Математическое обоснование дискретных моделей несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Ж-ш'

Овчинникова Елена Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2006

Работа, выполнена в Красноярском государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Франк Александр Максович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Садовский Владимир Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент

Распопов Виталий Евгеньевич

Ведущая организация: Институт гидродинамики СО РАН имени

акад. М.А. Лаврентьева (г. Новосибирск)

Защита состоится 21 декабря 2006 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212.098.03 в Красноярском государственном техническом университете по адресу 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан "

2006.

Ученый секретарь диссертационного совета К.В. Сафонов

юта Шрр- К-1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Во многих областях науки и техники возникает проблема решения нестационарных задач динамики несжимаемой жидкости. Поскольку -в большинстве случаев точные решения уравке-' ний гидродинамики найти не удается, для исследования реальных течений используются различные численные методы. Среди методов вычислительной гидродинамики определенное место занимают свободво-лагранжевы методы или методы частиц. Особенно широкое распространение они получили при решении задач с границами раздела. Строгое математическое обоснование таких методов является сложной и актуальной проблемой вычислительной математики.

Цель работы. Целью работы является математическое обоснование двух дискретных моделей несжимаемой жидкости [1], а именно исследование аппроксимации для некоторой упрощенной версии метода частиц и доказательство теорем сходимости для основной.

Научная новизна работы. В работе получены следующие основные результаты:

• Для упрощенной версии метода частиц показана слабая аппроксимация уравнений гидродинамики в случае, если дискретные условия несжимаемости выполняются в узлах некоторой сетки, и сильная аппроксимация, если потребовать выполнения условий несжимаемости для каждой частицы;

• Для внутренней краевой задачи для уравнений Навье-Сгокса доказаны теоремы о сходимости метода частиц для

- аппроксимации с использованием ортогональных базисных функций;

- аппроксимации с использованием сплайнов;

- схемы предиктор-корректор по времени;

• На тестовом примере численно изучена сходимость метода частиц. Показано, что в общем случае для сходимости метода частиц достаточно более слабых требований, чем те, что получены теоретически. Это связано с отсутствием оценок на производные решений уравнений Навье-Стокса.

Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Методика исследования. Основные результаты получены с использованием методов математического и функционалыюго анализа, линейной алгебры и теории сплайн-функций. При доказательстве сходимости метода частиц используется теория обобщенных решений уравнений Навье-Стокса, развитая O.A. Ладыженской [2],

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации могут быть использованы в дальнейших теоретических исследованиях числешшх методов для уравнений Навье-Стокса.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

- на семинарах кафедры Прикладной математики Красноярского Государственного Технического Университета {2001-2006 г.г.);

- на конференции молодых ученых в Институте Вычислительного Моделирования СО РАН (Красноярск 2003 г.);

- на семинаре под руководством профессора В.В. Пухначева в Институте Гидродинамики СО РАН имени акад. М.А. Лаврентьева (Новосибирск 2004 г.);

- в' 2003 г. работа была поддержана Министерством образования -грант КЦФЕ для аспирантов АОЗ-2.8-872.

Публикации. В процессе работы над диссертацией были опубликованы работы [1 — 7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 51 наименования. Общее число страниц диссертационной работы —116.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дано описание двух дискретных моделей несжимаемой жидкости предложенных, A.M. Франком [1] и исследована аппроксимация ими уравнений гидродинамики. Раздел 1.1. первой главы является вводным. В нем описывается метод частиц для несжимаемой жидкости. Приводится два способа построения численной схемы. Первый - из метода "наименьшего принуждения" Гаусса. Второй - путем непосредственной аппроксимации уравнений гидродинамики. В момент времени t = О мы заполняем начальный жидкий объем О большим количеством материальных частиц, с массами тхц, координатами = и скоростями vg так, чтобы эти дискретные функции аппроксимировали начальные поля скорости и плотности. На каждом временном шаге координаты частиц находятся из уравнения

- *"(&) + ™"(х»{&)). (1)

а новое поле скорости из системы уравнений

рп+1/„п+1

уП(Х"], а*(хл+1))) +р((У^1(хп+1),<(х"+1)))=0,

(2)

где

т

v™"1 =

(3)

здесь двойные скобки означают дискретное скалярное произведение, вычисленное по частицам: {(а(х), Ь(х))) -- ^ т* а(х(£*)) Ъ(х(^)). Базисные функции {а',(х)}^=1 принадлежат пространству гладких салено-идальных функций, удовлетворяющих граничному условию. Полученный метод это своего рода комбинация метода Галеркина с конвективным перемещением отдельных частиц.

Раздел 1.2. посвящен описанию упрощенной версии метода частиц, полученной на основе вариационного принципа Гамильтона. Для этой модели в качестве условия несжимаемости используется условие соленоидально-сти непрерывного линейного поля скорости, являющегося локальной аппроксимацией в дискретной норме Ьг поля скорости частиц в некоторой окрестности каждого узла прямоугольной сетки. Под окрестностью узла иа или частицы 1/к понимается куб с ребром 2Л и центром в узле или частице, соответственно. Дискретные операторы дивергенции и градиента определяются тогда равенствами:

здесь ха - центр масс окрестности Ца узла сетки с мультииндексом а, суммирование производится по всем частицам, принадлежащим 1/„;

к

grad h - - Dak pa h3'

а

здесь суммирование ведется по восьми угловым узлам ячейки, содержащей к-ю частицу. Dak - это явно вычисляемые функции от масс и координат частиц принадлежащих Ua. Таким образом, дискретная модель идеальной несжимаемой жидкости имеет вид:

X* = Ufc, (4)

^=^DakPah\ ' (5)

а

Kneif»

™k A.* Ui = 0- (6)

В разделе 1.3. исследуется аппроксимация уравнений идеальной несжимаемой жидкости уравнениями (4)-(6) . Аппроксимация оператора diu установлена теоремой 1.1.

Теорема 1.1. Для и 6 C^R.3) дискретный оператор divь аппроксимирует оператор div с точностью O(yjt) + 0(h2) .

Здесь и далее под р, подразумевается максимальный о&ьем частицы. При единичной плотности

ß — тахт*.

Бели условие соленоидальности непрерывного линейного поля скорости выполнено в окрестности каждого узла прямоугольной сетки, то имеется лишь слабая аппроксимация градиента давления.

Теорема 1.2. Оператор grad^p аппроксимирует градиент давления в слабом смысле.

Бели же потребовать выполнения условия соленоидальности непрерывного линейного поля скорости в окрестности каждой частицы, то будет

иметь место сильная аппроксимация оператора дгаЛ. Для доказательства этого факта был сначала рассмотрен предельный случай, бесконечно большого числа частиц, и для него получена сильная аппроксимация градиента давления.

Лемма 1.1. Если частиц бесконечно много, то для р € С2(П)

дгаЛ р|1=х* + 0(Л2).

Затем доказывается теорема для конечного числа частиц.

Теорема1.3. Для р & С2, gradh p|x=*t аппроксимирует grad р|ж=ц с точностью O^-fj^ + 0{h2).

Показана также аппроксимация уравнения неразрывности.

Вторая глава посвящена доказательству сходимости основной версии метода частиц для уравнений Навье-Отокса при использовании в методе Галеркина ортонормированных базисных функций. Для формулировки теоремы 2.1 нам потребуется введенное O.A. Ладыженской [2] понятие обобщенного решения внутренней краевой задачи для уравнений Навье-Стокса:

~ + (и. V)u = vAu - ¿Vp, \

ot р ^ч

div u = 0, ^

ujon = О, u|t=o = а(х).

Определение 2.1. Обобщенное решение, - это вектор-функция u(x, í),

з

для которой интегралы f^u¡(x.,t)dx ограничены при всех t 6 [О,Г]

п f=i

одной и той otee постоянной, производные и^, Ui существуют и кеад-

ратинно суммируются по С}?, которая удовлетворяет условиям

сПь и = 0, и|5 = 0, и|(=о = а(х) (7)

и тождеству

j (—иФ( + уи^Фг — щцфц) ¿х<й+ От

+ У аФ|£=о^х = О, (8)

о п

при любой Ф е И^!(<?г) П Н{От)> здесь Я(<3т) = {их е Ьг(Ог)| ¿¿щ и = О, = О}.

В разделе 2.1. получены априорные оценки на дискретные нормы решений и их производных, необходимые для доказательства теоремы о сходимости.

Лемма 2.1. Для численной схемы (Л)-(3) справедливы следующие оценки:

[[^(х*)]] < [№)]], (9)

£ _ у<(х<)]]2 < [[у°(х0)]]2, (10)

¡=о

£ < [№)]]*. (11) 1=0

Лемма 2.2. Для любой функции V, принадлежащей линейной оболочке функций {а'(х)}^1 в П V», ^ справедливы неравенства

1) М < I

г) < Л(т)|М|, ;

|<ВД1М|,

¿=1 «еп

Лемма 2.3. Если т1 * < т* < « т < вд^д,

d < (24 • e6rj;'»(niillv,>II^{ii)mi,(m)Fl(m})~1,

где е 6 (0,1), F(m) « i*i(m) - те же, что и в лемме 2.2., -объем

области ft, то справедливы утверждения

1) х* = - взаимнооднозначное преобразование ft но ft;

3) |v|ja < 2(1 + та_в)т/т[[у(х^)]]г;

4)

5) JJ+1-1| < т2-*, здесь J£+1 - якобиан преобразования х71"1"1 = хп+1(х").

В разделе 2.2. доказывается основная теорема о сходимости.

Теорема 2.1. Если, внутренняя краевая задача для системы уравнений Навье-Стоках имеет обобщенное решение и(х,1), нормы ||и«!| и 1КЦ равномерно ограничены, и кроме того функция и(х, t) такова, что ее ряд Фурье сходится в jff(Q) равномерно по t е [0,Г], а функции a*(x) е С2(ft) образуют базис в ff(ft) и в ¿«(ft), ортонормированный в Z>?(ft), тогда последовательность приближенных решений v сходится к и в норме Lz{

Omega), при т —► 0, m —> 00, d —► 0 и ограничениях : rij(m) 0, rF2(m)F3(m) 0, Ti^(m) < ¡{¡gpjp

(F(m)F2(m) + F?(m)) ■ e6r«H<i О, d. e^WMrai-(m)Fl(m) <

где F(m), Fi (m) u Fa(m) зависят от {at(x)}Ji,1.

Третья глава посвящена доказательству теорем о сходимости для численных схем, применяемых на практике, а также экспериментальной оценке скорости сходимости. В разделе 3.1. дано определение нормализованных базисных сплайнов минимальной длины (В-сплайнов) [3] и приведены некоторые необходимые их свойства. Описан алгоритм построения соленоидальных базисных функций из пространства сплайнов и доказана теорема 3.1. о сходимости метода частиц, при использовании этих базисных функций.

Теорема 3.1. Пусть u(x, t) - решение начально-краевой задачи для системы уравнений Навъе-Стокса, если u G C2(Cl х (0,Т)) и базисные функции {tf^MîfcLi ™ линейно-независимы, тогда последовательность приближенных решений v сходится кие £a(fï), при т -¥ 0,ft -+ О, d —+ О и ограничениях ;

_ с h1«

d • /i-s • еегл"1/>Иу®11 0.

В разделе 3.2. рассмотрена схема предиктор-корректор по времени, дня нее получены априорные оценки на решение и его производные, а также доказана следующая теорема о сходимости.

Теорема 3.2. Пусть u(x,f) - решение начально-краевой задачи для системы уравнений Навъе-Стокса, если и 6 С2(fi х (0, T)) и функции {y>tfc(x)}JL1 - линейно-независимы, тогда последовательность приближенных решений v схемы предиктор-корректор сходится к и eiafil), при г—► 0, А О, d —Ю и ограничениях :

й • Л"4 - 0.

В разделе 3.3. рассмотрены две тестовые задачи: первая из них задача о периодическом течения в пространстве Д?, вторая - плоскопараллельное течение. Для первой задачи доказана теорема о сходимости.

Теорема 3.3. Пусть и(х, {) - решение начально-краевой задани для системы уравнений Навъе-Стокса, если и € С2(О х (0,Т)) и функции --линейно-независимы, тогда последовательность приближенных решений периодической задачи V сходится кие при т-+0, Л —0, <í —>0« ограничениях .'

Т - Ш4ЩИР' Й. /г3 • е^'^КП о.

Для этого примера проведена серия численных расчетов на последовав тельности сеток, данные приведены в таблице 1. Показано, что для сходимости метода частиц достаточно существенно более слабых требований, чем те, что получены теоретически. Это связано с отсутствием оценок на производные решений уравнений Навье-Стокса.

Для второй задачи система уравнений Навье-Стокса вырождается в уравнение теплопроводности:

«(— 1/Ыул = 0,

о(0,0 = ЧМ) = 0. «и> = а(у), (12)

для которого указанные оценки существуют. Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть и{у,1) - решение задачи (12), тогда последовательность приближенных решений и сходится к и, при т —> О, Л —> О, Л ->■ 0 и й - /Г3/2 -» О

Ткблица 1: т - шаг по времени, А - размер сетки, 4 - размер частицы, эталонным считается пале скорости, вычисленное при г = 0.001, Л = ¡5, Л —

Параметры схемы Отклонение от эталона, в процентах .

г = 0.016 , Ь - (¡= 5,13

т = 0.008,Л = £, ¿-Д. 2,93

т = 0.004 | Л = щ, ¿ = 1,51

т = 0.002,Л = ^, 0,82

Литература

fl] Франк A.M. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физ-матлит, 2001.

[2] Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 1961.

[3] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Метода сплайн-функций, М.: Наука. 1980.

Публикации автора по теме диссертации

[4] Овчинникова Е.В., Франк А.М. О свойствах аппроксимации одной дискретной модели несжимаемой жидкости.// Вычислительные технологии. 2001. Т.6. №4. с.51-60.

[5] Сходимость метода частиц для внутренних течений вязкой несжимаемой жидкости. // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН 2003. с.58-61.

[6] Овчинникова Е.В., Франк A.M. О сходимости метода частиц для вязкой несжимаемой жидкости. // Вычислительные технологии. 2004. Т.1. №4. с.1-17.

[7] Овчинникова Е.В. Сходимость метода частиц для базисных функций из пространства сплайнов. // Вычислительные технологии. 2005. Т.10. JM. с.72-81.

Подписано в печать 10.11.2006

Тираж 100 экз. Заказ № 529. Отпечатано в типографии КГТУ. 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26.

Введение

1 Метод частиц для несжимаемой жидкости, аппроксимация уравнений гидродинамики

1.1 Метод частиц.

1.2 Упрощенная схема метода частиц.

1.3 Аппроксимация уравнений гидродинамики.

2 Первая теорема о сходимости

2.1 Априорные оценки.

2.2 Теорема о сходимости

3 Теоремы о сходимости для практических схем. Численное исследование сходимости.

3.1 Сходимость метода частиц для базисных функций из пространства сплайнов.

3.2 Схема предиктор - корректор.

3.3 Исследование сходимости для тестовых задач

3 3.1 Периодическое течение в двумерном случае

3.3.2 Сходимость схемы для плоскопараллельного течения

Актуальность темы. Во многих областях науки и техники, таких как физическая океанология, гидротехника, кораблестроение и других, возникает проблема решения нестационарных задач динамики несжимаемой жидкости А поскольку в большинстве случаев точные решения уравнений гидродинамики найти не удается, то для исследования сложных течений используются различные математические модели жидкости. Изначально при численном моделировании использовались два метода описания среды Это во-первых классические лагранжевы методы [1] - [4], в которых используется лагран-жева сетка с неизменной топологией. Для этих методов характерна достаточно высокая точность, аккуратное явное вычисление положения границ раздела и довольно простые для программной реализации алгоритмы Однако, эют подход хорош для относительно гладких течений, а при расчете течений с большими деформациями, использование чисто лагранжевых методик приводит к сильному искажению ячеек сетки, наползанию их друг на друга - «перехлесту» и, как следствие, к невозможности продолжения расчета. Для течений с сильными деформациями используется эйлерово описание среды [5] Основным недостатком эйлеровых методов является плохой учет наличия контактных границ. Вместе с тем в практически важных задачах часто встречаются ситуации, где желательно сохранить преимущества обоих подходов. Такая необходимость постоянно инициирует разработку новых методик для проведения вычислительного эксперимента. Существующие на сегодняшний день численные методы гидродинамики для задач со свободными границами можно условно разделить на несколько классов. Это уже упомянутые классические лагранжевы методы. Следующим является класс лагранжево-эйлеровых методов [6],[7] в которых узлы на границах раздела движутся лагранжево, а движением других частиц управляют таким образом, чтобы расчетная сетка оставалась хорошей.

Известное распространение получили методы граничных интегральных уравнений (граничных элементов)[8],[9] спектральные и псевдоспектральные методы [10], методы MAC [И] и SMAC [12].

С ростом производительности компьютеров возродился интерес лагран-жеву описанию движения жидкости на основе так называемых свободно-лагранжевых (Free-Lagrange) методов. Эти методы специально предназначены для решения задач со сложным поведением границ раздела. К родоначальникам свободно-лагранжевых методов следует отнести метод свободных частиц [13], методы FLAG [14] и "Медуза"^]. Общим принципом объединяющим эти методы, является возможность лагранжевых частиц, бывших вначале соседями, расходится со временем сколь угодно далеко. То есть, с течением времени отношение соседства частиц изменяется. В [13], например, для точки Mq способ отбора точек М\, М^ ., Мп - ее "соседей", должен удовлетворять следующим условиям. Во-первых, многоугольник М\Мъ. Мп должен содержать в себе круг с центром в точке Mq и радиусом ст, здесь с - скорость звука. Во-вторых, количество точек соседей должно быть достаточно большим, чтобы вес каждой точки был относительно невелик и в момент смены соседей расчетная схема не получила ненужные возмущения. В каждом секторе МгМоМг+1 функции скорости и давления получают линейной интерполяцией по их значениям в точках Мг, Mq, Мг+\.

Дальнейшее развитие этот подход получил в методах, использующих перестраиваемую треугольную сетку [16]-[18], методах частиц НОВО [19],[20] и SPH[21], а также в методах, использующих для построения дискретных операторов сетку Дирихле [22]-[29]. В этих методах дискретизация уравнений гидродинамики осуществляется на шаблоне, составленном из "соседей Дирихле". Ячейкой Дирихле для точки Мk называется область 14, любая точка из которой ближе к точке М&, чем к другим точкам из набора {Мг}. Соседями для точки Мк являются те точки Мг, для которых \4 П Vt ^ 0, где Vk и Уг - замыкание соответствующих множеств

В последние 15 лет ускоренными темпами набирал популярность lattice Boltzmann метод(ЬВМ)[30]-[34]. Наиболее подробное его описание можно найти в [32].

К этому же классу методов относится и метод частиц для несжимаемой жидкости, предложенный в [35]. Данный метод нашел широкое применение при решении задач гидродинамики, в частности, с его помощью был получен известный эффект удержания шара вертикальной струеей жидкости [37]. Применение его к решению различных задач описано в [36], [42]-[44]. Из всех вышеперечисленных свободно - лагранжевых методов только для lattice Boltzmann метода доказана сходимость численных решений к решению системы уравнений Навье-Стокса.

Цель работы. Целью работы является математическое обоснование двух дискретных моделей несжимаемой жидкости, а именно исследование аппроксимации для некоторой упрощенной версии метода частиц и доказательство теорем сходимости для основной.

Защищаемые положения.

• Для упрощенной версии метода частиц показана слабая аппроксимация уравнений гидродинамики в случае, если дискретные условия несжимаемости выполняются в узлах некоторой сетки, и сильная аппроксимация, если потребовать выполнения условий несжимаемости для каждой частицы;

• Для внутренней краевой задачи для уравнений Навье-Стокса доказаны теоремы о сходимости метода частиц для

- аппроксимации с использованием ортогональных базисных функций;

- аппроксимации с использованием сплайнов;

- схемы предиктор-корректор по времени;

• На тестовом примере численно изучена сходимость метода частиц Показано, что в общем случае для сходимости метода частиц достаточно более слабых требований, чем те, что получены теоретически. Это связано с отсутствием оценок на производные решений уравнений Навье-Стокса

Новизна научных результатов. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и снабжены доказательствами.

Методика исследования. Основные результаты получены с использованием методов математического и функционального анализа, линейной алгебры и теории сплайн-функций. При доказательстве сходимости метода частиц используется теория обобщенных решений уравнений Навье-Стокса, развитая О.А. Ладыженской [39]

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации могут быть использованы в дальнейших теоретических исследованиях численных методов для уравнений Навье-Стокса.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались- на семинарах кафедры Прикладной математики Красноярского Государственного Технического Университета (2001-2006 г.г);

- на конференции молодых ученых в Институте Вычислительного Моделирования СО РАН (Красноярск 2003 г.);

- на семинаре под руководством профессора В.В. Пухначева в Институте Гидродинамики СО РАН имени акад. М.А. Лаврентьева (Новосибирск 2004 г.);

- в 2003 г. работа была поддержана Министерством образования - грант КЦФЕ для аспирантов А03-2.8-872.

Публикации. В процессе работы над диссертацией опубликовано 4 печатных работы [45]—[48], из которых две в соавторстве с A.M. Франком

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 51 наименования. Общее число страниц диссертационной работы - 116

1. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука. 1980.

2. Головизин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечно-разностных моделей в гидродинамике.// ДАН СССР. 1977. Т.235, №6 С.1285-1287.

3. Фаворский А.П Вариационно-дискретные модели уравнений гидродинамики. // Дифференциальные уравнения. 1980. Т.16, №7. С.1308-1321.

4. Kawahara М., Miwa Т. Finite element analisis of wave motion. // Int J Numer. Mech. Eng. 1984. V.20. P.1193-1210

5. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980.

6. Херт С. Произвольный Лагранжево-эйлеров метод // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир. 1973. С.156-164.

7. Ramaswamy В., Kawahara М. Arbitrary lagrangian-eulerian finite element method for unsteady, convective, incompressible viscous free surface fluid flow. // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1986. V.6. P.659-670.

8. Longuet-Hagging M.S., Cokelet E.D. The deformation of steep surface waves on woter. // Proc. Roy. Soc. 1976. V. 350. P.l-26.

9. Береббия К., Теллес Ж., Вроубел J1. Метод граничных элементов. М. Мир. 1987.

10. Fenton J.D., Rienecker М.М. A Fourier method for solving nonlinear water-wave problems- application to solitery-wave interactions. //J. Fluid Mech. 1982. V.118. P.411.

11. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical study of large amplitude free surfece motion. // Fhys. Fluids. 1965. V.9. P.842.

12. Amsden A.A., Harlow F.H. The SMAC-method: A numerical technique for calculating incompressible fluid flow. // Los Alamos Scient. Lab. Rep. NLA-4370. 1970.

13. Дьяченко В. Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными // ЖВМиМФ. 1965. Т.5. т. С. 680-688.

14. Кроули. У. FLAG-свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 135-145.

15. Глаголева Ю.П., Жогов Б.М., Кирьянов Ю.Ф. и др. Основы методики "Медуза"// ЧММСС. 1972. Т. 3, № 2. С.18-55.

16. Fritts M.J. Two-dimensional Lagrangian fluid dinamics using triangular grids // Finite-difference techniques for vectorised fluid dynamics calculations.-Berlin:Springer-Verlag, 1981. P. 98-116.

17. Fyfe D.E., Oran E.S., Fritts M.J. Surfase tension and viscosity with Lagrangian hydrodinamics on a triangular mash //J. Сотр. Phys. 1988. V. 76. P. 349-384.

18. Арделян H.B., Космачевский К.В., Чувашев С.Н. Перестройка треугольной лагранжевой сетки и пересчет сеточных функций при численном моделировании газодинамических течений // Деп. ВИНИТИ №1229-85

19. Clare R A. Compressible lagrangian hydrodinamics without lagrangian cells // Lect. Notes in Phys. 1985. V.238. P.281-294.

20. Clare R A. The evolution of HOBO // Сотр. Phys. Communication. 1988. V.48. P.61-64.

21. Monaghan J.J. Smoothed Particle Hidrodinamics // Annual Review of Astronomy and Astrofisics. 1992. V.30. P.534-574.

22. Михайлова H.B., Тишкин В.Ф., Тюрина H.H., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Численное моделирование двумерных газодинамических течений на сетке переменной структуры// ЖВМиМФ. 1986. Т.26. №9. С. 13921406.

23. Соловьев А.В., Соловьева Е.В., Тишкин В.Ф. и др. Метод ячеек Дирихле для решения газодинамических уравнений в цилиндрических координатах // Препринт № 80 ИПМ АН СССР. 1986. 32с.

24. Borgers С., Peskin С S. A Lagrangian method based on the Voronoi diagram for the incompressible Navier-Stokes equations on a periodic domian // Lect Notes in Phys. 1985. V. 238. P.87-113.

25. Borgers C., Peskin С S A Lagrangian fractional step method for the incompressible Navier-Stokes equations on a periodic domian // J.Comp.Phys. 1987. V. 70. P.397-438.

26. Augenbaum J.M. A Lagrangian method for the shallow water equations based on a Voronoi mesh Flows on a rotating sphere //Lectures Notes in Physics Springer-Verlag. 1985 V. 238. №2 P 54-86.

27. Trease H.E. Three-dimensional free lagrangian hydrodynamics //Lect Notes in Phys. Springer-Verlag. 1985. V. 238. P. 145-157.

28. Trease H.E. Three-dimensional Free-Lagrange hydrodynamics //Сотр. Phys. Communication. 1988. V.48. P.39-50.

29. Паутов B.H., Франк A M., Шарая И.А О методике расчета движения несжимаемой жидкости со свободной границей на сетке Дирихле // Препринт №16 ВЦ СОАН СССР. 1987.

30. McNamara G.R., Zanetti G. Use of Boltzmann equation to simulate lattice gas automata. // Phys. Rev. Lett. 1988. V.61. P. 2332.

31. Chen S., Doolen G.D. Lattice Boltzman Metod for fluid flow. // Annu.Rev. Fluid Mech. 1999. V 30. P.329-364.

32. Nourgaliev R.R., Dinh T.N., Theofanous T.G., Joseph D. The lattice Boltzmann equations metod: theoretical interpretation, numerics and implications. // Int. J. Mult. Flow. 2003. V.29 P 117-169.

33. Junk M. A finite difference interpretation of the lattice Boltzmann method. // Numer. Methods Partial Diff. 2001. V.17. P.383-402.

34. Junk M., Yong W.A. Rigorous Navier-Stokes limit of the lattice Boltzmann equation. // Asymptotic Analisis. 2003. V.35. P.165-184.

35. Франк A M , Огородников Е.И. Метод частиц для несжимаемой жидкости // ДАН. 1992. Т.326, М. С.958-962

36. Франк A.M. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М Физматлит, 2001.

37. Франк A.M. Численное моделирование удержания шара струей жидкости // ДАН. 1999. Т.365, №3. С.346-349.

38. Андреев В.К., Франк A.M. Об устойчивости течения Куэтта идеальной жидкости со свободными границами // ПМТФ. 1998. Т.39, №5. С 99-105.

39. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 1961.

40. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1, 2. М.: Физматгиз, 1960.

41. Темам Р. Уравнения Навье- Стокса. М.: Мир, 1981.

42. Frank A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated falling film // European Jornal of Mechanics B/Fluids 2003. V.22. P.445-471.

43. Frank A.M., Kabov O.A. Thermocapillary structure formation in a falling film: Experiment and calculations. // Physics of Fluids. 2006. V 18. 032107.

44. Frank A.M. Suppression of thermocapillary instability in a falling film. // Physics of Fluids. 2006. V.18. 078106.

45. Овчинникова E.B., Франк A.M. О свойствах аппроксимации одной дискретной модели несжимаемой жидкости.// Вычислительные технологии. 2001. Т.6. Ш. с.51-60.

46. Овчинникова Е.В. Сходимость метода частиц для внутренних течений вязкой несжимаемой жидкости. // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН 2003. с.58-61.

47. Овчинникова Е.В., Франк A.M. О сходимости метода частиц для вязкой несжимаемой жидкости. // Вычислительные технологии. 2004 Т.1. №4 с.1-17.

48. Овчинникова Е.В. Сходимость метода частиц для базисных функций из пространства сплайнов. // Вычислительные технологии. 2005. Т.10. №4. с.72-81.

49. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука 1980.

50. Владимиров В.С Уравнения математической физики. М.: Наука 1976.

51. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов Н.Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. Новосибирск: Наука. 1988.