Мебиусовская форма ядра БФКЛ тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Й04617381 На правах рукописи

Грабовский Андрей Владимирович

МЕБИУСОВСКАЯ ФОРМА ЯДРА БФКЛ

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 ЛЕН 2010

НОВОСИБИРСК - 2010

004617381

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институте ядерной физики имени Г.И.Будкера Сибирского отделения РАН.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Фадин - доктор физико-математических наук,

Виктор Сергеевич профессор, Учреждение Российской

академии наук Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ЛИПАТОВ - член-корреспондент РАН, доктор физико-

Лев Николаевич математических наук, профессор,

Учреждение Российской академии наук Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН, г. Санкт-Петербург.

СЕРБО - доктор физико-математических наук,

Валерий Георгиевич профессор, Новосибирский государственный

университет, г. Новосибирск.

ВЕДУЩАЯ - Объединённый институт ядерных

ОРГАНИЗАЦИЯ- исследований, г. Дубна, Московская область.

Защита диссертации состоится « ^ ^ » 2010 г.

. -- -ГТ-~т---

в « » часов на заседании диссертационного сявета Д 003.016.02 Учреждения Российской академии наук Института ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск-90,

проспект Академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск.

Автореферат разослан « ^ ^ » ^_2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор »*-» В. С. Фадин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Описание полужестких процессов является одним из наиболее важных и востребованных направлений в физике сильных взаимодействий. Полужесткие процессы активно исследовались на детекторе HERA (Германия) и, несомненно, будут важны в экспериментах на ускорителе LHC (Швейцария). Одним из наиболее плодотворных методов теоретического описания полужестких процессов является метод БФКЛ (Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова), онованный на реджезации глюона. В рамках этого метода в импульсном представлении строится функция Грина, которая определяет высокоэнергети-ческое поведение амплитуд и сечений полужестких процессов. Она удовлет-воряет линейному интегро-дифференциальному уравнению БФКЛ. Ядро этого уравнения известно в главном логарифмическом приближении (ГЛП) и следующем за главным логарифмическим приближении (СГЛП). Одной из основных проблем, затрудняющих использование метода БФКЛ для описания эксперимента, является очень сложная форма ядра в СГЛП, особенно для рассеяния на произвольный угол. Поэтому очень важным является построение компактной и удобной для приложений формы ядра в физическом пространстве-времени размерности 4, в которой сокращены все инфракрасные и устранены перенормировкой все ультрафиолетовые расходимости.

При построении решений уравнения БФКЛ в главном логарифмическом приближении (ГЛП) использовалась конформная инвариантность ядра БФКЛ в ГЛП. В СГЛП конформная инвариантность, очевидно, нарушается ненулевой бета-функцией КХД. Поэтому первым шагом к построению общего решения уравнения БФКЛ в СГЛП являются построение конформно инвариантного ядра в суперсимметричной теории с N=4 и преобразование ядра КХД к квазиконформному виду, то есть к виду, в котором все конформно неинвариантные члены пропорциональны бета-функции.

Альтернативным методом описания полужестких процессов является дипольная картина рассеяния. Уравнение, которому подчиняется функция Грина в рамках этого подхода, называется уравнением Балицкого-Ковчегова (БК). Это нелинейное уравнение, которое справедливо не только при малых партонных плотностях - в линейном режиме, но и в режиме насыщения - при больших партонных плотностях. Оно получено в координатном представлении и применимо для рассеяния бесцветных частиц. Сейчас его ядро также вычислено в СГЛП. В рамках ГЛП уравнение БК эквивалентно уравнению БФКЛ с учетом трехпомеронной вершины. Известно, что в случае рассеяния бесцветных частиц в пределе большого количества цветов уравнение БК суммирует все веерные Померонные диаграммы. Чтобы

сравнивать предсказания обоих подходов в СГЛП, необходимо в первун очередь понять, как связаны ядра уравнений эволюции в общей облает] применимости - для рассеяния бесцветных частиц в линейном режиме.

Целью работы являлось нахождение Мебиусовской формы ядра БФЮ в СГЛП, приведение ее к квазиконформному виду и доказательств! эквивалентности ядер БФКЛ и БК в СГЛП. Мебиусовским называется ядро координатном представлении, упрощенное для рассеяния бесцветных частиц Для решения этих задач было необходимо привести ядро БФКЛ в СГЛП импульсном представлении к виду, в котором сокращены все инфракрасны и устранены перенормировкой все ультрафиолетовые расходимости.

Вклад автора. Изложенные в работе результаты получены авторо1 лично или при его определяющем вкладе.

Научная новизна работы. В работе получена наиболее простая н сегодня Мебиусовская форма ядра БФКЛ в СГЛП в координатно1 представлении. Она является квазиконформной в случае КХД и конформн инвариантной для SUSY N=4. Используя свободу в определении ядра БФКЛ построена форма ядра, эквивалентная ядру уравнения БК в СГЛП. Таки образом, доказана эквивалентность подходов БФКЛ и БК в СГЛП. : импульсном представлении ядро БФКЛ в СГЛП получено в физическо пространстве-времени размерности 4. Для этого оно было записано чере перенормированный заряд и в нем было проведено сокращение все инфракрасных расходимостей.

Научная и практическая ценность работы. Полученная форма ядр БФКЛ не содержит расходимостей и намного проще известных н сегодняшний день форм. Она позволяет существенно упростить применени подхода БФКЛ для анализа экспериментальных данных. Во многих случаях где ранее подход БФКЛ не применялся к описанию эксперимента из-з вычислительных трудностей, полученная форма ядра впервые позвол! количественно описать данные. Полученная форма ядра универсальна i может применяться для описания любых полужестких процессов. Он позволит упростить описание данных детектора HERA и, несомненно, буде востребована на LHC. Квазиконформная форма ядра БФКЛ в СГЛП в КХ ■ также является первым этапом для построения общего решения уравнеш БФКЛ в СГЛП.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Квазиконформная Мебиусовская форма ядра БФКЛ в КХД и ее суперсимметричных обобщениях в координатном представлении для рассеяния на произвольный угол в СГЛП.

I. Форма ядра БФКЛ в СГЛП в импульсном представлении в физическом пространстве размерности 4, в которой сокращены все инфракрасные и устранены перенормировкой все ультрафиолетовые расходимости для рассеяния на произвольный угол в глюодинамике и для рассеяния вперед в КХД и суперсимметричных теориях.

S. Доказательство эквивалентности подхода БФКЛ и подхода цветовых диполей в СГЛП в линейном приближении для рассеяния бесцветных частиц.

Апробация диссертации. Материалы диссертации докладывались на Сессии отделения ядерной физики ОФН РАН «Физика фундаментальных ¡заимодействий» в 2007 и 2009 гг. (Москва), на Международной сонференции «Low х workshop» в 2010 г. (Кавала, Греция), на Семинаре еоретического отдела Института Ядерной Физики им. Г. И. Будкера.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, пяти приложений, изложена на 104 страницах и содержит 73 наименования библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор подхода БФКЛ, кратко описано сравнение предсказаний этого подхода с экспериментальными данными, приведены этапы построения ядра БФКЛ в СГЛП. Также обсуждается подход БК и сравнение ядер и решений уравнений БФКЛ и БК. Сформулированы основные цели и обозначены основные этапы работы.

Первая глава посвящена получению глюонного вклада в Мебиусовское ядро БФКЛ в СГЛП в координатном представлении. В ней приводится общий рецепт построения Мебиусовской формы ядра, то есть координатного представления ядра, упрощенного для рассеяния бесцветных частиц. Упрощения возможны, потому что импакт факторы бесцветных объектов обладают свойством калибровочной инвариантности: если их свернуть с функцией, зависящей только от координаты одного из входящих реджеонов, то свертка будет равна 0. В импульсном представлении это означает, что импакт фактор бесцветной частицы переходит в 0 при свертке с дельта-функцией от импульса одного из входящих реджеонов, то есть очень мягкий глюон не взаимодействует с бесцветным объектом. Ядро сохраняет это свойство, так как его реальная часть равна нулю при равном нулю импульсе входящего реджеона. Этих свойств достаточно, чтобы привести ядро к Мебиусовской форме, то есть заставить его зануляться при равенстве координат входящих реджеонов. При этом вклад в амплитуды физических процессов не изменится.

Далее приводится удобное для проведения преобразования Фурье разбиение глюонного вклада в ядро, ядро записывается через перенормированный заряд и проводится сокращение инфракрасных расходимостей между реальной и виртуальной частями глюонного вклада в ядро. Для этого вводится параметр X, который стремится к 0 после вычисления предела е—>0 и область интегрирования разбивается на на X-окрестности особых точек траектории и реальной части ядра и остальное пространство, в котором можно перейти к пределу е—+0. При действии ядра сингулярные вклады траектории и реальной части, проинтегрированные по X-окрестностям особых точек практически плоностью сокращают друг друга. После сокращения сингулярностей можно перейти к пределу £—»0 и затем А.—»0. В результате окрестности особых точек дают конечный вклад, который нужно добавить к несингулярному вкладу остального пространства. Полученная после сокращения форма ядра записывается в физическом пространстве-времени размерности 4.

Потом вычисляется преобразование Фурье от этой формы ядра. На следующем этапе ядро в координатном представлении приводится к Мебиусовскому виду, то есть к нему добавляются члены, зависящие от координат только одного из входящих реджеонов таким образом, чтобы ядро стало равным 0, когда координаты входящих реджеонов совпадают. Далее выписывается окончательное выражение для Мебиусовской формы глюонного вклада в ядро БФКЛ в СГЛП.

Во второй главе анализируется свобода в определении ядра БФКЛ. В ней описаны такие преобразования ядра БФКЛ и импакт факторов, которые не меняют скачков амплитуды. Эти преобразования связаны с перераспределением радиационных поправок между ядром и импакт факторами с помощью несингулярных операторов. Показано, что в СГЛП можно переходить к эквивалентному ядру, отличающемуся от исходного на коммутатор борновского ядра и произвольного несингулярного оператора ~ а5. Другой возможной причиной свободы в определении ядра является неоднозначность в определении энергетического масштаба в Редже-факторах. Было показано, что изменение энергетического масштаба может быть скомпенсировано изменением ядра и одного из импакт факторов. При этом изменение ядра описывается с помощью преобразования общего вида с конкретным несингулярным оператором. Таким образом, продемонстрировано, что изменение энергетического масштаба не дает дополнительной свободы в определении ядра.

Далее приводится ядро БК в СГЛП и ядра БФКЛ и БК сравниваются для случая рассеяния вперед. Для этого вычисляется Мебиусовское ядро БФКЛ для рассеяния вперед. В этом случае разность ядер состоит из трех слагаемых. Непосредственным вычислением демонстрируется, что одно из них можно устранить, используя свободу в определении ядра, и строится соответствующий оператор. Второе слагаемое в разности ядер для рассеяния

вперед можно устранить изменением схемы перенормировки. Третье слагаемое связано с ошибкой при вычислении ядра БК, которая была исправлена в последующих статьях Балицкого и Кирилли. Следовательно, в результате данной работы показано, что ядра БФКЛ и БК эквивалентны для случая рассеяния вперед.

Для проверки правильности расчетов вычисляются собственные значения Мебиусовского ядра БФКЛ для рассеяния вперед и сравниваются с известными собственными значениями, которые были вычислены с помощью ядра в импульсном представлении. Так как собственные функции Борновского ядра являются собственными функциями ядра в СГЛП при нулевой бета-функции, то собственные значения Мебиусовского ядра БФКЛ в СГЛП и ядра БФКЛ в СГЛП в импульсном представлении должны совпадать с точностью до членов, пропорциональных бета-функции. Такое совпадение проверено вычислениями. Связь членов, пропорциональных бета-функции в Мебиусовском ядре и в ядре в импульсном представлении, также была прослежена и таким образом проверена правильность вычисления этих членов.

Далее с помощью известных кваркового и скалярного вкладов и полученного глюонного вклада было построено Мебиусовское ядро БФКЛ в СГЛП в координатном представлении для рассеяния вперед в суперсимметричных обобщениях КХД. Ядро БФКЛ в СГЛП в импульсном представлении для рассеяния вперед в SUSY N=4 было известно в литературе. Однако оно записано в пространстве размерности 4+2е для регуляризации инфракрасных расходимостей. В данной работе проведено сокращение инфракрасных расходимостей и ядро для рассеяния вперед представлено в физическом пространстве размерности 4 для суперсимметричных теорий с произвольным N. Сокращение инфракрасных расходимостей проводилось также, как и для глюонного вклада в главе 1. Было продемонстрировано, что для суперсимметричной теории с N=4 ядра БФКЛ в СГЛП для рассеяния вперед в импульсном и Мебиусовском координатном представлениях функционально совпадают.

Третья глава посвящена доказательству эквивалентности Мебиусовского ядра БФКЛ в координатном представлении и линеаризованного ядра БК и приведению Мебиусовского ядра БФКЛ к квазиконформному виду. В ней рассматривается общий метод нахождения оператора, преобразующего ядро БФКЛ к ядру БК, в случае, если такой оператор существует. Этот метод основан на переходе в пространство собственных функций и связан с большими вычислительными трудностями. Поэтому оператор был найден другим методом, с помощью анализа различных вкладов ядро.

Было замечено, что вычитательный вклад в ядро, связанный с разделением вкладов мультиреджевской и квази-мультиреджевской кинематик, можно представить в виде коммутатора реальной части

оператор был достроен таким образом, чтобы сократить возникающие расходимости. Оказалось, что построенное таким образом преобразование приводит ядро БФКЛ к ядру БК. В результате эквивалентность подходов БФКЛ и БК для описания рассеяния бесцветных частиц на произвольный угол в СГЛП в линейном режиме является доказанной.

Далее ядра БФКЛ в КХД и ее суперсимметричных обобщениях были приведены к квазиконформному виду с помощью преобразования, известного для ядер уравнения БК, и найден вид этого преобразования в импульсном представлении.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. Получена квазиконформная Мебиусовская форма ядра БФКЛ в координатном представлении для рассеяния на произвольный угол в СГЛП в КХД и ее суперсимметричных обобщениях. Полученная форма ядра БФКЛ в КХД намного проще и компактнее известных ранее форм, что дает надежду на ее большое практическое применение.

2. Для рассеяния на произвольный угол в глюодинамике и для рассеяния вперед в КХД и суперсимметричных теориях построена форма ядра БФКЛ в СГЛП в импульсном представлении в физическом пространстве размерности 4, в которой сокращены все инфракрасные и устранены перенормировкой все ультрафиолетовые расходимости.

3. Доказано, что подход БФКЛ эквивалентен подходу цветовых диполей в СГЛП в линейном приближении для рассеяния бесцветных частиц.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. V.S. Fadin, R- Fiore, A.V. Grabovsky, A. Papa. "The Dipole form of the gluon part of the BFKL kernel", Nucl. Phys. В 784: 49-71, 2007, arXiv:0705.1885 [hep-ph],

2. V.S. Fadin, R. Fiore, A.V. Grabovsky. "On the discrepancy of the low-x evolution kernels", Nucl. Phys. B820: 334-363, 2009, arXiv:0904.0702 [hep-ph], препринт ИЯФ 2008-40, Новосибирск, ИЯФ, 2008 г.

3. V.S. Fadin, R. Fiore, A.V. Grabovsky. "Matching of the low-x evolution kernels", Nucl. Phys. В 831: 248-261, 2010, arXiv:0911.5617 [hep-ph], препринт ИЯФ 2009-36, Новосибирск, ИЯФ, 2009 г.

4. V.S. Fadin, R. Fiore, A.V. Grabovsky, A. Papa. "Low-x evolution equation in Mobius representation", Physics of Particles and Nuclei 2010, Vol. 41, №6, pp. 935-938.

5. Victor S. Fadin , A.V. Grabovsky. "Ambiguities of the NLO BFKL Kernel", Proc. of XVII Int. Workshop on Deep-Inelastic Scattering and Related Topics, Madrid, Spain, April 2009, doi: 10.3360/dis.2009.19

ГРАБОВСКИЙ Андрей Владимирович Мебиусовская форма ядра БФКЛ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сдано в набор 18.11.2010 г. Подписано в печать 18.11. 2010 г. Формат 60x90 1/16 Объем 1.0 печ.л., 0.8 уч.-изд.л.

_Тираж 100 экз. бесплатно. Заказ № 35_

Обработано на РС и отпечатано на ротапринте «ИЯФ им. Г.И. Будкера» СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. Академика Лаврентьева, 11

Введение

Глава 1. Получение ядра БФКЛ в координатном представлении

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Разложение глюонного вклада.

1.3 Траектория глюона в следующем за главным порядке.

1.4 Реальная часть октетного ядра.

1.5 Сокращение инфракрасных расходимостей.

1.6 "Симметричная" часть ядра.

1.7 Дипольная (Мебиусовская) форма ядра.

1.8 Преобразование "планарной" части.

1.9 Преобразование "симметричной" части.

1.10 Окончательное выражение

Глава 2. Случай рассеяния вперед

2.1 Глюонные вклады в ядра БФКЛ и БК.

2.2 Свобода в определении ядра

2.3 Доказательство эквивалентности ядер БФКЛ и БК для рассеяния вперед в глюодинамике.

2.4 Другой вывод преобразования, устраняющего разность ядер . 48 2.4.1 Собственные значения ядра для рассеяния вперед

2.5 Ядро для рассеяния вперед в суперсимметричных теориях

2.5.1 Координатное представление.

2.5.2 Импульсное представление.

Глава 3. Случай рассеяния на произвольный угол

3.1 Общий метод нахождения оператора О.

3.2 Построение оператора О с помощью симметричного глюонного вклада.

3.3 Преобразование к квазиконформному виду.

3.4 Мебиусовские формы (квази-)конформных ядер БФКЛ в КХД и SUSY.

Квантовая хромодинамика (КХД) служит для описания процессов сильного взаимодействия элементарных частиц. Процессы называют мягкими, если характерные передачи импульса в них ~ Лqcd и соответствующие расстояния и сечения имеют порядок размеров адронов. При этом константа связи КХД as ~ 1 является плохим параметром разложения по теории возмущений и для описания эксперимента приходится использовать феноменологические модели.

В противоположной ситуации, когда в процессе существует только один жесткий масштаб Q ~ y/s Лqcd, константа связи мала и можно использовать теорию возмущений. Такие процессы называются жесткими. Но строго говоря, жестких процессов в чистом виде не существует. Действительно, сильные взаимодействия обладают свойством конфайнмента, то есть невылетания цвета, так как в природе встречаются только бесцветные частицы. Поэтому любой процесс с жестким масштабом Q ~ y/s, который содержит адроны в конечном состоянии, неизбежно имеет фазу адрониза-ции. Адронизация — превращение кварков и глюонов адроны — происходит на расстояниях порядка размера адронов, имеет характерную энергию порядка A qcd и, следовательно, является мягким процессом, невычислимым в КХД. С другой стороны жесткая фаза процесса с характерным масштабом Q A qcd и характерными расстояниями г ~ ^ A/^CD описывается КХД в силу явления асимптотической свободы — малости константы связи на малых расстояниях г «С или при больших передачах Q A qcd- Но так как вероятность адронизации равна 100%, при вычислении полного сечения рождения адронов в процессах без начальных сильно взаимодействующих частиц нужно вычислять только жесткую часть, используя кварк-глюонные состояния. В силу полноты обоих базисов: кварк-глюонного и адронного переход в адронный базис — адронизация — не изменит полного сечения. Такая ситуация имеет место при описании е+е~ аннигиляции в адроны.

Процессы с начальными адронами, например глубоконеупругое ер рассеяние, сложнее. При их описании используют коллинеарную факторизацию, то есть представление амплитуд в виде сверток партонных распределений и функций, описывающих жесткие этапы процесса. Партонные распределения описывают структуру адронов на масштабе Q2, то есть количество партонов — составляющих адрон кварков и глюонов, которые провзаимодействуют с фотоном с виртуальностью < Q2. Партонные распределения подчиняются уравнениям ДГЛАП (Докшицера-Грибова-Липатова-Алтарелли-Паризи) [1]-[4]. Эти уравнения определяют их эволюцию по Q2. Ядра уравнений вычисляются по теории возмущений, а начальные условия содержат всю непер-турбативную информацию. Оказывается, что ядра ДГЛАП содержат степени Ina:, а: ~ которые при малых х компенсируют малость константы связи. Поэтому в области малых х нельзя ограничиваться первыми членами разложения по o;s, что затрудняет применение подхода ДГЛАП в этой области. Соответствующая область малых х или л/s » Q Aqcd — это область полужестких процессов, теоретическое описание которых основано на уравнении БФКЛ (Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова) [5]-[7].

Уравнение БФКЛ позволяет найти функцию Грина, которая определяет высокоэнергетическое поведение амплитуд КХД. Это линейное интегральное уравнение. В настоящее время его ядро известно в главном и следующем за главным логарифмических приближениях (ГЛП и СГЛП) как для рассеяния вперед, то есть для t = 0 и цветового синглета в ¿-канале, так и для любой фиксированной (не растущей с s) передачи t и произвольного цветового состояния в ¿-канале [8, 9, 10]. В главном логарифмическом приближении суммируются члены порядка а™ 1пп х, в СГЛП — члены порядка 1пп х.

Подход БФКЛ основан на реджезации глюона. Говорят, что частица с массой т и спином 3 реджезуется, если в Реджевской области, то есть при в ¡¿|, амплитуды полужестких процессов с обменом в ¿-канале квантовыми числами этой частицы ведут себя как б-7^, причем у = у. Функция 3 (¿) называется реджевской траекторией частицы. Такое поведение можно получить, представив разложение амплитуды по парциальным волнам в ¿-канале в виде контурного интеграла в плоскости комплексных угловых моментов если амплитуда имеет полюс при з = з (¿). Реджезация в рамках КЭД первоначально исследовалась в работах Гелл-Манна и соавторов [11]. В дальнейшем было показано, что в КЭД электрон реджезуется, а фотон остается элементарным [12].

В КХД реджезуются кварки и глюоны. Для глюонов это означает, что амплитуда упругого процесса с обменом в ¿-канале цветовым октетом с отрицательной сигнатурой (нечетная при замене 5 на и часть амплитуды) в пределе б Щ ведет себя так:

4ЙГ = Гл, (ЙГ - ЙГ) П, (!) и ^(0) = 1) т0 есть глюон лежит на траектории Редже. Для неупругого процесса в мультиреджевской кинематике имеет место аналогичная формула л , о —9 ЧГС1 л-?1 гиЗп -рСп+1 /9\

Л-2-П+2 - А,А 7с1с2 - .Ъпсп+1 . 1 В'В •

Ч ¿2 Ъп+1

В этих формулах Гср1р и 7с-с;+1 — эт0 эффективные нелокальные вершины взаимодействия частиц и реджеонов, j(t) = 1 -Ь ш (¿) — реджевская траектория глюона, ¿о — энергетический масштаб. В ГЛП важен только его порядок йо ~ в СГЛП йо входит и в вершины и в Редже факторы так, что амплитуда с СГЛП точностью от него не зависит. Сейчас все вершины [13] и траектория глюона [14]—[20] известны в СГЛП. Реджезация глюона, то есть реджевская форма амплитуд, — это гипотеза, которая в настоящее время доказана как в ГЛП [21], так и в СГЛП [22]. Доказательство основано на проверке соотношений бутстрапа, которые вытекают из совместности реджевской формы амплитуд и з-канальной унитарности.

Амплитуды процессов с вакуумными квантовыми числами в ¿-канале можно получить с помощью соотношения унитарности, вычисляя лестничные диаграммы .В каждом порядке они дают главные вклады ~ 1п я)11. Вершины в этих диаграммах описывают эффективное нелокальное взаимодействие, вертикальные линии обозначают пропагаторы реджезованных глюонов, горизонтальные линии — реальные глюоны. Основной вклад в амплитуду подпроцесса 2 —» 2 + пд происходит от области мультиреджевской кинематики для 4-импульсов промежуточных частиц кг = (Зф\ + аф2 + к{±: о а 1 <С. < ап ап+1, (3)

Ро » 01 »••• » Рп > Рп+и (4) (к-1 + к{)2. (5)

Здесь использовано Судаковское разложение 4-импульсов к{ по светоподоб-ным 4-векторам и р2\ $ = 2р\р2 — (ра + рв)2- Оказывается, что вклад в з-канальный скачок амплитуды всех таких диаграмм можно просуммировать и представить его в виде свертки

Шве3лав' = фаа' ® Й ® ®вв> • (6)

В (6) С — функция Грина БФКЛ, содержащая вклад всех лестничных диаграмм, Ф — импакт факторы, описывающие взаимодействие пары реджезованных глюонов с внешними частицами. Функция Грина подчиняется уравнению БФКЛ, которое в операторной форме выглядит так

ПА Т А А т> « где У = 1п —, /С — ядро БФКЛ.

50

Представление амплитуды в виде свертки импакт факторов и функции Грина (6) называется ^ факторизацией и справедливо не только в ГЛП, но и в СГЛП. Чтобы вычислить амплитуду в СГЛП необходимо знать а^ поправки к импакт факторам и ядро в СГЛП. Сейчас ядро в СГЛП известно [8, 9, 10], а скд поправка в импульсном представлении вычислена только к импакт фактору перехода виртуального фотона в векторный мезон [23].

Ядро БФКЛ состоит из реальной и виртуальной частей. Виртуальная часть равна сумме траекторий двух реджезованных глюонов [14, 15, 18]. Реальная часть является суммой сверток вершин рождения реальных частиц при взаимодействии реджезованных глюонов. В ГЛП может родиться только глюон и реальную часть можно представлять себе как одну ступеньку в глюонной лестнице.В СГЛП в свертке двух вершин рождения глюона необходимо брать одну из вершин в однопетлевом приближении [24], а также учитывать свертки вершин рождения двух глюонов [25] и кварк-антикварковой пары [26].

Асимптотику решения уравнения БФКЛ в ГЛП при больших я можно построить, переходя в пространство собственных функций ядра БФКЛ. В подпространстве, соответствующем каждой собственной функции уравнение легко решается. Общее решение строится как сумма ряда составленного из частных решений. Оставляя в сумме член, который имеет самый быстрый рост при увеличении быстроты, получаем асимптотику решения при б При этом для рассеяния вперед получается степенной рост функции Грина, а следовательно и сечений с энергией

1 v ln2(qi2/Qo)

QqQIVttclY где а = 14С (3) ир = = 0,53 для as = 0,2 — это интерсепт

Померона, Qo,i — характерные поперечные импульсы на концах лестницы. Рост сечений с энергией в области малых х экспериментально наблюдался на ускорителе HERA [27], что является качественным подтверждением предсказаний подхода БФКЛ.

Однако вычисления в рамках ГЛП недостаточно точны, чтобы обеспечивать количественное описание эксперимента, так как в них не фиксирован ни масштаб перенормировки, ни энергетический масштаб so, обезразмериваю-щий s в логарифмах. В рамках СГЛП оказалось, что поправки к интерсепту

Померона в схеме MS очень велики и существенно зависят от точки перенормировки [28]

Однако после перехода к неабелевым физическим схемам перенормировки (Т, MOM [29]) и фиксирования точки перенормировки с помощью рецепта BLM [30] предсказания БФКЛ для сечения 7*7* рассеяния [31], полученные с помощью импакт факторов в главном порядке и функции Грина в СГЛП, успешно описали данные LEP2 в области 183-189 ГэВ В этих схемах интерсепт Померона в СГЛП шр = 0,13-0,17 для виртуальностей фотонов от 1 до 10 ГэВ [31]

В единственной полностью вычисленной в СГЛП в рамках БФКЛ амплитуде процесса 7*7* —► УУ в схеме МБ было продемонстрировано, что хотя зависимость от масштаба перенормировки и энергетического масштаба ¿о сокращается с СГЛП точностью, результат тем не менее существенно зависит от них [32]. Это указывает на большую величину следующих поправок в данной перенормировочной схеме.

Асимптотика функции Грина для Померонного обмена (8) обладает диффузионным поведением по In Q2. Дисперсия этого распределения растет пропорционально быстроте. Следовательно характерные поперечные импульсы внутренних глюонов в лестнице могут сильно отличаться от граничных и при достаточно больших быстротах попадать в область < Лqcd- Там теория возмущений не работает и нельзя пользоваться формулами БФКЛ, полученными с ее помощью.

Сечения, вычисленные по формулам БФКЛ, растут как степень s (8) с увеличением энергии. Это противоречит теореме Фруассара [33], запрещающей рост сечения быстрее (Ins)2. Причиной такого поведения является пренебрежение взаимодействием между партонами, принятое при выводе уравнения БФКЛ. Ограничение числа партонов за счет взаимодействия можно описать введением Померонных вершин — нелинейных членов в уравнение [34], например трехпомеронная вершина исследуется в [35] и других работах.

Наличие масштаба насыщения [34], при котором степенной рост прекращается, уже проявляется на эксперименте, например как геометрический скейлинг [36, 37, 38], то есть зависимость сечений не от двух переменных Y и Q2 по отдельности, а от одной переменной — функции Y и Q2.

Качественно масштаб насыщения и геометрический скейлинг можно легко оценить из формулы (8) [37, 38]. Будем считать, что Qo ~ тр — характерный масштаб поперечных импульсов, задаваемый импакт фактором протона, а Q\ = Q — виртуальность налетающего фотона. Рассмотрим, как ведет себя сечение как функция Q/Qo : а ~HQ Wo). (9)

Здесь вся зависимость от Q/Qo переведена в экспоненту. Считая, что степенной рост прекращается, когда ее показатель равен 0, получаем экспоненциалыю растущий с быстротой масштаб насыщения и характерную для заданного Q быстроту, при которой наступает насыщение

Ql(Y)^Qle<Y, C.4.85^, YS(Q') ^(10)

7Г с Q о

Сравнение с экспериментальными данными HERA в рамках модели Голек-Берната и Вустхофа дает такую же зависимость масштаба насыщения от быстроты с с ^ 0.3 [39]. Скейлинговое поведение можно увидеть, рассмотрев показатель экспоненты в (9) вблизи точки насыщения как функцию

1п(<э 7СЙ), MQ-'/Ql) = HQÜQl) +ln(Q'7Q;)

7 = (11)

Q^ViraY 2.

Следовательно в области Q 2 > Qs2 и In (Q 2ДЙ) ln(Q2/Ql) ~ сечение становится функцией одной переменной с точностью до медленно меняющейся предэкспоненты

Т = Ш) при (12)

Зависимость сечения только от одной переменной т получила название геометрический скейлинг и наблюдалась в данных HERA для оур при х < 0.01, 0.045 ГэВ2 < Q2 < 4502 ГэВ [36]

Хотя подход БФКЛ изначально развивался в импульсном представлении, много лет назад было осознанно, что его координатное представление очень полезно, особенно в Померонном случае, который является наиболее важным для феноменологии. Действительно, конформная инвариантность синглетного ядра БФКЛ в ГЛП, показанная в [42], была сформулирована в координатном представлении.

В СГЛП координатное представление ядра БФКЛ также очень интересно. Во-первых, оно позволяет изучать конформные свойства ядра. Очевидно, что в СГЛП конформная инвариантность нарушается перенормировкой.

Ответить на вопрос, является ли перенормировка единственным источником неконформности, может построение конформно инвариантного ядра в теории SUSY N=4 и квазиконформного ядра в КХД (ядра, все неконформные члены которого пропорциональны бета-функции) или доказательство, что таких ядер не существует.

Расширение подхода БФКЛ на суперсимметричные теории было начато в

43], где ядро было вычислено в СГЛП в импульсном представлении для случая рассеяния вперед. Далее в [44] ядро было вычислено в Мебиусовском координатном представлении для рассеяния на произвольный угол. Результат

44] не является квазиконформным. Однако, перераспределяя радиационные поправки между ядром и импакт факторами, форму ядра можно менять. Построение конформного ядра в теории SUSY N=4 и квазиконформного ядра в КХД описано в данной работе.

Другая причина, по которой получение координатного представления синглетного ядра БФКЛ в СГЛП является злободневной задачей, — это сравнение подхода БФКЛ и подхода цветовых диполей [45] для высокоэнергетического рассеяния. Последний подход дает наглядную физическую картину высокоэнергетического процессов и естественным образом может быть расширен с режима малых партонных плотностей на режим насыщения [34], в котором уравнение эволюции становится нелинейным. В общем случае существует бесконечная иерархия связанных уравнений [46, 40], которая в случае мишени в виде массивного ядра или при больших Nc может быть сведена к уравнению Балицкого-Ковчегова (БК) [46]. Подход цветовых диполей развит в координатном представлении [47]—[52] и применим для описания взаимодействия бесцветных частиц. В рамках ГЛП уравнения БК можно решить проблемы унитаризации и диффузии в инфракрасную область [38, 53], воспроизвести геометрический скейлинг [41]. Уравнение

БК в ГЛП можно также вывести из подхода БФКЛ с учетом трехпомерон-ной вершины [54]. Оказывается, для рассеяния бесцветных частиц в пределе больших АГС уравнение, суммирующее все веерные диаграммы, сводится к уравнению БК [54]. Другой метод получения уравнения БК основан на более общем функциональном уравнении ЛМ\¥ЬК в рамках теории "конденсата цветного стекла" [40, 55].

Позднее связь подходов БФКЛ и БК анализировалась в ГЛП в [54]. Сравнение ядер БФКЛ и БК в СГЛП было проведено в течение последних нескольких лет. Так в [57] кварковый вклад в модели цветовых диполей в пределе большого количества цветов Л^ был переведен из координатного в импульсное представление и было проверено, что получающийся в СГЛП вклад в интерсепт Померона совпадает с результатом [28].

Неабелева (лидирующая по Мс) и абелева части кваркового вклада в ядро БФКЛ для рассеяния на произвольный угол были переведены из импульсного [8] в координатное представление в работах [58, 59]. Там было показано, что дипольная форма кваркового вклада совпадает с результатом, полученным Балицким [60] путем непосредственного вычисления кваркового вклада в ядро БК в координатном представлении. Перевод глюонного вклада в ядро БФКЛ в СГЛП из импульсного в координатное представление, построение его дипольной формы и доказательство эквивалентности этой формы и результата Балицкого и Кирилли [61, 62, 63] описаны в данной работе.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Квазиконформная Мебиусовская форма ядра БФКЛ в КХД и его суперсимметричных обобщениях в координатном представлении для рассеяния на произвольный угол в СГЛП.

2. Форма ядра БФКЛ в СГЛП в импульсном представлении в физическом пространстве размерности 4, в которой сокращены все инфракрасные и устранены перенормировкой все ультрафиолетовые расходимости для рассеяния на произвольный угол в глюодинамике и для рассеяния вперед в КХД и суперсимметричных теориях.

3. Доказательство эквивалентности подхода БФКЛ и подхода цветовых диполей в СГЛП в линейном приближении для рассеяния бесцветных частиц.

Основные результаты данной диссертации изложены в [64, 65, 66].

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты работы.

• Получена квазиконформная Мебиусовская форма ядра БФКЛ в координатном представлении для рассеяния на произвольный угол в СГЛП в КХД и ее суперсимметричных обобщениях. Полученная форма ядра БФКЛ в КХД намного проще и компактнее известных ранее форм, что дает надежду на ее большое практическое применение.

• Для рассеяния на произвольный угол в глюодинамике и для рассеяния вперед в КХД и суперсимметричных теориях построена форма ядра БФКЛ в СГЛП в импульсном представлении в физическом пространстве размерности 4, в которой сокращены все инфракрасные и устранены перенормировкой все ультрафиолетовые расходимости.

• Доказано, что подход БФКЛ эквивалентен подходу цветовых диполей в СГЛП в линейном приближении для рассеяния бесцветных частиц.

Я искренне благодарен своему научному руководителю Фадину В. С. за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

1. V. N. Gribov and L. N. Lipatov, "Deep 1.elastic E P Scattering In Perturbation Theory," Yad. Fiz. 15 (1972) 781 Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 438], Yad. Fiz. 15 (1972) 1218 [Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 675].

2. L. N. Lipatov, "The Parton Model And Perturbation Theory," Sov. J. Nucl. Phys. 20 (1975) 94 Yad. Fiz. 20 (1974) 181].

3. G. Altarelli and G. Parisi, "Asymptotic Freedom In Parton Language," Nucl. Phys. В 126 (1977) 298.

4. Y. L. Dokshitzer "Calculation Of The Structure Functions For Deep Inelastic Scattering And E+ E- Annihilation By Perturbation Theory In Quantum Chromodynamics," Sov. Phys. JETP 46 (1977) 641.

5. V.S. Fadin, E.A. Kuraev and L.N. Lipatov, "On The Pomeranchuk Singularity In Asymptotically Free Theories," Phys. Lett. B60 (1975) 50.

6. E.A. Kuraev, L.N. Lipatov and V.S. Fadin, "Multi Reggeon Processes In The Yang-Mills Theory," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 71 (1976) 840 Sov. Phys. JETP 44 (1976) 443]; "The Pomeranchuk Singularity In Nonabelian Gauge Theories," 72 (1977) 377 [45 (1977) 199].

7. Ya.Ya. Balitskii and L.N. Lipatov, "The Pomeranchuk Singularity In Quantum Chromodynamics," Sov. J. Nucl. Phys. 28 (1978) 822.

8. V.S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, "The Quark Part of the Non-forwardBFKL Kernel and the 'Bootstrap' for the Gluon Reggeization," Phys. Rev. D60 (1999) 074025.

9. V.S. Fadin and R. Fiore, "Non-forward BFKL pomeron at next-to-leading order," Phys. Lett. B610 (2005) 61 .Erratum-ibid. B621 (2005) 61]; "Non-forward NLO BFKL kernel," Phys. Rev. D72 (2005) 014018.

10. M. Gell-Mann, M. L. Goldberger, F. E. Low, V. Singh and F. Zachariasen, "Elementary Particles of Conventional Field Theory as Regge Poles. IV," Phys. Rev. 133, B161 (1964).

11. S. Mandelstam, "Non-Regge Terms in the Vector-Spinor Theory," Phys. Rev. 137, B949 (1965).

12. V. S. Fadin, "Multi-Reggeon processes in QCD," Phys. Atom. Nucl. 66 (2003) 2017.

13. V.S. Fadin, M.I. Kotsky and R. Fiore, "Gluon Reggeization In QCD In The Next-To-Leading Order," Phys. Lett. B 359 (1995) 181.

14. V. S. Fadin, "Regge trajectory of a gluon in the two loop approximation," JETP Lett. 61 (1995) 346 Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61 (1995) 342].

15. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Quartarolo, "Reggeization of quark quark scattering amplitude in QCD," Phys. Rev. D 53, 2729 (1996) arXiv:hep-ph/9506432].

16. M. I. Kotsky and V. S. Fadin, "Reggeization Of The Amplitude Of Gluon

17. Gluon Scattering," Phys. Atom. Nucl. 59 (1996) 1035 Yad. Fiz. 59N6 (1996) 1080.

18. V.S. Fadin, R. Fiore and M.I. Kotsky, "Gluon Regge trajectory in the two-loop approximation," Phys. Lett. B 387 (1996) 593.

19. J. Blumlein, V. Ravindran and W. L. van Neerven, "On the gluon Regge trajectory in 0(alpha(s)**2)," Phys. Rev. D 58 (1998) 091502.

20. V. S. Fadin, R. Fiore, M. G. Kozlov and A. V. Reznichenko, "Proof of the multi-Regge form of QCD amplitudes with gluon exchanges in the NLA," Phys. Lett. B 639, 74 (2006) arXiv:hep-ph/0602006].

21. D. Y. Ivanov, M. I. Kotsky and A. Papa, "The impact factor for the virtual photon to light vector meson transition," Eur. Phys. J. C 38, 195 (2004) arXiv:hep-ph/0405297].

22. V. S. Fadin and L. N. Lipatov, "Radiative corrections to QCD scattering amplitudes in a multi Regge kinematics," Nucl. Phys. B 406, 259 (1993).

23. V. S. Fadin, M. I. Kotsky and L. N. Lipatov, "One-loop correction to the BFKL kernel from two gluon production," Phys. Lett. B 415 (1997) 97.

24. V. S. Fadin, R. Fiore, A. Flachi and M. I. Kotsky, "Quark-antiquarkcontribution to the BFKL kernel," Phys. Lett. B 422, 287 (1998) arXiv:hep-ph/9711427.

25. I. Abt et al. HI Collaboration], "Measurement of the proton structure function F2 (x, Q**2) in the low x region at HERA," Nucl. Phys. B 407, 515 (1993).

26. V.S. Fadin, L.N. Lipatov, "BFKL pomeron in -the next-to-leading approximation," Phys. Lett. B429 (1998) 127;

27. M. Ciafaloni and G. Camici, "Energy scale(s) and next-to-leading BFKL equation," Phys. Lett. B430 (1998) 349.

28. S. J. Brodsky, G. P. Lepage and P. B. Mackenzie, "On The Elimination Of Scale Ambiguities In Perturbative Quantum Chromodynamics," Phys. Rev. D 28, 228 (1983).

29. V. S. Fadin, V. T. Kim, L. N. Lipatov and G. B. Pivovarov, "The BFKL pomeron within physical renormalization schemes and scales," JETP Lett. 70 (1999), 155; 76 (2002), arXiv:hep-ph/0207296.

30. D. Y. Ivanov and A. Papa, "NLO BFKL at work: the electroproduction of two light vector mesons," Acta Phys. Polon. B 39, 2391 (2008) arXiv:0804.2597 [hep-ph]].

31. M. Froissart, "Asymptotic Behavior And Subtractions In The Mandelstam Representation," Phys. Rev. 123 (1961) 1053.

32. L.V. Gribov, E.M. Levin and M.G. Ryskin,"Semihard Processes In QCD," Phys. Rep. 100 (1983) 1.

33. J. Bartels and M. Wusthoff, "The Triple Regge limit of diffractive dissociation in deep inelastic scattering," Z. Phys. C 66, 157 (1995);

34. A. M. Stasto, K. J. Golec-Biernat and J. Kwiecinski, "Geometric scaling for the total gamma* p cross-section in the low x region," Phys. Rev. Lett. 86, 596 (2001) arXiv:hep-ph/0007192].

35. E. Iancu, K. Itakura and L. McLerran, "Geometric scaling above the saturation scale," Nucl. Phys. A 708 (2002) 327 arXiv:hep-ph/0203137].

36. E. Iancu and R. Venugopalan, "The color glass condensate and high energy scattering in QCD," arXiv:hep-ph/0303204.

37. E. Iancu, K. Itakura and L. McLerran, "Understanding geometric scaling at small x," arXiv:hep-ph/0205198.

38. L.N. Lipatov, "The Bare Pomeron In Quantum Chromodynamics," Sov. Phys. JETP 63 (1986) 904 Zh. Eksp. Teor. Fiz. 90 (1986) 1536].

39. A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, "NLO corrections to the BFKL equation in QCD and in supersymmetric gauge theories," Nucl. Phys. B582, 19 (2000) arXiv:hep-ph/0004008].

40. V. S. Fadin and R. Fiore, "The dipole form of the BFKL kernel in supersymmetric Yang-Mills theories," Phys. Lett. B661, 139 (2008) arXiv:0712.3901 [hep-ph]].

41. N.N. Nikolaev and B.G. Zakharov, "The Triple pomeron regime and the structure function of the pomeron in the diffractive deep inelastic scattering at very small x," Z. Phys. C64 (1994) 631;

42. N.N. Nikolaev, B.G. Zakharov and V.R. Zoller, "The s channel approach to Lipatov's pomeron and hadronic cross-sections, " JETP Lett. 59 (1994) 6;

43. A.H. Mueller, "Soft Gluons In The Infinite Momentum Wave Function And The Bfkl Pomeron," Nucl. Phys. B415 (1994) 373;

44. A.H. Mueller and B. Patel, "Single And Double Bfkl Pomeron Exchange And A Dipole Picture Of High-Energy Hard Processes," Nucl. Phys. B425 (1994) 471.

45. I. Balitsky, "Operator expansion for high-energy scattering," Nucl. Phys. B463 (1996) 99;

46. Yu. Kovchegov, "Small-x F2 structure function of a nucleus including multiple pomeron exchanges," Phys. Rev. D60 (1999) 034008.

47. I. Balitsky, "High-energy QGD and Wilson lines," arXiv:hep-ph/0101042.48. 1.1. Balitsky and A. V. Belitsky, "Nonlinear evolution in high-density QCD," Nucl. Phys. B 629, 290 (2002) arXiv:hep-ph/0110158].

48. A. Babansky and I. Balitsky, "Scattering of color dipoles: From low to high energies," Phys. Rev. D 67, 054026 (2003) arXiv:hep-ph/0212075].

49. I. Balitsky and G. A. Chirilli, "High-energy amplitudes in N=4 SYM in the next-to-leading order," Int. J. Mod. Phys. A 25, 401 (2010) Phys. Lett. B 687, 204 (2010)] [arXiv:0911.5192 [hep-ph]].

50. I. Balitsky and G. A. Chirilli, "Conformai kernel for NLO BFKL equation in A/"=4 SYM," Phys. Rev. D 79, 031502 (2009) arXiv:0812.3416 [hep-ph]].

51. L. Cornalba, "Eikonal Methods in AdS/CFT: Regge Theory and Multi-Reggeon Exchange," arXiv:0710.5480 hep-th].

52. K. J. Golec-Biernat, L. Motyka and A. M. Stasto, "Diffusion into infra-redand linearization of the BFKL pomeron," Phys. Rev. D 65 (2002) 074037 arXiv:hep-ph/0110325.

53. J. Bartels, L.N. Lipatov and G.P. Vacca, "Interactions of Reggeized gluons in the Moebius representation," Nucl. Phys. B706 (2005) 391;

54. J. Bartels, L.N. Lipatov, M. Salvadore and G.P. Vacca, "Deformed spectral representation of the BFKL kernel and the bootstrap for gluon reggeization," Nucl. Phys. B726 (2005) 53.

55. E. Iancu, A. Leonidov and L. D. McLerran, "Nonlinear gluon evolution in the color glass condensate. I," Nucl. Phys. A 692, 583 (2001) arXiv:hep-ph/0011241];

56. E. Ferreiro, E. Iancu, K. Itakura and L. McLerran, "Froissart bound from gluon saturation," Nucl. Phys. A 710, 373 (2002) arXiv:hep-ph/0206241.

57. E. Levin and K. Tuchin, "New Scaling at High Energy DIS," Nucl. Phys. A 691, 779 (2001) arXiv:hep-ph/0012167];

58. Y. V. Kovchegov, "Unitarization of the BFKL pomeron on a nucleus," Phys. Rev. D 61, 074018 (2000) arXiv:hep-ph/9905214.,

59. Yu.V. Kovchegov and H. Weigert, "Quark loop contribution to BFKL evolution: Running coupling and leading-N(f) NLO intercept," arXiv:hep-ph/0612071.

60. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, "On the coordinate representation of NLO BFKL," Nucl. Phys. B 769, 108 (2007) arXiv:hep-ph/0612284].

61. V.S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, "The dipole form of the quark part of the BFKL kernel," Phys. Lett. B 647, 179 (2007) arXiv:hep-ph/0701075].

62. I. Balitsky, "Quark contribution to the small-x evolution of color dipole," Phys. Rev. DT5 (2007) 014001 arXiv:hep-ph/0609105].

63. I. Balitsky and G. A. Chirilli, "Next-To-Leading Order Evolution Of Color Dipoles," Phys. Rev. D 77, 014019 (2008) arXiv:0710.4330 [hep-ph]].

64. I. Balitsky and G. A. Chirilli, "NLO evolution of color dipoles in N=4 SYM," Nucl. Phys. B 822, 45 (2009)

65. I. Balitsky, "High-energy amplitudes in the next-to-leading order," arXiv: 1004.0057 hep-ph].

66. V. S. Fadin, R. Fiore, A. V. Grabovsky, and A. Papa, "The dipole form of the gluon part of the BFKL kernel," Nucl. Phys. B784, 49 (2007) arXiv:0705.1885 [hep-ph]].

67. V. S. Fadin, R. Fiore and A. V. Grabovsky, "On the discrepancy of the low-x evolution kernels," Nucl. Phys. B820 (2009) 334 arXiv:0904.0702 [hep-ph]].

68. V. S. Fadin, R. Fiore and A. V. Grabovsky, "Matching of the low-x evolution kernels," Nucl. Phys. B 831, 248 (2010) arXiv:0911.5617 [hep-ph]];

69. V.S. Fadin, R. Fiore, A.V. Grabovsky, A. Papa, "Low-x evolution equation in Mobius representation," Physics of Particles and Nuclei 2010, Vol. 41, N6, pp. 935-938.

70. V.S. Fadin and R. Fiore, "The generalized nonforward BFKL equation and the *bootstrap* condition for the gluon Reggeization in the NLLA," Phys. Lett. B440 (1998) 359.

71. V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky and A. Papa, "The Gluon Impact Factors," Phys. Rev. D 61 (2000) 094005 arXiv:hep-ph/9908264].

72. V.S. Fadin and A. Papa, "A proof of fulfillment of the strong bootstrap condition," Nucl. Phys. B 640 (2002) 309 arXiv:hep-ph/0206079].

73. V. S. Fadin, "Next-to-leading BFKL," arXiv:hep-ph/9807527.

74. R.E. Gerasimov, V.S. Fadin, "Scalar Contribution to the BFKL Kernel," Physics of Atomic Nuclei, 2010, Vol. 73, No. 7, p. 1214.

75. Y. V. Kovchegov and H. Weigert, "Triumvirate of running couplings in small-x evolution," Nucl. Phys. A784 (2007) 188.

76. M. I. Kotsky, V. S. Fadin, and L. N. Lipatov, "Two-gluon contribution to the kernel of the Balitsky-Fadin-Kuraev-Lipatov equation," Phys. Atom. Nucl. 61 (1998) 641 Yad. Fiz. 61 (1998) 716]; arXiv:hep-ph/9704267.