Математическое моделирование процесса релаксации деформационного упрочнения в экспериментах по изучению эволюции последовательной поверхности текучести металлов

Вежелис, Татьяна Мечисловасовна

Математическое моделирование процесса релаксации деформационного упрочнения в экспериментах по изучению эволюции последовательной поверхности текучести металлов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Вежелис, Татьяна Мечисловасовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Математическое моделирование процесса релаксации деформационного упрочнения в экспериментах по изучению эволюции последовательной поверхности текучести металлов»

Автореферат диссертации на тему "Математическое моделирование процесса релаксации деформационного упрочнения в экспериментах по изучению эволюции последовательной поверхности текучести металлов"

На правах рукописи

Всжелис Татьяна Мсчнсловасовпа

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РЕЛАКСАЦИИ ДЕФОРМАЦИОННОГО УПРОЧНЕНИЯ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ ПО ИЗУЧЕНИЮ ЭВОЛЮЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТЕКУЧЕСТИ МЕТАЛЛОВ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 ЗЯН8 2011

Нижний Новгород - 2010

004618915

Работа выполнена в Нижегородском государственном архитектурно-строительном университете

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук профессор Супрун Анатолий Николаевич

доктор физико-математических наук профессор Победря Борис Ефимович,

доктор физико-математических наук профессор Кадашевич Юлий Исаакович

Нижегородский филиал Учреждения Российской академии наук «Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН»

Защита состоится « 29 » декабря 2010 года в 14 часов

на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, ГСП 1000, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан« 28 » ноября 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Игумнов Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. За более чем полувековой период опытного изучения эволюции поверхности текучести накоплены многочисленные опытные данные об эффектах, сопровождающих процесс неупругого деформирования конструкционных материалов. В то же время, по мере обогащения экспериментальной механики новыми эмпирическими данными, получаемыми со всё возрастающей точностью измерений, всё отчётливее стали проступать необъяснимые противоречия в виде принципиальных качественных различий геометрических форм опытных последовательных поверхностей текучести при казалось бы идентичных образцах и методиках испытаний. Тем самым образовался разрыв между теорией определяющих соотношений пластичности, опирающейся на концепцию о существовании поверхности текучести, и экспериментальной механикой, не гарантирующей однозначного получения опытных данных для идентификации математических моделей пластичности.

Начиная с 80-х годов прошлого века в научной литературе отмечалось существенное влияние фактора времени на эволюцию поверхности текучести в металлах при комнатной температуре. Среди гипотез, выдвигаемых для объяснения сложившейся в экспериментальной механике ситуации, наибольшего внимания заслуживает версия о том, что неконтролируемый в опытах эффект релаксации деформационного упрочнения (в научной литературе называется также эффектом возврата пластических свойств или релаксации микронапряжений) может явиться причиной противоречий в результатах построения последовательных поверхностей текучести в экспериментах. Однако это предположение нуждается в обоснованном подтверждении достоверности и достаточности для устранения образовавшегося разрыва между теорией определяющих соотношений пластичности и экспериментальной механикой, изучающей эволюцию поверхности текучести.

Диссертационная работа, посвященная математическому моделированию процессов релаксации деформационного упрочнения, ориентирована на создание математического аппарата, предоставляющего возможность не только получить ответ на указанные выше вопросы, но и решить рад проблем, связанных с повышением достоверности математического моделирования неупруго деформируемых металлов. В связи с этим можно утверждать о несомненной актуальности темы диссертации.

Дели исследований. Указанные выше проблемы и предмет исследований позволяют сформулировать цели исследований следующим образом:

1) разработать математическую и компьютерную модели эволюции поверхности текучести, учитывающие процессы релаксации деформационного упрочнения в 2В экспериментах;

2) исследовать причины противоречий в известных экспериментах по изучению эволюции последовательных поверхностей текучести.

Задачи исследования. Сформулированные выше цели исследований определили следующие задачи исследований:

1) систематизировать основные виды противоречий в экспериментальных исследованиях эволюции поверхности текучести;

2) построить математическую модель М» неупругого деформирования металлов в типичных видах 21) экспериментах по изучению последовательной поверхности текучести, учитывающую эффект релаксации деформационного упрочнения;

3) разработать методику выполнения базового эксперимента и идентификации параметров модели М.;

4) разработать исследовательский прототип компьютерной программы П» модели М» с постпроцессором графической иллюстрации процесса эволюции поверхности текучести, предусматривающий идентификацию параметров М. по базовому и небазовому экспериментам, выполняемым с возможной недостаточностью исходной информации по временным факторам;

5) выполнить численную проверку достоверности гипотезы влияния эффекта релаксации деформационного упрочнения как основной причины противоречий в результатах экспериментального изучения последовательных поверхностей текучести.

Научная новизна работы. В процессе исследования получены следующие новые научные результаты:

1) установлено, что веб многообразие известных качественно противоречивых опытных данных об эволюции поверхности текучести сводится к двум разновидностям: геометрических форм границы текучести и положений последовательных поверхностей текучести относительно начала координат в пространстве напряжений;

2) путём проведения численных экспериментов показано, что оба вида разновидностей имеют одну и ту же основную причину - неконтролируемый экспериментаторами эффект релаксации деформационного упрочнения;

3) построена математическая и компьютерная модели процесса эволюции границы текучести в 20 экспериментах, учитывающие проявление эффекта релаксации деформационного упрочнения;

4) в результате численного моделирования известных проблемных экспериментальных результатов показано, что эллиптическая форма движущейся границы текучести обеспечивает достаточную точность описания эволюционных процессов.

Практическая ценность работы. В результате разработки темы диссертации были получены результаты, которые имеют следующую практическую ценность:

1) предложена методика выполнения экспериментов, позволяющих получать достаточно полную информацию об эволюционных процессах, влияющих на форму и положение в пространстве напряжений последовательной поверхности текучести;

2) разработана компьютерная программа идентификации параметров математической модели М>;

3) разработан алгоритм и компьютерная программа, позволяющая использовать модель М< как базовую для выбираемых пользователем определяющих соотношений в зависимости от диапазона изменения деформаций, напряжений и времени неупругого деформирования;

го, в автомобилестроении, а также при расчётах на прочность деталей из металлов, чувствительных к накоплению пластических деформаций, например, в процессе различного вида циклических нагружений.

Основные положения, выносимые из защиту диссертации. На защиту выносятся следующие результаты, определяющие научную новизну и практическую ценность диссертационного исследования:

1) результат анализа известных качественно противоречивых опытных данных об эволюции поверхности текучести, позволивший установить, что всё многообразие известных полученных исследователями опытных поверхностей текучести сводится к двум принципиальным различиям по их геометрической форме и по их положению относительно начала координат в пространстве напряжений;

2) обоснованное заключение о том, что оба вида разновидностей указанных противоречий имеют одну и ту же субъективную причину — неконтролируемый в экспериментах эффект релаксации деформационного упрочнения;

3) математическая и компьютерная модели процесса эволюции границы текучести в 2D экспериментах, учитывающие проявление эффекта релаксации деформационного упрочнения;

4) комплекс теоретических и программных решений для практической реализации предложенного подхода к устранению имеющего место разрыва между теорией определяющих соотношений пластичности и экспериментальной механикой, изучающей эволюцию поверхности текучести (методика выполнения базового эксперимента, компьютерная программа идентификации параметров математической модели M«, компьютерная программа, использующая идентифицированную модель М. для идентификации выбираемых пользователем определяющих соотношений в зависимости от диапазонов изменения деформаций, напряжений и времени).

Работа выполнена по Аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы» по заданию Министерства образования и науки РФ.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на: XIII Международной научно-технической конференции «Информационная среда вуза», Иваново, ИГАСУ, 2006; XIV Международной научно-технической конференции «Информационная среда вуза», Иваново, ИГАСУ, 2007; XV Международной научно-технической конференции «Информационная среда вуза», Иваново, ИГАСУ, 2008; XVII Polish-Russian-Slovak seminar «Theoretical foundation of civil engineering», Warszawa, Wroclaw, 02.06-06.06.2008. - Zilina, 2008; XXIII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций», Санкт-Петербург, 2009.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе 3 - в рекомендованных ВАКом журналах: «Проблемы прочности и пластичности» Межвуз. сб. Нижегор. ун-т. им. Н.И. Лобачевского, Н. Новгород и «Приволжский научный журнал» Н. Новгород, ННГАСУ.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы я 4 приложений общим объемом 148 страниц, в том числе 66 рисунков и 10 таблиц. Список использованных литературных источников включает 110 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены цели, задачи, научная новизна, практическая ценность и основные положения диссертации, выносимые на защиту.

В первой главе приведён обзор работ, посвящённых экспериментальному изучению эволюции поверхности текучести при неупругом деформировании металлов, а также использованию этого фундаментального понятия теории пластичности при построении определяющих соотношений.

В первом параграфе обсуждаются результаты опытного изучения начальной и последующей поверхностей текучести в экспериментах отечественных учёных: Ю. Ягна и О. Шишмарёва, Г. Талыпова, А. Жукова, Б. Аннина и зарубежных исследователей: Р. На-хда, О. Эссенбурга и X. Коффа, А. Филлипса, Ж. Танга, М. Михно и В. Финдли, Н. Гупта и X. Лауэрта, А. Кхана, Б. Дюонга и др.

Отмечается, что за последние шесть десятилетий в научной литературе было опубликовано свыше двухсот работ с результатами экспериментального определения границ текучести (поверхностей текучести) различных материалов, находящихся в начальном изотропном состоянии - построение начальных поверхностей текучести (initial yield surfaces), а также и после реализованных программ неупругого деформирования - построение последовательных поверхностей текучести (ППТ) (subsequent yield surfaces). При этом использовались различные способы определения локальных пределов текучести.

В пятидесятых годах XX века преимущественно применялась обратная экстраполяция Тейлора-Куини, требующая для определения локального предела глубокого проникновения в зону пластичности. Тем самым зондирование каждого локального предела текучести могло внести заметные искажения формы и положения ППТ, определяемой после первичного нагружения. Поэтому для каждого зондирования использовался один образец из серии подготовленных в одинаковых условиях образцов и подверженных одному и тому же первичному нагружению.

Учитывая высокую трудозатратностъ такой методики выполнения исследований и возможное влияние на результат различия в механических свойствах образцов, экспериментаторы в последующие годы стали находить каждую точку последовательной границы текучести на одном образце по условному пределу текучести, определяемому по малому допуску на пластическую деформацию. Этот подход позволил на одном образце исследовать процессы эволюции ППТ в широком диапазоне изменения программ нагружения. Однако, как показывают опубликованные данные, экспериментаторы использовали допуски S на величину интенсивности пластической деформации в довольно широком диапазоне значений (от 2-10"3 до 10"5).

Приводится описание известных экспериментальных исследований, свидетельствующих о том, что если для начальной поверхности текучести изотропных металлических образцов в экспериментах, как правило, подтверждалось условие Мизеса, то для ППТ экспериментаторы получали весьма противоречивые результаты. В частности, это касается проблемы существовании особых точек и вогнутостей на ППТ. Так, например, на рис.1 приведены результаты опытного определения границы текучести образца из отожжённой малоуглеродистой стали после растяжения до е =10% (Н. Гупта и X. Лауэрт, ZAMM,

1983). В т.1 кривая имеет заострение. В т. 2 проявляется вогнутость границы текучести, что противоречит принципу максимума Мизеса. В то же время в результатах экспериментов ряда других авторов указанные особенности границ текучести не наблюдались.

Указывается, что начиная с 70-х годов прошлого века и до настоящего времени в экспериментальных исследованиях эволюции поверхностей текучести стали преобладать методики опытного построения ППТ, ориентированные на снижение влияния ползучести на результаты экспериментов. При этом проявлялось некоторое сглаживание особых точек и вогнутостей. Например, границы текучести после растяжения (см. рис.2, А. Кхан и др., Int J. Plast., 2009) имеют округленный участок кривой в направлении нагружения и приплюснутость её тыльной части.

í °

■ 2% «4% -6%

I I

I »

/ >}

Рис. 1

Рис 2

ISO 200 250

«„<!№»)

Однако в этом виде опытов точка нагружения оказывается вне границы текучести, что не согласуется с характером деформационного упрочнения, сформулированным Бау-шингером. Вместе с тем, получено и большое число опытных результатов, демонстрирующих отсутствие каких-либо особенностей на ППТ (см., например, рис.3, М. Михно и В. Финдли, J. Eng. Mater.Technol. Trans. ASME, 1975).

тальных результатов. Действительно, ППТ может содержать (рис.1) при полной разгрузке или не содержать (рис.2) при частичной разгрузке внутри себя точку а — 0.

В настоящее время экспериментаторы продолжают исследования по изучению эволюции поверхности текучести. Однако противоречия в экспериментальной механике, возникающие на пути к решению этой проблемы, остаются неразрешёнными. Известньх исследования, стремящиеся к обобщению известных достижений [В. Филлипс, Д. Венг, К.Икегами и др.], фактически ограничиваются лишь обзорами результатов различных авторов.

Во втором параграфе рассматриваются вопросы применения уравнений поверхности текучести при построении определяющих соотношений теории пластичности. Указывается, что известные законы изотропного (Р. Хилл, 1950; П. Ходж, 1955) и трансляционного (А. Ялтинский, 1954; В. Прагер, 1956) упрочнений получили развитие в исследованиях Ю. Кадашевича и В. Новожилова (1958), где уравнение 11Ш в векторном пространстве девиаторов напряжений (s) было предложено в виде

(s — г) • (s — г) — Я2 = 0, (1)

где г — тензор остаточных микронапряжений, R — скалярная функция. В соответствии с (1), ППТ - гиперсфера в процессе неупругого деформирования может перемещаться и изменять свой радиус, но, очевидно, не искажать геометрическую форму.

Впервые модель упрочнения, описывающая как формоизменение, так и поворот последовательной поверхности текучести обсуждалась в работе А. Балтова и А. Савчука (Acta Mech., 1965). В качестве математической модели предлагалось использовать алгебраическое уравнение второго порядка - гиперэллипсоида:

N-{s-rXs-r)-1 = 0, (2)

где N = {Wyw}- тензор четвёртого ранга, Nur- зависящие от пластической деформации е = {ец} функции,

г = се. (3)

При этом предлагалось тензор N представить в виде следующей суммы

N = I + A, (4)

где / = [lijki] - изотропный тензор

hjkl = J (SikSJl + SllSjk ~ J Si)Skl), (5)

8у - дельта Кронеккера, A = {Лум} - тензор анизотропии,

Aijki = а гцгкй (6)

впоследствии (Д. Наулхас и др., Int. J. Plast., 1985) предложили другой вариант представления тензора (6):

Ацы = sign(£tj£kl) a [exp(b|eiyEw|) -1], (7)

a,b,c— материальные константы, г - компоненты тензора г.

Следует заметить, что уравнение (2) может моделировать формоизменение и поворот ППТ. Однако управление указанными свойствами, введёнными в (3>—(7) материальными константами, выглядит проблематично, что затрудняет возможность полноценного использования уравнения (2) и не оправдывает вычислительных трудностей от применения достаточно сложной модели (2) - (7) в практических расчётах.

Более простая модель пластичности с материальными константами, непосредственно влияющими на эволюцию ППТ, была построена на базе гиперэллипсоида вращения

(А. Супрун, Всесоюз. межвуз. сб., Горький, 1982, Intern. J. Plast, 2006):

(¿-¿)[(*-r)-y]2+i(s-r) • (s-г)-1 = 0, (8)

где у = r/M, (9)

г = (1 - a)Le, (10)

а,1— материальные константы, а - главная полуось гиперэллипсоида, совпадающая с осью вращения; Ъ — поперечная полуось, параметры а и Ь зависят от истории неупругого деформирования.

Однако в связи с тем, что математические уравнения, используемые для описания ППТ в определяющих соотношениях теории течения, не позволяют учитывать обнаруживаемые в экспериментах особенности эволюции поверхностей текучести, предпринимаются исследования, направленные на построение теорий пластичности без поверхностей текучести. Это, прежде всего, относится к научным разработкам школы А. Ильюшина (в работах Р. Васина, В. Зубчанинова и др.). Так, ограничиваясь определённым классом программ нагружения - двузвенными или трёхзвенными траекториями деформирования, были обнаружены и получили математическое описание наблюдаемые непосредственно за точкой излома траектории следующие эффекты: «нырок» (уменьшение интенсивности напряжений) и «запаздывание векторных свойств» (несоосность девиаторов скоростей деформаций девиатору напряжений).

Другим направлением развития теории пластичности, не использующим понятия поверхности текучести, является эндохронная теория, впервые предложения в 1971г. К. Валанисом. Большой вклад в развитие эвдохрояной теории пластичности внесли отечественные учёные (Ю. Кадашевич, А. Михайлов, С. Помыткин и др.) Однако в более поздних своих работах К. Валанис допускал применение ППТ, что и нашло развитие в исследованиях ряда авторов.

Вместе с тем сферический вариант теории течения с комбинированным упрочнением получил успешное развитие на нелинейные и неизотермические процессы и широко применяется при решении прикладных задач прежде всего, учениками школы А. Угодчи-кова (Ю. Коротких, В. Баженов, С. Капустин и др.). Сферический вариант используется также в двух- и многоповерхностных теориях пластичности.

Однако для дальнейшего развития теории течения, опирающейся на концепцию существования поверхности текучести, требуется установить прежде всего причины противоречивости опытных данных об эволюционных свойствах ППТ, разработать методику опытного изучения эволюции поверхности текучести, данные о которой отвечали бы фактическому состоянию среды в процессе неупругого деформирования.

Во второй главе анализируются факторы, влияющие на разброс и противоречивость экспериментальных сведений об эволюционных свойствах поверхностей текучести. Указывается, что существенный разброс и противоречивость опытных данных преследует экспериментальную механику уже несколько столетий. Попытки объяснить это обстоятельство долгое время сводились к убеждению, сформулированному в книге Дж. Белла «Экспериментальные основы механики деформируемых твёрдых тел», ч.1, 1984: «Обилие различающихся результатов сильно повлияло на общее отношение к предмету, породив широко распространённое предубеждение, будто бы результаты эксперимента с твердыми телами существенно зависят от индивидуальных особенностей каждого образца». При этом в той же книге отмечалось, что «...время и независимо мыслящие экспериментаторы продемонстрировали, что точность и порядок в экспериментальных методах механики твёрдого тела всё же существуют». Отмечается, что, как следует из приведённых в главе 1

опытных данных, в настоящее время оптимистический вывод Белла к экспериментальным исследованиям эволюции поверхности текучести относить преждевременно.

В первом параграфе указываются основные виды противоречий экспериментальных результатов по изучению ППТ, а также обсуждается влияние на разброс опытных данных индивидуальных особенностей образцов и технологии выполнения экспериментов. При этом для выявления причин возникновения принципиальных различий в результатах опытного изучения эволюции поверхности текучести все противоречивые данные разделяются на два основных вида.

К первому виду относятся экспериментальные результаты, имеющие качественные различия по геометрии ППТ. Это наличие или отсутствие острия (конической точки), вогнутости или приплюснутости ППТ. Ко второму виду противоречий отнесены различия положения ППТ в пространстве напряжений (или девиаторов напряжений) относительно точки 0=0 (содержит или не содержит внутри себя ППТ начало координат).

В первом пункте параграфа рассматриваются различия по геометрической форме ППТ. Среди множества известных опытных данных по изучению эволюции ППТ в диссертационной работе выбраны результаты с наиболее контрастными различиями и, в то же время, с высокой степенью идентичности условий выполнения опытов и используемых образцов. В качестве таких данных рассматривались результаты опытов Н. Гупта и X. Лауэрта (рис.1), М. Михно и В. Финдли [1975] (рис.4), полученные после растяжения образцов из малоуглеродистой стали при комнатной температуре.

Действительно, по химическому составу (табл. 2.1), образцам (табл.2.2) и программе деформирования (табл. 2.3) показатели оказались настолько близкими, что авторы экспериментов при эксклюзивном обсуждении своих результатов, состоявшемся после опубликования статей, пришли к общему заключению, что эксперименты были выполнены по всем параметрам достаточно идентично, за исключением самих опытных результатов, т.к. в отличие от рис. 1 ППТ в опытах М. Михно - В. Финдли совершенно гладкая (рис. 4).

Впоследствии В. Финдли и М. Михно в работе [ZAMM, 1987] попытались объяснить причины возникновения острия и вогнутостей на ППТ (рис.1) более грубым допус-

Экспериментаторы Материал Химический состав стали в %

С Si Мп Р S

Михно - Финдли Малоуглеродистая сталь 0,15 0,12 0,49 0,010 0,28

Гупта-Лауэрт Малоуглеродистая сталь 0,12-0,18 0,16-0,35 0,30-0,80 0,035max 0,035 max

Экспериментаторы Параметры образцов в мм Отжиг

Диаметр внешний Диаметр внутр. Рабочая длина Температура Время отжига Среда отжига Охлаж дение

Михно - Финдли 25,4 22,4 102 890° С 1 час Вакуум В печи

Гуша - Лауэрт 26 20 150 900° С 1 час Азот В печи

Табл. 2.3. Программа деформирования

Экспериментаторы Начальное нагружение s Точка нагружения вкл. в ППТ Определение границы текучести Величина допуска

Михно - Финдли Растяжение 2,5% Нет После полной разгрузки и выдержки По допуску на пласт, деформац. ю-5

Гупта - Лауэрт Растяжение 10% Нет Тоже Тоже 10"*

Следует заметать, что с этим выводом действительно нельзя согласиться. Во-первых, как следует из программы зондирования, выполняемой в опытах Н. Гупта - X. .Лауэрта, после определения точки с нечётным номером тут же следовало зондирование строго в противоположном направлении, что в значительной мере компенсировало общее влияние зондирования на результат. Во-вторых, допуск в е = 10"4 всё же на 3 порядка меньше первичного нагружения образца и поэтому весьма сомнительно, что такие локальные воздействия могли привести к фатальным качественным искажениям границы текучести. В-третьих, и это самое главное, как следует из опытов Н. Гупта и X. Лауэрта увеличение допуска приводит не к возникновению особенностей ППТ, а наоборот - к сглаживанию кривой текучести.

В связи с этим можно утверждать, что в основе противоречий геометрической формы ППТ лежат не случайные, не связанные с особенностями образцов, а некоторые систематические различия в условиях выполнения экспериментов.

Во втором пункте первого параграфа рассматриваются различия по положению ППТ в пространстве напряжений. Известно, что граница текучести, определяемая после полной разгрузки, включает внутри себя точку a = 0. В то же время в экспериментах при достаточно больших величинах первичного деформирования и частичной разгрузке ППТ перемещается в направлении нагружения и теряет точку a = 0.

Для изучения этого эффекта в диссертации рассматриваются результаты опытов Е. Ширатори и др. [Preprint of Japan Soc. Mech. Engrs., 1975]. Авторы экспериментов выполняли в одной серии опытов испытания на растяжение двух образцов при одних и тех же значениях первичного деформирования: е= 2%, 6%, 12%, 20% и 30%. После каждой ступени зондировались точки границы текучести на плоскости a¡a¡. Для одного образца границы текучести определялись после полной (рис. 5) разгрузки. А для другого - после частичной (рис. 6) разгрузки. Очевидно, что при этом авторы стремились соблюдать идентичные условия выполнения экспериментов. Вместе с тем были получены типичные каче-

егвенные различия результатов: при полной разгрузке все ППТ охватывают начало координат (т. О), при частичной - т.О находится вне границ текучести.

« в, -/

проямритвлыюго деформирования • 0% • 2% ' 6% - 12% « 20% • 30%

Рис.5

Рис. б

Указанная особенность эволюции ППТ до сих пор не нашла объяснения. Это, в частности, откровенно указывается и в ряде опубликованных работ (см., например, X. Иши-кава, tot J. of Plast.,1997). В диссертации показано, что указанная особенность эволюции вступает в противоречие с устоявшимися представлениями о ППТ. Очевидно, что для успешного развития теории ассоциированного течения необходимо прежде всего найти способы устранения рассмотренных выше видов противоречий.

Во втором параграфе рассматривается проблема разброса и противоречивости опытных данных с позиций теории реономной пластичности. Для объяснения противоречивых данных предлагается учитывать эффект релаксации деформационного упрочнения.

В первом пункте второго параграфа даётся описание эффекта релзксации деформационного упрочнения. Известно, что неупругое деформирование металлов сопровождается развивающимися во временя внутриструктурными изменениями, проявляющимися при постоянной нагрузке в виде ползучести, а при разгрузке - в виде частичного снятия деформационного упрочнения - эффекта релаксации остаточных микронапряжений (Ю. Кадашевич и В. Новожилов, 1958) или, в другой терминологии, эффекта возврата механических (пластических) свойств (Ю. Кадашевич и В. Новожилов, 1977; В. Лихачёв и В.Владимиров, 1965). Высказывались предположения (И, Бережной, Д. Ивлев, 1965; А. Супрун, 1979), что эффект релаксации остаточных микронапряжений является причиной обнаружения заострения на ППТ в точке яагружения. В связи с этим экспериментаторы границу текучести в направлении нагружения стали определять только после некоторого «отдыха» образца после полного или частичного снятия нагрузки. В дальнейшем было указано (А. Супрун, 1985), что и локальный предел текучести в направлении, противоположном направлению первичного нагружения, также претерпевает частичный возврат к своему первоначальному положению, что и является причиной вогнутости на ППТ.

В разделе, в результате анализа известных опытных данных, показано, что протекающие во времени внутриструктурные процессы, сопровождающие неупругое деформирование металлов, оказывают влияние не только на положения прямой и обратной точек границы текучести, но и на эволюцию всей ППТ. Этот процесс назван эффектом релаксации деформационного упрочнения. Указано, что для описания процессов эволюции во времени ППТ была разработана теория реономной пластичности (А. Супрун, 1976, 1977),

использующая для моделирования переходных процессов интегральные операторы наследственного типа (А. Ильюшин, Б. Победря, 1970).

Во втором пункте параграфа рассматриваются различия по форме и положению ППТ с позиций теории реономной пластичности. На основе анализа известных опытных данных делается вывод о том, что в связи с эволюцией во времени ППТ опытные результаты существенно зависят от выбранной экспериментатором последовательности получения точек границы текучести. Так, например, если бы в опытах М. Михно и В. Финдли (рис.4) определялась обратная точка границы текучести после растяжения только один раз, то, не учитывая повторный замер (точку 22), результат эксперимента был бы представлен с вогнутостью тыльной части кривой (рис. 7).

1в ^ Х-—"тТ""1* ^^ I, V, 1 0 ^__20 3 10^, .. .Ммчл' ],

24 /20 >11 -Ц ■• 4 4 1 12 1С Ш 1«у 2«

1 -4 18

23 V 4 ^—п

___■**■*"«

Аналогично, если бы М. Михно и В. Финдли (1975) ограничились только первыми 12-ю точками в эксперименте, то результат, полученный на образце № 23 из малоуглеродистой стали после кручения, имел бы заостренную точку и приплюснутость тыльной части границы (рис. 8).

Рис.8

Показано, что принципиально, с позиций теории реономной пластичности, можно объяснить и различия положений поверхностей текучести при полной и частичной разгрузке.

На основании анализа известных опытных данных об эволюции ППТ делается вывод о том, что принимаемые экспериментаторами меры, направленные на снижение влияния переходных процессов на результаты опытного изучения ППТ, недостаточно эффективны. В связи с этим эффект релаксации деформационного упрочнения продолжает оказывать существенное влияние на результаты опытных исследований, снижая их практическую ценность.

Для выхода из сложившейся ситуации предлагается учитывать влияние при выполнении экспериментов указанного эффекта с позиций теории реономной пластичности, т.е. рассматривать проявление переходных процессов в металлах как эволюцию во времени ППТ, а это потребует применения математического и компьютерного моделирования.

В третьей главе рассматриваются общие проблемы математического и компьютерного моделирования процесса релаксации деформационного упрочнения при экспериментальном изучении свойств последовательной поверхности текучести.

Первый параграф посвящён математическому моделированию переходных процессов и рекомендуемой методике выполнения базового эксперимента.

В первом пункте первого параграфа вводится математическая модель движения 11111 в период времени выполнения эксперимента. Принимается для определённости, что изучение свойств ППТ осуществляется в экспериментах от на растяжение при ¿(t) £ О, где t - время, е(£)-неупругая деформация растяжения. Известно, что указанный вид испытаний является самым распространённым в экспериментальной механике. Предполагается, что ППТ в пространстве напряжений имеет форму гиперэллипсоида вращения вокруг оси а. При этом на плоскости от будем иметь (рис. 9) начальную поверхность текучести S0 при / = 0 с параметрами ао, Ьо, го и ППТ S при / > 0 с текущими параметрами а, Ъ, г.

Для параметров а, b, г вводится наследственный характер зависимости от s(t) с применением интегралов Стшпъеса:

а = аа + Ш +1 La(f - T)d(pa[e(x)l (И)

b = b0+ Ш + f Lb(t - T)d<pb[e(f)], (12)

о t

r = r0 + Ш + f Lr(t - T)d<pr[£(T)], (13)

где /„(£)> <P¿...(0 — материальные функции,

/..(О = <P... СО = 0 при /<0. (14)

В дальнейшем для математической модели эволюции ППТ (11) - (14) принято обо-

ции поверхности текучести, достаточно хорошее приближение может быть получено при материальных функциях следующего вида:

¿«(0= L„(t)=Lr(t) = e-rm, (15)

fa(e) = dïe + dfe3, <ра(е) = ф + с?£3, (16)

¿(£) = d?£ + df£3, <рь(е) = с?е + с%е3, (17)

<pr(e) = с[£ + Cj£3

(18)

где у, с- — константы материала.

Большинство экспериментов по изучению эволюции поверхности текучести строятся последовательным чередованием активного нагружения с частичной или полной разгрузкой (рис. 10). В процессе частичного или полного «отдыха» образец выдерживается в течение некоторого времени, необходимого для снижения влияния на приборы ползучести и для зондирования точек границы поверхности текучести. При этом на каждой ступени реализуется следующий идеализированный закон неупругого деформирования:

= + («* - 4-г) 1-СС - ф на £ 6 (£1, £], (19)

где 1_(С- ф = 0 при t<ti и 1_(1-ф=1 при ' е

Рис.10

Учитывая (19), из (11) - (13) получим на ступени [t£ , tk+1), к = 1,2,... следующие выражения для параметров 11111, имеющей форму гиперэллипсоида вращения при £о = 0:

а = а0 + fa(e'k) + £ ¿а(£ -1') [#>а(£;) - ^(e'-i)], к

¡=i к

г = г0 + /г(4) + V Lr(t -1?) [i?r(e(') - <Pr(.£'i-i)l

1=1

(20) (21) (22)

Во втором пункте первого параграфа даётся описание предлагаемой методики выполнения базового эксперимента, позволяющего учитывать проявление эффекта релаксации деформационного упрочнения. При этом на плоскости от к-ая точка границы текучести (Рк) будет характеризоваться тремя параметрами: Рк — (ак, тк, tk~).

Как показал анализ известных данных по опытному изучению эволюции поверхности текучести на одном образце, проявление эффекта релаксации деформационного упрочнения наиболее чётко обнаруживается при повторном зондировании локальных пределов текучести в одном и том же направления. В связи с этим рекомендуется следующая общая схема выполнения базового эксперимента:

1) исследование разбивается на л однотипных циклов (с1( с2,..., с(,..., С„);

2) каждый цикл q выполняется по одной и той же программе зондирования с фиксированием моментов времени получения зондируемых точек локальных границ текучести;

3) количество т зондируемых точек на каждом цикле определяется необходимостью выявить границы ППТ в прямом (относительно первичного нагружения), обратном и поперечном направлениях;

4) число л циклов зондирования должно определяться пренебрежимо малыми изменениями положений локальных границ текучести л-го цикла относительно л-/ - го:

~ ta-ij.Tn-ij.tn-ij)!!2 5- С23)

где S > 0 - выбранный порог проявления эффекта РДУ между циклами,

II- II = (К,/ ~ о-п-1./)2 + 3(4/ - T„_w)2)t. (24)

При многоступенчатой программе деформирования программу зондирования на каждой ступени рекомендуется выполнять по одной и той же схеме.

Для того, чтобы сделать общее заключение о факте проявления в эксперименте эффекта релаксации деформационного упрочнения, предлагается воспользоваться следующей оценкой. Пусть

Д, = шах Mj.t'j, tlj ) - «у,т< j(tij)||, (25)

где I е {1,2,..., к} — номер текущей ступени деформирования, ] -номер точки границы текучести. Пусть далее

Тогда при

&.<6„ (27)

где 5, — выбранная чувствительность на эффект релаксации деформационного упрочнения, будем считать, что этот эффект оказывает пренебрежимо малое влияние на исследуемый процесс. Заметим, что в соответствии с требованием к программе зондирования на цикле, минимальное число точек границы текучести будет т = 4. При этом на первом цикле за первую точку следует принять точку нагружения а', определённую в момент времени t* завершения нагружения: (о^д.Тц.^д) = (а*, 0, t*).

Далее следует выполнить обратное зондирование (<т12,0, tx3) и два поперечных: (ffi3< т1,з> Чз) и 0*1,4' Ti.4> fi,4) • При этом рекомендуется принять

о-1,з = tr1>4 = Ki + (28)

Последовательность зондирования для i - го цикла при i 2 2 следует сохранить, определяя <г( д зондированием в прямом направлении. При этом будем принимать

*13 = = = ;(в!д + а1,г)- (29)

При указанной схеме базовый эксперимент охватывает период интенсивной ползучести и, в частности, точку нагружения а*. Этим самым ликвидируется имеющий место в традиционных опытах с ППТ разрыв между процессом нагружения материала и временем окончательного построения поверхности текучести. А это, в частности, позволяет существенно расширить представление о процессах, связанных с открытым в XIX веке эффектом Баушингера.

Заметим, что предусмотренное зондирование ППТ на первом и последующем циклах определяет фактическое положение границы текучести относительно Т.О. При этом ППТ может располагаться в первом и четвёртом квадрантах и во всех четырёх квадрантах.

Второй параграф посвящён проблемам построения компьютерной программы обработки экспериментальных данных, полученных в базовом эксперименте. Отмечается, что включение временного фактора в базовом эксперименте требует перехода на более высокий уровень сложности не только при выполнении экспериментов, но и при обработке опытных данных, а также и при практическом использовании полученных результатов.

В первом пункте второго параграфа приводится описание алгоритма компьютерной программы (обозначена П?), позволяющей определять параметры материальных констант (множество Ро) функций (15) - (18). Алгоритм предусматривает возможность обработки результатов испытаний нескольких образцов из одного и того же материала, каждый из которых может подвергаться индивидуальной программе ступенчатого деформирования.

Предварительно с помощью оценок (26), (27) делается вывод о целесообразности учёта эффекта релаксации деформационного упрочнения. При положительном результате вычисляется начальное приближение констант Ро, удовлетворяющее необходимому условию сходимости итерационного процесса (31). Определение констант Ро с заданной точностью реализуется методом Хука - Дживса. При этом в качестве целевой функции используется сумма квадратов отклонений теоретических точек, лежащих на движущейся поверхности текучести, от экспериментальных, вычисленная по всем образцам всех этапов нагружения и всем циклам зондирования: к ш(0 п(М)!.((,!,л

Д = ХХ X 2 -+ -°1.ш)2]. (30)

Ы1 1=1 /=1 1

где к — количество образцов, т(0 —число этапов нагружения /-го образца, п(1,1) — число циклов зондирования точек /-го образца на I-ом этапе зондирования, £((, (,/) —количество точек зондирования 1-го образца на ¿-ом этапе и на /-ом цикле, Л — номер точки в у-ом цикле, и а^ — теоретические и экспериментальные точки на плоскости Ильюшина.

Каждая теоретическая точка находится как пересечение луча, выходящего из некоторой внутренней для эллипса Эл (¿¡.уд) точки О' и проходящем через экспериментальную точку , <Гз ) с эллипсом Эл — положением теоретической границы текучести в момент Ьщл определения экспериментальной точки. Выбор точки О'будет существенно влиять на сходимость итерационного процесса вычисления констант модели.

Во втором пункте второго параграфа исследуется проблема сходимости итерационного процесса при реализации метода Хука - Дживса. Численное изучение причин «зависания» компьютерной программы позволило установить, что одной из главных причин отсутствия сходимости является некорректное определение положений теоретических точек (о£_, аз_.) на каждой движущейся в процессе итераций поверхности текучести. При этом было установлено особое влияние на сходимость итерационного процесса положения центра О'

Указывается, что наиболее естественным было бы принять за полюс О' точку из которой в эксперименте производилось зондирование границ кривой текучести. Однако показано, что это приводит к «зависанию» программы, тле. при итерационном поиске теоретической ППТ первые приближения положения кривой Эл могут был. в недопустимо большом удалении от экспериментальных точек кривой текучести. В связи с этим пред-

ложено положение полюса О' совмещать с центром итерационной границы текучести Эл. При этом должны выполняться следующие условия:

П = r(tu) < oï(tu) и r2 = r(tu) > ffl(tu), (31)

т.е. r(t) e (ffi(tu), ffi(iu)) при te[tiil(tii2],

где г(^д), r(t¡,2) определяют положения центра Эл на оси ах в моменты времени t<д, t¡ 2 получения экспериментальных точек o'1(t¡1),0'1(t¡i2)-

Как показала практика вычислений на тестовых примерах, при выполнении условия (31) процесс поиска констант модели релаксации деформационного упрочнения сходится для всех физически непротиворечивых экспериментальных данных.

Третий пункт второго параграфа посвящён проблеме определения начального приближения констант математической модели М*. Рассматривается пример определения констант di, di, cf, cj" материальных функций fr(e). <pr(£) (18). При этом первоначально для каждого /-го этапа многоступенчатого деформирования определяются промежуточные константы й{, Y1 закона

rl(t) = RÎ + RÏe-r'V-4\ (32)

приближённо определяющего движение центра первого приближения ППТ, где t¡ - время начала /-го этапа. Принимается, что

Я' =Kn,i + <7w)/2, (33)

й! = (0i,u+<а«)/2- (34)

где ffi.1,1, а1Л 2 — значения полученные на первом цикле /-го этапа соответственно, в прямом и обратном направлениях; trl n l, ffl n 2 - то же на последнем цикле.

Формулы (33), (34) получены из допущения, что на последнем цикле изменение r'(t) пренебрежимо мало. Используя аналогичные допущения, определяются и другие промежуточные константы, по которым находятся значения функций материала первого приближения. Константы указанных функций определяются из решений систем уравнений.

В четвёртом пункте третьего параграфа приводится описание полнофункционального исследовательского прототипа компьютерной программы, предусматривающей автоматизированную обработку экспериментальных данных с выводом материальных констант функций (15X18) и графической информации о движения ППТ во времени. Приводятся экранные формы пре- и постпроцессора.

Четвёртая глава посвящена исследованию причин противоречий в известных экспериментах по изучению эволюции ППТ инструментальными средствами компьютерного моделирования эффекта релаксации деформационного упрочнения. Отмечается, что выполненный во второй главе анализ показал, что эффект релаксации деформационного упрочнения действительно оказывает влияние на опытное изучение ППТ. Однако остаётся открытым вопрос о достаточности использования математических средств описании эффекта релаксации дня устранения противоречий в экспериментальных результатах.

Для однозначного ответа на этот вопрос следует перейти на более высокий уровень выполнения экспериментальных исследований. Л именно, отказаться от любых мер, направленных на уменьшение влияния ползучести и при зондировании границ текучести вести протокол развивающегося во времени процесса внедрения в пластику. Однако в свя-

зи с тем, что для выполнения экспериментальных исследований указанного уровня требуется разработка специальных аппаратно - программных средств, можно пойти по другому пути: свести к разумному минимуму допуск на пластическую деформацию, выполнять каждое зондирование в пластику за пренебрежимо короткий интервал времени в сравнении с максимальными временными затратами на зондирование одной точки в эксперименте, протоколировать моменты времени получения локальных границ текучести. Кроме того, в связи с отсутствием в научной литературе опытных данных требуемого уровня, можно использовать результаты, полученные t традиционными методами в известных опытных исследованиях эволюции ППТ, не содержащих сведений о временных факторах зондирования. Это обстоятельство вынуждает производить численные эксперименты с неполной исходной информацией.

В первом параграфе формулируется задача моделирования эволюции ППТ по неполным экспериментальным данным. Задача ограничивается рассмотрением экспериментов вида, указанного на рис.10. При этом считаются известными величинами моменты времени tj, t|,..., tj,... начала этапа каждой ступени нагружения и пластические деформации ..., приобретённые на каждой ступени. Относительно данных об экспериментальных точках ППТ, полученных на каждой к-ой ступени в опытах от, рассматриваются два случая: (1) известны координаты (a*, rf ) точек, где ¿=1,2,...- указанный экспериментатором номер точки, соответствующий порядку её получения; (2) известны только координаты точек, а порядок и, очевидно, время их получения неизвестны.

Первоначально предполагается, что если на каждом к-ом этапе деформирования образца в процессе зондирования будет наблюдаться эффект релаксация деформационного упрочнения, то он может проявляться как движение эллипса

( ff-rk)2 х2

Чг^ьГ1' (35)

где

a(t) = Ai+A* e"y*(t-t*), (36)

b(t) = SÎ + B2k e-A'-tî), (37)

r(t) = Й* + R% е'Ук^\ (38)

A*, A*, B*, 5*. RuRi> Ук ~константы к-го этапа.

Полагается, что построена гипотетическая модель М. эффекта релаксации деформационного упрочнения материала по M образцам ступенчатых испытаний, если получены константы материала модели (11) - (13) из условия

min Л-»£, (39)

где а - диапазон времени, затраченного на зондирование экспериментальных точек с данными о последовательности их получения (первый случай опытных данных) или без указания последовательности получения (второй случай); Е - множество констант, входящих в функции (15) - (18);

А — сумма квадратичных отклонений теоретических от экспериментальных точек на всём точечном множестве экспериментальных данных,

M ff(rr.) I(m,k) !

A=2Z Z [«*.< - <«)2 + 3 - f. (40)

m=l *=1 ¡=1

где М- количество подвергнутых испытанию образцов материала, К(т)- число ступеней деформирования то-то образца; 1(т, /^-количество полученных при испытании точек ППТ т-то образца к-ой ступени деформирования; т^ц - эксперименталыше данные /ой точки к -ого этапа пню образца; ( - теоретические данные, соответствующие тем же экспериментальным точкам.

Во втором параграфе даётся описание основных принципов разработки компьютерной программы П. определения констант М, и моделирования ППТ при неполных исходных данных. Алгоритм программы П, ориентирован на обработку результатов испытаний нескольких образцов, причём программа деформирования каждого образца должна удовлетворять следующим условиям: (1) многоступенчатое активное нагружение соответствует схеме на рис.10 при зондировании границы текучести из упругой зоны; (2) первая точка границы (£ = £?) на каждой к-ой ступени является или точкой нагружения (£* = или результатом повторного нагружения; (3) втора« точка (£ = £*> £*) получена при зондировании ППТ в обратном направлении; (4) последующие экспериментальные точки располагаются в I и/или II и Ш и/или IV квадрантах плоскости от; (5) на каждой ступени деформирования имеется по крайней мере одна точка, определённая в интервале (0.9<т*, 1.1(7*), а' = (аг + сг2)/2. Совокупность условий (1) - (5) названа схемой 5 Предполагается также, что деформируемая среда начально изотропна, а ППТ симметрична относительно оси нагружения.

В качестве ядра П. принята программа П?. Для построения П. прежде всего возникает проблема - вычисление начального приближения материальных констант модели М. по данным опытов, не предусматривающих циклическое зондирование границ текучести на каждой ступени, как это рекомендуется в базовом эксперименте.

В первом, втором н третьем пунктах второго параграфа приводится подробное изложение методики определения первого приближения материальных констант модели М„ обеспечивающих сходимость.

Четвертый пункт второго параграфа посаящён проблеме построения программного модуля, расширяющего П? до уровня программы П.. Указанный модуль имеет дье параллельные ветви. Первая ветвь обрабатывает экспериментальные данные, содержащие сведения о последовательности найденных локальных границ текучести без указания времени их получения. В этом случае задаётся общая продолжительность Т выполнения экспериментов в некоторых условных безразмерных единицах (у.е.) времени и реализуется перебор вариантов размещения моментов времени зондирования точек на Т, выполняемый с заданным фиксированным шагом. Если выбранный вариант 7} (/-номер варианта) удовлетворяет указанному выше условию разбивки на два подмножества, то производится вычисление функционала Д^ (40) модулем программы П| методом Хука-Дживса. По минимуму Ду выбирается оптимальная временная программа 7}*, которая вместе с соответствующими 7}- константами модели М. передаётся в П ? для дальнейшей обработки.

Во втором случае поиску Ту предшествует выбор вариантов последовательности получения точек с последующим отбором тех из них, которые удовлетворяют указанной выше схеме 5.

Третий параграф четвёртой главы посвящён исследованию проблемы достаточности применения предложенных математических средств учёта эффекта релаксации деформационного упрочнения для моделирования наблюдаемых в экспериментальных результатах противоречий.

В первом пупкте первого параграфа рассматривается проблема противоречий геометрической формы ПГГГ. Для этой цели, прежде всего, анализируются эксперименты Н. Гупта и X. Лауэрта (рис.1), удовлетворяющие условию выполнения опытов по схеме в.

В результате работы программы П. было установлено, что достаточную точность описания поверхности текучести с остриём и вогнутостью можно получить при движении ППТ в виде эллипса, если описывать проявление эффекта релаксации деформационного упрочнения моделью (11)-(18) при =2977.373, с*? =1894.996, =827.5532, с? = -53.16091, с} = 464.8056, с{ = 1011.184 (п/мм2), у = 0.25466340 у.е:1 при затратах времени на каждую зондируемую точку = 1 у.е.

г я/м1

Рис.11

На рис. 11 приведены экспериментальные (♦) и теоретические ( х ) локальные границы текучести, полученные программой П..

Более «стёртые» особенности геометрической формы ППТ наблюдались в ряде опытных исследований последних лет. На рис. 12 приведены результаты описания программой П. экспериментов А. Кхана н др. (Int. J. Plast., 2009), полученных при частичной разгрузке (приведены в гл.1 на рис.2) при следующих значениях констант модели М.: d? = -1612.151, df =-682.482, d[ =459.4235, с? = -7800.223, = -9998.295, с[ = 4440.533, d? =252971.8, df =19435.36, dr2 =0.21325, с? = 49261.18, с| = -139836.1, cj = -19233.06 (н/лт2), у = 0.9356887 у.е:'.

ш г% л4% фш •метрмиитсльмы*точим В 2% ¿4% ♦ 1% ощишшш«точки

Ч "Ч.

I \ 1

4 » t +

\ >

U'V^

,-с.

о„ (МРэ)

Рис. 12

Некоторые теоретические точки на рис. 12 практически полностью совпали с экспериментальными. Результаты аппроксимации свидетельствуют о том, что проявление эффекта релаксации деформационного упрочнения действительно может быть основной причиной проявления геометрических особенностей в экспериментах с ППТ.

Во втором пункте параграфа на примере опытов Е. Ширатори и др. (рис. 5 и 6) рассматривается проблема противоречий положения ППТ. Указанные эксперименты при данных в пространстве Ильюшина были проанализированы программой П. на предмет влияния на опытные результаты эффекта релаксации деформационного упрочнения.

В связи с тем, что в данных не указаны последовательности получения точек ППТ, исследования производились путём минимизации функционала квадратичных отклонений в виде двойного цикла: перебор вариантов последовательности (внешний цикл) и времени (внутренний цикл) зондирования точек. Каждый пробный вариант схемы зондирования принимался неизменным для всех этапов нагружения и видов разгрузки.

Программа П. определяла материальные константы единой математической модели П, для двух видов испытаний. Один образец с полной разгрузкой (рис. 5), другой - с частичной разгрузкой (рис. б). В обоих видах испытаний рассматривались первые три ступени нагружения, т.к. на четвёртой и пятой ступенях не было достаточно экспериментальных точек для реализации принятой методики выполнения аппроксимации.

Следует заметить, что из (рис. 6) можно заключить, что при полной разгрузке точка нагружения внедряется в пластическую область, что приводит к перемещению ППТ в обратном направлении относительно первичного нагружения. В связи с этим закон развития г (на/-ой ступени) при многоступенчатых испытаниях при полной разгрузке рекомендуется записывать в виде

КО = г0 + /г(е,) + е-УуЛе+ «-**-«>[ <рт(е2) - <рг(Е1)] + ...

+ Мч) ~ <РгЬ-г)] ~ (41)

где Д1) - определялись из данных (рис.6) как расстояния от границы текучести до т. С.

Как следует из полученных результатов, указанных здесь в графической форме (рис. 13), единая модель П. даёт удовлетворительное качественное описание опытов Е. Ширатори и др. одновременно как при частичной, так и при полной раз1рузке образцов, что так же, как и в п.1 указывает на то, что эффект релаксации деформационного упрочнения может быть основной причиной противоречий в экспериментальной механике в виде положений ППТ в пространстве напряжений.

Следует заметить, что выполненный поиск схемы процесса зондирования точек ППТ выявил в экспериментах Е. Ширатори и др. наиболее вероятную причину принципиальных качественных различий результатов: интервал времени, отсчитываемый от завершения нагружения до начала зондирования при полной разгрузке значительно превышает указанный показатель при частичной разгрузке. Это связано, видимо, с тем, что при частичной разгрузке технически значительно сложнее обеспечить достаточно длительную выдержку образца для стабилизации внутренних переходных процессов после возмущения, вызванного неупругим деформированием. В пользу этого утверждения говорит тот факт, что поверхности текучести при частичной разгрузке (рис.13) имеют значительно большие отклонения от сферической формы, чем при полной разгрузке.

Полная разгрузка е=0,02 Частичная разгрузка

ШутЫ^ »

Ш 4 ц • ■

.1 в » ** м ч "

10 » 1 1 2 1 а, ¡и/мм1

* к .я • г ■М ■ мамам

♦ •и •и * «• •

•а

Полная разгрузка е=0,06 Частичная разгрузка

п очи/мм1 Я'

Ч » и м • . » 1 1» • и

10 • 1 <7, юЛш* 1 1

•» -1» -» 10 м И -» а а а «

V •ю • и * 2 а 7 • '.»

-10 7 я В' « « I

Полная разгрузка 6=0,12 Частичная разгрузка

ж 0]K»'«J«,

К а • «' а и

»■

10 ™Ч г/ям 1

к -и -и •ю •в' 11 N М V 4' ■и •а •а а я я • я 7'|, >

•И

Рис. 13

Пятая глава посвящена проблеме применения модели М, как базовой для идентификации определяющих соотношений пластичности. Указывается, что в настоящее время теория пластичности располагает широким ассортиментом определяющих соотношений, которые могут быть использованы для решения краевых задач. Выбор той или иной модели для практического использования зависит от ряда объективных и субъективных факторов. В любом случае возникает необходимость оснастить выбранную модель численными значениями материальных констант, зависящих от диапазона изменения напряжений и деформаций, продолжительности изучаемых процессов и допустимой погрешности моделирования деформируемой среды.

Эта операция требует выполнения трудоёмких и дорогостоящих базовых для выбранной модели экспериментов. А в случае перехода к другой феноменологической модели или к изменению масштаба изучения механических процессов может возникнуть необходимость и в выполнении дополнительных трудоёмких опытных исследований. В этом

случае процесс выбора и идентификации определяющих соотношений можно осуществить по следующей схеме: во-первых, выполнить базовый эксперимент и построить математическую модель М. в достаточно широком диапазоне изменения деформаций и времени с помощью указанных выше программных средств. А затем, используя М, в качестве базовой модели, идентифицировать выбранные определяющие соотношения пластичности. Эта трудоёмкая операция может быть автоматизирована.

В первом параграфе главы даётся описание предлагаемого алгоритма идентификации, реализованного в виде компьютерной программы. Полагается, что для некоторой деформируемой среды построена модель М,, которая используется в качестве базовой (Ма) для идентификации некоторых определяющих соотношений — феноменологической модели М,щ. Для определённости принимается, что Мщ - определяющие соотношения ассоциированной теории течения. Полагается, что т = /в (Я, 0 и а = /ид (Я, 0 - параметрические однозначные 20 представления в пространстве напряжений от границ Лв и текучести моделей Мв и М„д в момент времени /, где параметр Я однозначно определяет положение точек каждой из границ. Будем считать однозначно определённым расстояние

Л(Я, О = /йд(Я, Г) - /в (Я, О (42)

для всех г 6 [¿о. £.], где [¿а, £.] - временной диапазон идентификации. Расстояние между функциями Д, (Я, 0 и (Я, Г) определяется как интегральное квадратичное отклонение вида:

£. Л,

Р2(/*Д - /в) = / / (/йд(Я, 0 - /в (Я, 0)2£*Я (43)

где Я0, Я, - границы интервала [Я0,Я.] полного обхода /в и Д,. Алгоритм определения Свд множества констант Мад предлагается реализовать путём минимизации:

(44)

где Снд — множество численных значений Свд, удовлетворяющих условию минимума отклонения /йд от/д в смысле (43).

Рассмотрено несколько различных подходов для определения А(Я, 0 (42). В качестве базового варианта принят следующий. Пусть Хв(0 и — границы текучести, расположенные, для определённости, на плоскости Ильюшина в момент времени / в процессе растяжения образца (рис.14) и РВ(АД), РИД(Я, 0 - лежащие, соответственно, на £¿(0 и £ад(0 точки, положения которых определяются лучами, исходящими из центров О, и О ' и составляющими с осью <тх угол Я. Тогда для каждого Я в момент времени t расстояние Д(Я, 0 можно определить как

Л(Л, С) = ^«(Я, 0 - <г1(В(Я, О]2 + (озддСЯ, 0 - а^Л, О]', (45)

где <г1ид(Я, с), Оз>Ид(Я, Г) и <71Л(Я, 0. С) — координаты соответствующих точек.

Для идентификации определяющих соотношений по базовой модели была разработана специальная компьютерная программа П„д. в виде специального модуля х П,.

Во втором параграфе пятой главы иллюстрируется эффективность применения программы Л«, на примере идентификации математической модели реономной пластичности Мщ> (А. Супрун, 1979) при ППТ вида (8).

Вычисление функционала (43) при (45) реализуется численными методами. Для численного примера была выбрана модель М„ построенная по данным Е. Ширатори и др. Идентификация выполнялась по одной ступени неупругого деформирования. При этом были получены следующие значения констант Мкр:50 = 12,35, а = —0,1965, /? = 0,2417, р0 = 540,6965, рг = 887,5794, ф = 0,3692.

ГТ] нж/ш/

•

* *

в|М/ММ*

5 1а и 20 а м

Рис. 15

Результаты аппроксимации показали достаточно хорошее совпадение теоретических и экспериментальных точек границ ППТ (рис. 15). На рисунке указаны экспериментальные ) и теоретические (х) точки, принадлежащие движущейся во времени ППТ.

Основные результаты и выводы по диссертации

При выполнении диссертационной работы были получены следующие основные результаты исследования:

1. Поверхность текучести является одним из основополагающих понятий механики деформируемого твердого тела. Однако по мере обогащения экспериментальной механики новыми опытными данными об эволюции поверхности текучести, получаемыми со всё возрастающей точностью измерений, стали проступать необъяснимые противоречия в виде принципиальных качественных различий практических результатов, получаемых при казалось бы идентичных материалах, образцах и методиках испытаний. Тем самым образовался разрыв между теорией определяющих соотношений пластичности, опирающейся

на концепцию о существовании поверхности текучести, и экспериментальной механикой, не гарантирующей однозначного получения опытных данных для идентификации математических моделей пластичности.

2. Анализ известных опытных данных показал, что всё многообразие экспериментально полученных противоречивых результатов изучения эволюции поверхностей текучести сводится к двум основным качественным различиям: по геометрической форме поверхностей и по их положению относительно начала координат в пространстве напряжений.

3. Обе основные разновидности указанных противоречий имеют одну и ту же субъективную причину - проявление неконтролируемого экспериментаторами эффекта релаксации деформационного упрочнения (РДУ), т.е. эксперименты выполнялись по склерономной схеме. Это нашло подтверждение, в частности, при компьютерном моделировании наиболее контрастных из известных противоречивых опытных результатов.

4. Построена учитывающая эффект РДУ математическая модель М. эволюции поверхности текучести в 20 экспериментах на пропорциональное активное нагружение.

5. Разработана методика выполнения базового эксперимента и компьютерная программа для идентификации модели М,.

6. Разработана компьютерная программа, моделирующая эволюцию поверхности текучести в небазовых экспериментах при недостаточности исходной информации.

7. Разработан алгоритм и компьютерная программа, позволяющая использовать модель М, как базовую для идентификации параметров, выбираемых пользователем определяющих соотношений в зависимости от диапазона изменения деформаций, напряжений и времени неупругого деформирования металлов.

8. Применение разработанных в диссертационной работе математических и программных средств моделирования эволюции поверхности текучести, определяемой с высокой точностью зондирования локальных границ текучести, позволяет повысить достоверность описания неупругого деформирования металлов. В настоящее время это востребовано, прежде всего, в автомобилестроении, а также при расчётах на прочность деталей из металлов, чувствительных к накоплению пластических деформаций, например, в процессе различного вида циклических нагружений.

Выполненные диссертационные исследования позволяют сделать следующие общие выводы:

1. Для достижения прогресса в опытном изучении эволюции последовательной поверхности текучести назрела необходимость перехода от склерономной к реономной схеме выполнения экспериментов, ориентированной на изучение зависимостей механических показателей неупругого деформирования материала от времени.

2. Переход на реономную схему опытного изучения связан с необходимостью

- построения математической модели реономных процессов,

- решения проблемы идентификации построенной математической модели (разработка технологии базового эксперимента, построение компьютерной модели идентификации),

- разработки математических и программных средств для практического применения полученной в экспериментах опытной информации.

3. В диссертационной работе решены указанные в п. 2 проблемы, относящиеся к опытному изучению эволюции поверхности текучести.

Основные публикации по теме диссертации Статьи в рецензируемых научных журналах из списка ВАК

1. Супрун, А, Н. Единая математическая модель эволюции поверхности текучести при полной и частичной разгрузке / А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис // Проблемы прочности и пластичности / Нижегор. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского. - Н. Новгород, 2008. - Вып. 70. -С. 24-31.

2. Супрун, А. Н. Моделирование процесса эволюции поверхности текучести металлов / А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис // Приволжский научный журнал / Нижегор. гос. ар-хитектур.-строит. ун-т. - Н. Новгород, 2009. - № 2(10). - С. 7-13.

3. Вежелис, Т. М. Компьютерная модель процесса эволюции поверхности текучести / Т. М. Вежелис // Приволжский научный журнал / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. -Н. Новгород, 2009. -Xä 3(10). -С. 15-20.

Статьи в сборниках трудов и материалах научных конференций

4. Супрун, А. Н. Математическое моделирование эволюции последовательной поверхности текучести / А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис // Информационная среда вуза: материалы XIII Междунар. науч.-техн. конф. - Иваново, 2006. - С. 556-559.

5. Супрун, А. Н. Моделирование эволюции последовательной поверхности текучести металлов при больших деформациях пропорционального нагружения / А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис // Информационная среда вуза : материалы XIV Междунар. науч.-техн. конф. - Иваново, 2007. - С. 559-564.

6. Вежелис, Т. М. Алгоритм препроцессора автоматиз. системы обработки экспериментальных данных по исследованию границ текучести пластически деформированных металлов / Т. М. Вежелис // Сборник трудов аспирантов и магистрантов / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. -Н. Новгород, 2007. - С. 176-179.

7. Супрун, А. Н. Computer modeling of processes having on influence on subsequent yield surface position and shape upon partial and complete unloading of test specimen / A. H. Супрун, Т. M. Вежелис // Theoretical foundation of civil engineering : XVII Polish-Russian-Slovik seminar, Warszawa, Wroclaw, 02.06-06.06.2008. -Zilina, 2008. -P. 179-184.

8. Супрун, A. H. Алгоритм обработки экспериментальных данных при идентификации определяющих соотношений реономной пластичности / А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис // Информационная среда вуза : материалы XV Междунар. науч.-техн. конф., 27-28 нояб. 2008. - Иваново, 2008. - С. 766-772.

9. Вежелис, Т. М. Варианты уравнений движения последовательной поверхности текучести металлов после разгрузки / Т. М. Вежелис // Сборник трудов аспирантов и магистрантов / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. - Н. Новгород, 2008. - С. 158-162.

10. Вежелис, Т. М. Идентификация параметров определяющих соотношений теории реономной пластичности по данным экспериментов на многоступенчатое нагру-жение металлов / Т. М. Вежелис // Сборник трудов аспирантов и магистрантов / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. - Н. Новгород, 2009. - С. 195-200.

11. Супрун, А. Н. Универсальный подход к идентификации определяющих соотношений реономной пластичности / А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций : тез. докл. ХХШ Междунар. конф., 28 сент.-01 окг. 2009. - СПб., 2009. - С. 202-203.

Подписано в печать 24.11.2010. Формат 60x901/16. Печать трафаретная. Бумага газетная. Объём 1,4 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано в полиграфическом центре Нижегородского государственного архитектурно - строительного университета.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Вежелис, Татьяна Мечисловасовна

Условные обозначения.

Введение.

Глава 1. Поверхность текучести в теории пластичности.

§ 1 Поверхность текучести с позиций экспериментальной механики.

§2 Поверхность текучести в определяющих соотношениях теории пластичности.

Выводы по первой главе.

Глава 2. Анализ факторов, влияющих на разброс и противоречивость опытных данных об эволюционных свойствах поверхностей текучести.

§1 Основные виды противоречий опытных результатов. Влияние индивидуальных особенностей образцов и технологии выполнения экспериментов.

1. Результаты различаются по геометрической форме ППТ.

2. Результаты различаются по положению ППТ в пространстве напряжений.

§2. Разброс и противоречия опытных данных с позиций теории реономной пластичности.

1. Эффект релаксации деформационного упрочнения.

2. Различия по форме и положению ППТ с позиций теории реономной пластичности.

Выводы по второй главе.

Глава 3. Моделирование проявляющегося в экспериментах процесса релаксации деформационного упрочнения.

§1. Модель процесса релаксации деформационного упрочнения в экспериментах по изучению эволюции поверхности текучести.

1. Математическая модель процесса.

2. Базовые эксперименты для математической модели М*.

§2. Компьютерная программа обработки опытных данных при изучении эволюции поверхности текучести базовым экспериментом.

1. Алгоритм компьютерной программы П*.

2. К проблеме сходимости итерационного процесса.

3. Метод вычисления начального приближения констант математической модели РДУ.

4. Исследовательский прототип компьютерной модели.

Введение диссертация по механике, на тему "Математическое моделирование процесса релаксации деформационного упрочнения в экспериментах по изучению эволюции последовательной поверхности текучести металлов"

Поверхность текучести является одним из основополагающих понятий механики деформируемого твёрдого тела. Действительно, при многоосном процессе нагружения поверхность текучести используется при построении моделей упругопластического деформирования тел как граница, разделяющая в пространстве напряжений (или деформаций) область упругого деформирования от области неупругого (пластического) деформирования, а также в теории ассоциированного течения в качестве потенциала, определяющего процесс развития неупругих деформаций. Кроме того, следует заметить, что описание неупругого деформирования в виде эволюции поверхности текучести обладает большой наглядностью и информативностью относительно состояния деформируемой среды.

Указанные обстоятельства послужили причиной большого внимания к изучению свойств поверхностей текучести металлов и их сплавов со стороны теоретиков и экспериментаторов, сохраняющемуся до сих пор.

Диссертационная работа посвящена проблеме моделирования влияния релаксационных процессов, сопровождающих проявление эффекта Баушингера.

Актуальность темы исследования

За более чем полувековой период опытного изучения эволюции поверхности текучести накоплены многочисленные опытные данные об эффектах, сопровождающих процесс неупругого деформирования конструкционных материалов. В то же время, по мере обогащения экспериментальной механики новыми эмпирическими данными, получаемыми со всё возрастающей точностью измерений, всё отчётливее стали проступать необъяснимые противоречия в виде принципиальных качественных различий геометрических форм опытных последовательных поверхностей текучести при казалось бы идентичных образцах и методиках 6 испытаний. Тем самым образовался разрыв между теорией определяющих соотношений пластичности, опирающейся на концепцию о существовании поверхности текучести, и экспериментальной механикой, не гарантирующей однозначного получения опытных данных для идентификации математических моделей пластичности.

Начиная с 80-х годов прошлого века в научной литературе указывалось на существенное влияние фактора времени на эволюцию поверхности текучести в металлах при комнатной температуре. Среди гипотез, выдвигаемых для объяснения сложившейся в экспериментальной механике ситуации, наибольшего внимания заслуживает версия о том, что неконтролируемый в опытах эффект релаксации деформационного упрочнения (называется также эффектом возврата пластических свойств) может явиться причиной противоречий в результатах построения последовательных поверхностей текучести в экспериментах. Однако это предположение нуждается в обоснованном подтверждении достоверности и достаточности для устранения образовавшегося разрыва между теорией определяющих соотношений пластичности и экспериментальной механикой, изучающей эволюцию поверхности текучести.

Диссертационная работа, посвященная математическому моделированию процессов релаксации деформационного упрочнения и ориентирована на создание математического аппарата, предоставляющего возможность не только получить ответ на указанные выше вопросы, чо и решить ряд проблем, связанных с повышением достоверности математического моделирования неупруго деформируемых металлов. В связи с этим, можно утверждать о несомненной актуальности темы диссертации.

Цели исследований

Указанные выше проблемы и предмет исследований позволяют сформулировать цели исследований следующим образом:

1) разработать математическую и компьютерную модели эволюции поверхности текучести, учитывающие процессы релаксации деформационного упрочнения в 20 экспериментах;

Задачи исследования

Сформулированные выше цели исследований определили следующие задачи исследований:

2) построить математическую модель М* неупругого деформирования металлов в типичных видах 2П экспериментах по изучению последовательной поверхности текучести, учитывающую эффект релаксации деформационного упрочнения;

3) разработать методику выполнения базового эксперимента и идентификации параметров модели М*;

4) разработать исследовательский прототип компьютерной программы П* модели М* с постпроцессором графической иллюстрации процесса эволюции поверхности текучести, предусматривающий идентификацию параметров М# по базовому и небазовому экспериментам, выполняемым с возможной недостаточностью исходной информации по временным факторам;

5) выполнить численную проверку достоверности гипотезы влияния эффекта релаксации деформационного упрочнения как основной причины ч противоречий в результатах экспериментального изучения последовательных поверхностей текучести.

Научная новизна работы

В процессе исследования получены следующие новые научные результаты:

1) установлено, что всё многообразие известных качественно противоречивых опытных данных об эволюции поверхности текучести сводится к двум, имеющим принципиальные различия, разновидностям.

- геометрических форм границы текучести,

- положений последовательных поверхностей текучести относительно начала координат в пространстве напряжений;

2) путём проведения численных экспериментов показано, что оба вида разновидностей имеют одну и ту же причину - неконтролируемый экспериментаторами эффект релаксации деформационного упрочнения;

4) в результате численного моделирование известных проблемных экспериментальных результатов показано, что эллиптическая форма движущейся границы текучести обеспечивает достаточную точность описания эволюционных процессов.

Практическая ценность работы

В результате разработки темы диссертационной работы были получены результаты, которые имеют следующую практическую ценность:

2) разработана компьютерная программа идентификации параметров математической модели М*;

3) разработан алгоритм и компьютерная программа, позволяющая использовать модель М* как базовую для выбираемых пользователем определяющих соотношений в зависимости от диапазона изменения деформаций, напряжений и времени неупругого деформирования;

4) применение указанных математических и программных средств моделирования эволюции во времени поверхности текучести, определяемой с высокой точностью зондирования локальных границ текучести, позволит повысить достоверность описания неупругого деформирования металлов. В настоящее время это востребовано, прежде всего, в автомобилестроении, а также при расчётах на прочность деталей из металлов, чувствительных к накоплению пластических деформаций в процессе различного вида циклических нагружений.

Основные положения, выносимые на защиту диссертации

На защиту выносятся следующие результаты, определяющие научную новизну и практическую ценность диссертационного исследования:

2) обоснованное заключение о том, что оба вида разновидностей указанных противоречий имеют одну и ту же субъективную причину — неконтролируемый эффект релаксации деформационного упрочнения;

3) математическая и компьютерная модели процесса эволюции границы текучести в 2Б экспериментах, учитывающие проявление эффекта релаксации деформационного упрочнения;

4) комплекс математических и программных решений для практической реализации предложенного подхода к устранению имеющего место разрыва между теорией определяющих соотношений пластичности и экспериментальной механикой, изучающей эволюцию поверхности текучести (методика выполнения базового эксперимента, компьютерная программа идентификации параметров математической модели М*, компьютерная программа, использующая идентифицированную модель М* для идентификации выбираемых пользователем определяющих соотношений в зависимости от диапазонов изменения деформаций, напряжений и времени).

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на:

- XIII Международнаой научно-техническаой конференции «Информационная среда вуза», Иваново, ИГ АСУ, 2006;

- XIV Международнаой научно-техническаой конференции «Информационная среда вуза», Иваново, ИГ АСУ, 2007;

- XV Международнаой научно-техническаой конференции «Информационная среда вуза», Иваново, ИГ АСУ, 2008;

- XVII Polish-Russian-Slovak seminar «Theoretical foundation of civil engineering». Proceedings. Warszawa. Wroclav 02.06-06.06.2008. Part l.Zilina 2008;

- XXIII Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций», Санкт-Петербург, 2009.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе 3 -в рекомендованных ВАК-ом журналах: «Проблемы прочности и пластичности» Межвуз. Сб. Нижегор. ун-т. им. Н.И. Лобачевского, Н. Новгород и «Приволжский научный журнал» Н. Новгород, ННГАСУ.

Структура и объём работы

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и 4 приложений общим объемом 148 страниц, в том числе 66 рисунков и 10 таблиц. Список использованных литературных источников включает 110 наименований.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы по диссертации

При выполнении диссертационной работы были получены следующие основные результаты исследования:

4. Построена учитывающая эффект РДУ математическая модель М* эволюции поверхности текучести в 20 экспериментах на пропорциональное активное нагружение.

5. Разработана методика выполнения базового эксперимента и компьютерная программа для идентификации модели М*.

7. Разработан алгоритм и компьютерная программа, позволяющая использовать модель М* как базовую для идентификации параметров выбираемых пользователем определяющих соотношений в зависимости от диапазона изменения деформаций, напряжений и времени неупругого деформирования металлов.

Выполненные диссертационные исследования позволяют сделать следующие общие выводы:

2. Переход на реономную схему опытного изучения связан с необходимостью

- построения математической модели реономных процессов,

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Вежелис, Татьяна Мечисловасовна, Нижний Новгород

1. Taylor, G. F. The plastic distortion of metals / G. F. Taylor, H. Quinney ; Trans. Roy. Soc. London : Ser. A, 1951. - P. 230, 323-362.

2. Белл, Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твёрдых тел. В 2 ч.'/ Дж. Ф. Белл. М. : Наука, 1984. — 4.1. Малые деформации. - 600 с.; Ч. 2. Конечные деформации. - 432 с.

3. Naghdi, P. М. An experimental study of initial and subsequent yield surfaces in plasticity / P. M. Naghdi, F. Essenburg, W. Koff// J. Appl. Mech. / ASME. -1958. № 252. - P. 201-209.

4. Gupta, N. K. A study of yield surface upon reversal of loading under biaxial stress / N. K. Gupta, H. A. Laurent // ZAMM. 1983. - Bd. 63, № 10. - S. 497-504.

5. Phillips, A. The effect of loading path on the yield surface at elevated temperatures / A. Phillips, J. L. Tang // Journal Solids structures. 1972. -Vol. 8.-P. 463-474.

6. Phillips, A. Some new observation on yield surfaces / A. Phillips, J. L. Tang, M. Riccuti // Acta Mechanica. 1974. - Vol. 20. - P. 23-29.

7. Williams, J. F. Effect of torsionnal prestrain on the yield locus of 1100-F aluminum / J. F. Williams, N. L. Svensson // J. Strain Anal. 1971. - Vol. 6. -P. 263-272.

8. Yeh, W. C. An endochronic model of yield surface accounting for deformation induced anisotropy / W. C. Yeh, H. Y. Lin // J. of Plasticity. — 2006.-Vol. 22.-P. 16-38.

9. Талыпов, Г. Б. Границы текучести и разрушения малоуглеродистой стали в случае простого и сложного нагружения. Влияние старения / Г. Б. Талыпов // Известия Академии наук СССР. ОТН. 1961. - № 6. - С. 125130.

10. Жуков, А. М. Деформирование малоуглеродистой стали при комнатной температуре / А. М. Жуков // Проблемы прочности. 1972. - № 4. - С. 5458.

11. Ishikawa, Н. Subsequent yield surfaces probed from its current center / H. Ishikawa // Journ. of Plast. 1997. - Vol. 13, Nos. 6-7. - P. 533-549.

12. Hill, R. The mathematical theory of plasticity / R. Hill. Oxford : University press, 1950.

13. Hodge, Jr. P. G. The theory of piece-vise linear isotropic plasticity / Jr. P. G. Hodge // Simp. IUTM, (Madrid, 1955). Berlin : Springer -Verlag, 1955. - S. 147-170.

14. Ишлинский, A. H. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Украинский математический журнал. 1954. - Т. 6, № 3. - С. 314-325.

15. Prager, W. A. New method of analyzing stress and strain in work-hardening plastic solids / W. A. Prager // J. Appl. Mech. 1956. - Vol. 78. - P. 493-502.

16. Кадашевич, Ю. И. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения / Ю. И. Кадашевич, В. В. Новожилов // Прикладная математика и механика. — 1958. Т. 22, вып. 1. - С. 78-89.

17. Zigler, Н. A. Modification of Prager's hardening rule / H. A. Zigler // Quarterly of applied mathematics. -1959. Vol. 17, № 1. - P. 55-65.

18. Mroz, Z. On the description of anisotropic work-hardening / Z. Mroz // J. Mech. Phys. Solids. 1967. - Vol. 15. -P. 163-175.

19. Mroz, Z. An attempt to Describe the Behavior of metals under cyclic loads using a more general work-hardening model / Z. Mroz // Acta Mech. 1969. -Vol. 7.-P. 199-312.

20. Ivan, W. D. On a class of models for the yielding behavior of continuous and composite systems / W. D. Ivan // Trans. Ser. E. / ASME. 1967. - Vol. 34. -P. 612-617.

21. Dafalis, Y. F. A model of nonlinearly hardening materials for complex loading / Y. F. Dafalis, E. P. Popov //ActaMech. 1975. - Vol. 21. - P. 173-192.

22. Krieg, R. D. A practical two-surface plasticity theory / R. D. Krieg // J. of Appl. Mech. / ASME. 1975. - Vol. 42, № 3. - P. 641-646.

23. Бондарь, В. С. Неупругость. Варианты теории / В. С. Бондарь. — М. : Физматлит, 2004. 144 с.

24. Коротких, Ю. Г. Моделирование процессов упругопластического деформирования сталей при сложном нагружении / Ю. Г. Коротких, И. А. Волков, И. Ю. Гордеева // Сборник научных трудов, посвящённых 70-летию А. Г. Зубчанинова. Тверь, 2000. — С. 60—65.

25. Капустин, С. А. Численный анализ термомеханических процессов деформирования и разрушения конструкций на основе МКЭ / С. А. Капустин // Прикладные проблемы прочности и пластичности : межвуз. сб.-М., 1995.-С. 63-71.

26. On the constitutive equation for cyclic plasticity under nonproportional loading / D. Nauailhas, J. L. Chaboche, S. Savalle, G. Cailletaud // J. Plasticity. 1985. -V. 1. -P. 317.

27. Heling, D. E. The incorporation of yield surface distortion into a unified constitutive model. Part 1. Equation development / D. E. Heling, A. K. Miller // Acta. Mech. 1987. -V. 69. - P. 9-23.

28. Heling, D. E. The incorporation of yield surface distortion into a unified constitutive model. Part 2. Predictive capabilities /.D. E. Heling, A. K. Miller // Acta. Mech. 1988. -V. 72. - P. 39-53.

29. Данилов, В. JI. К формулировке закона деформационного упрочнения / В. JI. Данилов // Известия Академии Наук СССР. Сер. «Механика твердого тела». — 1971. — № 6. — С. 146-150.

30. Wu, Н. С. Effect of loading-path on the evolution of yield surface for anisotropic metals subjected to large pre-strain / H. C. Wu // J. Plasticity. -2003. -V. 19. -P. 1773-1800.

31. Kurtyka, T. A geometric description of distortion plastic hardening of deviatory materials / T. Kurtyka, M. Zyczkowski // Arch. Mech. 1985. - V. 37.-P. 383-385.

32. Suprun, А. N. On the correctness of the mathematical model of anisotropic hardening / A. N. Suprun // XI Polsko-Rosyjskie seminarium teoretyczne podstawy budownictwa, Warszawa, 3.07-6.07.2002. Warszawa, 2002. - P. 81-90.

33. Suprun, A. N. A constitutive model with three plastic constants: the description of anisotropic work-hardening / A. N. Suprun // J. Plasticity. -2006.-V. 22.-P. 1217-1233.

34. Tseng, N. T. Simple plasticity model of two-surface type / N. T. Tseng, G. G. Lee // J. of Eng. Mech. / ASCE. 1983. - V.l 09, № 3. - P. 795-810.

35. Mc. Dowell, D. L. A two surface model for transient non-proportional cyclic plasticity. Part 1. Development of appropriate equations / D. L. Mc. Dowell // J. of Appl Mech. / ASCE. 1985. -V. 52, № 2. - P. 298-302.

36. Mc. Dowell, D. L. A two surface model for transient non-proportional cyclic plasticity. Part 2. Comparison of theory with experiments / D. L. Mc. Dowell // J. of Appl. Mech. / ASCE. 1985. - V. 52, № 2. - P. 303-308.

37. Jiang, W. A general solution to the two-surface plasticity theory / W. Jiang // J. of Eng. Mater. Tech. / ASME. 1997. - V. 119, № 1. - P. 20-25.

38. Ильюшин, А. А. Пластичность. Основы общей математической теории / А. А. Ильюшин. -М. : АН СССР, 1963. 272 с.

39. Васин, Р. А. Свойству функционалов пластичности у металлов, определяемые в экспериментах на двузвенных траекториях деформирования / Р. А. Васин // Упругость и неупругость : сборник. — М. : Изд-во МГУ, 1987. С. 115-127.

40. Валанис, К. Обоснование эндохронной теории пластичности методами механики сплошной среды / К. Валанис // Теоретические основы инженерных расчётов : труды / ASME. 1984. - Т. 106, № 4. - С. 72-81.

41. Васин, Р. А. Определяющие соотношения теории пластичности / Р. А. Васин // Итоги науки и техники. Сер. «Механика деформируемого * твёрдого тела» / ВИНИТИ. 1990. -№ 21. - С. 3-75.

42. Кадашевич, Ю. И. О теории пластичности, не имеющей поверхности текучести / Ю. И. Кадашевич, А. Н. Михайлов // Доклады Академии Наук СССР. 1980. - Т. 254, № 3. - С. 574-576.

43. Valanis, К. С. Continium foundations of endochronic theory / К. С. Valanis // J. Eng. Mater, and Technol. / Trans. / ASME. 1984. - Vol. 106, № 4. - P. 367-375.

44. Valanis, К. C. Some recent developments of the endochronic theory with applications / К. C. Valanis // Nucl. Eng. Deign. 1982. - Vol. 69. - P. 327344.

45. Аннин, Б. Д. Поведение материалов в условиях сложного нагружения / Б. Д. Аннин, В. М. Жигалкин. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 1999. - 342 с.

46. Трусов, П. В. Теория определяющих соотношений. Ч. И. Теория пластичности / П. В. Трусов, А. И. Швейкин. Пермь : Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 243 с.

47. Зубчанинов, В. Г. Механика сплошных деформируемых сред / В. Г. Зубчанинов. Тверь : Изд-во Твер. гос. техн. ун-та : Чу До, 2000. - 703 с.

48. Зубчанинов, В. Г. Об определяющих соотношениях теории упруго-пластических процессов / В. Г. Зубчанинов // Прикладная механика. — 1989.-Т. 25, №5.-С. 3-12.

49. Ильюшин, А. А. О приращении пластической деформации и поверхности текучести / А. А. Ильюшин // Прикладная математика и механика. 1960.- Т. 24, вып. 4. С. 663-666.

50. Клюшников, В. Д. Поверхность нагружения и допуски при её экспериментальном определении / В. Д. Клюшников // Доклады Академии Наук СССР. 1975. - Т. 221, № 2. - С. 299-300.

51. Лебедев, А. А. Особенности трансформации поверхности текучести хромистой стали / А. А. Лебедев, А. В. Трощенко, Н. М. Кульчицкий // Проблемы прочности. 1983. - № 12. - С. 3-7.

52. Новожилов, В. В. Вопросы механики сплошной среды / В. В. Новожилов. -Л.: Судостроение, 1989.-400 с.

53. Новожилов, В. В. Микронапряжения в конструкционных материала?: / В. В. Новожилов, Ю. И. Кадашевич. Л. : Машиностроение, 1990. - 223 с.

54. Писаренко, Г. С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Г. С. Писаренко, А. А. Лебедев. Киев : Наук, думка, 1976.-416 с.

55. Работнов, Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. -М.: Физматгиз, 1966. 752 с.

56. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела / Ю. Н. Работнов. -М.: Наука, 1988. 712 с.

57. Талыпов, Г. Б. Пластичность и прочность стали при сложном нагружении / Г. Б. Талыпов. Л.: ЛГУ, 1968. - 135 с.

58. Трощенко, А. В. Экспериментальное исследование начальной и последующих поверхностей текучести стали 40Х / А. В. Трощенко, Н. М. Кульчицкий // Проблемы прочности. 1983. - № 2. - С. 65-69.

59. Филлипс, А. Конические точки на поверхности текучести / А. Филлипс // Механика : сб. пер. 1961. - № 4 (68). - С. 131-141.

60. Шишмарев, О. А. Изучение участка границы текучести, противоположного точке нагружения / О. А. Шишмарев // Известия Академии Наук СССР. ОТН. Сер. «Механика и машиностроение». 1962.- № 4. С. 159-164.

61. Шишмарев, О. А. Экспериментальные исследования границ текучести стали при простом и сложном нагружениях / О. А. Шишмарев // Известия Академии Наук СССР. Сер. «Механика твёрдого тела». 1968. - № 2. - С. 187-190.

62. Ягн, Ю. И. Некоторые результаты исследования границ упругого состояния пластически растянутых образцов никеля / Ю. И. Ягн, О. А. Шишмарев // Доклады Академии Наук СССР. 1958. - Т. 119, № 1. - С. 46—48.

63. Shiratori, Е. К. The stress vector and subsequent yield surface in loading along the strain path with a corner / E. Shiratori, K. Ikegami, K. Kane'co // Bull. ASME.-1974.-V. 17,N113.-P. 1403-1412.

64. The subsequent yield, surfaces after preloading under combined axial load and torsion / E. Shiratori, K. Ikegami, K. Kaneko, S. Koike // Bull. ASMB. 1976. -V. 19, N134.-P. 877-883.

65. Paglietti, A. Plasticity of cold worked metals. A deductive approach / A. Paglietti // WII press, Southampton. Boston, 2007. - P. 173.

66. Chiang, D. Y. A study on subsequent yield surface based on the distributed-element model / D. Y. Chiang, К. H. Su, С. H. Liao // J. Plasticity. 2002. -Vol. 18, Is. 1.-P. 51-70.

67. Findley, W. M. Concerning cups and vertices on the yield surface of annealed mild steel / W. M. Findley, M. J. Michno // ZAMM. 1987. - Vol. 67, Is. 7. -P. 309-312.

68. Kumakura, S. Change of yield surfaces of mild steels by strain aging / S. Kumakura, T. Takeda, A. Akiyoshi // Preprint of the 17th Japan congress on materials research. Tokio, 1973. - P. 13-14.

69. Shiratori, E. Experimental study of the subsequent yield surface by using cross-shaped specimens / E. Shiratori, K. Ikegami // J. Mech. Phys.- 1968. -Solids 16.- P. 373-394.

70. Miastkowski J. An experimental study of yield surfaces of pre-strained brass / J. Miastkowski, W. Szczepinski // International Journal of Solids and Structures. 1965. -№ 1. - P. 189.

71. Hecker, S. S. Yield surface in prestrained aluminum and copper / S. S. Hecker // Metallurgical Transactions 1971.-№ 2.-P. 2077-2086.

72. Hazell, C. R. Experimental investigation of subseguent yield surfaces using the Moire method / C. R. Hazell // J. Mech. Phys. 1965. - Solids 13. - P. 281-294.

73. Michno, M. J. An historical perspective of yield surface investigation for metáis / M. J. Michno, W. M. Findley // J. Non-Linear Mech. 1976. -№11. -P. 59-82.

74. Ikegami, K. An historical perspective of experimental study on subsequent yield surfaces for metáis. Parts 1, 2. / K. Ikegami // J. Soc. Mat. Sci. Japan. -1975. -№ 24. -P. 491-504, 709-719.

75. Subsequent yield surfaces after large tensile or torshional prestrain / E. Shiratori, K. Ikegami, К. Kaneko, T. Sugibayshi // Preprint of Japan Soc. Mech. Engrs. 1975. -№ 75-7-2 -P. 41-44.

76. Бережной, И. А. О влиянии вязкости на механическое поведение пластических тел / И. А. Бережной, Д. Д. Ивлев // Доклады Академии Наук СССР.-1965.-Т. 163, №3.-С. 595-598.

77. Лихачёв, В. А. Владимиров Роль упрочнения в ползучести и температурном последействии / В. А. Лихачёв, В. И. Владимиров // Физика металлов и металловедение. 1965. - Т. 19, № 1. - С. 17-18.

78. Супрун, А. Н. Об одном расширении класса операторов теории вязкоупругости / А. Н. Супрун // Прикладные проблемы прочности и пластичности : всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. гос. ун-т. им. Н. И. Лобачевского. Горький, 1976. - Вып. 5. - С. 15-26.

79. Супрун, А. Н. Об одном варианте феноменологической модели реономной пластичности металлов / А. Н. Супрун // Актуальные проблемы прочности по теме: пластичность материалов и конструкций : X семинар, 1985 / Тартуск. ун-т. Тарту, 1985. - С. 117-118.

80. Супрун, А. Н. К проблеме существования конических точек и вогнутостей на поверхности текучести металлов / А. Н. Супрун // Известия Академии Наук СССР. Сер. «Мехника твердого тела». — 1991.— №4.-С. 180-185.

81. Супрун, А. Н. Теория реономной пластичности : монография / А. Н. Супрун. Н. Новгород : ННГАСУ, 2008. - 164 с.

82. Победря, Б. Е. Модели линейной теории вязко-упругости / Б. Е. Победря // Известия Российской Академии Наук. Сер. «Механика твердого тела». 2003.-№3.-С. 120-134.

83. Волегов, П. В. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности / П. В. Волегов и др. // Математическое моделирование систем и процессов : вестн. Перм. гос. техн. ун-та, 2009. Т. 17. - С. 25-33.

84. Супрун, А. Н. Математическое моделирование эволюции последовательной поверхности текучести / А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис // Информационная среда вуза : материалы XIII Междунар. науч.—техн. конф. Иваново, 2006. - С. 556-559.

85. Вежелис, Т. М. Варианты уравнений движения последовательной поверхности текучести металлов после разгрузки / Т. М. Вежелис // Сборник трудов аспирантов и магистрантов / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. Н. Новгород, 2008. - С. 158-162.

86. Супрун, А. Н. Моделирование процесса эволюции поверхности текучести металлов / А. Н. Супрун, Т. М. Вежелис // Приволжскийнаучный журнал / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. Н. Новгород, 2009. -№ 2(10). - С. 7-13.

87. Вежелис, Т. М. Компьютерная модель процесса эволюции поверхности текучести / Т. М. Вежелис // Приволжский научный журнал / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. Н. Новгород, 2009. - № 3(10). - С. 15-20.

88. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. / Г. М. Фихтенгольц. — М. : Физматгиз, 1969. 656 с.

89. Duong, В. Н. Ecrouissage des metaux / В. Н. Duong ; С. R. Acad. Sci. -Paris, 1964.-259 с.