Мероморфные функции, нормальные относительно произвольной группы конформных автоморфизов круга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Го 0Г3' 3 2

МОСКОВСКИЙ'ГОСУДАРСТВЕННАЯ УНИВЕРСИТЕТ голени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.53

а;ыте альфонс

МЕРОМОР5ШЕ СУНКДИИ, Н0РГШ1ШЕ

относительно произвольно:! грушы консорших автоморфизмов круга

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа моханико-матвыатчческого факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Московский педагогический университет.

в 16 час.05 и. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: П9899,ГСП,Москва,Ленинские Горы МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-катоматического факультета МГУ (Главное знание 14 этаж).

Автореферат разослан

профессор В.И.Гаврилов

профессор П.К.Суетин; - кандидат физико-математических наук доцент Г.Д.Лёвпшна.

Защита диссертации состоится

Учений секретарь Специализированного Совета. Д.053.05.04 при МГУ д.ф.м.н., доцент

¿¡./.,„¡1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ■ где,- »

•«ртДюД&ьиость темы. Нормальшэ мероморфные функции, т.о. «ероморфные функции У (г) , определенные в единичном круге |) • |£|< 1. 113 комплексной Ъ -плоскости • и обра-

1ующие в 1) нормальные в смысла Монтеля семейства отно-

¡ительно грушш Т всех конформных автоморфизмов Ь (2) ¿Т"

сруга Т) , интенсивно изучаются с 1957 года после опубликования

¡аботы [I] (список цитируемых работ помещен в конце авторефе-

>ата). Частичные обзоры достигнутых результатов, а также непол-

1ую библиографию работ в этой области можно найти в монографиях

С23 > [3] . М и в обзорной статье £5] .

Многочисленные и глубокие результаты, полученше в изучении

юего класса N норталышх мероморфних функций и в изучении инди-

шдуалышх свойств элементов из N сделали возможным сформулиро-

)ать в статье [_б] в явном виде общую задачу о пероносо розу-

[ьтатсл на более широкие, чем N . классы |\] мероморфних

зункциЯ, порождающих в Л) нормальные семейства указанного

шше вида относительно отображений 5 (2) из произвольной под-

'руппы (Ъ группы Т . В последующих статьях £72 - [II]

>та задача рассматривалась в случаях гиперболической подгруппы О

Г О «0<1Г > с двумя неподвижными точка;,о! и н

д __ 0

2' , и параболической подгруппы / , >,

¿б '

! одной неподвижной точкой в

В настоящей диссертации изучаются свойства множества

«ороморфшх функций и тожества Ъ, голоморфных функций, обО?

шзугацих в круге 1) : |л| ^ 1 нормальные и аналитически

юркзлыше семейства вида ^ С 2)^ относительно отоб-

)ажений кз произвольной подгруппы (3 группы г]~' .

В классах |\| и В выделяются некоторые подклассы № О СЬ> 3 СЬ

и Ь, . Диссертация состоит из двух глав. В первой главе охва-

Оз

тывакдай §§ 1-4, изучаются индивидуальные свойства функций классов Г\/ и £> и подклассов № в Ь' для произвольной сЬ Сь <£» &

подгруппы <3 группы Т • Во второй главе диссертации, охватывающей §§ 5-7, исследуются функциональные свойства класса В.

„ Сгр

£0

> для произвольной подгруппы Со группы СЬ

т .

Цель работы. Изучить аналитические свойства мероморфных и

голоморфных функций классов N1 и В я подклассов N° и в>

<Е> <Ь 0> <Ь

для произвольной подгруппы <Ь группы Т конформных автоморфизмов единичного круга Т) . Изучить функциональные свойства

класса В и подкласса для произвольной подгруппы

<5- . Сс*

группы Т .

Метол исследования. В диссертации применяются методы геометрической теории функций комплексного переменного, связанные с оценками площадей на сфере Риыана образов множеств при мероморфных отображениях, и методы теории банаховых алгебр, аналитических функций.

На учтя новизна. Все результаты диссертации являются новыми, основные результаты состоят в следующем:

1. Получение интегральных критериев принадлежности мероморф

: к .о

чой функции классу N и подклассу N. и голоморфной функции

& о

классу Б и подклассу В, для произвольной подгруппы <3 СЬ- сь>

группы Т .

2. Введение нормы на множестве Ё> и доказательство свой-

С2> -

отпа полноты нормированного пространства Я> и получение функ-

сь

ционального критерия принадлежности голоморфной функции замкну-

тому сепарабальному подпространству Ё> для произвольной под-

0>

группы G> груши Т • •

. Приложения. Диссертация носят теоретический характер. Получении а результаты могут найти применение в теории граничных свойств аналитических функций и в задачах теории банаховых алгебр аналитических функций.

• Апробация. Результаты диссертации докладывались на научно-зсследовательском семинаре кафедры гатематячоского анализа МГУ (научный рукородитель - заведующий кафедрой, профессор 3.к.Садовничий), на семинарах кафедр математического анализа МГУ я ' Московского педагогического университета.

Публикации. Основные результаты диссеттации опубликованы з двух статьях автора,.список которых.содержится в конце автореферата.

Структура и обгем диссертации. Диссертация состоит из введения с двух глав, разбитых на семь параграфов, и библиографии. Общий >бъем работы 66 машинописных страниц. Список литературы одержит 2-7 названий. • ...

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении проводится обзор результатов, связанных с темой иссертации и краткое содержание работы.'

Переходим к изложению основных результатов диссертации.

Для пропзволйкых точек 1 и W единичного круга ]) ■ |2 1< 1

• W

обозначим псевдогиперболи-

имволом' cí/^.w) _

J А-ЪЪ

эоков расстояние между 2 и W й обозначим

Рассмотрим в крута I) группу Т всех конформных автоморфизмов S круга 7) на себя вида SJl) = • а е Ъ •

Рассмотрим произвольную подгруппу £ группы Т , её носитель

54fpS- {«¿Ъ ba(i) 6 &} • содержащий точку о-о ,

И произвольную г - оболочку ~\f (л) - D Qt'l'O ,0<t< 1 J

<2» at iupf&

носителя .

Для произвольной мероморфной функции /VO . определенной в круто 7) , обозначим через в® сферическую про-

изводную f ({(*)) = | f'(г) | • + \f(2)\*3~1 . через

-fa(г) = i ct е 2) , и обозначим символом 6Р& f

&> - орбиту функции ~f(i) , т.е. множество ехб j " £

Ьи/-р (БJ ■

Мороморфную функции . определенную в круге 7) ,

отнесем к классу f\| , если ов{> 4 образует в круге 7) G, G.

нормальное семейство в сшсле Монтеля. Из этого определения следует, что fNj - N , где N - класс нормальных меро-

).!opJ,}[ux функций, определенных в .

Основной результат § I можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теопоуд J. Для произвольной подгруппы СЕ. группы Т" и произвольной мероморфной функции ^fz) в круге Т):|2|<1 следуювле утверждения эквивалентны:

1°. ^ £ N_

Ct>

2°. С(г)<+® для любого -г/Сч'

3°. Ни одно из множеств (") , о 1 , нэ содор-

<Ь

дит Р -последовательностей функции ^ («О •

4°. бар -_1--5(4,0: Ш-;<4ю

для любого 1 , о < * < 1 , где 5" гиетигп борется по всем кругам В С^^) . содержащимся в Л//п) и

Г ( & г

' Р (ВС*,*})-- ^ (<-12/^ ^ ,г= ВО, О

^ случае = Т утвервдение 2° теоремн I содержится в статье £1] , утверждение 3° содержится в статье [12^ . В случаях (Ь-Т® и СЬ ~ Тр утверждения 2° и 3° содержится в статьях [7] , ОвЗ . С?] .

Утверждение 4° теореш I является новым даже в случае

<ь- т .

Во втором параграфе изучаются асимптотические свойства функций классов |\| . Доказываемая здесь теорема типа Линделофа <3

аналогична известному результату из [1} о совпадении у нормальной функции асимптотического значения в граничной точке о ее угловым граничным значением в этой точке.

В § 3 диссертации рассматриваются классы голоморфных функций , определенных в круге Т) , у которых О с

образует аналитически нормальное семейство функций в 2) . т.о.

кавдая последовательность ] 'функций (£ 0й4 ^

п £ Ы \ содержит, такую подпоследовательность (¿Л

-I 1к •

что последовательность ) ^ А сходится рав-

номерно на компактах круга ]) к некоторой голоморфной функции в Э . • ■

Основной результат 3 можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема - 2. Для произвольной подгруппы. (£> группы Т* и • произвольной голоморфной функции , определенной в круге

7) ' , следующие утверждения эквивалента:

í * % . .. .

для любого 1 , О < * < 1 3°. '

бир * ■

для любого о < "» < 1 , где ЬчС^тит берется по

Есем кругам' , содержащимся в

Хъ\<ь • .

В случае <£ = Т утверадения*!0 и 2° теоремы 2 хорошо

извостны, поскольку класс В> в этом случае становится классом

СЬ , 0

Б функций Блока (см., например, ). В случаях й>-Т^

- 6 -

и G> г "Тр ■ утверждения 1° и 2° теоремы 2 содержатся в статьях [10] , [II]

Утверждение-3° теоремы 2 является новым даже в случае ¿>гТ .

В доказательствах утверждения 4° теоремм I и утворвдения 3° теоремы 2 используетоя классическая оценка Дюфренда [14] для' функции 5 [i> fwJ и-аналогичная ой оценка'функция S 'fwj , содержащаяся в книге С.Стоилова [15] , .

стр.81.

В- § 4 диссертации ш изучаем подкласс класса N/ 'и

& &

подкласс ß класса В . По определению, функция ' //"2) из СЬ СЬ

fNj. -принадлежит подклассу /Nj^ , если (Ь &

1Н-1 ,2« VI»)

С»

для любого о<\< 1 • ц функция ' ^Ы) кз класса В

принадлежит педклассу Ь , если

6>

121-»» . ъ £

0>

для любого о<1«;1 ,

" . О -2 о

Для функций подклассов N. и о ш доказываем аналога

ь &

. утверждения 4°, теоремы I и утверждения-3° теоремы 2.

Пятый параграф диссертации открывает вторую главу диссертации, в которой мы изучаем функциональный свойства классов В.

IX0

и о.

6

Для произвольной функции ' ^(?) из класса ё> и произвольного числа t, i , г,и определяем формулой

инвариантную ч-норму в , • •

Различные свойства 1 -нормы изучены в этом параграфе, результаты которого играют в дальнейших исследованиях вспомогательную роль.

Основной результат § 6 состоит в доказательстве утверждения, что для любой подгруппы Сь группы Т нормированное пространство В^ , |1' П ^ является полным нормированным, т.е. банаховым пространством. В доказательстве использованы свойства

1 -нормы в В- . установленные в предыдущем § 5. о>

В § 7 диссертации доказаны следующие результаты.

Теорема Э. Для любой подгруппы <3 группы Т подкласо В^ является замкнутым сепарабельным подпроотранством банахова пространства ( > ||" , совпадающим с замыканием полиномов в топологии, порождаемой ''-нормой ||'||а • для любого фиксированного 1, о < ^ < i

Теорема 4. Голоморфная функция , определенная в

круге Т) |2 I < 1 , принадлежит подклассу В° для произволь-

^ Ср

ной подгруппы (Ь группы т I в том и только в том случае, когда Н^ОО-^ 0 при о!—г I-О

для любого г ,о .

В случае <£> -Т1 теорема 3 доказана в статье [1бЗ .

Утверждение теоремы 4 является новым даже в случае 6 гТ.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору В.И.Гаврилову за постановку задач, постоянное внимание и поддержку в работе..

Список цитированной литературы

1- leUo ■ О■ > Vitèaf*tn . К. Г . Boun^'J 4eflmioo* <*»<' noemaé m«omee).Rie ftntb'tnà - Aeio , isô9,V9?,

2- Носиро К. Предельные множества.- M., изд.иностр.литер.,1963. 3 Коллингвуд 3., Ловатер А. Теория предельных множеств., М.,

изд-во "Мир", 1971.

4- Ловатер А. Граничное поведение аналитических функций. - В сб. Итоги науки и техники. Математический анализ. Т.10, 1973,

с.99-259.

5- Сот^Ш, Ьои^аь П. «W W¡скеь ,йеп > Cbataeà

cf nt«mai rntPcmejhtcb /илебонь . Lettaee Noies, Гл «ma te» N* kl, Î9?<P.

6' Гаврилов В.И. Нормальные функции и почти периодические.-

ДАН СССР, 1978, т.240, » 4, с.768-770. 7- Гаврилов В.И., Буркова Е.Ф. О мероморфных функциях, порождап-ких нормальные семейства на подгруппах автоморфизмов. ДАН СССР. 1979, Т.245, Я 6, с.1293-1296. 8 Лёвшина Г.Д. О мероморфных функциях, нормальных и гипернормальных относительно подгрупп конформных автоморфизмов единичного круга. - ДАН СССР, 1980, г.252, Л 3, с.539-542.

9- Ошкик И.Б. О непрерывном продолжении функций нормальных на подгруппах, в точки пространства максимальных идеалов алгебры Н® ДАН СССР, 1981, т.259, № б, O.I306-I308.

10 Лабудович Н., Павичевич К. Гиперболические и параболические функции Блока. - Матем.Весник, 1988, т.40, Л 3-4, с.275-279. II- Лабудович Н., Павичевич К. Гипорболичоские функции Блока.-ДАН СССР, 1991, т.317, H 2, с.297-300.

12. Гвврилов В.И. О распределении значений в единичном круге функций, не являющихся нормальными. - Матем.сборник, 1965, т.6?, № 3, с.40&-427. 13- ?отт-ет'-&е сК. Оп В&сД -^и/ийонъ - У 1опг>оп МаМ,

14. Ьи^ее-ло^ Л". 6«» ^ Месишь < ¡оамЪ Мо Шии/нь с1'и»( мчасо ыЛдеЬеп'ии .

ЦП». Ьи'оЛ мет- , ье'тЬ А , ы*!-»?, Рм-'Ъ

15- Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т.2,' изд.иностр.литер., Москва. 1962. ■ '

16. йпсктъп ■ 3"-

(1., '(£ил,'е X, ?оттес<п*е ей . д» ' ^цпеб'опа ап'с\ теща? ^иреГопь- ?, V-??" , 1 Э?4 ■. Р.'Ьг-З?. '

Публикации автора по теме диссертации

1. А.Мите. Мероморфные и голоморфные функции, порождающие нормальные семейства на произвольной группе конформных автоморфизмов круга. ДАН СССР, 1992» т.322, Л 4, с.631-634.

2. АЛУ/Т£. 1'^оог ¿е Вагиер! с!еь фьей&ь ^е&тее^а

(иКтчЁеь и "г> ует^е. (¿мРи^уие ¿'си.Цотья^&'ыЩй

ипре'пе^ циа ип Л'ч^е - Уеикпае ПаШкЫут ¿е -У ^иНо«ей с/и 8(мп я ¡т^а'тге , ЯРл?.^