Групповые свойства уравнений динамики вязкого теплопроводного газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Список таблиц

Введение

Глава 1. Трехмерные движения газа

1.1. Модель.

1.2. Преобразования эквивалентности

1.3. Групповая классификация.

Глава 2. Плоские движения вязкого теплопроводного совершенного газа

2.1. Модель.

2.2. Групповая классификация.

2.3. Оптимальная система подалгебр.

2.4. Инвариантные решения ранга 2.

2.5. Инвариантные решения ранга 1.

2.6. Примеры построения тестовых решений.

2.7. О редукции регулярных частично инвариантных решений к инвариантным.

Глава 3. Осесимметричные движения вязкого теплопроводного совершенного газа

3.1. Модель.

3.2. Групповая классификация.

-33.3. Оптимальная система подалгебр.

3.4. Инвариантные решения ранга 1.

3.5. Инвариантные решения ранга 0.

3.6. О редукции регулярных частично инвариантных решений к инвариантным.

Свойства симметрии лежат в основе представлений о строении окружающего нас физического мира. В современной теоретической физике основную роль при исследовании микро- и макромира играют теоретико-групповые методы исследования. Многие свойства физического мира (однородность и изотропность пространства и времени, динамическое подобие явлений, галилеева и лоренцева инвариантность и др.) описываются с помощью непрерывных групп преобразований.

Систематическое исследование непрерывных групп преобразований было начато во второй половине XIX века норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899). Однако широкого применения к исследованию моделей механики сплошной среды в то время групповой анализ дифференциальных уравнений не получил, хотя многие методы исследования имеют групповую природу. Целенаправленный поиск частных решений осуществлялся, в основном, методами теории размерности и подобия. Однако уже тогда было осознано, что имеется некоторая аналогия между теорией размерности и подобия и геометрической теорией инвариантов относительно преобразований координат [49]. Впервые наиболее полно исследовал взаимосвязь между этими двумя теориями Г. Биркгоф [6]. На примере уравнений механики он демонстрирует применение группового анализа к отысканию некоторого класса частных решений. Эти решения, названные им «симметричными» решениями, обладают свойством инвариантности относительно некоторой группы Н преобразований координат, не меняющей вид системы уравнений. По общепринятой теперь терминологии такие решения называются инвариантными /^-решениями. В связи с изучением применения теории Ли непрерывных преобразований к отысканию частных решений следует отметить работы Майкэла [60] и Моргана [61]. Однако во всех перечисленных выше работах использование групповых свойств дифференциальных уравнений к поиску частных решений было изучено лишь в единичных случаях и носило, в основном, иллюстративный характер.

Современный этап систематического применения методов группового анализа к моделям механики сплошных сред получил в работах школ Л. В. Овсянникова [39] и Н. X. Ибрагимова [31]. В частности, активно идет изучение групповых свойств дифференциальных уравнений механики жидкости и газа [1,2,21,26,28-30,33,38,46-48,50,54].

В 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике Л. В. Овсянниковым была сформулирована концепция программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды [40,41]. Под руководством Л. В. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, возникающих в групповом анализе дифференциальных уравнений [62]. В частности, были обобщены результаты работ алгебраистов по построению нормализованных оптимальных систем подалгебр [43,44]. Помимо непосредственного описания подмоделей происходит развитие теоретической базы группового анализа, например, были введены понятие ^-автономии [42] и понятия регулярного и нерегулярного частично инвариантного решения [45].

Данная диссертация посвящена реализации некоторых этапов программы ПОДМОДЕЛИ для исследования уравнений динамики вязкого теплопроводного газа. Эта модель по сравнению с уравнениями движения невязкого газа с большей точностью описывает реальные физические процессы и в последние десятилетия активно используется в вычислительной аэродинамике. Однако, до настоящего времени было известно не так много точных решений для уравнений данной модели. Можно упомянуть в этой связи работы Вильямса, А. П. Быркина, В. В. Щенникова, С. Н. Аристова, В. П. Шидловского по точным решениям для различных моделей динамики вязкого теплопроводного газа [4,5,22-25,32,51,52,64]. Несмотря на то, что большинство найденных точных решений имеет групповую природу (например, автомодельные решения), при их отыскании методы группового анализа дифференциальных уравнений не использовались. Использование этих методов для различных моделей динамики вязкого теплопроводного газа можно найти в работах [35,37,59].

Перед описанием структуры диссертации определим основные понятия.

Система дифференциальных уравнений Е допускает группу С? преобразований всех участвующих в Е величин (независимых и зависимых переменных), если система Е остается неизменной при всех преобразованиях, принадлежащих группе Ст.

В случае, когда система дифференциальных уравнений Е содержит произвольный элемент А в виде неопределенных параметров и функций, возможно подчиненных некоторым условиям, естественным образом возникает задача групповой классификации. Такую систему обозначим через Е(А), связь — через Г2(Л), а через СЕ (А) — группу, допускаемую системой Е(А) при конкретном виде связи О (А). Тогда ядром основных групп называется группа СгЕо, равная пересечению всех групп СЕ (А). Другими словами, ядро основных групп системы уравнений Е(А) — это группа, допускаемая этой системой при любой связи О (А). Для частных форм дополнительных связей допускаемая группа может расширяться. Таким образом, задача групповой классификации заключается в следующем: для системы дифференциальных уравнений Е(А) найти ядро основных групп ОЕо и все специализации произвольного элемента А, дающие расширения группы ОЕо.

Преобразованием эквивалентности системы Е(А) называется преобразование зависимых и независимых переменных и произвольного параметра, которое изменяет только произвольный элемент А, сохраняя структуру дифференциального уравнения Е(А). Преобразования эквивалентности образуют группу, называемую группой эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности.

Каждая подгруппа Н С <2 имеет инварианты, конечные и (или) дифференциальные. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы Н выделяет из множества всех решений Е определенный класс точных частных решений, называемых Н-решениями. Такие решения выражаются через новые искомые функции (инварианты), удовлетворяющие выводимой из Е системе дифференциальных уравнений, называемой фактор-системой Е/Н. Обычно фактор-система является более простой по сравнению с исходной системой Е, в частности, за счет того, что Е/Н содержит меньшее число независимых переменных. Поэтому фактор-система Е/Н называется подмоделью исходной «большой модели» Е. Число независимых переменных в Е/Н называется рангом подмодели. В стандартном случае четырехмерного пространства событий, на котором определена система Е, ранг подмодели может принимать значения 3, 2, 1, 0.

При изучении решений какого-либо дифференциального уравнения Е полезна геометрическая трактовка решения у — и(х) как (локального) многообразия 11 в пространстве «переменных» (х,у). Тогда решение у = и(х) называется инвариантным Н-решением уравнения Е, если соответствующее ему многообразие V является инвариантным многообразием группы Я. Обобщение понятия инвариантного решения возможно за счет отказа от полной инвариантности многоообразия 17. Решение у = и{х) называется частично инвариантным Н-решением зфавнения Е, если многообразие V является частично инвариантным многообразием группы Я, допускаемой уравнением Е. Кроме ранга такие решения характеризуются еще одной числовой характеристикой, называемой дефектом, которая показывает, «насколько» неинвариантным относительно Я является V. Существенно, что для дефекта имеется явная инфинитезимальная формула. При построении частично инвариантных решений кроме фактор-системы Е/Н, связывающей только инварианты группы Я, получается еще и дополнительная система уравнений Р, связывающая помимо инвариантов группы Я также зависимые и независимые переменные исходной системы Е. Такие системы дифференциальных уравнений требуют исследования на совместность [34,57,63].

Каждое частично инвариантное относительно группы Я решение является также частично инвариантным относительно любой подгруппы Я' С Я. При переходе к подгруппе ранг решения не убывает, а дефект не возрастает. Тем самым естественно возникает вопрос о редукции частично инвариантных решений, который ставится в следующей формулировке. Пусть дано частично инвариантное Я-решение II, имеющее ранг а и дефект требуется выяснить, существует ли подгруппа Я' С Я, для которой и является частично инвариантым Я'-решением, при этом для ранга а' и дефекта 6' этого решения справедливы соотношения а' = <7, 6' < ё. Важность проблемы редукции определяется тем, что решения с меньшим дефектом искать, вообще говоря, легче. К сожалению, какой-либо общий и практически удобный критерий редукции частично инвариантных решений пока не найден. Имеются лишь отдельные частные теоремы, дающие достаточные условия.

Два решения у = щ(х) и у = щ{х) системы уравнений Е называются несущественно различными относительно группы О, если одно из них переводится в другое некоторым преобразованием, принадлежащим группе Сг, и существенно различными относительно группы <7, если такого преобразования не существует. Несущественно различные инвариантные решения получаются относительно подобных подгрупп. Тем самым перечисление всех неподобных Я-решений сводится к задаче перечисления всех подгрупп данной группы С. В силу взаимнооднозначного соответствия между группами Ли и алгебрами Ли последнюю задачу удобнее решать как задачу классификации подалгебр данной алгебры Ли (с точностью до подобия). Совокупность представителей классов подобных подалгебр алгебры Ли (по одному из каждого класса) называется оптимальной системой подалгебр. Понятие оптимальности вызвано наличием двух свойств в списке подалгебр. Первое свойство — «максимальность», т. е. в список ничего нельзя добавить (все элементы в нем должны быть неподобными). Второе свойство — «минимальность», т. е. из списка ничего нельзя удалить (любая подалгебра должна быть представлена в списке подобной ей подалгеброй). До настоящего времени задача построения оптимальной системы подалгебр не получила окончательного решения в смысле формирования определенного алгоритма, по которому оптимальные системы выстраивались бы однозначно.

Перейдем к изложению структуры диссертации. Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава посвящена изучению групповых свойств одной из моделей динамики вязкого теплопроводного газа.

В первой главе рассматриваются уравнения трехмерных нестационарных движений газа с произвольными уравнениями состояния.

В §1.1 дается описание рассматриваемой модели и постановка задачи классификации.

В §1.2 дается решение задачи о нахождении преобразований эквивалентности. При этом использован подход, предложенный С. В. Мелеш-ко [36,58], который обобщает «классический» способ нахождения преобразований эквивалентности [39] за счет расширения пространства, в котором они действуют. Среди найденных автором преобразований существует преобразование Кирхгофа, позволяющее коэффициент теплопроводности считать постоянным за счет введения новой температуры. Наличие этого преобразования возможно благодаря произвольности уравнений состояния.

В §1.3 решается задача групповой классификации уравнений движения газа с постоянными коэффициентами вязкости и теплопроводности (с точностью до преобразований эквивалентности их можно считать равными 1). Из-за большого количества определяющих уравнений (208 320) их вывод и анализ проводились на ЭВМ с использованием языка аналитических вычислений Reduce [56]. В результате доказано, что ядро допускаемых групп является десятипараметрической группой Галилея, специализация функций р и е дает расширение допускаемой группы не более чем до тринадца-типараметрической. Всего выделено 24 случая расширения.

Во второй главе изучаются уравнения плоских движений вязкого теплопроводного совершенного газа.

В §2.1 дано описание исходной модели. Поскольку уравнение состояния совершенного газа р — рТ не является инвариантным относительно преобразования Кирхгофа, то коэффициент теплопроводности х для полноты рассмотрения считается зависящим от температуры.

В §2.2 проводится групповая классификация. Ядро допускаемых групп — семипараметрическая группа. При специальном задании х, г происходит расширение до восьмипараметрической группы. Полученный результат хорошо согласуется с результатом первой главы, где в классификационной таблице совершенному газу соответствуют случай 21 при р\(Т) = Т (тогда здесь Hq = 0, т. к. в этом случае внутренняя энергия не может зависеть от плотности), политропному газу соответствует случай 16.

В §2.3 описывается построение оптимальной системы подалгебр алгебры Ли Lg, допускаемых уравнениями плоских движений политропного газа со степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры. Здесь реализован алгоритм построения нормализованной оптимальной системы, разработанный в последние годы Л. В. Овсянниковым в процессе работы над программой ПОДМОДЕЛИ [43,44]. Оптимальная система содержит всего 164 представителя подалгебр алгебры Ли 4 представителя семимерных подалгебр, 12 — шестимерных, 20 — пятимерных, 33 — четырехмерных, 47 — трехмерных, 34 — двумерных, 14 — одномерных. Подалгебры в оптимальной системе, содержащие вещественные параметры, представляют бесконечные серии подобных подалгебр: при разных значениях параметра получаются разные классы подобных подалгебр.

В §2.4 описаны все инвариантные решения ранга 2. Они построены на основе одномерных подалгебр. Описание дается следующим образом. Номер подмодели совпадает с номером подалгебры из оптимальной системы. Для каждой подмодели указываются инварианты соответствующей группы и вид решения, выписывается фактор-система. Описание подмоделей 1.1, 1.2, 1.3 дано в полярных координатах, остальных — в декартовых.

В §2.5 описаны все инвариантные решения ранга 1, которые строятся на основе двумерных подалгебр. Из 34 представителей двумерных подалгебр две подалгебры не удовлетворяют необходимому условию существоования инвариантного решения, поэтому приведено только 32 инвариантных решения ранга 1. На основе подалгебр 2.16 и 2.32 можно строить частично инвариантные решения (например, ранга 2 дефекта 1). Там, где это удается, проведено полное или частичное интегрирование фактор-системы. Описание подмоделей 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.9, 2.10 дано в полярных координатах, остальных — в декартовых.

В §2.6 рассматриваются примеры построения тестовых решений. На примере подмоделей 2.18 и 2.28 проведен численный анализ поведения решения фактор-системы. Обнаружено, что наличие нормализатора подалгебры позволяет сократить число существенных параметров для соответствующей начальной (или краевой) задачи. Также исследована зависимость размера области существования физического решения от числа Прандтля Рг = срц/х.

В §2.7 доказывается достаточное условие редуцируемости регулярных частично инвариантных решений ранга 1 дефекта 1 к инвариантным. Все эти решения построены на основе трехмерных подалгебр, не удовлетворяющих необходимому условию существования инвариантного решения. Доказательство редукции проведено явным нахождением подгрупп, относительно которых решения являются инвариантными.

В третьей главе изучаются уравнения осесимметричных движений вязкого теплопроводного совершенного газа.

В §3.1 дано описание исходной модели.

В §3.2 проведена групповая классификация относительно уравнения состояния и зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры. Ядро допускаемых групп — четырехпараметрическая группа. Уравнения движения политропного газа со степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности допускают пятипараметри-ческую группу.

В §3.3 построена оптимальная система подалгебр алгебры Ли допускаемой уравнениями движений политропного газа со специальной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры. Оптимальная система содержит 45 представителей: 4 представителя четырехмерных подалгебр, 12 — трехмерных, 18 — двумерных, 11 — одномерных.

В §3.4 описаны все возможные инвариантные решения ранга 1, построенные на основе двумерных подалгебр. В оптимальной системе необходимому условию существования инвариантного решения не удовлетворяют три подалгебры: 2.1 (а = —1), 2.7 и 2.18.

В §3.5 описаны все возможные инвариантные решения ранга 0. Среди подалгебр размерности 3 удовлетворяют необходимому условию существования инвариантного решения только подалгебры 3.1 (а ф —1), 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.10. Все фактор-системы в этом параграфе проанализированы на наличие физических решений. Под физическим решением понимается решение с положительными плотностью и давлением. Требование физич-ности решения налагает ограничение на показатель степени в зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

В §3.6 доказывается достаточное условие редуцируемости регулярных частично инвариантных решений ранга 1 дефекта 1 к инвариантным. Эти решения построены на основе трехмерных подалгебр, не удовлетворяющих необходимому условию существования инвариантного решения. Доказательство редукции проведено явным нахождением подгрупп, относительно которых решения являются инвариантными.

В заключении перечислены результаты, выносимые на защиту.

Все результаты, приводимые в диссертации, докладывались на

XXX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1992 г.),

XXXI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1993 г.), теоретическом семинаре Института гидродинамики Сибирского отделения Российской академии наук «Групповой анализ дифференциальных уравнений» под руководством академика Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 1993 - 1998 гг.), теоретическом объединенном семинаре Института вычислитетельных технологий Сибирского отделения Российской академии наук и кафедры вычислительных методов механики сплошной среды Новосибирского государственного университета «Численные методы механики сплошной среды» под руководством академика Ю. И. Шокина и профессора В. М. Ковени (Новосибирск, 1993 г.),

Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике памяти лауреата Нобелевской премии Л. В. Канторовича (Новосибирск, 1994 г.),

Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-96 (Новосибирск, 1996 г.),

Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1996 г.), семинаре по аналитическим методам и оптимизации процессов в механике жидкости и газа САМГОП-96 (Москва, 1996 г.),

Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1997 г.),

Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998 г.),

IX Международной конференции по методам аэрофизических исследований 1СМА11'98 (Новосибирск, 1998 г.), семинаре по аналитическим методам и оптимизации процессов в механике жидкости и газа САМГОП-98 (Уфа, 1998 г.),

Международной конференции «Симметрия в естествознании» (Красноярск, 1998 г.),

XVI Международной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1998 г.),

Второй Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1998 г.),

Международной конференции «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики)» (Красноярск, 1999 г.),

Международной научной конференции «Выпускник НГУ и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1999 г.).

В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре отдела прикладной гидродинамики Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук под руководством члена-корреспондента РАН В. В. Пух-начева (Новосибирск, 1998 г.), теоретическом семинаре Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук под руководством академика Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 1999 г.), теоретическом семинаре Института теоретической и прикладной механики Сибирского отделения Российской академии наук «Теоретическая и прикладная механика» под руководством члена-корреспондента РАН В. М. Фомина (Новосибирск, 1999 г.), теоретическом объединенном семинаре Института вычислитетельных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, кафедры математического моделирования Новосибирского государственного и кафедры вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета «Информационно-вычислительные технологии» под руководством академика Ю. И. Шокина и профессора В. М. Ковени (Новосибирск, 1999 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7-20,53].

На защиту выносятся следующие положения.

1. Проведение групповой классификации дифференциальных уравнений, описывающих трехмерные нестационарные движения вязкого теплопроводного газа с произвольными уравнениями состояния р — ¡(р,Т)у е = д(р,Т) и постоянными коэффициентами вязкости и теплопроводности.

2. Проведение групповой классификации уравнений двумерных (плоских и осесимметричных) движений вязкого теплопроводного совершенного газа с произвольным уравнением состояния е = д(Т) и переменными коэффициентами вязкости и теплопроводности /л = х = к{Т).

3. Классификация подалгебр (построение нормализованных оптимальных систем подалгебр) алгебр Ли Ь$ и £5, допускаемых уравнениями соответственно плоских и осесимметричных движений вязкого теплопроводного совершенного газа с политропным уравнением состояния и степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

4. Построение всех инвариантных решений ранга 2 и ранга 1 уравнений плоских движений вязкого теплопроводного совершенного газа с политропным уравнением состояния и степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

5. Построение всех инвариантных решений ранга 1 и ранга 0 уравнений осесимметричных движений вязкого теплопроводного совершенного газа с политропным уравнением состояния и степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

- 186. Доказательство достаточного условия редуцируемости к инвариантным регулярных частично инвариантных решений ранга 1 дефекта 1 уравнений двумерных движений вязкого теплопроводного совершенного газа с политропным уравнением состояния и степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 93-013-17361. 96-01-01888 и 99-01-00515).

Заключение

На защиту выносятся следующие положения.

1. Проведение групповой классификации дифференциальных уравнений, описывающих трехмерные нестационарные движения вязкого теплопроводного газа с произвольными уравнениями состояния р = /(р,Т), £ = д(р, Т) и постоянными коэффициентами вязкости и теплопроводности.

2. Проведение групповой классификации уравнений двумерных (плоских и осесимметричных) движений вязкого теплопроводного совершенного газа с произвольным уравнением состояния £ = д(Т) и переменными коэффициентами вязкости и теплопроводности р = р-(Т), х = х(Т).

3. Классификация подалгебр (построение нормализованных оптимальных систем подалгебр) алгебр Ли и допускаемых уравнениями соответственно плоских и осесимметричных движений вязкого теплопроводного совершенного газа с политропным уравнением состояния и степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

4. Построение всех инвариантных решений ранга 2 и ранга 1 уравнений плоских движений вязкого теплопроводного совершенного газа с политропным уравнением состояния и степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

- 118

5. Построение всех инвариантных решений ранга 1 и ранга 0 уравнений осесимметричных движений вязкого теплопроводного совершенного газа с политропным уравнением состояния и степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

6. Доказательство достаточного условия редуцируемости к инвариантным регулярных частично инвариантных решений ранга 1 дефекта 1 уравнений двумерных движений вязкого теплопроводного совершенного газа с политропным уравнением состояния и степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры.

1. Андреев В. К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. — Новосибирск: Наука, 1994. — 319 с.

2. Андреев В. К., Родионов А. А. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 298, № 5. — С. 1358-1361.

3. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. — Новосибирск: Наука, 1983. — 319 с.

4. Аристов С. Н. Класс точных решений уравнений Навье — Стокса для сжимаемого вязкого газа // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 313, № 6. — С. 1403-1406.

5. Аристов С. Н., ГрабовскиЙ В. Н. Автомодельное решение уравнений Навье — Стокса для течений газа во вращающихся логарифмически-спиральных плоских каналах / / Механика жидкости и газа. — 1995. — № 5. — С. 44-50.

6. Биркгоф Г. Гидродинамика. — М., 1954. — 183 с.

7. Бублик В. В. Использование методов компьютерной алгебры при проведении групповой классификации уравнений динамики вязкого теплопроводного газа // Симметрия в естествознании. Тезисы докладов Международной конференции. — Красноярск, 1998. — С. 33-34.

8. Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1999. — Вып. 114. — С. 21-25.

9. Гончарова О. Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1987. — Вып. 79.1. С. 22-35.

10. Мелешко С. В., Черный С. Г. Исследование вязких сжимаемых течений на основе параболизированных уравнений Навье — Стокса. — Новосибирск, 1985. — 48 с. — (Препринт / ИТПМ СО РАН; №32-85).

11. Меньшиков В. М. Решения уравнений двумерной газовой динамики типа простых волн // ПМТФ. — 1969. — Т. 10, №3. — С. 129-134.

12. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М., 1978. — 400 с.

13. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ // Седьмой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. — М., 1991. — С. 269.

14. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. — Новосибирск, 1992. — 12 с.

15. Овсянников Л. В. О свойстве х-автономии // Докл. РАН. — 1993. — Т. 330, № 5. — С. 559-561.

16. Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. — 1993. — Т. 333, № 6. — С. 702-704.

17. ЩЕННИКОВ В. В. Об одном классе точных решений уравнений Навье— Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа // ПММ.1969. — Т. 33, вып. 3. — С. 582-584.

18. BUBLIK V. V. The exact solutions of equations for dynamics of viscous heat conducting gas // International Conference on the Method of Aero-physical Reseach. Proceedings. Part I. — Novosibirsk, 1998. — P. 41-43.

19. Coggeshall S. V., Axford R. A. Lie group invariance properties of radiation hydrodynamics equations and their associated similarity solutions // Phys. Fluids. — 1986. — V. 29, No. 8. — P. 2398-2420.

20. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Volume 3. New Trends in Theoretical Developments and Computational Methods / Editor N. H. Ibragimov. — CRC Press, 1995. — 560 p.

21. Hearn A. C. REDUCE User's Manual. Version 3.6. — Santa Monica, 1995. — 224 p.

22. Kuranishi M. Lectures on involutive systems of partial differential equations. — Sao Paulo, 1967. — 76 p.