Математическое моделирование распространения цилиндрических ударных волн в гетерогенных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Шестаковская Елена Сергеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ УДАРНЫХ ВОЛН В ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕДАХ

01.02 05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск 2005г.

Работа выполнена на кафедре общей и прикладной физики Челябинского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.М. Ковалёв

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор А.П, Яловед

кандидат физико-математических наук, доцент Х.Р. Низамеев

Ведущая организация: ФГУП «Государственный ракетный центр «КБ им. Академика В.П. Макеева» г. Миасс.

Защита состоится "ЗС^" 2005г. часов минут на

заседании диссертационного /совета Д212.296.02 Челябинского

Государственного Университета по адресу: 454021, г.Челябинск, ул.Бр.Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЧелГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д212.296.02 доктор физико-математических наук В.И.Ухоботов

мюб-<г

////Г

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время развитие механики сплошных сред в значительной степени связано с исследованием гетерогенных сред. Это вызвано как широким распространением такого рода систем в практической деятельности (различные аэрозоли, взвеси, пены, композитные материалы и так далее), так и отсутствием общих методов их описания, что является следствием многообразия свойств гетерогенных сред. В то же время, даже наиболее простые из существующих моделей гетерогенных сред чрезвычайно сложны для аналитического решения. Поэтому математическое моделирование газодинамических процессов в гетерогенных средах является актуальным. Значительный практический и теоретический интерес представляет процесс распространения ударных волн (УВ), образующихся в результате детонации заряда взрывчатого вещества (ВВ) [1]. Важным направлением применения ВВ является их использование для борьбы с лесными пожарами, при этом большое значение имеют методы их локализации, в том числе создание при помощи подрыва заряда ВВ заградительных полос с малым содержанием лесных горючих материалов (ЛГМ) [2], что препятствует распространению пожара.

При отсутствии пожара в лесу газовая фаза двухфазной гетерогенной среды представляет собой обычный химически инертный воздух. Но при наличии пожара компонентный состав газовой фазы меняется. Поэтому для корректного описания распространения УВ в пологе леса при наличии пожара необходимо учитывать химическую активность газовой фазы. Скорости протекания химических реакций экспоненциально зависят от температуры газовой фазы, поэтому система уравнений газовой динамики с учетом химических реакций является жесткой, что требует разработки специальных методов численного решения такой системы уравнений.

Несмотря на значительное число публикаций, многие вопросы пока остаются слабо изученными. А именно: в настоящее время отсутствуют результаты моделирования в двумерной постановке взаимодействия цилиндрически расходящейся УВ с гетерогенным слоем (пологом леса); отсутствуют двумерные расчеты распространения УВ в гетерогенной среде с химически активпой газовой фазы, что необходимо для анализа процесса распространения УВ по горящему лесу.

Целью работы является разработка двумерной математической модели полога леса при наличии и при отсутствии пожара, как гетерогенной среды с химически активной газовой фазой, способной адекватно описывать распространение УВ. Из экспериментов [3, 4] и одномерных расчётов [5] известно, что химическая активность газовой фазы приводит к усилению УВ. Задачей данной работы было проверить и оценить этот эффект усиления УВ в двумерном случае при помощи численного моделирования.

Методика исследования. Для решения поставленной задачи в рамках диссертационной работы на основе модифицированного метода Неймана-Рихтмайера разработан двумерный численный алгоритм, описывающий распространения цилиндрически расходящейся УВ в гетерогенной среде (пологе леса). Рассматривается случай химически инертной газовой фазы (при отсутствии пожара) и химически активной газовой фазы (птагттатчЩГпф^па). В качестве

модели гетерогенной среды в диссертационной работе использовалась модель замороженной газовзвеси [6,7].

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Исследована двумерная задача о взаимодействии цилиндрически расходящейся УВ с гетерогенным слоем, прилегающим к твердой поверхности, а так же о распространении цилиндрически расходящейся УВ в гетерогенной среде.

2. Исследовано распространение УВ в гетерогенной среде с химически активной газовой фазой в двумерном случае. Установлено, что наличие химически активной газовой фазы способствует более быстрому распространению УВ и повышению давления за фронтом УВ, что соответствует экспериментальным данным [4, 8].

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанных численных алгоритмов для исследования способов тушения пожаров при помощи взрывов зарядов ВВ. Полученные результаты могут быть использованы и при решении других задач, связанных с ударно-волновыми явлениями в гетерогенных средах. На защиту выносятся следующие положения:

1. На основе модифицированного метода Неймана-Рихтмайера разработан численный алгоритм для исследования динамики гетерогенной среды с химически активной газовой фазой в двумерной системе координат.

2. Проведены исследования динамики распространения УВ в гетерогенной среде, ее взаимодействия с гетерогенным слоем и жесткой стенкой (поверхностью земли) при различных параметрах взрыва и свойствах гетерогенной среды.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов и библиографического списка из 115 наименований. Общий объём диссертации составляет 148 страниц.

Содержание работы Во введении приводится обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, перечислены основные положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

Первая глава содержит обзор литературы по теме диссертации. В первом параграфе рассмотрены работы, описывающие математическую модель леса и методы математического моделирования лесных пожаров, во втором параграфе рассмотрены работы посвященные распространению УВ в гетерогенной среде, в третьем - работы по распространению УВ в среде с химически активной газовой фазой.

По приведенному обзору литературы сделаны следующие выводы. В настоящее время отсутствуют систематические результаты моделирования в двумерной постановке взаимодействия цилиндрически расходящейся УВ с гетерогенным слоем (пологом леса) и двумерные расчеты распространения УВ в гетерогенной среде с химически активной газовой фазы, что необходимо для анализа процесса распространения УВ по горящему лесу. Вследствие этого актуальным является построение математической модели леса и проведение

численных исследований процесса распространения цилиндрически расходящейся УВ в гетерогенной среде с химически активной газовой фазой, моделирующей горящий лес. В качестве модели гетерогенной среды может быть выбрана модель замороженной газовзвеси, корректно описывающая газодинамические процессы в лесу. Из химических реакций наибольшее значение при распространении УВ имеет реакция окисления окиси углерода, выделяющейся в результате пиролиза ЛГМ. Поэтому в работе рассматривается именно эта реакция.

Во второй главе диссертации приведена математическая модель, численный алгоритм и результаты математического моделирования распространения цилиндрически расходящейся УВ в гетерогенной среде. Рассматривается гетерогенная среда, состоящая из газовой и конденсированной фаз с малой объемной долей конденсированной фазы. Рассматриваемая постановка задачи описывает распространение УВ от шнурового заряда ВВ в пологе леса при отсутствии пожара.

В первом параграфе показано, что для описания динамики гетерогенной среды может быть использовано приближение замороженной газовзвеси, согласно которому одна из фаз (конденсированная фаза) неподвижна, недеформируема и образует неподвижную в пространстве решетку, относительно которой происходит движение другой фазы (газовой фазы). Такое приближение используется, например, при описании распространения УВ в пологе леса [7]. Рассматриваются условия применимости данного приближения.

С учётом данного приближения сформулирована система уравнений в лагранжевых координатах для случая одномерной и двумерной цилиндрической симметрии. Расчеты на основе одномерной модели использовались для исследования распространения УВ в однородной гетерогенной среде. Они так же использовались для тестирования двумерного алгоритма. В общем же случае исследование взаимодействия УВ с гетерогенными слоями и жесткими стенками (поверхностью земли) проводилось на основе двумерной модели.

Система уравнений динамики газовой фазы в приближении замороженной газовзвеси для случая двумерной декартовой системы координат:

у

Шнуровой заряд ВВ расположен вдоль оси Ог на определенной высоте А над поверхностью земли (рис.1). Вблизи поверхности земли может располагаться слой двухфазной гетерогенной среды высотой Н. Задача является симметричной относительно переноса вдоль оси Ог, поэтому используется двумерная декартова система координат {х,у}. Кроме того, задача симметрична при отображении относительно плоскости уОг (то есть, при замене х на -х), поэтому рассматривается только область Х>0.

рис.1.

1 с1<7 ди Эу

(1)

а Ж дх ду '

(2)

(3)

= V

Л

с1Е _ с1<7

-л-*-*-

р = (у-\)рЕ.

(4)

(5)

Здесь (1) уравнение неразрывности; (2) - уравнение движения; (3) - уравнение перемещения лагранжевых ючек {х(7), _)•(/)}; (4) - уравнение для внутренней энергии газовой фазы; (5) - уравнение состояния; р - плотность газа; р - его давление; сг=1/р - удельный объем; Е - удельная внутренняя энергия газа; у -показатель адиабаты. В записанной системе уравнений и и V - х и у компоненты вектора скорости соответственно (V ~ {и), и - х и у компоненты силы трения газовой фазы о к-фазу.

а - объемная доля твердой фазы, тогда объемная доля газовой фазы будет (1-а) Конденсированная фаза состоит из частиц цилиндрической формы диаметром с1 и длины 1»с! (хвоинки и ветви деревьев). Тогда сила взаимодействия газовой и конденсированной фазы на единицу объема определяется выражением [9]:

I дер- истинная плотное I ь газовой фазы, V - скорость движения газовой фазы (при неподвижной к-фазе). Коэффициент сопротивления с</ для хвойного леса согласно [3, 7, 10] является консервативной величиной, равной

Решение системы уравнений проводилось модифицированным методом Неймана-Рихтмайера. Это классический метод решения уравнений механики сплошной среды для разрывных течений [11,12]. Данный метод является методом сквозного счета и для дистракции (сглаживания) сильных разрывов в нем используется псевдовязкость (искусственная вязкость). Метод Неймана-Рихтмайера хорошо апробирован при решении широкого класса задач. Этот метод лагранжев, что позволяет легко описывать контактные разрывы.

Во втором параграфе моделировался взрыв цилиндрического заряда диаметром /)—Зсм, находящегося на высоте к~\м от поверхности земли. В области вблизи оси симметрии заряда г<гд (г - расстояние от оси симметрии заряда) находятся продукты взрыва [7] с начальной плотностью /7/=1052 кг/м2 и теплотой сгорания £2=5447 кДж/м3 (внутренняя энергия продуктов взрыва равна теплоте сгорания взрывчатого вещества £=£?). Продукты взрыва окружает газ (область г>г0) при нормальных условиях Дг1.29 кг/м3, Рд=101325 Па. При

(6)

а

са = о.оз

(7)

решении задачи использовалось следующее приближение: и продукты взрыва и окружающий газ описываются уравнением состояния идеального газа с одним и тем же показателем адиабаты у.

Вблизи поверхности земли задавался слой двухфазной гетерогенной среды высотой Н=0.5м, так что взрыв заряда происходил над гетерогенным слоем. Диаметр частиц к-фазы брался равным сМ)Лмм (характерный диаметр хвоинок). Рассматривались различные объемные концентрации а частиц к-фазы в гетерогенном слое. В частности, при сс=0 получается задача об отражении УВ от поверхности без гетерогенного слоя. Так же рассматривались объемные концентрации «=0.001 и 0.01.

На прямоугольную расчетную область размером 4м по оси Ох и 5м - по оси Оу накладывалась расчетная сетка 80x80 ячеек. На левой и нижней границах расчетной области задавались граничные условия жесткой стенки.

*=0,9 мс 1=1,5 мс

Рис.2 Эволюция поля давления при взрыве шнурового заряда над поверхностью земли

На рис.2 представлены результаты численного решетя задачи о

распространении УВ в чистом воздухе. В момент времени 1=0.27 мс цилиндрическая УВ доходит до поверхности земли. Перепад давления в УВ при этом упал до 35. Далее возникает регулярное отражение волны от поверхности земли (соответствует моменту времени (=0.65мс на рис.2). С течением времени регулярное отражение становится невозможным и возникает нерегулярное («маховское») отражение, отвечающее моменту времени 1=1.5 мс на рис.2. Подобное поведение решения соответствует данным, приведенным в работе [13], в которой рассматривается взаимодействие УВ с плоской преградой.

Далее рассмотрено распространение УВ в гетерогенной среде. На рис.3 приведены результаты для объемной доли к-фазы сг=0.001. При данной концентрации к-фазы картина распространения УВ в целом аналогична случаю чистого газа. Наблюдается лишь некоторое запаздывание в распространении УВ и ослабление ее по амплитуде. Так в момент соприкосновения УВ с поверхностью земли перепад давления в ней составляет лишь 30 (вместо 35 для случая чистого газа). К моменту 1.5мс УВ вдоль поверхности земли распространяется лишь на 1.8м вместо 2.5м для случая чистого газа.

1=0,65 мс 1=1,5 мс

Рис.3 Эволюция поля давления при взрыве шнурового заряда в гетерогенной среде с аН).001

При большей объемной доле к-фазы а=0.01 наблюдается еще большее запаздывание распространения области повышенного давления (рис. 4). При достижении земли амплитуда УВ составляет лишь 20. К моменту 1.5мс УВ прошла вдоль поверхности земли 1.2м. В приземном слое расчетной области происходит наложение падающей и отраженной УВ. При этом образуется область за фронтом УВ, в которой давление падает очень медленно. Медленный разлет вещества приводит к длительному сохранению существенного перепада плотности на контактной границе. Если при изменении а от 0 до 0.001 давление на момент 1.5мс падает с 14 до 8, то при дальнейшем увеличении до а=0.01 максимальное давление в тот же момент времени составляет 9. Но область с таким давлением соответствует не ножке Маха, как в двух предыдущих случаях, а всей области за отраженной УВ, где движение вещества как бы заморожено.

■ э?00 1эаоо Вноо 1хоо 1г<оо Вгзп 1яэо

12 И 10 ио ■ 08 «00

1=0,65 мс (=1,5 мс

Рис.4. Эволюция поля давления при взрыве шнурового заряда в гетерогенной среде с Далее были проведены исследования взаимодействия ударной гетерогенным слоем высотой 0.5м, содержащим к-фазу.

оЮ.01 волны с

а л

*=1,5 мс

Рис.5 Эволюция поля давления при взрыве шнурового заряда над гетерогенным слоем ег=0.001 На рис.5 показано взаимодействие УВ с гетерогенным слоем при а=0.001. Из полученных результатов видно, что, входя в гетерогенный слой, УВ испытывает торможение. Так как объёмная доля частиц мала, УВ слабо отражается от поверхности слоя, проходит через него и отражается от плоской поверхности. Со временем регулярное отражение переходит в нерегулярное. При этом ножка Маха формируется на поверхности земли. Фронт УВ деформируется в гетерогенной области. Та часть УВ, которая движется по гетерогенному слою, существенно запаздывает по сравнению с соседними частями УВ, движущимися в чистом газе. На момент 1.5мс УВ проходит в гетерогенном слое вдоль поверхности земли 1.9м, что меньше, чем для случая чистого газа (2.5м) и почти совпадает со значением для взрыва в области, полностью заполненной

гетерогенной средой с а=0.001 (1.8м). На этот момент времени давление вблизи поверхности составляет 10 по сравнению с 14 для чистого газа и 8 - для гетерогенной среды.

При большей объемной доле к-фазы а=0.01 (рис.6) наблюдается более существенное отражение УВ от поверхности гетерогенного слоя и запаздывание распространения УВ в слое. Регулярный и нерегулярный режимы отражения реализуются как на поверхности земли, так и на границе гетерогенного слоя. Положение УВ на момент 1.5мс на поверхности земли - 1.2м, что соответствует положению УВ для объема, полностью заполненного гетерогенной средой с той же объемной долей.

И),65мс 1=1,5 мс

Рис 6 Эволюция поля давления при взрыве шнурового заряда над гетерогенным слоем аИ).01

В третьей главе диссертации приведена математическая модель, численный алгоритм и результаты математического моделирования распространения цилиндрически расходящейся УВ в гетерогенной среде с химически активной газовой фазой. Рассматриваемая постановка задачи описывает распространение ударной волны от шнурового заряда ВВ в пологе леса при наличии пожара.

При горении леса или угольной пыли происходят как гомогенные химические реакции окисления в газовой фазе, так и гетерогенные реакции пиролиза и окисления на поверхности частиц твердой фазы. Известно [14, 10], что при распространении УВ роль гетерогенных реакций мала, и ими можно пренебречь. Поэтому можно ограничиться рассмотрением реакций, протекающих в газовой фазе (гомогенных реакций).

В первом параграфе записана система уравнений динамики газовой фазы с учетом химических реакций в приближении замороженной газовзвеси для двумерной декартовой системы координат [15]

+ (1) сг Л дх ду'

ю

ап

л

-I

У

' Ж

дх Ух

Л

ф _

Л

дх Л

= и

Ш

У

-р-+ <Т

^ Л

= V

(Л^О)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

с,5.

Е = КТ£

А*,

'/ /

-1

(8)

(9)

Здесь р - массовая плотность газовой смеси; р - давление смеси; и и V -х и у компоненты скорости смеси; <У=1/р - удельный объем; и,- - концентрация г-й компоненты смеси (моль/м3); А \ - стехиометрический коэффициент компонента смеси, где номер химической реакции указан верхним индексом в скобках, а номер компонента смеси нижним индексом; - скорость протекания j-Pl реакции - количество молей элементарных актов реакции в единице объема в единицу времени (моль/(м3-с)); Е - удельная внутренняя энергия смеси, с учётом полного тепловыделения (поглощения) за счет химических превращений; С, -массовая концентрация г-й компоненты смеси (доля массы 1-й компоненты в полной массе смеси малого элемента объема); /л, - молярная масса компоненты (кг/моль) ; /?=8.3144 Дж/(К-моль) - универсальная газовая постоянная; коэффициент ¿¡-=3/2 - для одноатомного газа, 4=5/2 - для двухатомного, ($=6/2 - для трехатомного.

Суммирование в (2) и (5) производится по всем учитываемым химическим реакциям. В уравнении (8) суммирование производится пд всем компонентам смеси. Уравнения для скоростей химических реакций £ записываются для каждого конкретного рассматриваемого случая. Так, при рассмотрении реакции окисления окиси углерода используется уравнение

¿2СО+О2-+2СО2)=7Л0П„соехр(.96370/ат) [МОЛь/(м3 с)]. (Ю)

Система уравнений (1) - (9) совместно с уравнениями для скоростей рассматриваемых химических реакций представляет собой математическую модель процесса распространения УВ по двухфазной среде (газ -

конденсированная фаза) с химически активной газовой фазой.

Учет химических реакций при математическом моделировании процесса распространения УВ вносит дополнительные сложности. Скорости химических реакций экспоненциально зависят от температуры смеси, поэтому система уравнений механики сплошной среды, включающая уравнения для химических реакций, является жесткой. Причем, характерные времена протекания химических реакций могут быть как много больше, так и много меньше характерного времени газодинамических процессов. Поэтому при численном решении системы уравнений газодинамики с учетом химических реакций использовался метод разделения по физическим процессам. Уравнения химических реакций решаются методом Эйлера с автоматическим выбором шага. Уравнения газодинамики для смеси в целом интегрировались по времени методом Неймана-Рихтмайера.

Во втором параграфе при численном моделировании рассматривался объём среды с начальным давлением Рд=\ атм и плотностью Дг 1 .29 кг/м , в котором в начальный момент времени на расстоянии 1 м от земли расположена цилиндрическая область повышенного давления Р; и плотности Pi радиусом 0.1 м. Область повышенного давления создается продуктами взрыва цилиндрического заряда с начальной плотностью /7/= 1052 кг/м и теплотой сгорания Q=5447кДж/м .

Газовая смесь включала четыре компонента: N2, Ог, СО и СОг. Как показано в работах [3, 5], учет этих четырех компонентов позволяет адекватно описывать распространение УВ в лесу при наличии пожара. Проводился учет химической реакции окисления окиси углерода. В области повышенного давления, имитирующей продукты взрыва, брались следующие начальные концентрации компонентов смеси Сд,2=0.78, Со/~0.2\, Q:o=0 и Сс£)2=0.01. Начальная концентрация компонентов в области нормального давления (окружающая среда) определялась рассматриваемой задачей. Наличие конденсированной фазы учитывалось через силу межфазного взаимодействия f. При фиксированном диаметре частиц <t=0.1 мм параметром, определяющим характеристики конденсированной фазы, служила объемная концентрация частиц ОС.

Рассматривались четыре различные ситуации:

1) распространение УВ в химически инертной газовой фазе без конденсированной фазы а=Ю и без учета химических реакций -концентрации веществ в окружающей среде Сд>2=0.78, Со2=0.21, Q%r=0 и Ccor=Q 01 ~ такие же, как и в области продуктов взрыва;

2) распространение УВ в химически инертной газовой фазе при наличии конденсированной фазы «=0.001, но без учета химических реакций -концентрации веществ в окружающей среде Сдг2=0.78, Coz=0.21, СссГ0 и Ссог=0.01 - как и в области продуктов взрыва;

3) распространение УВ в химически активной газовой смеси без конденсированной фазы а=0, но с учетом химических реакций -концентрации веществ в окружающей среде 0.725, Со/=0.205, Ссо=0.06 и Ссаг О.01 - содержит окись углерода;

4) распространение УВ в химически активной газовой смеси при наличии конденсированной фазы Qf=0.001, с учетом химических реакций -концентрации веществ в окружающей среде Cf^f=0.725, С of-0.205, Ссо=0.06 и Ссо^О.01 - содержит окись углерода.

На рис.7-8 приведено поле давление для этих четырех случаев в различные моменты времени (0.65 мс и 1.5 мс). Сравнение результатов показывает, что интенсивность УВ увеличивается из-за протекания химической реакции, как при отсутствии частиц конденсированной фазы, так и при их наличии. Аналогичное поведение - усиление УВ при взрыве заряда в горящем лесу - наблюдается и в эксперименте [5]. Однако наличие частиц конденсированной фазы даже в столь малой объемной концентрации (СР=0.001) оказывает на динамику распространения УВ влияние не меньшее, чем учет химических реакций. _

Рис 7. Поле давления в момент времени 1=0.65 мс

1) в инертном газе;

2) в газовой смеси с химическими превращениями;

3) в инертном газе с частицами;

4) в газовой смеси с частицами и с химическими превращениями.

ОЛО 100 1-М 2М 190 ЗЛО ЗМ

■ 1800

■ 174»

116.00

■

1мло ■ (ЗЛО 11200 |иоо

11000

О £0 11« 1

3)

4)

Рис 8. Поле давления в момент времени 1=1.5 мс

1) в инертном газе;

2) в газовой смеси с химическими превращениями;

3) в инертном газе с частицами;

4) в газовой смеси с частицами и с химическими превращениями.

На рис.9-10 представлены поля массовой концентрации С со при распространении УВ в химически активной газовой смеси без частиц конденсированной фазы и с частицами к-фазы. В рассмотренных случаях прохождение УВ приводит к полному выгоранию окиси углерода, и за фронтом УВ концентрация СО равна нулю.

!

)

,1

1=0,65 мс 1=1,5 мс

Рис 10 Поле концентраций при а=0.001.

В ходе расчётов контролировалось выполнение закона сохранения энергии. Так в отсутствии химических превращений полная энергия системы сохранялась в ходе расчетов с точностью не хуже 0.3%. При наличии химических реакций полная энергия системы увеличивалась за счет энерговыделения в ходе реакций. При наличии в системе частиц конденсированной фазы полная энергия газовой фазы уменьшалась, даже при наличии реакций, за счет работы против сил сопротивления.

Выводы

В рамках диссертационной работы проведено исследование распространения цилиндрической УВ в области полностью или частично (в виде слоя) заполненной конденсированной фазой с химически инертной или активной газовой фазой. Данная постановка задачи моделирует взрыв цилиндрического заряда ВВ в пологе леса при наличии и при отсутствии пожара. Для решения уравнений МСС используется численная схема на основе модифицированного метода Неймана-Рихтмайера. Учет химических реакций реализуется на основе метода разделения по физическим процессам при помощи численной схемы, предложенной в работе.

Итогами работы является следующее:

1. Разработан численный алгоритм на основе модифицированного метода Неймана-Рихтмайера для исследования динамики гетерогенной среды с химически активной газовой фазой в двумерной системе координат. Полная система уравнений разделена на газодинамическую и химическую часть, что позволяет использовать малый временной шаг для интегрирования химической части системы лишь в ячейках вблизи фронта УВ.

2. Проведены исследования динамики распространения УВ в гетерогенной среде, ее взаимодействия с гетерогенным слоем и жесткой стенкой (поверхностью земли) при различных параметрах взрыва и свойствах гетерогенной среды. Показало, что химическая активность газовой фазы приводит к усилению УВ, что соответствует экспериментальным данным [4,8] по взрыву в пологе леса при наличии пожара.

Публикации по теме диссертации

Шестаковская Е.С. Модификация численного метода Неймана-Рихтмайера для описания динамики двухфазной гетерогенной среды. // Деп. ВИНИТИ №1216-В-2004 от 13.07.04, 5с. Шестаковская Е.С. Численное исследование взрыва шнурового заряда ВВ над плоским гетерогенным слоем. // Деп. ВИНИТИ №1217-В-2004 от 13.07.04,4с.

Шестаковская Е.С. Численная схема для описания динамики гетерогенной среды с химически активной газовой фазой. // Деп. ВИНИТИ №1218-В-2004 от 13.07.04, 4с.

Шестаковская Е.С. Влияние реакций окисления на распространение ударной волны в двухфазной гетерогенной среде // Деп. ВИНИТИ №1219-В-2004 от 13.07.04, 5с. Шестаковская Е.С. Влияние реакций окисления на распространение ударной волны в двухфазной гетерогенной среде. // XXIV Российская школа по проблемам науки и технологий. 22-24 июня 2004 г. - Миасс, 2004. - с.25.

Шестаковская Е.С. Численная схема для описания динамики гетерогенной среды с химически активной газовой фазой. // XXIV Российская школа по проблемам науки и технологий. 22-24 июня 2004 г. - Миасс, 2004. - с.26.

Шестаковская Е.С. Численное исследование взрыва шнурового заряда ВВ над плоским гетерогенным слоем // XXIV Российская школа по проблемам науки и технологий. 22-24 июня 2004 г. Миасс. 2004. - с.27.

Шестаковская Е.С. Модификация численного метода Неймана-Рихтмайера для описания динамики двухфазной гетерогенной среды // XXIV Российская школа по проблемам науки и технологий. 22-24 июня 2004 г. - Миасс, 2004. - с.28. Ковалёв Ю.М., Шестаковская Е.С. Математическое моделирование распространения ударной волны в гетерогенной среде с химически активной газовой фазой. // Сб. Наука и технологии. Том 3. Итоги диссертационных исследований (Труды XXIV Российской школы). - Москва, РАН, 2004. - с.158-168. Ковалёв Ю.М., Шестаковская Е.С. Математическое моделирование взрыва шнурового заряда ВВ над плоским гетерогенным слоем. И Сб. Наука и технологии. Том 3. Итоги диссертационных исследований (Труды XXIV Российской школы). -Москва, РАН, 2004. - с. 169-180.

Список цитированной литературы

1. Физика взрыва. Под ред. Станюковича К.П. - М.: Наука, 1975, 704с.

2. A.c. 1136811, МКИ А 62 С 1 /22. Способ тушения лесного пожара. Гришин A.M., Грузин А.Д., Зверев В.Г. - Заявл. 01.12.82. № 3516796/29-12; опубл. 1985, бюл. №4.

3. Гришин А.М. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними. - Новосибирск: Наука. Сиб.отд, 1992, 408с.

4. Гришин А.М., Ковалёв Ю.М. Исследование закономерностей взаимодействия взрывных волн с растительностью и фронтом лесного пожара. - Физическая газодинамика реагирующих сред, Новосибирск, Наука, 1990, с.60-68.

5. Гришин A.M., Ковалёв Ю.М. Об усилении ударных волн при взаимодействии с фронтом лесного пожара. - Доклады АН СССР, 1990, т.312, №1, с.50-54.

6. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. - М.: Наука, 1976,336с.

7. Антонов В.А., Гришин А.М., Ковалев Ю.М., Наймушина Л.К).

Моделирование взрыва шнурового заряда в пологе леса при отсутствии пожара. - ФГВ, т. 29, №4,1993, стр.115-123.

8. Гришин A.M., Зверев В.Г., Ковалёв Ю.М., Перминов В.А.

Исследование эффективности действия взрыва на тушение лесных пожаров. - Деп. ВИНИТИ, 1986, №8667-В86, 24с. 52л

9. Крутиков Б.С., Кутушев А.Г. Ослабление ударных волн экранизирующими решётками. - ФГВ, 1988, №1, с.115-117.

10. Ковалёв Ю.М. Математическое и физическое моделирование инициирования детонации в твердых взрывчатых веществах и распространение ударных волн в пологе леса при лесных пожарах:Дис.... канд.физ.-мат.наук. - Томск, ТГУ, 1987. - 195с.

11. Рихтмайер Р.Д., Мортон К.У. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Мир, 1972. - 418 с.

12. Рождественский Б Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.: Наука, 1978, 688с.

13. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1976, 400с.

14. Левин В.А., Туник Ю.В. Горение угольной пыли в кислороде с примесью газообразного угольного топлива // ДАН СССР, 1984. т.276, вып.4, С.834-839.

15. Лапин Ю.М., Стрелец М.Х. - Внутренние течения газовых смесей, М.: Наука, 1989.-366 с.

Подписано в печать 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усллечл. 2,5. Уч. - изд.л.2,8. Тираж 100 экз. Заказ^Цена договорная.

ГОУВПО «Челябинский Государственный Университет» 454021, г. Челябинск, ул. Бр.Кашириных, 129 Полиграфический участок издательского центра ГОУВПО «ЧелГУ» 454021, г. Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57-6.

If

с

í г зз

РНБ Русский фонд

2006-4 18725

Введение

Глава1. Обзор работ по теме диссертации

1.1. Математическая модель леса и методы математического моделирования лесных пожаров

1.2.Математическое моделирование распространения ударной волны в гетерогенной среде

1.3. Математическое моделирование распространения ударной волны в среде с химически активной газовой фазой

1.4. Цель работы

Глава2. Математическое моделирование распространения ударной волны в гетерогенной среде

2.1. Модель

2.2. Метод решения

2.2.1. Численная схема для одномерной цилиндрической системы координат

2.2.2. Численная схема для двумерной декартовой системы координат

2.2.3. Перестройка сетки

2.3. Анализ результатов

2.3.1. Тестовые расчеты

2.3.2. Распространение цилиндрической ударной волны в чистом газе и гетерогенной среде

ГлаваЗ. Математическое моделирование распространения цилиндрической ударной волны в гетерогенной среде с химически активной газовой фазой

3.1. Модель

3.2. Метод решения

3.3. Анализ результатов 122 Выводы 136 Список литературы 137 Список публикаций по теме диссертации

В настоящее время развитие механики сплошных сред в значительной степени связано с исследованием гетерогенных сред. Это вызвано как широким распространением такого рода систем в практической деятельности (различные аэрозоли, взвеси, пены, композитные материалы и так далее), так и отсутствием общих методов их описания, что является следствием многообразия свойств гетерогенных сред. В то же время, даже наиболее простые из существующих моделей гетерогенных сред чрезвычайно сложны для аналитического решения. Поэтому математическое моделирование газодинамических процессов в гетерогенных средах является актуальным.

Одним из газодинамических процессов, представляющих значительный практический и теоретический интерес, является распространение ударных волн (УВ), образующихся в результате детонации заряда взрывчатого вещества (ВВ) в гетерогенных средах. Взрывчатые вещества способны при взрыве совершать за весьма короткие промежутки времени значительную работу, по эффективности они до сих пор являются одним из лучших источников энергии. Взрывчатые вещества применяются как в военном деле — в различного рода огнестрельном оружии, в боеприпасах и подрывных средствах для метательных и разрушительных целей [1], так и широко используются в народном хозяйстве при ведении строительных и горных работ: для прорытия каналов, пробивания шпуров и скважин, выброса грунтов и т.п.

Одним из важных направлений применения ВВ в мирных целях является их использование для борьбы с лесными пожарами [2]. Для борьбы с лесными пожарами большое значение имеют методы их локализации, в том числе создание при помощи подрыва заряда ВВ заградительных полос с малым содержанием лесных горючих материалов (ЛГМ), что препятствует распространению пожара. Другим способом применения заряда ВВ при тушении лесных пожаров является его инициирование в определенном участке фронта пожара, что приводит к разрушению структуры фронта. Как показали эксперименты [3], при разрушении структуры фронта пожара, его распространение прекращается. Для разрушения структуры фронта пожара используются малые по мощности заряды.

Для повышения эффективности использования ВВ при тушении лесных пожаров необходимо проводить исследования распространения ударной волны в пологе леса при различных параметрах заряда, его расположении и характеристиках леса. Возможность проведения натурных экспериментов ограничена как экономическими причинами, так и трудностями при проведении натурных экспериментов. Все это повышает значимость вычислительного эксперимента.

При математическом моделировании распространения УВ полог леса может быть представлен как слой двухфазной гетерогенной среды, состоящей из конденсированной фазы (стволы, ветви, хвоя и листва деревьев) и газовой фазы (воздух). Наличие конденсированной фазы оказывает существенное влияние на динамику газовой фазы и, в частности, на распространение в ней УВ.

Для корректного описания распространения УВ в пологе леса при наличии пожара необходимо учитывать химическую активность газовой фазы. При отсутствии пожара в лесу газовая фаза двухфазной гетерогенной среды представляет собой обычный химически инертный воздух. Но при наличии пожара компонентный состав газовой фазы меняется. Согласно [4] лесной пожар представляет собой многостадийное явление, включающее в себя процессы прогрева ЛГМ, их сушку и пиролиз с последующим горением газообразных и конденсированных продуктов пиролиза. На стадии пиролиза в газовую фазу поступают горючие газообразные вещества (окись углерода, метан), что обеспечивает возможность протекания в газовой фазе химических реакций окисления. Распространение УВ в этом случае способно инициировать протекание реакций окисления, а выделяющаяся в реакциях окисления теплота будет оказывать влияние на динамику распространения УВ и параметры газа за фронтом УВ.

Скорости протекания химических реакций экспоненциально зависят от температуры газовой фазы, следовательно, газодинамические и химические процессы протекают на разных временных масштабах, что требует разработки специальных методов численного решения такой системы уравнений с учётом химических реакций.

Целью данной работы является разработка двумерной математической модели полога леса при наличии и отсутствии пожара, как гетерогенной среды с химически активной газовой фазой. Данная модель необходима для исследования распространения цилиндрически расходящейся УВ в пологе леса. Из экспериментов [4, 5] и одномерных расчётов [6] известно, что химическая активность газовой фазы приводит к усилению УВ. Задачей данной работы было проверить и оценить этот эффект усиления УВ в двумерном случае при помощи численного моделирования.

Для решения поставленной задачи в рамках диссертационной работы на основе модифицированного метода Неймана-Рихтмайера разработан двумерный численный алгоритм, описывающий распространения цилиндрически расходящейся УВ в гетерогенной среде (пологе леса). Рассматривается случай химически инертной газовой фазы (при отсутствии пожара) и химически активной газовой фазы (при наличии пожара). В качестве модели гетерогенной среды в диссертационной работе использовалась модель замороженной газовзвеси [7, 8].

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые исследована двумерная задача механики жидкости и газа о взаимодействии цилиндрической ударной волны с гетерогенным слоем, прилегающим к твердой поверхности, а так же о распространении цилиндрической ударной волны в гетерогенной среде.

2. Исследовано распространение ударной волны в гетерогенной среде с химически активной газовой фазой в двумерном случае. Установлено, что наличие химически активной газовой фазы способствует ускорению распространения УВ и повышению давления за фронтом УВ, что соответствует экспериментальным данным [4, 5].

Среди основных результатов работы можно также выделить следующие:

1. На основе модифицированного метода Неймана-Рихтмайера разработан численный алгоритм для исследования динамики гетерогенной среды в двумерной декартовой системе координат.

2. Предложена устойчивая численная схема для расчета химических реакций, позволяющая проводить эффективное решение уравнений механики жидкости и газа в гетерогенной среде с химически активной газовой фазой.

3. Проведены исследования динамики распространения УВ в гетерогенной среде, ее взаимодействия с гетерогенным слоем и жесткой стенкой (поверхностью земли) при различных параметрах взрыва и свойствах гетерогенной среды.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанных численных алгоритмов для исследования тушения пожаров при помощи взрывов зарядов ВВ.

Полученные в рамках диссертационной работы результаты могут быть использованы и при решении других задач, связанных с ударно-волновыми явлениями в гетерогенных средах.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка цитированной литературы.

выводы

В рамках диссертационной работы проведено исследование распространения цилиндрической УВ в области полностью или частично (в виде слоя) заполненной конденсированной фазой с химически инертной или активной газовой фазой. Данная постановка задачи моделирует взрыв цилиндрического заряда ВВ в пологе леса при наличии и при отсутствии пожара. Для решения уравнений МСС используется численная схема на основе модифицированного метода Неймана-Рихтмайера. Учет химических реакций реализуется на основе метода разделения по физическим процессам при помощи численной схемы, предложенной в работе.

Итогами работы является следующее:

1. Разработан и программно реализован численный алгоритм на основе модифицированного метода Неймана-Рихтмайера для исследования динамики гетерогенной среды в двумерной декартовой системе координат.

2. Разработана устойчивая численная схема для расчета химических реакций, позволяющая проводить эффективное решение уравнений механики жидкости и газа в гетерогенной среде с химически активной газовой фазой. Полная система уравнений разделена на газодинамический и химический этапы, что позволяет использовать малый временной шаг для интегрирования химической части системы лишь в ячейках вблизи фронта УВ. Это приводит к существенной экономии машинного времени.

3. Проведены исследования динамики распространения УВ в гетерогенной среде, ее взаимодействия с гетерогенным слоем и жесткой стенкой (поверхностью земли) при различных параметрах взрыва и свойствах гетерогенной среды. Показано, что химическая активность газовой фазы приводит к усилению УВ, что соответствует экспериментальным данным [5,6] по взрыву в пологе леса при наличии пожара.

1. Физика взрыва. Под ред. Станюковича К.П. М.: Наука, 1975, 704с.

2. A.c. 1136811, МКИ А 62 С 1/22. Способ тушения лесного пожара. Гришин A.M., Грузин А.Д., Зверев В.Г. Заявл. 01.12.82. № 3516796/29-12; опубл. 1985, бюл. №4.

3. Гришин A.M. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними. — Новосибирск: Наука. Сиб.отд, 1992,408с.

4. Гришин A.M., Зверев В.Г., Ковалёв Ю.М., Перминов В.А.

5. Исследование эффективности действия взрыва на тушение лесных пожаров. Деп. ВИНИТИ, 1986, №8667-В86, 24с.52л

6. Гришин A.M., Ковалёв Ю.М. Исследование закономерностей взаимодействия взрывных волн с растительностью и фронтом лесного пожара. — Физическая газодинамика реагирующих сред, Новосибирск, Наука, 1990, с.60-68.

7. Гришин A.M., Ковалёв Ю.М. Об усилении ударных волн при взаимодействии с фронтом лесного пожара. Доклады АН СССР, 1990, т.312, №1, с.50-54.

8. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1976,336с.

9. Антонов В.А., Гришин A.M., Ковалев Ю.М., Наймушина Л.Ю.

10. Моделирование взрыва шнурового заряда в пологе леса при отсутствии пожара. ФГВ, т. 29, №4, 1993, стр.115-123.

11. Мур П.Д. Огонь: разрушительная или созидательная сила? Impact of Science of Society. 1982, №1, c.3-13.

12. Раунер Ю.Л. Тепловой баланс растительного покрова. Л.:

13. Гидрометеоиздат, 1972, 123с.

14. Гришин A.M. Математическое моделирование некоторых нестационарных аэротермохимических явлений. — Томск: Изд. ТГУ, 1973,281с.

15. Гришин A.M. Математические модели лесных пожаров. Томск: Изд. ТГУ, 1981,227с.

16. Гришин A.M. Исследование распространения верховых лесных пожаров. В кн.: Высокотемпературная газодинамика, ударные трубы и ударные волны (Материалы международной школы — семинара). - Минск: ИТМО АН СССР, 1983, с.67-73.

17. Конев Э.В. Физические основы горения растительных материалов. -Новосибирск: Наука, 1977, 239с.

18. Гришин A.M., Плюхин В.В. Экспериментальное исследование структуры фронта верхового пожара. ФГВ, 1985, т.21, №1, с.5-11.

19. Гришин A.M., Грузин А.Д., Зверев В.Г. Исследование структуры и пределов распространения фронта верхового лесного пожара. -ФГВ, 1985, т.21, №1,с.11-21.

20. Гришин A.M., Грузин А.Д., Зверев В.Г. Теоретическое исследование верховых лесных пожаров. Деп. ВИНИТИ, №55283.

21. Указания по обнаружению и тушению лесных пожаров. — М.: Гослесхоз СССР, 1976, 110с.

22. Софронов М.А. Огонь в лесу. Новосибирск: Наука, 1981, 128с.

23. Козлов Р.П., Захматов В.Д., Малышев П.А. и др. Способ тушения пожара на открытой площади. — Открытия. Изобрет., 1983, №8.

24. Гейман JI.M. Взрыв. М.: Наука, 1978, 182с.

25. Арцыбашев Е.С. Основные задачи лесной пирологии. Лесные пожары и борьба с ними. — JL: ЛенНИИЛХ, 1986, с.3-12.

26. Валендик Э.Н., Матвеев П.М., Софронов М.А. Крупные лесные пожары.-М.: Наука, 1979, 198с.

27. Орлов O.K., Кустов Ю.В. Эластичные шнуровые заряды для борьбы с лесными пожарами. Лесные пожары и борьба с ними. -Л.: ЛенНИИЛХ, 1986, с. 102-107.

28. Телицын Г.П. Лесные пожары, их предупреждение и тушение в Хабаровском крае. Хабаровск: ДальНИИЛХ, 1988, 95с.

29. Захматов В.Д., Дьяков В.В. Взрывные средства тушения лесных пожаров. Лесн. Хоз-во, 1987, №4, с.59-62.

30. Курбатский Н.П., Валендик Э.Н. Локализация лесных пожаров накладными шнуровыми зарядами. Вопросы лесной пирологии. -Красноярск: ИЛиД СО АН СССР, 1970, с.215-218.

31. Гришин А.М., Ковалёв Ю.М. Экспериментальное исследование воздействия взрыва конденсированных ВВ на фронт верхового лесного пожара. Доклады АН СССР, 1989, т.308, №5, с.1074-1078.

32. Курбатский Н.П., Валендик Э.Н. Локализация лесных пожаров накладными шнуровыми зарядами. В кн.: Вопросы лесной пирологии. - Красноярск: Институт леса и древесины им. В.Н.Сукачёва, 1970, с.320-339.

33. Турута Н.У., Лучко И.А. Взрыв и его мирные профессии. — Киев:

34. Наукова думка, 1982, 176с.

35. A.c. 1400619 А 1 СССР, МКИ А 62 С 1/22. Способ тушения лесных пожаров. Гришин A.M., Алексеев H.A., Андреев H.A. -№4160481/31; заявл. 8.12.86; опубл. 07.06.88, бюл. №21, с.З.

36. A.c. 1657198 А 1 СССР, МКИ А 62 С 3/02. Устройство для тушения лесного пожара. Гришин A.M., Голованов А.Н., Андреев H.A., Пряхин П.Н. №4661158; заявл. 03.01.88; опубл. 23.06.91, бюл. №23, с.2.

37. Розловский А.И. Научные основы техники взрывобезопасности при работе с горючими газами и парами. М.: Химия, 1972, с.

38. Положительное решения на заявку 4644603 12/016620. Способ тушения лесных пожаров. Гришин A.M., Алексеев H.A., Голованов А.Н. - Принято 17.07.90.

39. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978, 688с.

40. Софронов И.Д., Дмитриев H.A., Дмитриева Л.В., Малиновская

41. Е.В. Методика расчёта нестационарных двумерных задач газовой динамики в лагранжевых координатах В кн.: Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. -М.: Наука, 1979, с.175-201.

42. Brode H.L. Numerical solution of spherical blast waves. J.Appl. Phys., 1955, v.26, №6, p.766-775. - РЖМех, 1956, №9, c.5794.

43. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport. 1. SHASTA. A fluid transport algorithm that works. J. Comput. Phys., 1973, №2, p.38-69. -РЖМех, 1973, 6Б210.

44. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. -М.: Наука, 1975, 352с.

45. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики. -М.: Высшая школа, 1987, 232с.

46. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976, 400с.

47. Goldstine H., Neumann J, Blast wave calculation. Communs Pure and Appl. Math., 1958, v.8, №2, p.327-354.

48. Коробейников В.П., Чушкин П.И. Метод расчёта точечного взрыва в газах. Доклады АН СССР, 1964, т. 154, №3, с.549-552.

49. Коробейников В.П., Чушкин П.И. Об одном методе расчёта точечного взрыва в газе с учётом противодавления. — Тр. V Сессии Уч. Совета по народнохоз. использ. взрыва. — Фрунзе, Илим, 1965, с.74-82.

50. Коробейников В.П., Чушкин П.И. Плоский, цилиндрический и сферический взрыв в газе с противодавлением. — Тр. Матеем. Ин-та. АН СССР, 1965, №87, с.4-34.

51. Дородницын A.A. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. — Тр. 3-го Всес. Матем. Съезда, 1956, т.З. М.: АН СССР,1958, с.447-453.

52. Архангельский H.A. Алгоритм численного решения задачи о цилиндрическом взрыве с учетом противодавления методом сеток. ЖВМиМФ, 1971, т. 11, № 1, с.222-23 6.

53. Архангельский H.A. Численное решение задачи о цилиндрическом взрыве с учётом противодавления. ЖВМиМФ, 1974, т. 14, №5, с.1281-1291.

54. Охоцимский Д.Е.,Власова З.П. О поведении ударных волн на большом расстоянии от места взрыва. ЖВМиМФ, 1962, т.2, №1, с.107-124.

55. Plooster M.N. Shock waves from line sources. Numerical solutions and experimental measurements. Phys. Fluids, 1970, v. 13, №11 p.2665-2675. - РЖМех, 1971, 7Б234.1. T.l 12, №2, c.213-216.

56. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987,432с.

57. Подлубный В.В., Фонарёв A.C. Отражение сферической взрывной волны от плоской поверхности. Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, №6, с.66-72.

58. Кестенбойм Х.С., Шуринов А.И. О некоторых особенностях отражения взрывной волны от плоскости. Изв. АН СССР, МЖГ,1978, №3,с.113-116.

59. Brode H.L. Blast wave from a spherical charge. Phys. Fluids, 1959, v.2, №2, p.217-229. - РЖМех, 1960, №9, 11284.

60. Фонарёв A.C., Чернявский С.Ю. Расчёт ударных волн при взрыве сферических зарядов ВВ в воздухе. Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, №5, с.169-174.

61. Маркин В.Т., Носенко Н.И., Сысоев H.H. Поле течения за нестационарной ударной волной, образующейся при взрыве сферического заряда. — Уч. зап. Центр. Аэро-гидродинам. Ин-та,1979, 10, №2, с.119-123.

62. Sternberg Н.М., Hurwitz H. Calculated spherical chock waves• • • thproduced by condensed explosives in air and water. Prep. Pap. 6 . Symp.1.t.) Detonation, San Diego, Calif., 1976, Vol. 2. Suppl. Pap. S. 1., s. a., 557-568-РЖМех, 1977, 11Б755.

63. Коробейников В.П., Марков B.B., Путятин Б.В. Ораспространении цилиндрических взрывных волн с учётом излучения и магнитного поля. Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, №4, с.133-138.

64. Мейдер Ч. Численное моделирование детонации. — М.: Мир, 1985, 384с.

65. Ашратов Э.А., Пирумов У .Г., Сурков В.В. Распространение ударной волны в воздухе при взрыве газового заряда. Изв. АН

66. СССР, МЖГ, 1986, №3, с. 110-117.

67. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987, 464с.

68. Рахматуллин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред. ПММ, 1956, т.20, вып.2, с. 184-195.

69. Крайко А.Н., Стернин Л.Е. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твёрдыми или жидкими частицами. ПММ, 1965, т.29, вып.3,с.418-429.

70. Нигматулин Р.И. Уравнения гидромеханики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии фазовых превращений. Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, №5, с.33-47.

71. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Некоторые результаты численного исследования нестационарных волн в газовзвесях.- Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, №5, с.64-69.

72. Нигматулин Р.И. К вопросу о волнах уплотнения в двухфазных средах. Вестник МГУ, Математика и механика, 1969, №4, с. 122126.

73. Уизем Г. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.

74. Фролов С.М., Гельфанд Б.Е. Ослабление ударных волн в газовзвесях. ФГВ, 1991, №1, с. 130-136

75. Меньшов И.С. Распространение сильных взрывных волн в дисперсной смеси. Доклады АН СССР, 1982, т.267, №4, с.808-811.

76. Сидоркина С.И. О некоторых движениях аэрозоля. Доклады АН СССР, 1957, т.112, №3, с.398-399.

77. VIII Intern. Col: on gasdynamics of explosions and reactive systems. -Book abstracts, 1981,p.l03.

78. Ивандаев А.И., Кутушев А.Г. Некоторые закономерности эволюции плоских и сферических ударных волн в аэровзвесях. — ТВТ, 1985, т.23, №3, с.506-512.

79. Ивандаев А.И., Кутушев А.Г. Влияние экранирующих слоёв77.