Метод идентификации дефектов в линейно упругих телах по данным статических испытаний

Шушпанников, Павел Сергеевич

Метод идентификации дефектов в линейно упругих телах по данным статических испытаний тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Шушпанников, Павел Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Метод идентификации дефектов в линейно упругих телах по данным статических испытаний»

Автореферат диссертации на тему "Метод идентификации дефектов в линейно упругих телах по данным статических испытаний"

005052563

На правах рукописи

ШУШПАННИКОВ ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ

МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЕФЕКТОВ В ЛИНЕЙНО УПРУГИХ ТЕЛАХ ПО ДАННЫМ СТАТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

О 4 ОНТ 2012

Москва 2012

005052563

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук (ИПМех РАН)

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, профессор Гольдштейн Роберт Вениаминович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Доброхотов Сергей Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор Фрейдпн Александр Борисович

Ведущая организация: кафедра теории пластичности механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 27 сентября 2012 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.240.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук по адресу: 119526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп. 1, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМех РАН.

Автореферат разослан 27 августа 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.240.01 при ИПМех РАН кандидат физико-математических наук

Сысоева Е.Я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

С математической точки зрения задача идентификации представляет собой нелинейную обратную задачу. Разработка методов решения таких задач является в настоящее время актуальной фундаментальной научной проблемой.

Целями работы являются:

1. Разработка метода идентификации дефектов в линейно упругих телах по данным статических испытаний (по перемещениям и усилиям на внешней границе упругого тела);

2. Решение задачи идентификации одиночного эллипсоидального дефекта в линейно упругом теле по данным одного статического испытания при помощи разработанного метода;

3. Численный анализ эффективности разработанного метода идентификации. Методика исследования

Метод идентификации дефектов, предложенный в диссертации, основан на применении функционала взаимности (в англоязычной литературе «reciprocity gap functional»).

Решения задач идентификации получены в рамках данного метода с привлечением классических методов линейной теории упругости.

Для численного анализа эффективности разработанного метода идентификации использовался метод конечных элементов.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан метод идентификации дефектов (трещин, полостей, жёстких или упругих включений) в линейно упругих телах по данным статических испытаний;

2. Впервые получено аналитическое решение задачи идентификации геометрических (местоположение, величины и направления полуосей эллипсоида) и механических (упругие модули) параметров эллипсоидального дефекта в анизотропном линейно упругом теле по данным о перемещениях и усилиях на произвольной замкнутой поверхности, содержащей внутри себя дефект. Полученное решение является точным для безграничных упругих тел и приближённым в случае, когда содержащее дефект упругое тело ограничено;

3. Для анализа эффективности разработанного метода идентификации рассмотрен ряд численных примеров, в которых для получения исходных экспериментальных данных вместо реального выполнялся численный эксперимент. Для реализации численных экспериментов в диссертации разработан комплекс специальных программ для пакета ANSYS;

4. Проведенный для ограниченных упругих тел численный анализ показал, что даже в тех случаях, когда дефект находится в непосредственной близости от внешней границы тела, полученные формулы позволяют определять его параметры с довольно высокой точностью. Кроме того продемонстрирована устойчивость полученных результатов по отношению к числу измерений и погрешностям в исходных экспериментальных данных.

Практическая значимость

Задача идентификации дефектов в упругих телах является ключевой проблемой, возникающей при проведении неразрушающего контроля материалов и элементов конструкций.

Практическая значимость диссертации состоит в разработке нового метода идентификации, позволяющего определять геометрические параметры дефекта (трещины, полости, жёсткого или упругого включения), а в случае, когда дефект упругое включение, и его механические параметры (упругие свойства) по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе содержащего дефект упругого тела.

Исследования по теме диссертации выполнены в рамках плановой тематики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук «Моделирование и диагностика прочности и разрушения материалов, сред и технических систем с многомасштабной структурой с учетом действия механических нагрузок и физических полей» (Гос. per. № 03201250707) и проектов, финансируемых Российским фондом фундаментальных исследований (проекты №07-01-00448 и №10-01-00153).

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановок решаемых задач и построением точных аналитических решений данных задач. Примеры расчётов, приведённые в диссертации, также подтверждают достоверность полученных результатов.

Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены на Всероссийских и Международных конференциях:

1. Международная молодёжная научная конференция «XXXII Гагаринские чтения»,

4-8 апреля 2006 г., Москва;

2. Международная молодёжная научная конференция «XXXIV Гагаринские чтения»,

1-5 апреля 2008 г., Москва;

3. Международная молодёжная научная конференция «XXXVI Гагаринские чтения»,

6-10 апреля 2010 г., Москва;

4. Всероссийская конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела», 13-15 октября 2008 г., Пермь;

5. Вторая Международная конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела», 8-11 декабря 2009 г., Казань;

6. 18th European Conference on Fracture, August 30 - September 3 2010, Dresden, Germany;

7. 1st Interquadrennial ICF Conference in Middle East and Africa, November 14-17 2011, Luxor, Egypt.

Основные результаты диссертации также были доложены на Семинаре по механике сплошной среды им. JI.A. Галина Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук под руководством профессоров В.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова, A.B. Манжирова.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ, 5 из них в журналах из списка ВАК. Список работ представлен в конце автореферата.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, трёх приложений и списка литературы. Общий объём работы составляет 192 страницы, включая 22 рисунка и 44 таблицы. Список литературы содержит 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается тематика проведенных в диссертации исследований и формулируются цели диссертации. Приводится обзор работ, посвященных различным методам решения задач идентификации дефектов в упругих телах по данным статических испытаний. Обосновывается актуальность и научная новизна диссертации. Описывается структура и содержание диссертации.

В первой главе дана строгая математическая постановка решаемой в диссертации задачи идентификации, а также представлено описание метода решения данной задачи. В качестве простейшего примера использования данного метода рассмотрена задача идентификации параметров шарового дефекта в изотропном линейно упругом теле по данным одного статического испытания на одноосное растяжение (сжатие).

При постановке задачи считается, что дефект занимает односвязную область G в трёхмерном пространстве R1 и представляет собой линейно упругое включение с тензором упругих модулей C,'w. Полость и жёсткое включение рассматриваются как частные случаи упругого включения при С,'ы = 0 и С,'и = ю, соответственно. Линейно упругое тело с тензором упругих модулей занимает область Q = Кг \ G, где G - замыкание области G . На границе матрицы П и включения G предполагается полное сцепление. Прикладываемые к телу нагрузки отвечают однородному напряжённому состоянию на бесконечности <т°°.

Считается, что на некоторой замкнутой поверхности S, содержащей внутри себя дефект G (Рис.1), известны перемещения и"* = (uf,u(и усилия tJ =(^,'2 .'з')- По этим данным

требуется определить геометрические параметры дефекта G (местоположение, форму, размер).

Отметим, что при постановке задачи упругие свойства линейно упругой матрицы Q предполагаются известными. Свойства дефекта G предполагаются неизвестными и в общем случае также подлежат определению.

Рис.1. Упругое тело О, дефект б и содержащая дефект замкнутая поверхность 5.

Для решения поставленной задачи используется метод, основанный на применении функционала взаимности. Функционал взаимности ЯС(а,г), зависящий от упругого поля в

теле с дефектом, обозначаемого верхним индексом й, и произвольного регулярного упругого поля в теле без дефекта, обозначаемого верхним индексом г, определяется следующим образом

= С1)

Здесь и далее принимается правило суммирования по повторяющимся индексам.

Из принципа взаимности, справедливого для линейно упругих тел, следует, что функционал взаимности (1) не зависит от выбора замкнутой поверхности 5, содержащей внутри себя дефект в . Кроме того, данный функционал равен нулю для любого регулярного упругого поля г в случае, когда замкнутая поверхность 5 не содержит внутри себя дефекта в . В диссертации показано, что в противном случае найдутся такие регулярные упругие поля, для которых функционал взаимности отличен от нуля.

Так как перемещения и" и усилия на замкнутой поверхности 5 предполагаются известными, то значения функционала взаимности (1) могут быть вычислены для любого заданного регулярного упругого поля г. С другой стороны, значения функционала взаимности определяются параметрами дефекта в . Следовательно, для решения задачи идентификации достаточно выразить неизвестные параметры дефекта через отличные

от нуля значения функционала взаимности (1).

Описанный метод справедлив для дефекта произвольной формы. В качестве простейшего примера рассмотрена задача идентификации параметров шарового дефекта в изотропном линейно упругом теле с модулем сдвига и коэффициентом Пуассона ум по данным одного статического испытания на одноосное растяжение (сжатие).

Введём декартову систему координат ОХ,Х2Хг. Будем считать, что направление

растяжения (сжатия) совпадает с направлением оси Х3, <т* = сгЗ„5р, а - параметр, имеющий размерность напряжения, 8, - символ Кронекера. Неизвестными геометрическими

параметрами в рассматриваемом случае являются координаты центра дефекта (Х°,Х2,Х°) и его радиус а.

Для выражения параметров дефекта через значения функционала взаимности (1) в диссертации использовалось явное решение прямой задачи о шаровом включении в изотропном линейно упругом пространстве. Для нахождения координат центра дефекта рассматривались регулярные упругие поля с постоянным тензором напряжений и тензорами напряжений, линейно зависящими от координат, следующего вида

ГО 0 '0 0 0 * '0 0 0 > ( 0 0

0 0 0 , <т = — 0 0 0 0 0 0 , ст — — 0 0 0 (2)

I £ I

,0 0 ,0 0 0 0

где Ь - параметр, имеющий размерность длины. Для нахождения координат центра дефекта были получены следующие выражения

Ь ^(33^,33)

Здесь и далее, чтобы подчеркнуть вид приложенных к телу нагрузок, упругое поле в теле с дефектом, находящимся в условиях одноосного растяжения (сжатия) в направлении оси Х3, обозначается верхним индексом ЪЪс1.

После нахождения координат центра дефекта для определения его радиуса использовалось регулярное упругое поле с тензором напряжений, квадратично зависящим от координат, записанное в системе координат с началом в центре дефекта М^ххх2хг, М" =(Х°,Х°,Х°), х1 = Х1 -Х^, а также регулярные упругие поля с постоянными тензорами напряжений следующего вида

/ ег 0 0> /

II 0 0 0

0 0,

О О

О О -*,2

Для нахождения радиуса дефекта было получено следующее выражение а2___5Ж?(ЗЗЛ,0)

(4)

(5)

Формулы (3), (5) позволяют определять геометрические параметры шарового дефекта й независимо от его упругих свойств. В случае если дефект в - шаровое изотропное линейно упругое включение, то после нахождения его геометрических параметров могут быть найдены и его упругие модули: модуль сдвига /л, и коэффициент Пуассона V,. Соответствующие формулы представлены в диссертации.

Формулы (3), (5) являются точными для безграничного упругого тела. Пусть К с Я3 односвязная область, содержащая дефект О. Предположим, что ограниченное линейно упругое тело занимает область С2 = К\С. К внешней границе дУ тела П прикладываются усилия Xй, порождающие в нём в случае отсутствия дефекта в однородное напряжённое состояние а", а перемещения и* на границе дУ измеряются. Тогда, полагая в (1) Б^дУ, значения функционала взаимности 1Ю(с1,г) могут быть вычислены для любого заданного регулярного упругого поля г. При этом следует ожидать, что если дефект в находится достаточно далеко от внешней границы дУ , то данные значения будут близки к значениям функционала взаимности, вычисленным для безграничного упругого тела. Как следствие, формулы, полученные для безграничного упругого тела, могут быть приближённо использованы для идентификации дефектов в ограниченных упругих телах.

Для иллюстрации эффективности данного подхода в диссертации рассмотрен ряд численных примеров. Во всех примерах, рассмотренных в диссертации, предполагалось, что упругое тело У имеет форму куба Г = {Х:|Х^10,г = 1,2,3}. Для получения данных о

перемещениях и" на внешней границе дУ тела П проводились численные эксперименты, в которых при заданных нагрузках ^ прямая задача Неймана для упругого тела У, содержащего дефект в, решалась методом конечных элементов. После решения прямой задачи на границе дУ определялись перемещения и". Вычисленные значения перемещений моделируют перемещения, измеряемые в эксперименте. С их помощью вычислялись значения функционала взаимности. Далее для идентификации параметров дефектов использовались формулы, полученные в диссертации.

В Таблице 1 представлены результаты идентификации шаровых полостей, имеющих объём \в\ = Ая / 3 « 4.1888, соответствующий радиусу а равному 1, и различные координаты

центра (Х1,Х1,Х1), в изотропном линейно упругом теле (модуль Юнга Еи =200ГПа,

коэффициент Пуассона ^=0.25) по данным испытания на одноосное растяжение.

Заданные координаты центра [Х%Х\Л\) представлены в первом столбце таблицы.

Найденные параметры представлены в остальных столбцах таблицы.

{xi.xi.xt)

(0,0,0)

(0,3,0)

(0,6,0)

(0,0,3)

(0,0,6)

(3,3,3)

(6,6,6)

0.000

3.000

5.999

0.000

3.000

6.000

0.000

3.000

5.999

0.000

3.001

6.007

3.000

6.003

4.128

4.138

4.132

4.175

4.133

4.195

Таблица 1. Результаты идентификации шаровых полостей, имеющих различные координаты центра.

Результаты, представленные в Таблице 1, показывают, что формулы, полученные для безграничного упругого тела, позволяют с высокой точностью определять параметры дефекта в ограниченном упругом теле, включая случаи, когда дефект расположен в непосредственной близости от его границы. Примеры идентификации шаровых жёстких и линейно упругих изотропных включений, рассмотренные в диссертации, подтверждают данный вывод.

Во второй главе рассмотрена задача идентификации параметров произвольного эллипсоидального дефекта в изотропном линейно упругом теле по данным одного статического испытания на одноосное растяжение (сжатие). Получено аналитическое решение данной задачи, справедливое в том числе для вырожденного эллипсоидального дефекта - эллиптической трещины.

Путь в - эллипсоид. Считается, что матрица П - изотропное линейно упругое тело с модулем сдвига ци и коэффициентом Пуассона Уи, а заданные нагрузки, соответствуют одноосному растяжению (сжатию) тела в направлении оси Х3, ег" = . Неизвестными геометрическими параметрами в данном случае являются координаты центра дефекта (ЛГ,0,А'°,Л'°), величины полуосей эллипсоида а,, аг, аг и их направления е[, е^, е^. Для

решения задачи идентификации достаточно выразить данные параметры через значения функционала взаимности (1).

В примере, рассмотренном в первой главе, связь параметров шарового дефекта и значений функционала взаимности, соответствующих различным регулярным упругим полям, была найдена с использованием явного вида решения прямой задачи. В случае эллипсоидального дефекта решение прямой задачи громоздко, поэтому его использование приводит к усложнению задачи идентификации. Подход, предложенный в диссертации, позволяет выразить геометрические параметры эллипсоидального дефекта через значения функционала взаимности без использования явного вида решения прямой задачи, а с использованием лишь основных его свойств.

Используя свойство постоянства упругих полей внутри эллипсоидального дефекта, получены следующие эквивалентные представления для функционала взаимности

с с

где верхним индексом I обозначено упругое поле внутри дефекта, Де,' = Щ - е,', Дст^ = ст,' - ¿т,', £>/ и ст,' - деформации и напряжения, отвечающие напряжениям сг,' и деформациям е[ , в материале с тензором упругих модулей С"и, соответственно.

Обозначим верхними индексами тп регулярные упругие поля с постоянными напряжениями следующего вида

А.) (7)

При этом поля с верхними индексами 11 и 33 соответствуют регулярным упругим полям в (2), (4). Обозначим верхним индексом Ш упругое поле в теле О, находящемся в условиях действия напряжений ег" =сг" на бесконечности. Для значений функционала взаимности, аргументами которого являются упругие поля с верхними индексами Ш и тп, введём следующие обозначения

Подставляя (7) в (6), для Кг1тп получим

^сгМ^ (9)

где [С?| - объём дефекта в .

Для нахождения координат центра эллипсоидального дефекта в диссертации использовались регулярные упругие поля с постоянными напряжениями (7) и напряжениями (2), линейно зависящими от координат. Подставляя (2) в (6) и используя (9), для нахождения координат центра дефекта были получены следующие выражения

33^,¿1) _ЯС{Ш,П) _ д,„,дс(зз^дз)+2;?зз,з/га(зз^д1) (Ш)

I ~ Д3ззз ' 1 ^3333 ' 1

После нахождения координат центра эллипсоидального дефекта для определения оставшихся геометрических параметров использовались регулярные упругие поля с постоянными напряжениями (7) и регулярные упругие поля с тензорами напряжений, квадратично зависящими от координат, записанные в системе координат М°ххх2х3 с началом в центре дефекта. При этом задача об определении величин и направлений полуосей эллипсоида в сведена к задаче о нахождении компонент г^. симметричной матрицы Ъ, определяемых следующими равенствами

с 5

Собственные значения матрицы Ъ равны квадратам величин полуосей эллипсоида -а2, а\, а], а соответствующие им собственные векторы направлены вдоль осей эллипсоида- е',, е^, е!,. Все регулярные упругие поля, использующиеся для нахождения компонент гу, в случае изотропного линейно упругого тела П, находящегося в условиях одноосного растяжения (сжатия) в направлении оси Х3, выписаны в диссертации в явном виде. Кроме поля 01, определённого в (4), использовались следующие регулярные упругие поля

-С* '

О О

-2х,х2

2 л3

2хЛ

{-2х,х3

2 2

О -х,х2 ^

ООО

(13)

Го о о

0 -х,х3 -х,х2 , о" V0 ХЛ 7

Подставляя (4) и (12) в (6) и используя (9), для нахождения компонент г у симметричной матрицы Ъ была получена система линейных алгебраических уравнений

- ( Дзззз + Кзт ) *зз = 512Ж?(33<*, 21)

(Лзззз-Лзз22)г„-(Лзззз-Лзз„)^+(ЛззП-Лззп)гзз=512^(ЗЗ^е2)

-(^3333 -Лззи)г„+(^3333 -Лзз,.)гзз-4^33.3^,3 =5^^(33^,0)

-2^3323^,2 +(Лзззз = 5^0(33^,24)

-211т1112 + {ЯШЗ -Лзз„)г2з = 512ДО(ЗЗйГ,25)

2Л3312г22 - 2Я3312г33 + 2 (*3333 - Л33,,) г12 = 5ПКв (33</, 26)

После решения системы уравнений (13) строится симметричная матрица Ъ = ). Собственные значения данной матрицы равны квадратам величин полуосей эллипсоида - а,2, а2, а], а соответствующие им собственные векторы направлены вдоль осей эллипсоида - е], е'2, Сз. Таким образом, задача идентификации геометрических параметров произвольного эллипсоидального линейно упругого включения в изотропной линейно упругой матрице по результатам одного статического испытания на одноосное растяжение (сжатие) решена.

Отметим, что полученные формулы справедливы также для вырожденного эллипсоидального дефекта - эллиптической трещины (считая, что наименьшая полуось эллипсоида а3, для эллиптической трещины имеем а3 =0). При этом координаты центра эллиптической трещины определяются по формулам (10). Далее находятся компоненты матрицы Ъ. В случае эллиптической трещины одно из собственных значений данной матрицы равно нулю, а соответствующий этому собственному значению собственный вектор направлен по нормали N к плоскости трещины. Два других собственных значения равны квадратам величин полуосей эллипса - а\, а\, а соответствующие им собственные векторы направлены вдоль осей эллипса - е^, е2.

Полученные формулы позволяют определять геометрические параметры эллипсоидального дефекта в независимо от его упругих свойств. В случае если дефект в -эллипсоидальное включение, то после нахождения его геометрических параметров могут быть найдены и его упругие модули. В диссертации показано, что упругие модули изотропного линейно упругого включения могут быть найдены по результатам одного

р-1_

(14)

статического испытания. При этом для определения модуля сдвига ц, и коэффициента Пуассона у, включения были получены следующие выражения

( 1 ^ И, А^-Ае,', 1 + -

где Зк1т - компоненты тензора Эшелби, приведенные в первом приложении к диссертации, е- _ деформации, отвечающие напряжениям а; в материале с тензором упругих модулей

Сда, а величины &е'т находятся по формуле (9).

" Полученные формулы являются точными в случае безграничного упругого тела. Для иллюстрации эффективности разработанного подхода для ограниченных упругих тел в диссертации рассмотрен ряд численных примеров. Во всех рассмотренных в данной главе численных примерах форма, упругие свойства и условия нагружения содержащего дефект упругого тела такие же, как и в примерах, рассмотренных в первой главе.

В Таблице 2 представлены примеры идентификации параметров эллипсоидальных

включений с центром в точке = (0.0,0), объёмом |С5| = 4^/3«4.1888, равным

объёму шара радиуса 1, соотношениями полуосей д = 03/а, =0.5, Р2 =а2/а, =0.9, ориентацией, определяемой углами Эйлера (<р,0,г) = (45%45%45°), и различными упругими свойствами, определяемыми отношением модулей сдвига и коэффициентом Пуассона

V,. Заданные значения ^ и у, представлены в первом столбце таблицы. Найденные

^ А Рг И <Р в П

2.0,0.3 0.000 0.000 0.000 0.509 0.901 4.330 44.958° 44.755° 44.832° 1.928 0.300

0.5,0.3 0.000 0.000 0.000 0.504 0.903 4.207 45.413° 44.957° 44.508° 0.500 0.300

2.0,0.1 0.000 0.000 0.000 0.509 0.901 4.341 44.900° 44.829° 44.931° 1.944 0.107

0.5,0.1 0.000 0.000 0.000 0.504 0.899 4.221 44.882° 44.965° 44.876° 0.501 0.103

2.0,0.4 0.000 0.000 0.000 0.508 0.901 4.328 44.947° 44.717° 45.040° 1.915 0.395

0.5,0.4 0.000 0.000 0.000 0.499 1 0.898 4.167 | 44.881° 44.823° 45.126° 0.498 ли пкто 0.401 чений.

имеющих различные упругие свойства.

В Таблице 3 представлены примеры идентификации параметров эллиптических трещин с центром в точке (Л',0,^'") = (0,0,0), площадью |С?| = л » 3.1416, равной площади круга

радиуса 1, ориентацией, определяемой углами Эйлера (р,#,^) = (30',45",60'), и различным соотношением полуосей р2. Заданные значения соотношения полуосей р2 представлены в первом столбце таблицы. Найденные параметры представлены в остальных столбцах таблицы.

Рг XI Рг N <Р в С

0.2 0.000 0.000 0.000 0.187 2.926 28.487° 44.461° 61.071°

0.4 0.000 0.000 0.000 0.393 3.062 30.092° 44.948° 59.857°

0.5 0.000 0.000 0.000 0.494 3.066 30.258° 44.821° 59.851°

0.6 0.000 0.000 0.000 0.596 3.084 30.103° 44.791° 59.965°

0.9 0.000 0.000 0.000 0.896 3.073 29.850° 44.725° 59.518°

1.0 0.000 0.000 0.000 1.000 3.116 29.764° 45.058° 84.394°

Таблица 3. Результаты идентификации эллиптических трещин, имеющих различное соотношение полуосей.

Результаты, приведенные в Таблицах 1,2, а также примеры идентификации эллипсоидальных полостей, эллипсоидальных жёстких включений и эллиптических трещин, имеющих различные координаты центра и ориентацию, рассмотренные в диссертации, демонстрируют высокую эффективность разработанного метода идентификации.

В третьей главе рассмотрена задача идентификации параметров эллипсоидального дефекта в произвольно анизотропном линейно упругом теле по данным одного статического испытания, не обязательно являющегося испытанием на одноосное растяжение (сжатие). Получены аналитические выражения для нахождения координат центра дефекта, а также представлена процедура нахождения регулярных упругих полей, позволяющих выразить компоненты г,у симметричной матрицы Ъ через значения функционала взаимности.

Пусть в - эллипсоид. Считается, что матрица П - анизотропное линейно упругое тело с тензором упругих модулей а приложенные к телу нагрузки, соответствуют

произвольному однородному напряжённому состоянию а" в теле без дефекта б. Для решения задачи идентификации достаточно выразить неизвестные геометрические параметры эллипсоидального дефекта О через значения функционала взаимности (1).

Рассмотрим регулярные упругие поля с постоянными напряжениями (7). Для значений функционала взаимности, соответствующих данным полям введём следующее обозначение Мтп =]Ю(с1,тп}. Величины М^ образуют симметричный тензор второго ранга.

Следовательно, найдётся такая система координат ОУ1Г2У3, в которой данный тензор имеет

диагональный вид.

Для нахождения координат центра эллипсоидального дефекта в диссертации использовались регулярные упругие поля с постоянными напряжениями и напряжениями, линейно зависящими от координат, записанные в системе координат ОУ|У2Г3 и имеющие в этой системе координат вид (2) (при этом X, в (2) следует заменить на 1^). Для нахождения координат центра дефекта были получены следующие выражения.

Xa у° RGÍd,Lk)

(15)

где верхней волнистой линией обозначены регулярные упругие поля, записанные в системе координат OYxY2Y:,, а М* = RG(d,55).

После нахождения координат центра дефекта задача о нахождении величин и направлений полуосей эллипсоида G сводится к задаче о нахождении компонент (И) симметричной матрицы Z. Собственные значения матрицы Z равны квадратам величин полуосей эллипсоида - о,2, а\, а], а соответствующие им собственные векторы направлены вдоль осей эллипсоида- e¡, е'2, е'3. Для нахождения компонент матрицы Z используются регулярные упругие поля с тензорами напряжений, квадратично зависящими от координат, записанные в системе координат м\х2х3 с началом в центре дефекта. Явный вид данных полей в случае изотропной линейно упругой матрицы О и случае нагрузок, соответствующих одноосному растяжению (сжатию) тела в направлении оси X3, представлен во второй главе диссертации. Процедура нахождения регулярных упругих полей, обозначаемых верхним индексом Qst, s = 1,2,3, / = 1,2,3, позволяющих выразить компоненты матрицы Z через значения функционала взаимности (1), в случае анизотропной линейно упругой матрицы П и случае нагрузок, соответствующих произвольному однородному напряжённому состоянию в теле без дефекта, представлена в настоящей главе диссертации.

Тензоры деформаций ef для регулярных упругих полей Qst запишем в виде

„Q«_i„«vv С6)

eij ~ jl ijkJ к i

где а*ы - коэффициенты, удовлетворяющие равенствам а"и = a"¡M - аЦ,к = .

Из условий совместности деформаций следуют б уравнений относительно а*и

гуа +Гу" -а" -а" =0 (17)

tjmn mntj Injm "jmm u

Из уравнений равновесия следуют 9 уравнений относительно аг"и . м » _0 (18)

Кроме того, на коэффициенты а''и были наложены 6 дополнительных условий

где Км = ДО^с/./тд), а индекс рд обозначает регулярные упругие поля с постоянными

деформациями вида е"" = +8т31т)12.

Равенства (17), (18), (19) представляют собой неоднородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Всего 21

уравнение относительно 36 неизвестных а*и. Система уравнений является недоопределённой и может быть записана в виде

Ас!1' = Ь1' (20)

где А - матрица системы размера 21x36, с!" - вектор неизвестных величин а"и размера

36x1; Ь" - вектор правых частей неоднородной системы линейных алгебраических уравнений размера 21x1.

После нахождения коэффициентов а"и, удовлетворяющих уравнениям (20), для определения компонент г„ симметричной матрицы Ъ используются регулярные упругие поля с тензорами деформаций, имеющими вид (16). При этом справедливы следующие равенства

(21)

Отметим, что если ск^АА7) * 0, то система уравнений (20) разрешима и имеет

бесконечное множество решений. Каждому из этих решений соответствует регулярное упругое поле <2$[, которое может быть использовано для определения компонент матрицы Ъ. В диссертации показано, что одно из частных решений системы уравнений (20) может быть записано в виде

а-=Аг(ААг)",Ья СИ)

Для иллюстрации эффективности разработанного подхода для идентификации эллипсоидального дефекта в ограниченном анизотропном линейно упругом теле по данным испытания, не обязательно являющегося испытанием на одноосное растяжение (сжатие), в диссертации рассмотрен ряд численных примеров.

В Таблице 4 представлены примеры идентификации параметров эллипсоидальных полостей с центром в точке (Х,0,Х2°,*3°) = ( 1,2,3), объёмом |0| = 4л-/3«4.1888, равным объёму шара радиуса 1, соотношениями полуосей р,=0.25, р2=0.5, ориентацией, определяемой углами Эйлера {ср,в,ц>) = (30\40\50'), в анизотропном линейно упругом теле V в форме куба по данным испытания на двухосное растяжение, о""=сг[8а5^+5л51}).

Результаты, представленные в Таблице 4, получены в предположении, что в кристаллографической системе координат упругие свойства анизотропной матрицы П соответствуют свойствам ортотропного топаза. Заданные значения углов Эйлера (Д ,/?2,/?3),

характеризующих ориентацию кристаллографической системы координат матрицы П, представлены в первом столбце Таблицы 4. Найденные значения параметров эллипсоидальной полости представлены в остальных столбцах таблицы.

(А.А.А) % XI Х3° р\ Рг 9 в V

(0°,0°,0°) 1.000 2.000 3.000 0.260 0.501 4.372 29.926° 39.963° 50.061°

(45°,45°,0°) 1.000 2.000 3.000 0.259 0.501 4.343 29.841° 39.919° 50.136°

(45°,45°,30°) 1.000 2.000 3.000 0.259 0.501 4.354 29.888° 39.934° 50.100°

(45°,45°,45°) 1.000 2.000 3.000 0.259 0.501 4.350 29.898° 39.945° 50.085°

(45°,45°,60°) 1.000 2.000 3.000 0.259 0.501 4.343 29.923° 39.949° 50.069°

Таблица 4. Результаты идентификации эллипсоидальных полостей в анизотропных линейно упругих телах, имеющих различные упругие свойства.

Результаты идентификации эллипсоидального дефекта в анизотропных линейно упругих телах, имеющих различные упругие свойства, по данным испытания на двухосное растяжение, приведенные в Таблице 4, а также примеры идентификации эллипсоидальных дефектов и эллиптических трещин по данным других видов испытаний, рассмотренные в диссертации, демонстрируют высокую эффективность разработанного метода идентификации.

В четвёртой главе численно исследуется возможность использования полученных формул для идентификации дефектов, имеющих неэллипсоидальную форму, а также чувствительность результатов идентификации эллипсоидальных дефектов по отношению к числу измерений и погрешностям в исходных экспериментальных данных.

Пусть форма дефекта в заранее неизвестна. Тогда, зная перемещения и'' на границе дУ ограниченного упругого тела V и предположив, что дефект в является эллипсоидальным, можно определить его параметры по формулам, полученным в диссертации.

Графические сравнения геометрии полостей в форме правильных четырёхугольных пирамид с центом в точке (х,0,^0,^0) = (0,0,0), объёмом |<3| = 4/г/3 = 4.1888, равным объёму шара радиуса 1, и ориентацией, определяемой углами Эйлера (^,0,у/) = (ЗО\45\6О°), с геометрией восстановленных аппроксимирующих эллипсоидов

представлены на Рис.2. Форма, упругие свойства и условия нагружения содержащего дефект упругого тела такие же, как и в примерах, рассмотренных в первой глайе.

Рис.2. Графические сравнения геометрии дефектов в форме правильных четырёхугольных пирамид с геометрией построенных аппроксимирующих эллипсоидов.

Графические сравнения проекций треугольной трещины с центром в точке = (0,0,0), площадью |С?| = тг«3.1416, равной площади круга радиуса 1, и

ориентацией, определяемой углами Эйлера (<р,в,у/) = (30°,45°,60°), с проекциями

восстановленного аппроксимирующего эллипса на различные координатные плоскости представлены на Рис.3 (Рис.3,а - плоскость Х1Х2, Рис.3,б - плоскость ХхХ3, Рис.3,в -плоскость Х2Х3). Форма, упругие свойства и условия нагружения содержащего дефект упругого тела такие же, как и в примерах, рассмотренных в первой главе.

(а) (б) (в)

Рис.3. Графические сравнения проекций треугольной трещины с проекциями построенного аппроксимирующего эллипса на различные координатные плоскости.

Результаты, представленные на Рис.2,3, а также примеры идентификации полостей в форме цилиндров, параллелепипедов и правильных треугольных пирамид, а также прямоугольных трещин и трещины, имеющей невыпуклую форму, рассмотренные в диссертации, демонстрируют хорошее соответствие между геометрией реального дефекта и геометрией аппроксимирующего эллипсоида (эллипса в случае трещины).

Во всех численных примерах, рассмотренных в диссертации, для вычисления значений функционала взаимности (1) каждая грань куба V разбивалась на тхт одинаковых квадратных элементов. Для каждого элемента перемещения и* вычислялись в 9 точках методом конечных элементов. При этом перемещения, получаемые методом конечных элементов, моделируют перемещения, измеряемые в эксперименте. Общее число точек, в которых вычислялись перемещения и'' обозначим N„=6x9хтхт. После нахождения

перемещений интегралы (1) по соответствующим элементам вычислялись с помощью квадратурной формулы Гаусса с 9 узлами.

Исследована чувствительность результатов идентификации по отношению к числу измерений . Установлено, что для надёжной идентификации дефекта размер элементов,

разбивающих грани куба, должен быть сопоставим с размерами дефекта.

Исследована чувствительность результатов идентификации по отношению к случайным погрешностям в исходных данных о перемещениях и*. При этом погрешность в исходных данных моделировалась случайным вектором Е

Е = Ё* Р3)

где Ё случайная величина, распределённая по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием т = 0 и среднеквадратическим отклонением 1,ас- случайный единичный вектор с координатами, равномерно распределёнными по полусфере {Х:Х^ + Х\ + Х32 = 1, Х3 > 0}. Условие т = 0 соответствует отсутствию в исходных данных

систематической погрешности.

Значения функционала взаимности определяются величиной возмущения Ди, вносимого дефектом в однородное упругое поле, Ди = и' - и0, и0 - вектор перемещений в упругом теле V без каких-либо дефектов, условия нагружения которого соответствуют условиям нагружения исходного тела с дефектом. В качестве меры для величины возмущения Ди была выбрана следующая величина

(24)

где X', ;=1,...,ЛГ„ - координаты точки на границе дУ тела V, в которой выполняется /-ое измерение.

Очевидно, что для надёжной идентификации дефекта погрешности при измерении

перемещений должны быть малы по сравнению с величиной Дм .

При заданном значении параметра 5 к каждой компоненте вычисленного вектора

перемещений и1' добавлялся независимым образом случайный вектор погрешности Е.

В Таблице 5 представлен пример идентификации параметров эллипсоидальной полости с центром в точке (Х1°,^20,АГ3°) = (1,2,3), объёмом |0| = 33.5103, равным объёму шара радиуса 2, соотношениями полуосей р, =2.0, р2 =1.5 и ориентацией, определяемой углами Эйлера (<р,в,у/) = (30°,40',50°), при л = 0.07Д^. Принимая во внимание случайный характер

погрешности, представлены 4 реализации случайной величины. Форма, упругие свойства и условия нагружения содержащего дефект упругого тела такие же, как и в примерах, рассмотренных в первой главе.

XI Р\ Р7 N <Р в V

1 0.997 1.997 3.024 2.448 1.794 27.083 33.043 42.429 50.500

2 1.000 2.006 3.005 2.285 1.639 31.641 25.083 36.237 53.730

3 1.003 1.993 3.009 1.723 1.355 37.068 28.410 38.957 47.667

4 1.001 2.000 3.004 2.023 1.422 32.484 35.706 36.270 42.873

Таблица 5. Результаты идентификации эллипсоидальной полости при 5 = 0.07Аи.

Результаты, представленные в Таблице 5, а также результаты идентификации эллипсоидальных полостей и эллиптических трещин, полученные в диссертации для других значений параметра 5 (максимальное рассмотренное значение я = 0.1Ди)> показали, что даже при наличии шума в исходных экспериментальных данных предложенный метод идентификации позволяет определять параметры дефекта с хорошей точностью.

В пятой главе представлено описание численных процедур, использованных во всех рассмотренных в диссертации примерах для моделирования эксперимента. Кроме того, описана процедура вычисления значений функционала взаимности, по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе тела.

Численный эксперимент предполагает решение прямой задачи Неймана для упругого тела V при заданных на его границе дУ усилиях . При этом перемещения и"*, получаемые из решения прямой задачи, моделируют перемещения, измеряемые в эксперименте. Схематически численный эксперимент можно представить состоящим из трёх основных этапов (Рис.4).

Рис.4. Схематическое представление численного эксперимента.

В диссертации для решения прямых задач для тел с дефектами использовался метод конечных элементов, реализованный в программном комплексе АЫЗУЭ (версия 11.0). Особое внимание при решении прямых задач методом конечных элементов было уделено построению расчётных сеток для тел с дефектами (трещинами, полостями, жёсткими и линейно упругими включениями).

Представлено подробное описание процедуры построения расчётных сеток, справедливой для всех типов дефектов, рассмотренных в диссертации. Описанная процедура реализована в программном комплексе АЬ'ЗУЭ. Пример использования данной процедуры для построения расчётной сетки для упругого тела в форме куба, содержащего эллипсоидальную полость, представлен на Рис.5.

Рис.5. Пример расчётной сетки для упругого тела в форме куба, содержащего эллипсоидальную полость.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В первом Приложении представлены известные аналитические выражения для компонент тензора Эшелби для изотропных и анизотропных линейно упругих тел. Данный тензор входит в решение прямой задачи об эллипсоидальном включении и используется во второй главе диссертации для определения упругих модулей дефекта.

Во втором Приложении представлен пример использования внутреннего языка программного комплекса ANSYS - APDL (ANSYS Parametric Design Language) для решения прямой задачи об эллипсоидальной полости и вычисления перемещений на внешней границе упругого тела. Данный программный комплекс используется во всех рассмотренных в диссертации численных примерах для моделирования эксперимента.

В третьем Приложении представлен пример реализации на языке Fortran процедур вычисления значений функционала взаимности по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе упругого тела, добавления к исходным данньм о перемещениях случайной погрешности и определения параметров дефекта.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен метод идентификации дефектов в линейно упругих телах по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе тела, полученным в одном статическом испытании;

получены явные аналитические выражения. Полученное решение является точным для безграничных упругих тел и приближённым в случае, когда содержащее дефект упругое тело ограничено;

3. Предложенный метод решения задачи идентификации позволяет разделить её так, что геометрические параметры эллипсоидального дефекта определяются независимо от его упругих свойств. В случае, когда дефект - изотропное линейно упругое включение, также получены аналитические формулы для определения его упругих модулей;

4. Для анализа эффективности разработанного метода идентификации рассмотрен ряд численных примеров, в которых для получения исходных экспериментальных данных вместо реального выполнялся численный эксперимент. Для реализации численных экспериментов в диссертации разработан комплекс специальных программ для пакета ANSYS;

5. Рассмотрены численные примеры, показывающие, что даже в тех случаях, когда дефект расположен в непосредственной близости от внешней границы тела, полученные формулы позволяют определять его геометрические и механические параметры с довольно высокой точностью;

6. Численно исследована возможность использования полученных результатов для идентификации дефектов, имеющих неэллипсоидальную форму. Показано, что во всех рассмотренных случаях эллипсоид (эллипс в случае трещины), восстановленный по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе тела, достаточно точно аппроксимирует реальный дефект (дефекты в форме цилиндра, параллелепипеда, правильной четырёхугольной и треугольной пирамид, а также прямоугольные, треугольные трещины и трещину, имеющую невыпуклую форму);

7. Численно исследована устойчивость полученных результатов по отношению к числу измерений и случайным погрешностям в исходных экспериментальных данных. Показано, что для надёжной идентификации дефекта расстояния между точками, в которых выполняются измерения, должны быть сопоставимы с размерами дефекта. Установлено, что даже при наличии шума в исходных экспериментальных данных, параметры дефекта определяются с хорошей точностью.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Goldstein R.V., Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Application of invariant integrals to the problems of defect identification // Int. J. Fract. 2007. V.147. N.l-4. P.45-S4.

2. Goldstein R.V., Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Application of invariant integrals to elastostatic inverse problems // C.R. Mecanique. 2008. V.336. N.l-2. P.108-117.

3. Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of a spheroidal defect in an elastic solid using a reciprocity gap functional // Inv. Probl. 2010. V.26. N.5. 055001.

4. Shifrin E.I, Shushpannikov P.S. Identification of an ellipsoidal defect in an elastic solid using boundary measurements // Int. J. Solids Struct. 2011. V.48. P.1154-1163.

5. Капцов A.B., Шифрин Е.И., Шушпанников П.С. Определение параметров плоской эллиптической трещины в изотропном линейно упругом теле по результатам одного испытания на одноосное растяжение // Изв. РАН. МТТ. 2012. №4. С.71-87.

6. Shifnn E.I., Shushpannikov P.S. Identification of defects in an elastic body by means of the boundary measurements // Key Engineering Forum. 2012 (в печати).

7. Гольдштейн P.B., Шифрин Е.И., Шушпанников П.С. Применение инвариантных интегралов к задаче идентификации дефектов в упругом теле по результатам статических испытаний. В сб.: «Актуальные проблемы механики» (ред. Гольдштейн Р.В.). М.: Наука, 2009. С.76-90.

8. Goldstein R.V., ShifrinE.I., Shushpannikov P.S. Application of invariant integrals to the problems of defect identification. In: "Defects and Material Mechanics" (Eds. Dascalu C., MauginG., StolzC.), Proc. International Symposium on Defect and Material Mechanics (ISDMM), March 25-29,2007, Aussois, France. Dordrecht: Springer, 2008. P.45-54.

9. Шушпанников П.С. Решение задачи об определении положения и характеристик эллипсоидального включения по данным экспериментов над деформируемым телом. Научные труды Международной молодёжной научной конференции «XXXII Гагаринские чтения», 4-8 апреля 2006 г., Москва. М.: МАТИ, 2006. T.l. С.173

10. Шушпанников П.С. Обратная задача идентификации дефектов в упругом теле. Научные труды Международной молодёжной научной конференции «XXXIV Гагаринские чтения», 1-5 апреля 2008, Москва. М.: МАТИ, 2008. Т.1. С. 228-230.

И. Шушпанников П.С. Применение функционала взаимности для решения задачи идентификации эллипсоидального дефекта в упругом теле. Научные труды Международной молодёжной научной конференции «XXXVI Гагаринские чтения», 6-10 апреля 2010, Москва. М.: МАТИ, 2010. T.l. С.236-238.

12. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И., Шушпанников П.С. Применение инвариантных интегралов для решения задачи идентификации дефекта в упругом теле. Тезисы докладов Всероссийской конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела». 13-15 октября 2008, Пермь. С.35.

13. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И., Шушпанников П.С. Применение функционала взаимности для решения задачи идентификации сфероидальной поры и сфероидального жёсткого включения в упругом теле. Труды Второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела». 8-11 декабря 2009 г., Казань. Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. С.130-133.

14. ShifrinE.I., Shushpannikov P.S. Application of reciprocity gap functional to the problem of spheroidal defect identification. In Proc. 18th European Conference on Fracture "Fracture of Materials and Structures from Micro to Macro Scale". 30 August - 3 September 2010, Dresden, Germany (CD Proceedings).

15. Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Application of the reciprocity gap method for the problem of elliptic crack identification. In: Proc. 1st Interquadrennial ICF Conference in Middle East and Africa. 14-17 November 2011, Luxor, Egypt (CD Proceedings).

МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЕФЕКТОВ В ЛИНЕЙНО УПРУГИХ ТЕЛАХ ПО ДАННЫМ СТАТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ

Шушпанников Павел Сергеевич

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 16.08.2012 г. Заказ №15-2012 г. Тираж 120 экз.

Отпечатано на ризографе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук 119526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп.1

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шушпанников, Павел Сергеевич

Введение.

Глава 1. Задача идентификации дефекта в линейно упругом теле.

Функционал взаимности и его применение для решения задач идентификации.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Функционал взаимности. Метод решения, основанный на применении функционала взаимности. Инвариантные интегралы.

1.3. Шаровой дефект в изотропном линейно упругом теле.

1.4. Случай ограниченного упругого тела. Численные примеры.

Введение диссертация по механике, на тему "Метод идентификации дефектов в линейно упругих телах по данным статических испытаний"

Известно, что дефекты (трещины, полости, жёсткие и упругие включения) являются концентраторами напряжений и в значительной мере обуславливают процессы, приводящие к разрушению упругих тел. Следовательно, представляет большой практический интерес задача обнаружения таких дефектов и определения их параметров - задача идентификации. С математической точки зрения задача идентификации представляет собой нелинейную обратную задачу. Разработка методов решения таких задач является в настоящее время актуальной фундаментальной научной проблемой.

Отметим также, что задача идентификации дефектов является ключевой проблемой, возникающей при проведении неразрушающего контроля материалов и элементов конструкций. Кроме того, решение данной задачи требуется в связи с совершенствованием методов сейсмологии (см. Аки, Ричарде [1]), а также методов диагностики мягких биологических тканей (см. Сковорода [15]).

Для решения задач идентификации были разработаны различные аналитические и численные методы. Часть из них применяется для идентификации дефектов в упругих телах меньшей размерности: стержнях и балках (к примеру, Глэдвелл [10]), пластинах (к примеру, Grediac, Toussaint, Pirron [63,64], Grediac, Pirron [65], Ikehata, Itou [68-70]).

Методы идентификации дефектов в трёхмерных упругих телах можно разделить на те, что основаны на данных динамических испытаний и те, что основаны на данных статических испытаний. Здесь и ниже под динамическими испытаниями подразумеваются испытания, в которых прикладываемые к телу нагрузки являются функциями времени. Случай постоянных нагрузок соответствует статическим испытаниям.

Методы, основанные на данных динамических испытаний, рассматривались в монографиях Ватульяна [3], Bui [40], в обзоре Bonnet,

Constantinescu [39]. Среди большого количества работ, посвященных динамическим обратным задачам, также отметим работы Глушкова, Глушковой, Ехлакова [6], Сумбатяна и Боева [16], Pompei, Rigano, Сумбатяна [90], недавние работы Ватульяна [4] и Ватульяна и Беляк [5].

Методы, основанные на данных статических испытаний, рассматривались в монографиях Ammari, Kang [24,25], Bui [40], Stavroulakis [100], в обзорах Avril, Bonnete, Bretelle и др. [31], Bonnet, Constantinescu [39].

Целями настоящей диссертации являются:

3. Численный анализ эффективности разработанного метода идентификации.

По этой причине ниже остановимся более подробно на методах решения статических обратных задач.

Обзор литературы

Большинство существующих методов используют следующую схему решения: параметризация задачи; решение прямой задачи для заданных значений характеризующих дефект параметров; построение целевой функции, описывающей невязку между величинами, измеренными в статических испытаниях, и величинами, получаемыми из решения прямой задачи; минимизация целевой функции одним из известных способов. Наглядными примерами использования описанной схемы решения являются работы Beretta, Francini, Kim и др. [37], Constantinescu [53], Kasab, Moslehy, Daryapurkar [79], 5

Keat, Larson, Verges [80], Khodadad, Dashti-Ardakani [81], Schnur, Zabaras [92], Tsotsova [102].

Основным достоинством данных методов является возможность их использования даже в тех случаях, когда данные испытаний известны не на всей поверхности тела, а только на её части (см. Gutierrez, Mura [66]).

К недостаткам следует отнести возможное наличие нескольких минимумов целевой функции, неопределенность в выборе начального приближения и зависимость от него получающихся при локальной минимизации целевой функции результатов, а также необходимость многократного решения прямой задачи и связанные с этим вычислительные трудности.

В некоторых случаях неопределённость, связанная с выбором начального приближения, может быть снята за счёт регуляризации целевой функции (к примеру, Lee, Kim, Park и др. [85]).

Алгоритмы поиска глобального минимума, не предполагающие выбора начального приближения, также используются при решении задач идентификации. Так, в работах Engelhardt, Schanz, Stavroulakis и др. [54], Stavroulakis, Antes [98,99], Stavroulakis, Bolzon, Waszczyszyn и др. [101], Khodadad, Dashti-Ardakani [82], Koguchi, Watabe [84], а также монографии Stavroulakis [100] для нахождения глобального минимума целевой функции использовались генетические алгоритмы (к примеру, Huapt, Huapt [74]). В работе Khodadad, Dashti-Ardakani [82] полученный глобальный минимум рассматривался в качестве начального приближения при последующей локальной минимизации целевой функции.

Основная сложность, возникающая при реализации алгоритмов глобальной минимизации, связана с необходимостью вычисления целевой функции для большого числа точек в пространстве характеризующих дефект параметров. При этом каждое вычисление целевой функции требует решения новой прямой задачи.

В работах Jackowska-Strumillo, Sokolowski, Zochowski [75], Jackowska-Strumillo, Sokolowski, Zochowski и др. [76] был развит подход к решению задач идентификации, основанный на использовании топологической производной (в англоязычной литературе «topological derivative», Eschenauer, Kobelev, Schumacher [55], Garreau, Guillaume, Masmoudi [59], Novotny, Feijoo, Taroco и др. [88], Sokolowski, Zochowski [97]. Применительно к динамическим обратным задачам данный подход рассматривался в работах Bellis, Bonnet [32,33], Bonnet, Guzina [38,67], Carpió, Rapun [46,47]). Значение топологической производной целевой функции соответствует изменению данной функции, связанному с внесением в однородное упругое тело дефекта бесконечно малого размера. Наиболее вероятное расположение дефекта отвечает точке, в которой топологическая производная целевой функции имеет экстремум (см. Gallego, Rus [58]). Данное свойство топологической производной позволяет использовать её для выбора начального приближения при локальной минимизации целевой функции. Другое применение топологической производной связано с ускорением алгоритмов глобальной минимизации (см. Gallego, Rus [58], Jackowska-Strumillo, Sokolowski, Zochowski и др. [76]).

Подход к решению задач идентификации, основанный на использовании метода множества уровня, был предложен в работах Ben Ameur, Burger, Hackl [35,36], Burger [43,44] (в англоязычной литературе «level set method», Osher, Fedkiw [89]). При этом в качестве искомой характеристики дефекта рассматривается функция, один из уровней которой соответствует границе дефекта. Описанный в Ben Ameur, Burger, Hackl [35,36], Burger [43,44] алгоритм нахождения функции уровня обеспечивает локальную минимизацию целевой функции. Отметим также работу Burger, Hackl, Ring [45], в которой представлен пример совместного использования метода множества уровня и метода, основанного на применении топологической производной.

Основным преимуществом метода множества уровня является возможность идентификации дефектов без их предварительной параметризации. Недостатки являются общими для большинства 7 оптимизационных методов: возможное наличие нескольких минимумов целевой функции, неопределенность в выборе начального приближения и зависимость от него получающихся результатов, а также сложность компьютерных программ, реализующих данные методы.

Свободными от указанных недостатков являются методы, позволяющие определять параметры дефекта (или некоторые из них) без использования процедуры минимизации целевой функции.

В работе Alessandrini, Morassi, Rosset [20] был предложен метод получения верхней и нижней оценок для объёма одиночного дефекта произвольной формы в изотропном линейно упругом теле. При этом был рассмотрен случай, когда дефект - изотропное линейно упругое включение. Представленные в Alessandrini, Morassi, Rosset [20] оценки записаны через изменение упругой энергии тела, определяемое наличием дефекта, величина которого может быть вычислена по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе тела, полученным в одном произвольном статическом испытании. Аналогичные оценки для случаев полости и жёсткого включения были получены в работе Morassi, Rosset [86]. Численные примеры использования разработанного в Alessandrini, Morassi, Rosset [20] метода рассмотрены в работах Alessandrini, Bilotta, Formica и др. [21,22].

Метод идентификации параметров одиночного дефекта (полости, жёсткого или линейно упругого включения) в изотропном линейно упругом теле, основанный на использовании асимптотического разложения решения прямой задачи был предложен в работе Ammari, Kang, Nakamura и др. [23]. Данный метод был использован в Ammari, Kang, Nakamura и др. [23] для определения местоположения дефекта и получения оценки для величины его объёма. Случай плоского эллиптического дефекта был рассмотрен в работах Kang, Kim, Lee [77,78]. При этом дополнительно были получены формулы для определения соотношения полуосей эллипса и его ориентации, а также рассмотрены численные примеры идентификации плоских круговых и эллиптических дефектов. В качестве основных недостатков разработанного в 8

Ammari, Kang, Nakamura и др. [23] метода идентификации следует отметить необходимость проведения 6 независимых испытаний, а также сложность используемого для нахождения параметров дефекта математического аппарата, затрудняющего практическую реализацию указанного метода. Кроме того, для надёжной идентификации параметров дефекта с помощью данного метода требуется знать его упругие модули.

В настоящей диссертации для решения задачи идентификации используется метод, основанный на применении функционала взаимности (в англоязычной литературе «reciprocity gap functional»). Впервые данный метод был предложен в работах Andrieux, Ben Abda [26,27] применительно к решению обратных задач для уравнения типа Лапласа и использован для идентификации плоских одиночных трещин. Обобщение данного метода на случай уравнений статической теории упругости было представлено в работах Andrieux, Ben Abda, Bui [28,29], а также изложено в монографии Bui [40]. Заметим, что возможность использования интегралов, определяемых принципом взаимности, для решения обратных задач статической теории упругости также отмечалась в более ранней работе Ioakimidis [72]. Среди прочих упомянем также работы Ben Abda, Delbary, Haddar [34], Bui, Chaillat, Constantinescu и др. [41], Bui, Constantinescu, Maigre [42], Colton, Haddar [52], в которых функционал взаимности использован для решения динамических обратных задач (в том числе для вязкоупругих тел Bui, Chaillat, Constantinescu и ДР-[41]).

В упомянутых выше работах Andrieux, Ben Abda, Bui [28,29] рассмотрена задача идентификации плоской трещины в изотропном линейно упругом теле. При этом с использованием метода, основанного на применении функционала взаимности, получены точные аналитические формулы для нахождения местоположения и ориентации трещины по данным двух статических испытаний, а также предложен подход к определению формы трещины.

В работе Капцова, Шифрина [11] развит метод идентификации, основанный на применении инвариантных интегралов. При этом получены 9 точные аналитические формулы для нахождения местоположения, размера и ориентации плоской трещины в изотропном линейно упругом теле по данным трёх статических испытаний. В работе Шифрина [18] было доказано, что метод, основанный на применении инвариантных интегралов, и метод, основанный на применении функционала взаимности, эквивалентны.

В отличие от результатов, представленных в работах Капцова, Шифрина [11] и Andrieux, BenAbda, Bui [28,29], метод идентификации, предложенный в настоящей диссертации, а также полученные с использованием данного метода аналитические решения годятся как для плоских трещин, так и для полостей, и включений (в том числе жёстких), имеющих эллипсоидальную или не слишком отличную от неё форму, а также для анизотропных упругих тел. В то время как метод, развитый в Andrieux, Ben Abda, Bui [28,29], предполагает проведение как минимум двух различных испытаний, а в Капцов, Шифрин [11] - трёх, для предлагаемого метода достаточно провести лишь один эксперимент.

Подход к определению формы трещины, предложенный в Andrieux, Ben Abda, Bui [28,29], предполагает нахождение носителя функции скачка перемещений путём численного обращения преобразования Фурье, которое в свою очередь, получается численно. Численная реализация такого подхода весьма затруднительна, вследствие чего в Andrieux, BenAbda, Bui [28,29] не рассмотрено никаких численных примеров. Изложенный в настоящей диссертации метод допускает простую и эффективную реализацию, что подтверждается многочисленными рассмотренными примерами.

В заключение отметим, что в отличие от Andrieux, Ben Abda, Bui [28,29] при разработке метода идентификации и решении соответствующих обратных задач в настоящей диссертации предполагается, что содержащее дефект упругое тело - безгранично. При сделанном предполоэ/сении впервые получено точное аналитическое решение задачи идентификации эллипсоидального дефекта в анизотропном линейно упругом теле по данным одного статического испытания. Данное решение является точным для безграничных

10 упругих тел и может быть приближённо использовано для идентификации дефектов в ограниченных упругих телах. Численные примеры, рассмотренные в настоящей диссертации, показывают, что даже в тех случаях, когда дефект расположен в непосредственной близости от внешней границы тела, полученные формулы позволяют определять его параметры с довольно высокой точностью.

Описание работы

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, трёх приложений и списка литературы. Последний включает 105 наименований. Общее количество рисунков - 22, таблиц - 44.

В Главе 1 дана строгая математическая постановка рассматриваемой в диссертации задачи идентификации. Вводится функционал взаимности, зависящий от двух упругих полей: в теле с дефектом и регулярного упругого поля в теле без дефекта. Приводятся основные свойства данного функционала. Описывается метод идентификации, основанный на применении функционала взаимности, а также других инвариантных интегралов, обладающих аналогичными свойствами.

Основная идея данного метода заключается в том, что по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе тела (или на любой замкнутой поверхности, содержащей дефект) значения функционала взаимности могут быть вычислены для любого заданного регулярного упругого поля. С другой стороны, значения функционала взаимности определяются параметрами дефекта. Следовательно, для решения задачи идентификации достаточно выразить неизвестные параметры дефекта через значения функционала взаимности. В качестве простейшего примера использования описанного метода рассматривается задача идентификации шарового дефекта в изотропном линейно упругом теле по данным одного статического испытания на одноосное растяжение (сжатие). Решение данной задачи получено в аналитическом виде.

Обсуждается применимость формул, полученных в предположении о безграничном упругом теле, для идентификации дефектов в ограниченных упругих телах. Рассмотрены численные примеры идентификации шаровых дефектов в ограниченном изотропном линейно упругом теле. Показано, что даже в тех случаях, когда дефект расположен в непосредственной близости от внешней границы тела, полученные формулы позволяют определять его параметры с высокой точностью.

В Главе 2 описан подход, позволяющий выразить параметры, характеризующие размер и ориентацию эллипсоидального дефекта, через значения функционала взаимности. Подход справедлив для произвольного анизотропного линейно упругого тела, содержащего дефект. В качестве иллюстрации основной идеи данного подхода рассматривается задача идентификации эллипсоидального дефекта в изотропном линейно упругом теле по данным одного статического испытания на одноосное растяжение (сжатие). Используемые для идентификации регулярные упругие поля в рассматриваемом случае могут быть записаны в явном виде. Для нахождения геометрических параметров дефекта (координат центра, величин и направлений полуосей эллипсоида), а также его упругих модулей получены точные аналитические выражения. Отметим, что формулы для геометрических параметров дефекта получены в диссертации без использования явного вида решения прямой задачи, а с использованием лишь основных его свойств. Для определения упругих модулей дефекта используется решение прямой задачи об эллипсоидальном включении. Полученные при этом формулы справедливы как для изотропных, так и для анизотропных упругих тел. Рассмотрены численные примеры идентификации эллипсоидальных дефектов в ограниченных изотропных линейно упругих телах.

Обсуждается применимость полученных формул для идентификации вырожденного эллипсоидального дефекта - эллиптической трещины. Рассматриваются численные примеры, демонстрирующие эффективность метода, основанного на применении функционала взаимности, для идентификации дефектов данного типа.

Рассматривается частный случай эллипсоидального дефекта - дефект в форме сфероида. С использованием свойств симметрии рассматриваемой задачи для связи геометрических параметров сфероидального дефекта и значений функционала взаимности получены дополнительные результаты. В частности, получено аналитическое выражение для одного из углов, характеризующих ориентацию сфероидального дефектов, через значения функционала взаимности, соответствующие регулярным упругим полям с постоянными тензорами напряжениями.

В Главе 3 представлено обобщение полученных в Главе 2 результатов на случаи анизотропных линейно упругих тел и типы нагрузок, пораждающих произвольное однородное напряжённое состояние в теле без дефекта (не обязательно соответствующее одноосному растяжению (сжатию)). При этом для нахождения координат центра дефекта получены точные аналитические выражения. Задача об определении размера и ориентации дефекта сведена к задаче о нахождении регулярных упругих полей, позволяющих выразить компоненты специальной симметричной матрицы, введённой в Главе 2, через значения функционала взаимности. Для определения данных полей выписана система линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены численные примеры идентификации эллипсоидальных дефектов в анизотропных линейно упругих телах по данным одного статического испытания, не обязательно являющегося испытанием на одноосное растяжение (сжатие).

В Главе 4 численно исследуется возможность использования полученных результатов для идентификации дефектов, имеющих форму, отличную от эллипсоидальной. Рассматриваются случаи дефектов в форме цилиндров, параллелепипедов, правильных четырёхугольных и треугольных пирамид, а также прямоугольных и треугольных трещин и трещин, имеющих невыпуклую форму. Исследуется чувствительность результатов идентификации по отношению к числу измерений, а также погрешностям в исходных экспериментальных данных. Случайная погрешность моделируется случайным вектором, модуль которого распределён по нормальному закону, а направления распределены равномерно по единичной полусфере.

В Главе 5 приводится детальное описание численных процедур (численных экспериментов), использованных во всех рассмотренных в диссертации численных примерах для моделирования эксперимента. Кроме того, описана процедура вычисления значений функционала взаимности, по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе тела.

В Приложении 1 представлены известные аналитические выражения для компонент тензора Эшелби для изотропных и анизотропных линейно упругих тел. Данный тензор входит в решение прямой задачи об эллипсоидальном включении и используется в Главе 2 для определения упругих модулей дефекта.

В Приложении 2 представлен пример использования внутреннего языка программного комплекса ANSYS - APDL (ANSYS Parametric Design Language) для решения прямой задачи об эллипсоидальной полости и вычисления перемещений на внешней границе упругого тела. Данный программный комплекс используется во всех рассмотренных в диссертации численных примерах для моделирования эксперимента.

В Приложении 3 представлен пример реализации на языке Fortran процедур вычисления значений функционала взаимности по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе упругого тела, добавления к исходным данным о перемещениях случайной погрешности и определения параметров дефекта.

Основные результаты диссертации отражены:

1. в б статьях в журналах из списка ВАК: [12,60,61, 94-96].

2. в журнале Key Engineering Forum:

Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of defects in an elastic body by means of the boundary measurements // Key Engineering Forum. 2012 (в печати), в сборниках:

Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И., Шушпанников П.С. Применение инвариантных интегралов к задаче идентификации дефектов в упругом теле по результатам статических испытаний. В сб.: «Актуальные проблемы механики» (ред. Гольдштейн Р.В.). М.: Наука, 2009. С.76-90; Goldstein R.V., Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Application of invariant integrals to the problems of defect identification. In: "Defects and Material Mechanics" (Eds. Dascalu C., Maugin G., Stolz C.), Proc. International Symposium on Defect and Material Mechanics (ISDMM), March 25-29, 2007, Aussois, France. Dordrecht: Springer, 2008. P.45-54. в трудах Всероссийских и Международных конференций: Шушпанников П.С. Решение задачи об определении положения и характеристик эллипсоидального включения по данным экспериментов над деформируемым телом. Научные труды Международной молодёжной научной конференции «XXXII Гагаринские чтения», 4-8 апреля 2006 г., Москва;

Шушпанников П.С. Обратная задача идентификации дефектов в упругом теле. Научные труды Международной молодёжной научной конференции «XXXIV Гагаринские чтения», 1-5 апреля 2008, Москва. М.: МАТИ, 2008 г. Т. 1.С. 228-230.

Шушпанников П.С. Применение функционала взаимности для решения задачи идентификации эллипсоидального дефекта в упругом теле. Научные труды Международной молодёжной научной конференции «XXXVI Гагаринские чтения», 6-10 апреля 2010, Москва. М.: МАТИ, 2010 г.Т.1. С.236-238.

Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И., Шушпанников П.С. Применение инвариантных интегралов для решения задачи идентификации дефекта в упругом теле. Тезисы докладов Всероссийской конференции «Проблемы

15 нелинейной механики деформируемого твёрдого тела». 13-15 октября

2008 г., Пермь. С.35.

-Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И., Шушпанников П.С. Применение функционала взаимности для решения задачи идентификации сфероидальной поры и сфероидального жёсткого включения в упругом теле. Труды Второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела». 8-11 декабря

2009 г., Казань. Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. С. 130-133.

- Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Application of reciprocity gap functional to the problem of spheroidal defect identification. In Proc. 18th European Conference on Fracture "Fracture of Materials and Structures from Micro to Macro Scale". August 30 - September 03 2010, Dresden, Germany

CD Proceedings).

- Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Application of the reciprocity gap method for the problem of elliptic crack identification. In Proc. 1st Interquadrennial ICF Conference in Middle East and Africa. 14-17 November 2011, Luxor, Egypt (CD Proceedings).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю член-корр. РАН Гольдштейну Р.В. за всестороннюю поддержку и д.ф.-м.н. Шифрину Е.И., при непосредственном участии которого были получены основные результаты, представленные в диссертации.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты, представленные в данной главе, использованы в работах [12,60,61,94-96].

Заключение

В заключение сформулируем основные научные результаты диссертации:

2. С использованием данного метода получено решение задачи идентификации эллипсоидального дефекта (трещины, полости, жёсткого или линейно упругого включения) в анизотропном линейно упругом теле. При этом для определения геометрических параметров дефекта (координат центра, размеров и ориентации) получены явные аналитические выражения. Полученное решение является точным для безграничных упругих тел и приближённым в случае, когда содержащее дефект упругое тело ограничено;

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Шушпанников, Павел Сергеевич, Москва

1. Аки К, Ричарде П. Количественная сейсмология: Теория и методы. Т.2. М.: Мир, 1983.360с.

2. Андерсон О. Определение и некоторые применения изотропных упругих постоянных поликристаллических систем, полученных из данных для монокристаллов. В кн. Физическая акустика. Т.З. Ч.Б. Динамика решётки/ под ред. У. Мэзона. М.:Мир, 1968. С. 62-121.

3. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твёрдого тела. М.: Физматлит, 2007. 224с.

4. Ватульян А.О. К теории обратных задач в линейной механике деформируемого тела//ПММ. 2010. Т.74. В.6. С.909-916.

5. Ватульян А.О., Беляк O.A. О различных способах реконструкции полости в ортотропном теле // ПМТФ. 2009. Т.50. №3. С. 181 -189.

6. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Ехлаков A.B. Математическая модель ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин // ПММ. 2002. Т.66. В.1. С.147-156.

7. Джоунс Р., Уайкс К. Голографическая и спекл интерферометрия. М.: Мир, 1986.328с.

8. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2001. 320с.

9. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 543с.

10. Глэдвелл Г.М.Л. Обратные задачи теории колебаний. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. 608с.

11. КапцовА.В., Шифрин Е.И. Идентификация плоской трещины в упругом теле с помощью инвариантных интегралов // Изв. РАН. МТТ. 2008. №3. С.145-163.

12. Капцов A.B., Шифрин Е.И., Шушпанников П.С. Определение параметров плоской эллиптической трещины в изотропном линейно упругом теле порезультатам одного испытания на одноосное растяжение // Изв. РАН. МТТ. 2012. №4. С.71-87.

13. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416с.

14. Морозов Е.М., Муйземнек АЛО., Шадский А.С. ANSYS в руках инженера. Механика разрушения. М.: Ленанд, 2008. 456с.

15. Сковорода А.Р. Задачи теории упругости в проблеме диагностики паталогий мягких биологических тканей. М.: Физматлит, 2006. 232с.

16. Сумбатян М.А. Боев Н.В. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде // ДАН СССР. 1991. Т.318. №4. С.880-882.

17. Фрейдин А.Б. Механика разрушения: задача Эшелби. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2010. 236с.

18. Шифрин Е.И. О связи между инвариантными интегралами линейной изотропной теории упругости и интегралами, определяемыми принципом взаимности // ПММ. 2009. Т.73. В.2. С.325-334.

19. Шифрин Е.И. Идентификация эллипсоидального дефекта в упругом теле по результатам одного испытания на одноосное растяжение (сжатие) // Изв. РАН. МТТ. 2010. №3. С.131-142.

20. Alessandrini G., Morassi A., Rosset Е. Detecting an inclusion in an elastic body by boundary measurements // SIAM J. Math. Anal. 2002. V.33. N.6. P.1247-1268.

21. Alessandrini G., Bilotta A., Formica G., Morassi A., Rosset E., Turco E. Numerical size estimates of inclusions in elastic bodies // Inv. Probl. 2005. V.21. N.l. P.133-151.

22. Alessandrini G., Bilotta A., Formica G., Morassi A., Rosset E., Turco E. Evaluating the volume of a hidden inclusion in an elastic body // J. Сотр. Appl Math. 2007. V.198. N.2. P.288-306.

23. AmmariH., KangH., Nakamura G., TanumaK. Complete asymptotic expansions of solutions of the system of elastostatics in the presence of an184inclusion of small diameter and detection of an inclusion // J. Elast. 2002. V.67. N.2. P.97-129.

24. Ammari H., Kang H. Reconstruction of Small Inhomogenities from Boundary Measurements, Lecture Notes in Mathematics (Eds.: Morel J.-M., Takens F., Teissier B.). Berlin: Springer, 2004. 239p.

25. Ammari H., Kang H. Polarization and Moment Tensors: with Applications to Inverse Problems and Effective Medium Theory, Applied Mathematical Science, V.162. New York: Springer+Business Media, LLC, 2007. 315p.

26. Andrieux S., Ben Abda A. Identification de fissures planes par une donnee au bord unique; an procédé direct de localisation et d'identification // C. R. Acad. Sci. Series 1. 1992. V.315. P. 1323-1328.

27. Andrieux S., Ben Abda A. Identification of planar cracks by complete overdetermined data: inversion formulae // Inv. Probl. 1996. V.12. N.2. P.553-563.

28. Andrieux S., Ben Abda A., Bui H. On the identification of planar cracks in elasticity via reciprocity gap concept // C. R. Acad. Sci. Series 1. 1997. V.324. N.12. P.1431-1438.

29. Andrieux S., Ben Abda A., Bui H.D. Reciprocity principle and crack identification // Inv. Probl. 1999. V.15.N.1. P.59-65.

30. Asaro R.J. Somigliana dislocations and internal stresses: with application to second phase hardening // Int. J. Engineering Science. 1975. V.13. P.271-286.

31. Bellis C., Bonnet M. Crack identification by 3D time-domain elastic or acoustic topological sensitivity // C.R. Mechanique. 2009. V.337. N.3. P. 124130.

32. Bellis C., Bonnet M. A FEM based topological sensitivity approach for fast qualitative identification of buried cavities from elastodynamic overdetermined boundary data // Int. J. Solids Struct. 2010. V.47. N.9. P.1221-1242.

33. Ben Abda A., Delbary F., Haddar H. On the use of reciprocity-gap functional in inverse scattering from planar cracks // Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 2005. V.15. N.10. P.1553-1574.

34. Ben AmeurH., Burger M., Hackl B. Level set methods for geometric inverse problems in linear elasticity//Inv. Probl. 2004. V.20. N.4. P.673-696.

35. Ben Ameur H., Burger M., Hackl B. Cavity identification in linear elasticity and thermoelasticity // Math. Meth. Appl. Sci. 2007. V.30. N.6. P.625-647.

36. Beretta E., Francini E., Kim E., Lee J.-Y. Algorithm for the determination of a linear crack in an elastic body from boundary measurements // Inv. Probl. 2010. V.26.N.8. 085015.

37. Bonnet M., Guzina B.B. Sounding of finite solid bodies by way of topological derivative // Int. J. Num. Meth. Engng. 2004. V.61. N.13. P.2344-2373.

38. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity // Inv. Probl. 2005. V.21.N.2. P.R1-R50.

39. Bui H.D. Fracture Mechanics: Inverse Problems and Solutions. Dordrecht: Springer, 2006. 398p.

40. Bui H.D., Chaillat S., Constantinescu A., Grasso E. Identification of a planar crack in Zener type viscoelasticity // Ann. Solid Struct. Mech. 2010. V.l. N.l. P.3-8.

41. Bui H.D., Constantinescu A., Maigre H. Numerical identification of linear cracks in 2D elastodynamics using the instantaneous reciprocity gap // Inv. Probl. 2004. V.20. N.4. P.993-1001.

42. Burger M. A level set method for inverse problems // Inv. Probl. 2001. V.17. N.5. P.1327-1355.

43. Burger M. A framework for the construction of level set methods for shape optimization and reconstruction // Interfaces Free Bound. 2003. V.5. N.3. P.301-329.

44. Burger M., I-Iackl B., Ring W. Incorporating topological derivatives into level set method // J. Comp. Phys. 2004. V.194. N.l. P.344-362.

45. Carpio A., Rapun M.-L. Solving inhomogeneous inverse problems by topological derivative methods // Inv. Probl. 2008. V.24. N.4. 045014.

46. Carpio A., Rapun M.-L. An iterative method for parameter identification and shape reconstruction // Inv. Probl. Sci. Eng. 2010. VI8. N.l. P.35-50.

47. ChenF.H.K., Shield R.T. Conservation laws in elasticity of the J-integral type // ZAMP. 1977. V.28. N.l. P. 1-22.

48. Chen Y.-H., Lu T.J. Recent developments and applications of invariant integrals // Appl. Mech. Rev. 2003. V.56. N.5. P.515-552.

49. Choi N.Y., Earmme Y.Y. Evaluation of stress intensity factors in circular arc-shaped interfacial crack using L integral // Mech. Materials. 1992. V.14. N.2. P.141-153.

50. ChowT.S. Elastic moduli of filled polymers: the effects of particle shape // J. Appl. Phys. 1977. V.48. N.10. P.4072-4075.

51. Colton D., Haddar H. An application of the reciprocity gap functional to inverse scattering theory// Inv. Probl. 2005. V.21. N.l. P.383-398.

52. Constantinescu A. On the identification of elastic moduli from displacement-force boundary measurements // Inv. Probl. Sci. Engng. 1995. V.l. N.4. P.293-313.

53. Engelhardt M., Schanz M., Stavroulakis G., Antes H. Defect identification in 3-D elastostatics using a genetic algorithm // Optim. Eng. 2006. V.7. N.l. P.63-79.

54. Eschenauer H.A., Kobelev V.V., Schumacher A. Bubble method for topology and shape optimization of structures // Struct. Optim. 1994. V.8. N.l. P.42-51.

55. EshelbyJ.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems // Proc. Roy. Soc., Ser.A. 1957. V.241. N.l226. P.376-396.

56. Fisher E.S., Renken C.J. Single-crystal elastic moduli and the hep bcc transformation in Ti, Zr, and Hf. Phys. Rev. 1964. V.A135. P.482-494.187

57. Gallego R., Rus G. Identification of cracks and cavities using the topological sensitivity boundary integral equation // Comp. Mech. 2004. V.33. P.154-163.

58. Garreau S., Guillaume P., Masmoudi M. The topological asymptotic for PDE systems: The elasticity case // SIAM J. Control Optim. 2001. V.39. N.6. P.1756-1778.

59. Goldstein R.V., ShifrinE.I., Shushpannikov P.S. Application of invariant integrals to the problems of defect identification // Int. J. Fract. 2007. V.147. N.l-4. P.45-54.

60. Goldstein R.V., ShifrinE.I., Shushpannikov P.S. Application of invariant integrals to elastostatic inverse problems // C.R. Mecanique. 2008. V.336. N.l-2. P.108-117.

61. GoodierJ.N. Concentration of stress around spherical and cylindrical inclusions and flaws // J. Appl. Mech. 1933. V.55. P.39-44.

62. Grediac M., Toussaint E., Pirron F. Special virtual fields for the direct determination of material parameters with the virtual fields method: 1. Principle and definition // Int. J. Solids Struct. 2002. V.39. N.10. P.2691-2705.

63. Grediac M., Toussaint E., Pirron F. Special virtual fields for the direct determination of material parameters with the virtual fields method: 2. Application to in-plane properties // Int. J. Solids Struct. 2002. V.39. N.10. P.2707-2730.

64. Grediac M., Pierron F. Numerical issues in the virtual fields method // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2004. V.59. N.10. P.1287-1312.

65. Gutierrez S., Mura J. An adaptive procedure for defect identification problems in elasticity // C.R. Mecanique. 2010. V.338. N.7-8. P.402-411.

66. GuzinaB.B., Bonnet M. Topological derivative for the inverse scattering of elastic waves // Q. J. Mech. Appl. Math. 2004. V.57. P. 161-179.

67. Ikehata M., Itou H. Reconstruction of a linear crack in an isotropic elastic body from a single set of measured data// Inv. Probl. 2007. V.23. N.2. P.589-607.

68. Ikehata M., Itou H. An inverse problem for a linear crack in an anisotropic elastic body and the enclosure method // Inv. Probl. 2008. V.24. N.2. 025005.

69. Ikehata M., Itou H. Extracting the support function of a cavity in an isotropic elastic body from a single set of boundary data // Inv. Probl. 2009. V.25. N.10. 105005.

70. Im S., KimK.-S. An application of two-state M-integral for computing the intensity of the singular near-tip field for a generic composite wedge // J. Mech. Phys. Solids. 2000. V.48. N.l. P.129-151.

71. Ioakimidis N.I. Application of Betti's reciprocal work theorem to the location of cracks in three-dimensional elasticity // Int. J. Fract. 1990. V.42. P.R75-R77.

72. Ioakimidis N.I. Application of the conformal mapping and the complex path-independent integrals to the location of elliptical holes and inclusions in plane elasticity problems // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 1990. V.84. P. 1-14.

73. Huapt R.L., Huapt S.E. Practical Genetic Algorithms. 2nd edition. Hoboken: Wiley, 2004. 253p.

74. Jackowska-Strumillo L., Sokolowski J., Zochowski A. On numerical solution of shape inverse problems // Rapport de Recherche No. 3739, Institute National de Recherche en Informatique et en Automatique. 1999. 21 p.

75. Jackowska-Strumillo L., Sokolowski J., Zochowski A., Henrot A. On numerical solution of shape inverse problems // Comp. Optim. Appl. 2002. V.23.N.2. P.231-255.

76. Kang H., Kim E., Lee J.-Y. Identification of elastic inclusions and elastic moment tensors by boundary measurements // Inv. Probl. 2003. V.19. N.3. P.703-724.

77. Kang H., Kim E., Lee J.-Y. Numerical reconstruction of a claster of small elastic inclusions // Inv. Probl. 2007. V.23. N.6. P.2311-2324.

78. KasabA.J., MoslehyF.A., Daryapurkar A.B. Nondestructive detection of cavities by an inverse elastostatics boundary element method // Engng. Anal. Bound. Elem. 1994. V.13. N.l. P.45-55.

79. Keat W.D., Larson M.C., Verges M.A. Inverse method of identification for three-dimensional subsurface cracks in a half-space // Int. J. Fract. 1998. V.92. N.3. P.253-270.

80. Khodadad M., Dashti-Ardakani M. Determination of the location, size and mechanical properties of an elastic inclusion using surface measurements // Inv. Probl. Sci. Engng. 2009. V.17. N.5. P.591-604.

81. Khodadad M., Dashti-Ardakani M. Inclusion identification by inverse application of boundary element method, genetic algorithm and conjugate gradient method // Am. J. Appl. Sci. 2008. V.5. N.9. P. 1158-1166.

82. Knowles J.K., Sternberg Eli. On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatic // Arch. Ration. Mech. Anal. 1972. V.44. N.3. P.187-211.

83. Koguchi H., Watabe H. Improving defects search in structure by boundary element and genetic algorithm scan method // Eng. Anal. Bound. Elem. 1997. V.19.N.2. P.105-116.

84. Lee H.S., Kim Y.H., Park C.J., Park H.W. A new spatial regularization scheme for the identification of the geometric shape of an inclusion in a finite body // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1999. V.46. N.7. P.973-992.

85. Morassi A., Rosset E. Detecting rigid inclusions, or cavities, in an elastic body// J. Elast. 2003. V.73. N.l-3. P.101-126.

86. MuraT. Micromechanics of defects in solids. Dordrecht: Nijhoff Publ., 1987. 588p.

87. Novotny A.A., Feijoo R.A., Taroco E., Padra C. Topological sensitivity analysis for three-dimensional linear elasticity problem // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. V.196. N.41-44. P.4354-4364.

88. Osher S., Fedkiw R.P. Level Set Method and Dynamic Implicit Surfaces. New-York: Springer, 2002. 296p.

89. Pompei A., Rigano A., Sumbatyan M.A. Reconstruction of elliptic voids in the elastic half-space: anti-plane problem // Far East J. Appl. Math. 2006. V.25. P.137-158.

90. Rastogi P.K. (Ed.) Photomechanics. Berlin: Springer, 2000. 471 p.

91. Schnur D.S., Zabaras N. An inverse method for determining elastic material properties and a material interface // Int. J. Num. Meth. Eng. 1992. V.33. N.10. P.2039-2057.

92. Shifrin E.I. Symmetry properties of the reciprocity gap functional in the linear elasticity// Int. J. Fract. 2009. V.159. N.2. P.209-218.

93. Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of a spheroidal defect in an elastic solid using a reciprocity gap functional // Inv. Probl. 2010. V.26. N.5. 055001.

94. Shifrin E.I, Shushpannikov P.S. Identification of an ellipsoidal defect in an elastic solid using boundary measurements // Int. J. Solids Struct. 2011. V.48. P.l 154-1163.

95. Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Reconstruction of an ellipsoidal defect in an anisotropic linear elastic solid, using results of one static test // Inv. Probl. Sci. Engng. 2012 (in press).

96. Sokolowski J., Zochowski A. On the topological derivative and shape identification // SIAM J. Control Optim. 1999. V.37. N.4. P. 1251 -1272.

97. Stavroulakis G.E., Antes H. Nondestructive elastostatic identification of unilateral cracks trough BEM and neural networks // Comp. Mech. 1997. V.20. N.5. P.439-451.

98. Stavroulakis G.E., Antes FI. Flaw identification in elastomechanics: BEM simulation with local and genetic optimization // Struct. Optim. 1998. V.16. N.2-3. P.162-175.

99. Stavroulakis G.E. Inverse and Crack Identification Problems in Engineering Mechanics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001. 223p.

100. Stavroulakis G.E., Bolzon G., Waszczyszyn Z., Ziemianski L. Inverse Analysis// Comprehensive Structural Integrity. 2003. V.3: Numerical and Computational Methods (Eds. de Borst R., Mang H.A.). Ch.13. P.685-718.

101. Tsotsova R. Variational approach to the free-discontinuity problem of inverse crack identification // Commun. Numer. Meth. Engng. 2008. V.24. N.12. P.2216-2228.

102. Weisstein E.W. Sphere point picking // Math World—A Wolfram Web Resourse. http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html.

103. Release 11.0 Documentation for ANSYS. www.ansvs.com.191

104. IMSL STAT LIBRARY User's Guide // Fortran Numerical Library.

105. Version 6.0. http://www.roguewave.com/documents.aspx?entryid=526&command=core download