетом растекания в поперечном направлении) движение лавинного потока на плавно меняющемся склоне;

- развита математическая модель'пылевой лавины, рассматриваемой как двухслойный неу становившийся.неоднородньйГвдоль склона поток переменной массы;

- исследованы особенности постановки начально-краевой задачи для системы уравнений модели, которая может менять свой тип в зависимости от,значений параметров уравнений;

- создан программный комплекс для расчета движения снежных лавин в лотке и на склоне;

- выполнено численное исследование влияния условий движения и параметров моделирования на динамические характеристики пылевых лавин; проведен расчет движения реальных .пылевых лавин Призль-брусья, Хибин и Памира.

ОСНОВНЬЕ МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ИССЛЕДОВАНИИ. Снежно-пылевая лавина рассматривается. как 'двухслойный турбулентный поток, состоящий из плотного снежного, .ядра и-движущегося поверх"него— облака—снёго-воздушной , взвеси, при наличии перемешивания слоев друг с другом' и с окружающей" средой, а также оседания снежных частиц из 'пылевого облака. Для описания движения каждого слоя используются дифференциальные уравнения в частных производных для осредненных по поперечному сечению характеристик

потока. Границы потока моделируются разрывами. Трение и перемешивание описывается предложенными---здесь эмпирическими

_.________' " I

формулами^ обобщающими литературные данныеэкспериментов и натурных наблюдений над потоками воды, сыпучих материалов, и смешивающихся турбулентных струй. Числовые значения коэффициентов модели определяется методом обратного счета по результатам полевых наблюдений снежных лавин. Алгоритм численного решения модельной системы уравнений построен на базе схемы Русанова (итерационной,, третьего порядка точности) со'сквозным счетом фронтов потока на равномерной, разностной сетке с переменными границами счетного интервала.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ работы заключается в разработке метода расчета движения снежных лавин, который позволяет определить большинство практически важных характеристик лавинного ' потока, требуя сравнительно небольших затрат вычислительного времени и ресурсов ЭВМ. Созданный программный комплекс может быть использован для прогноза возможных параметров пылевых и непылевых лавин.

В ходе выполненных численных экспериментов получены данные о влиянии условий движения и моделируемых свойств материала лавины на ее динамические характеристики.

Построенные модели пылевой лавины и результаты исследования их свойств могут использоваться в качестве основы при создании моделей движения других течений лавинного типа: селей, субак-вальных мутьевых потоков, вулканических пепловых облаков и т.п.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Предварительные результаты диссертационной работы докладывались и были одобрены на семинарах кафедры

гидромеханики механико-математического факультета МГУ

(1989-1991 . г. г.), на Всесоюзном рабочем совещании и семинаре ."Современные изменения нивально-гляциальных систем под влиянием природных и антропогенных факторов"'(Софрино, ноябрь 1990 г.), на семинаре Научно-Исследовательской лаборатории снежных, лавин, и селей МГУ- (апрель 1992 , Т.); .По . договору о содружестве результаты работы использованы. ИРАН-КазССР для внедрения НИР.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА'РАБОТЫ.- .Работа состоит из введения, .двух, глав, заключения и двух приложений..

В первой главе,'посвященной теоретическим аспектам моделирования движения лавин:

1) Приведен обзор существующих математических моделей снежно-пылевых лавин, которые' классифицированы на пять групп. Сделан, вывод, что наиболее перспективными для.развития являются модели,рассматривающие лавину как нестационарный неоднородный поток конечного объема, описываемый уравнениями гидравлического типа, поскольку они позволяют рассчитать большинство необходимых для инженерной практики параметров лавин, предъявляя при этом сравнительно небольшие требования к ресурсам ЭВМ.

2) Приведены результаты экспериментальных и теоретических исследований перемешивания на границе двух слоев жидкости иди газа,- вовлечения дисперсного материала с твердой поверхности в движущийся над ней поток жидкости или газа,, распределения скорости и плотности в двухфазных - потоках лавинного типа, скорости и скоростного напора в реальных. пылевых лавинах, т.е. данные, которые могут быть использованы при определении законов трения и вовлечения в лавинных потоках.

3) сформулированы общие дифференциальные уравнения движения

-б^-

компактной снежной массы на цилиндрическом склоне в квазиодномерной постановке, позволяющие определить скорость и плотность в поперечных сечениях потока, а также его ширину в . . различные моменты времени. Квазиодномерный вариант уравнений может оказаться более эффективным в приложениях, чем традиционно используемые в этом случае двумерные уравнения планового течения.

4) дано описание предлагаемой: математической модели движения лавины смешанного типа в лотке прямоугольного поперечного сечения и ее частного случая,- модели движения пылевого облака. Лавина смешанного типа рассматривается как двухслойный поток, нижний слой которого представляет собой плотное снежное ядро, а верхний -пылевое облако, образующееся при взвешивании в воздухе снега из ядра (рис.1). В отличие от ранее предложенной модели М.Э.Эглит, плотность ядра принимается постоянной, что с физической точки зрения ближе к наблюдаемому в реальности, . кроме того, учитывается воздействие стенок лотка на движущийся поток. Материал лавины считается несжимаемым. Основу модели 'составляют уравнения баланса объема, массы и импульса, составленные для каждого из слоев: •

л ✓

/у"

облако

ядро

/ У У—~ ~

сн»жыый покров

б)

~-

/

/

/

в

РисД Схематизация лавина смешанного типа, (а) расположение на силоне; (б) поперечное сечение лотка

ЭЬ Е ЭЬ и Е , ,

эьи,В аЬ.игЕ аь;в

-5г- + -кг = -0-59 ОС5 V + ф,в зш,

Г / аЬ 1 аЕ Ь ч - ч т -г„В

+ Е((ЬШ2МЛ-Щ)

дЪ Е эЬЦЕ / л

-4г-= V - V + V + V Е

Л 5Х ! 02 а]

еЬЕВ эЬ Е и

= (ро ^

+ V..) + р V - м

-аГ~ т —дх--[ "о "а т т ".у.

ЭЬ К и Е ЗЪ Е 1й век -р )ЬгВ

222 . 222 __ль, ___2 а 2 .

л + —«с--«« V -Я- +

аСЬ+Ь.)

+ В СЕ^-р^дЬ^, V - ф2ссз ц> |СЕг-ра)В- м - О.Зг СЕ-Ер - Сг +г )Е + Е ( р„IIV, - Ц.М 1

2 2 а ОХ I а Н ^ О 1 1 25]

о = - V - V + «V

Л 01 02 55

Здесь Ь - толщина снежного покрова, ядра и облака, и,,и2

- средние скорости в поперечном сечении ядра и облака, р -средняя плотность снега в ядре и покрове, й - средняя плотность в поперечном сечении облака, В - ширина лавинного потока, х -координата вдоль оси лотка, I - время, д - ускорение свободного падения, у> - угол наклона склона к горизонту, V -

удельные объемные расходы материала при массообмене ядра с подстилающим покровом и облаком Сунос снега в облако и оседание в ядро), Мгг - удельный массовый расход снега, поступающего в ядро при оседании из облака, то,т0 - трение на нижней и верхней

границах ядра, VQ2,V4,Vt - удельные объемные расходы материала при массообмене облака с подстилавшим покровом, воздухом и при оседании из облака, М - удельный' массовый .расход материала при. оседании из облака, ~ трение на верхней и низшей границах

облака.

' Последнее уравнение описывает изменение толщины сиежного покрова на склоне, вызванное вовлечением и оседанием. .

Для описания трения и массообмена в лавине используются следующие соотношения. v r^signCU,) + k-10СВ+2phpQUt)UI .

vq cos v ( Cp0h,+R2h2)B +. phjCp^^hj,) .j , при

ijCB+2^). +' Piip^Chj-z^Ch^-z^hj.) cos ч> , при 0<z,<h1 ■ t^C B+2phj) , nprz^ "

2»~ hi -+ " w>og cosy ' . . ■

Эти выражения описывают сухое и гидравлическое трение на дне и стенках лотка. Сухое трение С г) находится по различным "формулам, в зависимости от величины параметра Z;,. которая отражает размер части смоченного периметра лотка, где достигнута предельная величина-сухого трения СО. Параметр р позволяет не учитывать трение о стенки на некоторых участках движения- лавины. Наличие сухого трения приводит к тому, что ядро'лавины может остановиться, если крутизна склона, уменьшится до определенного предела (tg ч> < ¡i). Трение на нижней границе в остановившихся частях ядра задается следующим образом:

. 1Г .Кт

асг с

с ^ асг ас1 с

аЬ:В.

др^соэ ч |в [

, зЬ„ 1 эКЬ I .о , г г

[Эх Р0 ■Й?'

Трение на других границах описывается выражениями: Ш,-и,1 , Ь >0

12 г 1 г 1 г. ^го^г^г'^г' '

т = к р и 1111

а 2а» 2 2

Соотношения для удельных расходов при массообмене имеют вид:

V

V

0.5 ш011и11 , Ь0>0 и Ь,>С С , Ь0=0 или Ьг=0

гшг1 /¡д/(р0+у, ьо>0 И ь2>0 И'ь,=0

О , Ь0=0 или Ь2=0 или Ь^О

2

О . Ь,=0

(здесь принимается, что когда степень- турбулентности ..ядра/. оцениваемая величиной Ие^ л , падает ниже 'заданного уровня, взаимодействие облака с ядром протекает так же, как со снежным покровом, поэтому т1г = .ш^-. при Ее^е^ и т = л. при Ие^е^); ■ '.

т Ш,1 /рК, /(р +И,), Ь,>0

- а 2 а 2 а 2 ' 2

02'

о , ь2=о

f m cos v> , h>0

V { 1 0 . h;=0 ' Mr

(в последней формуле предполагается,, что верхняя граница облака перемещается вслед за оседающими частицами. При этом облако теряет как снег, так и воздух).-

Оседающий из облака снег может попадать в ядро:

V = V CR-p )/(р -р 3 , М = р V

s s s 2 а 0 a ss 0 ss

Это происходит в том случае, если под облаком уже есть ядро или крутизна склона достаточна для того, чтобы оседающий снэг пришел в движение, что учитывется параметром а: 0, h5>0

1, h =0 и tg tf) s и Безразмерные коэффициенты трения (.ц, k10,k20,k12,k2jfkia,k2a3 и вовлечения ^m01-m02-m1-ma^ и скорость вертикального осаждения снежных частиц v считаются постоянными.

S

Постановка начально-краевой задачи для приведенной системы уравнений включает определение начальных распределений глубины, скорости и плотности слоев вдоль склона и граничных условии на фронтах потока. При отсутствии вовлечения и сопротивления непосредственно на фронтах их явного выделения можно не производить и вести расчет движения лавины' сквозным образом.

Система уравнений модели лавины смешанного типа является гиперболичной не при, всех значениях параметров. Ее характеристический многочлен имеет вид:

х С\ЧП | [си^х)2 - HJ[CU2-X)2 - иг] - тнг | = 0

где н= ghj cos у , Н.= gn2 cos у (1-p/R.,), в = R/p0 . Условием строгой гиперболичности является выполнение следующих неравенств:

г> О

си2-я )(и?-й ) да.я,

4 2(4-1)

где г = ЕЬ Си -и

I «о

Ь

О 1 2

Ь1=Сй1+«гЭЬ0Ся-4Э;

Ьг=Ся^+Н^ЬоС6-ЗЙ+Ь^Ск-г0к+4); Ьэ=ся1+я2)[с я^+я^) Ь0с Зя-4) +ЬдС8+10я-20кг) ];

ЬгЬ0С1-й[СЯГ«г)г+4Ь0й)г. .

Однако результаты проведенных расчетов и данные других исследований показывают, что система уравнений двухслойного течения не покидает пределов области гиперболичности в широком диапазоне изменения начальных условий и параметров модели.

Во второй главе, озаглавленной "Моделирование движения пылевых лавин на ЭВМ":

1) Описан использованный численный метод решения модельной системы уравнений и приведены характеристики составленной расчетной программы. С Текст программы на языке ФОРТРАН-77 приведен в приложении 1.)

2) Приведены результаты тестовых расчетов, в которых использовались некоторые частные аналитические решения системы уравнений модели, как известные ранее, так и полученные автором данной работы. САналитические решения приведены в приложении 2.)

3) Изложены результаты численных экспериментов, выполненных на основе предложенной модели лавины смешанного типа и ее упрощенного варианта - модели пылевого облака.

В ходе исследования чувствительности модели к изменению

характера входных данных было установлено, что наиболее важным входным- параметром модели является величина начальной массьг лавины, в то время как начальные формы распределений глубины и скорости в потоке .-мокёт задаваться достаточнб произвольно.

Параметрический анализ модели выполнялся для случая движения лавины на склоне постоянного уклона. Типичный' вид профилей глубины, скорости, плотности и скоростного напора вдоль пылевого облака изображен на рис.2.. Оценка влияния параметров проводилась ' для ряда обобщенных характеристик лавины, таких как максимальная толщина, максимальная скорость, средняя плотность и максимальный скоростной напор. Типичные графики изменения этих характеристик в\процессе движения .лавины приведены на рис.3. Были установлены закономерности влияния величины коэффициентов ' трения и вовлечения на' поведение обобщенных характеристик. В частности, найдено, что .для , чисто ; пылевой,. лавины скорость ее. распространения и роста толщины' линейно связаны с крутизной склона: ■.'.-'■ ■,-•■''

бь . бхг

. -д^- а V + С , где С - коэффициент.

Скорость роста толщины также почти линейно зависит от величины коэффициента вовлечения воздуха Ст Э: с&

^^ СтаЯ ,: 7 * 0С13

Дальность'действия пылевого-облака, движущегося по горизонтали, оказалась пропорциональной скорости;/ которую имеет лавина' в начале горизонтального участка. .

Чтобы оценить возможные значения модельных параметров, отвечающих реальным лавинам, был выполнен расчет И' сравнение его • результатов с данными полевых наблюдений снежно-пылевых лавин

0.0 0.2

Рис.2 Типичные профили глдбины (а), скорости (б), плотности (в) и скоростного напора (г) вдоль пылевого облака ( - без захвата снега, ----- с захватом снега )

Иш, М

100.0 -I

50.0

0.0

__ т02=0.0

___т02=0.1

а)

0.0

25.0

-1-1-1-1-' 1, С

50.0

ит . м/с

50.0 -1

0.0

б)

0.0

-1-г-

25.0

I. С

50.0

рср, КГ/Ы3

50.0 -л

в)

0.0 н-1-1-1-1-1-1-I—г-""'-1-!-1 I, С

0.0 25.0 50.0

рт, кг/и2

6000-

3000-

г)

0.0

-I-I-1—

25.0

50.0

С

Рис.3 Типичные графики изменения максимальной толщины СаЗ,

максимальной скорости Сб), средней плотности (в) и максимально:

скоростного напора (г) пылевого облака

( - без захвата снега, --- с захватом снега;

= 30°, т = 0.1, « = 0 , к=. к = 0.05) • » ' о «

Кавказа, Памира и Хибин. Значения коэффициентов модели, наилучшим образом удовлетворяющие натурным данным, приведены в таблице. Вариации значений для различных лавин невелики, что 'говорит о физической правомерности используемых предположений' о характере трения-и вовлечения в лавинном потоке.

В заключении обобщены результаты проделанной работы и высказан ряд соображений о путях дальнейшего развития гидравлических моделей снежных лавин.

Работа содержит страниц машинописного текста,

иллюстрирована 6 таблицами и 42 рисунками. Список литературы включает 7 ^ссылки на работы отечественных и зарубежных ученых.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Математическое моделирование снёжно-пьшевой лавины в рамках уравнений двухслойной мелкой воды. Журнал Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1991, N1, с.84-90

2. Исследование математических моделей снежно-пылевых лавин. Отчет по договору с ИГАН КазССР. М., МГУ, 1991 - 43 с.

3. Опыт применения двухслойной модели для расчета движения снежно-пылевых лавин. Материалы гляциологических исследований. Хроника, обсуждение. 1992, вып.73, с.73-77

Таблица.

Значения коэффициентов, определенные при расчете реальных лавин Ск1а=к1г=к2а=0. к для всех лавин)

вариант т<и Чг "Ч т а 5 С к,о г /р « "о

"Домашняя" 0.005 0. 0.03 0.11 с.св 0.02 0. СЕ 0.40 6

"Фортамбек1" 0.01 0.01 0. СБ 0.04 . С. 07 0. СЕ О.СЗ 0.30 5

"Фортамбек2" 0.01 0.01 0. СБ 0.16 0.07 0.С2 0. 04 .0.30 5

"Хибины" 0.01 0. 0.С1 0.С5 С. 33 о.ее О.Сг 0.25 10

ПНИИИЗ. Зек. -287 - 93. Тир. 100.