Математическое моделирование нестационарных процессов направленного затвердевания при наличии двухфазной зоны тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 536.42:536.421.4

НИЗОВЦЕВА ИРИНА ГЕННАДЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ НАПРАВЛЕННОГО ЗАТВЕРДЕВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ

01.04.14 — Теплофизика и теоретическая теплотехника

/<

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург, 2009

003481790

Работа выполнена на кафедре математической физики ГОУ ВПО "Уральский государственный университет им. A.M. Горького"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Д.В. Александров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор П.С. Попель.

доктор физико-математических наук, профессор С.Ф. Борисов. .

Ведущая организация: Институт теплофизики УрО РАН

Защита состоится "££" /аззту 2009 года в /^асов на заседании диссертационного совета Д 212.286.01 при ГОУ ВПО "Уральский государственный университет им. A.M. Горького" по адресу: 620000, Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО "Уральский государственный университет им. A.M. Горького".

Автореферат разослан " /2. " 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Н.В. Кудреватых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Диссертационная работа "Математическое моделирование нестационарных процессов направленного затвердевания при наличии двухфазной зоны" посвящена исследованию нестационарных процессов направленной кристаллизации при наличии зоны фазового перехода, в которой одновременно присутствуют частицы твердой и жидкой фаз. Известно, что кристаллизация является необходимой стадией производства многих материалов. В части использования теории кристаллизации на практике следует упомянуть получение материалов с заданными свойствами в процессах направленного затвердевания в изложницах, процессах вытяжки кристалла из расплава, процессах получения сверхчистых сплавов путем перекристаллизации. Фронтальное описание процесса кристаллизации на основе макроскопических уравнений механики сплошных сред известно более ста лет и хорошо зарекомендовало себя на практике. Однако, большое количество проблем фронтальной кристаллизации до сих пор не имеет корректного теоретического решения. Данный факт объясняется нелинейностью уравнений и граничных условий, а также сложностью получения закона движения границы фазового перехода. Поиск решения тем более затруднен в условиях, когда процесс кристаллизации протекает в присутствии области совместного сосуществования двух фаз. Теоретическое описание двухфазной зоны с помощью макроскопических уравнений механики сплошных сред известно более 40 лет, однако вплоть до настоящего времени выражения для законов движения границ зоны известны лишь в исключительных случаях и носят приближенный характер. На сегодняшний день нет данных о законченных исследованиях процессов направленной кристаллизации, охватывающих, например, замерзание льдов с учетом эффектов турбулетного переноса (характерным примером является задача о возникновении ложного дна в океанических льдах). Такого рода ситуации возникают, например, при проникновении талой воды, собирающейся в лужи на поверхности льда, через трещины под его основание. Это приводит к образованию подледных полостей, заполненных талой водой. При этом соленость морской воды около льда падает практически до нулевых значений, что приводит к понижению температуры фазового перехода. Конвекция и возникающее переохлаждение приводят к зарождению и срастанию кристаллов, формирующих ледяную корку под поверхностью льда между слоями соленой и пресной воды, называемую ложным дном. Математические модели, учитывающие наличие такой области - двухфазной зоны и турбулентного движения жидкости в океане, до настоящего времени практически не рассматривались. Это связано с упомянутыми сложностями математической модели процеса, которая описывает движение границ фа-

зового перехода. В настоящей работе приведена такая нелинейная модель и получены ее аналитические решения. Спектр применимости полученных результатов очень широк: рассматриваемые в работе модели применимы в области металлургических процессов, а также современном материаловедении в части получения прогнозируемым образом материалов с заданными свойствами. Исследование проблематики настоящего проекта имеет приоритетное значение для развития научного потенциала Российской Федерации, традиционно заинтересованной как в изучении геофизических проблем, связанных с замерзанием льдов, так и в оптимизации металлургических процессов.

Цель работы. Аналитическое описание нелинейной нестационарной динамики процессов направленного затвердевания при наличии зоны двухфазного состояния вещества на различных этапах кристаллизации в зависимости от теплофизических параметров системы с учетом эффектов турбулентного переноса и явлений ложного дна. В качестве объекта исследований выступил процесс направленного затвердевания из жидкого состояния в твердое, вызванный понижением управляющей температуры на одной из границ системы. Предметному анализу и описанию были подвергнуты законы движения границ твердая фаза - двухфазная зона и двухфазная зона - жидкая фаза, возникающие при кристаллизации тепловые потоки, эффекты флуктуации скорости трения в разрезе их влияния на процесс затвердевания, а также явления образования ложного дна. Исследования проводились с использованием современного математического аппарата по решению дифференциальных уравнений с граничными условиями, поставленными на движущихся границах фазового превращения, и на основе физических представлений о зоне двухфазного состояния вещества.

Научная новизна диссертационной работы, посвященной исследованию нелинейной динамики нестационарных процессов затвердевания при наличии двухфазной зоны, состоит в получении новых аналитических результатов, описывающих кристаллизацию бинарных систем в части исследования актуальных проблем замерзания морских льдов и затвердевания сплавов с приложениями к описанию естественных природных явлений и реальных металлургических процессов, а именно: сформулированы новые нелинейные модели уравнений тепло- и массопереноса, учитывающие наличие движущихся границ области фазового перехода - двухфазной зоны и турбулентные течения жидкости в морской воде. Аналитически получены точные решения нелинейных моделей с учетом временных зависимостей температуры и солености морской воды на глубине, а также флуктуаций скорости трения. Определены распределения температуры и солености воды, доля твердой фазы и законы

движеиия границ фазового перехода. Все полученные в работе результаты, освященные в "Заключении" являются принципиально новыми и не имеющими прямых аналогов в мировой литературе.

Достоверность полученных результатов обеспечивается адекватностью используемых физических представлений, традиционными моделями тепло- и массопереноса, а также соответствием полученных теоретических результатов данным экспериментов, корректностью и строгостью математических вычислений и выкладок, общей согласованностью результатов.

Практическое значение. В диссертационной работе даны рекомендации по определению распределения температуры и солености воды, доли твердой фазы, законов движения границ фазового перехода "морская вода - двухфазная зона" и "двухфазная зона - талая вода" теплового потока на нижней границе ложного дна, который может изменять свое направление при временных осцилляциях температуры морской воды и скорости трения. Построенные аналитические решения нелинейных моделей кристаллизации с учетом временных зависимостей температуры и солености воды на глубине, а также флуктуаций скорости трения, полностью определяют влияние на процесс всех параметров системы (в частности, с их помощью можно производить расчеты теплового потока). Поскольку в металлургии известны примеры расплавов с физическими параметрами, подобными льду, разработанные модели и методы их решения пригодны для описания процессов затвердевания слитков. Поэтому развитые в работе теории позволяют полномасштабно использовать результаты в практических областях металлургии и геофизики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях: 7-ой семинар по проблемам конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2006), 13-я международная конференция „Liquid and amorphous metals", LAM IS (Екатеринбург, 2007), XVI всероссийская школа-конференция „Математическое моделирование в естественных науках 2007" (Пермь, 2007), конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах", НПСС-2007 (Пермь, 2007), YUCOMAT 2008 (Черногория, 2008), а также на научных семинарах в Институте металлургии УрО РАН и на семинарах кафедры математической физики Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, из них 4 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК.

Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 121 страницу машинописного текста, она содержит 31 рисунок, 2 таблицы и 114 ссылок на литературные источники.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обоснованы актуальность работы, сформулированы ее цели, указаны научная новизна, практическое значение и апробация проведенных исследований.

Глава 1. Направленное затвердевание. Современное состояние проблемы

В первой, обзорной, главе диссертации представлена история вопроса и проанализирована ретроспектива развития научного интереса к проблематике фазовых переходов для случаев направленного затвердевания льдов и металлов, приведена модель классической задачи Стефана и ее модификация для случая затвердевания с протяженной областью фазового превращения. Материал излагается в духе классических работ и является созвучным со всеми главами диссертации.

Глава 2. Нестационарная кристаллизация морской воды в трещинах льдов.

Модель изотермического океана

Вторая глава работы посвящена явлению кристаллизации морской воды в трещинах льдов, возникающих за счет океанических течений, ветра и других факторов, способных локально влиять на климат области [1].

Для решения проблемы использовался математический аппарат нелинейных диффузионных моделей типа Стефана [2, 3] с подвижными границами фазовых переходов, адаптированых для целей описания.

Поскольку фронтальная теория адекватно не описывает опытные данные (в реальных системах не существует четко выделенной границы фазового перехода), процесс кристаллизации описывался на основе модели равновесной двухфазной зоны концентрационного переохлаждения [2, 4, 5] с линейным температурным профилем по пространственной координате г и уравнением баланса массы в двухфазной зоне (уравнением Шейла) [б]:

£ [(1 - + кв,^ = 0, а(<) < г < Ь{1),

т

дц>

дЬ

где вт (г, £) - концентрация примеси (соленость воды), <р - доля твердой фазы в двухфазной зоне, к - коэффициент распределения примеси, представляющий собой отношение концентраций раствора в твердой и жидкой фазах на границе фазового перехода. На движущихся границах двухфазной области ставились традиционные пограничные условия баланса тепла и массы, непрерывности температуры и концентрации примеси [2, 3]. Исследования проводились для модели изотермического океана.

В работе был проведен ряд математических преобразований, позволивших получить систему нелинейных уравнений для определения временных зависимостей координат границ двухфазной зоны а(<) (граница твердая фаза -двухфазная зона) и ¿(¿) (граница двухфазная зона - жидкая фаза):

где Ьу - скрытая теплота кристаллизации, ^ь и % - доля твердой фазы и температура на границе Ь(<), Тр - температура фазового перехода чистого вещества, - коэффициент диффузии примеси, к, и к^, - коэффициенты теплопроводности льда и воды, Т0(£) - атмосферная температура (заданная на границе лед- атмосфера), К = ^к'1, а — (1—Л)-1, Р{ц>ъ) = к^ь+к^—рь).

В работе было построено три приближенных аналитических решения нелинейной системы уравнений (1) и (2) для кристаллизации льда. Одно из таких решений, получаемое в пределе а(£) 6(£), имет следующий вид:

(2)

3

4 8

4

» эксперимент 1_еа<1Ех

— ад

— е(1)

О

1000 2000 3000 шн

Рис. 1. Динамика границ двухфазной зоны по данным эксперимента [7].

6 Ю = [Гь - Го {т)ит + ь2 (0)}1/2'

(4)

где а (0) и Ь (0) - соответствующие первоначальные координаты границ. Уравнения (3) и (4) свидетельствуют о воздействии временной дисперсии на динамику процесса. Расчетные значения границ двухфазной зоны, построенные в соответствии с выражениями (3) и (4), изображены на рис. 1.

В рамках второй главы найдены точные аналитические решения нелинейной нестационарной задачи затвердевания бинарного вещества при произвольных временных колебаниях температуры на охлаждаемой границе для модели изотермического океана. В сравнении с результатами предшествующих работ (см., например, [8, 9]), проведено углубление и развитие теории по следующим направлениям: учтена зависимость от коэффициента распределения примеси, построены три новых аналитических решения задачи, определена доля твердой фазы на границе двухфазная зона - жидкая фаза, разработан метод решения задачи, основанный на использовании уравнения диффузии примеси вместо приближенного уравнения Шейла. В главе определены распределения температуры, концентрации растворенной примеси, доли твердой фазы, найдены законы движения межфазных границ, вычислен тепловой поток на границе лед - атмосфера.

Глава 3. Нестационарная кристаллизация морской воды в трещинах льдов.

Учет неизотермичности океана и турбулентого течения жидкости

В главе развита математическая модель процессов затвердевания от охла-

ждаемой по произвольному закону границы в присутствии двухфазной зоны для неизотермического океана в отсутствие и с учетом турбулизации жидкости на границе между двухфазной зоной и раствором соли.

Основное внимание в главе уделяется развитию теории более (в сравнении с предшествующими исследованиями) приближенной к естественным условиям: разработан подход учета турбулентного переноса тепла и массы, когда процесс кристаллизации сильно зависит от течения жидкости в океане(см., например, [10, 11]). С математической точки зрения эта ситуация соответствует новым пограничным условиям на границе двухфазная зона - океан. Заменяя тепловой и диффузионный потоки на границе двухфазная зона -жидкая фаза турбулентными потоками в соответствии с работой [11], получим:

(¿ь дт

ЬуФь-т: = кт(фь)-^1 - акРтСрш^СГх, - Ть), г = 6(4), (5)

Sb<Pb^ = Dw( 1 - ~ asu(S0о - Sb), z = b(t), (6)

где аи и as - коэффициенты турбулентного переноса тепла и массы, и - скорость трения, Тж и Sx обозначают температуру и соленость морской воды в жидкой фазе вдали от границы b(t), km - коэффициент теплопроводности в двухфазной зоне, рш и Срш - плотность и теплоемкость воды. Отношение коэффициентов турбулентного переноса определяется через отношение коэффициентов температуропроводности к и диффузии Dw: ah/as = (k/Dw)", где 2/3 < п < 4/5 [12, 13].

Остальные уравнения и граничные условия процесса, используемые в модели, имеют традиционный вид. В главе получены приближенные аналитические решения, соответствующие различным ростовым формам твердой фазы в двухфазной зоне с использованием зависимостей (5) и (б). При <рь — 0, т.е. когда растущие кристаллы на границе имеют почти игольчатую форму, найден явный вид для координат движения границ двухфазная зона - океан и лед - двухфазная зона (a(t) С b(t)):

hit) = W(t)-Tb(t)) [ J аьр^мШт) - ЗД)'

a(t)-a(0)+y -щ^гщ-dt

о

где Tb{t) определяется выражением:

ТьЦ) =

mSx(t) + PT.x{i) p= ohDu 1 — P ' aa к

При ifb ф 0, т.е. когда растущие кристаллы на границе не игольчатой формы, а имеют более сложные размытые ростовые конфигурации, в общем случае решение задачи в работе сведено к задаче Коши для отыскания границы b(t). Для ситуации медленных течений жидкости в океане вблизи границы со льдом в работе найдено явное аналитическое представление для зависимости b(t), имеющее вид:

Кроме того, в работе получено аналитическое решение задачи для ситуации, когда скорость трения, температура атмосферы, температура и соленость в океане вдали от границы фазового превращения являются величинами постоянными (или заменяются средними). Это решение записывается в виде следующей обратной функции:

где с*1, аг, /3\ и 02 являются определенными в диссертационной работе величинами. При этом, распределения температуры, солености воды и доли твердой фазы в двухфазной зоне находятся в явном виде.

Основным достоинством этой главы является разработка и решение математической модели, учитывающей наличие как протяженной области фазового перехода, так и турбулентных течений жидкости в океане при замерзании воды в трещинах льда.

t(b) =

1 [а2(Ь-6(0))

(а?(6 + 6(0)) - 2/JiQi) + aiА(ь - 6(0))

Глава 4. Нелинейная динамика "ложного" дна при замерзании воды

Многие, авторы в своих работах отмечают (см., например, [14-16]), что при контакте талой и соленой воды в месте их соприкосновения образуется ледяной пласт толщины несколько сантиметров. Этот пласт и называется ложным дном. Это явление часто возникает в весенне-летний период времени при просачивании талой воды сквозь ледовую толщу. В начале четвертой, завершающей диссертационную работу, главы приводятся некоторые аспекты образования ложного дна и история изучения этой проблемы. В работе впервые разработана математическая модель процесса эволюции слоя ложного дна - двухфазной зоны при наличии турбулизации жидкости на ее границе с океаном. Математическая модель процесса состоит из уравнений тепло-массопереноса и стандартных граничных условий баланса тепла и массы на границе а(£) двухфазной зоны с располагающимся над ней слоем талой воды. Граничные условия на границе 6(£) ложного дна (двухфазной зоны) с океаном имеют вид условий (5) и (6).

В работе показано,что решение сформулированной нелинейной модели сводится к решению следующей системы уравнений для отыскания координат границ фазового превращения:

оИ-ад = в.(Г,(!),1). (7)

m^,m+Q.tiTMA (8)

at а — о

где

{km + Mi - <Рь))(Та - ТЬ)ТЬ

Qx{Ta(t),t) =-

asuLv(Tb + mSx) + ал^Ср^Тос - Ть)Ть '

WVa -lb<pb

а нижние индексы а и Ь обозначают величину, определенную на соответствующей границе; все входящие сюда величины определяются найденными в работе выражениями. При этом, аргументы функций Q\, Q2 и Q¿ могут зависеть от времени в явном виде (не только с помощью зависимости T0(í)), если и, Tqo или S-» зависят от времени. Для постоянных значений парамет-

о И-1-1-1-1-1-1-1-1-1- О

210 212 214 216 218 I

День 1975 года

Рис. 2. Скорость трения поданным эксперимента "АГО№Х"(ось слева) и координата нижней границы двухфазной зоны (ложного дна) в соответствии с экспериментальными данными полевых наблюдений "АГО.ШХ"и развиваемой в работе теорией (ось справа).

День 1998 года

Рис. 3. Скорость трения по данным эксперимента "SHEBA"h рассчитанная на основе настоящей теории протяженность h(t) двухфазной зоны (ложного дна), а(0) - 6(0) = 1 см.

ров и, Тх и Sao (или когда эти параметры, зависящие от времени, заменены своими средними величинами), из выражений (7) и (8) в работе найден явный вид функции t(Ta) (начальная температура Т*0о находится из решения алгебраического уравнения (7)):

Та

t{Ta) = jF{Ta)dTa, F{Ta) = ¡Та а ЫТа) + ¿1(°ГаШ7;) •

Тао

В более общей ситуации, когда одна из величин u, too или Soo зависит от времени, решение получено в виде задачи Коши для определения функции Ta{t). При этом, законы движения границ b(t) и a(i) находятся в явном виде

a(t) = b(t) + Q1(Ta(t),t), (10)

где Tb(Ta) и Ta(t) известны.

На рис. 2-4 приведено сравнение развиваемой теории с. данными полевых наблюдений "AIDJEX" (Arctic ice dynamics joint experiment) и "SHEBA"(cm., например, работы [17-20]). Рис. 2 показывает для полевых наблюдений "AIDJEX" экспериментальные значения скорости трения и расчетные значения нижней границы двухфазной зоны для различных скоростей трения (b\(t) = b(t) — ¿(0)). Из рисунка видно, что координата Ь\ ложного дна, рассчитанная по разным данным для скорости трения, лежит в пределах экспериментального разброса данных. На рис. 3 изображена скорость трения по данным полевых наблюдений "SHEBA" (см., например, работу [llj) и временные осцилляции толщины h(t) двухфазной зоны (ложного дна), рассчитанные на основе развиваемой теории. Легко заметить, что возрастающая первоначально функция h(t) становится убывающей после 207-го дня 1998 года. Смену знака первой производной функции обеспечил внезапный приход шторма, существенно увеличивший скорость it(í). Вызванное увеличение потока соли, идущего в направлении от океана к границе ложное дно - океан, привело к ее немедленному плавлению (а значит, и к уменьшению протяженности двухфазной зоны). Увеличение солености приводит к понижению температуры фазового перехода в соответствии с соотношением Ть = —mSb, в связи с чем температура Ть становится меньше температуры в океане Т^. Другими словами, разность температур ДТ = Тх — Ть становится положительной и тепловой поток J = akPwCjm,u(Tx—Tb), идущий от границы ложное дно - океан в глубину океана, меняет свой знак. Иначе говоря, тепловой поток в этот промежуток времени направлен от океана в сторону ложного дна: представленнное на основе развиваемой теории поведение функций изображено на рис. 4.

Рассматриваемая модель показывает, что тепловой поток на различных временах процесса может быть направлен как вверх, так и вниз со средней величиной —12.9 Вт/м2 и —5.6 Вт/м2 соответственно для экспериментов "AIDJEX" и "SHEBA". Этот поток оказывается сравним по величине с прочими, обеспечивающими вклад в результирующий тепловой поток, например, с потоком солнечной радиации или с колебаниями потока скрытого тепла, ко-

-0.006

195 199 203 207 211 I

День 1998 года

Рис. 4. Осцилляции разности температур ДГ и теплового потока, рассчитанные на основе развиваемой теории по данным полевых наблюдений „БНЕВА".

торый вызван замерзанием морской воды в трещинах льда. Так, по данным работы [21]последниЙ из упомянутых потоков составляет от 8 до 40 Вт/м2 (измерения проводились между 22 июня и 10 июля 1982 года, т.е. точно в летний период, для которого наиболее характерно формирование ложного дна). Последнее означает, что данный тепловой поток может оказывать существенное влияние на теплообмен между океаном и атмосферой.

Заключение

В работе "Математическое моделирование нестационарных процессов направленного затвердевания при наличии двухфазной зоны" , посвященной исследованию вопросов сильно нелинейной динамики процессов кристаллизации, предложены решения сложных нелинейных задач с движущимися границами, представляющие собой разработку единого теоретического направления. Диссертационная работа содержит новые важные научные результаты и достижения по тематике фазовых переходов. Грамотный подход к нахождению сложных аналитических решений позволил получить ряд принципиально новых результатов.

Во второй главе исследована нелинейная динамика кристаллизации растворов и расплавов при учете коэффициента распределения примеси, построены три новых аналитических решения задачи, определена доля твердой фазы на границе двухфазная зона - жидкая фаза, разработан метод решения задачи, основанный на использовании уравнения диффузии примеси вместо приближенного уравнения Шейла. Развитая модель, существенно отличающаяся от фронтальной модели и известных ранее подходов, адекватно описывает физическую картину процесса и хорошо согласуется с результатами

наблюдений. В рамках развиваемой модели получено теоретическое решение нестационарной проблемы замерзания морской воды при произвольных временных колебаниях температуры атмосферы. Определены распределения температуры, солености, доли твердой фазы, найден явный вид законов движения границ фазового перехода и протяженность двухфазной зоны. Получено аналитическое выражение для исходящего с поверхности льда в атмосферу потока тепла.

В третьей главе развита и обоснована математическая модель процессов затвердевания от охлаждаемой по произвольному закону границы в присутствии двухфазной зоны для неизотермического океана в отсутствие и при наличии турбулизации жидкости на границе между двухфазной зоной и раствором соли. Определены распределения температуры, солености и доли твердой фазы во всех регионах протекания процесса, в явном виде найден закон движения границы твердая фаза - двухфазная зона. Рассмотрены два сценария процесса: с нулевой (который описывает затвердевание с кристаллами игольчатой формы) и отличной от нуля (который описывает затвердевание с кристаллами с затупленной формой концов) долей твердой фазы на границе двухфазная зона - океан. Сформулирована задача Коши, получено трансцендентное уравнение или явное выражение для положения границы двухфазная зона - жидкая фаза в зависимости от различных условий реализации процесса. Результаты развитой теории находятся в хорошем соответствии с данными лабораторных наблюдений по кристаллизации водного раствора соли.

В четвертой главе развита и обоснована новая математическая модель процессов кристаллизации ложного дна на основе представлений о равновесной двухфазной зоне и граничных условий, учитывающих турбулентный перенос тепла и массы в придонном слое со стороны морской воды. Разработанная модель существенно отличается от фронтальной модели и известных ранее подходов, адекватно описывает физическую картину процесса и известные полевые наблюдения. Впервые получено аналитическое решение нелинейной нестационарной задачи с двумя движущимися границами фазовых переходов. Определены распределения температуры, солености и доля твердой фазы в двухфазном слое ложного дна, найдены законы движения его границ и тепловой поток. При этом решения получены в явном аналитическом виде для случая, когда температура и соленость в глубине океана, а также скорость трения не зависят от времени или заменяются не зависящими от времени средними величинами. В ситуации, когда эти характеристики являются функциями времени, решение проблемы сведено к задаче Коши. Показано, что температура и соленость в двухфазной зоне являются лиией-

ными функциями пространственной координаты, а доля твердой фазы в ней претерпевает лишь незначительные пространственно-временные изменения. Продемонстрировано, что двухфазная зона мигрирует по направлению от соленой к пресной воде, ее толщина увеличивается со временем, а тепловой поток направлен от ложного дна в сторону соленой воды в спокойных условиях протекания процесса. Показано, что в условиях внезапного увеличения скорости трения (например, в результате прихода шторма), картина процесса меняется: протяженность двухфазной зоны может испытывать временные осцилляции, а тепловой поток изменять свое направление вследствие увеличения концентрации соли и соответствующего уменьшения температуры на границе ложное дно - океан. Произведены расчеты средних значений теплового потока на основе данных полевых наблюдений. Показано, что эти значения сравнимы по величине с другими возможными вкладами в результирующий тепловой поток рассматриваемой системы. Это означает, что процессы эволюции ложного дна приводят к возникновению значительных тепловых потоков, которые могут оказывать существенное влияние на теплообмен между океаном и атмосферой.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК:

1. D.V. Alexandrov, D.L. Aseev, I.G. Nizovtseva, H.-N. Huang, D. Lee Nonlinear dynamics of directional solidification with a mushy layer // International Journal of Heat and Mass Transfer - 2007. - Vol. 50 - P. 3616-3623.

2. Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Нелинейная динамика "ложного дна " в случае замерзания морской воды // ДАН - 2008. - Том 419 - С. 262 - 265.

3. D.V. Alexandrov, I.G. Nizovtseva А.Р. Malygin, H.-N. Huang, D. Lee Unidirectional solidification of binary melts from a cooled boundary: analytical solutions of a nonlinear diffusion-limited problem // Journal of Physics: Condensed Matter - 2008. - Vol. 20. - P. 114105.

4. D.V. Alexandrov, I.G. Nizovtseva To the theory of underwater ice evolution, or nonlinear dynamics of "false bottoms " // International Journal of Heat and Mass TVansfer - 2008. - Vol. 51. - P. 5204-5208.

Другие публикации:

5. А.П. Малыгин, Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Нестационарные процессы направленного затвердевания растворов. Кристаллизация морской воды// Тезисы докладов 7-го Семинара по Проблемам конденсированного состояния вещества. Екатеринбург, 2006. - С. 45.

6. А.П. Малыгин, Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Нестационарные процессы направленного затвердевания растворов. Приближенное аналитическое решение проблемы// Тезисы докладов 7-го Семинара по Проблемам конденсированного состояния вещества. Екатеринбург, 2006. - С. 46.

7. D.V. Alexandrov, I.G. Nizovtseva, А.Р. Malygin, H.-N. Huang, D. Lee Unidirectional solidification of binary melts from a cooled boundary. Analytical solutions of nonlinear diffusion-limited problem// Book of abstracts 13th Int. Conf. on Liquid and Amorphous Metals. Ekaterinburg, 2007. -C. 13

8. Д.В. Александров, И.Г.Низовцева К теории эволюции подводного льда или нелинейная динамика "ложного дна"j/ Тезисы докладов XVI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов Математическое моделирование в естественных науках. Пермь, 2007. - С. 70

9. Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Нелинейная динамика процессов кристаллизации с двухфазной зоной// Тезисы докладов VIII-й Молодежной школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества при ИМФ УрО РАН. Екатеринбург, 2007. - С. 59.

10. Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Математическое моделирование нелинейных процессов формирования подледных океанических структур//Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых кНеравновесные процессы в сплошных средахш, Пермь, 2007. - С. 21-25.

11. D.V. Alexandrov, D.L. Aseev, S.V. Bulitcheva, I.G. Nizovtseva Directional solidification of ternary alloys// Book of abstracts 10th Annual Conference YUCOMAT 2008, Institute of Technical Sciences of the Serbian Academy of Sciences & Arts. Herceg Novi, Montenegro, 2008 - P. 71.

Список литературы

[1] Badgley F.I., Heat budget at the surface of the Arctic Ocean, in Proceedings of the Symposium on the Arctic Heat Budget and Atmospheric Circulation.

- edited by J.O. Fletcher // Rand Corp., - Santa Monica, Calif., 1966, - P. 267-278.

[2J Buyevich Yu.A., Alexandrov D.V., Mansurov V.V., Macrokinetics of cristallization // Begell House, New-York - Wallingford, 2001. - 184 p.

[3] Worster M.G., Solidification of an alloy from a cooled boundary //J. Fluid Mech., 1986.- Vol. 167.- P. 481-501.

[4] Иванцов Г.П., Диффузионное переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава // ДАН СССР - 1951.- Том 81, №2. - С. 179-182.

[5] Борисов В.Т., Теория двухфазной зоны металлического слитка // М.: Металлургия, 1987. - 224 с.

[6] Wettlaufer, Dash J.G., Fu Н., Wettlaufer J.S. The premelting of ice and its environmental consequences // Rep. Prog. Phys., 1995 - Vol. 58 - P. 115-167.

[7] J. Morison, M. McPhee, R. Muench et al., The LeadEx experiment // EOS. Trans. AGU 74, 1993. - P. 393 - 397.

[8] Д.В. Александров, А.П. Малыгин, Аналитическое описание кристаллизации морской воды в трещинах льдов и их влияние на теплообмен между океаном и атмосферой// Доклады АН, 2006.- Той 411, №3,- С. 390 - 394.

[9] D.V. Alexandrov, А.P. Malygin, I.V. Alexandrova, Solidification of leads: approximate solutions of non-linear problem // Ann. Glaciol., 2006,- Vol. 44.P. 118-122.

[10] M.G. McPhee, G.A. Maykut, J.H. Morison, Dynamics and thermodynamics of the ice/upper ocean system in the marginal ice zone of the Greenland sea // J. Geophys. Res., 92(C7), 1987. - P. 7017 - 7031.

[11] D. Notz, M.G. McPhee, M.G. Worster, G.A.' Maykut, К.Н. Schlunzen, Н. Eicken, Impact of underwater-ice evolution on Arctic summer sea ice // J. Geophys. Res., 108(C7), 2003. - P. 3223.

[12J Owen P. R., Thomson W. R., Heat transfer across rough surfaces // J. Fluid Mech., 1963- Vol. 15.- P. 321-334.

[13] Yaglom A. M., Kader B. A., Heat and mass transfer between a rough wall and turbulent flow at high Reynolds and Peclet numbers // J. Fluid Mech., 1974,- Vol. 62.- P. 601-623.

[14] Hanson A. N., Studies of the mass budget of Arctic pack-ice floes //J. Glaciol., 1965.- Vol. 5.- P. 701-709.

[15] Зубов Н.Н., Льды Арктики // М.: Изд. Главсевморпути, 1945.

[16] Unterstainer N., Badgley F. I., Preliminary results of thermal budget studies on Arctic pack ice during summer and autumn. In Arctic sea ice // Washington: U.S. Nat. Acad. Sci., Nat. Res. Counc. Publ., N 598, 1958.-P. 85-92.

¡17] Perovich D.K. et al., Year on ice gives climate insights // EOS Trans. AGTJ, 1999,- Vol. 80(481).- P. 485-486.

[18] Eicken H. et al., Tracer studies of pathways and rates of meltwater transport through Arctic summer sea ice // J. Geophys. Res., 2002.- Vol. 107 (ClO).-P. 8046.

[19] Pritchard R. S., Sea ice processes and models // Seattle, Wash.: Univ. of Wash. Press, 1980.

[20] McPhee M. G., Turbulent stress at the ice/ocean interface and bottom surface hydraulic roughness during the SHEBA drift //J. Geophys. Res., 2002,- Vol. 107(C10).- P. 8037.

[21] Perovich D. K., Maykut G. A., Solar heating of a stratified ocean in the presence of a static ice cover // J. Geophys. Res., 1990.- Vol. 95(C10).- P. 18,233-18,245.

Работа частично выполнена при финансовой поддержке Министерства Образования и науки РФ в рамках Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/2571 - главы 1, 2), Федеральной целевой программы "Научные и научно- педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (госконтракты 02.740.11.0202 - главы 1, 3 и П 1071 - главы 1, 4).

Подписано в печать В.{0.2СС9<Ьормат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. Заказ №/5"/. Тираж 100.

Отпечатано в ИПЦ "Издательство УрГУ". г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. НАПРАВЛЕННОЕ ЗАТВЕРДЕВАНИЕ.

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

1.1. Механизмы термического и концентрационного переохлаждений

1.2. Модель Стефана с плоским фронтом

1.3. Модель Стефана с двухфазной зоной

2. НЕСТАЦИОНАРНАЯ КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ МОРСКОЙ ВОДЫ

В ТРЕЩИНАХ ЛЬДОВ. МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ОКЕАНА

2.1. Образование трещин и их роль в тепловом бюджете планеты

2.2. Математическая модель процесса

2.3. Аналитическое решение нелинейной модели двухфазной зоны

2.4. Выводы

3. НЕСТАЦИОНАРНАЯ КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ МОРСКОЙ ВОДЫ

В ТРЕЩИНАХ ЛЬДОВ. УЧЕТ НЕИЗОТЕРМИЧНОСТИ ОКЕАНА И

ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ

3.1. Нетурбулентная модель кристаллизации в условиях неизотермического океана

3.2. Турбулентная модель кристаллизации в условиях неизотермического океана

3.3 Выводы

4. СИЛЬНО НЕСТАЦИОНАРНАЯ КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ МОРСКОЙ

ВОДЫ В ТРЕЩИНАХ ВЕКОВЫХ ЛЬДОВ

4.1. Некоторые аспекты образования ложного дна

4.2. Лабораторные эксперименты Мартина-Кауффмана

4.3. Фронтальная модель роста ложного дна

4.4. Модель роста ложного дна с двухфазной зоной

4.5. Результаты модели и полевые наблюдения

4.6. Выводы 104 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 106 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Латинские обозначения a(t) - положение границы двухфазная зона - жидкая фаза b(t) - положение границы твердая фаза - двухфазная зона cw - коэффициент температуропроводности жидкой фазы q - коэффициент температуропроводности твердой фазы Cw - теплоемкость жидкой фазы Cm ~ теплоемкость двухфазной зоны Ci - теплоемкость твердой фазы

Dw - коэффициент диффузии примеси в жидкой фазе Dm - коэффициент диффузии примеси в двухфазной зоне gw - градиент температуры в жидкой фазе Qi - градиент температуры в твердой фазе h - положение фронта кристаллизации или границы твердая фаза -двухфазная зона J - тепловой поток к - равновесный коэффициент распределения примеси Lq - скрытая теплота затвердевания

Ly - скрытая теплота затвердевания на единицу объема вещества т - равновесное значение коэффициента наклона линии ликвидус t - время

Т - температура

Та - атмосферная температура

Т\ = Т* — m<jwоо — Tw - разность температур Т* — mcrwoo начального состава <jwoo расплава и температуры Tw стенки Tw - температура в расплаве

Twоо - температура расплава вдали от границы фазового превращения Тех - внешняя температура

Тт - температура в двухфазной зоне Tw - температура океана Тр - температура фазового перехода Ti - температура в твердой фазе

Tioo - температура твердой фазы вдали от границы фазового превращения Tw - температура охлаждаемой стенки Т* - температура фазового перехода чистого вещества и - постоянная скорость затвердевания V - вектор скорости кристаллизации z - пространственная координата, направленная вдоль процесса кристаллизации

Греческие обозначения ар - коэффициент теплообмена т - протяженность двухфазной зоны ^ъ - константы параболического роста

Xw - коэффициент теплопроводности жидкой фазы

Лi - коэффициент теплопроводности твердой фазы pw - плотность жидкой фазы

Pi - плотность твердой фазы а - концентрация примеси аа и <7ь ~ концентрации примеси на границах Ха и А& двухфазной зоны &woo ~ концентрация примеси в жидкой фазе вдали от границы фазового превращения или концентрация примеси начального состава жидкой фазы <jm - концентрация примеси в двухфазной зоне <js - концентрация примеси в твердой фазе aw - концентрация примеси на охлаждаемой стенке ст£т - концентрация примеси на границе двухфазная зона - жидкая фаза doc - исходная концентрация примеси в жидкой фазе <т* - концентрация примеси на границе твердая фаза двухфазная зона ip - доля твердой фазы в двухфазной зоне сра и ipb - доли твердой фазы на границах двухфазной зоны <£>* - доля твердой фазы на границе твердая фаза - двухфазная зона Г - эффективный коэффициент поверхностного натяжения Гу - удельная свободная энергия Д - оператор Лапласа V - оператор Гамильтона

Нижние индексы w - обозначает величину в жидкой фазе i - обозначает величину в твердой фазе т - обозначает величину в двухфазной зоне

Актуальность проблемы. Диссертационная работа "Математическое моделирование нестационарных процессов направленного затвердевания при наличии двухфазной зоны" посвящена исследованию нестационарных процессов направленной кристаллизации при наличии зоны фазового перехода, в которой одновременно присутствуют частицы твердой и жидкой фаз. Известно, что кристаллизация является необходимой стадией производства многих материалов. В части использования теории кристаллизации на практике следует упомянуть получение материалов с заданными свойствами в процессах направленного затвердевания в изложницах, процессах вытяжки кристалла из расплава, процессах получения сверхчистых сплавов путем перекристаллизации. Фронтальное описание процесса кристаллизации на основе макроскопических уравнений механики сплошных сред известно более ста лет и хорошо зарекомендовало себя на практике. Однако, большое количество проблем фронтальной кристаллизации до сих пор не имеет корректного теоретического решения. Данный факт объясняется нелинейностью уравнений и граничных условий, а также сложностью получения закона движения границы фазового перехода. Поиск решения тем более затруднен в условиях, когда процесс кристаллизации протекает в присутствии области совместного сосуществования двух фаз. Теоретическое описание двухфазной зоны с помощью макроскопических уравнений механики сплошных сред известно более 40 лет, однако вплоть до настоящего времени выражения для законов движения границ зоны известны лишь в исключительных случаях и носят приближенный характер. На сегодняшний день нет данных о законченных исследованиях процессов направленной кристаллизации, охватывающих, например, замерзание льдов с учетом эффектов турбулентного переноса (характерным примером является задача о возникновении ложного дна в океанических льдах). Такого рода ситуации возникают, например, при проникновении талой воды, собирающейся в лужи на поверхности льда, через трещины под его основание. Это приводит к образованию подледных полостей, заполненных талой водой. При этом соленость морской воды около льда падает практически до нулевых значений, что приводит к понижению температуры фазового перехода. Конвекция и возникающее переохлаждение приводят к зарождению и срастанию кристаллов, формирующих ледяную корку под поверхностью льда между слоями соленой и пресной воды, называемую ложным дном. Математические модели, учитывающие наличие такой области - двухфазной зоны и турбулентного движения жидкости в океане, до настоящего времени практически не рассматривались. Это связано с упомянутыми сложностями математической модели процесса, которая описывает движение границ фазового перехода. В настоящей работе приведена такая нелинейная модель и получены ее аналитические решения. Спектр применимости полученных результатов очень широк: рассматриваемые в работе модели применимы в области металлургических процессов, а также современном материаловедении в части получения прогнозируемым образом материалов с заданными свойствами. Исследование проблематики настоящей работы имеет приоритетное значение для развития научного потенциала Российской Федерации, традиционно заинтересованной как в изучении геофизических проблем, связанных с замерзанием льдов, так и в оптимизации металлургических процессов.

Цель работы. Аналитическое описание нелинейной нестационарной динамики процессов направленного затвердевания при наличии зоны двухфазного состояния вещества на различных этапах кристаллизации в зависимости от теплофизических параметров системы с учетом эффектов турбулентного переноса и явлений ложного дна. В качестве объекта исследований выступил процесс направленного затвердевания из жидкого состояния в твердое, вызванный понижением управляющей температуры на одной из границ системы. Предметному анализу и описанию были подвергнуты законы движения границ твердая фаза - двухфазная зона и двухфазная зона - жидкая фаза, возникающие при кристаллизации тепловые потоки, эффекты флуктуации скорости трения в разрезе их влияния на процесс затвердевания, а также явления образования ложного дна. Исследования проводились с использованием современного математического аппарата по решению дифференциальных уравнений с граничными условиями, поставленными на движущихся границах фазового превращения, и на основе физических представлений о зоне двухфазного состояния вещества.

Научная новизна диссертационной работы, посвященной исследованию нелинейной динамики нестационарных процессов затвердевания при наличии двухфазной зоны, состоит в получении новых аналитических результатов, описывающих кристаллизацию бинарных систем в части исследования актуальных проблем замерзания морских льдов и затвердевания сплавов с приложениями к описанию естественных природных явлений и реальных металлургических процессов, а именно: сформулированы новые нелинейные модели уравнений тепло- и массопереноса, учитывающие наличие движущихся границ области фазового перехода - двухфазной зоны и турбулентные течения жидкости в морской воде. Аналитически получены точные решения нелинейных моделей с учетом временных зависимостей температуры и солености морской воды на глубине, а также флуктуаций скорости трения. Определены распределения температуры и солености воды, доля твердой фазы и законы движения границ фазового перехода. Все полученные, в работе результаты, освещенные в "Заключении" , являются принципиально новыми и не имеющими прямых аналогов в мировой литературе.

Достоверность полученных результатов обеспечивается адекватностью используемых физических представлений, традиционными моделями тепло- и массопереноса, а также соответствием полученных теоретических результатов данным экспериментов, корректностью и строгостью математических вычислений и выкладок, общей согласованностью результатов.

Практическое значение. В диссертационной работе даны рекомендации по определению распределения температуры и солености воды, доли твердой фазы, законов движения границ фазового перехода "морская вода - двухфазная зона" и "двухфазная зона - талая вода" , теплового потока на нижней границе ложного дна, который может изменять свое направление при временных осцилляциях температуры морской воды и скорости трения. Построенные аналитические решения нелинейных моделей кристаллизации с учетом временных зависимостей температуры и солености воды на глубине, а также флуктуаций скорости трения, полностью определяют влияние на процесс всех параметров системы (в частности, с их помощью можно производить расчеты теплового потока). Поскольку в металлургии известны примеры расплавов с физическими параметрами, подобными льду, разработанные модели и методы их решения пригодны для описания процессов затвердевания слитков. Поэтому развитые в работе теории позволяют полномасштабно использовать результаты в практических областях металлургии и геофизики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях: 7-ой семинар по проблемам конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2006), 13-я международная конференция „Liquid and amorphous metals", LAM13 (Екатеринбург, 2007), XVI всероссийская школа-конференция „Математическое моделирование в естественных науках 2007" (Пермь, 2007), конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах", НПСС-2007 (Пермь, 2007), YUCOMAT 2008 (Черногория, 2008), а также на научных семинарах в Институте металлургии УрО РАН и на семинарах кафедры математической физики Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, из них 4 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 121 страницу машинописного текста, она содержит 31 рисунок, 2 таблицы и 114 ссылок на литературные источники.

4.6. Выводы

В заключение, в главе исследована нелинейная динамика процессов миграции ложного дна. Общими выводами главы являются следующие:

1. В работе развита и обоснована новая математическая модель процессов кристаллизации ложного дна на основе представлений о равновесной двухфазной зоне и граничных условий, учитывающих турбулентный перенос тепла и массы в придонном слое со стороны морской воды. Данная модель существенно отличается от фронтальной модели и известных ранее подходов, адекватно описывает физическую картину процесса и известные полевые наблюдения.

2. В рамках развиваемой модели впервые получено аналитическое решение нелинейной нестационарной задачи с двумя движущимися границами фазовых переходов. Определены распределения температуры, солености и доли твердой фазы в двухфазном слое ложного дна, найдены законы движения его границ и тепловой поток. При этом решения получены в явном аналитическом виде в ситуации, когда температура и соленость в глубине океана, а также скорость трения не зависят от времени или заменяются не зависящими от времени средними величинами. В ситуации, когда эти характеристики являются функциями времени, решение проблемы сведено к одноточечной задаче Коши, которая легко решается известными методами.

3. Показано, что температура и соленость в двухфазной зоне являются линейными функциями пространственной координаты, а доля твердой фазы в ней претерпевает лишь незначительные пространственно-временные изменения. Продемонстрировано, что двухфазная зона мигрирует по направлению от соленой к пресной воде, ее толщина увеличивается со временем, а тепловой поток направлен от ложного дна в сторону соленой воды в спокойных условиях протекания процесса. Показано, что в условиях внезапного увеличения скорости трения (когда приходит шторм), картина процесса меняется: протяженность двухфазной зоны может испытывать временные осцилляции, а тепловой поток изменять свое направление вследствие увеличения концентрации соли и соответствующего уменьшения температуры на границе ложное дно -океан.

4. Произведены расчеты средних значений теплового потока на основе данных полевых наблюдений. Показано, что эти значения сравнимы по величине с другими возможными вкладами в результирующий тепловой поток рассматриваемой системы. Это означает, что процессы миграции ложного дна приводят к возникновению значительных тепловых потоков, которые могут оказывать существенное влияние на теплообмен между океаном и атмосферой, что особенно проявляется в летний период года.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе "Математическое моделирование нестационарных процессов направленного затвердевания при наличии двухфазной зоны" , посвященной исследованию вопросов сильно нелинейной динамики процессов кристаллизации, предложены решения сложных нелинейных задач с движущимися границами, представляющие собой разработку единого теоретического направления. Диссертационная работа содержит новые важные научные результаты и достижения по тематике фазовых переходов. Грамотный подход к нахождению сложных аналитических решений позволил получить ряд принципиально новых результатов.

Во второй главе исследована нелинейная динамика кристаллизации растворов и расплавов при учете коэффициента распределения примеси, построены три новых аналитических решения задачи, определена доля твердой фазы на границе двухфазная зона - жидкая фаза, разработан метод решения задачи, основанный на использовании уравнения диффузии примеси вместо приближенного уравнения Шейла. Развитая модель, существенно отличающаяся от фронтальной модели и известных ранее подходов, адекватно описывает физическую картину процесса и хорошо согласуется с результатами наблюдений. В рамках развиваемой модели получено теоретическое решение нестационарной проблемы замерзания морской воды при произвольных временных колебаниях температуры атмосферы. Определены распределения температуры, солености, доли твердой фазы, найден явный вид законов движения границ фазового перехода и протяженность двухфазной зоны. Получено аналитическое выражение для исходящего с поверхности льда в атмосферу потока тепла.

В третьей главе развита и обоснована математическая модель процессов затвердевания от охлаждаемой по произвольному закону границы в присутствии двухфазной зоны для неизотермического океана в отсутствие и при наличии турбулизации жидкости на границе между двухфазной зоной и раствором соли. Определены распределения температуры, солености и доли твердой фазы во всех регионах протекания процесса, в явном виде найден закон движения границы твердая фаза - двухфазная зона. Рассмотрены два сценария процесса: с нулевой (который описывает затвердевание с кристаллами игольчатой формы) и отличной от нуля (который описывает затвердевание с кристаллами с затупленной формой концов) долей твердой фазы на границе двухфазная зона - океан. Сформулирована задача Коши, получено трансцендентное уравнение или явное выражение для положения границы двухфазная зона - жидкая фаза в зависимости от различных условий реализации процесса. Результаты развитой теории находятся в хорошем соответствии с данными лабораторных наблюдений по кристаллизации водного раствора соли.

В четвертой главе развита и обоснована новая математическая модель процессов кристаллизации ложного дна на основе представлений о равновесной двухфазной зоне и граничных условий, учитывающих турбулентный перенос тепла и массы в придонном слое со стороны морской воды. Разработанная модель существенно отличается от фронтальной модели и известных ранее подходов, адекватно описывает физическую картину процесса и известные полевые наблюдения. Впервые получено аналитическое решение нелинейной нестационарной задачи с двумя движущимися границами фазовых переходов. Определены распределения температуры, солености и доля твердой фазы в двухфазном слое ложного дна, найдены законы движения его границ и тепловой поток. При этом решения получены в явном аналитическом виде для случая, когда температура и соленость в глубине океана, а также скорость трения не зависят от времени или заменяются не зависящими от времени средними величинами. В ситуации, когда эти характеристики являются функциями времени, решение проблемы сведено к задаче Коши. Показано, что температура и соленость в двухфазной зоне являются линейными функциями пространственной координаты, а доля твердой фазы в ней претерпевает лишь незначительные пространственно-временные изменения. Продемонстрировано, что двухфазная зона мигрирует по направлению от соленой к пресной воде, ее толщина увеличивается со временем, а тепловой поток направлен от ложного дна в сторону соленой воды в спокойных условиях протекания процесса. Показано, что в условиях внезапного увеличения скорости трения (например, в результате прихода шторма) картина процесса меняется: протяженность двухфазной зоны может испытывать временные осцилляции, а тепловой поток изменять свое направление вследствие увеличения концентрации соли и соответствующего уменьшения температуры на границе ложное дно -океан. Произведены расчеты средних значений теплового потока на основе данных полевых наблюдений. Показано, что эти значения сравнимы по величине с другими возможными вкладами в результирующий тепловой поток рассматриваемой системы. Это означает, что процессы эволюции ложного дна приводят к возникновению значительных тепловых потоков, которые могут оказывать существенное влияние на теплообмен между океаном и атмосферой.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК:

1. D.V. Alexandrov, D.L. Aseev, I.G. Nizovtseva, H.-N. Huang, D. Lee Nonlinear dynamics of directional solidification with a mushy layer// Internation; Journal of Heat and Mass Transfer - 2007. - Vol. 50 - P. 3616-3623.

2. Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Нелинейная динамика "ложного дна" в случае замерзания морской воды // ДАН - 2008. - Том 419 - С. 262 - 265.

3. D.V. Alexandrov, I.G. Nizovtseva А.Р. Malygin, H.-N. Huang, D. Lee Unidirectional solidification of binary melts from a cooled boundary: analytical solutions of a nonlinear diffusion-limited problem // Journal of Physics: Condensed Matter - 2008. - Vol. 20. - P. 114105.

4. D.V. Alexandrov, I.G. Nizovtseva To the theory of underwater ice evolution, or nonlinear dynamics of "false bottoms " // International Journal of Heat and Mass Transfer - 2008. - Vol. 51. - P. 5204-5208.

Другие публикации:

5. А.П. Малыгин, Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Нестационарные процессы направленного затвердевания растворов. Кристаллизация морской воды// Тезисы докладов 7-го Семинара по Проблемам конденсированного состояния вещества. Екатеринбург, 2006. - С. 45.

6. А.П. Малыгин, Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Нестационарные процессы направленного затвердевания растворов. Приближенное аналитическое решение проблемы// Тезисы докладов 7-го Семинара по Проблемам конденсированного состояния вещества. Екатеринбург, 2006. - С. 46.

7. D.V. Alexandrov, I.G. Nizovtseva, А.Р. Malygin, H.-N. Huang, D. Lee Unidirectional solidification of binary melts from a cooled boundary. Analytical solutions of nonlinear diffusion-limited problem// Book of abstracts 13th Int. Conf. on Liquid and Amorphous Metals. Ekaterinburg, 2007. - C. 13

8. Д.В. Александров, И.Г.Низовцева К теории эволюции подводного льда или нелинейная динамика "лоэ/сного дна "// Тезисы докладов XVI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов Математическое моделирование в естественных науках. Пермь, 2007. - С. 70

9. Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Нелинейная динамика процессов кристаллизации с двухфазной зоной// Тезисы докладов VIII-й Молодежной школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества при ИМФ УрО РАН. Екатеринбург, 2007. - С. 59.

10. Д.В. Александров, И.Г.Низовцева Математическое моделирование нелинейных процессов формирования подледных океанических структур/ /Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых кНе-равновесные процессы в сплошных средахн,, Пермь, 2007. - С. 21-25.

11. D.V. Alexandrov, D.L. Aseev, S.V. Bulitcheva, I.G. Nizovtseva Directional solidification of ternary alloys// Book of abstracts 10th Annual Conference YUCOMAT 2008, Institute of Technical Sciences of the Serbian Academy of Sciences & Arts. Herceg Novi, Montenegro, 2008 - P. 71.

Работа частично выполнена при финансовой поддержке Министерства Образования и науки РФ в рамках Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/2571 - главы 1, 2), Федеральной целевой программы "Научные и научно- педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (госконтракты 02.740.11.0202 - главы 1, 3 и П 819 - главы 1, 4).

1. J.P. Peixoto, А.Н. Oort, Physics of Climate, American Institute of Physics - 1992. - 180 c.

2. K. Aagaard, E. Carmack, A Synthesis of Arctic Ocean Circulations,- In: The Polar Regions and Their Role in Shaping the Global Environment 1994,- GM 85, American Geophysical Union, - P.5-20.

3. J.Morison et. al, The Leadex Experiment, -, Eos. Trans. AGU, 1993.- Vol. 74,- P. 393-397.

4. A.E.Gill, Deep-Sea Res, 1973. Vol. 20,- P. 111-140.

5. Mullins W. W., Sekerka R. F., Stability of a planar interface during solidification of a dilute binary alloy, Appl. Phys.- 1964. Vol. 35, N. 2.- P. 444-451.

6. Kaviany M., Principles of convective heat transfer, Springer-Verlag New York Inc. - 1994. - P. 709.

7. Worster M. G., Solidification of an alloy from a cooled boundary, J. Fluid Mech.- 1986.- Vol. 167.- P. 481-501.

8. Young G. W. and Davis S. H., Morphological instabilities in directional solidification of a binary alloy: end effects, SIAM J. Appl. Math. 1989. - Vol. 49, N 1.- P. 152-164.

9. Viskanta R., Heat transfer during melting and solidification of metals, Heat Transfer.- 1988.- Vol. 110. P. 1205-1219.

10. Hang P., Cellular solidification as a bifurcation problem, Phys. Review A.- 1987.- Vol. 35, N. 10. P.4364-4377.

11. Strain J., A boundary integral approach to unstable solidification, Сотр. Phys.- 1989,- Vol. 85.- P.342-389.

12. R.N. Hills, D.E. Loper, P.H. Roberts, A thermodynamically consistent model of a mushy zone, Q. J. Appl. Math. 1983.- Vol. 86.- P. 505 -539.

13. Braun R. J. and Davis S. H., Oscillatory instabilities in rapid directional solidification: bifurcation theory, Crystal Growth.- 1991-Vol. 112,- P. 670-690.

14. Sethian J. A. and Strain J., Crystal growth and dendritic solidification, Сотр. Phys 1992.- Vol. 98,- P. 231-253.

15. Sethian J. A., Theory, algorithms, and applications of level set methods for propagating interfaces, Univ. of California, Bercley.-1995.- 69 p.

16. Киргинцев A. H., Исаенко JI. И., Исаенко В. А., Распределение примеси при направленной кристаллизации, М.: Наука, 1977.256 с.

17. Филиппова Т. Ф., Кострыкина А. И., Превращение аустенита в сталях 10Г2 и 10Г2С при непрерывном охлаждении, В кн. Проблемы металловедения и физики металлов М.: Металлургия, 1976.-С. 66-71.

18. Буевич Ю. А., Неустойчивость автомодельного фронта фазового перехода, ИФЖ 1981,- Т. 40, N 5 - С. 918-927.

19. Buyevich Yu.A., Alexandrov D.V., Mansurov V.V., Macrokinetics of cristallization, Begell House, New-York - Wallingford, 2001. - 1841. P

20. D.V.Alexandrov et. al., Int. J. Fluid Mech. Res.- 1999 Vol.26, N 2- P. 248-264.

21. D.V.Alexandrov, Int. J. Fluid Mech. Res. 2000 - Vol. 27, Nos. 2-4- P. 223-238.

22. Иванцов Г.П., Диффузионное переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава, ДАН СССР 1951. Том 81, №2. -С. 179-182.

23. Борисов В.Т., Теория двухфазной зоны металлического слитка,-М.: Металлургия, 1987. 224 с.

24. Борисов В.Т., Виноградов В.В, Тяжельникова И.Л., Квазиравновесная теория двухфазной зоны и ее применение к затвердеванию сплавов, Изв. Вузов, Черная металлургия 1977. №5. - С. 127-134.

25. Борисов В.Т., Кристаллизация бинарного сплава при сохранении устойчивости, ДАН СССР 1961. Том 136. - С. 516-519.

26. Борисов В.Т., Матвеев Ю.Е., Определение температур в начале двухфазной зоны бинарных сплавов, ФММ - 1962. - Том 13, т. - С. 456-470.

27. M.G. Worster, J. Fluid Mech. -1992 Vol. 237 - P. 649-669.

28. A.C. Fowler, IMA Journal of Applied Mathematics 1985 -Vol. 35-P. 159-174.

29. Alexandrov D.V., Solidification with a quasiequilibrium mushy region: analytical solution of nonlinear model, J. Crystal Growth 2001. -Vol. 222. - P. 816-821.

30. M.G. Worster, J. Fluid Mech. -1991 Vol.2247- P. 335-359.

31. A.L. Maples, D.R. Poirier, Metal. Trans. B. -1984 Vol. 15B - P. 163-172.

32. Буевич Ю. А., Мансуров В. В., Неустойчивость стационарного процесса затвердевания, ИФЖ 1984,- Т. 47, N 5.- С. 773-783.

33. Кояло М.В., Исследование возможности переохлаждения расплава в двумерном случае, Вопросы теории кристаллизации. Рига, - 1974, Вып. 1,- С. 78-84.

34. Mullins W. W., Sekerka R. F., Устойчивость плоской поверхности раздела фаз при кристаллизации разбавленного бинарного сплава, Проблемы роста кристаллов М.: Мир.- 1968 - С. 106-126.

35. Кагта A., Pelce P., Oscillatory instability of deep cells in directional solidification, Phys. Rev. A.- 1989.- Vol. 39.- P.4162-4169.

36. O' Callaghar M. G., Cravalho E. G., Huggins С. E., Instability of the planar freeze front during solidification of an aqueous binary solution, ASME J. Heat Trans., 1980,- V. 102,- P. 673-677.

37. Чалмерс Б., Физическое металловедение,- М.: Металлургиздат,1963.- 455 с.

38. Чалмерс Б., Теория затвердевания, М.: Металлургия, 1968.-288 с.

39. Петухов Ю. И., Бекетов А. И., Одномерная модель формирования ячеистого фронта кристаллизации в бинарных расплавах, В кн. Кристаллизация и процессы в кристаллизаторах. Новосибирск, 1979.- С.5-10.

40. Петухов Ю. И., Бекетов А. И., Сегрегация примеси на двумерных ячейках в бинарных расплавах, В кн. Кристаллизация и процессы в кристаллизаторах Новосибирск, 1979,- С. 11-20.

41. Wollkind D.J. Notestine R.D., A nonlinear stability analysis of the solidification of a pure substance, IMA J. Appl. Math., 1981.- Vol. 27.- P. 85-104.

42. Trivedi R., Interdendritic spacing, Met. Trans. A, 1984,- Vol. 15A, N 6,- P. 974-982.

43. Czapelski, M. Variable equilibrium partition coefficient, J. Crystal Growth, 1998.- Vol. 187.- P. 138-139.

44. Engel A.H.H., Incropera F.P., Solidification of a binary mixture in a square cavity with a free surface, Warme und Stoffubertragung, 1989.- Vol. 24.- P. 279-288.

45. Борисов В.Т., Виноградов В.В., Тяжелыгакова И.Л., Квазиравновесная теория двухфазной зоны и ее применение к затвердеванию сплавов, Изв. Вузов, Черная Металлургия.- 1977, N 5.- С. 127-134.

46. Levine R., The freezing of finite domain aqueous solutions: solute redistribution, Int. J. Heat and Mass Transfer, 1981- Vol. 24.- P. 1443-1445.

47. Kurz W., Fisher D.J., Fundamentals of solidification, 3rd ed.-Aedermannsdorf: Trans. Tech.,- 1992.

48. Braun R.J., Davis S.H., Oscillatory instabilities in rapid directional solidification: bifurcation theory, J. Crystal Growth, 1991.-Vol. 112-P. 670-690.

49. Буевич Ю. А., Искакова JI. Ю., Мансуров В. В., К теории затвердевания бинарных расплавов с равновесной двухфазной зоной, ЖПМТФ 1990.- N 4.- С. 46-53

50. Мансуров В.В., Проблемы затвердевания бинарных расплавов, Дисс. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук, 1992.- 271 с.

51. Оно А., Затвердевание металлов, -М.: Металлургия, 1980.-152 с.

52. Ландау А.И., К вопросу о волнообразном характере распределения примеси вдоль длины растущего монокристалла, ФММ, 1958,- Т. 6,- Вып. 1,- С. 148-155.

53. Coriell S.R., McFadden G.B., Sekerka R.F., Selection mechanisms for multiple similarity solutions for solidification and melting, J. Crystal Growth, 1999.- Vol. 200.- P. 276-286.

54. Boettinger W.J., Shechtman D., Schaefer R.J., Biancaniello F.S., The effect of rapid solidification velocity on the microstructure of Ag~Cu alloys, Metall. Trans. A, 1984,- Vol. 15A R 55-66.

55. Zimmermann M., Carrard M., Kurz W., Rapid solidification of Al — Си eutectic alloy by laser remelting., Acta Metall., 1989.- Vol. 37, N 12.- R 3305-3313.

56. Stewart M.T. Thomas R., Wauchope K. Winegard W.C., Chalmers В., New segregation phenomena in metals., Phys. Rev, 1951.- Vol. 83, N 3.- P. 657-658.

57. D.M. Anderson, M.G. Worster, J. Fluid Mech.,- 1996, Vol.307,- P. 245-267

58. D.V. Alexandrov, X.X. Buevich, Heat Transfer in Dispersions, Begel House, New York,- 2005

59. Badgley F.I., Heat budget at the surface of the Arctic Ocean, in Proceedings of the Symposium on the Arctic Heat Budget and Atmospheric Circulation. edited by J.O. Fletcher,- Rand Corp., -Santa Monica, Calif., 1966, - P. 267-278.

60. Maykut G.A., Energy exchange over young sea ice in the central Arctic, J. Geophys. Res., 1978.- Vol. 83.- P. 3646-3654.

61. Maykut G.A., Large-scale heat exchange and ice production in the central Arctic, J. Geophys. Res., 1982,- Vol. 87.- P. 7971-7984.

62. К теории затвердевания с квазиравновесной двухфазной зоной, Доклады АН, 2000. Т. 375, N 2. - С. 172-176.

63. Александров Д.В., Иванов А.О., Скейлинговые свойства двухфазной зоны при направленной кристаллизации, Доклады АН, -2002,- Т. 385, N 3,- С. 323-327.

64. Huppert Н.Е., Worster M.G., J Dynamic solidification of a binary melt, Nature, 1985.-Vol. 314.- P. 703-707.

65. Morison J.,McPhee M., Muench R., et al., The LeadEx Group,The LeadEx experiment, Eos Trans. AGU. 1993,- Vol. 74.-P. 393-397.

66. Wettlaufer J.S., Worster M.G., Huppert H.E., Solidification of leads: theory, experiment and field observations, J. Geophys. Res.,- 2000.-Vol. 105.- P. 1123-1134.

67. Физические величины: справочник. под редакцией И.О. Григорьева и Е.З. Мейлихова.- М.: Энергоатомиздат, - 1991.- -С. 1231.

68. Малыгин А.П., Аналитическое описание нестационарных процес-соравленного затвердевания растворов и расплавов, Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, Екатеринбург, 2006.118 с.

69. Worster M.G., Wettlaufer J.S., Natural convection, solute Trapping and channel formation during solidification of saltwater, J. Phys.Chem. B, 1997,-Vol. 101- P. 6132-6136.

70. Batchelor G.K., Transport properties of two-phase materials with random structure, Ann. Rev. Fluid Mech. 1974. - Vol. 6. - P. 227255.

71. Buyevich Yu.A., Alexandrov D.V., Heat Transfer in Dispersions. -Begell House, New-York Wallingford, 2005.

72. Alexandrov D.V., Malygin A.P., Self-similar solidification of an alloy from a cooled boundary, Int. J. Heat Mass Transf. 2006. Vol. 49, - P. 763 - 769.

73. A.M. Meirmanov, The Stefan Problem, W. De Gruyter expositions in mathematics, Berlin, 1992.

74. Борисов В.Т., Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987,- 224 С.

75. J. Morison, M. McPhee, R. Muench et al., The LeadEx experiment, EOS. Trans. AGU 1993. Vol.74.-P.393 - 397.

76. J.S. Wettlaufer, M.G. Worster, H.E. Huppert, Solidification of leads: theory, experiment and field observations, J. Geophys. Res. 105 (2000) 1123 1134.

77. S. Martin, P. Kauffman, The evolution of under-ice melt ponds, or double diffusion at the freezing point, J. Fluid Mech., 1974. -Vol.64(3)-P. 507 527.

78. G.K. Batchelor, Transport properties of two-phase materials with random structure, Ann. Rev. Fluid Mech., 1974.- V0I.6.-P. 227 255.

79. Yu.A. Buyevich and D.V. Alexandrov, Heat Transfer in Dispersions, Begell House, New York and Wallingford, 2005.

80. D.K. Perovich, A.J. Gow, A quantitative description of sea ise inclusions, J. Geophys. Res., 1996,- Vol.101.-P. 18,327 18,343.

81. D.V. Alexandrov, A.P. Malygin, I.V. Alexandrova, Solidification of leads: approximate solutions of non-linear problem, Annals of Glaciology, 2006.- Vol.44.-P. 118 122.

82. D.V. Alexandrov, A.P. Malygin, Analytical description of seawater crystallization in ice fissures and their influence on heat exchange between the ocean and the atmosphere, Doklady Earth Sciences,2006,- Vol.411A(9). P. 1407 - 1411.

83. D.V. Alexandrov, D.L. Aseev, I.G. Nizovtseva, H.-N. Huang, D. Lee, Nonlinear dynamics of directional solidification with a mushy layer. Analytic solutions of the problem, Int. J. Heat and Mass Transfer,2007.- Vol.50.-P. 3616 3623.

84. H.E. Huppert, M.G. Worster, Dynamic solidification of a binary alloy, Nature, 1985.- Vol.314.-P.703 707.

85. D.V. Alexandrov, A.P. Malygin, Self-similar solidification of an alloy from a cooled boundary, Int. J. Heat Mass Transfer, 2006.- Vol.49.-P.763 769.

86. M.G. McPhee, A time-dependent model for turbulent transfer in a stratified oceanic boundary layer under pack ice, J. Geophys. Res., 1974,- Vol.62.-P.6987 6986.

87. M.G. McPhee, The upper ocean, in the Geophysics of Sea Ice, ed. by N. Untersteiner, Plenum, New York, 1986,- P.133-141.

88. M.G. McPhee, G.A. Maykut, J.H. Morison, Dynamics and thermodynamics of the ice/upper ocean system in the marginal ice zone of the Greenland sea, J. Geophys. Res., 1987,- Vol.92.-P.7017 -7031.

89. D. Notz, M.G. McPhee, M.G. Worster, G.A. Maykut, K.H. Schliinzen,

90. H. Eicken, Impact of underwater-ice evolution on Arctic summer sea ice, J. Geophys. Res., 2003,- Vol.108.-P. 3223.

91. P.R. Owen, W.R. Thomson, Heat transfer across rough surfaces, J. Fluid Mech., 1963.- Vol.15.-P. 321 334.

92. A.M. Yaglom, B.A. Kader, Heat and mass transfer between a rough wall and turbulent flow at high Reynolds and Peclet numbers, J. Fluid Mech., 1974,- Vol.62.-P. 601 623.

93. Unterstainer N., Natural desalination and equilibrium salinity profile of old sea ice, In Physics of snow and ice (ed. H. Oura), 1967.- Vol.1.- P. 569-577.

94. Hanson A. N., Studies of the mass budget of Arctic pack-ice floes, J. Glaciol., 1965.- Vol. 5.- P. 701-709.

95. Nansen F., Farthest North.- New York: Harper & Brothers, 1897.

96. Lyons J. В., Savin S. M., Tamburi A. J., Basement ice, Ward Hunt Ice Shelf, Ellesmere island, Canada, J. Glaciol., 1971.- Vol. 10,- P. 93-100.

97. Зубов Н.Н., Льды Арктики.- М.: Изд. Главсевморпути, 1945.

98. Unterstainer N., Badgley F. I., Preliminary results of thermal budget studies on Arctic pack ice during summer and autumn. In Arctic sea ice.- Washington: U.S. Nat. Acad. Sci., Nat. Res. Counc. Publ., N 598, 1958.- P. 85-92.

99. Eicken H., Structure of under-ice melt ponds in the central Arctic and their effect on the sea-ice cover, Limnol. Oceanogr., 1994,- Vol. 39(3).-P. 682-694.

100. Krishfield, R.A. and D.K. Perovich, Spatial and temporal variability of oceanic heat flux to the Arctic ice pack, J. Geophys. Res., 2005 -Vol. 110.- C07021.

101. Jeffries M. O. et al., Evidence for platelet ice accretion in Arctic sea ice development, J. Geophys. Res., 1995,-Vol. 100(C6).- P. 10,905-10,914.

102. Wadhams P., The underside of Arctic sea ice imaged by sidescan sonar, Nature, 1988,- Vol. 333.- P. 161-164.

103. Wadhams P., Martin S., Processes determining the bottom topography of multiyear Arctic sea ice. In Sea ice properties and processes (ed. by W. F. Weeks and S. F. Ackley). CRREL Monogr., 1990.- P. 136-141.

104. Perovich D.K. et al., Year on ice gives climate insights, EOS Trans. AGU, 1999.- Vol. 80(481).- P. 485-486.

105. Eicken H. et al., Tracer studies of pathways and rates of meltwater transport through Arctic summer sea ice, J. Geophys. Res., 2002.-Vol. 107 (C10).- P. 8046.

106. Perovich D. K. et al., Thin and thinner: ice mass balance measurements during SHEBA, J. Geophys. Res., 2003.- Vol. 108(C3).-P. 8050.

107. Gradinger R., Occurrence of an algal bloom under Arctic pack ice, Mar. Ecol. Prog. Ser., 1996.- Vol. 131.- P. 301-305.

108. McPhee M. G., Small scale processes. In Polar oceanography, Part A: Physical science.- San Diego, Calif.: Academic, 1990.- P. 287-334.

109. Александров Д. В., Малыгин А. П., Аналитическое описание кристаллизации морской воды в трещинах льдов и их влияние на теплообмен между океаном и атмосферой // Доклады АН, 2006.- Т. 411(3).- С. 390-394.

110. Alexandrov D. V., Malygin А. P., Alexandrova I. V,, Solidification of leads: approximate solutions of non-linear problem, Ann. Glaciol., 2006.- Vol. 44.- P. 118-122.

111. Scheil E., Bemerkungen zur schichtkiistallbildung, Zeichrift fur Metallkunde, 1942,- Vol. 34.- P. 70-72.

112. Owen P. R., Thomson W. R., Heat transfer across rough surfaces, J. Fluid Mech., 1963.- Vol. 15,- P. 321-334.

113. Pritchard R. S., Sea ice processes and models.- Seattle, Wash.: Univ. of Wash. Press, 1980.

114. McPhee M. G., Turbulent stress at the ice/ocean interface and bottom surface hydraulic roughness during the SHEBA drift, J. Geophys. Res., 2002.- Vol. 107(C10).- P. 8037.

115. Perovich D. K., Maykut G. A., Solar heating of a stratified ocean in the presence of a static ice cover, J. Geophys. Res., 1990.- Vol. 95(C10).- P. 18,233-18,245.