Математическое моделирование свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферических объемах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО

ЭКСПЕРИМЕНТА В ЗАДАЧАХ СВОБОДНОЙ 10 КОНВЕКЦИИ

1.1. Вычислительный эксперимент как основной 10 инструмент исследований явления переноса

1.1.1. Современная технология и методология проведения теоретических исследований

1.1.2. Этапы вычислительного эксперимента

1.1.3. Математическое описание функционирования детерминированных систем

1.1.4. Фундаментальные уравнения явлений переноса

1.2. Основные подходы при организации вычислительных процедур

1.2.1. Дискретизация непрерывной области решения

1.2.2. Метод конечных разностей

1.2.3. Преобразование уравнений явлений переноса

1.2.4. Конечно-разностные схемы

1.2.4.1. Эллиптические уравнения

1.2.4.2. Параболические уравнении

1.3. Идентификация предметной области как класса задач явлений переноса

1.3.1. Математическая модель свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости

1.3.2. Исследование естественной конвекции в сферических резервуарах 40 1.3.2.1. Экспериментальные исследования и приближенные модели

1.3.2.2. Численное интегрирование

1.4. Выводы

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СФЕРИЧЕСКИХ РЕЗЕРВУАРАХ

2.1. Обобщенная формулировка уравнений Навье - Стокса в приближении Обербека Бусинеска

2.1.1. Основные допущения и векторная форма записи уравнений Обербека - Буссинеска для вязкой несжимаемой жидкости

2.1.2. Начальные и граничные условия

2.1.3. Постановка задачи для осесимметричного случая

2.1.4. Безразмерная форма записи уравнений модели

2.2. Переход от естественных переменных к переменным

Гельмгольца

2.2.1. Координатный способ перехода к переменным Гельмгольца для сферической осесимметричной задачи

2.2.2. Вычисление ротора от уравнений Обербека -Буссинеска

2.2.3. Постановка граничных условий

2.3. Выводы

ГЛАВА 3.СИНТЕЗ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕДУР РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ

3.1. Квазинеявная конечно-разностная схема

3.1.1. Дискретизация уравнений для вихря, функции тока и поля температур

3.1.2. Аппроксимация граничных условий

3.1.3. Адаптация метода верхней релаксации для решения дифференциального уравнения связи функции тока и вихря

3.1.4. Условия устойчивости конечно- разностной схемы и реализация численного решения

3.2. Неявная конечно-разностная схема

3.2.1. Дискретизация уравнений для вихря, функции тока и поля температур

3.2.2. Конечно - разностная модификация граничных условий

3.3. Реализация вычислительных процедур

3.3.1. Анализ условия устойчивости для явной схемы

3.3.2. Динамика гидротермических полей

3.4. Выводы

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

ЭКСПЕРИМЕНТОВ

4.1. Свободная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в сферическом объеме при граничных условиях 1-го рода

4.1.1. Методика проведения расчетов

4.1.2. Структура гидротермических полей и обобщение результатов

4.2. Свободная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в сферическом объеме при граничных условиях 2-го рода

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Структура гидродинамических и тепловых полей

4.3. Прогнозирование времени бездренажного хранения криогенных жидкостей 124 4.3.1. Исходные данные и основные допущения

4.3.2. Результаты и практические рекомендации

Появление широкодоступных и быстродействующих ЭВМ резко изменило характер научных исследований - наряду с теоретическим и экспериментальным подходом получил развитие так называемый вычислительный подход (вычислительный эксперимент). Задачи, которые сейчас с малыми затратами решаются на вычислительных комплексах за несколько секунд, всего 20 - 30 лет назад известными в то время численными методами на существовавших ЭВМ могли быть решены лишь за несколько лет.

Особенно роль и значение нового подхода проявились при решении задач явлений переноса в ракетно-космической технике, теплоэнергетике, химической и пищевой технологиях, гео- и астрофизических исследованиях, охраны окружающей среды и т.д., что потребовало внедрения в практику методов точного расчета теплообмена, позволяющих учитывать сложные условия на границе. В настоящее время наиболее полно исследован теплообмен при вынужденном движении жидкости. В то же время все большее распространения получают устройства, в которых происходит свободная конвекция. В первую очередь это относится к атомным энергетическим установкам, радиоэлектронным устройствам, системам электроотопления, криогенике и др. В связи с этим значительный интерес представляет исследование свободной конвекции в наиболее часто применяемых на практике геометрических областях, например, в сфере.

Главное различие между свободной и вынужденной конвекцией заключается в самой природе течения. При вынужденной конвекции наложенное внешнее течение в общем случае известно, а при свободной конвекции течение возникает в результате взаимодействия разности плотностей с гравитационным или каким-либо другим полем массовых сил, и поэтому оно постоянно связано с полем температуры и зависит от него. Таким образом, возникающее течение заранее не известно, и его нужно определить из совместного рассмотрения процессов тепло - и массообмена и механизма течения жидкости.

Математическая модель такой физической картины обычно представляется уравнением Навье - Стокса в виде Обербека — Буссинеска с соответствующими начальными и краевыми условиями, которые в общем случае не решены. Поэтому для получения информации о свободноконвективном течении и о параметрах теплообмена необходимо применять специальные вычислительные процедуры с их реализацией на компьютерных системах.

Диссертация выполнялась в рамках госбюджетной НИР Воронежской государственной технологической академии по теме «Математическое обеспечение структурного и параметрического анализа технологических, технических и информационных систем» (№ гос. per. 01.20.0011235).

Цель работы - разработка математических моделей и пакета прикладных программ для проведения и анализа результатов вычислительных экспериментов по свободной конвекции в вязкой несжимаемой жидкости в сферических объемах.

Задачи исследования:

• анализ существующих подходов при математическом моделировании и проведении вычислительного эксперимента во внутренних задачах свободной конвекции;

• синтез и анализ математических моделей явлений переноса в сферической системе координат на основе уравнений Навье — Стокса в приближении Обербека - Буссинеска;

• разработка полунеявной и неявной конечно-разностных схем для численного решения уравнений моделей;

• создание пакета прикладных программ для реализации вычислительных экспериментов;

• проведение вычислительных экспериментов по свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферических резервуарах, анализ и обобщение результатов.

Методы исследований. Теоретические и практические разработки, представленные в диссертации, базируются на применении математического аппарата и методов теории гидромеханических, тепло- и массообменных процессов, теории систем и моделирования, вычислительной гидродинамики. Научная новизна.

1) на основе уравнений Навье - Стокса в приближении Обер-бека - Буссинеска получены математические модели свободно конвективных течений в осесимметричной постановке для сферических объемов в переменных Гельмгольца при граничных условиях типа Дирихле и Неймана и предложены алгоритмы их численного анализа;

2) установлены устойчивость полунеявного и сходимость неявного конечно-разностных аналогов уравнений модели, а также условия их применения в задачах о свободной конвекции для сферической геометрии, получены оценки точности расчетных результатов проведения вычислительных экспериментов из теплового и импульсного интегральных балансов;

3) идентифицирована структура гидродинамических и тепловых полей ламинарных свободноконвективных течений в сферических объемах при различных тепловых нагрузках и теплофизических характеристиках жидкостей, на основе которой предложена обобщенная критериальная зависимость для описания безразмерного коэффициента теплоотдачи;

4) предложена методика прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей.

Практическая значимость и реализация результатов работы. Математические модели, вычислительные алгоритмы и прикладные программы позволяют осуществлять эффективный анализ и получать результаты по контролю и прогнозированию гидротермической обстановки при естественной конвекции ньютоновских жидкостей в сферических объемах в зависимости от тепловой обстановки на смоченной границе.

Результаты диссертационной работы в виде алгоритма и методики расчета теплообмена в сферических резервуарах в условиях свободной конвекции используются в КБХА, о чем имеется соответствующий акт.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на: международной конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования информационных и электронных технологий» (Москва, 2003);XVI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (С - Петербург, 2003); XII Всероссийской научно-технической конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования (Тамбов, 2004); VI международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии» (Воронеж, 2005) и отчетных научных конференциях Воронежской государственной технологической академии (2003-2005).

Работа выполнялась на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии.

3.4. Выводы

1. Для численного решения системы уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца в сферической системе координат предложено использовать конечно-разностную технологию на равномерных сетках области интегрирования как наиболее эффективный и часто применяемый метод.

2. Разработана квазинеявная вычислительная схема, основанная на методе верхней релаксации для уравнения функции тока и маршевых вычислительных процедур по безразмерному времени для уравнений вихря и теплообмена. Для повышения устойчивости численных результатов матрица коэффициентов домножена на ей сопряженную. Для аппроксимации граничных условий применены разложения потенциалов с повышенным порядком точности. На основе алгоритма фон Неймана получены интегральные необходимые условия устойчивости, которые показали качественную и количественную адекватность по результатам вычислительных экспериментов.

3. Разработана полностью неявная схема для решения уравнений модели (уравнения для вихря и температуры также интегрируются методом верхней релаксации). Получено, что параметры релаксации, близкие к единице справа, обеспечивают наибольшую эффективность и сходимость. Модификация дискретных аналогов граничных условий обеспечила требуемую точность аппроксимации.

4. Сравнительный численный анализ обеих схем интегрирования показал, что особых преимуществ эти схемы друг перед другом не имеют. Более того, явного выигрыша во времени вычислений по неявной схеме получено не было, т.к. на самом деле увеличение шага интегрирования приводило к рассогласованию с физическим временем, что в итоге давало физическую неустойчивость наблюдаемых результатов.

5. Пилотные вычислительные эксперименты по разработанному программному обеспечению продемонстрировали приемлемую адекватность математической модели.

Глава 4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

ЭКСПЕРИМЕНТОВ

4.1. Свободная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в сферическом объеме при граничных условиях 1-го рода

Большинство исследований по термоконвекции во внутренних задачах, в том числе и в сферических объемах, посвящено определению среднеинте-гральных характеристик. Однако, как указывается в [85], из-за существенно динамической картины полей в начальные моменты времени, даже в ламинарном режиме наблюдается неустойчивость течения. Тем не менее, отсутствуют публикации, касающиеся изучения структуры и закономерностей этой неустойчивости, которая имеет практические применения. Например, при эксплуатации жидкостных криогенных систем [88] время хранения сжиженных газов может быть меньше времени установления квазистационарного периода.

4.1.1. Методика проведения расчетов

При проведении расчетов сделаны допущения: в сферическом объеме находится вязкая несжимаемая жидкость, имеющая постоянную однородную температуру tt; в некоторый момент времени, принимаемый за начальный, температура на стенке изменяется скачкообразно до tw. Для осесимметричной задачи система уравнений в переменных Гельмгольца запишется, как и в главе 2 п. 2.1.3. Интегрирование системы (2.60) - (2.68) осуществлялось численно с использованием метода конечных разностей, дискретный аналог которого приведен в главе 3.

Расчеты проводили по исходным данным из [128]: жидкость - воздух при начальной температуре t{ = 0°С; радиус сферического объема г0 = 0,1525 м; температура стенки tw = 5,б°С. Выбор шагов интегрирования по координатам и времени осуществлен с учетом [129]. Для количественной адекватности предлагаемого алгоритма решена задача при Gr = 1, Рг = 0,707, соответствующая кондуктивному режиму термоконвекции. Согласно [139] поле температур в задаче теплопроводности для шара с граничными условиями 1-го рода имеет вид: г+1 sin(TmR) о оо

T(R, Fo) = — (— 1)п~

К 71=1 где Fo = ат / г02. Градиент температуры на границе дТ( l,Fo) nR ехр(—n2/rc2 Fo), dR -2^exp(-nV Fo).

4.1) n=1

Ограничиваясь в (4.1) первым членом ряда, имея в виду, что Fo = Pr- Zh, и согласно определению числа Нуссельта [140], получим

Nu (Zh) = 2 exp

2 2 —п тт

Zhl

PrJ

2 0

Результаты (рис. 4.1) свидетельствуют о приемлемой точности метода.

Zh

Рис. 4.1. Сравнение численного и аналитического решения задачи термоконвекции для кондуктив-ного режима при Рг = 0,707 и

Gr = 1 аналитическое о численное I

4.1.2. Структура гидротермических полей и обобщение результатов

В момент изменения температуры стенки сферы до tw в пристеночной области толщиной « 0,1 г0, состоящей из двух концентрически расположенных слоев, возникает движение жидкости в противоположных направлениях, причем у стенки наблюдается движение вниз. В следующий момент времени область течения расширяется до « 0,7г0 и состоит из шести концентрических слоев жидкости с чередующимся направлением движения (рис. 4.2), причем тангенциальную скорость в экваториальном сечении рассчитывали по формуле V 2

V. 1

R. — .Q 2

Г 1 к £ ) V 1 Л] ( 1 у

-R, —,0 + VI Д,—,0

2 \ / 2 к A j

Рис. 4.2. Тангенциальная безразмерная скорость в экваториальном сечении сферы

-0,0000001

На следующем шаге по времени течением охвачен весь шаровой объем. С ростом числа Zh толщина концентрических слоев жидкости начинает непрерывно увеличиваться, а их число соответственно уменьшаться. При Zh = 0,0012 в шаровой полости остается только две области с восходящим у стенки и нисходящим в остальной части сферы потоками. Картина течения для числа Zh = 5 • 10~5 видна из рис. 4.3 (1).

7 8 9 10 11 12

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

43 44

Рис. 4.3. Динамика изменения функции тока при Gr = 4,05 • 10° ; Pr = 0,707 (расшифровка рисунков в табл. 4.1.)

Как показывают расчеты, тепловое возмущение к этому времени захватывает пристеночную область толщиной ^ 0,15го, а изотермы, как и линии тока, представляют собой концентрические окружности, что соответствует кондуктивному режиму распространения теплоты (рис. 4.3 (1)).

Начиная с момента времени Zh = 3 • 10~4 (рис. 4.3 (2-4)), центр пристеночной циркуляции жидкости начинает смещаться вверх от горизонтального радиуса, вызывая накопление прогретой жидкости в верхней части сферы (рис. 4.4 (2)), а в центральной части экваториального сечения восходящий поток среды становится все существенней.

Взаимодействие нисходящего фронта прогретой жидкости с холодными восходящими потоками приводит к появлению при Zh = 0,0012 в верхней части шаровой полости вихря, который начинает свое движение по сложной S - образной траектории против часовой стрелки (рис. 4.3 (5-14)). о , -0,4 , -0.8-1

MHllllllllllllllllnnl,

-04 -0.8-1

-04 -08-1

1 g-

43

Рис. 4.4. Динамика изменения температурного поля npnGr = 4,05 • 106;

Рг = 0,707 (расшифровка рисунков в табл. 2)

Период нисходящего движения вихря равен Д Zh = 0,0016 и соответствует продолжительности погружения прогретой жидкости от верхней до нижней точки вертикального диаметра сферы (рис. 4.4 (3-12)).

За счет конвективного перемешивания область непрогретой жидкости с исходной температурой непрерывно уменьшается и, смещаясь вниз, практически исчезает при Zh = 0,0022 (рис. 4.4 (2-7)).

С момента возникновения вихря скорость нисходящего потока жидкости в центре сферы возрастает от нуля до максимального значения при Zh = 0,0024 (рис. 4.2), когда над основным вихрем образуется вторичный вихрь того же направления (рис. 4.3 (11)). Возникновение вторичного вихря связано с отрывом части нисходящего по оси сферы теплого потока жидкости и его взаимодействием с вынесенной восходящим у стенки течением холодной массой среды (рис. 4.4 (9)).

Неустановившийся колебательный характер движения в сфере при небольших числах Zh подтверждают зависимости максимальных значений функций тока Фто и вихря а также среднеобъемной безразмерной температуры Ts и среднего по поверхности сферы числа Нуссельта Nus от продолжительности конвекции (рис. 4.5 - 4.6 ).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе уравнений Обербека-Буссинеска разработана математическая модель свободноконвективного течения вязких несжимаемых жидкостей во внутренних задачах сферической геометрии, позволяющей рассчитывать нестационарные гидротермические поля при различной тепловой обстановке на смоченной поверхности.

2. Разработаны вычислительные алгоритмы для численного интегрирования уравнений модели, с помощью которых построены конечно-разностные схемы квазинеявного и неявного типов; получены условия устойчивости и сходимости, апробация которых показала их корректность и условия применения.

3. Создан пакет прикладных программ для реализации вычислительных экспериментов в среде DELPHI с интерфейсом в MAPLE для пространственной визуализации результатов расчетов.

4. Проведены вычислительные эксперименты для сферических объемов, что уточнило механизм возникновения свободной конвекции и структуры гидродинамических и тепловых полей при различных тепловых нагрузках.

5. Разработана методика прогнозирования длительности бездренажного хранения криогенных жидкостей в наземных резервуарах сферической формы.

1. Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А.А. Самарский М.: Физматлит, 2001. - 320с.

2. Попов Ю.П. Вычислительный эксперимент / Ю.П. Попов, А.А. Самарский -М.: Знание, 1983. 64с.

3. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент / А.А. Самарский // Вестн. АН СССР, 1979. - №5. - с.38-49.

4. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа / Н.Н. Моисеев-М.: Наука, 1981.-488с.

5. Дородницын А.А. Информатика: предмет и задачи. Кибернетика. Становление информатики. / А.А. Дородницын М.: Наука, 1996 -293с.

6. Петров А.А Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент / А.А. Петров М.: Наука, 1996 - 308с.

7. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент / Н.Н. Моисеев — М.: Наука, 1979.-223с.

8. Белоцерковский С.М. ЭВМ в науке, авиации, жизни / С.М. Белоцерковский М.: Машиностроение, 1993. - 205с.

9. Пахомова Н.А. Методика формирования понятия «Вычислительный эксперимент» / Н.А. Пахомова М.: Наука, 1992. - 234с.

10. Охлопков Н.М. Введение в специальность «Прикладная математика» / Н.М. Охлопков, Г.Н. Охлопков Якутск: ЯГУ - 1997. - 3 Юс.

11. Сениченков Ю.П. Три урока по теме «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент с помощью Model Vision» / Ю.П. Сениченков М.: Наука, 1998. - 208с.

12. Самарский А.А. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент / А.А. Самарский М.: Наука, 1988. - 406с.

13. Поспелова Д.А. Информатика. Энциклопедический словарь / Д.А. Поспелов М.:Наука, 1994. - 504с.

14. Самарский А.А. Что такое вычислительный эксперимент? Что такое прикладная математика / А.А. Самарский М.: Знание, 1980. - 368с.

15. Тихонов А.Н. Рассказы о прикладной математике. / А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров -М: Знание, 1980.-357с.

16. Смит Дж. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Дж. Смит, Р. Харес Т.1: Пер. с англ. -М.: Мир, 1990. - 384с.

17. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит. -1987. - 840с.

18. Ландау Л.Д. Теоретическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц- М.: Наука, 1988.-736с.

19. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигматулин-М.: Наука, 1978 -336с.

20. Лайтфут М., Явления переноса / М. Лайтфут, Дж. Хадмард Пер. с англ. -М.: Мир, 1990. - 502с.

21. Садов В.А. Механика сплошных сред / В.А. Садов М.: Наука, 1986 -406с.

22. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский М.: Наука, 1977 - 386с.

23. Курант Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант М.: Наука, 1967-386с.

24. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров -М.: Наука, 1988-342с.

25. Морс Ф.М. Методы теоретической физики / Ф.М. Морс, Г.Ф. Фешбах -М.: ИЛ, 1958-648с.

26. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов-М.: Наука, 1983 -408с.

27. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики / Р. Рихтмайер т.2. М.: Наука: 1984 - 402с.

28. Taylor А.Е. Advanced calculus. Boston, 1955. - 437р.

29. Ладнхенская О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладнхенская М.: Знание, 1973 - 348с.

30. Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач / В.Я. Арсенин -М.: Наука, 1986-389с.

31. Hadamard J. Lectures on Cauchy's Problems in linear partial differential equations. New York, 1959. - 402p.

32. Малкин B.T. Реология полимеров / B.T. Малкин М.: Наука, 1985 -304с.

33. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг- М.: Наука, 1997 -408с.

34. Гиршфельдер Дж. Молекулярная теория газов и жидкостей / Дж. Гиршфельдер, Ч. Картисс, Р. Берд-М.: Ил, 1961. 392с.

35. Дорренс У. Гиперзвуковые течения вязкого газа / У. Дорренс М.: Мир, 1966-298с.

36. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О.М. Белоцерковский М.: Наука, 1997 - 442с.

37. Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский М.: Наука, 1983.-368с.

38. Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию / С.К. Годунов, B.C. Рябеньский М.: Знание, 1977 - 402с.

39. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук- М.: Мир, 1980-368с.

40. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнения / А.А. Самарский, Е.С. Николаев М.: Наука 1978 -302с.

41. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар М.: Энергопромиздат, 1984 - 426с.

42. Острах С. Естественная конвекция внутри горизонтального цилиндра / С. Острах, Э.Р. Мэнолд // Тепло- и массоперенос, т. 1 «Тепло- и массоперенос при взаимодействии тел с потоками жидкостей и газов» -М.: Энергия, 1968 - с. 640 - 661.

43. Белоцерковский О.М. Метод расщепления а применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.М. Белоцерковский, В.А. Гущин, В.В. Щенников // ЖВМ и МФ. 1975. - т. 15. - №1. - с. 197-207.

44. Березин И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков т. 1, М.: Наука, 1966-480с.

45. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд, М.: Мир, 1967-395с.

46. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов .- М.: Наука, 1975 -476с.

47. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч М.: Мир, 1980 -616с.

48. Шикловский Р.Т. Теория управляемых систем / Р.Т. Шикловский — М.: Физматлит, 1986-346с.

49. O'Brein G.G., Hyman М. A., Kaplan S.A. Study of numerical solution of partial differential equations.// J. Math. Phys. 1950, v. 29. p. 223-251.

50. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская М.: Наука, 1970 — 288с.

51. Courant R., Friedrichs К.О., Lewy Н. On the partial difference equations of the mathematical physics.// IBMJ. Res. Dev., 1967, v. 11. - p. 215 - 234.

52. Aziz K., Heliums J.D. Numerical solution of the three-dimensional equations of motion for laminar natural convection// Phys. Fluids. 1967. - v. 10. - p. 314-324.

53. Белолипецкий В.М. Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости / В.М. Белолипецкий, В.Ю. Костюк, Ю.И. Шокин-Новосибирск: Наука, 1991. 176с.

54. Agarwal R.K. A third-order accurate upwing schem for Navier - Stokes solution in three dimensions// Proc. ASME/AIAA Conference on Computers in Flow Predictions and Fluid Dynamics Experiments. Washington D.C. -1981. -p 73 -82.

55. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems// J. Сотр. Phys. 1967. - v.2. - p. 12 - 26.

56. Thom A., Apelt C.J. Field computations in Engineering and physics. -Princeton, New Jersey: C. Van Nostrand, 1961 p.

57. Камке M.T. Справочник по математике для научных работников и инженеров / М.Т. Камке М.: Наука, 1982 - 502с.

58. Buneman О. A compact non-iterative Poisson solver. Institute for Plasma research SUIPR Report 294, Stanford University. California, 1969. - p.

59. Hockney R.W. A last direct solution of Poisson's equation using Fourier analysis// J. Assoc. Comput. Math. 1965. -v. 12. - p. 95 - 113.

60. Мартин Дж., Ломаке P. Конечно-разностные методы быстрого расчета дозвуковых и трансзвуковых течений в аэродинамике / Дж. Мартин, Р. Ломаке // Ракетная техника и космонавтика 1975, т. 13. №5. - с. 45.

61. Shumann U. Fast elliptic solvers and their application in fluid dynamics// Computational Fluid Dynamics Washington, D.C., Hempshire, 1980. - p. 402-430.

62. Ames W.F. Numerical methods for partial differential equations New York: Academic, 1997-p.

63. Mitchell A.R., Griffiths D.F. The finite difference method in partial differential equations.-Chichester: Wiley, 1980-p.

64. Benton E.R., Platzman G.W. A table of solutions of the one-dimensional Burgers equation// Quart. Appl. Math. 1972. - v.30. - p. 195 - 212.

65. Peyret R., Viviand H. Computation of viscous compressible flows based on the Navier Stokes equations. - 1975. - AGARD-AG-212

66. Бранловская И.Ю. Разностная схема для численного решения двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа / И.Ю. Бранловская // ДАН СССР 1993 - т. 160. №5 - с. 1042-1045.

67. Allen J.S., Cheng S.I. Numerical solutions of the compressible Navier-Stokes equations for the laminar wake// Phys. Fluids. 1970. - v. 13.- p. 37 -52.

68. Palumbo D.J., Rubin E.L. Solution of the two-dimensional unsteady compressible Navier Stokes equations using a second - order accurate numerical scheme// J. Сотр. Phys. - 1972. - v.9 . — p. 466 - 495.

69. Маккормак P.B. Численный метод решения уравнений вязких течений / Р.В. Маккормак // Аэрокосмическая техника 1983 - т. 2. №4. - с. 114123.о

70. Джалурия И. Естественная конвекция: Тепло- и массообмен / Джалурия Й. — М.: Мир, 1983-408с.

71. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи / Г.А. Остроумов Л.:ГИТТЛ, 1952. - 386с.

72. Гершуни Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий М.: Наука, 1972. - 402с.

73. Патанкар С.В. Тепло- и массобмен в пограничных слоях / С.В. Патанкар, ДБ. Сколдинг- М.: Энергия, 1971 376с.

74. Острах С. Естественная конвекция внутри горизонтального цилиндра / С. Острах, Э.Р. Мэнолд // Тепло- и массоперенос, т. 1 «Тепло- и массоперенос при взаимодействии тел с потоками жидкостей и газов» -М.: Энергия, 1968. с. 640 - 661.

75. Гебхарт Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен / Б. Гебхарт, Й. Джалурия, Р. Махаджан, Б. Самакия М.: Мир, 1991. -528с.

76. Полежаев В.И. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье Стокса / В.И. Полежаев, А.В. Бунэ, Н.А. Верезуб и др. -М.: Наука, 1987. - 271с.

77. Вебер Н. Теплоотдача свободной конвекцией в замкнутых сферических контейнерах / Н. Вебер, Р. Поу, Е. Бишоп, Д. Скэнлэн //Труды америк. Об-ва инж.- мех., сер. Теплопередача, 1975, №4, С. 27.

78. Протопопов М.В. Особенности свободно-конвективного пограничного слоя в стратифицированной по температуре среде / М.В. Протопопов, С.Г. Черкасов //Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. №1.С. 27-34.

79. Слеттери Дж. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах / Дж. Слеттери М.: Энергия, 1978. - 448с.

80. Протодьяконов И.О. Явления переноса в процессах химической технологии / И.О. Протодьяконов, Н.А. Марцулевич, А.В. Марков Л.: Химия, 1981.-264с.

81. Шмидт Е. Versuche zum Warmeubergag bei natulicher konvektion// Chemie-Jug. Tech. 1956. №3.-p. 134 - 146.

82. Кириченко Ю.А. Экспериментальное исследование теплообмена в осесимметричных объемах при граничных условиях II рода / Ю.А. Кириченко, В.Н. Щелкунов // Инж. -физ. Журнал. 1974. -т.27. - №1. -с. 5-14.

83. Острах С. Естественная конвекция внутри горизонтального цилиндра / С. Острах, Э.Р. Мэнлоу // Тепло- и массоперенос. Т. 1. Тепло- и массоперенос при взаимодействии тел с потоками жидкостей и газов. — М.: Энергия, 1968. с. 642 - 660.

84. Chow M.Y., Akins R.G. Pseudosteady state natural convection inside spheres // Trans. ASME, J. Heat Transfer.-1975.-v.97C.-№l.-p.54-59.

85. Драхлин E. О тепловой конвекции в сферической полости / Е. Драхлин // Журнал технической физики. 1952. - т.22. - вып. 5. с. 829 - 831.

86. Шайдуров Г.Ф. О конвективном теплопереносе через шаровую полость / Г.Ф. Шайдуров // Журнал технической физики. — 1958. — т.28. №4. -с. 855-861.

87. Пустовойт С.П. О нестационарной тепловой конвекции в сферической полости / С.П. Пустовойт // Прикладная математика и механика. 1958. -т. 22. - №4. - с. 568-572.

88. Мс Bain G.D. Convection in a horizontally heated sphere // J. Fluid Mech. -2001.-v. 438.-pp. 1-10.

89. Кириченко Ю.А. К расчету температурного расслоения в заполненных жидкостью замкнутых емкостях при постоянной плотности тепловогопотока на оболочке / Ю.А. Кириченко // ИФЖ. 1978. т.34. - №1. - с. 5 -11.

90. Mochimary Yo. Transient natural convection heat transfer in a spherical cavity // Heat Transfer Jap. Res. 1989 - v. 18. -№4. - pp. 9 -19.

91. Arpaci V.S., Larsen P.S. Convection heat transfer, 52, Prentice Hall., 1984.

92. Aziz K., Heliums J.D. Numerical solution of three dimensional equations of motion for laminar natural convection // Phys. Fluids. - 1967. v. 10. - p. 214-324.

93. Whitley H.G. Ill, Vachon R.I. Transient laminar free convection in closed spherical containers // J. Heat Transfer, Trans ASME, series C. 1972. - v. 94.-pp.360-366.

94. Wilkes J.O., Churchill S.W. Enclosure // AIChE Journal, 1966. - v. 12. -№1.

95. Clark J.A., Barakat H.Z. Transient laminar free convection heat and mass transfer in closed, partially filled, liquid containers / Technical report 1, NASA Contract Number NAS80825, University of Michigan, Ann Arbor, Mich.-1964.

96. Берковский Б.М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков —Мн.: Университетское, 2001.-186 с.

97. Gentry R.A., Martin R.E., Daly, B.J. An eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems // J. Comput. Phys. 1966. - v. 1. - p. 87-118.

98. Белоцерковский O.M. Метод расщепления а применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.М. Белоцерковский,

99. В .А. Гущин, В.В. Щенников // ЖВМ и МФ. 1975. - т. 15. - №1. - с. 197 -207.

100. Калис Х.Э. Плоскопараллельное течение вязкой несжимаемой жидкости в каналах под влиянием поперечного магнитного поля / Х.Э. Калис, А.Б. Цинобер // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1967. -№8., вып. 2.-с. 16-22.

101. Мажорова О.С. Об одном алгоритме численного решения двумерных уравнений Навье Стокса / О.С. Мажорова, Ю.П. Попов - М.: 1979. -18 с. (препринт / АН СССР, ИПМ им. М.В. Келдыша, №37.).

102. Формалев В.Ф. Метод переменных направлений с экстраполяцией численного решения задач теплопроводности и конвективными членами / В.Ф. Формалев, О.Р. Воробьева // Вестн. Моск. авиац. ин -та. 1998. -т.5. -№1. -с. 41 -48.

103. Peaceman D.W., Rachford Н.Н. The numerical solution of parabolicand elliptic differential equations / Journ. Soc. Industr. Appl. Math. 1995. - v. 3.-№l/-p/28-41/

104. Абрашин B.H. Многокомпонентные итерационные методы переменных направлений / B.H. Абрашин // Матем. моделир. 2000. - т. 12. - №2. -с. 45-58.

105. Самарский А.А. Численные методы решения задач конвекции -диффузии / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич М.: Эдиториал УРСС, 1999.-248 с.

106. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук М.: Наука, 1988-264с.

107. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / Н.Н. Яненко Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967- 196с.

108. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики / Ф.Х. Харлоу // Вычислительные метод в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - с. 316 - 342.

109. Harlow F.H., Welsh J.E. Numerical calculation of time dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. - 1963. - v. 8. -№12.-p. 2182-2189.

110. Chorin A.J. Numerical solution of the Navier Stokes equations // Math. Comput. - 1968. - v. 22. - p. 775 - 762.

111. Темам P. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам - М.: Мир, 1981 - 408с.

112. Белоцерковский О.М. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.М. Белоцерковский, В.А. Гущин, В.В. Щенников // ЖВМ и МФ. 1975. т. 15. -№1. с. 197 -207.

113. Воеводин А.Ф. Метод расщепления по физическим процессам для расчета задач конвекции / А.Ф. Воеводин, О.Н. Гончарова // Матеем. моделир.-2001.-т. 13.-№5.-с. 90-96.

114. Гончаров В.А. Численная схема моделирования задач термоконвекции / В.А. Гончаров, Е.В. Марков // ЖВМ и МФ. 1999. - т.39. - №1. - с. 87 -97.

115. Вольциферов К.В. Вычислительная гидродинамика / К.В. Вольциферов -М.: Знание, 1992-405с.

116. Кускова Т.В. Повышение точности приближенных граничных условий для вихря / Т.В. Кускова, JI.A. Чудов // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1967. - вып. 2, №8. - с. 92 - 96.

117. Pearson С.Е. A computational method for viscous flow problems // J. Fluid Mech.- 1965.-v. 21, №4.-p. 611 -622.

118. Woods L. C. A note on the numerical solution of fourth order differential equations //Aeronaut. Quart. 1954. - v. 5, №3. - p. 176 - 184.

119. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий для нестационарных уравнений Навье Стокса в переменных вихрь - функция тока // Числ. методы механики сплошн. среды. -Новосибирск, 1979. - т. 10, №2 - с. 49 - 58.

120. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука,2004. 326 с.

121. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости JI.: Гидроматсоиздат, 1986. - 352 с.

122. Вабищевич П.Н. Неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навье Стокса в переменных функция тока - вихрь // Диф. Уравнения. - 1984. - т. 20. - №7. - с. 1135 - 1144.

123. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Эдиториал УРСС, 2003. 784 с.

124. Мартыненко О.Г. Свободно-конвективный теплообмен / О.Г. Мартыненко, Ю.А Соковишин. Справочник под ред. Р.И. Солоухина. -Минск: Наука и техника.-1982.-358 с.

125. Whitney H.G. III, Vachon R.I. Transient laminar free convection in closed Spherical Containers// J. of heat transfer, Trans. ASME, Series C, v.94, 1972, p.360-366

126. Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Зайцев В.А. Анализ свободной термоконвекции в сферических резервуарах при граничных условиях второго рода//Вестник ВГТУ. Сер. Энергетика,2004. Вып.7.4. С.5-10

127. McBain G. D. Convection in a horizontally heated sphere // J. Fluid Mech., v. 438, 2001, pp. 1-10

128. Chow M.Y., Akins R.G. Pseudosteady-State Natural Convection Inside Spheres // Trans. ASME, J. Heat Transfer, №2, 1975, pp, 54-59

129. Hutchins J., Marschall E. Pseudosteady-state natural convection heat transfer inside spheres // International Journal of Heat and Mass Transfer, v. 32, № 11, 1989, pp. 2047-2053

130. Ряжских В.И. Синтез математической модели естественной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферической емкости / В.И. Ряжских, М.И. Слюсарев, А.А. Богер, В.А. Зайцев // Вестник ВГТУ. Сер. Энергетика, вып. 7.3, 2003, С.14-17

131. Беляков В.П. Криогенная техника и технология / В.П. Беляков М.: Энергоиздат, 1982-272с.

132. Малков М.П. Справочник по физико-техническим основам криогеники / М.П. Малков М.: Энергия, 1973.-392с.

133. Водород: Свойства, получение, хранение, транспортирование, применение.-М.: Химия, 1989.-228с

134. Филин Н.В. Жидкостные криогенные системы / Н.В. Филин, А.Б. Буланов — JL: Машиностроение, 1985. 247с.

135. М.П. Малков Жидкий водород (Сб. переводов) / М.П. Малков М.: Мир, 1964 .-416с.

136. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков М.: Высшая школа, 1967-599с.

137. Кэйс В.М. Конвективный тепло- и массообмен / В.М. Кэйс М.: Энергия, 1972-448с.

138. Рихтмайер Р. Разностные методы решения краевых задач / Р. Рихтмайер, К. Мортнон М: Мир, 1972 - 420с.