Математическое моделирование развития разряда в токамаке с железным сердечников тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

у? В 14 В 6'.

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОМДО И ОРДША ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОЮНОСОВА

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

АНДРЕЕВ Валерий Филиппович

УДК 621.039.623+518.12

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЮДОШРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ РАЗРЯДА В ТОКАМАКЕ С ЖЕЛЕЗНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ

*

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1986

\

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук А.М.Попов

доктор физико-математических наук профессор В.В.Федоров

кандидат физико-математических наук ст.н.с. В.П.Сидоров

Институт атомной энергии им.И.В.Курчатова

Защита состоится "

1986 г.

в /£Ч£часов на заседании специализированного совета Д.053.05.37 по математике в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва ГСП, В-234, Ленинские горы,. МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд_

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "

1986 г.

Ученый секретарь специализированного совета /~\ <

профессор СилМжС&£ К.И.МОЖМВ

^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

.. ьность теш. В настоящее время наиболее значительные ус-1-- ''пыхи тгт^ледованиях по управляемому термоядерному синтезу достигнуты на установках токачак, характеризующихся большой сложностью управления и высокой стоимостью эксперимента. Строящиеся установки предназначаются для работы с плазмой в термоядерных режимах, которые не могут быть достигнуты на современных токамаках. Поэтому единственным доступным источником количественной информации о поведении плазмы в таких экстремальных условиях является вычислительный эксперимент, основанный на хорошо проработанных математических моделях.

Основной задачей является разработка математического и программного обеспечения эксперимента, включающая систему моделей различного уровня сложности для описания плазменного разряда и управления им. Особенно важно создание надежных моделей временного, развития разряда в токамаке с железным сердечником в связи со строительством в СССР крупнейшей установки Токамак-15. Наличие ферромагнетика приводит к необходимости разработки нелинейных моделей для описания поведения плазменного шнура, изучение которых возможно только с применением ЗВМ. В этих условиях важным является вопрос о постановке задач управления магнитными полями, удерживающими плазменную конфигурацию в равновесии. Требуется создание моделей, учитывающих главный эффект влияния ферромагнетика» В тоже время они должны быть достаточно простыми для реализации на комплексах ЭШ, непосредственно используемых в системах управления разрядом.

В первую очередь необходима разработка надежной модели программного режима, описывающей временное развитие полоидальных удерживающих полей в токамаке. Ее проработка позволяет изучать предполагаемые режимы разряда, находить временные зависимости управляющих токов и напряжений, проводить выбор оптимальных параметров разряда. Качество программного режима во многом определяется его устойчивостью. Устойчивость равновесных плазменных конфигураций в присутствии такого дестабилизирующего элемента, как ферромагнетик является одной из центральных задач при осуществлении разряда в установках токамак. Наличие случайных ошибок и других неучтенных в моделях факторов требует коррекции управляющих программ на основе поступающей экспериментальной информации в серии разрядов. Созда-

ние адаптируемых программ, когда программа текущего разряда расчитывается с учетом информации, полученной в предыдущем разряде является актуальной задачей в условиях сложного поведения плазмы. Цель работы.

1. Разработка математических моделей временного развития разряда в токамаке с учетом нелинейного поведения ферромагнетика.

2. Постановка задачи расчета программного режима, его устойчивости и коррекции по экспериментальным измерениям как задачи оптимального управления.

3. Создание эффективных алгоритмов вычисления нелинейных характеристик проводников полоидального поля. Разработка комплекса программ расчета управления магнитными полями, удерживающими плазменную конфигурацию в равновесии.

4. Моделирование временного развития разряда, исследование устойчивости плазменного шнура в присутствии ферромагнетика и прогнозирование различных режимов работы установки Т-15.

Научная новизна. Сформулирована модель временной эволюции разряда в токамаке с железным сердечником. Впервые задача расчета программного режима работы установки , его устойчивости и коррекции по экспериментальным данным поставлена как задача оптимального управления.

Разработан алгоритм вычисления нелинейных индуктивностей и предложен способ аппроксимации соответствующих матриц, позволяющий проводить устойчивый расчет исходной жесткой системы уравнений. Создан эффективный численный метод "квазиоптимального" решения, да-пций возможность практического использования разработанных программ при проведении экспериментов.

На основе двумерных магнито'статических задач расчитаны нелинейные характеристики проводников системы полоидального поля в установке Т-15 во всем диапазоне изменения магнитного потока через сердечник. Разработан комплекс программ для расчета управления поло идальными полями в токамаке с железным сердечником, с помощью которого исследованы планируемые режимы работы установки Т-15 и получено соответствующее им управление.

Практическая ценность. Созданные в диссертации модели, алгоритмы и программы могут использоваться при моделировании предполагаемых режимов работы токамака с железным сердечником. Разработанные алгоритмы вычисления индуктивностей могут применяться для расчета

характеристик проводников полоидального поля. Развитые методы расчета управления системой полоидальных магнитных полей позволяют использовать разработанные программы при проведении экспериментов. Созданные комплексы программ ориентированы на ЭВМ, предназначенные для управления разрядом в Т-15.

Публикации, по теме диссертации опубликовано 8 работ /1-8/.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных конференциях по физике плазмы и УТС (г.Звенигород 1984, 1985 гг.), на конференции молодых ученых Будапештского и Московского университетов (г. Будапешт Л983 г.), на семинаре отдела 'Гокамаков иФ1 иАЭ им.и.В.Курчатова, на семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, ибъем диссертации - 185 страниц, включая 41 рисунок, 7 таблиц и библиографию из 81 наименования.

СОДЬНШИЬ РАШШ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий обзор литературы по рассматриваемым вопросам и описывается структура работы.

Первая глава диссертации посвящена разработке и обоснованию модели временного развития разряда в токамаке с железным сердечником.

В § I рассматривается постановка двумерной задачи равновесия тороидальной плазмы в присутствии ферромагнетика, полученная в результате редукции трехмерной модели к двумерной. На основе этой постановки решаются прямые задачи расчета равновесия плазменного шнура, которые необходимы при построении и обосновании упрощенных моделей динамики плазмы. В § 2 приводится модель временного развития разряда. Считается, что в-каждый момент времени выполняются уравнения равновесия, а временная эволюция интегральных характеристик плазмы находится из упрощенных электротехнических и диффузионных уравнений.

Для определения магнитного потока, проходящего через контур £ -го проводника (£). , величины полоидального поля и его показателя спада на оои плазменного шнура используются формулы:

гДв - ток ^ -ом удерживающем проводнике, включая и ток в плазменном витке. Индуктивности , эффективности й показатели поля в присутствии железного сердечника не постоянны, а являются нелинейными функциями всех токов . Поэтому требуется их специальное определение, что и осуществляется в § 3.

Модель коэффициентов Ь^ , ^ , П^ состоит в том, что они считаются функциями только одной переменной, а именно, магнитного потока через меридиональное сечение индуктора ,0) !

Ц- = Ц (?), Ц * М, (Ф), = Н (<р) . (2)

Вычисление Ь^*, , основано на решении двумерных магни-тостатических задач (МСЗ), содержащих нелинейные эллиптические уравнения второго порядка для потенциала полоидального магнитного поля Ц/ . В безразмерных переменных постановка задачи имеет вид: в области плазма-вакуум

= (3)

в области железа (.^р)

= (4)

на границе вакуум-железо ^ имеем условия

сИ-сп _ (5)

^ и » Ъп и " г ъи и

и на внешней границе железного магнитопровода Р

<6>

гго^У-А^ШЙЩ)-

магнитная проницаемость железа.

где распределение плотности тока в плазме, ( 'г , 2 )-

цилиндрические координаты. Если , то

такая МСЗ является известной задачей равновесия плазмы.

. Разрабатываются два алгоритма вычисления L¿j (ф) , (Ф) » . В первом разыскивается предварительно решение двумерной задачи равновесия с заданным Ф . Полученное равновесное распределение потенциала и магнитной проницаемости по пространству фиксируется. Решается МСЗ (З)-(б) с измененным на током в ^ -ом проводнике. При этом другие токи задаются равными равновесным. Процедура повторяется для кавдого проводника. Требуемые характеристики определяются производными двумерного решения МСЗ ^С^ЗД^по параметрам Т^. до второго порядка. В данном алгоритме учитывается распределение тока в плазменном шнуре. Однако, для этого необходимо решать двумерную задачу равновесия.

Второй алгоритм основан только на решении МСЗ. В этом случае плазменный шнур заменяется либо одним тонким кольцевым проводником с током , либо набором тонких нитей, токи в которых задаются исходя из параболического распределения плотности тока в плазме. Вначале проводится расчет при наличии только индуктора и определяется поток Ф . Полученное распределение магнитной проницаемостирС1,2) фиксируется. Решается МСЗ с заданным током Г^ в ^ -ом проводнике. При этом всо другие токи равны нулю. Процедура повторяется для каждого проводника и плазменного шнура. По распределению потенциала

,^определяются искомые характеристики. Главное преимущество второго алгоритма - не требуется решение задачи равновесия, но необходимо тщательное согласование характеристик, связанных с плазмой.

Изучение влияния на самоиндукцию плазмы Ь^, перехода от модели плазменного шнура как тонкого проводника к модели, учитывающей распределение плотности тока в плазме проводится в § 4. Расчеты показывают, что максимальное различие в Ь^р , которое определяется переходом от одной модели к другой составляет порядка 5 %.

Численный метод решения двумерных задач равновесия и МСЗ приводится в § 5. Он состоит в раздельном решении задачи в области и области и последующей сшивке решений на границе вакуум-железо ¡^ . Описываются итерационные процедуры нахождения удерживающих токов и потенциала на границе плазмы , которые позволяют стабилизировать используемые численные алгоритмы. В § б исследуется скорость сходимости решения задачи в зависимости от итерацион-

ных параметров. Полученные аналитические соотношения между ними позволили в пять раз сократить время решения одного варианта.

Вычисление Ьц , , для установки T-I5 с учетом геометрии магнитопровода и реальной функции уч(Ё>) проводится в § 7. Результаты расчетов показывают сильную нелинейную зависимость этих величин от потока ф . Индуктивности при переходе железа из насыщенного в ненасыщенное состояние (что соответствует уменьшению Ф ) увеличиваются на два порядка. Эффективность , характеризующая притяжение плазмы к ферромагнетику меняет знак. Поэтому плазменный шнур, в зависимости от состояния железного сердечника, будет или притягиваться или отталкиваться им.

Тестирование численных расчетов осуществляется в § 8. Проводится сравнение с упрощенными аналитическими форыулёми для , vj, , t которые можно получить в модельных случаях. Также сравниваются результаты с магнитными измерениями на макете установки T-I5. Эти исследования показали хорошее соответствие результатов.

Хотя расчеты проводились с зависимостью pCQ близкой к реальной, существует множество факторов, которые могут привести к тому, что yiCfb) в экспериментах будет отличаться от задаваемой в численных расчетах. Влияние различных кривых намагничивания на 1->Ц изучается в § 9. Получено, что основное различие в L>¿¿ наблюдается в случае полностью ненасыщенного ферромагнетика. В этом же параграфе находится погрешность, которая допускается при переходе от двумерной модели равновесия к упрощенной, описываемой с помощью введенных коэффициентов L^1 , t»^ , ftj . Различие по потокам, равновесному полю и показателю спада не превышает б Показано, что предложенная модель коэффициентов справедлива только в случае, когда полоидальные токи равномерно насыщают магнитопровод.

В § 10 исследуется влияние численного дифференцирования на характеристики проводников полоидального поля и изучается вопрос о точности полученных результатов. С помощью расчетов находится допустимая максимальная погрешность решения МСЗ, позволяющая согласовать ее с изменением параметра, по которому осуществляется дифференцирование. Определена область изменения этих параметров, в которой коэффициенты находятся с минимальной ошибкой. Получена аналитическая оценка ошибки, допускаемо? при этом.

Вторая глава диссертации посвящена разработке моделей управления плазменным разрядом.

В § I на основе модели Временного развития разряда ставится задача расчета программного режима. В постановку задачи включены электротехнические уравнения для описания эволюции удерживающих токов, интегральное условие равновесия и условие устойчивости для плазмы.

Уравнения Кирхгофа для проводников полоидального поля, индуктора и плазменного шнура имеют вид:

+ £г с Л), (7)

Л4* ' . *' .....а/)

где сг - напряжение в С- -ой цепи (для плазмы = 0), Щ - управляющее напряжение, подаваемое на источники питания, - омическое сопротивление проводников. В отличии от обычных проводников сопротивление плазмы заранее неизвестно. Для его определения решается система уравнений энергобаланса.

Условие равновесия для тонкого плазменного шнура означает выполнение в каждый момент времени на оси шнура ( £ - ) требования

| ^ (8) где 1р (о. В + Ь-Ъ \

вертикальное магнитное поле, требуемое для удержания плазмы со следующими параметрами: , (Х0 ~ большой и малый радиусы плазменного шнура, - отношение газокинетического давления к давлению магнитного поля, - внутренняя индуктивность плазмы, - определяется максимально допустимым смещением плазменного шнура.

Обозначим через - показатель спада вертикального магнитного поля, соответствующий круглому поперечному сечению плазмы, а через - максималяно допустимое изменение показателя спада, при котором плазма не выходит из области устойчивости. Тогда условие устойчивости можно записать в виде:

I . о)

На основе модели (7)-(9) задача расчета предполагаемого режима разряда, определения временных зависимостей управляющих токов и напряжений и выбора оптимальных параметров разряда стазится как задача оптимального управления. Критерий управления формулируется из

условия получения зависимости полного тока в плазме близкой

к наперед заданной функции Х|>0 (Л) •

"ЗГ - — Ипси . (Ю)

Постановка задачи оптимального управления следующая: I) управляемая система описывается дифференциальными уравнениями (?); 2) существуют ограничения на управление и ) ; 3) фазовые ограничения записываются в_виде (8)-(9) и в виде ограничений на максимально допустимые токи 1(4;) в проводниках; 4) требуется найти управление и О.) и токи !(•£.) такие, чтобы выполнялся критерий (10).

В постановке задачи оптимального управления зависимости •

должны быть известными и заданными функциями времени.'Для их согласованного с решением (7)-(10) определения используется транспортная модель, которая приводится в четвертой главе.

В § 2 изучается вопрос о единственности решения поставленной задачи. Критерий (10) и неравенства (8)-(9) дают три условия на первые три компоненты вектора ХОО • На оставшиеся А/-2. компоненты I (40 нет никаких ограничений, кроме фазовых. Если фазовые ограничения не жесткие, то в в том случае допускается, существование нескольких решений близких мевду собой по критерию (10). Чтобы выделить единственное решение воспользуемся априорной информацией о поведении оставшихся "свободных" компонент решения. Потребуем минимальности изменения производных по времени тока 1 , которое реализуется добавлением в функционал (10) стабилизатора

Т д/

и

Анализ численных методов решения задачи оптимального^управления дается в § 3. Из-за особенностей правой части роосциллирующая, разрывная по в.сем аргументам функция) прямое использование методов нелинейного и динамического программирования, методов, основанных на принципе максимума Л.С.Понтрягина оказалось -невозможным. Для обхода указанной трудности в § 4 предлагается метод роения исходной жёсткой системы уравнений, состоящий в сглажи-вани^^ЩИвой части и нахождении "квазиоптимального" решения полученной уравнений.' Провести усреднение по быстропеременной правой части и сформулировать задачу управления для усредненной системы

позволяет наличие больших индуктивностей в цепях и слабое изменение Ц (Ч.) по сравнению с частотой . Для решения задачи оптимального управления используется метод последовательных приближений, предложенный Ф.Л.Черноусько и Н.В.Баничуком. Простейший вариант метода описан в § 5.

В § 6 изучается вопрос о численном решении системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (7). Для устойчивого расчета предложен переход к другим переменным и способ аппроксимации соответствующих матриц перехода. Приближенные аналитические формулы и оценки для данных матриц получены в § 7. Использование разработанной модели матриц позволило на порядок сократить время решения задачи оптимального управления. В § 8 рассматривается моделирование программного режима в условиях установки Т-15. Расчитаны различные режимы работы токамака, соответствующее им управление и параметры злектрических цепей, необходимые для оптимального проведения разряда.

Третья глава диссертации посвящена исследованию устойчивости вертикальных движений плазмы в токамаке с железным сердечником.

В § I на основе двумерной модели идеальной магнитной гидродинамики рассматриваются эволюция быстрых смещений плазмы. Расчеты показывают, что в отсутствии пассивной стабилизации круглый плазменный шнур при наличии ферромагнетика неустойчив и по вертикали и по горизонтали. При стабилизации неустойчивости в микросекундном диапазоне пассивными элементами, смещение плазмы будет происходить со скиновыми временами этих элементов. Использование двумерных .МГД-уравнений для описания таких медленных движений неразумно, поэтому необходима более простая модель.

Упрощенная модель, вертикальной устойчивости' плазменного шнура с учетом ферромагнетика приводится в § 2. Она получена усреднением МГД-уравнений по внутренним распределениям плазмы. Модель включает уравнение вертикальных движений плазменного шнура и уравнения Кирхгофа для описания наведенных токов в пассивных проводниках. Система записана в отклонении от равновесного состояния с добавлением инерционного члена. Основное наполнение данной модели составляют коэффициенты взаимоиндукции и эффективности проводников горизонтального поля, которые должны быть определены. Влияние активных обратных связей на движение плазменного шнура учитывается в § 3. Проводимое исследование позволяет получить оценку минимального коэффици-

ента обратной связи и мощности системы обратных связей, которая необходима для стабилизации вертикальной неустойчивости плазмы.

В § 4 рассматривается, алгоритм вычисления коэффициентов взаимоиндукции и эффективностей. Он основан на решении двумерных МСЗ (З)-(б). Дня тестирования численных расчетов в § 5 получены аналитические формулы для еффективностей. Использовался метод электростатических изображений, при этом реальная геометрия магнитолровода заменяется более простой. Проведенное сравнение результатов показало их хорошее соответствие. На основе приближенных формул получены аналитические критерии устойчивости.

Исследование вертикальной устойчивости плазменного шнура в Т-15 проводится в § 5. Сформулированные критерии устойчивости,, величина характерного времени, связанная с затуханием токов Фуко в пассивных проводниках, оценка мощности системы активной обратной связи позволяет в первом приближении установить возможность стабилизации вертикальной неустойчивости плазмы в токамаке с железным сердечником.

Четвертая главж диссертации посвящена созданию модели и алгоритма расчета адаптируемой программы для управления полоидальными полями с учетом поступающей экспериментальной информации. Она разрабатывается на осюве модели программного режима и позволяет корректировать управляющие токи в случае резкого нарушения условий равновесия. В качестве примера работы такой программы рассматривается задача о дополнительном нагреве плазмы (при этом происходит быстрое .изменение условий удержания плазменного шнура).

Для описания временных и пространственных зависимостей распределенных параметров плазмы в § I приводится транспортная модель в простейшей формулировке. Записываются уравнения только для электронной температуры ) и полоидального поля ЬС^"^-) :

где У1 - плотность плазмы, 1С - электронная теплопроводность, £ - проводимость плазмы, 0 он - омический нагрев, - магнитная проницаемость вакуума, - переменная вдоль малого радиуса.

Граничные условия имеют вид:

О, ТСа0,1) = *Тео ,

= о, ьОо/Ь) = 0,21р(-1)/а0.

Из решения (II)-(13) определяются временные зависимости интегральных характеристик плазмы • £>3 , £¡0) .

Связь диффузионных уравнений (II)-(13) с задачей оптимального управления (7)-(10) осуществляется только через граничные условия (13), а именно, через временную зависимость полного тока в плазме • В § 2 предлагается алгоритм совместного решения уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений. Он позволяет находить ранение задачи оптимального управления согласованно с изменением характеристик плазменного шнура. Алгоритм состоит в последовательном интегрировании диффузионных уравнений и решении задачи оптимального управления. На каждой итерации происходит пересчет , £>1(4) . ¿с СО •

В § 3 формулируется метод простой итерации для численного решения системы уравнений транспортной модели. Уравнения аппроксимируются неявной разностной схемой порядка . Граничные условия записываются со вторым порядком. На каждом временном шаге решение находится итерационно.

В § 4 показана необходимость формулировки задачи оптимального управления как задачи синтеза. Она объясняется тем, что приходится одновременно минимизировать три функционала. Полученная задача синтеза может быть сведена к решению задачи построения гарантирунцей стратегии. Однако оказывается, что определяемое при этом ранение не подходит по физическому смыслу (оно удовлетворительно только в случае не энергонапряженного режима разряда). Построить итерационный метод решения задачи для любых режимов разряда удается, если использовать априорную информацию о соотношении между собой функционалов (важности каждого критерия). Метод состоит в решении последовательности задач оптимального управления с согласованными коэффициентами штрафа при функционалах.

Алгоритм адаптации программного режима проводится в § 5. Он состоит в том, что экспериментальная информация о предыдущем разряде учитывается соответствующим изменением минимизируемых функционалов. Формулируется постановка задачи оптимального управления, кото-

рая включает эти измененные функционалы. Алгоритм работы адаптируемой программы рассматривается на примере задачи о дополнительном нагреве плазмы в § 6. При.дополнительном нагреве происходит быстрое изменение интегральных характеристик плазменного шнура, что является хорошей моделью случая, когда необходима коррекция управляющих токов. Расчеты показали, что происходит предварительное перераспределение управляющих токов для обеспечения максимально точного выполнения условий удержания плазмы. Управляющая система как бы заранее .готовится к дополнительному нагреву, т.е. чем раньше информация о начале дополнительного нагрева включается в минимизируемые функционалы, тем точнее получаемое решение. Результаты расчетов позволяют аналогично проводить учет экспериментальной информации при адаптации управляющей программы от разряда к разряду.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

• I. Создана модель временной эволюции разряда в токамаке с железным сердечником. На основе этой модели предложена и изучена постановка задачи оптимального управления удерживающими полями. Разработана и исследована модель индуктивностей проводников полоидально-го поля. Изучена модель вертткальной неустойчивости плазмы в токамаке, возникающей из-за наличия ферромагнетика. Предложена постановка задачи адаптируемого программного режима изменения управления разрядом с учетом поступающей экспериментальной информации.

2. Разработан алгоритм вычисления нелинейных индуктивностей и предложен способ аппроксимации соответствующих матриц, позволяющий проводить устойчивый расчет исходной жесткой системы уравнений. Предложен эффективный метод "квазиоптимальиого" решения, даюций возможность практического использования разработанных программ при проведении экспериментов. Создан численный алгоритм решения транспортных уравнений для распределенных параметров плазмы с нелинейными граничными условиями, содержащими управление. Разработан комплекс программ для расчета управления полоидальными полями в токамаке, адаптированный на ЭВМ, которые будут использоваться для управления экспериментами на Т-15.

3. На основе расчитанных индуктивностей смоделированы предполагаемые режимы разряда в' Т-15 и получено соответствующее им управление. Изучена стабилизация вертикальной неустойчивости плазмы в ув-тановке Т-15 и сформулированы.аналитические критерии устойчивости. Исходя из модели адаптируемой программы расчитано управление полои-

дальними полями в случае дополнительного нагрева плазмы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Андреев В.Ф., Игнатов К.А. Математическое моделирование разряда в токамаке с железным сердечником. - В сб.: Математическое моделирование кинетических и гЛГД-процессов в плазме. Изд-во Моск. ун-та, 1982, с.30-52.

2. Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П., Попов A.M., Цаун C.B. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке с железным сердечником. - Препринт ИАЭ-4056/7, М., 1984, 43 с.

3. Андреев В.Ф., Цаун C.B. Алгоритмы расчета индуктивностей системы управляющих проводников в токамаке. - В кн.: Вычислительная математика и математическое обеспечение ЭВМ. Изд-во Моск. ун-та, 1985, с.122-130.

4. Андреев В.Ф. Расчет временного хода разряда в токамаке с железным сердечником. - Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1985, № 3, с.43-47.

5. Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П., Попов A.M. Математические модели управления плазменным разрядом в токамаке. - Препринт ИАд-4214/7, M., 1985, 28 с.

6. Андреев В.Ф. Исследование устойчивости плазменного шнура при наличии ферромагнетика. - Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1986, № I, с.28-33.

7. Андреев В.Ф. Математическое моделирование временной эволюции разряда в токамаке. - В кн.: Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применение. Изд-во Моск. ун-та, 1986, с.259-266.

8. Андреев В.Ф., Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П., Попов A.M., Цаун C.B. Математические модели равновесия плазмы в токамаке с железным сердечником. Физика плазмы, M., 1986, т. 12, вып. 4, с.387-396.