Метод конечных элементов для задач конвекции - диффузии с преобладанием конвекции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

РГБ ОД

Карепона Евгения Дмитриевна.

/ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ КОНВЕКЦИИ - ДИФФУЗИИ С ПРЕОБЛАДАНИЕМ КОНВЕКЦИИ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН.

Научный руководитель

член-корреспондент РАН Шайдуров Владимир Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Франк Александр Максович; доктор физико-математических наук, профессор Шишкин Григорий Иванович

Будущая организация

Институт вычислительных технологий СО РАН

Защита диссертации состоится " ^ " ^ 2000 г.

в /У часов на заседании диссертационного совета К 064.61.01 в Красноярском государственном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " " ^^¿Ч 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук У И —— Е.К. Лейнартас

Красноярск 2000

/) /'/; 16 9 г; -

0Б111АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии с преобладанием конвекции являются типичным примером сингулярно возмущенных задам. Наличие малого параметра при старших производных, характеризующих процесс диффузии, приводит к быстрому росту производных вблизи некоторых участков границы области интегрирования. В результате стандартные методы конечных разностей и конечных элементов но равномерной сетке либо неустойчивы, либо дают неудовлетворительную точность при малом значении параметра диффузии. В то же время построение эффективных численных алгоритмов для решения этого класса задач имеет большое практическое и теоретическое значение. С одной стороны, рассмотренные в работе задачи часто выступают как элементы математических моделей при исследовании широкого круга прикладных задач физики, химии, радиоэлектроники, гидродинамики, техники, биологии, теории управления. С другой стороны, они могут рассматриваться как модельные, обладающие характерными чертами некоторого класса сингулярно возмущенных задач для эллиптических и параболических уравнений.

Первые сведения по асимптотическому анализу влияния малых параметров восходят к Л.Эйлеру. Начало современному теоретическому и практическому интересу положили работы А.Н.Тихонова в 40-х годах. Начиная с 60-х годов предложено большое количество приемов для обеспечения равномерной сходимости численных методов относительно малого параметра: экспоненциальная подгонка в методе конечных разностей (А..VI.Ильин, К.В.Емельянов, D.N.Allen, R.V.Southwell, P.A.Farrel и др.) и конечных элементов (J.J.H.Miller, S.Wang, H.-G.Roos и др.); различные приемы повышения устойчивости, связанные с внесением искусственной вязкости (О.С.Зинкевич. J.J.H.Miller, H.B.Keller, R.B.Kellog, A.Tsan, E.O'Riordan, L.Tobiska, H.Tabata и др.); сгущение сетки в области погранслоя (Н.С.Бах-валов, Г.И.Шишкин, В.Д.Лисейкин, R.Vulanovic, E.S.Gartland и др.); внесение дополнительных базисных функций, описывающих пограничный слой (В.В.Шайдуров. Б.М.Багаев, A.Russo, F.Brezzi и др.); использование вместо кусочно-линейных конечных элементов более сложных, например, кусочно-экспоненциальных (H.-G.Roos, D.Adam, A.Felgenhauer и др.): апостериорная адаптация сетки с различными эстиматорами (И.Бабушка, J.Л.Н.¡Miller. R.E.Bank, А .Weiser и др.)

Цепь работы

Целью рабоч ы является построение теоретически обоснованных эффективных численных алгоритмов решения одномерных и двумерных краевых

задач конвекции-диффузии с преобладанием конвекции на основе метода конечных элементов с подгоночными квадратурными формулами.

Методы исследования

В основу исследования дифференциальной задачи положены методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории сингулярно возмущенных уравнений и функционального анализа. При построении и исследовании дискретных задач за основу взнт метод конечных элементов с использованием сведений из методов конечных разностей и численных методов линейной алгебры. Теоретический анализ осуществлялся подробным математическим обоснованием свойств предлагаемых сеточных задач, включая доказательство устойчивости и равномерной сходимости приближенных решений. Вычислительная эффективность проверилась путем проведения серии расчетов на модельных задачах и сопоставления с другими подходами.

Научная новизна

На примере двух краевых задач для одномерного и двумерного уравнений конвекции-диффузии с преобладанием конвекции разработан и обоснован прием повышения точности и устойчивости в методе конечных элементов, обобщающий разностную экспоненциальную подгонку.

Практическая значимость

Результаты работы могут быть использованы при численном интегрировании прикладных задач, решение которых содержит регулярные пограничные и внутренние слои. Основная идея может быть обобщена для повышения точности методов конечных элементов для других классов сингулярно возмущенных задач.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: семинарах ИВМ СО РАН и КрГУ; Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997, 1999); Международной конференции "Всесибир-ские чтения по математике и механике" (Томск, 1997); Международной конференции ENUMATH-1997 (Second European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications, Германия, 1997); Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997); Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98, Новосибирск, 1998); Международной конференции WORKSHOP'98 on the Analytical and Computational Methods for Convection-Dominated and Singular Perturbed Problems (Болгария, 1998);

на конференциях-конкурсах молодых ученых в Институте вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 1996-1999).

Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований А1" 98-01-00704 и грантом Лз 1/72342 Фондом Фольксвагена.

Публикации

По теме диссертации опубликовано пятнадцать работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка основных обозначений. Объем диссертации составляет 164 страницы машинописного текста, включая 12 рисунков, 13 таблиц и список литературы из 141 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование темы диссертации, определена цель работы, приведен обзор литературы, посвященный численному решению задач с пограничным слоем, дана краткая аннотация разделов диссертации.

В первой главе рассматривается краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения конвекции-диффузии с преобладанием конвекции, которая обладает главной особенностью этого класса задач - наличием характерного пограничного слоя. Это делает ее простым объектом, на котором в деталях продемонстрированы как особенности самой задачи, так и предлагаемых вычислительных методов.

В разделе 1.1 исследованы основные свойства дифференциальной задачи

Ы^-еи" + {Ь(х)и)' = ¡(х) на (0,1) (1)

с краевыми условиями Дирихле

и(0) = ио, и(1) = Ы! (2)

при следующих ограничениях на исходные данные

о<5«1, ¿ее2([0,1]), /еи£(о,1), (3)

0 < В0 < Ъ{х) < Вх на [0,1]. (4)

С использованием метода, предложенного М.И.Вишиком и Л.А.Люсгерни-ком, рассмотрена конечная форма равномерного по параметру е разложения решения

и(х) = у(х) + р(х) + е2 г(х). (5)

Гладкая составляющая «(ж) хорошо аппроксимирует решение вне пограничного слоя, сосредоточенного вблизи х — 1; р - погранслойная компонента, а

б2г(х) - остаточный член. Для получения различных квадратурных формул погранслойная компонента р исиользовалась в двух видах:

р = ро(х) = s(x) (щ - щ(1)) ехр(-Ь(1)(1 - х)/е) (6)

или

Р = р{х) - six) ("1 - ь'о(1)) ехр(-(1 - х)Ь(х)/е). (7)

Здесь vo(x) - решение редуцированной задачи (при е — 0), a s(x) - срезающая функция. В разделе 1.1.3 доказана ограниченность остаточного члена в обоих случаях. В разделе 1.1.4 вводится слабая формулировка задачи:

о

найти и €1^(0,1), удовлетворяющую равенству

a(u,v) = (f,v) Vv 6^(0,1), (8)

о о

где а(-, ■): И^О, 1)х ^'(О,1) -» R - билинейная форма

a(u,v) = у^ (su' - bu)v' dx, (9)

а (•, •) - обычное скалярное произведение в 0,1).

Далее для задачи (8)-(9) описан метод Петрова-Галеркина и приведены известные результаты сходимости метода Петрова-Галеркина.

В разделе 1.2 на основе метода Петрова-Галеркина для уравнения (1)-(2) при ограничениях (4). (3) и дополнительном условии

Ь'(г)>0 на [0,1] (10)

построена дискретная задача и исследована ее сходимость.

Для аппроксимации решения и использовались кусочно-линейные конечные элементы на квазиравномерной сетке (c\h < Л,- < h= тюс hi)

WA = {х,- : i = 0,1,... ,n; 0 = x0 < x\ < ... < xn_t < xn — 1} (11) с шагами Л,- = г, —i- Рассмотрим стандартные базисные функции ipi(x) £

С[0,1]:

i (х - х,_])//гь если х Е [хг_1,х,] П [0,1];

сpi(x) = I (xi+1 - x)/hi+i, если х Е i>i,xi+1] П [0,1];

( 0 иначе;

а также пространства пробных и тестовых функций S/, = span{<^>o, • • ■ , <л} nTh = spanl^i,... ,<,?„_!} соответственно. Тогда метод Петрова-Галеркина формулируется следующим образом:

найти uh б S h такую, что мЛ(0) = щь nh(\) = щ и справедливо равенство a{uh,wh)= (/,u/A) Vtr''eTu.

Эта задача эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений, имеющей три недостатка. Во-первых, при наличии пограничного слоя ее решение имеет неудовлетворительную точность. Во-вторых, при е < Н система становится неустойчивой. В-третьих, формирование алгебраической системы связано с интегрированием функций, что зачастую невозможно эсуществить аналитически. Во избежании этих эффектов при аппроксимации я квадратурные формулы выбраны специальным образом для обеспечения устойчивости и увеличения точности получаемой приближенной задачи.

Первое подинтетральное выражение в (9) интегрируется точно для лю-эых и б 5д, V е Т),. Для второго слагаемого применяется квадратурная формула на каждой ячейке

ьь <1х « (о.'гЬг_1 г;г--1 4- А\ьм) /г(12)

:де для произвольной функции ь(х) полагаем у,- — у(х{). Ее использование в а дает новую билинейную форму алгебраического типа для «Дг; £ 5/,:

п I

г=]

Параметры выбирались так, чтобы выполнялись следующие требования:

(A) первый порядок аппроксимации на гладкой составляющей решения:

(B) билинейные формы аиа/, должны быть возможно ближе для функции погранслоя р = ро.

Для выполнения последнего условия в квадратурной формуле (12) используется явный вид (б) функции ро и Ь[х) заменяется ее линейным интерпо-тянтом. В итоге приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно параметров а,-, /?,-. В разделе 1.2 показано, что построенная квадратурная формула имеет второй порядок точности на ногранслойной .■оставляющей р и первый на оставшейся части решения д(х) = ь(х)+егг(г). Действительно, главный член погрешности а(<?,и;л) — а/1(д,уик) на отрезке имеет вид

Построим квадратурную формулу для формирования правой части 1ак. ч тобы его компенсировать его:

/' ¿1» Е + *,•/.■) - ¿(1/2 - («>'');-_,/2.

¡'=1 ¡'=1

Веса /2,- и подобраны для обеспечения локального третьего порядка точности (глобального второго). В итоге получается следующий приближенный функционал правой части:

Л(«'А) = ¿(/'.■Л-!+ (13)

¡=1

В результате замены билинейной формы а(-,-) и правой части (/,гоЛ) в (8) получаем следующую дискретную задачу: найти иЛ € 5/, такую, что иЛ(0) = щ, и1,( 1) - щи

а/,(иА,иЛ) = Д(юл) Уш^П. (14)

Перепишем эту задачу в эквивалентной матрично-векторной форме: поп

строить функцию ик = ^ 7^ с весами 7,-, удовлетворяющими условиям

¡=о

70 — ио> 1п — Щ и системе линейных алгебраических уравнений

Ак 7 = (15)

с искомым вектором решения 7 = (71, • ■ ■ >7п-1)Г и заданной правой частью = (-Р1/1,.- • ,Гп_[)2. Матрица системы .4Л имеет трехдиагональный вид. Для полученной сеточной задачи доказаны следующие результаты.

Лемма 3. Для любыхе, /г > 0 при выполнении условий (3), (4), (10) матрица системы (15) является М-матрицей и, следовательно, невырождена.

Лемма 4. Пусть И7'1 = (шх,... ,гип_1)Т - решение задачи

{Ан)ТМк = С>к (16)

, гр

с некоторой правой частью <2 — (<2ь ■ ■ •: Чп-1) ■ Тогда при выполнении условий (3), (4), (10) для е < с2/г имеет место оценка

11-1 п-1

Е к-- + К1 + К-1| < сз Е Ы (17)

¿=2 ¡=1

с константой сз, не зависящей от е и Н.

Основным результатом этого параграфа является теорема сходимости.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (3). (4), (10) и е < с^к, а ил и и -решения задач (15) и (1)-(2) соответственно. Тогда справедлива оценка

тах Iи[' - «¡1 < сь(1г + е'ЧЬ).

Таким образом, построенный метод имеет второй порядок сходимости при достаточно малых значениях параметра е в дискретной равномерной норме.

В разделе 1.3 монотонность (10) функции Ь(х) избеается за счет применения нелинейной квадратурной формулы при аппроксимации конвективного члена билинейной формы:

Г' Ьь йх та (б*А_ 1 + /?,■&,■) + /?ггл) 1ц. (18)

Использование (18) в а дает другую билинейную форму яд алгебраического типа. Выполнение требований (А), (В) на этот раз приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно параметров а,- и Д- . В разделе 1.3.1 доказано, что она имеет хотя бы одно решение со свойствами 1/2 < а-,- <1, 0 < Д- < 1/2. Для компенсации главного члена погрешности разности а(<7,«/) — а/Дд, и>Л) снова используется специальная квадратурная формула (13) для аппроксимации правой части.

В результате замены билинейной формы а(-. •) и правой части (/, шЛ) в (8) получается новая дискретная задача: найти и1' £ Эн такую, что ин(0) = и0, мЛ(1) = и, и

ан(и\ шк) = /Л(шЛ) Уи,-Ае Тн. (19)

Ее матрично-векторнал форма аналогична (15) и отличается коэффициентами матрицы Ал.

В леммах 6 и 7 описаны основные свойства полученной дискретной задачи: матрица Ан является М-матрицей и для нее выполняется лемма, аналогичная лемме 4. В параграфе 1.3.3 для построенной дискретной задачи с нелинейной квадратурной формулой доказан второй порядок сходимости при малых значениях параметра диффузии.

Теорема 5. Пусть и - решение задачи (1)-(2) с условиями (3), (4), и'1 -решение задачи (19), а е < с^к2. Тогда справедлива оценка

тах - и,-| < сТ(!г2 + еЬ + е2). (20)

Таким образом, использование специальных квадратурных формул, учитывающих погранслойный характер решения, и специальная аппроксимация правой части, компенсирующая главный член погрешности на гладкой составляющей, позволили построить эффективный численный метод.

Вторая глава посвящена численному интегрированию двумерной задачи конвекции-диффузии. Пусть & - единичный квадрат (0.1)х (0.1) с границей Г. Рассмотрим задачу Дирихле

д

= — [Ь(х)и) = / в (2, 11 = 0 на Г. (21)

Рис.1. Область П.

Рис.2. Численный пример.

Здесь е < 1 - положительный малый параметр. Функции Ь(х) и }{х,у) достаточно гладкие и выполнены условия:

В этих предполоркениях задача (21) имеет единственное решение из класса С3(П). Поведение решения в двумерном случае в сравнении с одномерными задачами намного сложнее. Наряду с экспоненциальным (регулярным) по-гранслоем, аналогичным рассмотренному в главе 1, вблизи некоторых участков границы может возникнуть параболический погранслой, связанный с касанием границы характеристикой редуцированной задачи (при е = 0).

Введем следующие обозначения: Г!П = {(х,у) : х — 0. у 6 [0,1]}, Гои( = {(х,у) : х = 1, у е [0,1]}, Г4, = {{х,у) : х £ [0,1], у = 0,1}. При этом регулярный погранслой возникает около границы Рои£, а параболический -вдоль границ Т\д (см. рис. 1).

Задача (21) может не удовлетворять принципу максимума (например, когда У < 0). Однако она удовлетворяет принципу сравнения, который доказан для двух типов краевых условий.

Перейдем к слабой формулировке задачи: найти функцию и для

которой верно тождество

ь € с3[о, 1], Лх,у)ес2(й),

О < Вх < Ь{х) < Б2 < оо, х € [0,1], /(0,0) = /(1,0) = /(0,1) =/(1,1)= 0.

(22)

(23)

(24)

а(щ,и) = (/,у) У«6И'2(П)

(25)

с билинейной формой

и скалярным произведением из L^Sl).

В разделе 2.2 рассмотрено численное решение задачи (21), у решения которой нет параболического пограничного слоя нулевого порядка вдоль границ Г(Г Это обеспечивается выполнением условия

Дг,у) = 0 на Г4,. .. (27)

Тогда решение задачи (21) при условиях (23), (27) имеет ограниченные производные первого и второго порядка в направлении у. Гладкость в направлении х хуже из-за наличия регулярного погранслоя. Решение и в этом разделе описывается с помощью разложения

и = vü + ро + er¡. (28)

Здесь i'o - гладкая составляющая, являющаяся решением редуцированной задачи

~{b(x)v(i) = f(x,y) в О, и0=0 на Г,-„, а ра - регулярная логранслойная составляющая

Ро(х,!/) =~v0(l,y)s(x)exV(-(l - r)b(x)/s). (29)

Введем норму

И«, - supvrai|v|. ñ

Для остаточного члена разложения справедливы следующие оценки.

Лемма 14. Пусть е « 1 и для задачи (21) выполнены условия (22), (23), (27). Тогда для остаточного члена в (28) верны оценки:

!М1оо<с8, < cíl + c-'expí-B^l-x)^)), 101 <0^-' «а П.

Рассмотрим на Q равномерную сетку x¡ — ih, yj = jh, i,;=0.1,... ,nc шагом h — 1/n и целым n > 2. Построим триангуляцию Тн делением каждой квадратной ячейки сетки на два равных треугольника диагональю, проведенной от вершины (х,,у}) к вершине (z1+i,?y;+i). Для каждого внутреннего узла Zij = (xí, ¡/j) € П/, введем базисную функцию tpij{x.y), которая равна 1 в Zi¡, равна 0 но всех остальных узлах üh и линейна на каждом элемешарном треугольнике триангуляции Th- Обозначим линейную оболочку этих функций через Hh = span{^,j}"jij Glí'K^)- Рассмотрим метод Галеркина: найти и1' € Н1' такую, что

a(uh.vh)=(f,vh) \/vhEHh. (30)

и

Полученная таким способом дискретная задача обладает тремя недостатками, отмеченными при анализе одномерного случал. Иримененим на каждом элементе T¿¿ 6 77, трехточечную квадратурную формулу

г ti2

JTe(xi y)dn ~ Y (a-i,i.90i) + »г^Ы + a3tig(z3)), (31)

где приняты обозначении z\ для z¿j, z2 для z,-+i¿ или 2¡j+1 и z3 для г,- +.i,j+i-Параметры квадратурной формулы выбираются так, чтобы выполнялись условия (А), (В). Требование (В) упрощается до точного интегрирования квадратурной формулой функции ("¿(я) = ехр(-(1 - x)bj/e) на каждом элементе Tij 6 7л- С целью уменьшения поперечной вязкости и шаблона дискретной задачи полагается аз,* = 0, если г2 = z¡+¡j или а^,- = 0, если z*i = 2¿j-+1. Применение к а на каждом элементе квадратурной формулы (31) дает билинейную форму аЛ алгебраического типа. Для интегрирования правой части применим кусочно-постоянную аппроксимацию. В результате замены билинейной формы а(-,-) и правой части (/, •) получен "подправленный" метод Галеркина: найти и1' £ Нк такую, что

atl(u\vh) = fh(vh) VvhEHh. (32)

Эта задача снова эквивалентна решению системы линейных алгебраических уравнений, которая может быть записана в операторном виде

= i,j — 0,..., п,

с соответствующим дискретным оператором Lh и искомыми параметрами

п-1

{ufj}?j2i> дающими решение в виде и — Y1 Щ'-Pij- Матрица этой системы

¿,¿=1

является М-матрицей. Аппроксимационные свойства полученной дискретной задачи описываются следующим образом.

Лемма 15. Пусть и ~ решение задачи (21) и выполнены условия (22), (23), (27), a uh - решение дискретной задачи (32). Пусть также е < h. Тогда верна оценка

|ah{un - и'

< enh^e + h + cxp(-fí,(l -x¿+i)/2e)) Vi, j = 1,n - 1.

В лемме 16 строится барьерная функция для оценки правой части в (33). И наконец, в разделе 2.2.3 доказан первый порядок сходимости сеточной задачи в дискретной равномерной норме.

Теорема 6. Пусть выполнены условия (27) и (23), а и и uh - решения задач (25), (26) и (32) соответственно. Тогда существуют константы hg и си,

независящие от к и е такие, что V /г < Лд и е <к верна оценка тах — ил| = ||и1 — ил[[оо ь 5~ с^А.

В разделе 2.3 рассматривается задача конвекции-диффузии с решением, имеющим параболические погранслои вдоль границы Г^. Длл описания поведения решения при е 0 доказано разложение решения

и = ч/о + Ро + £?] на й. (34)

Здесь щ - решение "частично редуцированной" задачи, которое на этот раз не является гладкой функцией о направлении у; функция - регулярная погранслойная составляющая (29). В леммах 18, 19, 20 для функций, входящих в разложение (34), доказаны следующие оценки.

Лемма. Пусть е достаточно мало и выполнены условия (22), (23). Тогда имеют места оценки

дкЩ дхк

<с13, к = 0,1,2,

дН

ду>

< сн (1 + Г^В(у)), ] = 1,2,3,

М < С15,

дц дх

< ст (1 + е 1А(х)) на й,

где

А{х) = ехр (-В, (1 - х)/2е), В (у) = ехр {-гу/у/е) + ехр (-7(1 - у)! у/в) с некоторой константой 7 > 0.

Для аппроксимации регулярного погранслоя использован прием, рассмотренный в предыдущем разделе. Для аппроксимации погранслоя параболического типа использованы специально построенные сетки, использующие оценки производной решения в направлении у.

Пусть !г = 1/п с целым п > 2. Рассмотрим сетку, равномерную в направлении Х{ = Их. г = 0,1, ...,п. В направлении у построим узлы следующим способом:

' 0. для 3 = 0,

С]7 /г

Уз := + , , -1/2-Г-Т~ГЛ< для з = "/2- (35)

1 ~Уп-}, Для ) = гг/2 + 1,...,гг.

Константа си обеспечивает выполнение условия уп/2 = 1/2. Не нахождение связано с решением нелинейного уравнения. Определим шаг в направлении у разностью Н] = у, — у^-\ , 3 — 1, ... , п. Обозначим множесч но всех узлов сетки через

= = у})} г,; = 0,1,... , 7/.}.

Триангуляция вновь строится делением каждой прямоугольной ячейки сетки диагональю, проведенной из вершины г^ к вершине В результате получается метод Галеркина, подобный (32), с другой аппроксимацией билинейной формы (II, и соответствующим оператором определенным на неравномерной сетке.

Аппроксимационные свойства новой билинейной формы дает следующая лемма.

Лемма 21. Пусть и - решение задачи (21) и выполнены условия (22) и (23), а и1* - решение дискретной задачи (32). Пусть также е < К. Тогда верна оценка

(36)

< С18/г(Л?- + /^+1) (е -Ь Л + ехр(-(1 - х-;+1)В1/2е)) УгЛ = 1, ...,п- 1.

Лемма 19 описывает барьерную функцию для оценки правой части в (36). В результате доказан первый порядок сходимости в равномерной дискретной норме.

Теорема 7. Пусть выполнены условия (27) и (23), а и и ин - решения задач (25)-(26) и (32) соответственно. Тогда существуют константы и с1в, не зависящие от к и г такие, что V Л < ^о и е < Ъ. верна оценка

шах|и — = ||и1 — «''¡ос,/! < с^Н.

П/1

Таким образом, применение специальных квадратурных формул в двумерном случае для аппроксимации регулярного погранслоя остается таким же эффективным как и в одномерном случае.

В третьей главе рассматриваются различные аспекты численного решения полученных дискретных задач.

В первом параграфе для обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной, для которого известно аналитическое решение, проведен сравнительный анализ точности предложенного метода и наиболее известных разностных схем. Результаты демонстрируют безусловный выигрыш предложенной сеточной задачи. На рис. 3 приведены графики сеточной нормы погрешности; цифрами 1, 2 обозначены графики прямых с наклонами = 1 и 15(1,2) = 2; 3, 5, 7 - соответственно графики погрешностей методов с направленными разностями, экспоненциальной подгонки и предложенного метода с нелинейной квадратурной формулой для е = 1/10, а 4, 6, 8 - графики погрешностей этих же методов при с = 1/5120.

IE-OS

10 Я 41 83

Рис.3. Сходимость. Одномерный случай.

1.Е-01

1Е-02

1Е-03

1Е-04

1Е-05

32 64 128 256 512 1024

Рис.4. Сходимость. Двумерный случай.

Раздел 3.3 посвящен описанию сеток, используемых при численном интегрировании. Расчеты проводились на сетках, равномерных в направлении х. В направлении у были рассмотрены два подхода сгущения сеток в области параболического погранслоя. Первый подход, предложенный Н.С.Бахваловым, использует оценки производной решения по нормали к границе. В рамках этого подхода было рассмотрено два вида сеток - с логарифмическим сгущением внутри пограничного слоя и (35), рассмотренную в главе 2. Второй подход рассматривается Г.И.Шишкиным и использует сетку с кусочно-постоянным шагом, более мелким в области погранслоя.

Для решения полученной сеточной задачи рассматривались покоординатный и блочный методы Гаусса-Зейделя. В разделе 3.4 даны оценки сходимости этих методов и продемонстрировано существенное преимущество блочного метода над покоординатным. При этом наиболее эффективным является реализация каскадного алгоритма, когда на мелкой сетке в качестве начального приближения берется некоторая интерполяция решения с более грубой сетки. При использовании каскадного алгоритма встает вопрос об оценке ошибки интерполяции. В разделе 3.4 доказано, что линейная интерполяция на сгущающихся сетках, используемых в этой работе, не дает потери точности.

В разделе 3.5 обсуждаются результаты численною эксперимента в двумерном случае для следующей задачи. Пусть {? квадрат (0,1) х (0,1) с границей Г. Рассмотрим задачу Дирихле

+ = l в S3, и=0 на Г.

(37)

Решение этой задачи имеет погранслой параболического типа вдоль границ Г/;, и регулярный погранслой около границы Г№1 (рис. 2). Поскольку точное решение задачи (37) не удается выписать в виде конечной комбинации элементарных функций, то для оценки сходимости решение было рассмотрено в виде бесконечного ряда, для которого была доказана равномерная сходимость и найдена оценка остаточного члена суммы первых членов ряда. В результате появилась возможность сравнения приближенных решений с точным.

На рис. 4 график равномерной погрешности на сетках Г.И.Шишкина помечен цифрой 2, Н.С.Бахвалова - цифрой 3 и предложенной в работе - цифрой 4. Для сравнения приведен график прямой с наклоном tg(<р) = 1. Расчеты подтверждают первый порядок сходимости построенных дискретных задач.

В конце главы приведены расчеты, проведенные при использовании специальной квадратурной формулы для правой части, аналогичной рассмотренной в одномерном случае. Отчетливо продемонстрировано преимущество в точности для этого приема. Правда, следует отметить, что в двумерном случае этот прием не приводит к увеличению порядка сходимости до второго, поскольку рассмотренные специальные сетки дают только первый порядок сходимости из-за параболического погранслоя.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Для одномерной задачи конвекции-диффузии построены и исследованы две сеточные задачи, сходящиеся в равномерной норме со вторым порядком точности в области малых значений параметра диффузии.

2. Построены и обоснованы численные методы, сходящиеся с первым порядком в равномерной норме для двумерной задачи Дирихле в прямоугольнике для уравнения конвекции-диффузии с преобладанием конвекции в отсутствие параболического погранслоя и при его наличии.

3. Численно и аналитически исследована сходимость покоординатного и блочного итерационных методов Гаусса-Зейделя для решения полученных дискретных задач. Доказана экспоненциальная скорость сходимости блочного метода Гаусса-Зейделя для достаточно малого параметра.

4. Проведена серия вычислительных экспериментов для сравнения предлагаемых и известных численных методов решения рассматриваемого класса задач, которые подтвердили эффективность предлагаемого подхода и очертили границы применимости предложенных методов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для задачи реакции-диффузии с малым параметром

к>

// Препринт N 16 ВН СО РАН. - Красноярск. - 1996. - 21 с.

2. Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для задачи реакции-диффузии с малым параметром // Дел. в ВИНИТИ. - Красноярск. - 1996. - N 2951-В96. - 21 с.

3. Карепова Е.Л., Шайдуров В.В. Метод конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Деп. в ВИНИТИ. - Красноярск. - 1997. - N 1252-В97. - 20 с.

4. Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Метод конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром //. Материалы международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике". - Томск: ТГУ. - 1997. - Т.1. - С. 200-201.

5. Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Подгонка квадратурных формул в методе конечных элементов для дифференциальных уравнений с малым параметром // Материалы международной конференции "'Математические модели и методы их исследования". - Красноярск. •• 1997. - С. 98-99.

6. Shaidurov V., Karepova Е. Finite Element Method with Fitted Integration Rules for Singulary Perturbed Problem // ENUMATH-1997, Second European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications. - Germany, Heidelberg. - 1997. - P. 223-224.

7. Карепова Е.Д. Метод конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Материалы конференции молодых ученых '97. - Красноярск. - 1997. - С. 45-47.

8. Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для сингулярно возмущенных задач // Материалы Сибирской школы - семинара "Математические проблемы механики сплошных сред". - Новосибирск. - 1997. - С.69.

9. Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Метод конечных элементов с подгоночными квадратурными формулами для уравнения конвекции-диффузии И Деп. в ВИНИТИ. - Красноярск. - 1998. - N 415-В98. - 22 с.

10. Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Метод конечных элементов с подгоночными квадратурными формулами для уравнения конвекции-диффузии // Препринт N 2 ИВМ СО РАН. - Красноярск. ■ 1998. -22 с.

11. Карепова Е.Д. Алгебраическая подгонка в методе конечных элементов для задач конвекции-диффузии с малым параметром // Материалы конференции молодых ученых '98. - Красноярск. - 1998. С. 24-36.

12. Карепова Е.Д. Шайдуров В.В. Алгебраическая нодюнка в методе конечных элементов для двумерной задачи конвекции-диффузии //

ИНПРИМ-98: Тезисы и доклады. - ч.2. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. - 1998. - С.15-16.

13. E.D. Karepova. Finite Element Method with Fitted Integration Rules for Convection- Diffusion Equation with Small Diffusion // Workshop'98 on the Analitical and Computational Methods for Convection-Dominated and Singular Pertrubed Problems. - Bulgaria. - 1998. - P.15.

14. Карепова Е.Д. Метод конечных элементов для задачи конвекции-диффузии с регулярным и параболическим слоем // Материалы конференции молодых ученых '99. - Красноярск. - 1999. - С. 29-35.

15. Карепова Е.Д. Шайдуров В.В. Численное интегрирование двумерной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной // Материалы международной конференции "Математические модели и методы их исследования". - Красноярск. - 1999. - С. 115-116-

Соискатель: