Метод асимптотического интегрирования в задачах теории теплопроводности и термоупругости для тонких анизотропных тел тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВВДЕНИЕ.''.

ГЛАВА I. Поля температуры и напряжений в тонких телах (Обзор литературы),.

§1.1. Метод асимптотического интегрирования в задачах теории теплопроводности и упругости для тонких тел.

§1.2. Пограничный слой в задачах теории теплопроводности и упругости.

§1.3. Расчет температуры и термоупругих напряжений в профилированных кристаллах, выращиваемых из расплава.

§1.4. Цели работы.

ГЛАВА П. Асимптотика решения задачи теплопроводности для тонких анизотропных тел основной итерационный процесс).

§2.1. Стержень произвольного-сечения.

§2.2. Кристаллические стержни круглого и прямоугольного сечения.

§2.3. Тонкая узкая лента.

ГЛАВА Ш. Расчет температурных напряжений в тонких анизотропных пластинах.

§3.1. Асимптотическое интегрирование уравнений термоупругости для тонкой пластины в случае общей анизотропии её тепловых и упругих свойств (основной итерационный процесс).

- 3

§3.2. Асимптотические формулы для тонкой узкой анизотропной ленты.

§3.3. Анализ влияния ориентации кристаллической ленты на термоупругие напряжения, возникающие в ней при выращивании из расплава.

ГЛАВА 17. Термоупругие напряжения в тонких стержнях произвольного сечения.

§4.1. Асимптотическое интегрирование уравнений термоупругости для тонкого анизотропного стержня произвольного сечения (основной итерационный процесс).

§4.2. Структура поля напряжений при вытягивании монокристаллов из расплава.

§4.3. Расчет термоупругих напряжений в монокристаллах круглого и прямоугольного сечений.

ГЛАВА У. Пограничные слои в задачах теории теплопроводности и термоупругости анизотропного тела.

§5.1. Пограничные слои в задачах анизотропной теплопроводности для тонкого стержня произвольного сечения и тонкой узкой ленты.

§5.2. Пограничный слой в задачах теории упругости анизотропного тела.

§5.3. Построение погранслойных поправок для кристаллических. стержней круглого сечения.

Тонкие тала (стержни, пластины) широко используются в народном хозяйстве в качестве элементов различных конструкций. Обширный класс тонких тел образуют профилированные кристаллы, применяющиеся в радио- и оптоэлектронике, лазерной технике, оптике, приборостроении и других областях. Одним из распространенных методов получения профилированных монокристаллов является метод выращивания из расплава. Современная техника предъявляет высокие требования к качеству выращиваемых кристаллов. Одной из основных причин образования дефектов структуры при выращивании кристаллов из расплава является пластическая деформация под действием термических напряжений, возникающих в них при остывании по мере вытягивания. Поэтому расчет температурных палей и термических напряжений с целью управления структурой кристаллов, выращиваемых из расплава, является актуальной задачей.

Эта задача является достаточно сложной, требующей больших затрат времени даже при использовании мощных современных ЭВМ. С другой стороны, наличие малых геометрических параметров позволяет эффективно использовать при таком расчете метод асимптотического интегрирования исходных трехмерных уравнений теории теплопроводности и термоупругости. Большинство известных из литературы расчетов температуры и тепловых напряжений в кристаллах, выращиваемых из расплава, выполнялось в изотропном приближении. Широкое применение сильно анизотропных материалов требует отхода от этого цри-ближения.

Целью настоящей работы является развитие метода непосредственного асимптотического интегрирования уравнений теории теплопроводности и термоупругости в тонких телах для случая наличия общей анизотропии тепловых и упругих свойств материала; разработка алгоритмов построения внешних и внутренних асимптотических разложений в этом случае; применение разработанных алгоритмов для получения приближенных формул, описывающих температурные поля и поля термоупругих напряжений в профилированных кристаллах, выращиваемых из расплава; расчет на ЭВМ термических напряжений в некоторых монокристаллах низших и средних сингоний цилиндрической и ленточной форм.

Поставленная цель обусловила структуру диссертационной работы. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, заключения и приложения.

- 163 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Укажем основные новые результаты, полученные в настоящей работе:

1. Построен алгоритм основного итерационного процесса для решения стационарной нелинейной задачи анизотропной теплопроводности в тонком прямом стержне произвольного сечения конечной длины. Показано, что исходная трехмерная: задача расщепляется на одномерные задачи и плоские задачи в сечении стержня. Найдены три первых члена внешнего разложения и функциональная структура общего члена. Получено одномерное уравнение и граничные условия для него.

2. Исследован эллиптический пограничный слой в задаче теплопроводности для тонкого стержня в случае общей анизотропии. Найдено необходимое условие затухания пограничного слоя. Получено достаточное условие полноты и минимальности системы, состоящей из "половины" всех собственных и присоединенных функций. Изучены свойства собственных чисел, определяющих однородные решения. Найдено достаточное условие отсутствия присоединенных цепочек, гарантирующее экспоненциальное затухание погранслойных поправок. Дан алгоритм приближенного построения погранслойных поправок и получена оценка остаточного члена асимптотические представления решения исходной задачи теплопроводности.

3. Построен алгоритм внешнего разложения для решения задачи термоупругости в тонкой однородной пластине при наличии общей анизотропии тепловых и упругих свойств материала. Показано, что в ходе основного итерационного процесса решение исходной трехмерной задачи для пластины сводится к решению последовательности двумерных задач для пластины, имеющей плоскость упругой симметрии .параллельную срединной плоскости. При этом учет общей анизотропии приводит к появлению дополнительных членов в правых частях уравнений и граничных условий.

4. Построен алгоритм основного итерационного процесса для решения задачи термоупругости в тонком однородном прямом стержне произвольного сечения в случае общей анизотропии тепловых и упругих свойств материала. Показано, что исходная пространственная задача расщепляется на одномерные задачи и канонические плоские задачи в сечении. Получены соответствующие одномерные уравнения.

5. Найдены в явном виде условия затухания решения для задачи теории упругости в полуполосе со свободными длинными сторонами и неосновными условиями на торце в случае существования плоскости упругой симметрии, ортогональной образующей полуполосы. Показано, что найденные условия являются обобщением известных условий, полученных для ортотропной полуполосы.

6. Получены приближенные асимптотические -формулы, описывающие распределение температуры и термоупругих напряжений в средней части тонких кристаллических стержней круглого, квадратного и прямоугольного сечений, а также и узких лент, выращиваемых из расплава. С их помощью произведен анализ влияния ориентации выращиваемого кристалла на распределение в нем температуры и напряжений. Установлено, что для монокристаллов средних и низших сингоний применение в расчетах изотропного приближения может привести к значительным ошибкам. Применение этого приближения допустимо лишь для монокристаллов высших сингоний, а также в случаях, когда направление вытягивания мало отклоняется от оси симметрии высокого порядка.

7. Разработан алгоритм для численного решения плоской задачи термоупругости в прямоугольнике со свободной границей методом сплайн-коллокации. Полученный алгоритм применен для расчета полей термических напряжений в монокристаллах ленточной формы, выращиваемых по способу Степанова. Проведенные расчеты показали, что использование специальных нагреваемых экранов значительно улучшает качество вытягиваемых монокристаллов.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую признательность Я.С.Уфлянду за руководство, постоянное внимание и помощь в работе. Я также глубоко благодарен Э.А.Троппу за многочисленные обсуждения вопросов, связанных с решением проблем асимптотического интегрирования уравнений с частными производными как в процессе выполнения вошедших в диссертацию совместных работ, так и в повседневной деятельности. Я искренне признателен А.С.Зильберглейту, А.Н.Златину, Л.А.Бакалейникову, Ю.А.Шибанову, В.С.10фереву,а также всем участникам семинара лаборатории прикладной математики ФТИ игл.А.Ф.Иоффе АН СССР, руководимого Я.С.Уфляндом, за полезное обсуждение изложенных здесь результатов.

Я глубоко благодарен М.П.Проскура, Э.Н.Колесниковой, Н.А. Гунько и Н.И.Козловой за помощь при оформлении диссертации, а также всем сотрудникам ВЦ ФТИ, оказавшим содействие в технической реализации составленных программ и прохождении их на ЭВМ.

1. Агаловян Л.А. К теории изгибаортотропных пластин. - Инж. журн."Механика твердого тела",1966, Ж>, с.114-121.

2. Агаловян Л.А. О погранслое ортотропных пластинок. Изв.АН Арм.ССР. Механика, 1973,т.26, Ш, с.27-43.

3. Агаловян Л.А. К вопросу приведения граничных условии трехмерной задачи к двумерным в теории анизотропных пластинок. Уч.записки Ерев.Гос.ун-та, еетеств.науки,1978, т.138. Я2, с.20-28.

4. Агаловян Л.А. 0 граничных условиях в теории анизотропных пластинок. Уч.записки Ерев.Гос.ун-та, еетеетв.науки,1978, т.139, ЖЗ, с.21-30.

5. Агаловян Л.А. 0 некоторых соотношениях линейной теории анизотропных оболочек и возможностях их уточнения. Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1972, М, с. 109-120.

6. Агаловян Л.А., Хачатрян Ш.М. Взаимодействие погранслоя с внутренним напряженно-деформированным состоянием в ортотропных цилиндрических оболочках. Уч.записки Ерев.Гос.ун-та, естеств.науки, 1979, т. 141, Ш, с.53-61.

7. Агаловян Л.А., Хачатрян III.M. К вопросу определения напряженно-деформированного состояния пластинок с общей анизотропией.- XI Всее.конференция по теории оболочек и пластин (Харьков, 27 сент. I окт.1977г.) Тезисы докладов. - М.,1977,с.5.

8. Агаловян Л.А., Хачатрян Ш.М. Обобщенная ортогональность П.Ф.Папковича и условия существования затухающих решений в плоской задаче для ортотропной полуполосы. Докл.АН Арм.ССР, 1975, т.60, )Г<3, с.157-163.

9. Агаловян Л.А. Асимптотические представления решений уравнений теории упругости анизотропного тела и связанные с ними прикладные теории балок, пластин и оболочек. Автореф.Дисс.. . доктора физ.-мат.наук. Казань, 1980. - 26 с.

10. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. Успехи мат.наук,1964, т.19, JJ3, с.53-161.

11. Аксентян O.K., Ворович И.И. Напряженное состояние плиты малой толщины. ПМРД, 1963,т.27,в.6,с.1057-1074.

12. Алмуханбетов Н. Численная реализация краевых условий в задачах теории упругости. -Числ.методы механики сплошной среды,1972, т.З, JJ55, с.3-16.

13. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М. :Наука, 1973. -268 с.

14. Андреев Е.М., Антонов П.И., Бахолдин С.й., Галактионов Е.В., Юферев B.C. Оценка температурных полей и термических напряжений для полупрозрачных профилированных изделий. Изв.All СССР, сер.физич.,1976, т.40, №7, с.1426-1430.

15. Антонов П.И., Бахолдин С.И., Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Влияние анизотропии на термоупругие напряжения, возникающие при выращивании профилированных монокристаллов. Изв.АН СССР, сер.физич. ,1980,т.44, JS2, с.255-268.

16. Антонов П.И., Галактионов Е.В., Крымов В.М., Тропп Э.А. Термонапряжения в монокристаллах германия круглого сечения, выращиваемых по способу Степанова. Изв.АН СССР, сер.физ., 1976, т.40, №, C.I4I4-I4I8.

17. Антонов П.И., Галактионов Е.Б., Крымов В.М., Юферев B.C. Расчет термоупругих напряжений при выращивании лент германия способом Степанова. Изв.АН СССР, сер.физич.,1976,т.40, F7, с.1419-1425.

18. Антонов П.И., Галактионов Е.В., Крымов В.М., Юферев B.C. Влияние теплообмена кристалл-экран на термические напряжения и дислокационную структуру профилированных монокристаллов германия. Изв.АН СССР, сер.физич.,1980,т.44 Д2,с.250-254.

19. Антонов П.И., Крымов В.М., Носов Ю.Г., Галактионов Е.В. Образование полос скольжения под действием термических напряжений при выращивании профилированных кристаллов полупроводников. Изв.АН СССР, сер.физич.,1983, т.47, с.306-314.

20. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тал. М.: Наука, 1963, - 243 с.

21. Базаренко Н.А., Ворович И.И. Асимптотическое поведение решения задачи теории упрутости для полого цилиндра конечной длины при малой толщине. ПММ,1965, т.29, в.6, с.1035-1052.

22. Барта Ч., Барта Ч.(мл.), Галактионов Е.В., Крымов В.М., Триска А. Распределение температуры и термоупругих напряжений в кристаллах каломели при их выращивании из газовой фазы.- Изв.АН СССР, сер.физич.,1983, т.47,J^, с.327-333.

23. Бахолдин С.И., Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Влияние анизотропии на термоупругие напряжения, возникающие при выращивании из расплава монокристаллов круглого поперечного сечения. -Л. ,1978, 15 с. (Препринт/Физ.-техн.ин-т им.А.Ф.Иоффе: JIS92).

24. Белобородко Б.А., Тропп Э.А. Асимптотическое решение стационарной задачи теплопроводности для тонкой пластины (анизотропный нелинейный случай). Л.,1978, - 16 с.(Препринт/ Физ.-техн.ин-т им.А.Ф.Иоффе АН CCCP:J®66).

25. Бердичевский В.Л. Об уравнениях теории анизотропных неоднородных стержней. Докл. АН СССР,1976,т.228,чШ,с.558-561.

26. Бердичевский В.Л. Вариационно-асимптотический метод. В сб.: Некоторые вопросы механики сплошной среды. - М.:изд-во MET,1978,с.271-289.

27. Бердичевский В.Л. Высокочастотные длинноволновые колебания пластин. Докл.АН СССР, 1977, т.236Д6,с.1319-1321.

28. Бердичевский В.Л. Вариационно-асимптотический метод построения теории оболочек. ШМ,1979,т.43,в.4,с.664-687.

29. Бердичевский В.Л., Квашнина С.С. Об уравнениях, описывающих поперечные колебания упругих стержней. ПММ,1976,т.40,в.I,с.120-135.- 170

30. Бердичевский В.Л. Об энергии упругого стержня. ПММД981, т.45,в.4,с.704-718.

31. Бердичевский B.JI. К доказательству пршщипа Сен-Венана длятел произвольной .формы. ШМ, 1974,т.38,в.5,с.851-864.

32. Бердичевскии В.Л. Энергетические методы в некоторых задачах о затухании решений. ПММД978,т.42,в.1, с .136-151.

33. Биллиг Е. Дефекты, вызванные термическими напряжениями в- кристаллах, выращенных из расплавов. В кн.-."Кремний". -ИНД960,c.I3I-I62.

34. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир,1964. - 517 с.

35. Вандакуров И.10., Галактионов Е.В. Расчет тепловых полей и полей термоупругих напряжений в кристаллических стержнях, выращиваемых из расплава по способу Степанова. Л.,1981. - 42 с.(препринт/Физ.-техн.ин-т им.А.Ф.Иоффе:$741).

36. Вандакуров И.Ю., Галактионов .Е.В. Асимптотический расчет температуры и термоупрутих напряжений в кристаллических стерших, выращиваемых из расплава по способу Степанова. -Изв.АН СССР,сер.физич.,1983,т.47,В2, с.279-285.

37. Васильев М.Г., Юферев B.C. Применение сплайнов для аппроксимации разрывных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. ЖВМ и МФ, 1977,т.17,М,с.1053-1058.

38. Васильев М.Г., Юферев B.C. Процедура вычисления значений полиномиальных базисных сплайнов и их производных. В сб.:

39. Алгоритмы и математическое обеспечение для физических задач, М. Л. ,1976, с.81-89.

40. Вахрам.еев С.С., Освенский В.Б., Смирнов В.А. Связь дислокационной структуры монокристалла с полем термических напряжений в процессе выращивания слитка из расплава. В сб.докл.1У Всес.сов.по росту кристаллов (Цахкадзор,1972). - Ереван, I972,c.8I.

41. Вахрамеев С.С. Расчет термических напряжений в кристаллах, выращиваемых из расплава. В кн.: Вопросы теории кристаллизации, ч.П (ученые зап.Латв.Гос.ун-та им.П.Стучки,т.237). - Рига,1975,с.Ю1-122.

42. Веревочкин Г.Е., Смирнов В.А. Исследование температурного поля монокристаллов германия. Труды Моск.ин-та инж.железнодорожного транспорта, 1965,в.189, с.133-147.

43. Виленская Т.В., Ворович И.И. Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для сферической оболочки малой толщины. EMM, 1966,т.30,в.2, с.278-295.

44. Вишик М.И., Люстерншс Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи мат.наукД957,т. 12,Я5 (77), с.3,-122.

45. Випшк М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. УМН,1960,т. 15, Jf8(93),с.3-80.

46. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями. УМН, 1960,т.15,М(94), с.27-95.

47. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек. П Всес.съезд по теоретич.и прикл.механике (29 января-5 февраля 1964г., Москва). Обзорные доклады. - М., Наука,1966, в.З, с.116-136.

48. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек. В кн.: Материалы I Всес.школы по теории и числ.методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси: изд-во Тбилисского ун-та,1975,с.51-150.

49. Ворович И.И., Ковальчук В.Е. О базисных свойствах одной системы однородных решений. ПММ,1967,т.31,в.5,с.861-869.

50. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.:Наука,1974. - 456 с.

51. Воронков В.В. Дислокационные скопления и малоугловые границы, возникающие в поле термических напряжений. Кристаллография, 1976, т.21, в.1,с.23-29.

52. Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Асимптотическое интегрирование уравнений термоупругости для тонкой анизотропной пластины. -Л. ,1977. -12 с. (Препринт/Физ.-техн.ин-т им.А.Ф.Иоффе:JS546).

53. Галактионов Е.В. Асимптотика решения нелинейной задачи анизотропной теплопроводности в тонком стержне произвольного сечения. -Л., 1982. 21 с.(Препринт/Физ.-техн.ин-т им.А.Ф. Иоффе : 1Б778).

54. Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Асимптотический метод расчета термоупругих напряжений в тонком стержне. Изв.АН СССР,сер. физич.,1976, т.40,^7, с.1399-1406.

55. Галактионов Е.В., Колесникова Э.Н. ,10ферев B.C. Решение стационарной задачи термоупругости в прямоугольнике методом сплайн-коллокации на вложенных сетках (анизотропный случай). Л.,1981. - 24 с. (Препринт/Физ.-техн.ин-т им.А.Ф.Иоффе: 1732).

56. Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Стационарная задача термоупругости для тонкого анизотропного стержня произвольного сечения. Л.,1977. - 25 с.(Препринт/Физ.-техн.ин-т им.А.Ф.Иоффе: 1S56).

57. Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Пограничный слой в задаче анизотропной теплопроводности для тонкого стержня произвольного сечения. Л.,1982,-30с. (Препринт/Физ.-техн.ин-т им.А.Ф. Иоффе: F786).

58. Галактионов Е.В., Златин А.Н. Процедура вычисления корнейхарактеристического уравнения Ииффа. В сб.: Алгоритмы иматематическое обеспечение для физических задач, 1аЗ. -Л., 1978, с.93-102.

59. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. ПММ,1962,т.26,в.4,с.668-686.

60. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. ПММ,1963,т.27, в.4, с.593-608.

61. Гольденвейзер А.Л., Колос А.В. К построению двумерных уравнений теории тонких пластинок. ПММ,1965,т.29,в.I,с.141-155.

62. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. 2-е изд. перераб. и дополн. - М.: Наука, 1976. - 512 с.

63. Губанов А.И., Нраньян А.А. Распределение температуры в германии при его вытягивании из расплава. Изв.АН СССР,сер.физ.,1969, т.ЗЗ,М2, с.1963-1969.

64. Гуров Б.Г., Брошенко Е.П., Кутняшенко В.М. Об одном методе реализации граничных условий в задачах упругости. %сл. методы механики сплошной среды, 1973,т.4,Ж5, с.8-16.

65. Гусейн-Заде М.И. О некоторых свойствах напряженного состояния тонкого упругого слоя. ПММ,1967,т.31,в.6,c.II32-II40.

66. Гусейн-Заде М.И. О необходимых и достаточных условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы. ПММ, 1965,т.29,в.4,с.752-760.

67. Джавадов М.Г. Асимптотика решения краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка в тонких областях. Дифференциальные уравнения,1968,т.4, МО, с.1901-1909.

68. Джавадов М.Г. О полноте некоторой части собственных функций несамосопряженного дифференциального оператора. Докл.АН СССР, 1964, т. 159, М, с.723-725.

69. Елисеев В.В. Применение асимптотического метода в задаче о равновесии криволинейного стержня. Изв.АН СССР, Механика тв. тела, 1977,153, с. 145-150.

70. Елисеев В.В. О построении одномерных моделей в теории равновесия упругих стержней. Автореф.Дисс. . . .канд.физ.-мат.наук. JI. ,1977. - 14 с.

71. Завьялов Ю.С., Мирошниченко В.Л., Роменский В.П. О сходимости метода сплайн-коллокации для уравнения эллиптического типав прямоугольной области. В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы,87). - Новосибирск,1981,с.62-76.

72. Зильберглейт А.С., Копилевич Ю.И. О свойствах волн, связанных с квадратичными операторными пучками. Докл.АН СССР,1981,т.256, Ш, с.565-570.

73. Зино И.Е., Тропп Э.А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупрутости. Л.:Изд-во ЛГУ,1978,-224 с.

74. Имамов А., Роменский В.П. Метод сплайн-коллокации для уравнения Пуассона в прямоугольной области. В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы,75). - Новосибирск,1978,с.56-67.

75. Инденбом B.JI., Житомирский И. С., Чебанова Т. С. Внутренние напряжения, возникающие при выращивании кристаллов в стационарном режиме. Кристаллография,1973,т.18, И, с.39-48.

76. Инденбом B.JI., Сильверстова И.М., Сиротин Ю.И. Термоупругие напряжения в анизотропных пластинах. Кристаллография, 1956,т. I, Jffi, с.599-603.

77. Квашнина С.С. Высокочастотные длинноволновые колебания упругих стержней. ШЛИ,1979, т.43,в.2, с.335-341.

78. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. Докл.АН СССР,1951,т.77, И, C.II-I4.

79. Ковальчук В.Е. Некоторые математические вопросы, связанные со второй основной задачей теории упругости для круглой плиты.- В сб.: Математический анализ и его приложения. Ростов н/Д, Изд-во Ростовского ун-та,1969, с.104-115.

80. Колос А.В. Методы уточнения классической теории изгиба и растяжения пластинок. ПММ,1965,т.29,в.4,с.771-781.

81. Костюченко А;Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. Труды семинара им.И.Г.Петровского. - М.:изд.МГУ,1981,1. В.6,с.97-146.

82. Коул Дк. Методы возмущений в прикладной математике. М. :Мир, 1972. - 274 с.

83. Курант Р., Гильберт Д. Методы-математической физики. 3-е изд.испр. ,т.1, - М.-Л.: Гостехиздат,1951, - 476 с.

84. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. - 407 с.

85. Лахтуров С.С. Оценки решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений в неограниченных областях: Автореф.Дис.канд.физ.-мат.наук. М.,1981, - 12 с.

86. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз,1963, - 358 с.

87. Лебедев Н.Н., Скальская И.П. Некоторые задачи теории теплопроводности для клиновидных тел. I.- ЖТФ,1964,т.34,1£, с.801-808.

88. Лебедев Н.Н., Уфлянд Я.С. Осесимметричнач контактная задача для упругого слоя. ПММ,1958,т.22, в.З, с.320-326.

89. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.-Л.: ГИЗТТЛ,1943. -286 с.

90. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. 2-е изд.перераб.и доп. - М.: Гос.изд-во технико-теор.лит-ры,1957, - 463 с.

91. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971. - 240 с.

92. Лехницкий С.Г. Теория упрутости анизотропного тела. 2-е изд.перераб. и доп. - М.: Наука,1977,- 416 с.

93. Лионе Ж.-Л., Мадженее Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир,1971. - 342 с.

94. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир,1974. -540 с.

95. Ломов С.А. Введение в обшую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. - 398 с.

96. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛД955. - 491 с.- 178

97. Маслов Н.М. Асимптотическая теория термоупругости тонких оболочек. Изв.АН СССР. Механика тв.тела,1977,М,с.151-156.

98. Мильвидский М.Г., Освенский В.Б. Получение совершенных монокристаллов. В кн.: Проблемы современной кристаллографии.- М.: Наука, 1975, с.79-109.

99. Мильвидский М.Г., Смирнов В.А., Старшинова И.В., Щелкин Ю.Ф. К анализу тепловых условий выращивания монокристаллов методом Чохральского. Изв.АН СССР, сер.физич.,1976,т.40, F7, с.1444-1451.

100. НО. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. 2-е изд.перераб.и доп. М.: Наука, 1970- 512 с.

101. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 432 с.

102. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. - 316 с.

103. Никишин B.C. Термонапряженные состояния сплошного и полого цилиндров при произвольном распределении температуры по высоте. М,,1962. - 66 с. (Сообщения по вычислит.матем./ ВЦАН СССР:вып.1).

104. Нуллер Б.М. О соотношении обобщенной ортогональности П.А.Шиффа. Прикл.мат.и мех.,1969,т.33,в.2, с.376-383.

105. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Об условиях затухания и предельном поведении на бесконечности решений системы уравнений теории упругости. Докл.АН СССР,1981, т.288, JB3, с.550-553.

106. Освенский В.Б., Шифрин С.С., Мильвидский М.Г. Закономерности разшожения дислокаций в полупроводниках при высоких температурах. Изв.АН СССР,сер.физ.1976,т. 37, HI, с.2357-2361.

107. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы. Докл.АН СССР,1940, т.27, М, с.335-339.

108. Пикин Ю.Д., Смородин А.И. Алгоритм численного интегрирования осциллирующих функций. В сб.: Алгоритмы и алгоритмические языки, вып.З, - М.; ВЦ АН СССР,1968,с.79-82.

109. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные напряжения в тонких пластинках. Киев: Наукова думка,1972.-347с.

110. Получение профилированных монокристаллов и изделий способом Степанова/ П.И.Антонов, Л.М.Затуловский, А.С.Костыгов и др. Л.: Наука,1981. - 280 с.

111. Понятовский В.В. Применение асимптотического метода интегрирования к задаче равновесия тонкого бруса, произвольно нагруженного на боковой поверхности. Инж.журн. Механика твердого тела, 1968, Ш,с.139-143.

112. Понятовский В.В. Асимптотическая теория изгиба кривого бруса. В сб.: Исследования по упругости и пластичности. 9. - Л.: изд.ЛГУ, 1973, с.341-359.

113. Понятовский В.В. Асимптотические разложения в линейной теории плоских стержней. В кн.: Проблемы механики твердого тела. - Л. ,1970, с.341-351.

114. Прокопов В.К. Равновесие упругого осесимметрично нагруженного толстостенного цилиндра. ПММ,1949, т.13, Ш9 с.135-144.

115. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям. Труды Ленингр.политехи.ин-та, 1967, Ja279,c.3I-46.

116. Прокопов В.К., Бабешко М.Е., Стрюк В.К. Применение однородных решений к осесимметричной задаче термоупругости для цилиндров конечной длины. Прикл.мех.,1977, т.13, М2,с.З-8.

117. Проскура М.П., Юферев B.C. Программа бикубической сплайн-интерполяции в прямоугольной области. В сб.: Алгоритмы и математическое обеспечение для физических задач, .Ш, -Л.,1983, с. II6-I30.

118. Радзиевский Г.В. Об одном методе доказательства полноты корневых векторов оператор-функций. Докл.АН СССР,1974, т.214, Ш, с.291-294.

119. Радзиевский Г.В. Задача о полноте корневых векторов в спектральной теории оператор-функций. Успехи мат.наук,1982, т.37, №, с.81-145.

120. Рис с Ф., Секефальви -Надь Б. Лекции по функциональному анализу. -2-е изд.,перераб.и доп. М.: Мир,1979, - 587 с.

121. Рогачева Н.Н. О методе расчленения напряженного состояния в оболочках отрицательной кривизны с асимптотическими краями. ПММ, 1975, т.39, в.2, с.333-341.

122. Рогачева Н.Н, Свободные термоупругие оболочки. ПММ,1980, т.44, в.З, с.516-522.

123. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. - 552 с.

124. Свойства элементов. Справ очник ./Под ред.Г.В.Самсонова.- 181 2.е изд.перераб.и доп.,ч.1, ГЛ.: Металлургия, 1976. -600с.

125. Сиротин Ю.И. Температурные напряжения, возникающие при нагревании и охлаждении монокристаллов. Кристаллография, I956,T.I,J&, с.708-717.

126. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука,1975. - 680 с.

127. Таблицы физических величин. /Под ред.И.К.Кикоина.- М.: Атомиздат,1976. 1006 с.

128. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика. УМН, 1970, т.25, М(154), с.123-156.

129. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе. ПММ, 1973, т.37, в.4, с.706-714.

130. Устинов Ю.А. О полноте системы однородных (элементарных) решений теории плит. ПММ, 1976, т.40, в.3,с.537-543.

131. Фомин А.В., Засимчук И.К. Термические условия получения бездислокационных монокристаллов меди. Изв.АН СССР,сер. физ.,1980, т.44, с.304-309.

132. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов.11-УФНД961, т.74, в.З, с.461-520.

133. Хачатрян Ш.М. К определению напряженно-деформированного состояния анизотропной полосы.-Изв.АН Арм.ССР.Механика, 1976, т.29, с.19-32.

134. Хачатрян Ш.М. О напряженных состояниях и определяющих ихуравнениях цилиндрических оболочек с общей анизотропией.- Изв.АН Арм.ССР. Механика, 1979, т.32, JF3, с.26-41.

135. Чернышев Г.Н. Представление решений типа Грина уравнений оболочек методом малого параметра. ПММД968, т.33, в.6, с.1083-1088.

136. Шашков Ю.М., 1уревич В.М., Силкин В.Б. Расчет теплового поля монокристаллов кремния при выращивании из расплава.- Изв.АН СССР,сер.физич.,1969, т.33, М2, с.1974-1979.

137. Шашков Ю.М., Силкин В.Б., Елецкан Н.И. Расчет теплового поля слитков кремния квадратной и прямоугольной форм, выращиваемых способом Степанова. Изв.АН СССР,сер.физич., 1973, т.37, Ш, с.2458-2461.

138. Antonov P.I., Galaktionov E.V., Krymov V.M., Kolesnikova E.N., Yuferev V.S. The formation of a dislocation structure in ribbon-shaped, germanium single crystals under thermal stress. J.Crystal Growth,1980, v.50,p.325-329.

139. Antonov P.I., Bakholdin S.I., Galaktionov E.V., Tropp E.A., Hikanorov S.P. Anisotropy of thermoelastic stresses in shaped sapphire single crystals. J.Crystal Growth,1981, v52, p. 404-4Ю.

140. Bell A.E. Thermal analysis of single-crystal silicon ribbon growth processes. RCA Review,1977,v.38,p.109-138.

141. Boley B.A. The determination of temperature,stresses and deflections in two-dimensional thermoelastic problems. -J.Aeronautical sciences, 1956,v.23,H1,p. 67-75.

142. Brice J.C. Analis of the temperature distribution in pulled crystals.- J.Crystal Growth,1968,v.2,p.395-401.- 183

143. Choi I., Horgan C.O. SaintVenant's principle and end effect in anisotropic elasticity. J.Appl.Mech.,1977, v.44, N33 ,p.424-430.

144. Cox M.G. An algorithm for spline interpolation. J.Inst. Math.Appl.,1975,v.15,N1,p.95-108.

145. De Boor C. A practical guide to splines. Appl.math.se., v. 27, Springer-Verlag, 1978. - 147 p.159* De Saint-Venant B. Memoire sur la torsion des prismes. -Mem.Divers Savantsm, 1855,v.14,p.233-560.

146. Friedrichs K.O., Dressier R.F. A boudary-layer theory for elastic plates. Commun.pure and appl.math.,1961,v.14,N1, P.1-34.

147. Green A.E. On the linear theory of thin elastic shells. -Proc.Roy.Soc.,London Ser.A, 1962, v.266,N1325, p.301-313.

148. Green A.E. Boundary-layer equations in the linear theory of thin elastic shells. Proc.Roy.Soc.,London Ser.A,1962, v.269,N1339, p.481-491.

149. Gurtler R.W. Nature of thermal stresses and potential for reduced thermal buckling of thin silicon ribbon grown a high speed. J.Crystal Growth,198Q,v.50,p.69-82.

150. Harry W.E. Axisymmetric thermal stress in a thin circular disk by the method of matched asymptotic expansions. -Int.J.Solid and Struct.,1977, v.13,N1,p.17-38.

151. Jordan A.S., Caruso R., Neida A.R. A thermoelastic analysis of dislocation generation in pulled GaAs crystals. The Bell System Technical Journal,1980,v.59,N4,p.593-638.

152. Kobayashi N., Arizumi T. The numerical analysis of the solid-liquid interface shapes during the crystal growthby the Czochralski method. Japanese J.Appl.Physics,1970,v.9,N4, p.361-367.

153. Little R.W.,Childs S.B.Elastostatic boundary region in solid cylinder. Quart.appl.math.,1967,v.25, N3,p.261-274.

154. Penning P. Generation of imperfections in germanium crystals by thermal strain. Philips Research Reports,1958,v.13,1. N1,P.79-97.

155. Pisanty A., Tene Y. Equilibrium equations for plane slender bars undergoing large shear deformations.- . Acta mech., 1973,v.17, N3, p.263-275.

156. Rigolot A. Theorie asymptotique des milieux curvilignes et equilibre elastique d'un cylindre infiniment elance. C.r. Acad.sci., 1971,serA,v.272,Fl 1,p.753-756.

157. Rigolot A. Theorie asymptotique des milieux curvilignes. Comparaison avec la solution exacte,estimation de l'erreur.- C.r.Acad.sci.,1971,ser.A,v.272,N26, p.1739-1742.

158. Rigolot A. Sur une theorie asymptotique des poutres droites.- These de doctorat d'etat es sciences mathematiques. Paris, A l'univ. Pierre et Marie Curie. 252 p.

159. Schiff P.A. Sur 1'equilibre d'une cylindre d'elastique. -J.Math, pures et appl.,1883,v.9,ser.3,p.930-936.

160. Simmons G., Wang H. Single crystal elastic constants and calculated aggregate properties. Cambridge:MII Press, 1971. - 371 p.

161. Sternberg E. On Saint-Venant's principle. Quart.Appl.Math., 1954,v.11, N4,P.393-402.

162. Toupin R.A. Saint-Venant's principle. Arch.Ration.Mech. and Analysis, 1965, v.18, N2, p.83-96.

163. Warren W.E., Roark A.L. A note on the end effect in isotropic cylinders. -Amer.Inst.Aeronaut.Astr.J.,1967,v.5,W8,p.1484-86.