Метод энергетических неравенств и операторов осреднения в теории линейных граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственый университет

Р Г Б ОД

1 п ЙЮН

• '-> "и" ' На правах рукописи

Корзюк Виктор Иванович

Метод энергетических неравенств и операторов осреднения в теории

линейных граничных задач: для дифференциальных уравнений с частными производными

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание учёной степени доктора' физико-математических наук

Минск — 1994

Диссертация выполнена на кафедре математической физики Белорусского государственного университета

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор Алексей Алексеевич Дезин

доктор физико-математических наук, профессор Виктор Иванович Буренков

доктор физико-математических наук, - профессор Яков Валентинович Радыно

Ведущая организация — Московский энергетический институт

Защита состоится 14 июня 1994 года в 12— часов на заседании специализированного совета Д 006.19.02 по защите докторских диссертаций в Институте математики АН Беларуси (220072, Минск, ул. Сурганова 11, к.79)

С диссертацией можно ознакомиться в Институте математики АН Беларуси

Автореферат разослан мая 1994 года

Учёный секретарь специализированного совета ^" х^Г

кандидат физико-математических

наук С.И. Гайдук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 30 -х годах Ж. Адамаром было введено

«

понятно корректной задачи. Отыскание" корректно поставленных задач и доказательство разрешимости, единственности решений и непрерывной зависимости их от данных задач наряду с численным решением является неотемлемой частью математического моделирования различного рода задач естествознания.

Изучение задачи Коши И.Г.Петровским, результаты которого были опубликованы в 1937 году, явилось основополагающим фактором создания современной теории дифференциальных уравнений с частными -роизводными. Теория разрешимости различного рода задач для дифференциальных уравнений и их систем с частными производными получила свое дальнейшее развитие используя различные методы функционального анализа. Одним из таких средств является энергетическое неравенство. Пол энергетическим неравенством понимается неравенство вида

И1д<<11Мк (0.1)

для любой функции и из области определения оператора Ь и некоторой константы с > 0, не зависящей от и, где Ь — оператор, порождённый рассматриваемой задачей, и действует из банахова пространства В в гильбертово пространство Н, || • \\ц и || • — значения норм в пространствах В и Н соответственно. Затем появилась теория разрешимости задач для дифферепциалыю-операторных. уравнений. При доказательстве теорем о существовании решения наряду с неравенством (0.1) или различного рода его модификациями используется эллиптическая теория, интегральные преобразования, операторы осреднения и другие методы. Однако, наг ример, при изучении многих ( мешанных и

других задач для нестационарных уравнении, заданных и нецшшн-дрпческих областях, т.о. б областях, изменяющихся со временем, нельзя автоматически перенести известные методы доказательства разрешимости на этот случай. В то же время рассмотрение такого рода задач диктуется многими реальными физическими задачами при моделировании конкретных явлений. В книге Ж. -Л. Ллонса, и Э. Мадженсса "Неоднородные граничные задачи и их приложения'^ М., 1971) отмечена в качестве одной из проблем (стр. 341, пробд. 13.7) актуальность изучения задач для уравнении эволюционного типа в нецилиндрических областях.

Дальнейшее развитие теории разрешимости граничных задач для линейных дифференциальных уравнений с частными производных/и представляется актуальной и важной и с точки зрения развитии самой теории, и с точки зрения приложений.

Научная новизна, теретическая и практическая значимость работы. В диссертации разрабатывается основанный на, априорных энергетических неравенствах (0.1) и операторах осреднения переменного шага метод исследования граничных задач для линейных дифференциальных уравнений

Lu = F, (0.2)

используя и развивая идеи метода И.Г. Петровского — Дж. Лере — Л. Гординга — A.A. Дезина — O.A. Ладыженской. Введение операторов осреднения связано в определённом смысле с аппроксимацией заданных функций с помощью бесконечно дифференцируемых или других более гладких функций. В своих исследованиях С.Л. Соболев и К.О. Фридрихе в качестве операторов осреднения предложили интегральные операторы с бесконечно дифференцируемым ядром. На .основе конструкций этих интегральных операторов с бесконечно диффереп-

цируомым ядром и разбиении единицы в работах Дени, Лмонса и Вуренкова предложена конструкция операторов осреднении с переменным шагом, которые позволяют учитывать и граничные условия. Операторы осреднения позволяют строить последовательность гладких функций, стремящихся о определённом смысле к заданной функции, для разбиения единицы, для интегрального представления, для продолжения функций. Операторы осреднения с переменным шагом вместе с энергетическими неравенствами непосредственно можно использовать при доказательстве разрешимости многих граничных задач для дифференциальных уравнении с частными производными, что и делается в диссертации. На основе этою г >лучены новые результаты относительно постановки и доказательства разрешимости новых граничных задач, исследованы некоторые новые классы линейных дифференциальных уравнений. В диссертации предложены новые подходы и методика вывода энергетических неравенств для некоторых класс >в уравнений при доказательстве теорем существования и единственности решений рассматриваемых задач, в частности : при изучении задачи типа Дирихле для уравнений 3-го порядка (гл.4), граничных задач для относительно заданного поля гиперболических уравнений (гл.2), задачи сопряжения, моделирующие диффузию примесей (гл.5), колебания после удара (гл.о) и др.. Однако следует отметить, что в диссертации не ставилась задача максимально охватить классы дифференциальных уравнений и задачи для них, которые можно исследовать на разрешимость с помощью метода энергетических неравенств и операторов осреднения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных ^еминарах в Белорусском государственном университете и Белорусского Математического общества, на Республиканских конференциях математиков Беларуси [18-20], на

Всесоюзной конференции по уравнениям с частными прои.¡водными, посвященной 75-летию го дня рождения И.Г. Петровского [21], в Школе по теории операторов в функциональных пространствах [22], в Школе "Современные методы в теории красных задач1' [23], на Всесоюзной научно- технической конференции " Динамическое моделирование сложных систем" [24].

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-17].

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 255 страницах, состоит из оглавления, введения, шести глав, объединяющих двадцать четыре параграфа, и списка литературы, состоящего из 252 наименований.

Содержание работы

Первая глава посвящена операторам осреднения. Будем через Л" обозначать n-мерное евклидово пространство точек х = = {х\,. Операторы переменного шага определяются с по-

мощью разбиения единицы и операторов осреднения C.JI. Соболева и К. О. Фридрихса с бесконечно дифференцируемым ядром и постоянным параметром

Jsu(x)^yjuj^-^ju(y)dy, (0.3)

Я"

где функция и>(х) G Cg°(Jt"), и(х) > 0, носитель supp ш(х) С {х ¡ ¡x| <

< 1}, Ju(x)dx = l,

R"

C'e'(fín) — множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Пусть П — ограниченная область в Iin. Обозначим через fí¿ множества точек х € ÍÍ, удалённых от границы di} области О не менее, чем на 6. Л алее полагаем G-¡ = ^(пустому

множеству) , G'o = lii, Grn — il j^. — ii.j,, m — 1,2, 3,....

Лемма 0.1 ( о paJintnuu единицы ). Пусть il открытое множество и 7?". Существует такая последовательность неотрицательных фупкциа V,„(s) € С°°(П")(множеству бесконечно дифференцируемых функций о R" ),т —0,1,2,..., что

1) Z

m=0 ' I (), -г f. Si;

ос

2) П = (_j suppt/'m, причём кратность покрытия множества П

т=О

множествами supp фт не превышает двух;

3) supp фт С <?,„_! U Gm U <7т+ь т = 0,1,2,...;.

4) для любого мулъгпииндекса а = (tkj,...,а„

) \Dai>m{x)\ <

< с(,2'"'п', где сп зависит только от at, ¡cv| — c*i -Ь ... + л„, D°V'm =

~ Ох,"' ...дхи""-

Рассмотрим осреднения

ос

= (0.4)

rn=О

оо

= Л»» (</'*.") (ж), (0.5)

ni=0

где Jbmi — операхо])ы осреднения Соболева (0.3), фт(х) — функции из леммы 0.1, 6mk < 2_m_4, <5mt = 6т¡¡(и) выбираются в зависимости от функции и, <">„,). —» 0 при к —> оо. Операторы осреднения J к и являются сопряженными относительно скалярного произведения в Li(Q) и сохраняют значения функции и на ail при соответствующем выборе параметров 6mi, если след и определен на 0Q.

Похожим образом можно строить разбиение Q не только относительно dfl, но и относительно любой гиперповерхности, находящейся внутри Q, и, следовательно, операторы осреднения,

сохраняющие значения осродняемой функции на этой гиперповерхности.

Операторы осреднения с переменным шагом (0.4) и (0.5) вместо с энергетическими неравенствами используются при доказательство разрешимости многих граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Лля этого нужны многие оценки операторов осреднения и коммутаторов их с дифференциальными операторами. Всем этим вопросам, касающимся свойств названных операторов осреднения, и посвящена первая глава.

В диссертации для граничных задач строятся расширения их операторов таким образом, чтобы множества значений совпадали с некоторым подходящим функциональным пространством. Расширения делаются по норме и с помощью интегрального тождества. В первом случае решение уравнения для расширенного оператора называется сильным решением, а во втором —- слабым решением исходной задачи. Рассматриваемую задачу можно записать > в виде операторного уравнения (0.2),. где оператор Ь действует в паре подходящих пространств В и Н, В — банахово пространство, Н — гильбертово пространство. Оператор Ь допускает замыкание Ь. Решение уравнения

Ьи'= Р

называется сильным решением уравнения (0.2) или задачи, порождающей это уравнение.

¡В первом параграфе второй главы доказываются при наличии энергетического неравенства общие теоремы для Ь о совпадении множеств В{Ь) = ЩЬ), и методом продолжения по параметру равенство И(Ь) = Я, если для главной части ¿й ЩЬо) — Н, 1ЦЬ) - смыкание в Н Я(Ь) (множества значений оператора X).

В чтой же главе изучаются граничные задачи для линейных дифференциальных уравнении второго порядка

♦

£(.Л D)„ = = А*). (°-6)

1«!<2

где nlt{x),f(.r) - заданные (функции независимых переменных х в области (J С /?"- Введём определение гиперболичности уравнения (0.0) относительно заданного поля векторов. Предположим, что в /?" задано векторное поле Ы класса С1, элементами которого являются единичные вектора rj(x) = (j/i(:c), ..., j/„(:j;)), |;/(х)|2 = = ф) + ... + ,£(х) = 1.

Определение U.1 Уравнение (0.6) в точке х £ Q относительно направления //(.г) бцдс-м напивать гиперболическим, если:

(i) характеристический полином £q(x,t](x)) — ^ ^ па(х)х

|а| =2

Х7/"'... г}Ц"(х) отличен от пуля (для определённости читаем £о(х, i](~i')) > Я, V) — некоторое, положительное число);

(/»') полипом Cq(x, r>i(x) -Ь £(х)) относительно т £ ; R1 имеет два действительных различных корпя, где £(х) — (ii(-t), £п{х))<

п

{Г)Ш{Х)) = =0, |i(®)| = 1.

i=i

Уравнение (0.6) относительно векторного поля К является гиперболическим в Q С i?", если оно гиперболично в каждой точке х € Q относительно i](x) £ К.

Граница DQ области' Q является кусочно-гладкой. С помощью характеристического полинома £o(x,£(.x')),vвекторов rj(x) € G Н и внешней нормали v(x) dQ разобьём на части, на которых либо задаются условия Коши, либо условия Гурса, либо другие граничные условия, либо отсутствуют условия. Множество векторов ((ж) - ■ ■ ■ € Лп, удовлетворяющих уравнению

£о(.т, £(;r)) = 0, представляет собой характеристический конус в п мерном евклидовом пространстве с вершиной в начале координат.

Для точки х 6 Q рассматриваем характеристический конус, описанный выше, с вершиной в точке х. Обозначим через fí векторное поле в Q элементов r(x) = (ri(r),... ,г„(х)), которое определяется следующими требованиями:

(^i) для каждой точки х € Q и любой двумерной плоскости jt(.t), проходящей через вершину характеристического конуса Сц(х,£(х)) = 0 и вектор v(x), r(x) = bi(x)r1(x) + 1>2(х)г2(х), где коэффициенты b'(x) > ¿i > О (г = 1,2), векторы г'(.т) находятся в плоскости тт(:г), образуют острый угол с вектором г/(:е) и пер-пендиккулярны соответственно векторам СЧ1) и С2(:г)> получаемым в результате пересечения 7т(;г) с £9(а:, £ (а:)) = 0; (Э?2) поле SR из класса С1.

Обозначим через г„ скалярное произведение г(а:) и v{x), т.е.

п

ГЛХ) = ri(x)v¡(x).

»=1

Предположим, что граница dQ состоит из следующих пяти видов гиперповерхностей:

50 = € dQ S, = {х € dQ S2 = {xe dQ s3 = {xedQ

51 = {xe dQ

C0{x; i/(i)) > S, rv{x) >0, ö > 0}; C0(x-,v{x))=Q, r„(»)>0}; C0(x;u(x)) <-S}; A»(r;«/(»)) =0, г„{х) <0}; £c(z;v(x)) >6, r„(x)< 0};

Условие 0.1 Область Q такова, что существуем векторное поле 5?, удовлетворяюУ1,ес требованиям (3?|) и (Ж2), для которого скалярное произведенье тг < 0 для почти всех х 6 ¿2, где и(х) — единичный вектор внешней по отношению к Ц нормали в точке

хSi.

К уравнению (().!)) присоединим следующие граничные условии:

♦

"!>•, = 0, (0.7)

= V(.r), X е S4, (0.8)

Op

s,

о

где производная по направлению р из векторного поля р, ко-

торое не является касательным к 5'.|. Предполагается также, что р из класса С1. Задачу (0.6) (0.8) можно рассматривать как операторное уравнение (0.2) с

Lu = (CuJuuJiu), F = (f(x),<fi(x),ij'(r.)),

D(L) = {« 6 Сг((?)|и удовлетворяет условиям (0.7). }.

Обозначим через #'(fi) пространство Соболева квадратично суммируемых вместе с квадратично суммируемыми обоб, ёнными производными до порядка I функций, заданных в О, а пространство только квадратично суммируемых функций обозначим чере-: Ь2(П) = Д°(П).

Пусть S(x) сечение области Q, проходящее через точку х £ Q, и такое, что:

1. £о(?Л"(?/)) > <"> > 0 для почти всех точек у £ 5(ж), где v(y) — единичный вектор нормали к поверхности S(x) в точке у 6 S(.r).

2. S(x) является кусочно-гладкой гиперповерхностью и такой, что гладкие части её являются поверхностями класса С1.

Для задачи (0.6)-(0.8) п качестве В берётся банахово пространство, полученное замыканием множества 0{Ь) по норме

а в качестве H —- произведение гильбертовых пространств L->{Q) х xH] {S.i) X L2{S.¡), где Hjf(S.i) - пополнение множества {»'(.,"! £ € С'1 (5-1 )i 0} по норме FIl(S¡). При достаточной глад-

кости коэффициентов а„(з;) оператор X задачи (O.G)-(O.S) допускает замыкание и при выполнении условия 0.1 для L справедливо анер-гет1]Ческое неравенство.

Некоторое множество G называем выпуклым относительно ■-!?, если G с любой линией, к которой JÎ касательно, может пересекаться только по односвязному множеству.

Условие 0.2 Область Q такова, что существует разбиение её се.чгпиялш S(x) из (0.0) на конечное число подобластей Q¡, при котором для -каждой такой подобласти Qi(i = l,...,¿o) jможно выбрать так векторное, поле 9î элементов г(х) с помощью характеристических конусов, удовлетворяющее следующим требованиям:

1. выполняются условия ($i¡)-(?R-2) относительно Q¡;

2. для любой точки х £ S'¿ П Q{ г„(х) = 0, где i/(x) — единичный

вектор внешней нормали в точке х £ S¿ П Q¿;

3. Q¡ является выпуклым относительно поля 'ft.

При выполнении условий 0.1 - 0.2 для любого F £ Я доказано существование и единственность сильного решения г« задачи (0.6) (0.8), для которого ||u||B < c||F||H , (с > 0).

В конце главы доказывается существование и единственность слабого решения задачи (0.6)-(0.8) с однородными условиями (0.S).

И третьей главе рассматриваются граничные задачи для гиперболических уравнений третьего порядка. В. Томч доказал разрешимость граничных зндач на плоскости для гиперболического уравнения третьего порядка с простейшими условиями на границе, которые задаются в зависимости от поведения характеристик основного уравнения. Затем он аналогичные результаты получил для гиперболических систем. Г.Э. Эскин рассматривал на разрешимость краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений со смешанными характеристиками также в случае двух независимых переменных. На случай большего количества независимых переменных при изучении таких задач результаты и методика исс ледования для двух независимых переменных автоматически не переносятся.

В третьей главе- рассматривается граничная задача для простейшего уравнения Манжерона третьего порядка, постановка которой следующая.

Пусть С} ■-- ограниченная область точек х — (х\,т.2,хз) Е. Я3 с кусочной-гладкой границей Г. 'Для функции и(х) £ С'\(.)) рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

£и=ажк + Да1я,1))и = /(а5)' (0Л0)

гдэ Л■,(:!■, О) — линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

Лг(х,В)= ]Г аа,(х)Оа', М<2

О"' = <9'"с! / дя^дх^дх"^, ас — («1,0:2,03) — мультииндекс с а, < < 1 = 1:2,3). Уравнение (0.10) является не строго гиперболическим уравнением. С помощью вектора внешней относительно ф нормали 1>(х) = (1/1(а')' "гОО» ^(х)) поверхность Г ра-

зобьём на части Г/? в зависимости от знака направляющих косинусов. Пусть мультииндекс (/?ь [3-2. >%) состоит только из нулей и единиц: /3^ = 1, если ^ < 0, и = 0, если > 0. Тогда к уравнению (0.10) присоединим однородные граничные условии

ди

ЧГ,

= 0,

О2 и

аР

г,

= о,

|0| = 1,2,3;

|Л|=2,3;

|/3|=3;

(0.11)

Э2и

дид/х

= 0, |/3| = 1; (0.12)

Г»

О Л

где ^ — производная по нормали V, — производная по касательному к Г/) вектору ¡1. В условиях (0.11) исключается соседство частей Г^ с противоположными направлениями. Более строго это требование можно сформулировать в виде следующего условия. Из Г^ выделим подобласти или их объединения Г^ С Гд, где для почти всех хеТ} все три компоненты ц(х) (у = 1, 2,3) вектора и не равны нулю, а 7(х) = {л(х),у2(х),^(х)); 7](х) = -1, если < 0, и 7з(х) = 1, если > 0.

Условие 0.3 Граница Г тиков а, что расстояние от Г'^ до Г'-, не равно нулю для любых Гр, С Г при, \/}\, |/3| = 1,2« 7^• 4- 7у = 0 для всех у = 1,2,3.

При выполнении условия 0.3 и некоторых других условий доказывается существование и единственность сильного решения задачи (0.10)-(0.12), а также устанавливается гомеоморфизм оператора этой задачи между некоторым банаховым пространством В и Ш).

Во второй половине третьей главы рассматривается о ограниченной оГ)л;к"П! Q С У?" переменных х = (.rj, ...л'„) гранична:.1 задачи для гиперболического уравнения третьего порядка

Си - ~~ - -I- . D)u s /(..:), ((1.13)

Л'! Ч/

ч ■

»--- ft' ^—.

где Ji -- ^ —ff con si, A-j(x,D)ii ~ ft«(?)Dntt. Для записи

граничных условий границу OQ с помощью единичного вектора i'(x) внешней норма ли и некоторого достаточно малого положительного числа Р разобьём ни семь частей следующим образом:

5,, - | .г 6 0Q | £оИ = »>? - > > 0 J ■

Si = {.reflg| £о(м) = 0, i>, >0}, s2 - {.г € OQ I £„(") < -Л, ,/, > fi],

S3 = {•'• G OQ ( Cn(i') = 0, vx = 0}, S., = {r € OQ j Co(i>) > S, i/, < S} , Sa={x€dQ | £„(/') = 0. //, <0},

sr, = (reogj c0(u) <o, »/, <o}.

Предполагается, что 0Q состоит только из описанных выше поверхностей, т.е. 0Q = UК уравнению (0.13) присоединим однородные граничные условия

. да

"IbUsr ж,

= 0. (0.14)

Ul^St" Э,А

При определённых условиях доказывается существование и единственность сильного решения задачи (0.13)- (0.х4). Здесь при выводе энергетического неравенства в качестве разделяющего оператора берётся специально выбранный дифференциальный опе-

ратор вюрого порядь«». От мстим еще, что изучение :»яд.»чл (0.13) (0.14) продиктовало цг только соображенийми разшг-шя геории. но и задачами, описывающими конкретные .тпзич^екие явления. Например, уравнение

описывает распространение линейных акустических волн в среде с дисперсией, где Ь — коэффициент.

Ж.Адамаром было начато изучение краевых задач для простейшего уравнения третьего порядка составного типа, оператор которого представляет собой композицию оператора Лапласа г оператором частной производной по одной из независимых переменных.

После этого последовал ряд работ, посвященных атому уравнению и более общим уравнениям составного типа. В четвёртой главе изучается задача типа Дирихле для уравнений определённого вида третьего порядка, для коз тих' нельзя сделать классификацию с помощью характеристического полинома и его корней. Однако многие уравнения составного типа включаются в рассматриваемый класс. В конце приводятся примеры линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, в том числе и гиперболического типа, для которых корректна задача тина Дирихле.

Задача типа Дирихле для уравнения порядка 2т+ 1, заданного в области характеризуется тем, что на границе ()Ц задаются условия Дирихле да порядка т — 1 и значение производной по нормали от искомой функции на части границы Запишем вид уравнения треаыто порядка, для кото;-ог о изучается задача типа Дирихле в четвёртой главе, а также и постановку задачи. В ограниченной области ф С Яп+{ переменных х = (хо-з--],... .ж„)

относительно функции и(х) рассматривает'я дифференциальное уравнение

и и.

171

д' ( йи\ (>' / Лн\ О2 ( , ,0и\

•■IО.г, \ Ох-,) С/.17 V <-■' <) о\к.О:п \ 0.1 о)

Д [ О /' О а \ 0 ( ,, <7|/\]. а ( , , ди \ Т г, ., ) у~ + ..... (/,• X --- I •!• г(|х —- +

+ ,1,(.г,0)и = }{х), (0.15)

и ••

Обозначим через £0(Ц/)) = ''о(-г) + £"=1 {"¡"Ш1? + + Р^п"') (■*')

характеристический полином, где ;/ = (щ----,!/„) — единимый

вектор нормали к гиперповерхности дЦ. Пусть 0С}~ — € € ОС} | Си(и)(х) < 0[. К уравнению (0.15) присоединяем граптлг^ые условия

ди

"'"«г ~ ди

= 0. (0.1.6)

00-

При определённых достаточных условиях на коэффициенты уравнения (0.15) доказываются существование и единственность слабого решения задачи (0.15)-(0.16). Эти условия при записи занимают довольно большой объём. Поэтому в антореферате их приводить не будем, отмстим лишь, что они легко проверяются для конкретных уравнений вида (0.15).

В конце четвёртой главы изучается задача типа Дирихле для уравнений высокого порядка.

Задачи сопряжения двух или более дифференциальных уравнений, заданных в различных областях пространства и связанных

на границе раздела некоторыми условиями сопряжения. поникают при изучении многих реальных задач. Последние возникают при изучении явлений в средах с резко отличающимися физическими свойствами. Сперва начали изучаться задачи сопряжения однотипных уравнений, а затем — задачи сопряжения разнотипных уравнений. Им посвящена многочисленная литература, указанная в диссертации. Однако в этих работ х рассмотрены задачи сопряжения нестационарных уравнений в цилиндрических областях. Метод энергетических неравенств и операторов осреднения переменного шага позволяет доказать разрешимость задач сопряжения как в цилиндрических областях, так и в случае нецилиндрических областей. Такого рода задачам и посвящена пятая глава. Здесь рассмотрены задачи сопряжения для гиперболического, параболического и эллиптического уравнений второго порядка в нецилиндрических областях, а также задачи сопряжения разнотипных уравнений высокого порядка, заданных в цилиндрических областях.

Одним из важнейших технологических процессов микроэлектроники является диффузия, обуславливающая миграцию атомов легирующих примесей в кристаллическую решетку подложки. При моделировании этого физического явления в зависимости от условий протекания процесса к уравнениям диффузии присоединяются те или шиле начальные и граничные у< ловия. Так, при наличии окислительной атмосферы диффузия проходит в двух средах с движущейся внешней границе',! ч поверхностью окисла) и движущейся границей раздела окисел кремний, причём на границе раздела имеет место сегрегации примесей. Таким образом, для произвольного, но иззе< того, роста окисла получаем смешанную задачу для уравнения диффузии и двух средах с разрывными коэффициентами и движущимися грани-

цами. Рассматриваемая задача является задачей сопряжения для параболических уравнений п так называемых иецилиндрических областях. которым посвящен третий параграф пятой главы. Кроме того, условие сопряжения здесь представляют собой не простейший вариант (условия третьего рода). В последнем параграфе pat емнтривамгея задачи сопряжения, описывающие колебания после удара, для уравнений второго и четвёртого порядков. Для этих задач также возможны случаи нсцилин-дриче ских об лас той.

В шестой главе рассматриваются задачи для дифференциально-операторных уравнений, которые являются обобщением на абстрактный случай рассмотренных ранее граничных задач для диф ференциальных уравнений с частными производными в случае цилиндрических областей в четвёртом и пятом параграфах третьей главы, первом, втором и четвёртом параграфах пятой главы.

Основные выводы

В диссертации разработан метод энергетических неравенств и осредняющих операторов переменного шага исследования на разрешимость граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными, который опирается на следующие' полученные автором результаты:

1. Методика вывода априорных энергетических неравенств для граничных задач линейных нестационарных дифференциальных уравнений с частными производными, заданных в нецилиндрических областях, используя критерий Сильвестра относительно положительности квадратичных форм.

2. Доказательство разрешимости смешанных задач для нестационарных уравнений, заданных в нецилиндрической области.

3. Постановка граничных задач в ограниченной области для гиперболического уравнения второго порядка и некоторых уравнений третьего порядка в многомерном случае, а также доказательство их разрешимости.

4. Доказательство разрешимости задачи типа Дирихле для класса дифференциальных уравнений третьего и более высоких порядков в многомерном случае.

5. Разрешимость задач сопряжения как однотипных уравнений, так и разнотипных.

6. Разрешимость задачи Коши для некоторых дифференциально операторных уравнений.

7. Примеры, иллюстрирующие эффективность и приложение разработанного метода и представляющие интерес в теории уравнений с частными производными, в моделировании технологических операций при изготовлении интегральных схем, в теории механического удара по составным упругим нитям и конечным балкам.

Основные результаты опубликованы в работах :

1. Дайняк В. В., Корзюк В. И. Задача типа Дирихле для линейного дифференциального уравнения третьего порядка || Дифферент уравнения.—1987.—23, №5.-0.867-872.

2. Кастильо Ф. А., Корзюк В. И. Общие, краевые задачи для линейных гиперболических уравнений второго порядка. I || Известия

АН БССР. Сор. фи-».мат. наук. -1985. .V."). С.11 15.

3. Кастильо О». Д., Корзюк В. И. Общие красные, ждачи для липениы.с гиперболических уравнений второго порядки. II || Известия АН ВССР Сер. физ. мат. наук,- 1986. Л> 1. С.47 53.

4. Кор'зю; 13. И. Задача о сопряжении, уравнений гиперболического и параболического типов ¡| Дифферент;. уравнения. -1968. -4, №1(1. С. 1854 186(3.

5. Корзюк В. И. Смешанная .тдача для некоторых нестационарных уравнении с ра:грыа%ыми коэффициентами || Дифференц. уравнения.- 1970. -6, № 2,-С.343 -357.

6. Корзюк В. И. Задача о сопряжении некоторых дифференциальных ¡/равнении порядка'2т || Ди«|>ференц. уравнения.- 1971.—7, X' 4.-С.751) 753.

7. Корзюк В. И. Задачи о еопря ж-ении уравнения эллиптического типа с уравнениями гиперболическом и. параболического типовг I [| Известия АН БССР. Сер. физ. мат. наук. 1971.-3.—С.39-49.

В. Корзюк В. И. Задачи о сопряжении уравнения эллиптического типа, с уравнения ми гиперболического и параболического типов. II || Вести. Белорусского университета. Сер.I.—-1971. — Xs2.---C.25- 32.

9. Корзюк В. И. Задачи о сопряжении уравнения эллиптического типа с уравнениями гиперболического и параболического типов. III ||

Весгн. Нелорусскогоуниверситета. Сер.!.-- 1У72. №2. - С. 10 17.

10. Корзюк В. И. Задача гаи па Дирихле для некоторых. линейных дифференциальных уравнений нечётного порядка || Успехи математических наук.—1985.—40, вып.5(245).—208с.

11. Корзюк П. И. Эи ер гс гп и ч г. г. ко с неравенство для граничной ждичи. гиперболического уравнения с волновым оператором 3-го порядки || Дифференц. уравнения,—1991.—27, № 6.—С. 1014 1022.

12. Корзюк В. И. Первая смешанная задача для линейного гиперболического уравнения второго порядка с однородными условиями в случае не/цилиндрической области || Дифференц. уравнения.—

1992.—28, №5.—С.847- 856.

13. Корзюк В. И, Дайннк В. В. О слабом, решении, задачи шипа Дирихле для дифференциального уравнения третьего порядки || Дифференц. уравнения.—1992.—28, №6.--С.1050 106С.

14. Корзюк В. И, Пыско И. А. Смешанные задачи для уравнений параболического и полугиперболичсского типов в случае пецилиндричес-кои области |{ Известия АН ВССР. Сер. физ.-мат. наук,- -1974.— №2.--С.50 57.

15. Корзюк В. И, Юрчук Н. И. Задач<< о сопряжении нестационарных абстрактных линейных дифференциальных уравнений ||

Дифферснц. уравнения.- -1971. -7, №9.--СЛГ>29-1638.

16. Корзюк В. И, Юрчук Н. И. Задачи о сопряжении некоторых линейных уравнений !| Известия АН БССР. Сор. физ.-мат. наук. 1972. Л'" I. С.3,г) 4].

17. Корзюк В. И. Юрчук Н. И. Задачи Коти для гиперболических дифференциально- операторных уравнении третьего порядка ¡| Дифферент*. уравнения. 27, №8.— С.1448 1450.

18. Корзюк В. И. 3iidn-i.ii о сопряжении уравнений гиперболического г параболического типов || Вторая Республиканская конференция математиков Белоруссии. Тезисы докладов.— Минск, 1967.--С.29 30.

19. Корзюк В. И. Смешанные задачи о сопряжении разнотипных линейных дифференциальных уравнений с частными производными ¡| Третт.я Республиканская конференция математиков Белоруссии. Тезисы докладов, ч.2.—Минск, 1971.—С.138-139.

20. Корзюк В. И. Доказательство разрешимости линейных задач для дифференциальных уравнении методом осредняющпх операторов || 6-я конференция математиков Беларуси, ч.2. Тезисы докладов (Гродно, 29 сснтябрп-2 октября: 1992г.)—1992, Гродненский гос. ун-т. С.20.

21. Чан Дык Ван, Корзюк В. И., Мозолевский И. Е. Задача сопряжени.я некоторых эллиптических систем и уравнении || Тр. Вс-

есоюзной конференции по уравнениям с ча • н.ы.ми производными, посишцснпые 75-летию со дня рождения Итр.шсг.осо И. Г. - (27 31 января 1976г.) М., ш-во МГУ, 1978.-С.447 -178.

22. Корзюк В. И, Бенуар Н.-Э., Кастильо Ф. А. Граничные задачи для -гиперболических уравнений второго и третье/о порядков |{ Школа по теории операторов в функциональных пространствах (411 июля 1982г.). Тезисы докладов,—Минск. -1982. С.210 217.

23. Корзюк В. И. Граничные задачи для нестационарных уравнении, а нсцилиндрических областях || Школа ''Современные методы в теории краевых задач", г.Воронеж, 4 8 мая 1992г. 1992, Воронежский гос. ун-т, НИИ математики.—С.60.

24. Дайняк В. В., Корзюк В. И. Задача типа Дирихле для одного неклассического уравнения третьего порядка || Всесоюзная научно -техническая конференция "Динамическое моделирование сложных систем" (22-24 сентября 1987г.). Тезисы докладов.—-М., 1987.— С.136-137.