Математическое моделирование транспорта электронов через потенциальный барьер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Обзор Литературы.

1.1. Прозрачность барьера.

1.1.1. Уравнение Шредингера.

1.1.2. Работа выхода.

1.1.3. Плотность потока.

1.1.4. Туннельный эффект.

1.1.5. Прямоугольный барьер.

1.1.6. Треугольный барьер.

1.1.7. Учет сил зеркального изображения.

1.2. Уравнение типа Шредингера.

1.2.1. Методы типа Рунге-Кутты (общий подход).

1.2.2. Метод трапеций.

1.2.3. Нумеровский алгоритм.

1.2.4. Квазиклассический метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна.

1.2.5. Постановка обратной задачи.

1.2.6. Задача оптимального управления.

1.3. Полевая эмиссия.

1.3.1. Распределение электронов по энергиям.

1.3.2. Обзор различных видов электронной эмиссии.

1.3.3. Полевая электронная эмиссия металлов.

1.3.4. Полевая электронная эмиссия полупроводников.

1.4. Применение расчетов.

1.4.1. Квантовые ямы.

1.4.2. Резонансное туннелирование.

1.5. Выводы.

Глава 2. Восстановление прозрачности и потенциала.

2.1. Метод малых вариаций работы выхода.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Общий подход.

2.1.3. Проверка предположений.

2.1.4. Численный эксперимент.

2.2. Задача о восстановлении потенциала.

2.3. Выводы.

Глава 3. Методики расчета прозрачности.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Метод прямоугольников.

3.3. Методы типа Рунге-Кутты (первый порядок сходимости).

3.4. Интегрирование при помощи степенных рядов.

3.5. Обсуждение результатов.

3.6. Выводы.

Глава 4. Применение расчетов.

4.1. Квантовые ямы.

4.2. Резонансное туннелирование.

4.3. Вольтамперная характеристика.

4.4. Выводы.

Актуальность темы. Одной из актуальнейших проблем современной науки и техники является вопрос о генерировании пучков заряженных частиц высокой плотности. Задача может быть решена при помощи эмиссионных процессов [1-11]. Можно выделить два вида эмиссии: с предварительным возбуждением частиц и без возбуждения. В первом случае источником дополнительной энергии частиц служит тепловой нагрев (термоэмиссия), световое излучение (фотоэмиссия), газовый разряд и механическое воздействие (экзоэмиссия) и т.п. Ко второму случаю относятся полевая электронная эмиссия, потенциальная ионно-электронная эмиссия и комбинированные виды эмиссии (например, фотополевая эмиссия, термополевая эмиссия) [см. обзор в 12]. В случае полевой эмиссии на границе твердого тела создается внешнее электрическое поле. Потенциальный порог, мешающий электронам покидать пределы эмиттера, превращается в барьер, и электроны имеют отличную от нуля вероятность выйти наружу за счет туннельного эффекта [1]. Для теоретического определения тока эмиссии необходимо знать коэффициент прохождения квантового барьера (прозрачность). В случае эмиссии, проходящей с предварительным возбуждением источников заряда, схожей по смыслу характеристикой является коэффициент надбарьерного отражения. Провести расчет коэффициентов прохождения и отражения можно двумя способами: задать, используя теоретические представления, потенциал на границе раздела фаз (потенциальный барьер) и решить уравнение Шредингера, либо воспользоваться некоторым набором экспериментальных данных. Для реализации обоих вариантов существуют различные методы, но они обладают определенными недостатками. Методы решения уравнения Шредингера, например, не адаптированы для конкретных задач эмиссионной электроники, т.е. наблюдается фактическое отсутствие математических моделей привязанных к моделям физическим. Получение же экспериментальных данных дополнительно связано с затратами средств и времени, а их интерпретация может быть затруднена. Методы математического моделирования и численного эксперимента являются на сегодняшний день одними из первостепенных для теории и эксперимента. Они позволяют шире варьировать условия получения результатов, имеют преимущество в скорости и точности, т.к. не связаны ограничениями, обычно накладываемыми экспериментальной установкой. Математический аппарат в таких методах уже подразумевает решение только конкретной задачи и не содержит лишней информации о возможных краевых условиях, корректности постановки и т.п. В связи с этим и возникает вопрос о создании эффективных математических моделей. Их детальная разработка и описание необходимый элемент при переходе от теории к эксперименту и обратно. Кроме того, построение четкой модели транспорта электронов через границу твердое тело — внешняя среда позволило бы решить целый ряд проблем, как смежных, так и вполне самостоятельных. Например, моделирование резонансных структур или квантование энергии в потенциальных ямах [13-16].

Цель работы. Целью настоящей работы является: построение математических моделей для задач туннелирования электронов через потенциальный барьер; создание алгоритмов и прикладных программ, реализующих разработанные метода на ЭВМ; проверка моделей с использованием численного эксперимента.

Научная новизна работы и основные положения, выносимые на защиту. Все результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы, получены впервые и являются новыми.

Основные положения, выносимые на защиту, представлены ниже:

• построен новый класс функций, являющихся решением дифференциального уравнения второго порядка, типа уравнения Шредингера;

• предложены методы решения новой задачи о восстановлении хода приповерхностного потенциала, являющейся обратной к задаче расчета прозрачности;

• предложена математическая модель для определения прозрачности квантового барьера по экспериментальным данным;

• решена задача о квантовании энергии в зависимости от формы потенциала и толщины стенок квантовой ямы;

• создан пакет программ для решения прикладных задач моделирования источников заряженных частиц.

Практическая значимость работы. Полученные результаты были использованы при построении теоретических моделей полевой и фотоэлектронной эмиссии. Методы могут быть применены в разработке новых высокоэффективных источников заряженных частиц для ускорительной техники и электроники, при создании источников электронов для плоских дисплеев. Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе: при чтении специальных лекционных курсов для студентов 4-го года обучения на дневном отделении факультета ПМ-ПУ.

Методы исследования. В работе основными методами исследования являются методы вычислительной математики, математического моделирования и численного эксперимента.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международных конференциях Beam Dynamics and Optimization (Санкт-Петербург, 1998 и 2000 гг.); на XXIX, XXX и XXXI конференциях факультета Прикладной математики — процессов управления "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург, 1998, 1999 и 2000 гг.); на 18-ой Международной конференции European Conference on Surface Science (Австрия, 1999 г.); а также на научных семинарах факультета Прикладной математики — процессов управления.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ [17-23].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы включает 77 наименований. Работа изложена на 120 страницах и 11 страницах приложения, содержит 35 рисунков и 7 таблиц.

Основные результаты численных расчетов и численных экспериментов можно резюмировать следующим образом:

1. Предложенные математические модели транспорта электронов через потенциальных барьер дают адекватное описание физических моделей.

2. Сделанные предположения о зависимости прозрачности преимущественно от разности энергии электрона и работы выхода эмиттера, о независимости внутреннего спектра электронов от варьирования работы выхода и о возможности аппроксимации потенциала полиномами произвольной степени прямо или косвенно оправданы результатами численного эксперимента.

3. Предложена модель определения прозрачности квантового барьера по экспериментальным данным (метод малых вариаций работы выхода). В отличие от решения прямой задачи о прозрачности метод не требует информации о виде потенциальной функции электрона. Метод не связан ограничениями на одномерность и стационарность. Численное моделирование ошибок измерения показало устойчивость метода к их появлению.

4. Была сформулирована обратная задача о прозрачности и предложено ее решение в терминах теории об оптимальном управлении. Рассмотрены возможные варианты поиска решения методом последовательных приближений и на ограниченном классе функций.

5. Были рассмотрены и улучшены известные методы решения прямой задачи о прозрачности. А именно, предложена аппроксимация волновой функции плоскими волнами, вместо функций Эйри и получена оценка глобальной погрешности численного метода Рунге-Кутты первого порядка сходимости применительно к расчету прозрачности.

6. Построен аналитический метод расчета прозрачности для произвольного потенциала, использующий в качестве приближений аппроксимацию полиномами. Сделан вывод о допустимости такой аппроксимации. Отмечена высокая скорость сходимости результата к точному (численному) решению. Таким образом, были сняты ограничения квазиклассических методов расчета прозрачности, применяющиеся для теоретического изучения эмиссии (построения вольтамперных характеристик).

7. При рассмотрении уравнения Шредингера с потенциалом в виде полинома произвольной степени введен новый класс функций, являющихся обобщением экспонент и функций Эйри.

8. На основе полиномиального представления потенциальной функции электрона был сделан вывод о некорректной постановке обратной задачи о прозрачности. Ее решение возможно при введении дополнительных условий на близость к теоретически предсказанному виду потенциала.

9. Исследование квантовых уровней в изгибе зон полупроводника показало, что определяющее воздействие на них оказывает внутреннее поле, а внешним можно пренебречь. Был сделан вывод о недопустимости линеаризации такой модели, так как это приводит к значительному смещению связанных состояний.

10. Предсказано появление резонансов в структуре яма — барьер, по аналогии с двухбарьерной системой. Это позволяет решать с практической точки зрения проблему эффективности полевых катодов и фотоэмиттеров.

11. Не обнаружено противоречия при сравнении результатов расчетов с результатами других авторов там, где это представлялось возможным.

Заключение

В диссертационной работе предложены математические модели (методики и формулы) для решения прямой задачи о прозрачности, определения прозрачности на основе анализа экспериментальных данных, восстановления хода приповерхностного потенциала на границе твердое тело — внешняя среда, расчета квантовых уровней в изгибе зон полупроводника.

1. Fowler R.H., Nordheim L. Electron emission in intense electric field. // Proc. Roy. Soc. A. 1928. Vol. 119. №781. P. 173-181.

2. Pool J.B. Electron guns, state of art. // Nuclear Instrum. and Methods. 1981. Vol. A187. P. 241-244.

3. Егоров H.B., Виноградова E.M. Математическая модель электронной пушки с полевым катодом. // В кн.: Математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. С. 57-62.

4. Oostrom A.G.J. Validity of Fowler-Nordheim model for field electron emission. // Philips Res. Rep. Suppl. № 1. 1966. P. 1-162.

5. Dyke W.P., Trolan J.K., Dolan W.W., Bernes G. The field emission: fabrication, electron microscopy and electric field calculation. // J. Appl. Phys. 1953. Vol. 24. №2. P. 305-316.

6. Бродский A.M., Гуревич Ю.Я. Теория электронной эмиссии из металлов. // М.: Наука. 1973. 255 с.

7. Елинсон М.И., Васильев Г.Ф. Автоэлектронная эмиссия. // М.: Физматгиз. 1958. 272 с.

8. Капчинский И.М. Теория линейных резонансных ускорителей: Динамика частиц. // М.: Энергоиздат. 1982. 240 с.

9. Кирштейн А., Кайно Г., Уотерс У. Формирование электронных пучков. // М.: Мир. 1970. 256 с.

10. Пирс Дж.Р. Теория и расчет электронных пучков. // М.: Мир. 1970. 256 с. П.Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование системформирования электронных и ионных пучков. // СПб.: Изд. СПбГУ. 1998.276 с.

11. Добрецов Л.Н., Гомоюнова М.В. Эмиссионная электроника. // М.: Наука. 1966.

12. Kryuchenko Yu. V., Litovchenko V.G. Computer simulation of the field emission from multilayer cathodes. //JVST. Vol. B14. 1996. P. 1934-1937.

13. Stamp A.P., Mcintosh G.C. A time-dependent study of resonant tummeling through a double barrier. // Am. J. Phys. Vol 64. № 3. P. 264-276.

14. Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. // М.: Наука. 1974. 752 с.

15. Мессиа А. Квантовая механика. // М.: Наука. Том 1. 1978.480 с.

16. Antonov A.Yu., Denissov V.P. // Physica Scripta. Vol. 59. 1999. P. 235-240.

17. Антонов А.Ю., Денисов В.П., Егоров H.B. Математическое моделирование прохождения электронов через границу твердое тело — вакуум при малых вариациях работы выхода. // Поверхность. №12. 1999. С. 116-118.

18. Антонов А.Ю. Математическое моделирование транспорта электронов через границу твердое тело — вакуум. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXIX научной конференции ф-та ПМ-ПУ СПбГУ. С.-Петербург. 1998. С. 115-118.

19. Антонов А.Ю. Зависимость энергетических состояний электрона от формы потенциала в полупроводниковом эмиттере. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конференции ф-та ПМ-ПУ СПбГУ. С.Петербург. 1999. С. 203-207.

20. Антонов А.Ю. Обратная задача о прозрачности квантового барьера. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конференции ф-та ПМ-ПУ СПбГУ. С.-Петербург. 2000. С. 132-136.

21. Антонов А.Ю., Денисов В.П. Тезисы конференции ECOSS-18. Resonant tunneling in processes of electron emission from semiconductors. // Europhysics Conference Abstracts, V. 23G (ECOSS-18), 1999, Th-P-066.

22. Антонов А.Ю., Денисов В.П. Тезисы конференции ECOSS-18. Potential barrier shape determination from experimental data. // Europhysics Conference Abstracts, V. 23G (ECOSS-18), 1999, We-P-060.

23. Heisenberg W. HZs. f. Phys. Vol. 120. 1943. P. 513.

24. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. // Гостехиздат. 1956.

25. Ицкович Ф.И. К теории автоэлектронной эмиссии металлов. // ЖЭТФ. Т. 50. №> 5. 1966. 1425-1437.

26. Denissov V.P. Vishnevkin A.B. // Beam Dynamics and Optimization 99.

27. Вишневкин А.Б. Расчет необратимой составляющей потери энергии электрона при взаимодействии с плазмой металла. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конференции ф-та ПМ-ПУ СПбГУ. С.Петербург. 2000.

28. J.S.Esher, H.Schade. //J.Appl.Phys. Vol. 44. №. 12. 1973. P. 5309.

29. Модинос А. Авто-, термо- и вторично-электронная эмиссионная спектроскопия. // М.: Наука. 1990. 320 с.

30. F.W.Sheard, G.A. Toombs. Space-charge buildup and bistability in resonant-tunneling double-barrier structures. // Appl. Phys. Lett. Vol. 52. № 15. 1988. P.1228-1230.

31. Qing-An Huang. // J.Appl.Phys. Vol. 78. № 11. 1995. P. 6770.

32. Jian-ping Peng, Hao Chen, Shi-xun Zhou. A theoretical study of resonant tunneling in the double-barrier structure. // J.Phys. Vol. 1. 1989. P.5451-5461.

33. Liu Yunpeng, Liu Weidong, Luo Enze. // Revue "Le Vide, les Couches Minces". Vol. 271. Mars-Avril 1994. P. 195.

34. Яковлева Г.Д. Таблицы функций Эйри и их производных. // М.: Наука. 1969.

35. Burgnies L., Vanbesien О., Sadaune V., Lippens D., Nagle J., Vinter B. Resonant tunneling structures with local potential pertubations. // J. Appl. Phys. Vol. 75. 1994. P. 4527-4532.

36. Di Ventra M., Papp G., Coluzza C., Baldereschi A., Schultz P.A. Indented barrier resonant tunneling rectifiers. J. Appl. Phys. Vol. 80. 1996. P. 4147.

37. Litovchenko V.G., Kryuchenko Yu.V. Field emission from structures with quantum wells. // JVST. Vol. В 11. 1995. P. 362-365.

38. Racec Paul N., Stoica Toma, Popescu Corneliu, Lepsa Mihail, van de Roer Th. G. Physics of optimal resonant tunneling. // Phys. Rev. Vol. B56. 1997. P. 35953598.

39. Rana Farhan, Tiwari Sandip, Buchanan D.A. Self-consistent modelling of accumulation layers and tunneling currents through very thin oxides. // Appl. Phys. Lett. Vol. 69. 1996. P. 1104.

40. Sung Ho Jo, Byung Gook Park, Jong Duk Lee. Analysis of field emission characteristics of hydrogen-absorbed silicon surface. // Appl. Phys. Lett. Vol. 68. 1996. P. 2234-2236.

41. Yokoyama N., Imamura K., Ohnishi H., Mori Т., Muto S., Shibatomi A. Resonant-tunneling hot electron transistor. // Solid-state electronics. Vol. 31. 1988. P. 577-582.

42. Tao Pang. A numerical method for quantum tunneling. // Comput. Physics. Vol. 9. 1995. P. 602-606.

43. K.L.Jensen, A.K.Ganguly. Numerical simulation of field emission and tunneling: A comparison of the Wigner function and transmission coefficient approaches. // J.Appl.Phys. Vol. 73. № 9. 1993. P. 4409-4427.

44. Jensen K.L., Zaidman E.G. Field emission from an elliptical boss: Exact and approximate forms for area factors and current. // JVST. Vol. В12. 1994. P. 776.

45. K.L.Jensen, A.K.Ganguly. Time-dependent, self consistent simulations of field emission from silicon using the Wigner distribution function. // JVST. Vol. В12. 1994. P. 770.

46. K.L.Jensen, A.K.Ganguly. Numerical simulation of field emission from silicon. // JVST. Vol.Bll. 1993. P. 371.

47. Jensen K.L. Simulation of time-depent quantum transport in field emission from semiconductors: Complications due to scattering, surface density and temperature. //JVST. Vol. В13. 1995. P. 505.

48. Binh Vu Thien, Purcell S.T., Garcia N., Doglioni J. Field-emission electron spectroscopy of single-atom tips. // Phys. Rev. Lett. Vol. 69.1992. P. 2527-2530.

49. Boydanov H., Wojciechowski K.F. Electronic surface properties of alkali-metals alloys. //J. Phys. Vol. D29. 1996. P. 1310-1315.

50. Mesa G., Saenz J.J. Three-dimentional image interaction for nonsmoth emitters. // Appl. Phys. Lett. Vol. 69. 1996. P. 1169.

51. Mesa G., Dobado-Fuentes E., Saenz J.J. Image charge method for electrostatic calculations in field-emission diodes. // J. Appl. Phys. Vol. 79. 1996. P. 39-44.

52. Perdew J.P. Simple theories for simple metals: face-dependent surface energies and work function. // Progr. Surface Sci. Vol. 48. 1995. P. 245-259.

53. Вольф Г.В. Работа выхода и положение плоскости изображения металлических поверхностей. // Поверхность. № 10. 1997. С. 13-19.

54. Габович A.M. Динамические силы изображения причина нарушения закона Фаулера-Нордгейма в автоэлектронной эмиссии. // ФТТ. Т. 25. 1983. С. 18851887.

55. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. // М.:-СПб.: Физматлит. 2000. 624 с.

56. J.Paulini, T.Klein, G.Simon. // J.Phys. D: Appl.Phys. Vol. 26. 1993. P. 1310.

57. P.H.Cutler, Jun He, N.M.Miskovsky, T.E.Sullivan, B.Weiss. // J.Vac.Sci.Technol. Vol. B11. № 2. Mar/Apr 1993. P. 387.

58. Qing-An Huang. // J.Appl.Phys. Vol. 79. № 7.1996. P. 3703.

59. Зубов В.И. Лекции по теории управления. // М.: Наука. 1975. 496 с.

60. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 1. // М.: Мир. 1979. 400 с.

61. Nordheim L. // Roy. Soc. Proc. A. Vol. 121. 1928. P. 626.

62. Stern Т.Е., Gossling B.S., Fowler R.H. Further studies in the emission of electrons from cold metals. // Roy. Soc. Proc. A. Vol. 124. 1929. P. 699-723.

63. Ф.Стерн. Квантовые свойства поверхностных слоев пространственного заряда. В кн.: Новое в исследовании поверхности твердого тела. М.: Мир," 1977. Вып. 2. Сс. 280-305.

64. Ржанов А.В. Электронные процессы на поверхности полупроводников. // М.: Наука. 1971.480 с.

65. Захарова А.А. Межзонное резонансное туннелирование в полупроводниковых гетероструктурах в квантующем магнитном поле. // ФТТ. Т. 40. 1998. С. 2121-2126.

66. Allen S.S., Richardson S.L. Improved Airy function formalism for study of resonant tunneling in multibarrier semiconductor heterostructures. // J. Appl. Phys. Vol. 79. 1996. P. 886-894.

67. Allen S.S., Richardson S.L. Theoretical investigations of resonant tunneling in asymetric multibarrier semiconductor heterostructures in an applied constant electric field. // Phys. Rev. Vol. B50.1994. P. 11693.

68. Денисов В.П. // Письма в ЖТФ. Т. 18. № 5. 1992. С. 21.

69. Murphy E.L., Good R.N. Thermionic emission, field emission and transition region. // Phys. Rev. Vol. 102. № 6. 1956. P. 1464-1573.

70. Денисов В.П. // Письма в ЖТФ. Т. 18. № 14. 1992. С. 21.

71. Антонова Л.И. и др.//Письма в ЖТФ. Т. 11.1985. С. 602.

72. L.I.Antonova, V.P.Denissov. // Appl.Surf.Sci. Vol. 111. 1997. P. 237.

73. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // М.: Наука. 1965.332 с.

74. Mamaev Yu.A., Subashiev A.V., Yu.P. Yashin, Drouhin H.-J., Lampel G. Energy resolved spin-polarized electron photoemission from strained GaAs/GaAsP heterostructure. // Solid State Communications. Vol. 114. 2000. P. 401-405.

75. D.G.Fisher, R.E.Enstrom, J.S.Escher, and B.F.Williams. // J.Appl.Phys. Vol. 43. 1972. P. 3815.