Метод квазиобращения в смешанных задачах для параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

р^ ^РУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

- 5 ИЮН 1995

УДК 517.944

Алексеева Светлана Михайловна

МЕТОД КВАЗИОБРАЩЕНИЯ В СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ' ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01,01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических неук

Минск 1995

. ■ Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики Белорусского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Юрчук Николай Иосифович

Официальные оппоненты: доктор (физико-математических наук,

профессор Антонович Анатолий Борисович

Оппонирующая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Картннник Анатолий Васильевич

Московский государственный университет

Защита оостоится Ч- июня 1995 года в 10 часов на заседании специализированного совета , К 056.03.10 в

Белоруоском государственном университете / 220050, Беларусь, г. Минск, проспект Ф. Скорины, 4; главный корпус, комната 206/.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан

мая 1995 года.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор

В.И. Корэгк

ОБШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящей работе строится некоторая модификация известного метода квазиобршце-пия, разработанного Р.Лэгтесом и Ж.-Л.Лиг тсом для исследования задач с локальными условиями, и этот модифицированный метод . впервые применяется к исследованию задачи управления решением уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием, где управление осуществляется посредством начального условия.

На важность исследования задач для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием указало в обзорной работе академика А.А.Самарского *К

' Особенностью задачи теплопроводности о интегральным краевым условием является зе несашеопряженность, что вызывает принципиальные трудности при ее исследовании.

Кроме того, так как область определения оператора, порожденного этой задачей, из-за интегрального условия не является плотной, метод квазиобращения в ранее применяемой конструкции . к этой задаче применить нельзя и возникает необходимость в его модификации.

Следовательно, построение и применение модифицированного, ; метода квазиобращения в задаче теплопроводности с интегральным ' краевым условием является вавдым и актуальным.

Диссертационная работа является частью плановой госбют-жетной НИР 1.1.11 "Теория диф$ерешдальных уравнений в частных ; производных" / № г.р. 01860063384 /.

Цель работы. Построить и применить модифициро- : ванный метод квазиобращения к задаче оптимального управления решением уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием, где управление осуществляется посредством начального условия.

Самарский А.Л. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 11. С. 1925-1935. '

Задачи исследования.

1. Построить модификацию метода квазиобращения для задачи с нелокальными краевыми условиями, руководствуясь ицеей метода квазиобращения Р.Латтеса и Ж.-Л.Лионса.

2. Доказать корректную разрешимость построенной квазиобратной задачи с интегральным условием.

3. Доказать сходимость модифицированного метода квазиобращения в некоторых пространствах.

Научная новизна. Для задачи тешопроводнос-тп с интегральным краевым условием метод квазиобращения /модифицированный/ построен и применен впервые. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми, Б ходе исследования также дано дальнейшее развитие методу Фурьо и обоснованию этого метода, а также методу Конкина опенок классического решения задачи с интеграчьным краевым условном.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации являются дальнейшим развитием теории некорректных задач для дифференциальных уравнений с частными производными и могут быть распространены на другие задачи.

Эти результаты могут иметь практическое значение в задачах об оптимальном управлении в теории теплопроводности, физике плазш и т.д., т.е. там, где возникают интегральные ограничения на функцию.

Построенный модифицированный метод квазиобршцения может иметь применение в его численной реализации для исследования некоторых задач с интегральными условиями.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построена модификация метода квазиобращения, для задачи теплопроводности с интегральным краевым условием.

2. Доказаны априорные оценки разных порядков для решения квазиобратной задачи.

3. Получено представление решения квазиобратной задачи

1 виде биортогонального ряда с параметром I по системе собственных и присоединенных функций соответствующей несамосолря-сенной задачи Штурма-Лиувилля.

4. Найдены достаточные условия существования классическо-•о и обобщенных реаений квазиобратной задачи.

5. Доказана сходимость модифицированного метода квазиобра-¡ения в классическом случае в пространстве 0 и полугены достаточные условия сходимости этого метода в пространствах г (о, i), яля обобщенных решений.

Апробация работы и публикации. 5езультаты диссертации докладывались на международной конференции "Функциональный анализ и уравнения с частными производными", юсвященной 70-летшэ со дня рождения белорусского математика 1.И.Бриша /Минск, декабрь 1994 г./, на мевдународной конферон-Ш, посвященной 25-летию Гомельского госуниверситета имени &.Скорины /Гомёль, апрель 1994 г./.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 100 страницах машинописного текста, состоит из введения, общей характеристики работы, обзора литературы по теме, трех глав, выводов я списка литературы, содержащего 74 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится оценка современного состояния решаемой проблемы, основание и исходные данные для разработки темы, обосновывается ее актуальность.

Обзор литературы сделан по двум направлениям диссертации. С одной стороны, здесь изложена история и суть вопроса, касающегося одного из методов регуляризации некорректно поставленных задач - метода квазиобращения, разработанного

в 1967 году РЛаттесом и 2.-Л.Лионсом ^ . С другой стороны,рассмотрены работы авторов, которые занимались исследованием задач с интегральными и нелокальными условиями. Особое внимание здесь уделено рассмотрели» двух методов исследования таких задач - методу Самарского-Ионкина , основанного на результатах работы В.А.Ильина и более общему функциональному методу энергетических неравенств Н.И.Юрчука .

В первой главе дается постановка задачи, которая состоит в следующем.

Пусть ¿¿(ос- решение в прямоугольнике G ~ = | (. •• о < ж < 1 , о •< I смешанной зацачи

U(~.0) =$(■-*), (*.i)eQX1)

1

и (o,t) =• О , j м(«.0 = О . * > (2)

о

Предполагается, что начальная функция Щ (-*) удовлетворяет условиям вида (2) . Рассмотрим задачу управления решением уравнения теплопроводности посредством начальной функции .

Для заданного Т > О и функции Х(^) из пространства

- 1. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. - 336 с.

2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 2. С. 294-304.

3. Ильин В.К. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В.Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов // ДАН СССР. 1976. Т. 227, № 4.

4. Юрчук Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1936. Т. 22, №. 12. С. 2117-2126.

Соболева W^ (о, i) , удовлетворяющей условиям

1

Я(О) = о, J Х(-х) d-x , о ( • (3)

• ß

минимизировать функционал 1

= J I UCa.r.^) - (А)

о

Эта задача в идеальном случае ( У (ц) ~ сводится

\К некорректной в смысле Ад шара-Петровского задаче тепдопро-водности с обратным направлением времени. Поэтому для решения задачи управления мы руководствуемся идеей метода квазиобращения, состоящей в замене оператора теплопроводности

öt ~ ^Г*7 - "близким" оператором Я« ."корректным" для обратного направления времени.

В работе /1/ для задач с' локальными краевыми условиями

в качестве Рв использовался оператор St * -А - & Л А , где оператор А определялся дифференциальным выражением по переменной и соответствующими краевыми условиями, а

А - сопряженный оператор к оператору А .

В нашем случав такой оператор Рв построить нельзя,

так как область определения Ю (А) оператора А ' -из-за интегрального условия не является плотной в Lt(o,i) и сопряженный оператор Л не определен. Следовательно, как уже отмечалось, здесь мы вынуждены модифицировать метод квазиобращения. Ми выбрали следующий оператор Pt и квазиобратную регуляризованную задачу

Рл г/ 5 Ш - и

6 dt ъ^ * d<xzdi и' л- '6

1

о

/ дополнительные граничные условия не привлекаются /.

Во второй главе диссертации доказана корректная разрешимость этой задачи, а в третьей главе - сходимость модифицированного метода квазиобращения в некоторых пространствах, в частности, доказано, что

^ ($() — О при й — о (6)

где

(**) = иб (*. о) (7)

Следовательно, поставленную задачу управления можно считать решенной, если искомая "управляющая" функция в начальном условии (1) является следом при ^ -О решения квазиобратиой задачи (5) .

Вторая глава посвящена исследованию модифицированной квазиобратной задачи (ь] . В п. 2.1 предполагается существование решения задачи (5) и для него устанавливаются априорные оценки. Для этого в соответствии с областью определения оператора, порожденного этой задачей, подобраны множите-

-х

ли - функции , с/ Щ. Р =

и * У .

на которые скалярно в умножено уравнение зги ли (б),

а также оператор (1 - + 1 У , результат действия которого на уравнение задачи (б) умножен в ¿-г(<?) на вторую множитель - функцию. В результате анализа полученных форм и необходимых преобразований установлены три априорные оценки решения задачи (б) :

Первая априорная оценка

Ы-хсН + £

Вторая априорная оценка

9 I <?

о

Третья априорная оценка

9 <?

I

/56Т' Г , . и

< Ъ£Г с шт- (х.(<е)) .

о

Для объединения результатов п. 2.1 в единую запись в п. 2.2 вводятся пространства решений Е; и пространства

.правых частей Р *'е задачи (5 ) со следующими нормами

14 С =

в

О

1 о

к = 4; г ; £ = р.Ч ; «■>£

и полученные результаты формулируются в виде следующей теоремы

Теорема 1. Для решения задачи (5) справедливы априорные оценки

I ч с ' с<.< ах С .

+ К + е - 1)]* , 2 ; 1--0,1 \

Из теоремы 1 следует единственность решения задачи (б) и его непрерывная зависимость от функции Л С-х) в соответствующих нормах (в) и (9) .

В п. 2.3 получено явное представление решения задачи (5) в виде биортогонального ряда с параметром € :

Ч < -- (ТтЬг (т-* ■"..) '

' ] е| (и)

по системе собственных и присоединенных 'функций

= Хгл_{ (-*)--<* см 2а 1съ ,

Х..Ы = ¿як*, и= 4,2,... (12)

соответствующей (1),(2) несамосопряженной задачи Штурма- Лиу-

вилля. / Коэфициент при Х„(ос) равен 0 /.

В представлении

i л

^ = 5 ЯЫХ.Г*) а* , ч>я„ = | ^у/.)^,

(13)

где У(^) г £ , = Ь со* 2*к-х,

X* Г'*) г ^ (*-'*■) ¿«к'*- . к = i, е,... -

(14)

собственные и присоединенные функции сопряженной задачи Штур-ма-Лиувилля, ЛК - (2з к)г, к - о,1,собственные значения.

Идея представления решения задачи (б) в ввде биортогональ-ного ряда с параметром 1 основывается на результатах работ В.А.Ильина /з/ и Н.И.Ионкина /2/ о баэясности системы функций (12) и возможности разложения в биортогональный ряд по этой системе функции ОС (*) .

В п. 2.4 найдены достаточные условия существования классического решения квазиобратной задачи (б) . Доказана

Теорема 2. Пусть функция %(<*) е V/* (О, удовлетворяет условиям

1

ОС (о) = £7, *д , 1 '(о) = яг*), X "(о) --О.

(15)

Тогда функция 7Л С"*. ¿) . определяемая биортогональным рядом (и) , является классическим решением задачи (5) .

Доказательство теоремы состоит в установлении равномерной сходимости ряда (и) и рядов, полученных его почленным диффе-ренгщрованием один раз по ~Ь и два раза по в замкнутой области О, . Последнее вытекает из сходимости, в силу неравенства Песселя,мажорантных числовых радов из коэффициентов

Фурье функций

тригонометрической системе сох 2хк<х. л -¿-¿и- ¿хк^с.

Оценки полученного классического решения задачи (б) в различных нормах рассмотрены в п.-2.5. Получена оценда высшего порядка, чем третья априорная оценка п. 2.1 /без весовой функции (1-<*У/.

Если не выполняются одно / ОС "(о) - о / или оба последних условия (15) , то ряд (и) , очевидно, не является классическим решением задачи (5) . В п. 2.6 доказана следующая

Теорема 5. Пусть функция X ('*) е Р удовлетворяет условиям 1

Х(о) = О , О ,

о

и,при £ - 1 , условию

■Х'(О) !'(*) .

ТогДа биортогональный ряд (и) является обобщенным решением задачи (5) в пространстве 0 *'е.

Доказательство сходимости ряцов (11) в пространствах £ следует из априорных оценок (ю) квазиобратной зада-

чи (5) .

Глава 3 посвящена изучению ьопроса сходимости построенного метода квазиобращения.

В п. 3.1 рассматривается зависимость гладкости найденной "управляющей" функции

«?.С«) = У,(,,о) -

} Т

-".с *.«->) (16)

от гладкости функции X ( х) .

В п. 3.2 и 3.3 исследуется сходимость построенного метода квазиобращения в обобщенных и классическом случаях. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 6. ГГусть функция Л (ос) е удовлетворя-

• ет условиям

Х(о) о , | Л(<х) Ыъ = о, Х'(о) = Х'О) (17)

о

Тогда функционалы

\ *<~)Г ¿к (18)

и

\1к(и*(*>г'!»)-ЛС*))1*(19)

о

сходятся к 0 при 6 — О.

Теорема 7. Пусть функция Х(«) е М/4' (о, I) удовлетворяет условиям (15) . ?огда 1

о (20)

Здесь Ь, ц ) - реиение задачи (1),(2) при Ц (гс) =

Доказательства этих теорем следуют из оценок функционалов

(18) , (19) , (20) величинами С £ ^ Ц X II ^ <' ^ при { - О, I,

Z соответственно. Для получения этих оценок используется

представление разности 1А1 (ъ, Т, ц^} - Х(ъ) в ввде соответствующего бяортогонального ряда и применение к ней неравенств, заменяющих в случае рассматриваемых нами биортогональ-ных рядов равенство Парсеваля,некоторых элементарных неравенств

и неравенства Бесселя относительно тригонометрической системы.

ВЫВОДЫ

В диссертации построена модификация метода квазиобращения, предложенного Р.Латтесом и Ж.-Л.Лионсом, и этот модифицированный метод применен к исследованию задачи управления решением задачи теплопроводности (1), (2) с интегральным краевым условием, где управление осуществляется начальным условием .

Доказано, что для заданных Т > О и функции €

VI'** (о, 4) , 6-1,?., удовлетворяющей условиям

Л(о) = О , | Х(-х) Ы-Х = О , е

Х(о) = Г(4) ( е= 4 ; е) , 1"(о) -..о ({ = *.), (*)

решение задачи (1),(г) и (ос, Ь, в точке -¿=7* при <5 — 0

сходится к функции ЗСС-*) в пространстве *) , если

"управляющая" функция Цл(<*) является следом при 1 = 0 соответственно классического / при С = £. / или обобщенного / при 1-1 / решения корректно поставленной квазиобратной задачи (б), т.е. для любой функции ЭС(-х) е №¿''(0, 1) , удовлетворяющей (*,)

и ("> Г> <?«) в *) 6 - ° '

если

«Г, Ы = к (Ч о).

При доказательстве сходимости метода квазиобращения в

¿-а =0 I £ - понадобилось условие Я '(о) - Х'( 1). Это требование для .функции здесь связано с методом до-

казательства, и Гфи некотором более общом подходе к цокизатель-

ству сходимости метода квазиобращения, от него, по-ввдимощу,

можно избавиться.

Корректная разрешимость при £ > о задачи (ъ) доказана в

пространствах Е е реиений и Р *'' правых частей этой

задачи с нормами (в) и (9) .

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕ® ДИССЕРТАЦИИ

1. Алексеева С.М., Юрчук Н.И. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводное- ■ ти с интегральным краевым условием.// Дяфференц. уравнения /в печати/.

2. Алексеева С.М., Юрчук Н.И. Модифицированный метод квазиобращения в задаче управления для уравнения теплопроводное- ' ти с интегральным условием // Вестя. Белорус, ун-та, 1995, , » ;

3. Алексеева С.М. Модифицированный метод кваэиобращения в за- ' дачо теплопроводности с интегральным краевым условием • //Ред. журн. "Востн. Белорус, ун-та. Сер. 1. Физ.,мат., мех." - (Линек, 1995. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.03.95,

И 636 - В95.

4. Юрчук Н.И., Алексеева С.М. Метод квазиобращения для сравнения теплопроводности с интегральным условием Самарского-Ионкина // Тезисы докладов международной математической , конференциг "Проблемы математики и информатики". - Гомель, 1994. - с. 122.

5. Алексеева С.М. Задача управления решением смешанной задачи теории теплопроводности с интегральным краевым условием // Тезисы докладов международной конференции "функциональный анализ и уравнения с частными производными". - Минск, 1994.

РОЗал'АЙ

Алякоаева Святлана лЛхайлауна йетад кваз!абарачэкня у змешаних задачах для парабалНнос урауненняу

/рауненне цеплаправоднасц!.краяван !нтогральная умова,метад кваз!абарачэння,некарэкгная задача, аптнмальнае урауненне.ацэнк! апрыёрныя.абагуленае рашэнне,б!артаганальны рац.уласныя функцы!.

У дчсертаца! будуецца некаторая мадыф!кацыя вядомага метада кваз!абарачэння,распрацаванага Р.Латэсам I А.-Л.Л!онсам для даслв--давання задач з лакальным! умовамI,I гаты мадыф1каваны метод упер-ишню Еыкарыстоуваецца для рашэння задачи к!раьання рашэннем урау-нення цеплаправоднасц! з !нтэгральнай краявой умовай.дзе к1раванне ачснццяуляеода з дапамогай пачатковай умовы.

Неабходнасць маднф1каци1 метода тут нбумоул!ваецца тнм.што вобласць внзначэння аператара.як! пароджаны задачай,з-за 1нтэг-ральнай умовы не з'яуляецца шчильнай 1 вядомч метад кваз!абарачэн-ня у так1м выпадку не ужываецца.

У рабоце даказаиа карэктная вырашальнасць пабудаванал кг,аз1-абарачальнай задачи з !нтэгральиай умовай I збемнасць маднф!кава-нага метада кваз!абарачэння у некаторых прасторах.

: Бг;нIкI работы з'яуляювда дальнейшим разв!адом таоры!-некар^к-тных задач для дыферанцыяльных урауненняу з частковым! вытворным!.

Гэтыя шн!к! могуць мець практычнае значэнне у задачах аб ап-' 'мальным к!раванн! у тэоры! цеплаправоднасц!,<р1з1цн плазмы 1 т.д., г.зн. там.дзе узн1ка»ць 1нтэгральныя умовы на функций.

Пабудаваны маднф1каваны метад кваз!абарачэнмя можа мець пры-мяненне у яго л!кавай рэал1зацн! для даследавання некаторых задач э 1нтэгральным! умовам!.

РЕЗЮМЕ

Алексеева Светлана Г/лхайловна Метод квазиобращения в смешанных задачах для параболических уравнений

Уравнение теплопроводности, краевое интегральное условие, метод квазиобращения, некорректная задача, оптимальное управление, априорные оценки, обобщеннее решение, биортогоначьный ряд, собственные и присоединенные функции.

В диссертации строится некоторая модификация известного метода квазиобращения, разработанного Р.Латтесом и Ж.-Л.Лион-сом для исследования задач с локальными условиями, и этот модифицированный метод впервые применяется к решению задачи управления решением уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием, где управление осуществляется посредством начального условия.

Необходимость модификации метода здесь обуславливается тем, что область определения оператора, породненного задачей, из-за интегрального условия не является плотной и известный метод квазиобращения в таком случае непосредственно не применим.

В работе доказана корректная разреаимость построенной квазиобратной задачи с интегральным условием и сходимость модифицированного метода квазиобращения в некоторых пространствах.

Результаты работы являются дальнейшим развитием теории некорректных задач для 'Дифференциальных уравнений с частными производными.

Эти результаты могут иметь практическое значение в задачах об оптимальном управлении в теории теплопроводности, физике плазмы и т.д., т.е. там, где возникаю? интегральные ограничения на функцию.

Построенный модифицированный метод квазиобращения может иметь применение в его численной реализации для исследования некоторых задач с интегральными условиями.

SUMMARY

Alekseeva Svetlana Mikhailovna Method of Quaslreveraibility In'Mixed Problems for Parabolic Equations.

Heat conduction equation, boundary integral condition, method of quosireverslbility, nonoorrect problem, optimal control, a priori valuations, generalized solution, biorthogonal series, proper and attached functions.

The thesis offers some modification of the known method of quaeireveraibllity for investigating the problems with local conditions, devising by R.Lattea and J.-L. lions. Till a modified method has been first applied for solving the control problem for the heat conduction equation with the integral boundary condition, whore the control is accomplished by the starting condition-.

The necessity for modifying the method here Is conditioned by the faot that the domain of the operator, which gives rise to the problem, is not dense duo to the integral condition and the known method of quaslrevorsibillty can't be used in this case.

Correct solvability of the built-quasireveraible problem with an integral oonditian and convergence of modified method of quaairavorsibility in bcsjo spaces have been proved in this work.

She results of the thesis are further development of the theory of noncorreot problems for differential equations with partial derivatives.

These results may be of practical meaning when solving the problems of optimal control in the heat conduction theory, phy-Bloa. of plasma, etc., i.e. where the integral restrictions on the function ctay occur.

The proposed modified method of quaaireveraibility in Its numerloal realization oan be applied for Investigating some problems with integral conditions.