Математическое моделирование управляемых квазистационарных и переходных процессов в химической кинетике и технологии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

I А

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

отделение ордена ленина института химической физики

На правах рукописи ГЕЛЬМАН Евгения Александровна

удк 541.127 + 517.9 + 677.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКЕ И ТЕХНОЛОГИИ

Специальности 01.04.17 — химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Черноголовка 1989

Работа выполнена в Отделении ордена Ленина Институте химической физики АН СССР.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Внлюнов В. Н., доктор физико-математических наук, профессор Гостинцев Ю. А.( доктор технических наук Холпанов Л. П.

Ведущее предприятие: Институт структурной макрокннстикн АН СССР

Защита состоится «_»_ 1990 г. в „__" час.

па заседании специализированною совета Д 002.26.02 при Институте химической физики АН СССР по адресу: 142432, Московская область, Ногинский район, п. Черноголовка, ОИХФ АН СССР, корп. 1/2, акт. зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИХФ АН СССР.

Автореферат разослан „___"------1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат

физико-математических наук А. А. Юданов

© Отделение ордена Ленина Института химической фнзнкн АН СССР

Обпщп характеристика работ

Актуальность япобясиы

Работа посвящается математическому моделированию хши-но-техналогичоских процессов» которые описываются оистемой уравнений теплопроводности, ди&Тузии и многокаляонентной кинетики. Сюда относится широкий клаос различные по физической природе процессов - горение, тепловой и цепной взрыв, полимеризация, гетерогенный катализ, волновые процессы на тешюпроводящих поверхностях находящихся в жидкой кипящей среда И х.Д. Эта процессы характеризуются слояной ди-вамнкой. Из всего разнообразия процессов выбраны дая исследования те, который присуща одно из 2-х свойств - квазистационарность или переходность, предполагающая наличие в системе множественности стационарных состояний.

Дассертация явилась птогси многолетней работы автора, проводаваейся в Институте химической физики АН СССР по разработке я цршенендо математических методов-в различных вопросах химической физике. Цель работа создать катшатичео-. кий аппарат» позволявдий на модахях последовать влияние внешних управляющих параметров на основные характеристики процессов в реакторах а на этой, основе создать вычислительные алгоритмы управления щи с учетом роальннх тахнологичоских возможностей.

Ажбуальяость проблемы а тем, что она направлена на совершенствование технологических процеооов. Особенно актуально математическое моделирование взрывоопасных процессов, поскольку оно заменяет подчао дорогостоящие и небезопасные технологические эксперименты.

а

Научная новизна работа

По рассмотренным в работе математическим иодалда есть богатый теоретический материал - классические астштотачес-кие метода!, метода оптимального регулирования, метода теории устойчивости и т.д. Однако эти метода в ряда случае оказываются недостаточно конструкствнши для решения практических задач. Направленность данной работы на решете задач; связанных о реальными технологическими процессами привела к необходимости создания нового конструктивного гатематичоо-кого аппарата.

I. При изучении переходных процессов не всегда можно полагать пространственную область бесконечной и пользоваться хорошо разработанными в таких задачах нелокаждааш методами исследования устойчивости. Это привело к нообходиаоотя изучать щюгдадуточцую амзяп'отш^у па ограниченной интервале и со пространству и по времени. В гл. 3 доказана теорема сравнения на фазовой плоскости и на ее основе получена оценка "времени тшзни* прсиегдгточной асимптотика (стоячих демонов),

• 2. При изучении кваэистациояарнш: процессов с иехшль-эованвш истода квазистационаршх концентраций традиционная йсшптотаческая теория, основанная на теореме Тихонова, окаг ващ» недостаточной для решения практических задач, поскольку константа скорости реакций не бесконечна.^В гл. 2 цре-длоэзн алгориш оценки границ пршзншости штода квазиста-ционаршх концентраций, оонованннй ш развитой в работе теории мажорирования линейных систем обыкновенных уравнешй

и уравнений в ,частних производных. Эта теория учитывает

2

структуру кшотичоских матрщ д поз талу позволяет получать в аналитическом .форпо двусторошшо оценки точности квази-стацконариого приближения дня ищрокого'класса схем роагаюй.

Развитой здесь математический аштрат поштго задач химической физики йршенш э вопросах усуоНчпвости нэлннейных систем обыкновенных урашотй к уравпошй в частных произ- ; водных как мотод, расширотждай возможность обнаружения экспоненциальной устойчивости по сравнению о существующими мо-тодагга.

В задачах управления переходными процессами ш исходим прежде всего из того, что в ряде, случаев нет смысла стрсмять-ся к получений строгого, "теоретического1*, оптимума, поскольку я модели, так правило, грубые и осуществление его в технологии практически трудно выполнимо. Поэтщу ш не используем хорошо развитой математический аппарат, оптимального уяралленыя, а направлял основные усшпш налзучэнио влзшши внешних управляющих параметров на критические явления, которые, являясь качественным свойством математической модели процесса, обязательно проявляют себя и в технологической эксперименте. Бодыцув услугу на йтш пути оказывает изучение пршояуточной асилггогшш (автомодельных решений), исследовало свойств неустойчивых неоднородных стационарных решений, использование нестационарного осредаедаого уравйэ-ния а техники верхних я нижних функций, Предложенная в хя. 4 теория является продолжением и развитием подходов, которые ранее' применялись в теории теплового взрнва н в исследованиях критических условий зажигания. В данной работе эта метода рапроспранеш на случай, когда йгнкция источника содержит параметра, завясяивд от пространственной и вре—

3

мешгай координаты. Теория, которая в случай одного уравнения приводит к аналитическим фор.улш, в случао скстеш используется как фрагмент вычислительного алгорн'ша в задачах управления.

4. На базе указанных вито теоретических исследований разработан алгоритм регулирования процессов отверздения кру-пногабаритша полимерных шдеявй с псмоцыо меняющейся по аякону обратной связи температур! на поверхности и внутри реактора (гл. 5). В тех случаях когда конструкциошне особенности реактора не позволяют размещение датчиков темпера-зуры внутри реактора (например процесс получения толстостенных листов оргстекла), предооаен несимметричный катод регулирования, основанный на обратноЗ связи ыедау температурой на одной в другой поверхности реактора. Метод поиска управ-лягарй функции представляет собой сочетание исследования {фитичвскшс явлений с киберттичеегм штодш адаптация!?

Дшктяческая значимость работа *

1« Для широкого класса кинетических систем получен от-йет о принципиальной возглонности применения метода, квазистационарных концентраций только по схеме реакций. Дан шть риш получения оценки точности метода квазистациовардах концентраций в виде формул, вщшйщих связь "времени зшзнй* • Евазистационарной асимптотики с внешними параметрами (напри йар начальными концентрациями). Эта информациа используется: например, при планировании эксперимента наиболее блнгоприят ного дая решения обратных задач химической кинетики.

2. Развйтне в работе метода получения оценок решений

• 4 ■

систем обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных применимы,в теории устойчивости химических реакторов, поскольку о;ш, в отличие от общей теории, учитывают специфические свойства кинетических уравнений.

3. Исследования простейших моделей переходных процессов могут служить методической основой для изучения процессов типа горения, содержащих локально дойствущле источники тепла или охлаедонпя. К нигл относятся* гехнаяогическоо горенио, инициирование (розжиг) реакторов, стабилизация реакторов по отношении к локальным возмущениям идр. Предлагается метода управления процессами технологического горония {на простейших годелях этих процессов) с целью поддержания процесса ш пределе теплового взрыва, или с цель» вывода процесса горения на заданный стационарный реяш и дальнейшего поддерживания его в этой реяяие о помощь» двияащегооя нехшичэского источника и др» Алгоритмы управления реализованы в виде программ на ЭШ,

Получены формулы для расчета критических условий зажигания при наличии переменных теплоп'отерь»

4. Предложены алгоритмы управления процессами получения вдгшогабаритянх полимерных изделий. Метод применен в техжилгин. Результате« является «йфащэние времени отверждения при сохранения качеотва продукта.

Основные результаты диссертации докладывались на У Всесоюзной. конференции со моделированию химических реакторов (Уфа 1974 г.), I я ЗУ Всесоюзной конференции ЧДатематичео-

кие мотода в химии (Новосибирск 1975 г,, Вреван 1982 г.

о

Щ Всесоюзной конференции "Нестационарные процессы в катализе (Новосибирск IS86 г.), Всесоюзной школе-конференции "Математические вопросы химической кинетика и горения (Красноярск 1982 г.. Нашенское 1985 г.), Международной пволо-ссминаре "Совршошпга проблемы тепло н масоообиена в химической технологии (Минск I98S г.), У1 Всесоюзном опшюзиу-ме по горении и вэршзу Üлма-Дтд. 1984 г.), Межсекторном семинаре IE© АН СССР "Критические явления и бифуркации (Черноголовка 1985 г.), XX родовой научной котференцпи НИВЦ (г.Пущино 1984 г.), даогчифатно заслушивались на семинаре математического отдела 1Ш АН СССР (Черноголовка).

Структура шботн

■ • /

Работа содержит 5 глав. Первая глава - вводная» в ней обсуждаются постановки задач и кратко формулируются основные результаты их решения.

Главы 2, 3, 4 содержат строгие математические доказательства и алгоритмы, основанные на математических $озуль-татах. Если это необходимо дая понимания, то описанию алгоритмов предшествуют конструктивные математические доказательства (гл. 3 и 4).

' В rä. 2 теоремы вынесены в отдельную часть, поскольку алгоритм подробно описан самостоятельно. Каждая глава заканчивается прилоаенашя - хсонкрегтшш оадачами, где пригонялись метода этой главы.

Пятая глава представляет собой решение определенного класса задач на управление. В пей роль теоретического материала играх» наводящие соображения» Однако в них неявно присутствуют теоретический материал предшествующих глав (2, 4);

. 6

§ I. Метод квазистационарных концентраций в сосредоточенных й распределенных? системах химической кинетики.

Метод квазистационарных концентраций (1ЛКСК) с давних пор (о 1913 г.) широко используется в хш.кинетике. Он состоит з замене части до£5ореицнаяьных кинетических уравнений для активных промежуточных веществ алгебраическими ква-зистационарнши (КС) уравнениями в том случае, когда кото-танта скорости некоторых реакций достаточно валики. По дри-нятой терминологии эти реакции называются быстрыми, остальные медленными я концентрации, дифференциальные уравнения для которых заменяются алгебраиявсюмп, называются быстрыми, остальные медленными. Константы скорости б петрю: реа»-ций трудно экспериментально определимы, а при наличии кге*-зиотационарной асимптотики уравнения зависят от меньшего числа их комбкнащй, благодаря использований ЫКСК, становятся разрешимыми задачи (например обратные задачи хт* кинетики) , которые без МКСК были бы неразревшмн. Кроме того ваяно, что КС-асимптотика характеризует определенный тип поведения кинетической системы, поэтому исследование зависимости "времени жизни" КС асимптотики от входных параметров системы — это путь к изучению влияния входных параметров на основные характеристики процесса (например, яа период индукции).

Матшатачоское обоснование ШСК ведет начало от- работ М^Боденптейна я Н.Н.Сшенова С13 * Н.Н.Семенов пренебрегал неашне&шми (по быстрый Концентрациям) членами в правой части уравнений. Ю.С.Саясов и А,Б.Васильева 2'3 впер-? '

выа свели вопрос о применимости ЖСК к исследованию асимптотики по малому параметру при производной и применили теорему Тихонова С 3 ] .В работе 123 указана таюэд и причина воз:,южного пропадания КС-асшптбтики оо временам -стремление к нулю собственного значения матрицц в линеаризованной на КО - приближении системе уравнений. Ю.С.Сая-сов и А.Б.Васильева учитывали нелинейные члены, но полагали. их шадашдн по сравнению с линейными (нелинейность и линейность тлеется в виду только по быстрш переменным). В адучав отсутствия линейных членов или, когда линейные и нелинейные члена имеют один порядок величина, в раде работ [4) при решении когпфэтяых задач вопрос о приие-яшоота ЫКСК таккс решался сведенном к теореме Тихонова после замены переменных, Ваяно отметить, что постановка вопроса в рамках асимптотической теории с пршаншшем теоремы Тихоно ва предполагает, что константа скорости быстрых реакций стремятся к бесконечности, но реально они ограничены н по» тему дая практических задач такой подход не является доста точным.

В настоящей работе исследуется вопрос о црклешлостя МКСК для кинетических систем определенного класса, где нелинейные члены являются старшими членами в правше частях уравнений. Постановка вопроса отвечает требованиям цривлад нык задач (в частности обратных задач хна.кинетики): предполагаются известными только схема реакций» диапазоны изменения констант скорости реакций и начальные условия. Рассматриваются следующие постановка задач: определить щ»

мешой интервал, на котором КС- асимптотика приближает ре' 8

шениа исходной ойотады о заданной точностью; ответить на воцроо, можно ли в данной схема реакций применять 1ЛКСК, если полагать константы скорости быстрых реакций достаточно большими; будет лл пропадать КС- асимптотика со временем, а если будет, то от каких вхогсшх параметров зависит дайна интервала, где КС- асимптотика верш.

Коротко «Тюрмулнруш постановит задачи и результаты исследований.

Постановка задачи.

Рассматривается система уравнений химической кинетики, записанная на основании закона действующих масс. Простейшие свойства решений обсуждаются в мааографии L4J., . Для схемы реакций

icUxdl^IßixCU 4,= *,...^''.

И i'i *

где (L i - вещества, участвующие в реакциях, N - число веществ, R' . - число реакций, целые числа diet и — етохкшетричэезше коэффициенты - удовлетворят условию:.

<4x*ßi%=0>

d> It - порядок 1/ -й реакции по t - му веществу, закон изменения концентраций записывают в виде дифференциальных уравнений R'

ix WH • 6it=ß>ix-dvit,

} ' ctt

Здесь tt l концентрации веществ cu , Wt — скорость ^ -Jt реакции:

w^ru?* ;

Ы *

Пусть некоторые реакции I тот

константы скорости (.. ■ К^ , много больше чем остальные реакции. Считаем их большими параметрами системы уравнений. Эти реакции назовем быстрыми. Некоторые концентрации, участвующие в бшзтршс реакших назовем,быстрыми: Х-)) . . . Хп , остальные - медленными .. ^

Скорости быстрых реакций запишем в виде:

где =

и, чтобы подчеркнуть зависимость от- параметра К — ( К.,,..запишем систему уравнений в ваде:

*=|(Х,Ч>Ю л со) > о

л < и

Мы будем говорить, что метод. КСК применил, если-решенив системы

мо®но при достаточно больших К приблизить решением укороченной системы

Концентрации X называются квазистационарннми. Отбор бно-трых переменных обычно делается с помощью априорных сообра-яений, учитывающих природу частиц, но вывод о правильности такого отбора монет быть сделан лшь после проверки условий применимости МКСК.

- Цель настоящего исследования - сформулировать условна

существования квазистационарной асимптотики в такой алго—

10

ришичоской форме, чтобы oint были проверяемы либо только по схеме рэакцш}» либо по cxeuo роакщй и известным диапазонам констант,, то еоть в реата'шх условиях часто встречающихся в химической кинетика, яапртвр при решении обратных задач.

Опишем класс реакций, который будет рассматриваться а работе. Основную роль в исследованиях играет лишь часть схемы реагащГг, составленная из бистрих peaicun'î, в которых учитываются только быстрые вещества. Назовем еэ укороченным фрагментом схемы (УФС), Расспотрш У§0:

I dit h o)

и &1

Обозначил: - ( • • * (4)

где ílt = (Ht- cki«í

Наиболее типичными схемами, к которым применима предложенная в работа техника проверка условий применимости МКСК

являются схеот, в которых система балансных неравенств п '

(И у '

имеет аолоттвлтов решение р = (Рп ' " ) Р м ) Они насеваются схемами с открытым графа,i реакций. При отборе быстрых переменных преяде всего потребует выполнения

♦

следующих условий:

I. Решение системы (I) ограничено ..

Х('"Ь,К)< С) Ц (t,KHC 1

I. С - универсальное обозначение внраиений не йявнеящга:

от к

П. Решение ^»ФО^К) уравнения | , если оно

сущестцт'ет, не макет тлеть иулеззцк компонент, Ш. Скорости быстрых реакций М^'О^К.) где % - ,

ограничены!

(Х^КчКС в о^дзеатности 0 .

Отметим характеристические свойства КС концентраций и системы уравнений для быстрых переменных, которые являются следствием условий I - Ш:

2) На основании условия П и вираже: лй для правых частей кинетических уравнений, опохему уравнений для быстрых переменных можно записать в виде

<6>

1. Дзд алгоритм отбора "быстрых перемеших^ва основе проварки условий разрешимости КС уравнений*

2. Показано, что при решении вопроса о применимости МКСК достаточно рассматривать укороченный фрашент схемы роав-Ш1Й (УФС), состоящий только из быстрых реакций и быстрых переменных.

3. Получена оценка сверху для относительной погрешоотя ЕС-приближения в аналитической форме*

^-^КС/Л' " 1=1,...п. <7)

где X - быотрые.концентрации, Ч - медленные, ~

12 . *

КС - приближение^ Л- А •

В этой формуле наиболее важную лнфоргшщго содержит т~ раяение А ( » газ К - константа скорости*быст-

рых реакций, характеризует величину окрестности начального значения медленных Показано, что Д (к, £0 (К-»«4-9'). 4» Получена оценка снизу

> Од Д (8)

С, С^ ,0й) зависят от и .

Отсюда видно, что, если при увеличении ф функция убывает, то ЖСК становятся неприменимым. Из этих оценок получаем ответ на вопрос о границах применимости ШЖ в следующей форме» на том отрезке времена, на которой медленные шрешннш находятся в ^ окрестности у' , МКСК применим о точностью 6 * если

Ф* ^ __ ' (9)

а на том времени, когда 1 ^ ^^ •

С^ удовлетворяет неравенству

(10)

Ш неприменим.

Проверка выполнения неравенств (9,10) делается дгса заданного диапазона возможных значений параметра Кб ^^ ; « Выражониэ А^К^^) получается а результате решения лилейных алгебраических неравенств • к этоцу сводится вычислительный алгоритм« В адшнцх системах для хсачеотвешшх после-дований достаточно змеггь выражение , поскольку

13 .

в нем содержится информация о времени действия КС асимптотики; Эти нселодованш могут быть использованы при планировании эксперимента, например., при выборе начальных условий

• которые бы обеспечили достаточно большой период действия КС асимптотики дая решения обратной задачи хим.кннетшш.

5. Дан алгоритм проверки факта пропадания КС - асимптотики со временем на основе сравнения показателей Ляпунова решений КС уравнений и решения исходной задачи.

6. Указан широкий класс схем реакций, в которых ИКСК примо-шм при условии, что константы скорости быстрых реакций достаточно велики.

7. Получены аналогичные (7) оценки погрешности КС приблиав-ния дая диффузионных систем уравнений в норда С и интегральной норме.

Сформулированные выше результаты потребовали развитая математической теории, связанной с получением оценок линейных систем обыкновенных уравнений в уравнений в частных про изводгшх,

» а

Формулировка математических результатов. Теорема I. .

Пусть иИ) - гладкое решение системы

• й* а +{-»/<>), и (о)--и*

где Д ({,) = {%ф[1)) - матрица (г-го порядка,

- произвольного знака; я пусть УН) - решение системы

Л

где & " — матрица л - го порядка

Ш> ! ОЦШ! (I* |>, вц (I) =■ сЫ1)

Тогда 1^(1) I 4 VI (О Теорема 2»

Пусть ЦД X 'Ь) - гладкое решение оиотши

Шх,О'Л'г», .

- даагояалышв матрицы с пояозотнздьннии аяемвн-ши на диагонали,

; Д= (катрица порядка К. ,

С- (СчД- постоянная неприводимая матрица о максимально. собствензЕй значением - < О р ¡р ~ соответствующий левый собственный войтор,

'Ввода®.! вектор-функцию ГДО I Ы ^/М !. >

Топа I р, Ц 11 1Н £ -р1 ЬЦ (о) ир (-М )•

1=1 1 • ¿*<Т

Следствие теоре*.ш I, Пусть выполняются вое условия теорема I; пусть, { Сь] (4)) — неприводимая матрица и существует •постоянней вектор' р>0 такой, что

•И 15

р. ¡г

Тогда LpilUi(i)l< ZpL ju i (о) I eyp (-di)

Сошестно с Вольпертом А.К. ц Тшаковой P.C. доказана творила сравнения,5 аналогичная теорема I, но для параболических систем в области

Я . Здесь матрицы /} я ß зависят от простраиашзтой координаты X 2 времени i . Следствием этой теоремы является следствие, аналогичное следствию теоремы I, но с оценкой в норде \_j : И tv

JLPl

I ittc^D/dy ¿fpja с (у,ехР (-<&) 52 Ы «52

ПродаожешыЗ метод в ряде случаев оказывается более точный в том смысле, что позволяет получать отрицательный показатель в экспонен циальной оценке решений в то время как с помощью известных методов получается нулевой показатель.

Валяю ошетить, что доя кинетических систем наиболее ^трудоемкая часть процедуры получения оценок - решение неравенств дай получения положительного вектора р (см, слодствия теорем /,3 ) - значительно облегчается, если 'использовать специфику кинетических уравнений (ал. hheö хфаткое описание алгоритма).

Эта теория была использована дяя доказательства теоремы о грашщах применимости МКСК. Сна мскет быть применена и, для обоснования различного рода асимптотик; а такаэ в вопросах нелокальней устойчивости стационарных решений систем нелинейных, э частности дафйгзиошо-зннетячеокнх, уравнений.

03 щощпщ

Коротко crimen алгоритм проверки условий применимости МКСК, подчеркивая то моменты, гдз используется споцйТънса кинетических уравнений.

Для простоты т:зло;-;-.енет будем считать, что матрица /) (см. (6)) неириводша, т.о. что ее нельзя перестановкой строк и столбцов привести к блочно-дкагональному виду. Если /j приводимая матрица, то^ разбивая ее на неприводимые блоки, решаем вопрос о применимости ШССК последовательно по блокам.

С($ордулн.руам условие, которое при отборе быстрых переменных нулно использовать в первую очередь.

Утвернденке I: если существует положительное решени® р-(Ри--)Рп) сгл'шлы неравенств

t P¿ a¿J * о х>0, у>0 (11)

то уравнение j! (У * ^ik) - 0 .не имеет

положительного решения

Вопрос о достаточных условиях раз-певавиоотя КС уравнений рассмотрим отдельно для линейных и нелинейных схем. У линейных схем порядок реакций по быстрым веществам равен I, „ у нелинейных - большо I но определению. Дкнвйинд системы. Матрица (\ (см. (б)) зависит только от^ и столбцы ее имеют вид:

где 2? - знак суммирования по номерам реакций, в кото-ршс Xj является реагентом.

Утверадениа 2. Необходимым и достаточна!« условием положительной разрешимости КС - уравнений в окрестности ^ 0

является условие El i

существует подовителыюе решение р - (pi, ■ ■ ■> ра) системы неравенств

5 (12) среди KQTopißc есть хотя бы одно строгое неравенство.

Пример I, В схеме, где УуС представляет открытий граф реакций^КС уравнение ^ (X)^ Okaqqt полокительное решение дая любого U0 п . - ->

Действительно; Ipi^i =

tri J ?(//

в силу (6).

Таким образом, в этом классе проверка условия положительной разрешимости КО уравнений делается только по ехше реакций.

Пример 2. Дусть в Ж? подгруппа реазздий с индексами t=f,...j R.f , где < Я „ составляет отбытый граф im (5)), причем для каждого существует

такой, что ¿¿ъфф О » пуста е£*.У"> (г=1,---Л) ишсшшштся не-

равенства:

Тогда условие £ I выполняется.

. • Такта образа! в этш классе условие палсшгаяьной разрешимости КС - уравнений проверяется по схеме реакщй, даа-пазоцу констант скорости реакций и начальным концентрациям.

Накинейные системы» Введем обозначения и определения:

■■pffrf-fftiS.iO'BtäfäP'-'ö Ш)

■ 15 " '

Сииялаяорантной произвольной штрщц & называется матрица В* * элемент?! которой на диагонали совпадают о элемонта'лн матрица & , а вне диагонали равны модулям соответствующих элементов матрицы В »

Утверздешш 3. КС уравиешш жею? полог.лгелыюо реаа-

—»

нис, если суцестаует полога'.тсльноо репенио р = (рг,рп ) сксташ неравенств;

г р^х^но, (Ш

из которш: хотя бы одно неравенство - 'строгое. Здесь - элементы матрозы Ъ ( см' ^^

Пршер I. Рассмотрим нелинейную схему, не.содорящта сметанных реакций, т.о. реакций, в которых различию бист-рио вещества являются реагентами. Иуоть УФС 1рлоет открытий граф реакций, тогда тот т вектор р (см. (5)) является решение« (14).

Вокалом это. Столбцы матрицы В (си.113)) гашот вид:

I = I КМч'Пг^,*")

*(0/ „

где ^ (X , X ) > О шогочлон порядка

(р, -С) = ^г -о

Такш образах, в этом классе есть разрсютгасть КС -уравнений при любегл '

Пршер 2. Пусть к той схеме, которая рассмотрена э про-

дещгщйл примере добавлены сглсианшге (по X ) реакда, а тот

ге вектор р является решшем системи (14).. Ейосз магуг

быта схода, ъ кото^^х разрсиилость неравенств (14) шеет

место при дабоз > О (например, если добавлена реакция 0 . лъ

у* ), и ехали, s которых необхо-

димо учитывать величину у" к диапазона изменения К .

Из этих щзяяоров полно, что та часть охеш, дая которой существует подокитольное решение балансных неравенств (5), даот суцсстасшшй вклад в общий алгоритм -проверка условия £ 2. Бшшо того, суцсзствуот большой класс сасш, для которых условия i: I юш Е 2 проверяйте.'! простым слояецив« строк матрицу А адп 5* ,

Итак, условия Е I и Е 2 гарантируют положительную раз-роышость КС уравнений. Ма увидал далее, что эти га условия гарантируют пачучепие оценки <

9фша погшаноста КС - приблдгонкя. Теорша о границах йртошмости ЩЖ, содержащаяся в работе, имеет конструктивной доказательство, которое содержит алгоритм получения относительной погрошости КС - приближения сверху (си. (?)) в снизу (8). Эта теорша асшптотпческая, поэтому в вей презде всего вводится малый параметр . Этш малш ввкгорым параметров является сама, квазистационарная концентрация в начальный мшоот времена f' - X (о, К ) -Ф^ГК) Однако для практических целей этот этап не всегда необходим а «и его при кратка* издозонии алгоритма опускаем.

Главный атан алгорадиа состоит в получении оценке дюг V s , таз

X - есть ресониэ уравнония <f(Xr ^Ю = 0 t

где у - ыедаенныа вердаоннао системы (I),

Предаоложш, что уже известно решение р >о неравенств (12) или (Ш Я оценены d ti/di (<-= h) • Тогда оценка для V не представляет большого труда и состоит в елвдунязц,

Согласно теореме I макорантой для шктор-фуякции V . являо-.'ся рсаешю слетами

2 = +{^1} {15)

Найдем нодокитолышЗ вектор ^ > О , ко тор;¿1 является ро-П01ШМ.1 систшы строгих неравенств

<} В*(МфК)<о Существование такого вектора гарантируется вшсвшенясм условия В 2, т.е. существованием псскетзтельиого рэаенпя р нестрогих неравенств. (14). Этот вывод осиовая 1а доказанной в работе теореме, которая является обобщением на случай переменной матрица известной теоремы, внражшзэй свойство постоянных непрнводпмых штриц с неотрицательными элементами вне дкагоиали: если существует вектор р > О такой, что

р * О • гдо есть хоть одао строгое неравенство, -то существует вектор о такой, что(^'С<0* Далее, ушовая лв-. вую и правуи чаем уравнв!гай (15) на ^ (4 = 1,--¡п) складывая, получим:

отсюда для Я'ь^-1 получааи

и < -ли~1+ М

т *

где А^.^и щ (*>Ц^

отсадд и(1) < У Со) ехр ( - >1) + Н/>

Р.]

Тагам <а%аэои,ыы видел, что наиболее ответственная часть алгорййяа -- »то решение систем неравенств (12) или (14) и здесь 'больа^за пшощь оказывает использование структур« кинетических уравнешй.

Предлагаемые в Гл.2 алгоритмы иллюстрируются на примере репешш нескольких практических задач: применение ШЗК Ь процессах иншЗировшаюго окисления, ь процессах 'радикальной полимеризации и др* Показательны.! в плане использований оценки границ нршеадмоста ШЖ является пример решения «датой обратной задача. Здесь, как это часто шевт место, Ставится 2 вопроса: обопредолошш констант скорости и об Щзптафшщкв ыохшшзма реакций. Возмоннроть следить за точностью ДО- пряйлзЕненЕЯ» Не имея значений констант скорости некоторых реакций, позволяет использовать полностью зкепоримапталкнут} врипув а, следовательно, находить неизвао-тпвт тронстанта «з обработки одной кинетической кривой, а ша . т серна. Используя 1ЖСК на той отрезке врешни? где ап-двгара доказана его ^правомерность. .мы некоторую зкеперкмен-:таль2уго крпцув опшшваем •аналитической формулой, куда неиэ-жзотйнэ константа скорости входят как параметры, отекда иг иожно ваЯта. Воля окажзтея, что ввд экспериментальной кривой не согласуется с это? формулой, чо мн будеышоть яомк-зажелышй вывод о неполноте схемы реакдаЭ.

¿Эрокегдгточвая асяястотпка рспсяпй юзазишшбйного дайу-^йвяиого уравнения.

^Рассматривается краевая задача:

= ф2 * 1(и) * 6(0,4) (49 <91 Эх »

22

зх > «ММ"'*)

гдс (Ш0,0))}\{\АУ0

Эта зсдача является простеПпзЯ. I,юделыз тепловнх процессов в реакторах - горение ,гетероге:ша'1 катализ, автоволкн на тегаюввдзлшзк поверхностях, находящихся в етдкой -"згскзй среде и др. Известно, что при определенных тачальных условиях, решения этоЛ задачи представляют собо:: двилупг-еся или стоячие цространствсшго-неодаородгшо структуры - домены. Их кзучошхе в случае бсскоцочиоГ; облас?:; ( ( делается с помоцьи перехода к другой системе коордитат. Нэ-одаородаое стационарное рейзшю новой задачи (веши) асимптотически усто:1Чкво и поэтому для решения исходной задали является прятягивавдм автомодельным ропотеи, представляя таким образа,* ирдаегуточнуа асимптотах^. Однако реально параметр Ь ограничен и переход к бесконечности не всегда . правомерен. Качественная теория уравнения в ограниченной области существенно отличается от задачи иа оси, поскольку неоднородное стационарное решение не устойчиво. Глава 3 посвядена строгому гатоматкческому обоснованию яроггезуточ-ной аегдзтояза в случае ограниченно:!! области. К этому 20 случаю относятся немонотонные ддоонц в задаче па оси и полуоси.

Известно, что если з задаче ткзотся большой парзглетр (либо, в случае ягтототпих по / рспотй, ввпдо длили Ь отрезка С , па торам ронзется уравяс'пхо (I),

либо, в случае пеглокотонпнх (по X У рошеп®! - ввкяо пнрв«-нн домена, когда она иного больше шриш фронта, т.о.

. - гз . '

улкого учаотка по у ь т который приходится основная даете падения значений от I до ф то нестационарные струк-

нурн ведут себя так ко как и в задача на оси, но но бесконечное время, а конечное и это "время жизни" структуры зависит от величины большого параметра и ¿¿укавши лоточника.

. В отличив от имеющихся в литературе но вполне отрогах локальных исследований, основанных на оценке положительного собственного значения ролюния уравнения, линеаризованного На неустойчиво! стационарном решении, в настоящей работе исследования носят нелокальный характер, Они представляют собой теорему сравнения на фазовой плоскости для задача в мраничонной области» В этом смысле работа является развитием подхода, предложенного в с 31 в Задача на оси« В отлгачи© от ПГЗ , где сравниваются ревеняя нестационарной и стаци-сварной задача на оси, здесь сравнивается нестационарное решение на заданном отрезке Щ ¿1 со стационарна решаем на друтш отрезка Со, £, з где в, с {! »На основа этой теоремы в аналитической форме получены оценки ширины фронта Ж оценка "времени жизни" фронта, что соответствует оценка времени жизни пралвЕуточной асимптотики. Эти исследования служат тонко математичоокш обоснованием правомерности процедуры "оброзки* функции источника 103 , которая: пред— ариншалаоь в теории гореши для того, чтобы иметь возможное» использовать швщрооя катеееввняу» теорию уравнения на ооп*

РДЕНИЙ, ВРЙЙНИ ШИ уЕИГСугод;. Дуоав

Ц(х,-1) - решение вадачн (I) найс,?2 ; Обозначал

червам) - отвдионарню уб^ающиз рвшонш ааГ*,^

(и» I ) в на оси X ооо1вв1отвонно|

Л 17$

рг/а) - траектория ([ушоши у/х) на фазовой плоокоотн/^/^»

если рг(Ъ)' /(Г , гда -

Обозначим чороз¿ни, 1> , ¿ЬМ и- траектории на

ияос1сооти (/>) функций и/г,0 , я соответотаед-

но. л

^еопомс\. Пусть и М - убывающая (функция, и

(для опредалвнноств),

£ р, ТЗ - отрезок времени, на котором «/р/; у/ / ¿¿г;

Пусть при-\рШ)1-71

, тогда это неравенство ворно при />•£>.$ пусть при тогда ато неравенство верно при / ¿-¿«^ ,

Следствие. Пуст» при^-<? выполняются условия теорема^ Х*?е)г)(е ± Д , гдо ^ заданная величина,

]/{Хе) * с ( обозначил через т врсмй сдвига точ?а на величину А , предполагая, что г/*/^//■'¿г шС^'З. Тогда:I) 2" .

гдо = (2 £ /¿¿и), е/?, определяются из соотношений!

£ Ус1и - ///с1и * 2) Оценка ширины геронта

нестацио!1арного решения, т.е. отрезка на котором значоназ падают от /до а \ X» - Ъ к / ^* Эта творала была использована при изучении автоволп в молекулярном газе.в пате резонансного пздучения £71 V В рамках модагш для гармонического осциллятора тгеменогева. удельной колебательной анергий £. и пос ¿упательной тшнературн газа Т* описывается системой 2-х урава»»

Характеристическая особгш:ость пункта: а ^ такова, что изокткна ^ { С^'Т) = О ка 'разовой плоскости (Т}Е ) яашщстся устойчивой. в окрестности Т= "4 , а уункция

( Е^ А) — знакопеременная и пмеот то аз свойства, что -и оугп^пи ^стач^а, ^аеезлотрошгая в теорема I. Процесс даитлльиоо зрак оказнвазтея кзотзгмкчесютл, Благодаря это-цу удалось теории, разработанную для одного уравнения, при-кешгеь ври исследовании стоячих даганов в практической задаче на кодвди, содерглцех! систему 2-х уравнений. Задавая на* чашше распределение колебательной энергии вввде ступенчатой (Зушедшг различной кон^ш^урацип. к соблюдая определенную дастадщэ иезду "стунекькагац!', гш получаем терюооатичоские резжш типа ..скачкообразного "просватдения" и "почернения" среда- старше дотлели,, Проддасштсльность их ййзни согласно фо&фло, подученной в гл. а, зависит от начальной конфигурации, Вероятно, эта домены злогут бить Основой для создания систем памяти в онтозла ктронпке.

$ 3» Метода управления переходными процессами, основашшо Гг>! т&окаяышх исследованиях устойчивости стационарных ро-веиЕЙ»

I. Постановка задачи управления.

иатшатическио вопроси, рассштренныэ в главе 4 продиктованы слодумзей технологической задачей. Рассматриваются тепловые пропое«: в реакторе, которые описываются системой уравнений теплопроводности к кинетики. Предполагается, что в система есть два устойчивых стационарных состояния — июо2аш*,зюратурное и шпзкотстиературноа

о емтветотцуюаззд областями прэтжазшзя 0 ± и 5 ^ ^ ■

26 -

которно зависят от упраптяэдэго параметра «А Задача утграллешхя состоят в следующем. Пусть технологически выгодным является процесс проводаг-шй в окроотпостп (для опроделзнпости). Необходимо сделать его стабильным по отпошоепо к атгчаЗЬсгл шаттл воздействиям. Это значит, что,

толы:э жотяяэтся (¿луктуацда, вшюдаизю рошнта слотами из , т.о. розекио попадает в , 'нпобх®-дпмо перзщозчить ск о <К0 ка такое значение А* » чтобы гешение оказалось в г организуется порзходиый процесс, при > реданиэ стремится к н через некоторое время, -когда оно окаяется в $ , надо вернуть параметру ск ого прекнео значение Такш обрезом управление па определенном промежутке врега-ни обеспечивает расшзронне одной области притяяения за счот сужения другой. При этой важно, чтобы ыетод был рассчитал не на отдельную флуктуацию, а на определенный класс . накболее вероятных флугоуаций. С такой задачей вообадэ тово^ ря не могут справиться исследования локальной устойчивости - необходимы исследования нелокальной устойчивости, а з?гоз-но, описание областей притяксяшя устойчивых стационарных состояний в за^чсзггости от парашзтра Л .

И это описание додано быть возглояаго более точнш* -необходим учитывать требования оптимальности управления* которые диктузтея соображениями эконокичносга процесса по разного рода факторам: по энергозатратам» быстродействии • к т.д.

•О глодедц. Выбор :лодсли основан, с одаой стороны, на яеяя~

шга простота (одно уравнение), с другой — на зребшзаииз

27

охватить основные хпрахтерготические черти технологического процесса: два устоГгшзпх стащюнарннх состояние, ограниченная пространственная область» ёавлоимость управляющего параметре от пространственной координаты (мы ограничивайся случаем кусо'пэ-постоянной завксллостя в силу выбора метода пса^гдоваиня, однако этот случай охватывает цирокиИ круг практических задач).

Рассматривается уравнение теплопроводности с нелинейным источником

é\'<k[ítt)~ кусочно-ьостоянная фушасия.

Начальные н а^анкчиш условия

•<*,J» ="«.■, Й1,-1я0

и/фи'т

ЦЖ)- знакопеременная функция по U :

{(иДм (ue ia,c})f f(U't<k)70lu6 0,$)), (X • С • 6 » - заэ::а;,г от d ,

Црикерами задач какого рода являются: I) одномерные модели, ошюывавдие тепловые процессы а рааа-цшшшх сосудах, которые иолучсицтся осреднением двух или трах ыерша уравнений теплопроводности Но части координат

^ «/3. Куоочн&нккхтотшш параметр

возникает всьязи с том, что граничные условия могут меняться на различных участках боковой новврхноста реактора ¡¡ли

сечокно сосуда меняется вдоль его оси. Пусть, например, со-

28

<Щ( представляет соединение дцух цилиндров разного диаде»-, ра. Если использовать при осреднении по радиусу цилгащк» весовую функцию, которая является собственной Зудящей оператора Лапласа, записанного для перпендпкулярпого оси сячехшя сосуда, то собственное значение во: * дот в осредион-ноо уравнение как г^гссчно-постошпий параметр (этот г.хетод осреднения а,1,в ).

2) модели, описхжздие протехшше гвтерогейно-катаитгеео-» хахх реакций на гладких поверхностях при назшчип докалыго-действзюдаго источника анергии (напр. лазерного излученяя)

, модели, описнващио тепловые процесс« на топяо» проводящей нити, находящийся в юттяипй еххдкостй, здесь ку-еочно-постояшшЛ параметр возникает всвязи о тем.

что наличие пузырька па нити создает локальное затруднение теплоотвода.

37 кусочно-постоянный параметр (^Ь) встречается в задачах стабилизации процессов, гдо управяяпцпкя фактора-ст являются локальные источники нагрева пли охяадденля (налрицдр двизкущайся луч лазера). Локальные источники рагашршот возможности управлении, делают его более экономичным с точна зрения энергозатрат.

О гатсмапгчооштг нетолах нсслсговпння.

Интересуется то харахстеристячесхсая: особенность задачи (I) состоит в наличии двух устойчивых стационарны* реяэ-хшй - впеоглтомпорачурлое () и низхсотс: птопатураое А , которые имеют свои области притл&хенш $ я | Математические постановки задач управления связаны о яеукя вариантам понятия нелокальной устойчивости» устойчзггаста

в целом и устойчивость относительно всамогщняй теглгературз

£9- ■ ' ' •

определенного класса. Исследования по нанокальной устойчивости квазптжЪгого уравнения пргсводенннв в литература (с^.цапрпло?, С ¿Л )» опирается в основном на асижго-тнческу» устойчивость ияодкороданх стацнонаршх решений, посте п случая бесконечной обдг.ста, при этой г.о-то'пптс нр^лтагаотся пезазпсяцгс! от / , КачествзшЕЯ тоорет улавнсшгё (I) в огракпчогаюй области отличается тал, что неоднородные стациошршга репения ноустойчиш, Поэтому в рассыотрошигх задачах эти погоди не поменяются. Коротко ' охгристеризуш нелокшаше метода исследовантя устойчивости, продяокендаэ з гл, 4.

I. Описание Х'рзишон раздала областей пригетоти устойчивых CTaipwjrapm.DC состояний основало на использовании осроднея-ного неотпционарного уравнения. Решение этого уракюиш является тал функцшаалш, поводогаю которого во времени, точнее, злая его производной, является индикаторов того, б па-кой из областей притжеют находится роаюшю исходной задачи., в Ф'зжсювашЕй цдаеит времени, а равенство нул» этой производной служг.т критерием перехода через границу облао-тзй притязания. Зтот подход является развитием известного метода осрэдиеши в задачах о тепловат! взрыве £ 10].

Б сочетания с пспсльзовликек свойотв неустойчивых сгадкояар-кгх реи:зп£> зтот ¡.датод ыршенон в задачах: о крлткчосках . узяотях заязгалпя качальншд илаудьсои, стабилизация уотой-чшос одяородакг сссгстаетй по отдопешю к сяучайиш воздеЗ-стоглк, щводящик рчаенля пз соотввтстзуилсй областл крим-зкпнд, стаб1И.-;зш'ля э о^эостпостз; неустойчивого стационарного рстакия, проведение нестационарного процесса на продело теплового взрша.

П. &яя ура&чсняй, в которг-х ^гпит^м источника содерклт па-, ралэтрн, заплсягрэ о? X дусочно-постоянчо, иайдоно уравнение сравнения с источникомно завпаягзм от X .. Реяпяка этого уразнтпн, являясь для нсходюго уравнения ворхпзЗ {:;.т,: :гз21о'л) ^/ищно;?, 7етд бт: тол"глет впереди себя рмюнаэ

-.-схожего.'' ? желательном а т.к. ■пг'Г

к

з урзлн'лса; сравтеипч. от Л но зависит» то переход*ураш«»-нию срагжши упрстадт задачу стабилизации решения исходного уравнения.

Бакао заметать, что теория одного уравнения, о которой сказано в п. I и п. г.рклоглотся для cncTei.nl уравнений как основа или йратеент при организация ЕцчЕсдктельусго алгоритма г задачах усиления.

Метод п. 2 применяется в задачах, гдцз унраачшшо направлено на осуществление реглмов с задакпши ограничении» (по скорости распространения уронта, йо темпзратуро п др.) с помо:дао двкгуящхая локалкшх езтсешков тзпла. С. Для уравнении, содержащих иусочно-поетоянпЕ2 параметр:

¿[у):<кл (х<£) сШ)=4(х>Л

нагдош критические (но 0 ) Утопия важпгашзг. Здесь попользуется мст.-д перехода к уравнении сравнения (как а а п. 2) з сочетании с использованном свойств монотонного про-ме.ггутэ'шого стационарного реаютая: доказало, что в етассс сдацпонарны:; реггонгЛ на полуоси ограничениях. шизу я пшо-. ¡.-да в -¿очке К- О куполаотольнув произведем» налбольаз»

(Г гелезт данотечное рош'Жпз, ' 31

§ 4, Регулирование процессов отверждения.

Рассматривается задача регулирования процесса полимеризации крупногабаритных изделий с целью уменьшения нежелательных остаточных напряжений. Эти процессы характеризуются тем, что в силу различных причин (автокатализ, гельэффект) проведение процесса в адиабатическом режиме приводит к тепловому взрыву, при низких температурах процесс проходит почти изотермически» слишком долго, плохо организованные промежуточные режимы приводят к большим остаточным напряжениям. При постановке математической задачи было сделано предположение, что остаточные напряжения минимизируются с уменьшением неоднородности конверсионного поля. Рассматривается система уравнений теплопроводности к кинетики. Областью может быть цилиндр или плоскопараллельный слой. Т(х,{) темпераТура, - степень полимеризации. Температура на границе области /* является управляющей функцией. На решение наложены ограничения

Ыы не ставим здесь целью нахождение строгого оптимума по быстродействию, а лишь требуем, нтобы найденные режимы бьии приемлемыми для практики. Этим объясняется то, что здесь не используется известная теория оптимального регулирования. Но здесь присутствует "принцип максимального элемента": • если найденную управляющую функцию увеличить на каком-нибудь временном интервале, то на одном из последующих этапов нарушится одно из ограничений. Предложенный здесь метод представляет известный кибернетический метод адаптации ¿111 (инициатором его применения в данных задачах является Пов-знер А.Я.) в сочетании с исследованием критических явлений в системе. Функция управления V представляет собой линейную функцию от функции отклика, функцией отклика может быть либо А (■/) , если ищем У' как функцию времени, либо температура в центре, если нужна (учитывая потребности технологии и грубость моделиV обратная связь температуры на боковой поверхности с датчиками температуры внутри реактора. Если реактор не допускает внутренних датчиков (орг. стекло3, то предлагается метод двустороннего регулиро-

32

вания, когда одна из боковых поверхностей изолирована и температура на ней служит функцией отклика, а на другой поверхности - функцией управления; когда же на изолированной поверхности процесс ускоряется до нарушения ограничения по , то поверхности меняются ролями. Линейная связь У* с функцией отклика содержит свободные параметры, кусочно-постоянные по времени. Их находим многократным поэтапным решением систеш уравнений на ЭВМ из соображений соблюдения принципа максимального элемента. Здесь есть трудность - может наступить момент, когда одновременное выполнение ограничений становится невозможным, т.е. выполнение ограничения по температуре требует снижения V , а по - повышения V . Избежать этого противоречия помогает априорное исследование критических явлений.

Заключение

В данных исследованиях в зависимости от области применения результатов можно выделить 3 направления.

1. Обшив математические вопросы. Развита теория мажорирования систем обыкновенных и параболических уравнений. На ее основе предложен новый метод оценки решений линейных систем, который позволяет в широком классе систем получить отрицательный показатель в экспоненциальной оценке в то время как прежними методами получается кулевой показатель. Эти оценки применимы в теории устойчивости нелинейных систем обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных. Метод расширяет возможность обнаружения экспоненциальной устойчивости стационарных или квазистационарных решений в этих системах. Для сингулярных систем доказана теорема об оценке точности кваэистационарного приближения.

Для параболических уравнений в ограниченной области доказана теорема сравнения на фазовой плоскости, на ее основе получено обоснование промежуточной асимптотики (квазистационарных доменов) и оценено ее "время жизни".

2. Качественные и приближенные методы в задачах химической физики. Создан конструктивный аппарат для определения границ применимости метода хвазистационарнах концентраций в хим.кинетике. Впервые предложен алгоритм для-- по-

63 •

лучения в аналитической форме зависимости "времени жизни" квазистационарной асимптотики от внесших параметров. В основе алгоритма лежит новый метод оценки решений диффузионно-кинетических систем. Этот метод существенно использует специфику кинетических уравнений, благодаря чему экспоненциальные оценки с отрицательным показателем можно получать При отсутствии полной информации о матрице в линеаризованной системе уравнений. Алгоритм позволяет ответить на вопрос о применимости метода квазистационарных концентраций по схеме реакций, диапазону изменения констант скорости и начальным концентрациям. Это соответствует реальным условиям постановки практических задач (напр. обратных задач хим. кинетики).

Исследование квазистационарных структур в квазилинейных уравнениях ввиду большой общности математических моделей применимо в математической физике и макрокинетике для изучения процессов различной физической природы. В данной работе такое исследование было проведено для процесса распространения алтеволн в молекулярном газе под воздействие« лазерного излучения.

; Разработаны новые нелокальные методы исследования устойчивости в двуустойчивых диффузионных уравнениях. Эти методы представляют собой дальнейшее развитие методов теории теплового взрыва и зажигания. Для уравнений, содержащих в источнике параметры* кусочно-постоянно зависящие от пространственной переменной X , получены в аналитической форме критические условия зажигания и найдено уравнение сравнения, не содержащее параметров, зависящих от X

3. Ветоды управления переходными процессами. На основе нелокальных результатов по устойчивости для диффузионных уравнений разработаны вычислительные алгоритмы управления переходными процессами в реакторах* которые описываются системой уравнений теплопроводности и кинетики -- технологическое горение, гетерогенный катализ и др. Управ ленке направлно либо на стабилизацию неустойчивых стационарных режимов, либо на осуществление режимов с заданными ограничениями (по температуре, по скорости распространения

'.

ронта и др.) либо на проведение нестационарного процесса . а пределе теплового взрыва. Алгоритм реализован в втще программ на ЭВМ.

Исследовано влияние граничны* условий на пространствен-ую неоднородность решений системы уравнений теплопровод-ости и кинетики. На этой основе разработан вычислительный лгоритм регулирования процесса получения в реакторе про-¡транственно-квазиоднородных изделий с помощью измечтгацей-:я во времени по специальному закоцу обратной связи тэмпэ-атуры на боковых поверхностях реактора. Метод реализован I виде программ на ЗШ и осуществлен в технолотии для полугения крупногабаритных полимерных изделий. Цель управления

• уменьшить остаточные напряжения в готовом изделия.

Основные результаты диссертации изложены в следующих заботах:

1. Б.А.Гельман. В сб. Качественный анализ решений дифференциальных уравнений с частными производными СО АН СССР !н-т математики. Новосибирск, 1965, Стр. 51-70.

2. Е.А.Гельман. Границы применимости метода квазиста-дионарных концентраций. Оценки решений дайузионно-ирети-?еских систем ОИХФ АН СССР. Препринт. Черноголовка. 1583, з. 1-54.

. 3. Е.А.Гельман, А.А.Карян, С.М.Даетян, А.И.Вольперт. Цокл. АН СССР т.260, Р б, 1981, стрЛ390-1395.

4. Е.А.Гельман, С.М.Давтян, Н.С.Екинолбяов. Докл. АН ХСР т.253, № 2, 1980, стр.380-383.

5. Е.А.Гельман. Метод квазистационарных концентрацйй в системах с необратимы»® реакциями СИХФ АН СССР. Препринт. 1ерноголовка, 1960, стр. 1-35.

6. А.И.Вольперт, Е.А.Гельман, А.Н.Иванова, Некоторое вопросы качественной теории дифференциальных уравнений на . графах. ОИХФ АН СССР'. Препринт. 1975 (ВИНИТИ. деп.рукопись .

* 4040-76.

7. Е.А.Гельман, Е,Л.Печатников. Алгоритм оценки точности метода квазистацаонарных концентраций для некоторых слассов кинетических систем. ОИХЗ АН СССР. Препринт. Черноголовка. 1984, стр. 1-18.

35

6. В.В.Раэников, Е.А.Гельман, А.Ф.Додонов, В.Л.Тальрозе. Влияние адсорбционных процессов на оффузионсметрическое определенно молекулярной массы индивидуального вещества. Препринт. ОИХФ АН СССР» Черноголовка» 1965, стр.1-34.

9. В.А.Гельман, А.И.Вольиерт. В сб.: Математические проблеют химий, тД, Новосибирск, 1975, стр.116-120.

10. Е.А.Гельман, А.И.Вольперт, А.Ы.Иванова. В сб. трудов У Всесоюзной конференции да моделированию химических нефте-перерабатывахг^х процессов. Химреактор 5, Уфа, 1974.

11. Е.А.Гельман. Химическая физика, т.?, * 2, 1968, стр .204-213.

12. Е.А.Гельман. Химическая физика, т.?, # 5, 1968, стр. 648-657.

13. Е.А.Гельман, Р.С.Тишакова, А.И.Вольперт. В сб.: Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. Взд-во СО АН СССР Институт математики, Новосибирск, 1988, стр.56-£4.

14. Е.А.Гельман. В сб.: Краевые задачи для уравнений с частными'производными АН СССР Ш Институт математики, Новосибирск, 1566, стр.52-60,

15. Е,А .Гельман. Методы управления в процессах зажигания и горения, описываемых нелинейными макрокинетическими уравнениями. Препринт. ОИХФ АН. СССР» Черноголовка, 1967, сЛ-13,

16. .Е.А.Гельман, Квазистационарноё поведение пространственно-неоднородных решений краевых задач для уравнения диффузии со знакопеременным нелинейным источником, ОИХФ АН СССР. Препринт. Черноголовка, 1964, стр.1-10. .

17.Е.А,Геяьван, Л.А.Жукова. Об одном вычислительном ме- , тоде нахождения критических условий в задачах зажигания.

ОШ АН€ССР. Препринт. Черноголовка, 1967.

13. Е.А.Гельман, Л.П.Смирнсв, А.Я.Повзнер, Г .Б .Ыанелис. Докл. АН СССР, т.249, Ш 5, 1979, с. 1163-1167.

19. Е.А.Гельман, Н. .Сурков, С.П.Давтян, С.И.ХуДяев и др. Отчет во хоз.договору 406/84 Определение оптимальных тепловых режимов.процесса получения толстостенных листов орг -.стекла", 1967. .

20. Е.Л.Гейь«ан. В сб.; Материалы конференции "Нестацио-. нарные процессы в катализе".Новосибирск,1986.

• ' ' . .. 36

21. Л.А.Шукова, С.АДуков, Е.А.Гельиан. ТВТ. т.27, * X,

1969.

22. Л.А.Йукова, С.АДуков, Е.А.Г«льман. ТВТ. т.26, № 5,

1968.

23. Е.А.Гельман, Э.А.Штессель. В сб. Химическая физика процессов горения и взрыва. Материалы IX Всесоюзного симпозиума по горению и взрыву. Изд-so СИХФ АН СССР. Черноголовка

1969.

Цитированная литература

1. Н.Н.Семенов. О некоторых проблемах химической кинетики и реакционной способности, М. Йзд-во АН СССР, 1958.

2. Ю.С.Саясов, А.Б.Васильева. Ж.физ.химии 1955, 29, №5..

3. А.Н.Тихонов. Кат.сб. Í952, 31 #.3, с.575-586.

4. А.Й.Вольперг, С.И.Дудаев. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. Наука, 1975, с.384.

5. А.Н.Колмогоров. Н.Г.Петровский, Н.С.Пискунов, Бюл. Ш секц.А, 1937, », » 6, стр.1-26.

6. Я.Б.Зельдович, Е.И.Баренблатт, В.Б.Либрович, Г.М. Махвиладзе. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука 1960.

7. В.М.Шмелев, А.Д,Марголин. Хим.фнз, т.4, 1989.

8. В.А.Вольнерт. Сиб.мат.яурн. т.XXX, » I, 1989, с.35-47,

9. Д.А.Франк-Каменецкий. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М»: Наука, 1967.

10. В.Н.Вилюнов. Теория зажигания конденсированных вещей. "Наука", Новосибирск, 1984,

11. У.Росс Эшби. Конструкция мозга. Ин.аит. 1959.

37 ' ,' ".

T-I9544 07.Ig.I9B9r. Зап.. Ш7 Ооъёщ 2,25п.л. Тир, 100акз. Типография СИХФ АН СССР ' • .