Разностные методы решения задач конвекции-диффузии с преобладанием конвекции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Калпуш Татьяна Викторовна

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ПРЕОБЛАДАНИЕМ КОНВЕКЦИИ

01.01.07—вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2004

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО

РАН (г. Красноярск).

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

профессор Шайдуров Владимир Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Багаев Борис Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Распопов Виталий Евгеньевич

Ведущая организация — Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (г. Новосибирск).

Защита диссертации состоится 9 сентября 2004 г. в 15.00 часов в аудитории Г 4-17 на заседании диссертационного совета К 212.098.03 при Красноярском государственном техническом университете (КГТУ) по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан августа 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного

//

Сафонов К.В.

12223

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии с преобладанием конвекции являются типичным примером сингулярно возмущенных задач. Наличие малого параметра при старших производных, характеризующих процесс диффузии, приводит к быстрому росту производных вблизи некоторых участков границы области интегрирования. Поэтому применение метода конечных элементов или разностных методов здесь обладает некоторыми особенностями в сравнении с краевыми задачами без малых параметров. Во-первых, в зоне пограничного слоя необходимо либо явно учитывать вид функций типа пограничного слоя, либо сгущать сетки для компенсации сильного роста производных. Во-вторых, в зоне гладкости, когда влияние старших производных незначительно, разностная сетка или разностная схема должны учитывать тот факт, что уравнение по-существу становится уравнением конвекции, а участок зависимости решения в какой-либо точке этой зоны стремится к куску характеристики уравнения первого порядка. В-третьих, стандартные разностные схемы и схемы метода конечных элементов с центральными разностями теряют устойчивость, а схемы с направленными разностями обладают вычислительной диффузией, которая существенно больше физической диффузии и нарушает даже качественное описания решения. В то же время построение эффективных численных алгоритмов для решения этого класса задач имеет большое практическое и теоретическое значение. С одной стороны, рассмотренные в работе задачи часто выступают как элементы математических моделей при исследовании широкого круга прикладных задач физики, химии, радиоэлектроники, гидродинамики, техники, биологии, теории управления. С другой стороны, они могут рассматриваться как модельные, обладающие характерными чертами некоторого класса сингулярно возмущенных задач для эллиптических и параболических уравнений. Применение разностных методов и метода конечных элементов для аппроксимации дифференциальных уравнений приводит к системам линейных алгебраических уравнений специального вида - к разностным уравнениям. Хотя классический метод последовательного исключения Гаусса известен на протяжении двух веков, проблема получения численного решения системы с требуемой на практике точностью и по возможности с меньшими затратами вычислительных ресурсов остается весьма актуальной.

Целью настоящей диссертационной работы являлось построение эффективных разностных методов аппроксимации задач конвекции - диф-

фузии с малым параметром при старших производных и экономичных численных алгоритмов для решения получаемых разностных аналогов.

Научная новизна:

• для двумерного и трехмерного уравнений конвекции-диффузии с преобладанием конвекции разработан метод построения обратно-монотонных схем второго порядка аппроксимации, а также новый метод переориентации триангуляции области, уменьшающий искусственную вычислительную вязкость;

• для решения специальных систем разностных уравнений построена модификация экономичного метода полной редукции и многосеточный метод на основе приближенной редукции.

На защиту выносятся:

• метод переориентации триангуляции области для разностной аппроксимации двумерного и трехмерного уравнений конвекции - диффузии;

• метод построения разностных уравнений второго порядка аппроксимации, обеспечивающий обратную монотоннось разностного оператора задачи при соотношении ;

• модификация экономичного метода полной редукции для решения систем специальных разностных уравнений, позволяющая найти решение с числом операций, близким к оптимальному;

• экономичный многосеточный метод, основанный на приближенной редукции, для решения систем специальных уравнений, к которым сводятся разностные схемы для уравнения конвекции - диффузии.

Достоверность полученных результатов обоснована результатами тестирования использованных методов и сравнением полученных результатов с результатами других исследователей.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при численном решении прикладных задач, возникающих при описании процессов конвекции-диффузии перемешивания и переноса с диффузией в жидких и газообразных средах.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались на конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1998), III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 98, Новосибирск, 1998), XXXVII Международной

научной конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999), Международных конференциях «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999, 2001), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент, практика» (Новосибирск, 2001), Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2002), Ш Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2002) и др. Полученные результаты последовательно докладывались также на научных семинарах Института вычислительного моделирования СО РАН.

Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 8 научных работ. Личный вклад автора заключается в разработке, обосновании и реализации алгоритмов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и приложения. Список литературы содержит 118 наименование. Работа изложена на 132 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дано обоснование темы диссертации, определена цель работы, приведен обзор литературы, дана краткая аннотация разделов диссертации.

В первой главе рассматривается разностная аппроксимация краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения конвекции-диффузии с преобладанием конвекции.

В разделе 1.1 рассмотрена следующая дифференциальная задача

с известными функциями М^З/ХМ^,*/) € С(П), удовлетворяющими неравенству 0 < А0 < Ь\(х,у) + ЬЦх,у) < к правыми частями / € С(Щ, д е С(Г), где П = {г = {х, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1} - открытый единичный квадрат в Д2с границей Г. В каждой точке г = (х,у) £ (I введем вектор 1(г) = (61 (ж, у), Ь^{х, у)), называемый характеристическим,

а противоположный ему вектор - антихарактеристическим.

В разделе 1.2 в терминах первого дифференциального приближения уточняется степень влияния "поперечной" вычислительной диффузии, "размывающей" разностное решение в направлениях, не касательных к

конвективному потоку. В некоторых разностных схемах она существенно превышает физическую диффузию, искажая поведение решения.

В разделе 1.3 для ослабления эффекта поперечной диффузии аппроксимация задачи строится специальным образом. Производные второго порядка заменяются на пятиточечные разностные аппроксимации, а производные первого порядка аппроксимируются методом неопределенных коэффициентов по трем узлам ^ = (з^,^), гв = (х,,у,), хг = (хг, уг), находящимся друг от друга на расстоянии порядка И и не лежащим на одной прямой (рис. 1), которые составляют треугольник со сторонами, заключающими антихарактеристический вектор. На этом трехточечном шаблоне методом неопределенных коэффициентов строится следующая аппроксимация конвективных слагаемых:

1>1 ~ + Ъ2 ~ & аи(г() + /Зи(г,) + 7и(гг) (2)

в узле Очевидно, что точки х„ и хт входят в зону влияния приближенного решения и поэтому уменьшение угла между антихарактеристическим вектором и сторонами треугольника приводит к уменьшению диффузии поперек характеристических линий. Для ее контроля вводится величина, называемая критерием ориентации разностной сетки вдоль конвективного потока Кг(х, у).

В разделе 1.4 при соотношении К ~ е строятся аппроксимации второго порядка. Для этого рассматривается следующая аппроксимацию вырожденной задачи

ооФ*) + олф.) + а2п(гг) = + + + 0(Л* ). (3)

Здесь конвективный член аппроксимируется методом неопределенных коэффициентов, а правая часть рассматривается в некоторой точке, сдвинутой относительно на достаточно малые величины Такая

Рис. 2: Область П.

аппроксимация дополнительно предоставляет две степени свободы в методе неопределенных коэффициентов, позволяя исключить некоторые слагаемые погрешности аппроксимации, но вносит некоторую добавку в аппроксимацию диффузионных членов. Таким образом, разностное уравнение в имеет вид

-(£ + ц)иц - (е + Х)щу + йои(г«) + а^г,) + а2и(гт) = /(ге), (4)

где нижние индексы ¿и у означают разностное дифференцирование. Для обратной монотонности предполагается выполнение условия знаков —ц < £•, —А < е. Для различного расположения узлов х^гц^г получен набор разностных уравнений, которые обеспечивают второй порядок аппроксимации, причем с диагональным преобладанием и неположительными внедиагональными элементами для соотношения с константой М, независящей от е и к.

Наличие малого параметра 0 < £ 1 при диффузионном члене приводит к возникновению экспоненциального (регулярного) и параболического пограничного слоя. Кроме того, в вершинах прямоугольника могут возникать угловые пограничные слои.

Введем следующие обозначения Г{п = {(х,у) : х = 0, у € [0,1]},Г„„1 = {(х,у) : х = 1,у € [0,1]},Г(9 = {(г, у) : х € [0,1], у = 0,1}, при этом регулярный слой возникает около границы , а параболический - вдоль границ Г{9 ( рис. 2).

В разделе 1.5 для разностной аппроксимации применяется прямоугольная сетка с кусочно-постоянными шагами, интенсивно используемая в работах Г.И.Шишкина и его соавторов. С учетом такого сгущения разностной сетки в окрестности каждого из трех видов пограничных слоев рассмотрены свойства построенных разностных аппроксимаций и получены утверждения о втором порядке аппроксимации.

В разделе 1.6 изложен алгоритм последовательного усиления ориентации произвольной разностной сетки без изменения координат имеющихся узлов и без добавления новых внутренних узлов. Доказано,что в случае е Л (по-существу уравнения первого порядка) применение алгоритма улучшает первый порядок аппроксимации направленными разностями (в худшем случае до порядка 4/3). При е ~ к этот алгоритм автоматически достигает шаблонов, изученных в разделе 1.4 и предо-ставляющихвторой порядок аппроксимации.

Напомним, что традиционные схемы с направленными разностями достигают лишь первого порядка аппроксимации.

В разделе 1.7 этот алгоритм проиллюстрирован на примере сетки с равномерно расположенными узлами, но все более ориентированной вдоль потока за счет изменения топологии шаблонов разностной схемы:

где П - квадрат (0,1) х (0,1) с границей Г. Функция g равна нулю на границе Г за исключением двух участков Гх, Г2 (рис. 3), где она принимает значения, равные единице. При £ = 0 точным решением вырожденной задачи является функция щ, равная 1 в полосе Ф и нулю вне ее (рис. 7). Полоса Ф представляет собой параллелограмм со сторонами Г1 и Г2. В квадрате строится равномерная по

а; и по у триангуляция с шагом затем сеточная аппроксимация.

При решении задачи с на исходной триангуляции (рис. 4) возникает значительная вычислительная "поперечная" диффузия, размывающая решение, а полученная погрешность составляет 60% (рис. 8). Далее произведено первое перестроение сетки в соответствии с предложенным алгоритмом. Оно лишь переориентировало некоторые диагонали без изменений координат внутренних узлов (рис. 5). Вновь решая задачу с такой триангуляцией, наблюдаем существенное уменьшение вычислительной диффузии, а полученная погрешность составляет 20% (рис. 9). После третьего переконструирования сетки (рис. б) получаем значительное улучшение решения. Кроме похожего качественного поведения решения получается также хорошее количественное сходство (рис. 10). В итоге, этот численный эксперимент демонстрирует последовательное улучшение численного решения на первых этапах переконструирования сетки за счет усиления ориентации триангуляции вдоль характеристических кривых.

Рис. 7: Точное решение.

Рис. 8: Численное решение на исходной сетке.

Рис. 9: Численное решение после пер- Рис. 10: Численное решение после вого перестроения сетки. третьего перестроения сетки.

Вторая глава посвящена разностному методу решения трехмерной задачи Дирихле для стационарного уравнения конвекции - диффузии:

с известными функциями , Ьг, £>з € С(П) и правыми частями / € С(П), д € С(Г). Положительный парамет]£удовлетворяет неравенству £<^1.

В разделе 2.2 с помощью дифференциального приближения проанализирована поперечная диффузия и для ее контроля введен критерий ориентации разностной сетки вдоль конвективного потока.

Аналогично двумерной задаче производные второго порядка заме-

няются семиточечными разностными аппроксимациями, а производные первого порядка аппроксимируются методом неопределенных коэффициентов по четырем узлам, составляющим тетраэдр, внутри которого заключен антихарактеристический вектор (рис. 11).

Рис. 11: Четырехточечный шаблон.

В разделе 2.3 аналогично двумерному случаю получены разностные уравнения, обеспечивающие второй порядок аппроксимации, причем с диагональным преобладанием и неположительными внедиагональными элементами. Обосновано следующее утверждение. Если к < еМ, где М - константа, независящая от Лиг, то возможно построение разностной схемы с направленными разностями второго порядка аппроксимации.

Третья глава посвящена построению экономичных методов решения разностных уравнений конвекции- диффузии в прямоугольнике с краевыми условиями первого рода.

В разделе 3.1 изложена модификация известного метода полной редукции для решения разностной задачи

ди ди —

-£Au{x,y)+Ъ1{x)—{xly) + b2{x)—{x,y) = f{x,y), (1,у)бй,

Ф,у) = 9(х,у) (ж, у), 6 Г, заданной на прямоугольной сетке П = хг = г/г, г —

В разделе 3.1.1 разностная задача (б) сводится к системе трехточечных векторных уравнений специального вида

-Ви;_: + Л<°>и, - Цу+1 = Р}0), 1 < з < N - 1, и<) = Го, и^ = Гдг-

(7)

Здесь и^ -вектор неизвестных номера Р^0'- заданная правая часть, - заданная квадратная трехдиагональная матрица, В - квадратная диагональная матрица.

В разделе 3.1.2 изложена модификация алгоритма метода полной редукции решения задачи (7). Его идея, представленна в книге A.A. Самарского, Е.С. Николаева "Методы решения сеточных уравнений", М.: Наука, 1978 и состоит в последовательном исключении из уравнений (7) неизвестных Ц,- сначала с нечетными номерами j, затем из оставшихся уравнений с номерами j, кратными 2, затем 4 и т.д. Каждый шаг процесса исключения уменьшает число неизвестных, и если N является степенью 2, т.е. N = 2", то в результате процесса исключения остается одно уравнение, из которого можно найти Ujy/2. Обратный ход метода заключается в последовательном нахождении неизвестных U,- сначала с номерами j, кратными N/4, затем N/8, N/16 и т.д.

Рассмотрим первый шаг процесса исключения в нашем случае. На этом шаге из уравнений системы (7) для j, кратных 2, исключим неизвестные Uj с нечетными номерами j. Для этого выпишем три идущие подряд уравнения

+ Л(0)и;-, - Uj = FW ■_!, --BUj-i + A^Uj - Uj+i = F(°>;,

-BU; +^°»Ui+1-Ui+2 = FW +1, j = 2,4,6,... ,iV — 2.

Умножая второе уравнение слева на а первое уравнение на В и складывая все три получившиеся уравнения, будем иметь

-B'U^ + AWи,-Uj+2 = j = 2,4,6.....N- 2,

Uo = F0, Uw = F^,

где

¿(1) = [Л(°)]2 - 2В, Ff = BFfl, + A^Ff} + F<°V

Этот процесс исключения может быть продолжен. После (п — 1)-го шага исключения останется одно уравнение для U2»-i = UN/2

Л(п-1)и. = F(»-i) + дг-'и.^ + Uj+2»-i = F5n-1) + B2""lU0 + Ujv, j = 2"-1 Uo = Fo, U N = Fn

с известной правой частью. Все неизвестные находятся последовательно из уравнений

д(*-1>и,- = Fj*"4 + B^'U^-i + Ui+2*-i, Uo = Fo, XJN = Fn, j = 2k~\3 • 2*"\5 ■ 2k~\..., N - 2*-\ к = n,n - 1,..., 1,

а матрицы А^ и правые части F^ находятся по рекуррентным формулам

А« = [Л«*-1']2 - 2В2'-1, F«*) = В2'-1 Ff_"2iL + A^Ff'V + F^, j = 2k,2-2k,3-2k,...,N-2k, (Ю)

для к — 1,2,____Итак, формулы (10) и (9) полностью описывают метод

полной редукции. По формулам (10) преобразуются правые части, а из уравнений (9) находится решение исходной задачи (7).

В указанной книге А.А. Самарского, Е.С. Николаева отмечено, что вычисление правой части F^ по рекуррентным формулам (10) может привести к накоплению погрешностей вычислений, если норма матрицы A(fc_1) будет больше единицы. Кроме того, матрицы А^ являются, вообще говоря, полными матрицами, даже если исходная матрица А^ была трехдиагональной. А это существенным образом влияет на увеличение объема вычислительной работы при вычислении по формулам (10).

Чтобы обойти эту трудность, предлагается вместо векторов F^ вычислять векторы которые связаны с F^ следующим соотношением

Ff = ПА«р^24, (11)

(=0

причем формально полагается Пы)-^'^ " так чт0 Pj°' — Fj°' = Fj. Из определения матрицы А^ по рекуррентным формулам (10) следует, что А^' - есть матричный полином степени 2к относительно А с единичным коэффициентом при старшей степени, который через известные полиномы Чебышева выражаются следующим образом

А« = 2B2i~lT2u QB-^A) , к = 0,1,..., (12)

где Тп(х) - полином Чебышева n-ой степени первого рода. Это дает возможность получить формулы, описывающие метод полной точной редукции через исходную трехдиагональную матрицу А.

Проиллюстрируем организацию вычислений в рассматриваемом алгоритме на примере. Пусть N = 16(п = 4). На (рис. 12 а) показана последовательность вычисления и запоминания векторов ру. Заштрихованный квадрат означает, что для указанного значения индекса к запоминается для последующего использования вектор рf^ с соответствующим номером j. Соответственно, не заштрихованный квадрат означает, что pj*' являются вспомогательным и запоминается на указанном месте временно.

а)

б)

Рис. 12: Алгоритм метода полной редукции.

Стрелки указывают, какие векторы используются при вычислении pj*'. На (рис. 12 б) показана последовательость вычисления неизвестных Uj (символическое обозначение о). Стрелками указано, какие U;, найденные на предыдущих шагах, и какие р**-1* (символическое значение -заштрихованный квадрат) используются для вычислений Uj при заданном к.

Прямой ход метода полной редукции реализуется следующим образом.

1) Задаются значения для pj0' = Fj, j = 1,2,..., N — 1.

2) Для каждого фиксированного fc = l,2, ...,п-1 при фиксированном j = 2fc, 2 • 2*, 3 • 2к,..., N — 2к сначала вычисляются и запоминаются

векторы ,„ rs'-'J*-1) - „(*-») пъ

V = В p}_2tli + P}+2*-i • (13)

Затем для 1 = 1,2,..., 2к~1 решаются уравнения

Ai,k-ivi = В-2*"2 ai,k~ iip, (14)

где

J n-Wj о (Я - V* Г (~1)'+1 • (21 - 1)

Ац-i = В 1'2А - 2cos /, aijt-i = ^ sin 'тт.

В результате постепенным накоплением результата на месте р}* ^ находится р]*':

р5ч = 0.5(р5*_1) + «1 + г>2 + ... + (15)

Обратный ход метода реализуется следующим образом.

1) Задаются значения для 11о и и^: и<> = Го, II^ = Р^.

2) Для каждого фиксированного к - п, п — 1,..., 1 при фиксированном з = 2*~1,3 • 2*-1,5 • 2*"1,..., N — 2к~1 вычисляются и запоминаются векторы

<р = В2'-1 и^-. + и^-ь ф = р^. (16)

Затем для 1 = 1,2,..., 2к~1 решаются уравнения

Аць-щ = В'1'^ + В-^сц^. (17)

В результате постепенным накоплением результата на месте р]*-1^ находится и^:

Ц,- = VI + У2 + ■ .. + У2к-1. (18)

Этот прямой метод позволяет найти решение разностной задачи (6) в прямоугольнике за 0(ММ\о%2 №) арифметических действий. Если не учитывать слабую логарифмическую зависимость от И, то число действий для этого метода пропорционально числу неизвестных МN.

В разделе 3.2 приводится построение многосеточного метода неточной полной редукции для задачи (6), где Ь\ = Ь\(х,у). Существенным отличием от предыдущего случая, когда Ь| = Ь\(х), является то, что разностная задача сводится к системе трехточечных векторных уравнений специального вида

-виЬ1 + 40) и, - и>+1 = Р<°», 1<з<М-1, и0 = Ро, и* = ¥н,

где А^Р - заданная трехдиагональная квадратная матрица, различная для разных 3.

Неизвестные исключаются, аналогично методу точной редукции. Таким образом, вместо (8) будем иметь

+ В(А^ - АЛи,_х + 41)и,- + (А]+1 - и,-+1 - и;+2 = и0 = Р0, = 3 = 2,4,61...,ЛГ-2.

Отбрасывая небольшие коэффициенты при Ц,_1 и 1^+1, получим уравнение (8). Этот процесс исключения может быть продолжен до тех пор,

пока не останется одно уравнение для U2»-i = Ujv/2- Таким образом, получили неточный метод редукции, прямой ход которого реализуется также как в методе точной редукции. На обратном ходе предлагается делать несколько итераций улучшения приближенного решения при переходе на более мелкую сетку. Т.е. после того, как уравнение (9) для к = п решено, решается это же уравнение для к = п — 1. Затем при помощи уравнения

= F?"l> + B^U^- + IW-ц Uo = Fo, Ujv = Fn j = 2k,2-2k,Z-2k,...,N-2k,

"улучшается" приближенное уравнение и так далее.

Для дальнейшего улучшения решения рекомендуется делать несколько V - циклов. Под V - циклом понимается решение системы трехточечных векторных уравнений (19) предложенным методом неточной редукции. Таким образом, в результате одного V - цикла находится приближенное решение Uj1'. Для дальнейшего уточнения решения можно сделать еще один V - цикл, который заключается в следующем.

а) Вычисляется невязка £ = F, + BUj'jj - Aj U^ + U^.

б) Решается система

-BVfl, + AjVf - Ug, = fc, 1 < j < ЛГ - 1, u£2) = 0, = 0

методом неточной полной редукции. В результате находится приближенное решение uj2'.

в) Делается уточнение решения системы (19) : Uj1' = Uf + Uf.

г) Для дальнейшего улучшения, переходим к пункту а.

В разделе 3-2.5 рассмотрена задача

-0.1 Au+(x + y)^ + — = f в О (21)

с точным решением типа пограничного слоя

и = (1-х)3 + з/3 + 2ехр^-^ на Г. (22)

В таблице (1) приводится коэффициент подавления ошибки в норме С и L2 после применения метода неточной полной редукции, где iter -количество итераций улучшения приближенного решения при переходе с крупной сетки на более мелкую, a S - количество V циклов.

Б Пег 6 N = 64 N = 128 ЛГ = 256 ЛГ = 512 N = 1024

1 0 6С 1.04е - 02 1.06е - 02 1.07е - 02 1.09е - 02 1.10е - 02

1 0 ¿£2 1.26е - 02 1.47е - 02 1.48е - 02 1.50е - 02 1.51е - 02

1 2 6с 2.24е - 03 2.33е - 03 2.42е - 03 2.47е - 03 2.48е - 03

1 2 &12 3.32е - 03 З.бОе - 03 3.76е - 03 3.85е - 03 3.89е - 03

2 2 6с 7.82е - 06 8.08е - 06 8.34е - 06 8.61е - 06 8.62е - 06

2 2 8.46е - 06 9.04е - 06 9.46е - 06 9.71е - 06 9.81е - 06

3 2 ¿с 1.65е - 08 1.88е - 08 2.08е - 08 2.13е - 08 2.14е - 08

3 2 ¿Д2 1.51е - 08 1.76е - 08 1.83е - 08 1.88е - 08 1.90е - 08

Таблица 1: Коэффициент подавления ошибки в норме С и после применения 5 - циклов метода неточной полной редукции.

Из таблицы (1) видно, что при увеличении размерности задачи, погрешность 6 стабилизируется.

В заключении сформированы основные результаты.

• Разработан новый метод переориентации триангуляции области для двумерного и трехмерного уравнений конвекции-диффузии, увеличивающий порядок аппроксимации для разностных схем с направленными разностями: при до второго порядка, а при £ Н - не хуже 4/3.

• Построен набор разностных уравнений второго порядка аппроксимации, обеспечивающий обратную монотонность сеточного оператора для соотношения и использующий направленные разности.

• Построена модификация экономичного метода полной редукции, позволяющая найти решение с числом операций, близким к оптимальному.

• Построен эффективный многосеточный метод на основе приближенной редукции со скоростью сходимости, не зависящей от размерности сетки.

• Разработаны численные алгоритмы, компьютерные программы и проведены численные эксперименты для ряда модельных задач.

Публикации автора по теме диссертации

1 Калпуш Т.В. Разностная схема для уравнения конвекции-диффузии на ориентированной сетке / Калпуш Т.В., Шайдуров В.В. // Вычислительные технологии, 1999. - Т. 4, Спец. выпуск. - С. 72-85.

2 Калпуш Т. В. Разностная схема для задачи конвекции-диффузии с малым параметром на ориентированной сетке / Калпуш Т.В., Шайдуров В.В. // Вычислительные технологии, 2001. - Т. 4. -С. 325-333.

3 Kalpush T.V. A difference scheme for convection-diffusion problem on the oriented grid/ Bykova E.G., Kalpush T.V., Karepova E.D., Kireev I.V., Pyataev S.F., Rude U, Shaidurov V.V. //Accurate Numerical Solution of Convection-Diffusion Problems - Novosibirsk: Publishing House of Institute of Mathematics of Siberian Branch of the Russian academy of Sciences. - 2001.- Vol. 1. P. 177-195.

4 Kalpush T.V. Algebraic multigrid methods for convection-diffusion problem / Efremov V.V., Kalpush T.V., Shaidurov V.V. // International Conference on Computational Mathematics. - Part two -Novosibirsk: ICM&MC Publisher, 2002. - P. 408-411.

5 Калпуш Т.В. Алгебраический многосеточный метод для решения сеточной задачи конвекции-диффузии с преобладанием конвекции / Калпуш Т.В., Шайдуров В.В. // Труды III международной конфереции "Симметрия и дифференциальные уравнения". -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 114-119.

6 Калпуш Т.В. Построение ориентированных сеток для аппроксимации задачи конвекции - диффузии // Тез. докл. конференции молодых ученых '98. - (Красноярск, апрель 1998 ). - Красноярск: ИВМ СО РАН, 1998. - С. 106-107.

7 Калпуш Т.В. Построение ориентированных сеток для аппроксимации задачи конвекции - диффузии // Тез. докл. XXXVII Международной студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 12 - 16 апр. 1999 г). - Новосибирск: НГУ, 1999. - С. 56-57.

8 Калпуш Т.В. Алгоритм ориентации сетки для решения задачи конвекции-диффузии / Калпуш Т.В., Шайдуров В.В. // Тез. докл. Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 18 - 24 авг. 1999 г). - Красноярск: КГУ, 1999. - С. 114-115.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 02-01-

Подписано в печать 03.08.04 Формат 60 х 86/16 Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036, г. Красноярск, Академгородок.

$15165

РНБ Русский фонд

2005-4 12223

Введение

1 Двумерная задача конвекции - диффузии

1.1 Постановка дифференциальной задачи

1.2 Разностная аппроксимация на равномерном шаблоне.

1.2.1 Центральные разности.

1.2.2 Направленные разности.

1.3 Разностная аппроксимация конвективных слагаемых.

1.4 Построение обратно-монотонной конечно-разностной схемы . 32 ) 1.5 Регулярные и параболические пограничные слои.

1.6 Алгоритм усиления ориентации разностной сетки.

1.7 Численный эксперимент

2 Трехмерная задача конвекции - диффузии

2.1 Постановка дифференциальной задачи '.

2.2 Разностная аппроксимация конвективных слагаемых.

2.3 Построение обратно-монотонной конечно-разностной схемы

3 Метод точной и неточной полной редукции

3.1 Метод полной редукции

3.1.1 Постановка краевой задачи для трехточечных векторных уравнений.

3.1.2 Процесс нечетно-четного исключения.

3.1.3 Преобразование правой части и обращение матриц.

3.1.4 Алгоритм метода.

I 3.1.5 Второй алгоритм метода.

3.1.6 Пример применения метода.

3.2 Метод неточной полной редукции •.-.

3.2.1 Постановка краевой задачи для трехточечных векторных уравнений.

3.2.2 Процесс нечетно-четного исключения.

3.2.3 Преобразование правой части и обращение матриц.

3.2.4 Алгоритм метода неточной редукции

3.2.5 Применение метода неточной редукции.

Математические модели многих процессов в физике, химии, технике описываются дифференциальными уравнениями, содержащими малые параметры, которые появляются как множители перед некоторыми членами уравнений. Если незначительное возмущение параметра в таком уравнении вызывает резкое изменение решение, то зависимость решения от малого параметра называется сингулярной, а само уравнение с малым параметром - сингулярно возмущенным.

Данная работа посвящена разностным методам решения сингулярно возмущенных задач для уравнения конвекции- диффузии с малым параметром при старших производных, характеризующих процесс диффузии. Поскольку в этом случае невозмущенное (вырожденное) уравнение имеет порядок на единицу меньше исходного (возмущенного) уравнения, то существенным отличием невозмущенной задачи от исходной является невозможность выполнения всех поставленных краевых условий. Часть из них оказывается лишней, что приводит к быстрому изменению решения в малой окрестности соответствующих участков границы.

В результате стандартные методы конечных разностей и конечных элементов на равномерной сетке либо неустойчивы, либо дают неудовлетворительную точность при малом значении параметра диффузии. В то же время, построение эффективных численных алгоритмов для решения этого класса задач имеет большое практическое и теоретическое значение. С одной стороны, исследуемые в работе задачи часто выступают как элементы математических моделей при исследовании широкого круга прикладных задач физики, химии, радиоэлектроники, гидродинамики, техники, биологии, теории управления. С другой стороны, они могут рассматриваться как модельные, I обладающие характерными чертами целого класса сингулярно возмущенных задач для эллиптических и параболических уравнений.

Некоторые сведения по асимптотическому анализу влияния малых параметров в дифференциальных уравнениях восходят к Л.Эйлеру. Начало современного теоретического и практического исследования соответствует работам А.Н.Тихонова в 1940-х годах ( [1], [2], [3]). Систематическое изучение методов решения сингулярно возмущенных задач началось несколько позднее, в конце 1960-х годов.

При исследовании свойств дифференциальной задачи применяются методы асимптотического разложения по малому параметру, такие как метод внешних и внутренних разложений [4], метод М.И.Вишика и Л.А.Люстерника [5], а также его обобщения [6], [7].

Использование стандартных методов конечных разностей и позднее конечных элементов для решения сингулярно возмущенных задач оказалось малоэффективным или невозможным ввиду плохой точности или неустойчивости дискретных аналогов. Подробные исследования на эту тему можно найти в работах [8], [9], [10], [16], [12], [13], а также монографии [14], довольно полно освещающей современное состояние проблемы численного решения сингулярно возмущенных задач.

Отмеченные неприятные эффекты связаны с тем, что "константы" в оценках порядка сходимости классических методов для рассматриваемых задач как правило зависят от малого параметра и неограниченно возрастают при его уменьшении [9]. Для преодоления этих трудностей предложено множество подходов. Условно их можно разделить на два класса. Первый класс составляют различные методы подгонки, когда коэффициенты разностной схемы в методе конечных разностей или параметры билинейной формы и вид базисных функций в методе .конечных элементов выбираются с использованием априорной информации о поведении решения исходной дифференциальной задачи (см., напр., [12]). Ко второму классу следует отнести приемы, использующие стандартные методы на неравномерных сетках, априорно заданных или апостериорно адаптируемых в процессе численного интегрирования (см., напр., [15], [16], [17]).

Первые идеи улучшения точности численных методов связаны с использованием разностных схем с направленными разностями. Основная идея этого метода заключается в применениии удачной аппроксимации конвективного члена (простая схема с направленными разностями) и введении искусственной вязкости в направлении распространения процесса. Показано, что оптимально такой подход приводит ко второму порядку сходимости при умеренных значениях малого параметра и только первому в ситуациях, когда значение параметра становится сравнимо или меньше шага сетки ( [18], [19], [20], [21], [22]).4

Важной проблемой численного интегрирования задач с пограничным слоем является построение методов, равномерно сходящихся относительно малого параметра. Этим свойством обладают методы экспоненциальной подгонки, которые при построении конечно-разностных и конечно-элементных схем используют информацию о виде погранслойной составляющей решения ( [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29]). Еще один прием построения равномерно сходящихся разностных схем основан на использовании аналитических решений уравнений с постоянными коэффициентами. Это подход Д.Аллена и Р.Саусвелла [26], опирающийся на близость исходной задачи и аппроксимирующей ее задачи с кусочно-постоянными коэффициентами, который дает дискретную задачу, аналогичную схеме экспоненциальной подгонки А.М.Ильина [23]. Сюда же следует отнести метод интегральных тождеств [30] со специальными весовыми функциями, аналогичный построению усеченных разностных схем А.А.Самарского [31].

Как уже отмечалось, альтернативным приемом построения равномерно сходящихся методов является использование специально сконструированных сеток. Прежде всего это сетки, предложенные в работе Н.С.Бахвалова [15], логарифмически сгущающиеся внутри области погранслоя. Их построение в общих чертах основано на использовании оценки производной решения или равномерности по параметру скачка решения в соседних узлах сетки ( [32],

17]).

В работах Г.И.Шишкина [33], [34] описан довольно общий класс разностных схем для задач с параболическим погранслоем, для которого доказана невозможность построения разностной схемы с подгонкой на компактном шаблоне, равномерно сходящейся относительно малого параметра. В работе [33] была предложена неравномерная сетка с кусочно-постоянным шагом, более мелким в области погранслоя, на которой схема с направленными разностями имела порядок сходимости N^lnN, что несколько хуже, чем в предыдущем случае (N - количество узлов сетки). Общие принципы доказательства равномерной сходимости классических разностных схем на этом классе сеток для сингулярно возмущенных задач были разработаны в монографии Г.И.Шишкина [16]. В работах [35], [36], [37], [38], [39], [40] этот подход применен к широкому кругу задач в сочетании с методом конечных разностей.

Эти подходы, примененные к методу конечных элементов, в совокупности со специфическими конечноэлементными приемами дают еще один спектр методов решения сингулярно возмущенных задач.

Метод, основанный на внесении дополнительной вязкости в направлении распространения процесса был предложен Т.Хагисом и А.Бруксом в [41], [42] и предполагает рассмотрение в методе Петрова-Галеркина вместо обычной билинейной формы ее некоторой аппроксимации с дополнительным слагаемым, вносящим численную вязкость вдоль потока. В результате на ориентированных в направлении потока сетках поточечная сходимость может достигать второго порядка в узлах сетки ( [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50]).

В последнее время в рамках методов конечных разностей или конечных элементов используются адаптивные сетки, подстройка которых осуществляется на основе апостериорной информации о приближенном решении, предварительно найденном на равномерной или другой, более грубой сетке. В настоящее время имеется много функционалов, оценивающих качество решения - эстиматоров ( [51], [52], [55], [53], [56], [54], [57], [58], [59]), на основании которых вырабатывается рекомендация о построении сетки.

Данная работа посвящена разностным методам решения сингулярно возмущенных задач для уравнения конвекции- диффузии с малым параметром при старших производных, характеризующих процесс диффузии. Как уже отмечалось, применение метода конечных элементов или разностных методов обладает некоторыми особенностями, когда конвекция и диффузия имеют один порядок. Во-первых, в зоне пограничного слоя необходимо либо явно учитывать вид функций типа пограничного слоя [12], либо сгущать сетку для компенсации сильного роста производных [32]. Во-вторых, в зоне гладкости, когда влияние старших производных незначительно, разностная сетка или разностная схема должны учитывать тот факт, что уравнение по-существу становится уравнением конвекции (называемого далее вырожденным), а участок зависимости решения в какой-либо точке этой зоны стремится к куску характеристики вырожденного уравнения первого порядка [61]. В-третьих, стандартные разностные схемы и схемы метода конечных элементов с центральными разностями теряют устойчивость, а схемы с направленными разностями обладают вычислительной диффузией, которая существенно больше физической диффузии и нарушает даже качественное описания решения, не говоря уже о количественном сходстве. В отличие от физической диффузии, вычислительная диффузия отличается как. в разных точках пространства, так и в разных направлениях в одной и той же точке. Роль "продольной" вычислительной диффузии, т.е. диффузии вдоль конвективного потока, проявляется уже в одномерных задачах, где она хорошо изучена и дает такие же последствия как и в двумерных задачах.

В настоящей работе на уровне первого дифференциального приближения уточняется степень влияния "поперечной" вычислительной диффузии, "размывающей" разностное решение в направлениях, не касательных к конвективному потоку. Следует отметить, что значение решения и(х, у) в какой-либо внутренней точке области зависит от всех значений правой части и краевых условий. Но при малых значениях параметра е это лишь теоретическое заключение. Практически же сколько-нибудь заметное влияние помимо характеристики или ее участка начинает оказывать лишь их ближайшая окрестность, влияние остальных точек ничтожно. Причем ширина этой окрестности тем меньше, чем меньше диффузия в направлениях, не совпадающих с характеристикой. Вместе с тем, из физических соображений ясно, что диффузия вдоль характеристических кривых почти не влияет на размыв, или осреднение, решения. Этот эффект в основном является следствием диффузии в других поперечных направлениях. Поэтому в данной работе предлагается новый алгоритм последовательного усиления разностной сетки, который заключается в улучшении ее ориентации вдоль характеристических кривых с целью уменьшения вычислительной диффузии поперек характеристических линий. Рассматривается специальная аппроксимация производных, позволяющая получить семейство разностных схем второго порядка для двумерной задачи конвекции-диффузии и разностную схему второго порядка для трехмерной задачи с обратно-монотонным оператором.

Применение различных численных разностных методов и метода конечных элементов для решения дифференциальных уравнений приводит к системе линейных алгебраических уравнений специального вида - к разностным уравнениям.

Эта система обладает следующими специфическими чертами: она имеет высокий порядок, равный числу узлов сетки; система плохо обусловлена (отношение максимального собственного значения матрицы системы к минимальному велико); матрица системы является разреженной - в каждой ее строке отлично от нуля несколько элементов, число которых не зависит от числа узлов; ненулевые элементы матрицы расположены специальным образом - матрица является ленточной [77].

Существует много методов решения таких систем, непрерывно ведется работа по их усовершенствованию, проводится переоценка методов, разрабатываются новые методы [87], [86], [88], [89], [90]. В результате оказывается, что значительная часть имеющихся методов обладает своей областью применимости. Поэтому для решения конкретной задачи существует проблема выбора одного метода на множестве допустимых методов решения данной задачи. Этот метод должен обладать наилучшими характеристиками (т.е. быть оптимальным) такими, как минимум времени решения задачи (или минимум числа арифметических и логических операций при отыскании решения), вычислительная устойчивость, т.е. устойчивость по отношению к ошибкам округления, и др.

Хотя классический метод последовательного исключения Гаусса известен на протяжении двух веков, проблема получения численного решения системы линейных алгебраических уравнений с требуемой на практике точностью и по возможности с меньшими затратами вычислительных ресурсов остается очень актуальной. Рождение все новых и новых поколений ЭВМ не снижает остроты ситуации в этой области, поскольку непрерывный рост вычислительных мощностей современных компьютеров мгновенно порождает новые требования к размерности систем уравнений, точности и оперативности их решения. Не случайно, что при значительном росте скорости ЭВМ в последние годы машинное время решения практических задач остается примерно на одном уровне [86].

В настоящее время используются два типа методов решения систем линейных алгебраических уравнений: 1) прямые методы; 2) итерационные методы или методы последовательных приближений. Как правило, прямые методы ориентированы на решение довольно узкого класса сеточных уравнений, но они позволяют находить решения с очень малыми затратами вычислительной работы. Итерационные методы позволяют решать более сложные уравнения и часто в качестве основного этапа алгоритма содержат прямые методы решения специальных разностных уравнений.

А.Самарским и Е.Николаевым [77] рассмотрены методы скалярной и матричной прогонок для решения специальных классов векторных уравнений, соответствующих, например, разностной задаче Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Метод матричной прогонки реализуется с затратой O(M^N) арифметических действий, где N - число векторных уравнений, а

М - размерность неизвестных векторов (число неизвестных в задаче равно MN). Кроме того, ими был предложен модифицированный алгоритм матричной прогонки, который позволяет сократить число действий до 0(MN2). Также был построен метод полной редукции для решения специальных векторных уравнений, к которым сводятся простейшие разностные схемы для уравнения Пуассона. Этот метод позволяет решать основные краевые задачи с затратой 0(MN log2 N).

В данной работе предложена модификация этого метода для решения задачи конвекции-диффузии - прямой метод точной полной редукции и многосеточный итерационный метод неточной полной редукции.

Целью настоящей диссертационной работы являлось построение эффективных разностных методов аппроксимации задач конвекции - диффузии с малым параметром при старших производных и экономичных численных алгоритмов для решения получаемых разностных аналогов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработан новый метод переориентации триангуляции области для двумерного и трехмерного уравнений конвекции-диффузии, увеличивающий порядок аппроксимации для разностных схем с направленными разностями: при h < Me до второго порядка, а при е <С h - не хуже 4/3. В сравнении с другими способами триангуляции достоинство предложенного метода состоит в сохранении числа внутренних узлов триангуляции, а также их координат.-В случае исходного равномерного расположения узлов они остаются неизменными на всех этапах переконструирования, что существенно облегчает построение разностной и конечно - элементной аппроксимации, а также применение прямых и итерационных методов решения получаемых систем линейных алгебраических уравнений. Недостаток метод состоит в потенциальной возможности увеличения максимального диаметра треугольников. Поэтому не рекомендуется использовать этот метод как предельный. Отметим, что эффективность алгоритма будет выше, если продвигаться по внутренним узлам фронтом по конвективному потоку. На конкретном численном примере продемонстрирована эффективность предложенного метода, состоящая в резком улучшении приближенного решения после нескольких этапов перестроения сетки. Ввиду небольшой вычислительной трудоемкости метод рекомендуется как вспомогательный для применения к уже существующим сеткам для улучшения их ориентации и получения более точного приближенного решения.

2. Построен набор разностных уравнений второго порядка аппроксимации, обеспечивающий обратную монотонность сеточного оператора для соотношения h ~ е и использующий направленные разности.

3. Построена модификация экономичного метода полной редукции, позволяющая найти решение с числом операций, близким к оптимальному.

4. Построен эффективный многосеточный метод на основе приближенной редукции со скоростью сходимости, не зависящей от размерности сетки.

5. Разработаны численные алгоритмы, компьютерные программы и проведены численные эксперименты для ряда модельных задач.

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра //Мат. сборник. - 1948. - Т. 22(64). - № 2. - С. 193-204.

2. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры //Мат. сборник. 1950. - Т. 27(69). - № 1. - С. 147-156.

3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие параметры // Мат. сборник. 1952. - Т. 31(73). - № 3. - С. 575-586.

4. Ван-Дайк М. Методы возмущения в механике жидкости// М.: Мир, 1967.

5. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люс-терника-Вишика // УМН. 1970. - Т.25. - № 4. - С. 123-156.

6. Morton K.W. Galerkin finite element methods and their generalizations // in: The State of the Art in Numerical Analysis. Oxford: Clarendon Press. -1987. P. 645-680.

7. Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Часть 1// Новосибирск: Наука, 1998.

8. Kellogg R.B, Stynes M. Optimal approximatility of solutions of singular perturbed two-points boundary value problems // SIAM J. Numer. Anal. -1997. V. 34. - № 5. - P. 1808-1816.

9. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем J/ М.: Мир, 1983, 200 с.

10. Багаев Б.М., Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Часть 2// Новосибирск: Наука,2001.

11. Roos H.-G., Stynes М., Tobiska L. Numerical methods for singular perturbed differential equations // Berlin: Springer-Verlag, 1996, 350 p.

12. Бахвалов H.C. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // ЖВМ и МФ. 1969. - Т. 9. - № 4. - С. 841859.

13. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений // Екатеринбург:7 УрО РАН, 1992, 232 с.

14. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // ЖВМ и МФ. 1996. - Т. 36. -№1. - С. 3-42.

15. Kellogg R.B, Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problem without turning points // Math. Сотр. 1978. - V. 32. - P. 1025-1039.

16. Tobiska L. Diskretisierungsverfahren zur Losung singular gestorter Randw-ertprobleme // ZAMM. 1983. - № 63. - P. 115-123.

17. Stoyan G. Monotone difference schemes for convection-diffusion problems // ZAMM. 1979. - № 59. - P. 361-372.

18. Abrahamsson L., Keller H.В., Kreiss H. O. Difference approximations for singular perturbations of systems of ordinary differential equations // Numer. Math. 1974. - № 22. - P. 367-391.

19. Berger А.Е., Solomon J.M., Ciment M. Analysis of a uniformly accurate difference method for a singular perturbation problem // Math. Сотр. -1980. № 151. - P. 695-731.

20. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Мат. заметки. 1969. -Т. 6 - № 2. - С. 237-248.

21. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач // М.: Наука, 1989.

22. Емельянов К.В. О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старших производных // Числ. методы мех. сплошной среды. 1970. - Т. 1 - К0- 5. - С. 20-30.

23. Allen D.N. de G., Southwell R.V. Relaxation methods applied to determine the motion, in 2D, of a viscous fluid post a fixed cylinder // Quart J. Mech. Appl. Math. 1955. - V. VIII. - № 2. - P. 129-145.

24. Farrell P.A. Uniformly convergent difference schemes for singularly perturbed turning and non-turning point problems // Ph. D. thesis. Dublin: Trinity College. - 1983.

25. Farrell P.A. Sufficient conditions for the uniform convergence of difference schemes for singularly perturbed turning point problem // SIAM J. Numer. Anal. 1988. - № 25. - P. 618-643.

26. Farrell P.A., Hegarty A.F. Numerical resalts for singularly perturbed linear and quasilinear differential equations using a coarse grid //in Proc. of Conf. Boundary and Inter. Layers Comput. and Asympt. Meth. 1980. - P. 275280.

27. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики // М.: Наука, 1977.

28. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем // М.: Наука, 1971, 656 с.

29. Лисейкин В.Д., Петренко В.Е. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями // Новосибирск: Из-во ВЦ СО РАН СССР, 1989, 258 с.

30. Шишкин Г.И. Численное решение эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных // ДАН СССР. 1979. - Т.245.- № 4. С. 804-808.

31. Shishkin G.I. On finite difference fitted schemes for singularly perturbed boundary value problems with parabolic boundary layer // J. of Math. Anal, and Appl. 1997. - № 208. - P. 181-204.

32. Шишкин Г.И. Разностная схема на неравномерной сетке для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // ЖВМ и МФ. 1983 -Т.23 - С. 59-66.

33. Шишкин Г.И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с параболическим погранслоем // ЖВМ и МФ. 1989. -Т.29. - № 7. - С. 963-978.

34. Hegarty A.F., Miller J.J.H., Е. O'Riordan, Shishkin G.I. Special meshes for finite difference approximations to an advection-diffusion equation with parabolic layers // J. of Сотр. Phisics. 1995. - V. 117. - P. 47-54.

35. Hegarty A.F., Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Numerical results for advection-dominated heat transfer in a moving fluid with a non-slip boundary condition // Int. J. Num. Meth. Heat Fluid Flow. 1995. - V. 5. -P. 131-140.

36. Hegarty A.F., Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. On a novel mesh the regular boundary layers arising in advection-dominanted transport in two dimensions // Communication in Num. Meth. in Engineering. 1995. -V. 11. - P. 435-441.

37. Farrel P.A., Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. On the non-existence of e-uniform finite difference methods on uniform meshes for semilinear two point boundary value problems // Math, of Сотр. 1998. - V. 67. - № 222.- P. 603-617.

38. Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline upwind Petrov-Galerkin methods for advection dominated flowes //in Proceedings: Third International Conference on Finite Element Methods in Fluid Flow. Canada: Banff. - 1980.- P. 645-680.

39. Hughes T.J.R., Brooks A.N. A multidimensional upwind scheme with no crosswind diffusion // in : Finite Element Methods Convection Dominated Flows. New-York: American Society of Mechanical Engineers Press. - 1980.- V. 34.

40. Mizukami A., Hughes T.J.R. Petrov-Galerkin finite element methods for convecting-dominated flows : An accurate upwinding technique for satisfying the maximum principle // Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg. 1985. -V. 50. - P. 181-193.

41. Johnson C. Streamline diffusion methods for problems in fluid mechanics // in: Finite Element in Fluids. Chichester. - 1986. - P. 251-261.

42. Johnson C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method // Cembridge: Cembridge Univ. Press, 1987.

43. Johnson C., Schatz A.H., Wahlbin L.B. Crosswind smear and poinwise errors in streamline diffusion finite element methods // Math. Сотр. 1987. -V. 49. - P. 25-38.

44. Angermann L. Numerical solution of second order elliptic equations on plane domains // Math. Modelling Anal. Numer. 1991. - V. 25. - № 2. - P. 169191.

45. Zhou G. Local L2-error analysis of streamline diffusion FE-method for non-stationary hiperbolic systems // Prepr. 94-07(SEB359). Univ. of Heidelberg. - 1994.

46. Zhou G., Rannacher R. Pointwise superconvergence of the streamline diffusion finite element method // Prepr. 94-72(SEB359). Univ. of Heidelberg.- 1994.

47. Zhou G. How accurate is the streamline diffusion finite element method. // Math. Comp: 1997. - V.66. - P. 31-44.

48. Karepova E.D., Shaidurov V.V. The finite element method for convection-diffusion convection-dominated problems// In Accurate Numerical Solution of Convection-Diffusion Problems. Parti, 2001, ИВМ CO РАН: Красноярск. P. 13-129.

49. Babuska I.,. Szymczak W.G. Adaptivity and error estimation for the finite element method applied to convection-diffusion problems // SIAM J. Numer. Anal. 1984. - V. 21. - P. 910-946.

50. Babuska I., Miller A. A feedback finite element method with a posteriori error estimation // J. Сотр. Meth. Engrg. 1987. - V. 61. - P. 1-40.

51. Babuska I., Suri M. On lacking and robustness in the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. 1992. - V. 44. - P. 283-301.

52. Bank R.E., Weiser A. Some a posteriori error estimators for elliptic partial differential equations // Math. Сотр. 1985. - V. 44. - P. 283-301.

53. Duran R., Muschietti M.A., Rodriguez R. On the asymptotic exactness of. error estimators for linear triangular elements // Numer. Math. 1991. -V.59. - P.107-127.

54. Duran R., Muschietti M.A., Rodriguez R. Asymptotically exact error estimators for rectangular finite elements // SIAM J. Numer. Anal. 1992. -V.29. - P.78-88.

55. Eriksson K., Johnson C. Adaptive streamline diffusion finite element methods for stationary convection diffusion problems // Math. Сотр. 1993 -V. 60. - P. 167-188.

56. Verfiirth R. A posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques // J. Comput. Appl. Math. 1994. - V. 50. - P. 67-83.

57. Hangleiter R., Lube G. Boundary layer-adapted grids and domain decomposition in stabilized Galerkin methods for elliptic problems // Amsterdam: CWI Quarterly. 1997. - V. 10. - № 3& 4. - P. 215-238.

58. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных// М.: Наука, 1976.

59. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные метода// М.: Наука, 1981, 416 с.

60. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа// М.: Наука, 1974.

61. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач j j М.: Мир, 1980, 512 с.

62. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики j j М.: Наука, 1972, 735 с.

63. Miller J.J.H., O'Riordan Е., Shishkin G.I. Solution of singularly perturted problems with s-uniform numerical methods introduction to the theory of linear problems in one and two dimensions// World Scientific, 1995.

64. Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром // В сб.: Сборник научных трудов ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. - 1977. - С. 89-99.

65. Shaidurov V., Tobiska L. Special integration formulae for a convection-diffusion problem // East-West J.Numer.Math. 1995. - V. 3 - № 4. -P. 281-299.

66. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления // М.: Наука, 1984.

67. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения // Новосибирск.: Наука, 1979.

68. Багаев Б.М. Метод Галеркина для обыкновенного дифферециального уравнения с малым параметром // В сб. науч. тр.: Численные методы механики сплошной среды / Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1979. -Т. 10. - № 1.-С. 1-16.

69. Багаев Б.М. Метод Галеркина для уравнения с малым параметром при старшей производной //В сб. науч. тр.: Метод аппроксимации и интерполяции / Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1981. - С. 4-13.

70. Боглаев И.П. Приближенное решение нелинейной краевой задачи с малым параметром при старшей производной // ЖВМ и МФ. 1984. -Т. 24. - № 11. - С. 1649-1656.

71. Владимиров B.C. Уравнения математической физики // М.: Наука, 1976, 527 с.

72. Гущин В.А., Шенников В.В. Об одной монотонной разностной схеме второго порядка точности // ЖВМ и МФ. 1974. - Т. 14. -№ 3. -С. 789-792.

73. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем // М.: Наука, 1979, 320 с.

74. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений // М.: Наука, 1978, 592 с.

75. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // М.: Наука, 1961, т. 2, 800 с. •

76. Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром // В сб.: Сборник научных трудов ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. - 1977. - С. 89-99.

77. Боглаев Ю.П. О численных методах решения сингулярно возмущенных задач // Диф. ур. 1985. - Т. XXI - № 10. - С. 1804-1806.

78. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // УМН. 1963. - Т. 18. - № 3. - С. 15-86.

79. Barret J.W., Morton K.W. Optimal finite element solutions to diffusion-convection problems in one dimension // Int. J. Numer, Meth. Eng. 1980. - V. 15. - P. 1457-1474.

80. Brandt A. Algebraic multigrid theory: The symmetric case // Appl. Math. Comput., 19, 1986, p. 23-56.

81. Brandt A., McCormick S.F., Ruge J. Algebraic multigrid (AMG) for sparse matrix equations // In: Sparsity and its Applications, D.J. Evans, ed., Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1984, p. 257-284.

82. Briggs W.L., Henson V.E, McCormick S.F. A multigrid Tutorial // SIAM, 2000.

83. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем // М.: Наука, 1995.

84. Эстербю О., Златев 3. Прямые методы для разреженных матриц // М. Мир, 1987.

85. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой раз-мерности//Учебное пособие. Новосибирск, 2000.

86. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы //М. Мир, 1977.

87. Писсанецки С. Технология разреженных матриц//М. Мир, 1988.

88. Ruge J.W., Stuben К. Efficient solution of finite element equations by algebraic multigrid (AMG)// In: Multigrid Methods for Integral and Differential Equations. D.J. Paddon and H. Holstein, eds., Clarendon Press, Oxford, 1985, pp. 169-212.

89. Stuben K. Algebraic Multigrid (AMG): experiences and comparisons // Appl. Math. Comput., 1983, pp. 419-452.

90. Ruge J.W., Stuben K. Algebraic multigrid (AMG)// in Multigrid Methods, S.F.McCormick, ed., vol. 3 of Frontiers in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, PA, 1987, pp. 73-130.

91. Hempel R., Thompson C.P. A note on the vectorization of the algebraic multigrid algorithms// Appl. Math. Comput. 1988, pp. 245-256.

92. Danmen W., Eisner L. Algebraic multigrid methods and the Schur complement //in Robust Multi-Grid Methods, W. Hackbusch, ed., vol. 23 of Notes on Numerical Fluid Mechanics, Braunschweig, 1989, Veiweg, pp. 58-68.

93. Kuznetsov Y. A. Algebraic multigrid domain decomposition methods // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modeling, 1989, pp. 361-392.

94. Huang W. Z. Convergence of algebraic multigrid methods for symmetric positive define matrices with weak diagonal deminance// Appl. Math. Comput., 1991, pp. 145-164.

95. Robinson G. A simple parallel algebraic multigrid// In: Occam and the Transputer, IOS Press, 1991, pp. 62-75.

96. Axelsson O., Neytcheva M. The algebraic multilevel iteration methods -theory and applications// in Proceedings of the Second International Colloquium in Numerical Analysis, Perovdiv, Bulgaria, 1993, pp. 13-23.

97. Golubovici G., Рора С. Interpolation and related coarsening techniques for the algebraic multigrid method// In: Proceedings of the Fourth European Multigrid Conference, Amsterdam, 1993, vol. 116 of ISNM, Basel, 1994, Birkhauser, pp. 201-213.

98. Golub G., Van Loan C. Matrix Computations// Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 1996.

99. Калпуш T.B., Шайдуров В.В. Разностная схема для уравнения конвекции-диффузии на ориентированной сетке // Вычислительные технологии, 1999. Т.4, Спец. выпуск - С. 72-85.

100. Калпуш Т.В., Шайдуров В.В. Разностная схема для задачи конвекции-диффузии с малым параметром на ориентированной сетке // Вычислительные технологии, Новосибирск, 2001. Т.6. - С. 325-333.

101. Kalpush T.V., Shaidurov V.V. A diiference scheme for convection-diffusion problem on the oriented grid // In Accurate Numerical Solution of Convection-Diffusion Problems. Parti, 2001, ИВМ CO РАН: Красноярск. P. 177-195.

102. Калпуш T.B. Шайдуров В.В. Алгебраический многосеточный метод для решения сеточной задачи конвекции-диффузии с преобладанием конвекции //Труды III международной конфереции "Симметрия и дифференциальные уравнения Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002, с.114-119.

103. Efremov V.V., Kalpush T.V., Shaidurov V.V. Algebraic multigrid methods for convection-diffusion problem// International Conference on Computational Mathematics. Part two - Novosibirsk: ICM&MC Publisher, 2002. -p. 408 - 411.

104. Shaidurov V.V. Multigrid Methods for Finite Elements// Kluwer Academic Publishers, 1995.

105. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии// М: Едиториал УРСС, 2003.