Исследование движения вязкой теплопроводной жидкости с переменными характеристиками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГВ од

1 3 дек т

На правах рукописи

Юсупов Ильдус Юнусович

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

01.02.05 — механика жидкости, газа н плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары — 2000

Работа выполнена на кафедре прикладной и дискретной математики Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научный руководитель: заслуженный деятель науки ЧР,

академик НАНИ ЧР, доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Терентьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н.Д. Якимов кандидат физико-математических наук, доцент В.Н. Васильев

Ведущая организация: Казанский государственный

технический университет им. А.Н. Туполева

Защита состоится 22 декабря 2000 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета К 064.15.02 в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова по адресу: 428015, г. Чебоксары, Московский проспект, д. 15, ауд. Н-06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного университета.

Автореферат разослан 21 ноября 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук,

доцент

В.В. Никитин

^зн.Зс.нь, о

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Исследования конвективных течений вязкой теплопроводной жидкости — важное направление в механике жидкости и газа. Большое прикладное значение этих исследований определяется широким распространением конвективных процессов в природе и технике. Создание математических моделей, реализация начально-краевых задач на ЭВМ требует корректности постановки краевых задач. Поэтому большое значение имеет вопрос существования и единственности решения краевых задач. Поскольку подобные задачи описываются сравнительно сложной системой дифференциальных уравнений в частных производных, аналитическое решение которых можно найти лишь в ряде частных случаев, то является актуальной не только исследование вопросов существования и единственности решений различных моделей течений, но и разработка численных методов решения таких задач.

Целью диссертационной работы является постановка и исследование вопроса корректности математической модели конвективного движения вязкой теплопроводной жидкости; разработка эффективного численного метода исследования конвективного течения в прямоугольной области с различными граничными условиями.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) установлена теорема существования обобщенного решения начально - краевой задачи конвективного течения вязкой теплопроводной жидкости;

2) доказана однозначная разрешимость такой задачи;

3) предложена эффективная методика решения систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих конвективное течение с переменными коэффициентами вязкости и температуропроводности. Данная методика основана на применении в методе переменных направлений монотонной аппроксимации конвективных членов направленными разностями;

4) получены численные решения и проведен анализ структуры течения вязкой теплопроводной жидкости для некоторых задач конвективного течения.

Достоверность полученных результатов работы обеспечивается апро-бированностью приближения Обербека - Буссинеска, строгостью математической постановки задач, сравнением решений тестовых задач с точными решениями и численными решениями других авторов.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы позволяют выявить закономерности конвективного течения вязкой теплопроводной жидкости. Они могут быть использованы при численном расчете линий тока и поля температуры для прямоугольных областей, а также при определении застойных зон за прямоугольным нагретым выступом. Полученные результаты представляют также и теоретический интерес и могут быть использованы при изучении теории краевых задач. Материалы диссертации были включены в программу спецкурсов, которые автор читал студентам физико-математического факультета Чувашского госуниверситета.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции "Уравнения математической физики. Методические и прикладные вопросы" (г. Ленинград, 1982 г.); на межвузовской конференции "Молодые ученые XIX съезду комсомола" (г. Ленинград, 1982 г.); на Всесоюзном научно-практическом семинаре " Прикладные аспекты управления сложными системами " (г. Кемерово, 1983 г.); на научных конференциях факультета ПМ-ПУ Ленинградского госуниверситета (г. Ленинград, 1981-83 г.г.); на конференции молодых ученых НИИ механики и Горьковского университета (г. Горький, 1985 г.); на республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов (г. Чебоксары, 1985, 1987 г.г.); на Всесоюзной научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (г. Чебоксары, 1992 г.); на научном семинаре кафедры теории управления Ленинградского госуниверситета (г. Ленинград, 1981-86 г.); на итоговых научных конференциях преподавателей и сотрудников Чувашского госуниверситета (г. Чебоксары, 1984-2000 г.г.); на научном семинаре "Взаимодействие сплошных сред" под руководством профессора А.Г. Терентьева в г. Чебоксары.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы из 165 наименований. Работа изложена на 136 страницах, содержит 22 рисунка.

Во введении обоснована актуальность темы и цели диссертации, дан обзор литературы, кратко изложено содержание работы и приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава состоит из трех параграфов и содержит некоторые факты, являющиеся вспомогательными в дальнейшем.

В § 1 дана общая постановка задачи, приводится основная система уравнений конвективного движения, сформулированы начальные и граничные условия.

При изучении особенностей конвекции обычно применяются различные упрощения, которые не искажая физической сути явления, позволяют исследовать ее с помощью доступных методов. Часто используется приближение, которое называется приближением Обербека-Буссинеска.

В § 2 рассматривается система уравнений тепловой конвекции в приближении Обербека-Буссинеска

Пусть П — ограниченная область; 5 = 5П — состоит из твердой части и свободной поверхности Яг, тогда система уравнений тепловой конвекции в приближении Обербека - Буссинеска имеет вид:

vt + (v, V)v = -VP -+ i/Av 4- 2(Vf, V)v + Vi/ x rot v - /?g0, (1.2)

Содержание работы.

div v = 0,

(1.1)

0t + (v, V0) = &Д0 + (VJfc, Vff),

(1.3)

при следующих начальных

хеО. (1.4)

0|(=о = в°(х), хбП, (1.5)

и граничных условиях

у№=0, (я,0еПт, (1-6)

(V, п)|52 = о, дч/дп{32 = 0, (х, 0 е От, (1.7)

0|8=О, (М)€Ог. (1.8)

Уравнения (1.1)-(1.3) вместе с начальными условиями (1.4)-(1.5) для полей скорости, температуры и давления и соответствующими граничными условиями (1.6)—(1.8) представляют замкнутую систему, позволяющую определить поля скорости, температуры и давления однородной теплопроводной жидкости и их изменение во времени.

Существенной особенностью рассматриваемой системы является то, что распределения скоростей и температур взаимосвязаны. Это наряду с нелинейностью основных уравнений делает задачу конвекции достаточно трудной для исследования.

Однако в некоторых случаях удобнее вместо скорости V и давления р ввести вектор завихренности а; по формуле

ы = V х V. (1.9)

Дифференциальные уравнения для завихренности, функции тока и температуры имеют сходную структуру. Поэтому их можно записать в виде некоторого обобщенного дифференциального уравнения переноса

д(А/) а(Аи/) , д(АиЯ _ д ( я/\ э

дЬ дх ду

где

дх \ дх) ду\ ду)

+ ^^ + -Чсг- = ТЫ + яТ + * (1Л°)

/=\ф\, р= ( ы (1.11)

р -с— —— дВ дш 1 д*В д2^ (д*В д2В) д2^

ы дх дх дх ду ду дхду дхду \ ду2 дх2 ) \ ду2 дх2) '

В зависимости от единиц масштаба обезразмеривания параметры А, В, С принимают значения:

1) А=( 0 ' V 5= 11, С = На; (1.12)

2) А = ^ 0 ^ , В = ^ ^ , С = С г;

(1.13)

/ 1 \ ( u/Re

3) Л=[ О , В= 1 I, С = Gr/Re'"2. (1.14)

\ 1 J \ l/(RePr)

Из параметров задачи и единиц масштаба можно составить безразмерные критерии подобия — числа Прандтля, Грасгофа и Рейнольдса:

р Сг=^2ГЯЗ, Re=^, (1.15)

feo /ig í>

производным параметром задачи является число Рэлея Ra = Gr - Pr. Граничные условия принимают следующий вид:

1) на верхней свободной границе:

я*

ф(х,Н*) = Jf(y) dy = iP - const, 0 = 0, (1.16)

о

дв

aiv-z- ~ <*2V9(x) + <xiv(?) = 0; (1-17);

oy

2) на нижней границе:

ф(х,0) = ^(х,0)=0, (1.18)

дв

ain-щ - а2п0(х) + а3п(х) = 0; (1.19)

3) на боковых границах:

у

ф(0,у) = ф(Ь,у) = Jf(z)dz, (1.20)

о

д9

«iВд^ - «2вв(у) + аЗБ(у) = 0, В9

<*ÍB - "2В%) + «зг (У) = 0. (1.21)

Если рассматривается конвективное движение только в прямоугольной области, без стока, то в (1.16) и (1.20) надо брать

Ну) = о. (1.22)

Вторая глава состоит из трех параграфов, посвящена начально-краевой задаче тепловой конвекции.

В § 1 приводятся известные результаты из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений: вводятся функциональные пространства, вспомогательные утверждения необходимые в дальнейшем.

В § 2,3 исследована корректность постановки краевой задачи для уравнений конвективного движения вязкой теплопроводной жидкости.

Пусть П — ограниченная область; 5 = д(1 — состоит из твердой части и свободной поверхности ¿>2. В цилиидре Пт = П х [О, Т] рассматривается начально-краевая задача:

сйуу = 0, (2.1)

V» + (у,У)у = -УР + VАу + 2{7и, У)у + VI/ х гсЛу - + Гь (2.2) Ь + (V, Чв) = кМ + У9) + /а, ' (2.3)

у|<=0 = У°(Я), хеП (2.4)

= в°(«), X е й, ' (2.5)

У|5, = о, (в,«)ейг, (2.6)

(у,п)|52 = О, Эу/0п,52 = О, (х, 0 е ПГ, (2.7)

0,5=0, (®,0€Пт. (2.8)

Здесь V, р и 0 — соответственно скорость, давление и температура жидкости; 1/(0), Ь(0) и ¡3 — коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности и температурного расширения; g — вектор ускорения силы тяжести; V и Д —- операторы градиента (Гамильтона) и Лапласа; п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Б = д(1. Относи-

о

тельно силы ^ считаем, что (Пт)> а для начальных значений у°(х) предполагаем выполнение условий

<Иуу° = 0, У°51 = О,

(у°,п)|52 = 0, 9У°/9П,52 = 0. (2.9)

Определение! Функции у(ж, ¿) и 0(£,?) назовем обобщенным решением задачи (2.1)-(2.8), если в области Пг существуют регулярные обобщенные производные для у и в из Ь2(0.т) и выполняются интегральные тождества

т

(уе, Ф(х^))2 {1 + (и\х, Фг)2П - ((у„ У)Ф,у)2>п --2 ((VI/, у),Ф)2Д1 - (УвдгоЬу, Ф)2П + О%0,Ф)2>о + (2Л°)

/К

о

+ (й,Ф)а1п] я = 0,

т

I [(04, у>0М))2,п + - ((V,У<р)1в)21„ -

о

- ((V*, 70), ^)2>а - (/2,9)2,12] Л = о

(2.11)

при любых Ф(х,Ь) е Н(П), <p{x,t) ewj (ii) таких, что Ф(а:,Т) = О, Ч>(х,Т) = 0.

В § 2 при определенных условиях на коэффициенты уравнения получены априорные оценки решения задачи (2.1)-(2.9).

В § 3, используя полученные оценки доказываются теоремы существования и единственности.

Теорема 1. Пусть в задаче (2.1)-(2.7) fi € L2(ii т), h G L2{SIt),

v° ewj (ft)n J (fi), 9 ew.j (ft), max (||fi||, Ц/2Ц, С ■ IklMIM) = A < +00.

Тогда в цилиндре fit — iix [0, t\ существует решение задачи (2.1)—(2.7), обладающее свойствами: vt, vIjZj 6 61 € € /^(ftt)-

Теорема 2. Если обобщенное решение существует, то оно единственно.

В третьей главе посредством конечно-разностной аппроксимации производных на неравномерной сетке строится разностная схема переменных направлений.

В § 1 изложен численный метод решения уравнений тепловой конвекции. Метод основан на использовании в продольно-поперечной схеме монотонной аппроксимации конвективных и инерционных членов направленными разностями.

Применяя конечно-разностные аппроксимации дифференциальных операторов, запишем разностное представление системы (1.10)-(1.14)

Ш ^ = Lx{i>,u,Q) +Ly{v,v,u) + Mx(v,Cj) + My(v,u))+ QR, (3.1)

r/2

с2>,— й

~VJ2

'ф — ips т'/2

V>,+1 - ip

= Lx(v,u,Q) +Ly(v,v,u) + Mx(v,u>) + My{v,CS) + QR, (3.2) = NX$+Nvtf>s+L>, (3.3)

^N^ + NyiF*1 + u>, (3.4)

r"/2

8-9

r/2 в-в r/2

= Lx(k,u,9)+-Ly(k,v,6), (3.5)

= Lx(k,u,S)+Ly(k,v,e), (3.6)

где и> = ш"^, а> = ш"^2, а> = и^1, в — номер итерации для функции тока ■ф; т1 и г" — итерационные параметры. Разностные операторы имеют вид

Ьх{а, и, /) = {а/х)х - (3.7)

/) = (а/у)у - (3.8)

л^О, /) = лгх/ = л, = 2(Д - /я)/(/ц + /1т),

= /»'я = 2(/у - + Ы).

(3.9) (3.10) (3-11) (3-12)

дд = йа(0х + 0«)/2 - - (Л/„1/ - - (3.14)

Система уравнений (3.1)—(3.6) приводится к каноническому трехдиаго-налыюму виду

удобному для применения метода прогонки. Здесь —любая из неизвестных функций и), -ф, в.

Приведенная разностная схема аппроксимирует исходную систему дифференциальных уравнений (1.10)-(1.14) с точностью 0(т + к2 + /2).

В § 2 рассмотрены варианты постановки граничных условий для завихренности, приводится алгоритм численного решения рассматриваемой задачи.

В наших вычислениях будем использовать подход, предложенный В.Л. Грязновым и В.И. Полежаевым, в котором значения завихренности из на границе области вообще не используется.

Идея этого метода состоит в том, чтобы граничное условие для завихренности ставить не на границе, а внутри области, где завихренность определена. Отсюда связь между завихренностью и функцией тока с помощью (1.10)—(1.11) переносится с границы внутрь области. Уравнение для завихренности решается во вспомогательной области П0, расположенной внутри основной области П; граница отстоит от границы основной области на один шаг сетки .

Основная идея используемого способа — обеспечение выполнения граничного условия для функции тока гр на каждом временном (итерационном) слое. Это достигается соответствующим подправлением значений гр в точках границы ¿Ш0, используя (1.16), (1.18), (1.20).

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ Для численного решения системы (1.10)-(1.14) в переменных "завихренность, функция тока, температура" будем использовать разностную схему (3.1)-(3.6).

Допустим, что значения функций (¿>,г/>,6? на п-м временном слое известны. Тогда последовательность расчета для определения и"*1, Ф'^1, В"]'1 берется в следующем виде.

1. Из конечно-разностного уравнения, соответствующего уравнению Пуассона (1.10)-(1.11), определяются значения завихренности на границе ЭПо внутренней области

2. Решая уравнения (3.1)-(3.2) внутри области П0, определяются значения завихренности на (п + 1)-м временном слое с граничным условием

<>.7 ■'«,7

дп0-

3. Внутри основной области П определяется поле функции тока ф. Для этого решаются уравнения (3.3)-(3.4) с граничным условием

4. Значения функции тока на границе внутренней области ЗПо подправляются с помощью разностных аналогов условий на границах (1.16), (1.18) и (1.20).

5. Для определения значений температуры решаются уравнения (3.5)-(3.6) с граничными условиями (1.17), (1.19), (1.21).

Далее весь цикл повторяется.

В § 3 для вычисления функции тока предлагается использовать итерационный процесс, основанный на методе переменных направлений, при этом используется оптимальный " набор итерационных параметров по Жор-дану".

В § 4 проводятся тестовые расчеты. Для проверки точности рассматриваемого метода использовались пробные функции - точные решения уравнений тепловой конвекции со специальными полями массовых сил и источников тепла. Проведено также сравнение с результатами численного решения модельной задачи о боковом нагреве прямоугольной области, полученными Б.М. Берковским, В.К. Полевиковым. Наблюдалось хорошее совпадение результатов.

В четвертой главе на основе применения конечно-разностной схемы исследуются характеристики течения и температурные поля для вязкой теплопроводной жидкости в прямоугольных областях.

В § 1 дается постановка задачи и приводятся значения параметров, используемые при решении задачи.

В расчетах, в большинстве случаев, решение долго выходит на установившийся режим, поэтому, выбирая начальное распределение поля температуры ближе к ожидаемому режиму, можно уменьшить число итераций, соответственно — время счета на ЭВМ.

В § 2 определяется начальное распределение поля температуры, которое соответствует "режиму чистой теплопроводности".

В § 3 приведены результаты расчетов задачи конвективного движения жидкости при различных условиях нагрева границы. Анализ результатов численного эксперимента позволил выяснить некоторые особенности структуры течения и температурного поля при нагреве сверху. Конвекция имеет ячеистую структуру. Число и форма ячеек, интенсивность течения и теплообмена существенно зависят от размера полости, закона и вида распределения температуры на границах.

В результате численных экспериментов установлено, что для чисел Прандтля Рг близких к единице влияние относительной величины Ь/Н на конвективное движение в прямоугольных областях, неравномерно нагреваемых сверху, оказывается существенным лишь при Ь/Н ^ 1. В областях с Ь/Н < 1 структура и интенсивность конвекции при подогреве сверху практически не зависит от величины Ь/Н. При нагревании сверху области с Ь/Н < 1 интенсивное конвективное движение не охватывает всю жидкость, а сосредоточено лишь в верхних слоях, расположенных около зоны нагрева. Слои жидкости, расположенные ниже, остаются практичес-

ки неподвижны, а их температура определяется температурой нижних и боковых границ. При Ь/Н > 1 интенсивное конвективное движение будет охватывать всю область. Влияние нижнего основания в этом случае будет ощущаться тем сильнее, чем отношение Ь/Н будет больше. Конвективное движение имеет ячеистую структуру. При симметричном нагреве сверху в области образуются две ячейки, в которых жидкость течет в противоположных направлениях. Скорость движения жидкости у верхней границы направлена против градиента температуры. Форма ячеек существенно зависит от закона распределения температуры. В центре области жидкость будет подниматься вверх, а у боковых границ - опускаться вниз. Конвекция способствует нагреванию верхних слоев жидкости, лежащих вблизи нагреваемой верхней границы, и охлаждению ее в более низких слоях.

Если нагреваемый участок расположен симметрично относительно середины верхней границы, то каждый максимум дает две ячейки (Рис. 1а). При увеличении числа Рэлея Иа (Грасгофа Сг) их форма меняется.

Рассмотрено влияние внешнего потока на структуру течения при симметричном нагреве сверху. Если течение вдоль слоя не слишком интенсивно, в нем возникают замкнутые конвективные ячейки. Внешний поток обтекает первую ячейку снизу, а вторую сверху (Рис. 16). Направления вращения потоков те же, что и в случае движения жидкости только при тепловой конвекции для заданных граничных условий на температуру. С увеличением скорости внешнего потока ячейки прижимаются к границам слоя, одновременно уменьшаясь в размерах (Рис. 1в).

В § 4 рассматривается обтекание потоком вязкой теплопроводной жидкости нагретого выступа на нижнем основании. На рис. 2а-2в показана зависмость от числа Рейнольдса общей картины стационарного обтекания потоком вязкой теплопроводной жидкости нагретого выступа.

Основные результаты диссертационной работы.

1. В случае переменных теплофизических коэффициентов получены априорные оценки для решения задачи тепловой конвекции, описываемой нелинейной системой дифференцальных уравнений в частных производных.

2. Доказаны теоремы существования и единственности для начально-краевой задачи указанной системы.

3. Показана эквивалентность краевых задач тепловой конвекции в переменных "скорость, давление, температура" и "завихренность, функция тока, температура".

4. Для исследования движения вязкой теплопроводной жидкости посредством конечно-разностной аппроксимации производных на неравномерной сетке построена разностная схема переменных направлений.

5. Построен численный метод, который позволяет рассчитывать конвективные движения жидкости как с твердыми границами, так и со свободной поверхностью при различных условиях нагрева на границе.

Содержание диссертации отражена в следующих работах.

1. Смышляев П.П.,Юсупов И.Ю. Численная модель тепловой конвекции жидкости// Всесоюзн. научн.-практич. семинар: Прикладные аспекты управления слож. системами. Кемерово, 1983. 4.2. С. 200.

2. Юсупов И.Ю. Численный метод исследования течения вязкой теплопроводной жидкости// Проблемы управления/ Ленингр. ун-т. Л., 1983. С. 26-29. Деп. в ВИНИТИ 21.03.83. №1421-83 Деп.

3. Терентьев А.Г., Дмитриева H.A., Никитин В.В., Юсупов И.Ю. Отчет по НИР. Тема 5/87-88 НИС ЧувГУ, 1988.

4. Юсупов И.Ю. Исследование течения жидкости с переменными тепло-физическими характеристиками // Управление динамическими системами / Ленингр. ун-т. Л., 1983. С. 175-180. Деп. в ВИНИТИ 03.11.83. №5942-83 Деп.

5. Юсупов И.Ю. Некоторые оценки в начально-краевой задаче для несжимаемой вязкой жидкости // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары, 1986. С. 147-150.

6. Юсупов И.Ю. Численное решение задачи конвективного теплообмена вязкой несжимаемой жидкости // Тезисы докл. к республ. науч. практ. конференц. мол. учен, и спец. Чувашской АССР. Чебоксары, 1985. 4.1. С. 28-29.

7. Юсупов И.Ю. Об одной задаче конвективного теплообмена вязкой несжимаемой жидкости // Материалы 10-й научн. конф. молодых ученых мех.-мат. ф-та и НИИ Механики / Горьк. ун-т. Горький, 1985. Ч. 2. С. 161-167. Деп. в ВИНИТИ 24.03.87. №2097-87 Деп.

8. Юсупов И.Ю. Об оптимизации численных решений конвективных течений жидкости// Математические методы оптимизации и управления в сложных системах. Калинин, 1983. С. 25-31.

9. Юсупов И.Ю. Обтекание плоской пластины потоком вязкой жидкости. Деп. в ВИНИТИ 2 августа 1990 №4457-В90.

10. Юсупов И.Ю. Об эквивалентности краевых задач для вязкой несжимаемой жидкости // Гидрогазодинамика течений с тепломассообменом / Ижевск, мех. ин-т. Ижевск, 1992. С.119-122.

11. Юсупов И.Ю. Численное решение краевой задачи о конвективном течении вязкой жидкости в эквивалентной постановке // Высшая школа народному хозяйству Чувашии. Естествен, науки. Чебоксары, 1992. С.28-29.

а)

в)

Рис. 1. Линии тока жидкости при симметричном нагреве сверху для разных значений фо: а) ?/;о = 0; б) ф0 = 1; в) = 10 {вт = 104, Рг = 1).

а)

б)

в)

Рис. 2. Линии тока жидкости при разных значениях числа Рейнольдса: а) 11е = 0,1; б) Ие = 1; в) Ее = 5 (Рг = 1).

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Вспомогательные предложения.

Постановка задачи

§1. Постановка задачи

§2. Приближение Обербека-Буссинеска

§3. Эквивалентность постановки краевых задач

ГЛАВА 2. Математические вопросы движения вязкой теплопроводной жидкости.

§1. Вспомогательные предложения. Постановка задачи

§2. Априорные оценки решения

§3. Теоремы существования и единственности

ГЛАВА 3. Численный метод исследования течения вязкой теплопроводной жидкости

§1. Конечно-разностная аппроксимация производных на неравномерной сетке. Разностные уравнения.

§2. Граничные условия. Алгоритм решения

§3. Решение уравнения Пуассона для функции тока —

§4. Тестовые расчеты

ГЛАВА 4. Термогравитационная конвекция в прямоугольных областях при неравномерном нагреве границы

§1. Постановка задачи. Значения постоянных, используемые при решении задачи

§2. Начальное распределение температуры

§3. Результаты численных расчетов

§4. Течение и перенос тепла в прямоугольной области с нагретым выступом на нижнем основании

Развитие различных отраслей промышленности сопровождается оптимизацией и интенсификацией рабочих процессов, связанных с переносом и использованием различных видов энергии, созданием высокоэффективных теплообменных систем и аппаратов, необходимых для решения ряда технических проблем. Усложнение технических устройств и неотложность проблем энергетики и охраны окружающей среды привели к тому, что в последние годы изучение процесса тепло- и массопереноса связано с широким кругом задач, каждой из которых присущи свои требования к точности определения искомых характеристик и понимания физической сути процессов, представляющих интерес. Знание механизма переноса теплоты и массы дает возможность изменять технологический процесс производства, повышать мощность и надежность работы теплоэнергетических установок, создавать новые, более эффективные способы производства материалов и изделий.

Неравномерно нагретая жидкость, находящаяся в поле силы тяжести, при определенных условиях может находиться в механическом равновесии. Если же неоднородность температуры (или нагрева) достаточно велика, то равновесие становится неустойчивым и возникает конвекция. Она может начаться и тогда, когда при некоторых условиях подогрева невозможно механическое равновесие [27,88].

В природе и производстве часто встречаются процессы переноса в жидкостях, когда движение возникает из-за пространственной неоднородности плотности в поле силы тяжести. Подъемная сила, вызывающая движение, возникает вследствие перепада температур, приводящего к разности плотностей (например, циркуляции в атмосфере и океане, в масле, охлаждающем силовой трансформатор и т.д.).

В последние годы значительно возросло число теоретических и экспериментальных исследований взаимодействия жидкостей с различными физическими полями. Существенно больше стало работ, посвященных взаимодействию полей с неизотермическими жидкостями и изучению воздействий, которые приводят их в конвективное движение. Появились новые направления исследований: влияние электромагнитных полей на конвекцию; электрическая конвекция; конвекция в ферромагнитных жидкостях; конвекции, возбуждаемые за счет зависимости поверхностного натяжения от температуры или тензора напряжений от градиентов температуры и т.д. [69,72,114].

Постановки новых задач возникли в связи с нуждами производства и достижениями науки. Выяснилась большая роль конвекции в актуальных технических проблемах: кристаллизации полупроводниковых материалов из газовой и жидкой фазы; выращивании совершенных кристаллов; охлаждении ядерных реакторов; конструировании лазеров и создании оптических газовых линз; в космических исследованиях; в холодильной и нефтеперерабатывающей промышленности; создании оптимального теплового и влажностного режима эксплуатации промышленных и гражданских сооружений [93,132].

Теория вязких течений жидкости представляет собой один из важнейших для практики и интересной для математических исследований раздел математической физики. Исследование существования и единственности решения задачи о вязком течении жидкости имеет большую историю. Первые шаги по применению методов функционального анализа для исследования таких задач были сделаны французским математиком Ж. Лерэ. В своих работах O.A. Ладыженская решила многие важные вопросы существования решений задачи о вязком течении несжимаемой жидкости, описала их характер [63,64]. Р. Темам [124] изложил результаты, касающиеся теории и численного анализа уравнений Навье-Стокса, которые описывают движение вязкой несжимаемой жидкости. С.М. Ма [159] доказал теорему единственности решений начально-краевой задачи для уравнений Навье-Стокса.

С.Н. Антонцев, A.B. Кажихов и В.Н. Монахов [2] исследовали корректность краевых задач для систем уравнений с частными производными, описывающими течения вязкого газа и неоднородной по плотности жидкости, изучали качественные свойства решений.

Теоремы существования и единственности решений для уравнений тепловой (термогравитационной) конвекции в приближении Обербека-Буссинеска с постоянными теплофизическими характеристиками приведены в работах В.В. Васильева [18], Е.Х. Драхлина [46], А.В.Кажихова и В.В.Рагулина [52], Н.К.Коренева [58], И.Г.Севрука [106], П.С.Чернякова [135,136].

В рассмотренной литературе математическая сторона течений вязкой жидкости с переменными теплофизическими характеристиками мало исследовалось. В своей работе О.Н. Гончарова [34] исследовала стационарную задачу для уравнений свободной конвекции. Ш. Смагулов и Б.Т. Смагулов [108] изучали корректность начально-краевой задачи для нестационарного движения свободной конвекции в замкнутой области.

В настоящее время для исследования процессов тепло- и массообмена применяются различные методы [1,28,35,66,90,91,134,164]. Классическим является аналитический метод, который состоит в получении явной формулы, выражающей решение через элементарные или некоторые специальные функции, но это, даже при значительных упрощениях, возможно только в некоторых случаях [16,25,46,61,82,88,117]. В работе А.Ф. Сидорова [107] изложены аналитические подходы, широко используемые при анализе и конструировании решений нелинейных уравнений термогравитационной конвекции.

Наряду с аналитическими методами для исследования задач конвекции иногда используют метод аналогий, основанный на формальной одинаковости в аналитическом описании некоторых физических явлений. На практике применяются модели, построенные на гидравлической, механической и электрической аналогии процессов [116,140].

В случае "слабой конвекции" (малая разность температур) используется приближенный метод, основанный на разложении искомых величин в ряд по степеням малого параметра [28],[75],[81].

В последнее время в связи с быстрым развитием вычислительной техники все более широкое распространение находят численные методы решения задач тепло- и массообмена.

В настоящее время имеется ряд общих подходов к численному решению уравнений в частных производных, которые можно положить в основу эффективных методов численного интегрирования задач конвекции: метод интегральных соотношений [134], метод Монте-Карло [113], метод частиц в ячейках [133], метод конечных разностей [4,8,9,48,90,91,154], метод конечных элементов [79,80,98,131].

Круг исследуемых задач конвекции широк. С одной стороны — это внешние задачи: конвекция возле вертикальных (горизонтальных, наклонных) пластин, цилиндров, шаров и тел другой формы; с другой — внутренние задачи конвекции. Обзоры многочисленных теоретических и экспериментальных работ по этим вопросам были выполнены Г.А.Остроумовым [88], Е.Х. Драхлиным [46], А.Д. Идом [51], Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицким и Г.Ф. Шайдуровым [32], A.B. Лыковым и Б.М. Бер-ковским [69], О.Г. Мартыненко и Ю.А. Соковишиным [77], Й. Джалурия [44], Б. Гебхарт и др. [21], О.Г. Мартыненко [161].

В работах Б.М. Берковского [5], Б.Гебхарта и др.[21], А.Д. Ида [51] исследовались внешние задачи конвекции в ньютоновских жидкостях на телах простой формы (вертикальная пластина), без учета влияния кромок пластины и толщины пограничного слоя на характеристики движения и теплообмена. Метод сращиваемых асимптотических разложений, рассмотренный О.Г. Мартыненко, A.A. Березовским и Ю.А. Соковишиным [74], дает возможность их учета за счет построения двух приближений, дополняющих друг друга и охватывающих всю область течения. Взаимосвязь между приближениями отражает картину течения и теплообмена.

Большое число работ посвящено конвекции в замкнутых полостях простой формы с различными простейшими видами неизотермичности [69]. Двумерные задачи в прямоугольных областях при однородном нагреве снизу или сбоку рассматривались Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицким и E.JI. Таруниным [28,29,30], А.Д. Госменом и др. [36], П.М. Лиханским и М.С. Поварницыным [67] и др. [3,17,42,115,152], [153,157,160,165].

Р. Макгрегор и А. Эмери [73] изучали влияние чисел Грасгофа, Рэлея, Прандтля и отношения размеров полости на течение и теплообмен (здесь 0 < Gr < 105, 0 < Ra < 105, 0 < Рг < 7200, 1 ^ H/L < 20). Вертикальные и горизонтальные цилиндры с постоянным градиентом температуры исследовались в работах Г.А.Бугаенко [16], Б.П. Герасимова и И.С. Калачинской [24], В.И. Полежаева и Ю.В. Вальциферова [97] и др. [50,71,96,153,165].

Конвективные движения в области треугольного сечения рассмотрели Е.С. Турганбаев [129], Ю.Е. Карякин и Ю.А. Соковишин [54]. Здесь же приводится обзор работ, посвященный конвективному движению, в треугольных областях.

Из-за сложности исследования сравнительно немного исследовались трехмерные задачи термогравитационной конвекции и конвекция в шаровых полостях [13,86,92,120].

На практике часто встречаются случаи, когда градиент температуры в жидкости направлен противоположно вектору силы тяжести. А анализ известных нам работ по термогравитационной конвекции в замкнутых областях показывает, что мало исследовалась конвекция при неравномерном нагреве границ и почти не исследовалась конвекция при неравномерном нагреве сверху. В работах Б.М. Берковского и Е.Ф. Ного-това [6,7], Ю.К. Шлиомиса и М.И. Братухина [13], Б.П. Герасимова [22], Е.Л. Тарунина [118,119] и др. [14,29,50,55,72,73] затрагиваются некоторые вопросы конвекции при неравномерном нагреве на границе; рассматриваются задачи конвекции, возникающие в полостях различных сечений при заданной разности температур между вертикальными или же горизонтальными границами, на которых задается линейное распределение температуры.

Непосредственно к задачам термогравитационной конвекции при неравномерном нагреве сверху относятся задачи, рассмотренные в следующих работах. A.B. Лыков и Б.М. Берковский [69] исследовали вопрос об условиях возникновения конвекции в полости с переменной температурой стенок. Экспериментально изучается такая конвекция в работах A.B. Лыкова, Б.М. Берковского и В.Е. Фертмана [70], Е.Л. Тарунина и др. [123].

Структура течения и теплообмен в цилиндрических полостях прямоугольного сечения рассматривалось Б.М. Берковским и Е.Ф. Ноготовым [6], Е.Ф. Ноготовым [83], A.B. Лыковым и др. [68,69] и др. [95]. Проведенные в них исследования посвящены выяснению зависимости термоконвективных процессов от величины перепада температуры на верхней границе, а также от распределения температуры на ней (здесь 0 < Gr ^ 106, Рг = 0.707). Для этого на верхней границе задавалась синусоидальная зависимость температуры, а нижняя и обе боковые поверхности при постоянной температуре. Возникающее в этом случае в полости конвективное течение имеет ячеистую структуру. В центре области жидкость поднимается вверх, а у боковых границ опускается вниз. При этом у верхней границы она нагревается, а у боковых границ нижнего основания будет охлаждаться. Делается вывод о том, что при определенных условиях в верхней части можно наблюдать явление локального перегрева жидкости, т.е. в некоторых вертикальных сечениях, параллельных боковым границам, температура внутри области будет превосходить температуру в соответствующих точках на нагреваемой верхней границе. Еще рассматривался случай линейного распределения температуры на верхней и одной из боковых границ, при этом нижняя и другая боковая стенки поддерживались при постоянной температуре.

При достаточно больших числах Рэлея и Прандтля (11а < Ю10, Рг < 105) конвективный теплообмен в замкнутых прямоугольных областях изучался в работе Б.М. Берковского и В.К. Полевикова [10]. В ней рассматривается плоская задача для постоянных теплофизичесских характеристик при неравномерном нагреве сверху: в{х, 1, г) = вт тгж, ^(о, у, г) = 0(1, у, = в{х, о, г) = о.

Ранее такие задачи (для вг < 106 и Рг = 1) рассматривались в работах Б.М. Берковского и Е.Ф. Ноготова [6,7], Г.З. Гершунй, Е.М. Жуховицкого, Е.Л. Тарунина [29]. Выяснилось, что рост числа Рэлея вызывает разрушение однородной структуры решений (при нагреве сверху Яа яз 105). С ростом 11а изотермы в центре принимают форму горизонтальных линий. В области высоких чисел Рэлея (11а > 105) увеличение интенсивности теплообмена происходит сильнее, чем при меньших значениях Иа. При нагревании сверху область изменения температуры и скорости сосредотачивается у нагретой верхней границы, а при нагревании сбоку — формирование пограничных слоев происходит вдоль всех границ. С ростом Рг (1 ^ Рг ^ 102) вертикальный температурный градиент в ядре стремится к нулю и ядро становится изотермическим. Если же наращивание Яа идет за счет Сг, то величина градиента стабилизируется возле некоторого значения из интервала (0,1), зависящего от числа Прандтля Рг.

Влияние поперечных размеров полости и величины перепада температуры между верхней и нижней стенками области рассматривается в работах Б.М. Берковского и Е.Ф. Ноготова [7] (для вг ^ 108, Рг ^ 102, 0.1 ^ Н/Ь ^ 10, Авн/АОь < 2.0), А.В. Лыкова и др.[69], Е.Ф. Ноготова [83], В.К. Полевикова [95] (здесь 0 < Сг ^ 106, Рг = 0.707). Установлено, что в квадратной области при возрастании 9н/0ъ, — характерная величина неоднородности температуры на боковых стенках, а вь — на верхней границе), интенсивность конвекции уменьшается, область интенсивного движения сокращается, сосредотачиваясь у верхней границы области, наблюдается охлаждение конвекцией нижних слоев жидкости. Интенсивность конвективного движения в области увеличивается с ростом Н/Ь вплоть до Н/Ь = 1,5. При Н/Ь > 1, 5 интенсивность конвекции и теплообмен через область не зависят от высоты Н. При Н/Ь < 1 интенсивное конвективное движение захватывает всю область. В рассмотренных выше работах исследования проводились для различных сечений с твердыми границами.

В работах Г.З. Гершуни и др. [26,31], В.А. Гущина и С.М. Коньшина [39], П.П. Смышляева и др.[109,110] рассматривается конвекция в прямоугольных областях со свободной верхней границей. В случае, когда вертикальные границы поддерживались при постоянной температуре [26], а на свободной поверхности она изменяется по линейному закону, в области формируется одиночный вихрь, центр которого располагается на вертикальной оси прямоугольной области, в центре имеется почти постоянный градиент температуры (при Сг = 312, Рг = 5). С увеличением Сг (до 2 • 104, Рг = 5), вместе с увеличением интенсивности конвекции происходит изменение структуры полей и температур. В центральной части появляется ядро с двумя вихрями. При увеличении отношения Н/Ь число вихрей увеличивается. Здесь же рассматривается случай теплоизолированной верхней границы. Медленные движения вязкой жидкости (без учета инерционных и конвективных членов) исследовались в работах Г.З. Гершуни и др. [31], П.П. Смышляева и др. [109,110], делается вывод, что многовихревая структура течения во впадине при наличии внешнего потока не связана с нелинейными эффектами, а появляется уже при решении уравнений конвекции без учета инерционных и конвективных членов.

Почти все рассмотренные работы по термогравитационной конвекции исследовались с постоянными теплофизическими характеристиками. На практике часто приходится иметь дело с такими разностями температур, которые соответствуют изменению коэффициента вязкости в несколько раз (например, трансформаторное масло при изменении температуры от 20°С до 90°С меняет вязкость в 6-7 раз; вода при изменении температуры от 10°С до 100°С меняет вязкость более чем в 4 раза), а иногда и по порядку величины (например, жидкое стекло при изменении температуры на +400°С — в 33 раза). Но, как выяснилось из обзора работ по термогравитационной конвекции, исследования с учетом зависимости вязкости от температуры немногочисленны. Применяя уравнения погранслоя, С.М. Тарг [117] решил задачу о теплообмене около тонкой пластины жидкостью с переменным коэффициентом вязкости. Обзор работ о неизотермическом стационарном течении вязкой жидкости провели С.А. Бостан-джиян, А.Г. Мержанов, С.И. Худяев [12]. И.Ф. Жеребятьев, А.Т. Лукьянов и Ю.А. Подкопаев [49], В.И. Найденов [81] рассмотрели двумерные установившиеся течения вязкой несжимаемой жидкости. Ламинарная термогравитационная конвекция в вертикальных трубах исследовалась в работах В.Б. Бородина [11], В.М. Лыкосова, П.П. Смышляева, Н.В. Цым-бал [71], Г.Е. Ковалевой [56], Т. УатаэаИ и Т. 1гут [165].

Влияние размеров ячейки, граничных условий, свойств жидкости при переменной вязкости, которая берется в виде полиномов второй и четвертой степени, изучалось Р. Макгрегором и А. Эмери в [73]. Г.З. Гершуни и С.Б. Герасимова [25] получили точное стационарное решение уравнений конвекции в бесконечном вертикальном плоском слое.

Уравнения конвективного движения рассматривались Д. Ноублом, Л.Кломбургом и др. [85] при моделировании течения расплава стекла в прямоугольной области. Конвективные движения вязкой жидкости в полости квадратного сечения при подогреве снизу исследовали Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, Е.Л. Тарунин [30] (при Рг = 1, вг ^ 104). Конвекция, при подогреве сбоку исследовалась Е.Л. Таруниным и В.И. Чер-натынским [122] (здесь Рг = 5, Сг ^ 2 ■ 104) для постоянного значения коэффициента температуропроводности. Аналогичную задачу, без учета инерционных и конвективных членов, с переменными теплофизическими характеристиками рассматривалась П.П. Смышляевым [109], и др. [110]. Влияние повышенного внешнего давления на конвекцию при подогреве сбоку для переменного коэффициента вязкости исследована в работе В.И. Колесниченко [57].

Так как уравнения термогравитационной конвекции связаны между собой и не разделяются, задача в общем виде весьма трудна для аналитического решения (за исключением немногих упрощенных случаев, о которых говорилось раньше). Одним из эффективных методов решения таких задач является численный метод. Численный счет обладает рядом преимуществ по сравнению с физическим экспериментом, если выбранная математическая модель достаточно хорошо описывает исследуемый физический процесс. Численное исследование задачи можно провести быстрее и с меньшими материальными затратами. Оно позволяет подробно проследить за структурой течения в зависимости от параметров, а также за изменением этой структуры во времени. Из решения задачи еще получается количественная информация об интегральных характеристиках течения (тепловой поток, интенсивность, скорости и т.д.). Несмотря на то, что по теории разностных методов решения задач математической физики имеется ряд фундаментальных работ: С.К. Годунова и B.C. Рябенького [33], A.A. Самарского и A.B. Гулина [103], В.К. Саульева [104], К. Флетчера [131], H.H. Яненко [150] и др. [91,99,105,139] для рассматриваемых задач конвективного движения уровень разработки теоретических вопросов и опыт реализации на ЭВМ недостаточен.

Рассмотрим некоторые наиболее широко используемые характерные способы пространственной аппроксимации системы уравнений в переменных "завихренность, функция тока, температура". Свойства разностной схемы определяются способом аппроксимации пространственных дифференциальных операторов, содержащихся в исходной системе уравнений. Анализ литературы показывает, что при численном исследовании задач термогравитационной конвекции наиболее часто используется симметричная аппроксимация [103] д ( df дх \ дх здесь фиксированный индекс 3 опущен. Но разностные схемы, основанные на симметричной аппроксимации пространственных производных, успешно применялись только при слабой и умеренной конвекции Иа < 105 (здесь Сг < 106, Рг < 1) [8,31,37,87,118]. Потому что схемы с такой аппроксимацией не обладают свойством консервативности, что приводит к нарушению законов сохранения, присущих исходным дифференциальным уравнениям; появляются фиктивные источники, дающие неограниченный рост энергии. В [22] симметричная консервативная запись инерционных и конвективных членов преобразована в консервативную схему с направленными разностями, которая выражает баланс энергии для ячейки с центром в узле сетки. Трудности, связанные с немонотонным характером симметричной аппроксимации пространственных производных, исчезают при переходе к односторонним разностям [8,37,67,90,118,137] (аппроксимация против потока) д { д! Л д , „ „ „ „ ч /т - ¡1 , Д uf) ~ А дх \ дх ) h2

•+1 - Vi + fi~ 1) и h и fi ft h i—l здесь используется обозначение и, ui,j V и, г,3 Kj+ \иЬ\ hJ —

2 7 hJ 2 Такая аппроксимация не приводит к ограничениям пространственных шагов сетки по устойчивости и допускает проведение расчетов при высоких скоростях конвективного движения среды. Но она имеет погрешность аппроксимации порядка 0(h), и для обеспечения удовлетворительной точности требуется применение мелкой сетки. A.A. Самарский в [102] предложил монотонную аппроксимацию второго порядка точности.

В работах Б.П. Герасимова [23], E.JI. Тарунина [118], В.А. Онянова и E.JI. Тарунина [87], B.C. Купцовой и др. [62], В.К. Полевикова [95],

В.И. Полежаева и др.[79], К. Флетчера [131], С. Quon [162] сравниваются отдельные конечно-разностные схемы. Б.П. Герасимов [23] сравнивает конечно-разностный метод, построенный на основе "шахматной схемы" Саульева [104], с продольно-поперечной схемой и явными методами. При решении задачи Дирихле уравнения Пуассона используется метод переменных направлений с набором итерационных параметров оптимизированных "по Жордану" [103]. При малых числах Грасгофа (Gr ^ 104, Pr ^ 1) шахматная схема позволяет вести счет с таким же шагом по времени, что и продольно-поперечная схема. Время счета при этом меньше почти в два раза. Для таких чисел Грасгофа Gr большую роль в переносе энергии играет теплопроводность, а скорости течения жидкости малы. При больших значениях Gr (Gr ^ 104, Pr ^ 1) шахматная схема по эффективности уступает продольно-поперечной схеме, но лучше явной схемы, которая имеет более жесткие условия устойчивости. В [118] E.JI. Тарунин исследовал неявную и явные схемы с симметричными и односторонними разностями. Для решения уравнений используется метод дробных шагов [150] и метод прогонки [103]. Исследована устойчивость получающихся схем в предположении постоянства коэфффициентов. В совместной работе [87] В.А. Онянов и E.JI. Тарунин рассмотрели восемь различных разностных схем (здесь Gr ^ 105, Pr = 1), используя аппроксимации односторонними и центральными разностями, аппроксимации А.А. Самарского; применяя продольно-поперечную схему, решая уравнение Пуассона по схеме Либмана и последовательной верхней релаксации. Были оценены пространственные и временные свойства этих схем. Выяснилось, что при решении задач термогравитационной конвекции нецелесообразно применять схемы первого порядка аппроксимации. Наиболее хороший результат дали монотонные схемы второго порядка точности и схемы повышенного порядка точности [84].

Анализ рассмотренных работ показал, что при неравномерном распределении температуры на границах области тепло- и масссоперенос лучше описывается схемами, использующими односторонние аппроксимации инерционных и конвективных членов; наиболее экономичным в смысле числа операций, необходимых для получения стационарного решения, являются неявные методы: метод переменных направлений [23,37,100], позволяющий применять скалярные прогонки для решения разностных уравнений.

В настоящее время отсутствуют общие методы исследования устойчивости и точности применяемых разностных схем. Для исследования устойчивости иногда используются [100] метод дискретных возмущений; метод Неймана, используюший ряд Фурье; метод Херта. Существуют практические приемы исследования устойчивости разностных схем, например — метод замораживания коэффициентов для разностных уравнений с переменными коэффициентами [33]; метод условного задания некоторых искомых функций системы [82]. Эти приемы обоснованы только для частных случаев, но на практике они хорошо проверены.

Общих методов исследования устойчивости разностных схем, отвечающих системам нелинейных дифференциальных уравнений, не существует. Большинство авторов ограничиваются проведением исследования устойчивости по методу Неймана (например, [100,118]). Для уравнений конвекции в переменных скорость, давление, температура вопросы устойчивости рассмотрел К.Б. Джакупов [43]. Для задач стационарной конвекции П.Н. Вабищевич и Т.Н. Вабищевич [17] исследовали итерационный процесс последовательных приближений по нелинейности в уравнениях Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска. Установили, что итерационный процесс сходится при достаточно малых значениях чисел Пекле, Грасгофа. Х.Е. Калис и Н.Э. Пагодкина [53], рассматривая разностную схему для уравнений конвекции с постоянными коэффициентами в переменных завихренность, функция тока, температура, получили оценки устойчивости разностных схем (в центральных разностях) для решения задач конвекции в квадратной области в зависимости от числа Грасгофа.

Из сказанного выше и из приведенных работ следует, что есть необходимость исследования системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих термогравитационную конвекцию, с переменными теплофизическими характеристиками.

Цель диссертационной работы состоит в уточнении математической модели конвективного движения вязкой теплопроводной жидкости с переменными теплофизическими коэффициентами; разработке эффективного численного метода решения задач конвективного движения и на его основе исследовать характеристики течения и температурное поле жидкости; анализе полученных результатов и выявления основных закономерностей течения жидкости при неравномерном нагреве границы.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 165 наименований.

Введение представляет собой обзор литературы и краткое содержание диссертации.

Первая глава работы состоит из трех параграфов и содержит некоторые факты, являющиеся вспомогательными в дальнейшем. В § 1 дана общая постановка задачи, приводится основная система уравнений конвективного движения, сформулированы начальные и граничные условия. При изучении особенностей конвекции обычно применяются различные упрощения, которые не искажая физической сути явления, позволяют исследовать ее с помощью доступных методов. В § 2 рассматривается приближение Обербека-Буссинеска. Приводятся в приближении Обербека-Буссинеска системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих конвективное движение вязкой жидкости в переменных (у,Р, в) и (си, ф, 9). В § 3 показана эквивалентность кравевых задач в переменных (у, Р,9) и (о;, ф,9).

Вторая глава посвящена математическому исследованию и доказательству теорем существования и единственности задачи конвективного движения. В § 1 приводятся известные результаты из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений: вводятся функциональные пространства, вспомогатальные утверждения, необходимые в дальнейшем. В § 2 и 3 получены априорные оценки и доказаны теоремы существования и единственности.

Третья глава посвящена построению численного метода для решения задачи тепловой конвекции. В § 1 приводятся конечно-разностные аппроксимации производных на неравномерной сетке, применяя которые получается конечно-разностная схема переменных направлений. В этой схеме для инерционных и конвективных членов используется аппроксимация A.A. Самарского. В § 2 и 3 рассмотрены варианты постановки граничных условий, приведен алгоритм расчета, указан метод решения уравнения для функции тока. В § 4 для проверки точности предложенного метода были рассмотрены тестовые задачи.

В четвертой главе на основе применения конечно-разностной схемы, исследуются характеристики течения и температурные Поля для вязкой теплопроводной жидкости. В § 1 и 2 дается постановка задачи и приводятся значения параметров, используемых при решении задачи; определяется начальное распределение поля температуры, которое соответствует "режиму чистой теплопроводности". В § 3 приведены результаты расчетов при различных условиях нагрева на границе. В § 4 рассматривается обтекание потоком вязкой теплопроводной жидкости нагретого выступа на нижнем основании.

В заключении подведены итоги проведенных исследований, приведены основные результаты расчета.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгостью математической постановки задач, сравнением численных решений тестовых задач с решениями других авторов, использованием известных численных методов.

Результаты диссертации позволяют выявить закономерности течения вязкой теплопроводной жидкости. Они могут быть использованы при расчете линий тока и поля температуры, а также при определении застойных зон за прямоугольным нагретым выступом. Полученные результаты имеют также и теоретический характер и могут быть использованы при изучении теории краевых задач. Материалы диссертации были включены в программу спецкурсов, которые автор читал студентам физико-математического факультета ЧувГУ.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Установлена теорема существования обобщенного решения начально-краевой задачи конвективного течения вязкой теплопроводной жидкости.

2. Доказана однозначная разрешимость такой задачи.

3. Предложена эффективная методика решения систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая конвективное течение с переменными коэффициентами вязкости и температуропроводности. Данная методика основана на использовании в методе переменных направлений монотонной аппроксимации конвективных членов направленными разностями.

4. Численно получено решение и проведен анализ структуры течения вязкой теплопроводной жидкости для некоторых задач конвективного движения.

Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции "Уравнения математической физики. Методические и прикладные вопросы" (г. Ленинград, 1981 г.), на межвузовской конференции "Молодые ученые XIX съезду комсомола" (г. Ленинград, 1982 г.), на. Всесоюзном научно-практическом семинаре "Прикладные аспекты управления сложными системами" (г. Кемерово, 1983 г.), на научных конференциях факультета ПМ-ПУ Ленинградского госуниверситета (г. Ленинград, 1981-83 гг.), на конференции молодых ученых НИИ механики и Горьковского универ

Заключение

В данной работе рассмотрено тепловое конвективное движение жидкости с переменными коэффициентами.

1. Получены априорные оценки для решения задачи тепловой конвекции, описываемой системой дифференцальных уравнений в частных производных.

2. Доказаны теоремы существования и единственности для начально-краевой задачи указанной системы.

3. Показана эквивалентность краевых задач тепловой конвекции в переменных "скорость, давление, температура" и "завихренность, функция тока, температура".

4. Для исследования движения вязкой теплопроводной жидкости посредством конечно-разностной аппроксимации производных на неравномерной сетке построена разностная схема переменных направлений. Данный численный метод позволяет рассчитывать конвективные движения жидкости с различными граничными условиями.

5. Исследована структура течения и поле температуры в прямоугольной области при различных условиях нагрева на границе.

Результаты данной работы позволили выявить закономерности конвективного течения вязкой теплопроводной жидкости. Они могут быть использованы при численном расчете линий тока и поля температуры для прямоугольных областей, а также при определении застойных зон за прямоугольным нагретым выступом.

1. Андерсен Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. М.: Мир, 1990. 384 с.

2. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 320 с.

3. Бежан А., Тьен С. Теплообмен при ламинарной конвекции в горизонтальной замкнутой полости с различно нагретыми торцевыми стенками //Теплопередача. 1978. Т.100. №4. С.87-94.

4. Безуглый В.Ю., Беляев Н.М. Численные методы конвективного тепломассообмена. Киев: Вища школа, 1984. 176 с.

5. Берковский Б.М. Современные проблемы тепловой гравитационной конвекции// Тепло- и массоперенос. Минск, 1973. Т.10. С.270-274.

6. Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Численные исследования свободной конвекции при нагреве сверху // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. №2. С. 147154.

7. Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Тепловая гравитациионная конвекция при нагреве сверху // Докл.АН СССР.1973. Т.209. № 1. С.73-79.

8. Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. Минск: Наука и техника, 1976. 144 с.

9. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск: Университетское, 1988. 167 с.

10. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Исследование теплообмена в условиях высокоинтенсивной свободной конвекции // Теплообмен 1974. Советские исследования. М.: Наука, 1975. С.169-175.

11. Бородин В.Б. О конвективном движении высоковязкой жидкости в вертикальном цилиндре// Науч. труды/ Пермск. политехи, ин-т. Пермь, 1965. №21. С.124-129.

12. Бостанджиян С.А., Мержанов А.Г., Худяев С.И.Некоторые задачи о неизотермическом стационарном течении вязкой жидкости // Журн.прикл. мех. и техн. физики. 1965. №5. С.45-50.

13. Братухин Ю.К., Шлиомис М.И. Об одном точном решении уравнений нестационарной конвекции// Прикл. мат. и мех. 1964. Т.28. №5. С.959-962.

14. Брдлик П.М., Турчин И.А. Теплообмен при естественной конвекции от горизонтальных поверхностей, обращенных теплоотдающей поверхностью вниз// Инж.-физ.журн. 1968. Т.14. №3. С.470-477.

15. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980. 974 с.

16. Бугаенко Г.А. О свободной тепловой конвекции в вертикальных цилиндрах произвольного сечения // Прикл. мат. и мех. 1953. Т. 17. №4. С.496-500.

17. Вабишевич П.Н., Вабишевич Т.Н. Об одном подходе к приближенному решению задач стационарной конвекции вязкой несжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19. №7. С.1131-1140.

18. Васильев В.В. Об устойчивости нулевого решения системы уравнений конвекции// Воронеж.политехи, ин-т. Воронеж, 1980. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 28.10.80 . №4570-80 Деп.

19. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 318 с.

20. Вукалович М.П., Новиков И.И. Уравнение состояния реальных газов. M.-JL: Госэнергоиздат, 1948. 340 с.

21. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободно-конвективные течения, тепло- и массобмен. М.: Мир, 1991. Ч. 1. 678 е.; 4.2.558 с.

22. Герасимов Б.П. Один метод расчета задач конвекции несжимаемой жидкости. М., 1975. 33 с. (Препринт/ин-т прикл. мат. АН СССР; №13).

23. Герасимов Б.П. Сравнение некоторых разностных методов решения задач тепловой гравитационной конвекции. М., 1975. 14 с. (Препринт/ин-т прикл. матем. АН СССР; №29).

24. Герасимов Б.П., Калачинская И.С. Численное исследование тепло и массообмена в некоторых химических реакторах. М.,1979. 28 с. (Препринт/ин-т прикл. матем. АН СССР; №197).

25. Гершуни Г.З., Герасимова С.Б. Об одном случае решения конвективной задачи с учетом зависимости коэффициента вязкости от температуры // Ученые записки / Пермск. ун-т. Пермь, 1954. Т.8. Вып.З. С.87-90.

26. Гершуни Г.З.,Жуховицкий Е.М. О медленных течениях вязкой жидкости в замкнутой области // Гидродинамика/ Пермск. ун-т. Пермь,1970. Вып.2. №216. С.207-217.

27. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1989. 398 с.

28. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин E.JI. Численное исследование конвективного движения в замкнутой полости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1965. №5. С.56-62.

29. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М.,Тарунин E.JI. Вторичные стационарные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. №5. С.130-136.

30. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин E.JI. Конвекция подогреваемой снизу жидкости в замкнутой полости при наличии температурной зависимости вязкости // Теплофизика выс. температур. 1973. Т.П. №3. С.579-587.

31. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин E.JI. Численное исследование стационарной конвекции в полости прямоугольного сечения со свободной верхней границей // Гидродинамика/ Пермск. ун-т.Пермь,1971. Вып.З. №248. С.106-125.

32. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шайдуров Г.Ф. Гидродинамические исследования в Перми// Гидродинамика/ Пермск.ун-т. Пермь, 1971. Вып.З. №248. С.181-216.

33. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977. 440 с.

34. Гончарова О.Н.О свободной конвекции в случае зависимости вязкости от температуры // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984. №68. С.74-81.

35. Гончарова О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1987. №79. С.22-35.

36. Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К. и др. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. М.: Мир, 1972. 328 с.

37. Грязнов B.JL, Полежаев В.И. Исследование некоторых разностных схем и аппроксимаций граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекции. М., 1974. 72 с. (Препринт/ин-т пробл. мех. АН СССР; №40).

38. Гухман A.A. Введение в теорию подобия.М.: Высшая школа, 1973. 296 с.

39. Гущин В.А., Коныпин С.М. Численное моделирование течений со свободной поверхностью // Аэрофизика и прикладная математика/ МФТИ. М., 1981. С.124-125.

40. Гхиа К.Н., Хэнки B.JL, Ходж Д.К.Решение уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в обычных переменных// Ракетная техн. и космонавт. 1979. Т.17. №3. С.89-92.

41. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока" // ЧММСС. 1979. Т.10. №2. С.49-58.

42. Данилов С.А., Золотов В.А., Нурков-Морозов Е.Е. Влияние числа Рэлея на структуру и теплообмен при естественной конвекции // Интенсификация тепломассообмена в энергетических установках / Моск. энерг. ин-т. М., 1985. Вып. 54. С.59-67.

43. Джакупов К.Б. Методы численного решения уравнений Навье-Стокса // Изв.АН КазССР. Серия физ.-мат. 1984. №5. С.17-21.

44. Джалурия Й. Естественная конвекция: Тепло- и массобмен. М.: Мир, 1983. 400 с.

45. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.:Мир, 1981. 640 с.

46. Драхлин Е.Х. О свободной тепловой конвекции // Научн. труды/ Пермск. политехи, ин-т. Пермь. 1964. №15. С.4-112.

47. Дуайер Х.А. Адаптация сеток для задач гидродинамики // Аэро-космич. техн. 1985. Т.З. №8. С.172-181.

48. Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов A.B. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. М.: Высшая школа, 1990. 132 с.

49. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Подкопаев Ю.Л. Численное решение задач тепловой конвекции жидкости с переменной вязкостью // Прикладные задачи математ. физики и функц. анализа. Алма-Ата: Наука, 1985. С.58-64.

50. Зимин В.Д., Ляхов Ю.Н., Сорокин М.П. Конвекция в вертикальном цилиндре при подогреве сверху // Гидродинамика/ Пермск. ун-т. Пермь, 1975. Вып.6. №327. С.73-85.

51. Ид А.Дж. Свободная конвекция//Успехи теплопередачи. М.: Мир, 1970. С.9-80.

52. Кажихов A.B., Рагулин В.В. О задаче конвекции в вязкой жидкости // Динамика жидкости со свободными границами. Новосибирск, 1979. Вып.40. С.127-133.

53. Калис Х.Е., Пагодкина И.Э. Некоторые разностные схемы для решения задач конвекции вязкой несжимаемой жидкости // Прикладные задачи математической физики / Латв. ун-т. Рига, 1983. С.134-141.

54. Карякин Ю.Е., Соковишин Ю.А. Нестационарная естественная конвекция в емкости треугольного сечения// Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. №5. С. 169-173.

55. Клюшников Ф.В., Петражицкий Г.Б. Особенности течения и переноса тепла в прямоугольной полости с нагретыми выступами на нижнем основании// Теплофиз. высоких температур. 1971. Т.9. №1 С.124-128

56. Ковалева Г.Е. Изучение движения вязкой жидкости в вертикальном цилиндрическом канале // Ленингр. гос.ун-т. JL, 1986. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 16.06.86. №8992-86 Деп.

57. Колесниченко В.И. Влияние повышенного внешнего давления на естественную конвекцию жидкости // Прикл. мех. и техн. физ. 1996. Т. 37. №5. С.9-16.

58. Коренев Н.К. О некоторых задачах конвекции в вязкой несжимаемой жидкости // Вестник ЛГУ. Сер.мат., мех., астр. 1971.Вып.2. №7. С.29-39.

59. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.

60. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. 426 с.

61. Купцова В.С.Об одной возможности аналитического решения задач конвективного теплообмена несжимаемой жидкости// Научн.труды/ Моск. лесотехн. ин-т. М., 1979. Вып.116. С.114-118.

62. Купцова B.C., Токаренко Т.В., Ковальчук С.А. Сравнительный анализ конечно-разностных схем с позиций их использования в сопряженных задачах естественной конвекции // Науч. труды/ Моск. лесотехн. ин-т. М., 1979. Вып.116. С.109-113.

63. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

64. Ладыженская O.A. О некоторых направлениях исследований, проведенных в лаборатории математической физики ЛОМИ// Труды матем. ин-та АН СССР/ М., 1986. Т.175. С.217-245.

65. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Гидродинамика. М.:Наука. 1988.736 с.

66. Линейкин П.С. Обуравнениях тепловой конвекции // Прикл. матем. и механика. 1951. №4. С. 433-439.

67. Лиханский П.М., Поварницын М.С. Исследование нестационарной естественной конвекции в прямоугольной полости при больших числах

68. Рэлея // ЧММСС. 1980. Т.Н. №5. С.120-131.

69. Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.

70. Лыков A.B., Берковский Б.М. Конвекция и тепловые волны. М.: Энергия, 1974. 336 с.

71. Лыков A.B., Берковский Б.М., Фертман В.Е. Экспериментальное исследование конвекции при нагреве сверху // Инж.-физ. журн. 1969. Т.16. №6. С.972-976.

72. Лыкосов В.М., Смышляев П.П., Цымбал Н.В. Оптимизация движения жидкости в трубах//Математические методы оптимизации и управления в системах/ Калининск. ун-т. Калинин, 1985. С. 144-151.

73. Макаренко И.П., Симуни Л.М. Влияние термической неоднородности границы на вынужденное движение вязкой жидкости в плоском слое //Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. №1. С.171-173.

74. Макгрегор P.M., Эмери А.Ф. Свободная конвекция в вертикальных плоских слоях жидкости при средних и высоких числах Прандтля //Теплопередача. 1969. Т.91. №3. С.109-122.

75. Мартыненко О.Г., Березовский A.A., Соковишин Ю.А. Асимптотические методы в теории свободно конвективного теплообмена. Минск: Наука и техника, 1979. 168 с.

76. Мартыненко О.Г., Семенов А.Г., Соковишин Ю.А. Параметрические методы в свободной конвекции. Минск: Наука и техника, 1984. 239 с.

77. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Свободно-конвективный теплообмен: Справочник. Минск: Наука и техника, 1982. 400 с.

78. Мартыненко О.Г, Соковишин Ю.А. Свободно-конвективный тепло и массообмен: Библиогр. указатель (1797-1981). Минск: ИТМО АН БССР, 1982. 4.1. 394 е.; 1983. 4.2. 418 с.

79. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Вышэйшая школа, 1974. 768 с.

80. Математическое моделирование конвективного тепломассообменана основе уравнений Навье-Стокса/ Полежаев В.И,, Бунэ А.В., Верезуб Н.А. и др. М.: Наука, 1987. 272 с.

81. Мельник С.Е. Применение МКЭ для решения осесимметричных задач конвективного теплообмена // Процессы теплообмена в энергетических установках. Минск, 1990. С. 26-32.

82. Найденов В.И. Установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости с учетом зависимости вязкости от температуры // Прикл. матем. и мех. 1974. Т.38. Вып.1. С.162-166.

83. Никитенко Н.И. Теория тепломассопереноса. Киев: Наукова думка, 1983. 352 с.

84. Ноготов Е.Ф. Численное исследование естественной конвекции в прямоугольных полостях при неравномерном нагреве сверху// Конвекция в каналах. Минск: ИТМО АН БССР. 1971. С.43-55.

85. Ноготов Е.Ф., Синицын А.К. О численном исследовании нестационарных задач конвекции// Инж. -физ. журн. 1976. Т.31. №6. С.1113-1119.

86. Ноубл Ж., Кломбург Л. Математическое и экспериментальное моделирование циркуляционного движения в расплаве стекла// Теплопера-дача. 1972. Т.94. №2. С.23-30.

87. Овчинников А.П., Шайдуров Г.Ф. Конвективная неустойчивость однородной жидкости в шаровой полости//Гидродинамика/ Пермск. унт. Пермь, 1968. Вып.1. №184. С.3-23.

88. Онянов В.А., Тарунин Е.Л. Численные эксперименты по использованию различных схем для задач свободной конвекции в замкнутой области // Гидродинамика/ Пермск. ун-т. Пермь, 1975. Вып.6. №327. С.156-181.

89. Остроумов Г.А.Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1952. 256 с.

90. Отрощенко И.В., Федоренко Р.П. О приближенном решении стационарных уравнений Навье-Стокса. М., 1976. 64 с. (Препринт/ин-т прикл.мат. АН СССР; №6).

91. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.А.Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.

92. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

93. Петражицкий Г.Б., Станкевич Н.М. Численное моделирование конвективного теплообмена в сферических слоях несжимаемой жидкости // Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1984. №4. С.93-101.

94. Петухов B.C., Генин Л.Г., Ковалев С.А. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Атомиздат, 1974. 408 с.

95. Пирсон Б.Л., Кутлер П. Оптимизация распределения узловых точек сетки в целях повышения точности расчетов гидродинамических задач// Ракетн.техн. и космонавт. 1980. Т.18. №3. С.58-65.

96. Полевиков В.К. Численные эксперименты с монотонными конечно-разностными схемами для уравнений естественной конвекции // Современные проблемы тепловой гравитационной конвекции. Минск: ИТМО АН БССР, 1974. С.89-95.

97. Полежаев В.И. Конвективное взаимодействие в цилиндрическом сосуде, частично заполненном жидкостью, при подводе тепла к боковой и свободной поверхности и дну// Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. №4. С.77-88.

98. Полежаев В.И., Вальциферов Ю.В. Численное исследование нестационарной тепловой конвекции в цилиндрическом сосуде при боковом подводе тепла// Некоторые применения метода сеток в газовой динамике / Моск. ун-т. М., 1971. Вып.З. С.137-174.

99. Полежаев В.И., Федосеев А.И. Метод конечных элементов в задачах гидромеханики, тепло- и массообмена. М., 1980. 72 с. (Препринт/ин-т пробл. мех. АН СССР; №160).

100. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. 420 с.

101. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

102. Рэй М.М., Андерсон Д.А. Применение адаптивных сеток при решении гидродинамических задач методом установления// Ракетн. техн. и косм. 1982. Т.20. №5. С.41-49.

103. Самарский A.A. О монотонных разностных схемах для эллиптических и параболических уравнений в случае несамосопряженного эллиптического и параболического оператора // Журн. вычислит, матем. и мат. физики. 1965. Т.5. №3. С.548-551.

104. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

105. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960. 324 с.

106. Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы. М.: Мир, 1987. 592 с.

107. Севрук И.Г. О единственности решения основной задачи свободной тепловой конвекции жидкости // Изв. вузов. Математика. 1958. №4(5). С.218-221.

108. Сидоров А.Ф. Аналитические методы построения решений в нелинейных задачах пространственной конвекции // Механика неоднородных сред. Новосибирск, 1981. С.236-250.

109. Смагулов Ш., Смагулов Б.Т. Об уравнениях свободной конвекции // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984. №67. С.100-117.

110. Смышляев П.П. Оптимизация нагрева сильно-вязкой теплопроводной среды// Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1981. №3. С.22-26.

111. Смышляев П.П., Курбатова Г.И., Лыкосов В.М. и др. Математическая модель жидкой стекломассы// ЧММСС. 1976. Т.7. №3. С.112-116.

112. Смышляев П.П.,Юсупов И.Ю.Численная модель тепловой конвекции жидкости// Всесоюзн. научн.-практич. семинар: Прикладные аспекты управления слож. системами. Кемерово, 1983. 4.2. С.200.

113. Соболев С.Л. Некоторые применения функционалного анализа вматематической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

114. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 312 с.

115. Соковишин Ю.А., Мартыненко О.Г. Введение в теорию свободно-конвективного теплообмена. Л.: Ленингр. ун-т, 1982. 224 с.

116. Сорокин B.C. О стационарных движениях жидкости,подогреваемой снизу // Прикл. мат. и мех. 1954. Т.18. Вып.2. С.197-204.

117. Спальвинь А. Гибридные вычислительные машины для решения краевых задач. Рига: Рижск. политехи, ин-т, 1975. 4.1. 103 с.

118. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1951. 418 с.

119. Тарунин Е.Л. Численное решение уравнений свободной конвекции методом сеток // Гидродинамика/ Пермск. ун-т. Пермь, 1970. Вып.2. №220. С.97-112.

120. Тарунин Е.Л. Тепловая конвекция в прямоуголной полости, подогреваемой сбоку // Гидродинамика/ Пермск. ун-т. Пермь, 1970. Вып.2. №216. С.163-175.

121. Тарунин Е.Л. Нестационарная тепловая конвекция в шаровой полости// Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. №4. С.118-124.

122. Тарунин Е.Л. Метод последовательности сеток для задач свободной конвекции // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1975. Т.15. №2. С.436-445.

123. Тарунин Е.Л., Чернатынский В.И. Конвекция в замкнутой полости, подогреваемой сбоку, при наличии температурной зависимости вязкости // Гидродинамика / Пермск. ун-т. Пермь, 1972. Вып.4. №293. С.71-83.

124. Тарунин Е.Л., Шайдуров В.Г., Шарифуллин А.Н. Экспериментальное и численное исследование устойчивости замкнутого конвективного пограничного слоя // Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979. С.3-16.

125. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

126. Терентьев А.Г., Дмитриева H.A., Никитин В.В., Юсупов И.Ю. Отчет по НИР. Тема 5/87-88 НИС ЧувГУ, 1988.

127. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.-Л.: Энергия, 1964. 206 с.

128. Томпсон Д.Р. Методы расчета сеток в вычислительной аэродинамике // Аэрокосмич. техн. 1985. Т.З. №8. С.141-171.

129. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

130. Турганбаев Е.С. Численное моделирование двумерной конвекции в полостях произвольного сечения. Деп. в ВИНИТИ 24 июня 1992. №2057 -В92.

131. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений//Успехи мат. наук. 1973. Т.28. Вып.2 (170). С.121-182.

132. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. Т.1. 502 е.; 1991. Т.2. 552 с.

133. Фром Дж. Численное изучение конвекции в потоках, движущихся в закрытых помещениях // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С.289-299.

134. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С.316-342.

135. Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М.: Энерго-издат, 1984. 416 с.

136. Черняков П.С. О нестационарной свободной конвекции в ограниченной области // Журн. вычисл.матем. и мат физики. 1966. Т.6. №2. С.288-303.

137. Черняков П.С. Классические решения второй краевой задачи для уравнений нестационарной свободной конвекции // Прикл. матем. имех. 1973. Вып.1. С. 184-190.

138. Численные методы в динамике жидкостей/ Под ред. Ж.Смолдрена, Г.Вирца. М.: Мир, 1981. 408 с.

139. Шапошников И.Г. О термоэлектрических и термомагнитных конвективных явлениях // Учен, записки / Пермск. ун-т. Пермь. 1954. Т.8. Вып.З. С.81-86.

140. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.:Мир, 1988.544 с.

141. Шкляр B.C. Электромодель для решения задач тепло и массопе-реноса // Инж.-физ. журн. 1970. Т.18. №5. С.931-934.

142. Юсупов И.Ю. Исследование течения жидкости с переменными теплофизическими характеристиками // Управление динамическими системами / Ленингр. ун-т. Л., 1983. С.175-180. Деп. в ВИНИТИ 03.11.83. №5942-83 Деп.

143. Юсупов И.Ю.Об оптимизации численных решений конвективных течений жидкости// Математические методы оптимизации и управления в сложных системах. Калинин, 1983. С.25-31.

144. Юсупов И.Ю. Численный метод исследования течения вязкой теплопроводной жидкости//Проблемы управления/ Ленингр. ун-т. Л., 1983. С.26-29. Деп. в ВИНИТИ 21.03.83. № 1421-83 Деп.

145. Юсупов И.Ю. Некоторые оценки в начально-краевой задаче для несжимаемой вязкой жидкости // Краевые задачи и их приложения/ Чувашек. ун-т. Чебоксары, 1986. С. 147-150.

146. Юсупов И.Ю. Об одной задаче конвективного теплообмена вязкой несжимаемой жидкости // Материалы 10-й научн. конф. молодых ученых мех.-мат. ф-та и НИИ Механики / Горьк. ун-т. Горький, 1985. 4.2. С.161-167. Деп. в ВИНИТИ 24.03.87. №2097-87 Деп.

147. Юсупов И.Ю. Численное решение задачи конвективного теплообмена вязкой несжимаемой жидкости // Тезисы докл. к республ. науч. практ. конферен. мол. учен, и спец. Чувашской АССР. Чебоксары, 1985.41. С. 28-29.

148. Юсупов И.Ю. Обтекание плоской пластины потоком вязкой жидкости. Деп. в ВИНИТИ 2 августа 1990 №4457-В90.

149. Юсупов И.Ю. Об эквивалентности краевых задач для вязкой несжимаемой жидкости // Гидрогазодинамика течений с тепломассообменом / Ижевск, мех. ин-т. Ижевск, 1992. С.119-122.

150. Юсупов И.Ю. 4исленное решение краевой задачи о конвективном течении вязкой жидкости в эквивалентной постановке // Высшая школа народному хозяйству 4увашии. Естествен, науки. Тез. докл. 4ебоксары, 1992. С.28-29.

151. Яненко Н.Н.Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 144 с.

152. Яненко Н.Н., Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения сеток// 4ММСС. 1977. Т.8. №4. С.157-163.

153. Chan Y.L., Tien C.L. A numerical study of two dimensional laminar natural convection in shallow open cavities //Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1985. Vol.28. №3. P.603-612.

154. Davis G.V., Mallinson G.D. A note on natural convection in a vertical slot// J. Fluid Mech. 1975. Vol.72. №1. P.87-93.

155. From J. Numerical solutions of the nonlinear equations for a heated fluid// Phys. Fluids. 1965. Vol.8. №10. P.1757-1769.

156. Gray D.D., Giorgini A. The validity of the Boussinesq approximation for liquids and gases // Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1976. Vol.19. №5. P.545-551.

157. Jones I.P.,Thompson C.P. A note on the use of nonuniform grids in finite difference calculations// Boundary and Inter Layers Comput. and Asymp. Meth. Proc. BAIL 1 Conf., Dublin. 1980. P.322-341.

158. Hart J.E. Low Prandtl number convection between differentially heated end walls// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1983. Vol.26. №7. P. 1069-1074.

159. Kalnay d'Rivas E. On the use of nonuniform grids in finite-difference equations // Journ. of Comput. Physics. 1972. №10. P.202-210.

160. Ma C.M. A uniqueness theorem for Navier-Stokes equations// Pacif. J. Math. 1981. Vol.93. №2. P.387-405.

161. Marcotos N.C., Pericleous K.A. Laminar and turbulent natural convection in an encloused cavity// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1984. Vol.27. №5. P.755-772.

162. Martynenko O.G. Heat and mass transfer bibliography-Soviet works / Int. J. Heat and Mass Transfer. 1991. V. 34. №12. P. 3011-3023.

163. Quon C. Effects of grid distribution on the computation of high Rayleigh number convection in a differentially heated cavity// Numerical properties and methodologies in heat transfer. Washington, 1983. P.261-281.

164. Renaldy M. Some remarks on the Navier-Stokes equations with a pressure-dependent viscosity// Commun. Part. Differ. Equat. 1986. Vol.11. №7. P.779-793.

165. Wang P., Kahawita R. The numerical solution of the unsteady natural convection flow in a square cavity at high Rayleigh number using SADI method//Appl. Math, and Mech. 1987. Vol.8. №3. P.219-228.

166. Yamasaki Т., Irvin T.F. Laminar free convection in a vertical tube with temperature dependent viscosity// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1984. Vol.27. №9. P.1613-1621.