Метод граничных состояний в задачах линейной механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Предпосылки метода граничных состояний.

1.1. Известные решения для сред.

1.1.1. Обзор по общим решениям.

1.1.2. Обзор по фундаментальным решениям.

1.2. Обзор энергетических методов механики.

1.3. Обзор по теоремам взаимности.

1.4. Обзор по задачам для корпусных тел.

2. Обоснование метода граничных состояний.

2.1. Пространство внутренних состояний среды.

2.2. Пространство граничных состояний среды.

2.3. Методология выбора базиса пространства внутренних состояний.

2.3.1. Плоские задачи изотропной упругости.

2.3.2. Плоские задачи анизотропной упругости

2.3.3. Пространственные задачи изотропной упругости.

2.4. Выводы по разделу.

3. Основные задачи для линейного континуума.

3.1. Метод решения основных задач.

3.1.1. Первая основная задача.

3.1.2. Вторая основная задача. .:■.

3.2. Обоснование сходимости.

3.3. Базис пространства состояний для односвязной плоской области.

3.4. Решение задач для односвязной плоской области.

3.5. Решение задачи о сдавливании ролика.

3.5.1. Первая основная задача.

-33.5.2. Вторая основная задача.

3.6. Базис пространства состояний для односвязной трехмерной области.

3.7. Решение задач для односвязной трехмерной области.

3.7.1. Тестирование метода граничных состояний для односвязной трехмерной области.

3.7.2. Решение задач об изгибе балки прямоугольного сечения и изгибе пластин.

3.7.3. Упругое состояние тел сложной конфигурации и вопросы точности решения.

3.8. Выводы по разделу.

4. Смешанная задача линейной механики.

4.1. Постановка основной смешанной задачи.

4.2. Обоснование разрешимости.

4.3. Построение решения.

4.4. Выводы по разделу.

Все разработанные к настоящему времени методы решения задач МДТТ имеют свои достоинства и недостатки. Так, метод Ритца, минимизирующий квадратичный функционал (вместе со всеми модификациями, включая основное оружие инженера-расчетчика — метод конечных элементов (МКЭ)), сводит проблему к системе линейных алгебраических уравнений, точность решения которой зависит не только от ее порядка, но и от ее обусловленности. МКЭ, кроме этого, имеет еще одну «инструментальную» причину для формирования ошибки вычислений — необходимость дискретизации области, занимаемой телом. Метод Бубнова — Галеркина сводит к системе линейных алгебраических уравнений непосредственно само операторное уравнение. Метод наименьших квадратов минимизирует среднеквадратичную невязку граничных условий с решением и также приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Метод Канторовича реализует минимизацию квадратичного функционала градиентным методом (в функциональном пространстве) и здесь ошибка формируется за счет самого итерационного процесса. Метод М. М. Филоненко-Бородича (П. Ф. Папковича, В. Н. Ионова, П. М. Огибалова), как показал С. Г. Михлин, эквивалентен методу Ритца. Метод граничных интегральных уравнений (вместе с его дискретным вариантом — методом граничных элементов) также приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Таким образом, все общие методы решения даже самых простых — основных задач МДТТ, формируют погрешность метода.

Разработка метода, лишенного этого- недостатка хотя бы на классах основных задач, является назревшей и актуальной задачей. Метод граничных состояний (МТС) обеспечивает возможность построения решения основных задач механики для тел разнообразных конфигураций простыми средствами. Кроме этой особенности МГС имеет достоинство, присущее всем перечисленным методам — он также является общим. Поэтому его можно положить

-5в основу разработки специальных методов решения новых классов задач, таких, как задачи об оптимизации формы тел, задач с подвижными границами и др. Эта; возможность также свидетельствует об актуальности темы.

Целью настоящей диссертации является разработка нового метода решения задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и построение решений конкретных задач.

Для достижения поставленных целей в данном исследовании необходимо решить следующие задачи:

-построить новый метод решения задач МДТТ, теоретически строго обосновав его основные положения;

-разработать новый способ построения базиса пространств;

-построить и обосновать новый метод решения основной смешанной задачи МДТТ.

Практическая ценность заключается не только в возможности использования нового метода для решения задач МДТТ, но и в снятии проблемы накопления ошибок метода при решении основных задач МДТТ.

Научная новизна раскрывается следующими положениями:

1. МТС является новым «энергетическим» методом механики, отличающимся от других «энергетических» методов, таких как метод Ритца (во всех модификациях, включая метод конечных элементов), метод Бубнова — Галеркина, метод наименьших квадратов, метод Канторовича и т.п. Принципиальное отличие заключено в понятии «состояние тела», которое трактуется как элемент гильбертова пространства.

2. Построен новый способ выделения базиса пространства состояний, использующий общие решения для среды.

3. Решения, построенные МГС, являются аналитическими по своей сути (в общем случае — аналитически приближенные в виде рядов).

Достоверность полученных результатов обеспечена, во-первых, строгим математическим обоснованием МГС, и, во-вторых, тестированием метода на известных решениях (результаты тестирования показали абсолютное совпадение с известными точными решениями).

В первом разделе работы сделаны обзоры по известным общим и фундаментальным решениям для сред, обзор «энергетических» методов механики с анализом их достоинств и недостатков и определены точки их соприкосновения с МГС, обзор по соотношениям взаимности для различных сред и обзор по известным решениям для тел с различными классами границ и вариантами нагрузок.

Во втором разделе проводится обоснование метода граничных состояний. В первом и втором параграфах вводятся понятия внутреннего и граничного состояний среды, формируются гильбертовы пространства внутренних и граничных состояний с теоремой взаимности для среды как основой скалярного произведения в пространствах; показывается изоморфизм сформированных пространств. Третий параграф посвящен разработке методики выбора базиса пространства состояний. Здесь же строятся базисы для плоских задач изотропной (на основании общего решения в виде функций Колосова — Мусхелишвили) и анизотропной (на основании формул комплексного представления Лехницкого) упругости и пространственных задач изотропной упругости (на основании общего решения Папковича — Нейбера); построения приведены для тел с различными классами границы — ограниченными и неограниченными односвязными, двусвязными, многосвязными.

4.4. Выводы по разделу

Заключение

В заключение отметим основные результаты работы.

1: Предложен новый общий «энергетический» метод для решения задач линейного континуума. Метод опирается на формализм гильбертовых пространств и использует вновь введенные понятия пространств внутренних 1 и граничных состояний.

2. Разработана методология построения базисов пространств состояний, исходящая из наличия общего решения для; среды (альтернативой этой аналогии является подход В. Д. Купрадзе, основанный на эксплуатации фундаментального решения для среды). Разработаны базисы пространств внутренних состояний для объектов различных геометрических очертаний и физических свойств.

3. Строго обоснован метод граничных состояний в части решения первой и второй основных задач. Решение строится с точностью до жесткого движения, которое является нулем пространства состояний. Процесс решения сводится к рутинному вычислению квадратур. Наращивание базиса принципиально не может влиять на устойчивость решения.

4. Строго обоснована сходимость МГС. Доказана равномерная сходимость везде в области, где базисные элементы ограничены.

5. Выписаны базисы пространств состояний для изотропного кругового цилиндра. Решение основных задач для ролика подтвердило тезисы о равномерной сходимости решения.

6. Ни. основс общего решения Папковича — Нейбера построен базис пространств состояний для тела, ограниченного плоскостями. Тестирование МГС на классических задачах показало абсолютные результаты. Построены (в аналитическом виде) конкретные решения задач о равновесии балок и плит.

-737. Проведен анализ влияния сингулярности границы на сходимость решения. Выработаны рекомендации о включении в базис элементов, учитывающих специфику сингулярностей.

8. Выполнена постановка в терминах МГС основной смешанной задачи для ограниченного тела. Математически задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений. Строго доказана единственность решения разрешающей системы уравнений. Предложена действительная форма записи разрешающей системы уравнений, удобная для компьютерной реализации.

В качестве перспектив развития метода граничных состояний можно предложить следующие направления развития:

1. Иные линейные среды (вязкоупругость, упругопластичность,.; случаи общей анизотропии и частные варианты)

2. Иные классы задач (динамика, термомеханика, учет массовых сил).

3. Разработка методики формирования базиса пространств состояний через фундаментальное решение для среды.

4. Модификации базисов, улучшающие сходимость в случае сингулярности границы и/или нагрузки.

5. Разработка методики для решения задач с нульмерной (сосредоточенной) нагрузкой

6. Обоснование метода граничных состояний на основе технических теорий (нагружения стержневых систем, изгиба пластин, оболочек, балок .). В этих случаях будут фигурировать иные варианты построения скалярного произведения для сред.

1. Аржаных И.С. Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости. — Ташкент: Изд-во АН УзбССР, 1954.

2. Блох В.И. Функции напряжений в теории упругости // ПММ.— 1950. — T.XIV. —Вып.4. 1

3. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Сферические функции // Математическая энциклопедия. — т.5. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — с. 293-294.

4. Галеркин Б.Г. К вопросу об исследовании напряжений и деформаций в упругом изотропном теле , Собрание сочинений Б.Г. Галеркина , Т.1.

5. М.: Изд-во АН СССР, 1953 — С. 318-321.

6. Галеркин Б.Г. Кручение трехгранной призмы // Известия РАН. Сер.6. — 1919. — Т.13. —№1. — С.111-118.

7. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений. Т.1,2. — М.,1952.

8. Демидов С.П. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1978. 432с.

9. Доманьский 3., Пискорек А., Роек 3. О применении метода Фишера — Рисса — Купрадзе для решения первой задачи Фурье // Rocz. Pol. Tow. Mat., Ser.l: Prace Mat. — 1972, —16, —137-147.

10. Емельянов Е.Ф. Гармонический многочлен // Математическая энциклопедия. — т.1. —М.: Советская энциклопедия, 1977. — с. 886-887.

11. Горький: Горьк. Ун-т, 1983. — С.42-51.

12. Ионов В.Н. Напряжения в коническом теле при статическом на-гружении // Известия ВУЗов. Машиностроение. — 1965. — №7.-7512. Ионов В.Н. О равновесии тел вращения // Научные доклады высшей школы. Сер.: Физико-математические науки. — 1960. — №3.

13. Ионов В.Н. Равновесие упругого цилиндра конечной длины // Исследования по теории сооружений. — М.,1957.— Вып.7

14. Ионов В.Н. Расчет напряжений в телах сферических и близких по форме к сферическим // Известия ВУЗов. Машиностроение. — 1961. — №4.

15. Ионов В.Н. Расчет напряжений в цилиндрических телах произвольного сечения // Известия ВУЗов. Машиностроение. — 1959.:— №11.

16. Ионов В.Н. Температурные напряжения в упругом цилиндре // Известия ВУЗов. Машиностроение. — 1958. —№6.

17. Ионов В.Н., Введенский Г.А. О возможных формах общего решения уравнений равновесия в криволинейных координатах //.Известия ВУЗов. Математика. — 1964. — №6.

18. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. — М.: Высшая школа, 1972. — 752 с.д

19. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. Т.2.— М.: Высшая школа, 1972. — 536 с.

20. Кийко И.А. Теория пластического течения в тонком слое металла // Научные труды института механики при МГУ им. М.В. Ломоносова. — М.: МГУ, 1971,—№15. —66 с.

21. Кильчевский H.A. Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике. — М.: ГИТТЛ, 1954.

22. Кононенко Е.С. Напряжения в упругом параллелепипеде при осе-вом~сжатии // Исследования по теории сооружений. — М.,1954. — Вып.6.

23. Кононенко Е.С. Расчет напряжений в кубическом образце при сжатии между плитами // Исследования по теории сооружений. — М.,1957. — Вып.7.

24. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — М.:Мир, 1974,—338 с.is. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. — М.: Изд. АН СССР, 1949.

25. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Граничные задачи термоупругости // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т.5. — №1. — С.3-43.

26. Купрадзе В. Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1976. — 664 с.

27. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.1. — М,—Л.: ГТТЛ, 1933. — 527 с.

28. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. — М.: ГИТТЛ, 1957. —463 с.

29. Лехницкий С.Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит // Прикладная математика и механика.—- 1938. — Т.П. — Вып. 2. — С.181-210.

30. Лурье А.И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 940 с.

31. Любимов В.М. Задача об упругом равновесии кольцевого кругового сектора//Изв. АН СССР. ОТН. — 1958. — №3.

32. Любимов В.М. Приближенное решение задачи для некоторых частных .случаев нагружения упругого кольцевого сектора // Инженерный сборник. — 1958. — T.XXVI.

33. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.,1936.

34. Мальцев Л.Е. Некоторые свойства решений пространственных задач теории упругости методом Ритца / Дисс:— МГУ, 1968.

35. Механика в СССР за 50 лет. Т.З: Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1972. — 480 с.

36. Мешков A.M. Напряжения в косоугольном параллелепипеде / Дисс:—МГУ, 1956.

37. Мирошниченко Е.Р. Задача о сжатии цилиндра между жесткими плитами без скольжения. —М.: Моск. лесотехнич. ин-т, 1957.-7739. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: ГИТТЛ, 1957.

38. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970, — 512 с. *

39. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. — М.: Наука, 1966. — 432 ск

40. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с.

41. Натрошвили Д.Г. О фундаментальных матрицах уравнений установившихся колебаний и псевдоколебаний анизотропной теории упругости // Сообщ. АН Груз.ССР. — 1979. — Т.96. — №1. — С.49-53.

42. Нетребко В.П. Задача о кручении стержней переменного сечения // Вестник МГУ. — 1958. — №6.

43. Нетребко В.П. Кручение параллелепипеда торцевыми нагрузками // Вестник МГУ. — 1954. — №12.

44. Нетребко В.П. Кручение стержней, имеющих входящие углы // Вестник МГУ. — 1960. — №4.

45. Нетребко В.П. Стесненное кручение упругого параллелепипеда // Вестник МГУ. — 1956. — №6.

46. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. — М.: Мир,1970.

47. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.

48. Папкович П.Ф. Теория упругости. —М.: Оборонгиз, 1939.

49. Пеньков В. Б., Пеньков В. В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики. // Дальневосточный математический журнал. — 2001. — Т.2, №2. — С.115-137

50. Пеньков В.Б. Теорема взаимности для квазистатической ньютоновской среды // II международная научно-техническая конференция "Проблемы пластичности в технологии": тезисы докладов. — Орел, ОГТУ, 1998. — С. 10-11.

51. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для основной смешанной задачи линейного континуума // Всероссийская конференция. Тезисы докладов. — Тула, ТулГУ, 2000. — С. 108-110.

52. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Материалы международного симпозиума по теории упругости, посвященного памяти А.А. Ильюшина. —М.: МГУ, 2001, —с.363.

53. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Применение метода граничных состояний для решения основной смешанной задачи линейного континуума. Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2000. — Т.6. —Вып.2, — С. 124-127.

54. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Пространства состояний в задачах механики континуума // Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ": Тезисы докладов (Россия, Тула, 26-29 мая 1998 г).

55. Пеньков В.В. Асимптотики параллелепипеда // Юбилейная научно-практическая конференция "Прикладная математика — 99" (Тула, 03— 05.05.99): Тезисы докладов. — Тула, ТулГУ, 1999. — С. 92-93.

56. Пеньков В.В. Метод граничных состояний для ньютоновской среды // II международная научно-техническая конференция "Проблемы пластичности в технологии": тезисы докладов. — Орел, ОГТУ, 1998. — С. 11-12.

57. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. — М.: Наука, 1979. 744 с.

58. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. — М.: Наука, 1977. — 384 с. 1

59. Радок Дж. P.M. Плоские задачи линейной теории вязкоупругости // Проблемы механики сплошной среды (К семидесятилетию академика Н.И. Мусхелишвили). — М.: Изд-во АН СССР, 1961. — С. 318-327.

60. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. — М.: Физматгиз, 1961.

61. Слободянский М.Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженных через гармонические функции // ПММ. — 1954. — Т. 18. — С.55-74.

62. Стиган И. Функции Лежандра // Справочник по специальным функциям: пер. с англ. — М.: Наука, 1979. — с. 153-156.

63. Тихонов А.И., Самарский A.A. Уравнение математической физики. — М.: Наука, 1972. — 763 с.- 69. Толоконников JI.A. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Высшая школа, 1979. — 320 с.

64. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Некоторые эффективные решения задачи о скольжении металла в слое // Прикладная механика. — 1990. — Т.26(36).—№9, —С. 75-82.

65. Тренин С.И. Построение метода решений ряда осесимметричных задач теории упругости // Вестник МГУ. — 1952. — №6.

66. Трещев A.A., Пеньков В.В. Оценка точности метода граничных состояний для тел сложной конфигурации. // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика: Информатика. — 2000. — Т.6. — Вып.2. — С.153-159.

67. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. — Казань, КГУ, 1986. — 295 с.

68. Феппль А., Феппль JI. Сила и деформация. Т.1. —- М., 1933., Т.2. — М., 1936.

69. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. — М.: Мир, 1974. — 160 с.

70. Филоненко-Бородич М.М. Две задачи о равновесии упругого параллелепипеда // ПММ. — 1951. — T.XY. — Вып. 5.

71. Филоненко-Бородич М.М. Задача о равновесии упругого параллелепипеда при заданных нагрузках на его гранях Н ПММ. — 1951. — Т.XV. — Вып.2.

72. Филоненко-Бородич М.М. Некоторые обобщения задачи Ляме для упругого параллелепипеда // ПММ. — 1953. — T.XVII. — Вып.4.

73. Филоненко-Бородич М.М. О задаче Ляме для параллелепипеда в общем случае поверхностных нагрузок// ПММ. — 1957. — T.XXI. — Вып.4.

74. Филоненко-Бородич М.М. Об одной системе функций и ее приложениях в теории упругости // ПММ. — 1946. — Т.Х. — Вып.1.

75. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. — М.: Физматгиз,1959.

76. Хуторянский Н.М. Приведение метода потенциала в задачах теории упругости и вязкоупругости // Горький: ГГУ, 1974. —В. 10. — С. 122-135.

77. Хуторянский Н.М. Тензор Грина нестационарной динамической теории упругости для анизотропной однородной безграничной среды // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем. — Горький: Горьк. Ун-т, 1985. — С.23-31.

78. Хуторянский Н.М. Теоремы взаимности в теории вязкоупругости нестабильных материалов и их применение. — Алма-Ата: Наука, 1981. — С.350.

79. Хуторянский Н.М. Численно-аналитический метод решения задачи о движении трещины в трехмерной упругой анизотропной среде // Физические основы прочности и пластичности. . — Горький: Горьк. пед. ин-т, 1985. — С.68-75.

80. Хуторянский Н.М., Coca Х.А., Зу В. Метод граничных элементов для плоских задач электроупругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. — М., 1997. — С.183-195.

81. Finzi В. Integrazione délia equazione délia Meccanica dei sistemi continui // Rendiconti d. Lincei. Ser.VI — 1934. — V.19.

82. Khutoryansky N., Sosa Н. Dynamic representation formulas and fundamental solution for piezoelasticity // Int. J. Solids Struct. — 1995. ;— V.32. — №22. — P.3307-3325. ;

83. Neuber H Ein neuer Anzatz zur Lqsung rabmlicher Probleme der Elastizitetstheorie // Zeith, fur angew. Math. undMech. — 1934. — V.14. — N 4.

84. Nowacki W. On some problems of thermoelasticity // Problems of continum mechanics. —Philadelphia, 1961.

85. Nowacki W. Theoria niesymetrycney sprezystosci. — Warszawa: PWN, 1971.

86. Thomson W. Note on the Integration of the Equations of Equilibrium of an Elastic Solid // Mathematical and Physical Papers. — V.l. — Cambridge, 1882.