Метод Куфарева определения параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для неограниченных многоугольников тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

со ^

л

'Ч. На правах рукописи

Р/

t, 1

СИНЕВ Владимир Анатольевич

МЕТОД КУФАРЕВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ В ИНТЕГРАЛЕ КРИСТОФФЕЛЯ-ШВАРЦА ДЛЯ

НЕОГРАНИЧЕННЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

01.01.01. - Математический анализ

АВТОРЕФЕРА Т

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Красноярск 1995

Работа выполнена в Кемеровском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор И.А. Александров

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Э.Б. Мураев,

кандидат физико-математических наук, доцент к.В. Сафонов

Ведущая организация - Институт Математики СО РАН.

Защита состоится 15" декабря 1995г. в часов

на заседании диссертационного совета К 064.61.01 при Красноярском государственном университете по адресу: 660062, г.Красноярск, просп. Свободный, 79, ауд. 3210.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 1 з ноября 1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент X5 Ц\ —Е.К.Лейнартас

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема нахождения постоянных в интеграле Кристоффеля-Шварца, поставленная в середине прошлого века, до настоящего времени не имеет достаточно общего и простого метода ее решения. В общем виде задача решена для многоугольников, иквпго» "" «-"- "СХ^ри-ь вершин. Для ПГТЯЛЬ!!!,™ случаев ничего не известно о прямом решении задачи за исключением некоторых частных примеров. Поэтому все большее внимание уделяется разработке приближенных методов построения отображающих функций.

Одним из эффективных способов приближенного решения задачи о параметрах в интеграле Кристоффеля-Шварца является метод, предложенный в 1947 году П.П.Куфаревым., Дальнейшая его разработка проводилась Ю.В.Чистяковым, И.А.Александровым, В.Н.Александровым. Различными авторами метод Куфарева применялся для решения задач как теоретического, так и прикладного характера; в их числе Т.Р.Хопкинс, Д.Е.Роберте, Э.Е.Либин, Е.Т.Коковин, В.Я.Гутлянский и др.. В рассматриваемом методе задача определения параметров решается в несколько этапов, на каждом из которых из точки на границе многоугольника проводится удлиняющийся прямолинейный разрез, а искомые параметры удовлетворяют некоторой системе дифференциальных урарнений. В применении метода к неограниченным многоугольникам его возможности ограничены случаями, когда на бесконечности лежит лишь одна из вершин многоугольника, так как начальная точка разреза принадлежит конечной части комплексной плоскости. Поэтому для неограниченных многоугольников необходимо рассмотреть случай проведения разреза из бесконечно удаленной точки, чему и посвящена данная диссертация.

Цель работы. Целыо работы является распространение метода Куфарева определения параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца на неограниченные многоугольники. При этом основное внимание уделялось решению следующих вопросов: а) построение решения системы дифференциальных уравнений в рассматриваемом методе при проведении разреза из бесконечно удаленной точки; б) изучение свойств построенных решений; в) иллюстрация возможности

и эффективности применения полученных результатов на ряде конкретных примеров.

Методы исследования. В работе широко использовались методы аналитической теории дифференциальных уравнений. Численные расчеты проведены на ЭВМ.

Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Они могут быть использованы в теории конформных отображений, а также в приложениях, связанных с конформными отображениями (теория фильтрации, газовая динамика, гидромеханика и др.).

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на 3 Всесоюзной школе-семинаре "Понтря-гинские чтения. Оптимальное управление, геометрия и анализ" в г.Кемерово, научном семинаре в Кемеровском госуниверситете, на Томском городском семинаре по 'теории функций комплексного переменного имени П.П.Куфарева, на семинаре в Институте математики СО РАН (руководитель А.В.Сычев),, на конференции, посвященной памяти Л.В.Канторовича в г.Новосибирске (1994г.).

Публикации■ Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах,перечень"которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, списка литературы из' 67 наименований. Имеются рисунки. Общий объем работы 98 страниц.

Номер государственной регистрации темы - 01870002944.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор литературы по исследуемой теме, дан анализ полученных в работе результатов.

В начале 1-го параграфа вводятся необходимые обозначения и формулируется задача.

Любая односвязная многоугольная область может, рассматриваться как ядро некоторого семейства многоугольников, построение которых осуществляется повторением однотипных действий (шагов). Отдельный шаг построения состоит в той, что в данном многоугольнике 2) С й , проводится удлиняющийся

прямолинейный разрез, превращающий 2> в новый многоугольник.

Пусть Е ~ { 2 '■ 12 / < / . Будем считать известной функции £ —» £> . До = ' ^'(0) >

конформно и однолистно отображающую Е на $ . Из некоторой точки границы области 5) проведем в удлиняющийся прямолинейный разрез Ь { О ^ "С , Т' -параметр в так называемой стандартной параметризации Левнера}. Обозначим через В, АА 1 '•••■> < вершины много-

у!и/1ЬНИКа и, , I. / — VI >_ > Ц

разреза, , М - две новые образовавшиеся с прове-

дением ('Г) вершины), ^ С?) и Дл (Т) - прообразы соответственно В и А(К~ 0, 4, . . , И.+1) при однолистном и конформном отображении Е на 2) (Т) .

Функции (Т.) , О-оСо^а^Г), . . • , С1(?)

образуют на ( С^ решение нормальной системы (доказано

П.П.Куфаревым):

(1)

3?,с

а

с

с начальными условиями - И„(о) ~ 0.н+1 (С) ^^ 1

(О) (К = ....И.),

где ^ с £ ° (^ ~ ■( 2.; ■ - , /г ) ~ известные попарно несовпадающие точки единичной окружности, (/ ) ТГ - угол в вершине А к. { К- ~ О> ^, ■ ■ ■} + 4 } ■ В дальнейшем будем считать,

что в, Ао, А. Аьп и р (Г), а0ст), .. ап+<(г)

расположены в порядке положительного обхода соответственно границ 2) (Т?) и Е . Функция, отображающая £ на 2) (?) , запишется в виде: 2-

^-{'»>ЬШк-¿«>)'ъ..

Произведя в задаче Коши (1) замену переменных по формулам

г г« и гКл+Фь]

придем к системе дифференциальных уравнений для действительны» функций действительного переменного:

V. ^ (2>

77 ~~*Е

с Л - о

ОСУ. ' к-о

О - %(о) ~ 4>ы (о) < % (о) < % СО) < - - - < я, (О) с Г О < Лсо)<Т} (х) < О < % (х) СХ>°).

Правая часть первого уравнения в (2) есть линейная комбинация правых частей остальных уравнений. Поэтому в доказательствах и формулировках теорем функция Л(Х) не участвует. Параметры ЗР0 и 'Хп-г -1 могут изменяться в следующих пределах: > - 1 , 36^+., > - 7 > если разрез проводится из конечной точки границы, -3 « / ГГ = -4 £ -2.

при проведении разреза из бесконечности. Первый из указанных случаев рассмотрен авторами метода (единственное решение системы (2) найдено Ю.В.Чистяковым). Из бесконечно удаленной точки можно для одних и тех же значений "Х0 и Оё^ + ^ провести бесчисленное множество параллельных разрезов, поэтому система (2) должна иметь множество решений, соответствующих различны» положениям разреза.

Далее процесс нахождения решений задачи (2) разделен на три варианта, в зависимости от пределов изменения и Общ.^-.

а) дга+ о<и.<2.,А*1 г зег<-/(3)

б) эе,^—а?в<-У ( э?0 , (4)

в) зе„+'аев<., »-¿»-об = (5)

причем при е£. = •/ и оС=2 считаем < - / , + ^ <-/ Внутри каждого из указанных случаев задача (2) имеет однопара-метрические семейства решений одного вида.

Остальная часть 1-го параграфа посвящена разбору случая а). Решение задачи (2) ищется в виде:

= + * х^Ос^.(6)

о

Для нахождения коэффициентов разложений (б) вводится обозначение и ряды (6) подставляются в (2). Затем ппимвтниптло л00$5ИЦИиИ1и кри л'т '"{. Г -»¿.У. . . > » .«!•!»»« к прят?ка

о

частях получившейся системы равенств.

Доказано, что все коэффициенты в (6) определяются единственным образом, за исключением коэффициента при X в разложении функции У0(У) (или (X) )■ Коэффи-

циенты С к . . ; м. =0,4,.. . • £ = • ■ )

в (б) будут зависеть от произвольного . При У/"] ~ 0

из полученного семейства получаем единственное аналитическое решение. Для рациональных значений оС = ( Р - 1? 2,... • ,

задача (2) имеет однопараметрическое семейство решений, аналитических относительно Ь - X ^

Значения нескольких первых коэффициентов разложений (6):

¡(1 +

(К , /гД

с? (*) _ х0(2 + эе0 + + , .

Сходимость построенных рядов доказывается методом мажорант, в результате чего задача сводится к разрешимости в аналитических функциях алгебраического уравнения. Таким образом, доказана Теорема 1. В случае (3) задача (2) имеет однопараметрическое семейство решений вида (б). параметром является

<с (

2-ой параграф посвящен рассмотрению случая (4). Пусть - ~ О <■ 2 • Решение задачи (2)

находится в виде рядов:

о

где / /Vе »

у-' ■ и" ' ¿'ТЫ-

Доказано, что все коэффициенты разложений (7) определяются единственным образом подстановкой (7) в (2), кроме коэффициента У/^ > О ( Уоо ^ < О) , который может

' Р

задаваться произвольно. При <зС - =2,...) ^

решения (7) являются аналитическими относительно X .

Первые коэффициенты разложений (7) задаются формулани:

^ — --—тгг > — ¥0,с ( К . .., И.)

В этом же параграфе доказана методом мажорант сходимость построенных рядов, что завершило доказательство теоремы 2.

Теорема 2. Задача (2) имеет в случае (4) однопараметри-ческое семейство решений вида (7). Параметром является

. (о) ^ л Г ¡.о С«"/'

В 3-ем параграфе рассматривается случай (5). Решение задачи (2) ищется в рядах:

т. е= о

где у (с) = LLiOj^ О,

У

^ у

Доказано, что при ~ + из (8) получается

•тпTT" <~1_ — ^ я - это Bu^r.u.i.iic -'¡»¡^ь ¡¡ри иыиолнении опры-деленных условий. Указанные условия выполняются, например, если исходный многоугольник 'S) - полуплоскость или плоскость с разрезом по лучу, либо в случае Э€с - ^ - -2

Подстановкой (8) в (2) устанавливается, что все коэффициенты разложений (8) определяются единственным образом, кроме 7 сС

коэффициента при X в рабложений функции СX) >

который произволен и является параметром, в работе приведена сводка формул для первых коэффициентов разложений (8) и показано, что при cL - О

= О (т е ; /t -- £7, i, . .. h. * V ;

Oy

oL- -f, oL~ Z f„ie = о ( e Ж ■ к = £>, т-fj

Доказана сходимость построенных рядов, причем в случае gp = Oe^+i ~ - 1 она следует из теоремы Ю.В.Чистякова. Основным результатом 3-го параграфа является

Теорема 3. В случае (5) задача (2) имеет однопараметри-ческое семейство решений вида (8). Параметром является коэффициент при У в разложении функции fa (*) (или 4>rL^i (У) ). Таким образом, для всех возможных пределов изменения а£0 и Энайдены однопараметрическйе семейства решений системы дифференциальных уравнений для определения прообразов вершин многоугольника

Утверждения теорем 1-3 позволяют преодолеть главную трудность в применении метода - наличие особенностей в правых частях системы (2) при X - О . используя частичные суммы разложений (6)-(8), приближенно находим (при фиксированном значении параметра и достаточно малом О ) величины Л (Хо), V/c (У«) (lC~0,lJ...ih-i--fJ , от которых ведется дальнейшее

решение системы уравнений (2) каким-либо из численных методов с контролем по длине разреза. Предварительно по формуле Крис-тоффеля-Шварца определяются координаты конца разреза при Х-Х.а с помощью найденных А(ХС), Ч'к.СХо) (£ ~ О,н+. От указанной точки вычисляется длина разреза £ (X) присоединением к системе (2) уравнения (полученного П.П.Куфаревым)

¿Я -хгп1 • , эе*

ЛА-. в хе Д1Ш%(*)1

с начальным условием £ (Xо) ~ О

4-ый параграф посвящен нахождению параметра и рассмотрению ряда примеров. В начале параграфа доказана теорема о промежуточных положениях разреза.

Теорема 4. Если в каком-либо из рассмотренных в работе случаев двум значениям параметра (обозначим его б" ) и соответствуют два положения разреза, то при 6"2) (мы

предположили, что < разрез принимает все промежуточные положения между двумя данными.

Далее описана возможная процедура приближенного определения параметра, основанная на утверждении теоремы 4.

В заключение разобран ряд примеров, иллюстрирующих возможность эффективного использования полученных в работе результатов. В примерах рассматриваются отображения единичного круга на следующие области: полосу с разрезом, полосу с двумя разрезами (сонаправленными или встречными), полуплоскость с разрезом. Во всех случаях разрезы проводятся из бесконечно удаленной точки. Для указанных областей выведены формулы, из которых определяется значение параметра. Показано, что при изменении параметра разрез может принимать любое из возможных в соответствующем случае положений. Приближенное решение системы дифференциальных уравнений в окрестности начальной точки построено с использованием частичных сумм рядов, полученных в работе. Далее производилось удлинение разреза с контролем по его длине. Расчеты выполнены на ЭВМ. В каждом из примеров проведен анализ погрешности результатов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Синев В.А. К методу Куфарева определения параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца //ДАН СССР.-1990,- т.315,- N б. -С.1302-1304.

2. Синев В.А. Нахождение параметров в интеграле Кристоффеля-

ЫБарЦа |4е1илип .Леинь;и<а-лЧ'шаи«Ьс1 //гея.иио. млт.ж. СОАН 1111СН.

- Новосибирск,1990,- б9С. - Деп. в ВИНИТИ 11.10.90, N 5351В 90.

3. Синев В.А. О нахождении параметров в интеграле Кристоффе-ля-Шварца методом П.П.Куфарева // Тезисы 3 Всесоюзной шк.-семинара "Понтрягинские чтения. Оптим. управл., геометрия и анализ". - Кемерово, 1990. - С.65.

АОЗТ "Кузбассвузиздат", 1995 г. Заказ №