Обобщенные предельные множества тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Р Г Б 0.1 „

На правах рукописи

- 6 т 1яя7 удк517-553

БАРРИ Бубакар ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико - математического факультета Московского государственного универстета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Гаврилов Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Пономарев, кандидат физико-математических наук, доцент A.A. Симушев, Ведущая организация: Московский педагогический

университет

Защита диссертации состоится " 18" апреля 1997 г. в 16 ч. 15 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж)

Автореферат разослан " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ,

профессор Т.П. Лукашенко

Общая характеристика работы. Актуальность темы.

Диссертационная работа посвящена обобщению предельных множеств для мероморфных функций по касательным направлениям и для многозначных отображений. Теория предельных множеств, возникшая в начале нашего столетия в связи с изучением граничных свойств аналитических функций, к настоящему времени весьма обширна и разветвлена. Различные ее разделы связаны с теорией распределения значений аналитических и мероморфных функций и конформных отображений, с теорией потенциала, функциональным анализом, теорией меры, теоретико-множественной топологией и другими разделами математической науки, что имеет большое значение для ее развития.

Одна из важнейших проблем, породившая саму теорию и имеющая многочисленные приложения, состоит в изучении граничных особенностей, определяемых предельными множествами функций вдоль различных типов граничных путей. В изучении этой проблемы основное внимание исследователей было обращено на случай, когда кривые идут к границе некасательным образом. Случай касательных граничных путей исследовался значительно меньше, хотя еще основоположник« теории указывали на важность его изучения. Например, в 1930 году H.H. Лузиным была сформулирована задача о характеристике некоторого множества граничных точек (называемых теперь точками Лузина), которая получила решение лишь в 1955-56 гг. в работах А. Ловатера и Дж.Пираняна.

Интерес к изучению к изучению предельных множеств вдоль касательных путей значительно возрос после публикации в 1966 году работы Ф. Багемила [I]1 . Появились исследования Ф. Багемила, Т. Вессея, Н. Янагихары, С. Драгоша, К. Носиро, М.М. Мирзояна, выполненные в основном в 70 годы.

Однако, и в работах Ф. Багемила, и в работах других авторов рассматривались конкретные типы касательных путей: либо орици-клические пути, либо пути со степенным порядком касания. Общий случай касательных путей с произвольным касанием границы нача-

'[1] F. Bagemill. Horocycle boundary properties of meromorphic functions "Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Math." 1966, V.385,pp 1-8

ли исследовать только в работах Д. Ранга [2]2 и А.Р. Хасана [З]3 Результаты этих работ позволили предложить удобную геометрию касательных кривых, отвечающую произвольной функции подхода к границе, и построить в этой геометрии аналитический аппарат, аналогичный тому, который был разработан для случая некасательных путей.

Исследования предельных множеств по последовательностям компактов были стимулированы результатом Воронина С.М. об универсальности дзета-функции Римана [4]4 . Существенный вклад здесь принадлежит А.Н. Канатникову (в частности, см. [5]5).

В первой части работы мы рассматривали развитие идей и понятий, обсуждавшихся в [5], и используем схемы, изложенные в этой работе, для распространения ее результатов на случай граничных касательных путей с произвольной функцией подхода к границе.

Во второй части работы рассматривается обобщение теоремы о симметричной максимальности, доказанной в пункте 2.2 параграфа 2, на многозначные отображения в топологические пространства. Устанавливаются также обобщения теорем Коллингвуда Э.Ф. [б]6, Долженко Е.П. [7]7 о предельных множествах со значениями в С на предельные множества многозначных отображений в топологические пространства относительно граничных путей с произвольной функцией подхода. Полученные результаты представляют собой также дальнейшее развитие идей и понятий, обсуждавшихся в работе В.И. Гаврилова, А.Н. Канатникова и С. Пигетти [8]8 Интересу к изучению полного, правого и левого граничных пределов множеств способствовала также работа Коллингвуда и Пираняна [9]9, в кото-

J[2] Rang D.C. Meier type theorems for général boundary approach and «r-porous exceptional sets "Pacific J.Math.", (1978), V.76 N l,pp. 201-213

З[3] Хасая A.P. О прецельвых множествах функций вдоль произвольных граничных путей "ДАН СССР", (1981), Т.260 N 4, стр 777-780

4[4] Воронин С.М. Теорема об универсальности Дзета-фувкпии Римана. Изв. АН СССР, сер.мат., (1975), Т.39, N 3, стр.475-486.

5[5] Канатников А.Н. Предельные множества мероморфных функций по последователь^ ностян компактов. "ДАН СССР", Т.237 N 1 (1970), стр.14-17.

6[6] Коллиагвуд Э., Ловатер А. "Теория предельных множеств" М: Мир (1971)

т[7] Долженко Б.П. Граничные свойства произвольных функций. "Изв. АН СССР", сер.мат. (1967), Т.31, N 1, стр. 3-14.

s[8] Gavrilov V.I.,Kanatnikov A., Pighetti С. Ensembles d'accumulations généralisés. Сотр. Rendu Ser.l (1981), V.292 N 7, pp.393-396

9[9] Cotlingwood E.F., Piranian G. Asymétrie Prime Ends Math.Ann. 144 (1961),pp. 59-63.

рой доказано, что каждая односвязная плоская область имеет не более чем счетное множество асимметрических простых концов.

Цель работы. Изучение предельных множеств мероморфных функций по последовательностям компактов вдоль касательных граничных путей с произвольной функцией подхода к границе и порождаемых ими граничных особенностей. Обобщение этих понятий для многозначных отображений единичного круга И : |г| < 1 в топологическое пространство.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием модификаций некоторых методов теории предельных множеств, применявшихся, в частности, в работах [5], [6], [8] . Используются также результаты и методы математического и функционального анализа, геометрии, теории множеств и топологии.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Дана характеристика множества максимальной неопределенности для 5-множеств, и получено сравнение граничных предельных множеств мероморфных функций по последовательностям компактов с полным предельным множеством.

2. В геометрии граничных кривых в единичном круге, которая определяется произвольной функцией подхода, доказана теорема о максимальности для предельных множеств мероморфных функций по последовательностям компактов.

3. Доказана теорема о симметричной максимальности предельных множеств многозначных отображений в топологические пространства.

4. Доказаны теоремы о максимальности для предельных множеств произвольных многозначных отображений в топологические пространства относительно указанной выше геометрии граничных путей.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение при решении граничных задач в теории функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались в Московском государственном университете на научно - исследовательских семинарах кафедры математического анализа под руководством профессора Гаврилова В.И., кафедры общей топо-

логин и геометрии под руководством профессора Пономарева В.И., на семинаре кафедры математического анализа Московского педагогического университета под руководством профессора Луканкина Г.Л.

Публикации. Основные результаты диссертации сданы в печать.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух частей, содержащих пять параграфов, и списка литературы, содержащего 70 наименований. Общий объем диссертации 66 страниц.

Содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируются цели и задачи работы, вводятся основные определения и приводятся формулировки основных результатов диссертации. Проводится также краткий исторический обзор работ по теме диссертации.

Первая часть состоит из трех параграфов. В ней изучаются предельные множества мероморфных функций по последовательностям компактов.

В первом параграфе определяется множество М(К) отображений д : К П компакта К в сферу Римана, непрерывных на К относительно хордальной метрики х на ^ мероморфных во внутренности intK, такое, что постоянная д!Х> = оо также принадлежит множеству

М{К) . Функция p(g,h) = supx{g(z)>h{z))>9,h 6 М(К) определяет

26 к

на М(К) метрику, которая превращает М(К) в метрическое пространство, являющееся сепарабельным.

В обычном смысле определим предельное множество следующим образом.

Пусть функция oj = f(z) определена в области G комплексной плоскости С , которую она отображает в и -сферу Римана Q . Для каждой данной точки го замыкания множества G предельное множество Сс(/, za) функции /(г) в точке zq есть множество всех точек а си-сферы Ü таких, что существует последовательность {zn} С G \ {г0} : lim z„ = z0 и lim f(z„) = а.

П-—00 ' u n—'CO J v

Пусть D обозначает единичный круг |г| < 1, и пусть Г : |z| = 1 - его граница dD . Рассмотрим произвольную точку Î = eie 6 Г , возможно, бесконечно удаленную, произвольное открытое множество H круга D, для которого точка £ является предельной точкой, и произвольную мероморфную функцию /(г) , определенную в круге D.

Определение 1 . (А.Н.Канатников [5]). Предельным множеством SK(f, H) по последовательностям компактов для функции f(z) в точке Ç относительно множества H назовем совокупность всех таких функций g 6 М{К) , для которых существуют последовательности (а®), комплексных чисел, обладающие следующими свойствами:

г)множество Аяп(К) = {asnz + Ь£|г £ К) С H дляУп € N; и) Hm[supx№H)] = „limfsup - fl] = 0;

iii) lim p(f о A>,g) = Jim p{f(a*nz + Ь»),<7(*)) = 0.

Предельные множества функции в обычном смысле назовем предельными С -множествами, а предельные множества в смысле определения 1 - предельными S -множествами.

Основным результатом параграфа 1 является характеристика множества максимальной неопределенности для S -множеств.

Теорема 1 . Для любого компакта К С С, любой мероморфной функции f(z), определенной в круге D, любой точки £ € Г, любого открытого множества H С D, для которого £ является предельной точкой, можно указать две последовательности комплексных чисел (а„), (î>„) таких, что для любого элемента g 6 Sk(J, H) последовательности (а„), (&„) содержат такие подпоследовательности (а3 ) и ), что lim p{f о g) = 0.

fc—»0о

При этом от последовательностей (а„) и (Ь„) можно дополнительно требовать, чтобы:

(1) множество АП(Д") = {anz + bn\z G К} содержалось в H для Vn G N;

^HmJsup|An(2)-Ç|] = 0;

00 z6к

(3) числа sup [|a„zi — a„Z2\] — diam\n(K),n G N образовывали ек

монотонно убывающую последовательность, и Yim^diamX^K)) = 0;

(4) sup |A„(2)j < inf |Лп+1(г)|, n 6 N.

zeK

Во втором параграфе рассматриваются граничные предельные множества мероморфных функций по последовательностям компактов, которые являются весьма важными для применения в теории функций. Они определяются поведением функции / не в области определения /, а ее поведением в граничных точках области из окрестности точки е'в.

Рассмотрим произвольный компакт К на С , произвольную функцию f(z) , мероморфную в круге D и произвольную точку £о = е'ва 6 Г, вц Е [0,2тг) . Для произвольного числа е > 0 введем следующие множества: граничное предельное множество функции /(г) в точке

S£(/,io) = П SK{f,G<\9-e0\<e),

e>0

где

SK(f, о < \e - 4)1 < e) = U SK(f, D);

O<|0-0o|<£

соответственно правое и левое граничные предельные множества функции / в точке £о

= П Sx(f,0 < во — в < е), £>0

йкЧШ = n sK(f,o<e~e0<£), t>0

где

sK(f, о<ей-в<е)= и sK(f, s, d), 0<$0~в<£

SkU, 0<в-во<е)= U SkV^D),

0<е-ва<е

и их замыкания берутся в пространстве М(К).

Теорема 2 . Пусть f(z) - произвольная мероморфная функция, определенная в круге D. Тогда

= Я) =

во всех точках границы Г круга D, за возможным исключением не более, счетного их множества.

В третьем параграфе рассматриваются предельные множества по последовательностям компактов вдоль произвольных путей. Прежде всего рассматривается предложенная в работах [2], [3] геометрия касательных граничных кривых в -О.

Определение 2 . Для любых точек г, и) 6 -О и любых кривых Ь\,Ь<1 С И , обозначим а(г,и)) = |1п[(1 + и)(1 — и)-1], где и = \г — ш||1 — гги|-1 - гиперболическое (неевклидовое) расстояние между точками г и IV круга О,

о(г,Ь\)= тГ а(г%ю) - гиперболическое расстояние между точками шбЛ 1

2 и кривой Ь\,

о(Ь\,Ь-2) — ш£ а{г,Ь<2) - гиперболическое расстояние между кривыми Ь\ и ¿2 круга V.

Определение 3 . Следуя Д. Рангу [2], неотрицательная, действительная, непрерывная функция Л(х) , определенная на некотором интервале Д = (—1,1) действительной оси, называется функцией подхода, если /г(х) - четная на Д, /г(х) = И(—х) Ух 6 Д, монотонно возрастает при х > 0 и Л(0) = О, Л(/) = 1.

Каждая функция подхода Л(х) определяет в Б два различных класса граничных кривых. Если для положительного а > 0 обозначим На(х) = Л(^) и Ьа(х) = то эти два класса граничных путей, оканчивающихся в граничной точке £ = е'в 6 Г, определяются следующим образом:

Ь\в, а) = {[1 - Л»(у> - <?)]е»""; у 6 аД + <?}, 1ь(в, а) = {[1 -К(<р~ у € Д + 9).

Можно также рассматривать правые и левые /1-кривые в точке ДХЛ(0,а) = {[1 ~К{ср~ 6))ё*\0 < у < в + /}, Ын(9,а) = {[1 - й„(у - в)\&\ -1 + 6 < у < 9], 1Ин{в, а) = {[1 - Ьа{<р - в)]е*\9 <у<в + а1), ЬЬН{9, а) = {[1 в)]е^\ -а1 + 9<у<в}.

Множества 11Ан(е,а,Ь) =

{г = ге'9 еВ:1- ка{<р - в) < г < 1- Ь,ь(<р -в),в<<р<в + а/},

ЯАн(в,а,Ь) =

{г = re'v € D : 1 - ha{y - в) < г < 1 - hb(<p ~ &),ff < <р < в + /}, где О < а < Ь,

называются правыми /i-углами с вершиной в точке f G Г. Аналогично определяются левые /i-углы в точке £ € Г.

По определению, произвольный h-угол RA/,{(,a,b) [LA/,(£,a,b)] есть подобласть в D, заключенная между правыми /i-кривыми RLh(^,a) и RLh[£,b) [ левыми Л-кривыми LLh(£,а) и L£h(Î,6)]. Число

or(L*(Ç,o);LA(Î,b)) = inf{*(*;jbA(f,e))|* eX*(Ç,b)} > О

определяет гиперболический размер раствора Л-угла а, 6). Символы Ah(6), Л/, (б) обозначают в диссертации как правые, так и левые /i-углы.

Отметим, что граничные пути {Lh(0,a)} и углы {Ак(в)} рассмотрены в статье Д. Ранга [2] , а граничные пути {£/,(#, а)} и углы (А/,(<?)} рассмотрены в статье А.Р. Хасана [3]. В случае произвольной функции подхода h (х) эти геометрии различны. В частном случае h(x) = xq, q > 1 они совпадают; при q = 1 получаем геометрию некасательных путей; при q = 2 имеем касательные пути типа орициклов. В пространстве R" соответствующие геометрии рассмотрены в статье В.И. Гаврилова, А.Н. Канатникова, C.B. Кравцева, A.A. Си-мушева [Ю]10.

Определение 4 . (Е.П. Долженко [7]). Пусть Е - произвольное множество на Г. Для заданного е > 0 обозначим -через г (s, Е) длину наибольшей открытой дуги 7, лежащей в дуговой е -окрестности

iE = {е19 € Г; \в - argÇ0| < е)

точки Ço € Г и не умеющей общих точек с Е (если такой дуги нет, полагаем r(e,Ç0,E) = 0). Величину г(£ц,Е) = =

limsup называют коэффициентом пористости множества Е

в точке

1О[10] Гаврилов В.И., Канатников А.Н., Краваев C.B., Симушев A.A.. Теоремы о максимальности для пространственных отображений и некоторые приложении. Математички весник, 38 (1986) стр.437-450.

Точка & € Г называется точкой пористости множества Е, если коэффициент г(£й,Е) > 0. Если каждая точка £ € Е является точкой пористости для Е, то Е называется пористым множеством на Г, а множество, являющееся объединением не более, чем счетного числа пористых множеств, называется сг-пористым множеством. Понятие пористого множества и о-пористого множества впервые введено Долженко Е.П. [7] Введем следующее понятие:

сИат<гН = 8ир{сг(г1, г2)|-гь -2 € Н)

- гиперболический диаметр множества Н С О.

Определение 5 . (А.Н. Канатников [5] ). Для произвольной ме-роморфной функции /(г), определенной в единичном круге И, произвольного открытого множества Н С Е>, имеющего предельную точку £ € Г, отнесем функцию д 6 5'лг(/, к множеству //), если соответствующие функции д(г) последовательности (а9п) и (Ьв определении 1 предельного множества Зк(/, Н) можно выбрать так, чтобы дополнительно к условиям (г), (п), (Иг) в определении 1 выполнялось условие (ги) <Иата\яп{К) 0 при п +оо.

В пункте 3.3 параграфа 3 диссертации рассматриваются теоремы о максимальности для мероморфных функции вдоль произвольных граничных путей (теоремы 4 и 3).

Определение 6 . Точку £ € Г отнесем к множеству (/) для мероморфной в V функции /(г), если БИ) = •!>&(/,£, А)»(0) для любого правого Н-угла с вершиной в точке Аналогично

определяется множество

Теорема 3 . Для произвольной мероморфной в круге £) функции /(г) множества ПЭ'к^) и £5£-(/) имеют своими дополнениями относительно окружностиТ множества первой категории (по Бэру).

Определение 7 . Определим следующие множества:

нк*к{/) =

{£ = е» € АШа.6)) =

для любых правых к-углов ЯА1>(9.,а,Ь),ПАн(в,а\Ь')},

ДВД) =

{С = е» б Г|5к(/, е, ЛАк(в, а,Ъ)) = ЗД, ЯАл(0, а', £>')) для любых двух правых И-углов }.

Аналогично определяют ЬК^(}) и ЬК^(}) меняя правые /¿-углы на левые.

Теорема 4 . Для произвольной выпуклой функции подхода Л(х) и произвольной мероморфной функции f в И следующие множества: Е = Г \ ЯКк{/) и Е' = Г \ ЬКк([) являются а-пористыми множествами.

Во второй части диссертации, которая состоит из двух параграфов, рассматриваются обобщенные предельные множества для многозначных отображений и их граничные предельные множества.

Определение 8 . Пусть Р : Р —> Р{Т)- многозначное отображение (М-отображение) единичного круга И в топологическое пространство Т, и точка £о = е'в° £ Г является предельной точкой некоторого множества (? С. О. Тогда предельным множеством М-отбражения Р в точке £о по множеству С называется множество

П щи ПС),

«е и(0

где 17(а- совокупность всех кругов с центром в точке £о и Р(С/ПС?) =

и ад.

геипс

сдай) = ОД $>,.£>) = П Щи Г) И)

и6<У(о

- полное предельное множество.

Как в пункте 2.2 параграфа 2, в пункте 4.2 определены граничные предельные множества для М-отображений Сд(Е,^о), Свг(Е,£о), а также сообщены некоторые топологические понятия и теоремы, необходимые для формулировки и доказательства результата параграфа 4 (теорема 5).

Теорема 5 . Пусть Р : Б —¥ Р{Т) - произвольное многозначное отображение единичного круга И : \г\ < \ в регулярное топологическое пространство Т со счетной базой. Тогда Свг(Е,€о) =

Cd{FAо) = о) 00 всех точках границы dD = Г круга D, за

возможным исключением не более, чем счетного их множества.

В последнем параграфе рассматриваются предельные множества многозначных отображений по касательным путям. Пусть г - семейство подмножеств из D таких, что

а) замыкание G любого элемента G из г входит в D{VG € t,Ü С D)\

б) для любой точки zq £ D и для любой окрестности

фо,<*) = {-г G D,a(z,z0) < 6,8 > 0}

точки zq существует G G т такое, что zq € G и G С u(z0,8).

Пусть Т - топологическое пространство Хаусдорфа (для любых двух различных точек x,i/ 6 Г существуют окрестности и(х), v{y) такие, что и(х) П v(y) = 0), имеющее счетную базу (окрестностей); / - М-отображение: т —> Р(Т); Н- любое открытое множество из D, имеющее предельную точку £ на Г, где Р(Т)- семейство подмножеств из Т.

Определение 9 . S(f,t,H) = (i £ Г, для которых существует последовательность {<?„} подмножеств из т, и х„ € f(G„), n = 1,2,..., такие, что Gn С Н, п = 1,2,..., HinJdiamG„] = О, lim [max |z — £ II = 0 u lim xn= x}.

П—>OOl2g(J 1 П-.00 " >

Определение 10 . Пусть f : t P(T);

RSh(f) = {£ € Г|5(/,€,ЛАк(в)) = 5(/,i,JD)

любого правого h-угла RAh(6) = i?.A/,(0, o,6),0 < а < Ь};

¿W) = U e r|S(/,i, LAh(0) = ß)

<?/ur любого левого h-угла LAh{9) = LAh{6, a, b), 0 < a < b}. Определение 11 . Пусть f : т —»• F(T) - М-отображение.

RKh{f) = {£ = e« 6 Г|5(/,е, A4i(fl)) = 5(/,£, ДЛ2л(0))

для любых двух правых углов

RA\(9) = RAb(9,ai,h),RAl(9) = RAh(9,a,, 6j)};

LKh(f) = {£ = e* 6 r|5(/,€,XAj(0)) = $(/,£,¿¿2(0)) Ли любых двух левых углов

ЬА\(в) = ¿Лл(0, вь Ь,), Х^(А) = LAh{d, а2| Ь2)}.

Следующие теоремы обобщают теоремы о максимальности (теоремы 3 и 4) параграфа 3. Они являются также перенесением результатов работы [8] на случай касательных путей.

Теорема 6 . Для любой функции подхода h(x) и для любого отображения f : т —>• Р(Т) дополнение к RSh(f) и к LSh(f) относительно окружности Г являются множествами первой категории (в смысле Бэра).

Теорема 7 . Для любой функции подхода h(x) и для любого отображения / : г -» Р(Т) множества Е = Г \ RKh{J) и Е' = Г \ LKh{f) являются а -пористыми множествами, в частности, линейной меры Лебега нуль и первой категории.

В заключение автор искренне благодарит своего научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора В.И. Гаври-лова за постановку задач, плодотворное их обсуждение и постоянное внимание к работе.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. BARRY В. Ensembles d'accumulations et théorèmes de maximalité par suite de compacts le long de chemins frontaliers arbitraires. J. Recherches Scientifiques Univ. cheikh Anta Diop DAKAR (в печати).

2. BARRY В. Les ensembles d'accumulations frontières des applications multivoques dans les espacese topologiques. J. Recherches Scientifiques Univ. cheikh Anta Diop DAKAR, (в печати).