Метод Ляпунова - Мовчана в некоторых динамических задачах устойчивости упругих систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

005049145

КВАЧЕВ КИРИЛЛ ВАДИМОВИЧ

На правах рукописи УДК 539.3

МЕТОД ЛЯПУНОВА-МОВЧАНА В НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

з і ЯНВ 2ІШ

МОСКВА 2013 г.

005049145

Работа выполнена на кафедре механики композитов механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносов!

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Д.В. Георгиевский

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор В.И. Ванько

кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Показеев

Ведущая организация: ОАО "Корпорация "Московский институт теплотехники", г. Москва

Защита диссертации состоится 22 февраля 2013 г. в 16 часов 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан ^?января 2013 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 501.001.91 профессор

/

/ C.B. Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Часто на практике возникает задача о моделировании поведения систем на конечном либо бесконечном промежутках времени. Для этого используют математическую модель, которая описывает некоторую идеальную траекторию системы, возможно, даже не наблюдающуюся на практике. Если выбранное движение системы неустойчиво относительно того или иного класса возмущений, то моделируемые процессы не наблюдаются, они разрушаются под действием возмущений неучтенных факторов. Следовательно, важным свойством решения математической задачи помимо существования и единственности является его устойчивость, практическим критерием которой служит наблюдаемость физического процесса.

В механике деформируемого твердого тела особое место занимают тонкие тела, так как конструкции из них сочетают в себе легкость с высокой прочностью и потому находят широкое применение в самых различных областях: авиастроении, судостроении, конструировании перекрытий и т.д.

В авиастроении актуальными являются задачи об устойчивости колебаний обшивки летательного аппарата в потоке газа, научный интерес к которым возник в 30-е годы XX века. Математическое исследование подобных задач стало более реальным после того, как в 1947 г. A.A. Ильюшин предложил закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей. С тех пор было исследовано большое количество задач в "поршневой" постановке. В основном это проблемы устойчивости колебаний пластин в сверхзвуковом потоке газа. В качестве граничных условий обычно выбирались наиболее простые с точки зрения математики условия шарнирного закрепления. Задачам с другими граничными условиям посвящено не так много работ. Для оболочек аналитических результатов получено довольно мало.

Цель работы. В диссертации была поставлена задача о нахождении достаточных условий устойчивости колебаний тонких тел в сверхзвуковом потоке газа в терминах оценок для критической скорости на основе методики Ляпунова—Мовчана.

Научная новизна. В проблемах аэроупругой устойчивости развит матема-

тический аппарат прямого метода Ляпунова. Во всех рассмотренных задачах найдены достаточные условия устойчивости, согласующиеся как с более точными значениями критических скоростей, полученными спектральным методом, так и имеющимися экспериментальными (натурными и масштабными) данными.

Обоснованность и достоверность результатов вытекает из использования классического аппарата механики сплошной среды, аналитической динамики, функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Положения и качественные выводы работы выдерживают тесты на сравнение с признанными результатами других авторов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы при конструировании и оценке несущей способности элементов конструкций летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковыми скоростями.

На защиту выносится нахождение нижних оценок критических скоростей методом Ляпунова—Мовчана в ряде задач об устойчивости колебаний пластин и оболочек в сверхзвуковом потоке газа.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

— аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри (2011, 2012 г.г.),

— научно-исследовательский семинар имени A.A. Ильюшина кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко (2012 г.),

— научно-исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика Р.И. Нигматулина (2012 г.),

— научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности мехапи-ко-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством члена-корр. РАН Е.В. Ломакина (2012 г.),

— научно-исследовательский семинар «Актуальные проблемы геометрии и механики» на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского, д.ф.-м.н., проф. М.В. Шамолина, д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова (2009-2012 г.г.),

— научно-методический семинар для студентов 1-6 курсов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова, д.т.н., проф. В.И Ванько, д.т.н., проф. В.В. Феоктистова (2012 г.),

— конференция-конкурс молодых ученых НИИ Механики МГУ им. М.В. Ломоносова (2012 г.),

— научные конференции «Ломоносовские чтения» секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова (2009, 2010 г.г.).

Публикация результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из содержания, введения, пяти глав и списка литературы. В работе содержится 4 рисунка, 239 библиографических ссылок. Общий объем диссертации составляет 178 страниц.

Личный вклад автора. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность проводимых научных теоретических исследований. Сформулированы цель работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость.

В первой главе «Метод Ляпунова— Мовнана в задачах устойчивости деформирования сплошных сред (обзор)» дан современный обзор литературы по методу Ляпунова—Мовчана. Представлены работы по следующим направлениям:

1. Обобщение математического аппарата метода Ляпунова на континуальные системы.

2. Метод Ляпунова—Мовчана в задачах устойчивости деформируемых твердых тел. Работы классифицированы по следующим направлениям: одномерные деформируемые системы, двумерные деформируемые системы, трехмерные деформируемые тела.

3. Метод Ляпунова—Мовчана и устойчивость аэро- и гидроупругих систем.

4. Прямой метод Ляпунова в теории гидродинамической устойчивости. Основная часть работ посвящена температурной конвекции в жидкостях.

5. Устойчивость деформирования относительно возмущений материальных функций, входящих в определяющие соотношения.

Во второй главе «Устойчивость колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа» рассмотрены классическая проблема об устойчивости колебаний пластины, бесконечной в одном направлении, в сверхзвуковом потоке газа и задача об устойчивости колебаний прямоугольной пластины. Первая ранее была проанализирована спектральным методом A.A. Мовчаном.

бесконечна в этом направлении

Уравнения движения и граничные условия в безразмерных переменных примут вид:

а

Y

О

Eq д2и0 ,д2щ

Е0 д2ь0 -д2ьо

2{1 + и)дх20 Р'дЬ20

Еаа3 <94ш0 п ( дт0 дгиЛ , д2ги0 /о\

-2 -а0тгг +} = Р а-^Г

12(1 - г/2) дх1 \ дхо ^ д10) '

ди>п ,. ч

х0 = О : ы0 = О, г>0 = О, = О, — = О (4)

ох о

X =1- ^ = 0 — = 0 д2ц;о = о = о (5)

дх0 ' ' дх1 '

Введены следующие безразмерные величины:

ад V и х а • р СоЬ

и>о = —, г>о = х> ыо = г- ^о = оо = —, р = —, ¿о = —, п п п а со ро а

к г? Е (я\

а = Е0 = —2 (р)

а р0с^

где Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, р — плотность материала, £ — время, и, V, т — компоненты перемещения вдоль ОХ, ОУ, ОЕ соответственно, к — толщина пластины, а — ширина пластины, Со — скорость звука в газе на бесконечности, ро — плотность газа на бесконечности, а — скорость набегающего потока газа.

Применение методики Ляпунова— Мовчана в этой задаче позволило получить достаточные условия устойчивости. Воспользуемся теоремой об устойчивости по мере р:

Найдем условия положительной определенности функционала и неположительности его производной. Имеем:

О < С < 1 (10)

ао<2,112^^ (11)

Применение спектрального подхода дало следующий результат:

Е0а3 '1-й2

Правая часть неравенства (8) меньше, чем правая часть неравенства (11). Таким образом, оценка, найденная методом Ляпунова— Мовчана вкладывается в оценку, полученную спектральным подходом, что согласуется с тем, что этот метод дает достаточные условия устойчивости. Из системы неравенств (8)—(10) получим нижнюю оценку критической скорости:

2 1___1_ / Дра47г2 1

°° ~ 48(1 - и2)р 2а2р2 2а2р у 12(1 — і/2)р р2 У '

Вторая задача посвящена исследованию устойчивости колебаний прямоугольной пластины в сверхзвуковом потоке газа.

шарнирное закрепление

После обезразмеривания уравнения движения и граничные условия примут вид:

Е0 (д2щ 2 д2у0 \

а + V——-—ар +

1 - г/2 V дх2

дх0ду0

+

Е0 (д2щ 2 д2у0 , ,

эд2и0

(13)

Е0 Г д2и0 2(1 4- и) \дх0ду0' дх20 " ) ' 1 -и2\ду\

а , д2ь° 2 1 ,

дх0ду0

(14)

Ео (д4№0 4 д4Ц)р 2 2 Э4ц)0дЛ

12(1 - V гдх2дУ1а Р Ч Р )

/ дгио дто \аодх0а 1

а/3 = р а/3

ач

(15)

Уо = 0; 1 : щ = 0, v0 = 0, wQ = 0,

d2wa

dyl

= 0

8wq

x0 = 0 : M0 = 0, v0 = 0, w0 = 0, -— = 0

ox о

(16) (17)

du0 dv0 du0 , dvQ 32w0 2 д2ги0 2

x0 = 1 : -5— + v-k- =0, —--1- д— = 0, + v—^/3 = 0,

дхо дуо ду0 ox0 dxf,

C/XQ C/i/Qt/XO

Введены следующие безразмерные величины:

w v и х у a I р cot

wo = —, v0 = «о = -, х0 = -, уо = т, ао = —, Р = —, ¿о = —т=р h h п a b со ро Vab

а = 0 = Е0 = —2 (19) a b /j0Cq

где Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, р — плотность материала, £ — время, и, V, и) — компоненты перемещения вдоль ОХ, ОУ, Ог соответственно, к — толщина пластины, а, Ъ — длина и ширина пластины, со — скорость звука в газе на бесконечности, ро — плотность газа на бесконечности, а — скорость набегающего потока газа.

Применение теоремы Ляпунова— Мовчана об устойчивости по мере

даст следующую нижнюю оценку критической скорости: 2 «г Яотг2 ( 02 а2\

В третьей главе «Задача об устойчивости колебаний цилиндрической оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа» рассмотрено два случая дополнительных ограничений на перемещения оболочки. /

а

-►

; свободный ; край

Задачи решаются в следующей постановке:

До {д2щ 2 / д2Ур Е0а*Р д3гу0

1 - ї/2 ^с ° \дх0д<р дх0)) + 12(1 - и2) дхі +

+2(1

Еа_(д2и0 2 д2уй Л Е0а/33 Э3щ0 ,д2щ 2 , .

[ + + дх0дц>аР) 24(1 + у) дхфу2 Р ді20а У '

Е0 ( д2щ Л £0(3 - у)а2(12 д31У0

2(1 + и) \дхад<раР дх\а) 24(1 - V2) 8х2дір+

Е0 ( д2и0 „.¿¿(д2^ -52г>0 2

12(1 - г/2) V 94

4 Э4Щ) 2 2 , д2™0

\дх*а + дх2д^а Р ) 6(1 - и2) дір2

Ео ( дщ _ а 2 (дио Еоа3Р сРщ

| Е0а/З3 сРио | Ео(у - 3)а2р2 д3у0

24(1 + у) Входу2 24(1 - и2) дх2д<р ( ды0 дшЛ .дР-щ 2

дгип

х0 = О : щ = О, р0 = О, №0 = О, —- = О (25)

дх0

1 ди° , а (дщ х0 = 1: -^—а + ь>Р —--и>0

дх0 \ д<р

а2рд2юо + 12 дх2 и'

д2и)о 2 д2ю0 „2 ,ди0 О , дуо о2 п ди° а , дг}° ,

ох о Оф1 ох о 0<р ор ох о

аР2 <92гу0 _ 3 , , д3ад0 2 (г/ - 3)а/32 52г;0

4 дх0др ' Эжц дходф1 2 дхфу

д2Щ 2 (1-^)/33Э2И0

+ —= 0 (26)

В полученных уравнениях введены следующие безразмерные переменные:

то г; и Е I р а х

«о = ы0 = г. = —2) Р = — I °о = —, = п 1г Iг р0с5 р0 со Ь

где — модуль Юнга, ^ — коэффициент Пуассона, р — плотность материала, £ — время, ы, и, ад — перемещения точек срединной плоскости вдоль образующей, кольцевом и в радиальном направлениях соответственно, К — толщина

оболочки, Ь — длина оболочки, К — радиус оболочки, со — скорость звука в газе на бесконечности, ро — плотность газа на бесконечности, х — координата вдоль образующей, <р — координата в кольцевом направлении, а — скорость потока газа, набегающего по направлению оси ОХ с внешней стороны оболочки, ОХ — ось, вдоль которой изменяется координата х.

1) Рассмотрен случай, когда

ЭЩ = р = 0 (28)

д<р дір Введена следующая мера:

лит-

2

/¿>УА 2 (дтЛ2 (ЭыА2 /Это \2

"о^ гірсіхо^

++ ^+ + и?;I**» | <29>

Примем обозначение:

ро,

а*

Достаточное условие устойчивости можно записать в виде: 2 ^ Еф

- \/12(1 - и*)р" при условии выполнения неравенства

(31)

(32)

Выберем случай, когда

Поскольку рассматриваются тонкие оболочки (/3 < 1/20), имеет место неравенство (32). Для оболочек, для которых выполнено неравенство (33), в предположении отсутствия ускорения вдоль образующей, поставленную задачу мож-

но считать решенной. Следует отметить, что, вообще говоря, ^ ф О при х0 € [0,1]. В случае, когда ^ = 0, получен тот же результат. 2) Рассмотрен случай, когда

дщ = дщ = 0 (34)

д<Р |1о=1

Для использования теоремы Ляпунова—Мовчана об устойчивости вводится мера ц:

(35)

Примем следующие обозначения:

Вз _ ¿У/?У(2 - у)2 _ Е0Р'р\2 - г/)2(1 - г/)2(1 - и2) ш

4 4(3-г/)2 192(3 — V)2 У

м=+а ■- у* - 2)Л д,+- (37)

24 192(1 +1/) ) 48(3-1/)

, (1 + г/)2п ЕоР'/31{2 - и)2{\ - г/)2(1 - у2) ш

4« = —Г"*3--192(3 — ь>)2 ( }

= 8(3 — г/)2 V 3 (39)

= ЛбВ3 + /4т, Л2 = Л8В3 + Л9, Л3 = А10В3 + Лп. В'3 = -(Л7 - /32Лд)/(Л6 - /32Л8), 0 < < 1, <ц = Л4/(Л6 - /?2Л8), а2 = Л5/(Л6 - /?2Л8), а3 = Л10/(Л6 - /32Л8), а4 = ЛИ/(Л6 - /32Л8) В предположении отсутствия ускорения вдоль образующей оболочки, резуль-

тат решения задачи можно записать в виде:

а2 < Е--- з = (40)

0 ^12(1-р2)р'а^+а^ у 3" а3+а! у ;

Величина скорости падает по сравнению с предыдущим случаем. Дополнительное условие £3 < 1 (£3 > 0 выполняется автоматически) накладывает ограничения на механико—геометрические параметры.

В четвертой главе « Общий случай задачи об устойчивости колебаний цилиндрической оболочке в сверхзвуковом потоке газа» задача решается в более простой, чем в главе 3 постановке. Уравнения движения и граничные условия в безразмерных переменных имеют вид:

Ер (д2и0а2 + ^ / д2у0 _ дшЛ \ +

1 — V2 \ дх'ц \дхрд<р дхр))

Ер (д2щ 2 д2у0 _ л'52мол2 '2(1 +и) V «V Р дхрд</'

^огГТТл ^ + = Р^ (41)

Ер ( д2и0 ,

2(1-Ы/) \dxpdip дх20а)

Е0 ( д2и0 2/32«о <Эш(Л\ 'д2ур 2

Ш~'ъ))=р~ща (42)

(д>«« + + д^РрА + Ер („дирар+

12(1 - V2) \ дхА0 дх1ду2 И ) 1 - г/2 I дхр

2 {дур \ \ / ди>о ди>р\ _ ,д2юо 2

хр = 0 : «о = 0, ур = 0, ги0 = 0, = 0 (44)

дхр

1 дщ , а (ду0 \ д2т0 2 д2и)0 2

^ + = О, + (, - 2= О (45)

(V 5х0 'дхадф2

Обозначения сходны с введенными в предыдущей главе. Для использования теоремы Ляпунова—Мовчана об устойчивости вводится мера /г

(47)

ЧЭЧ^УНН' <46)

В предположении отсутствия ускорения в касательной к оболочке плоскости, результаты решения задачи можно записать в следующем виде:

1 ( /-г- А2Е30С^/в\ Е0^В а°а ^ , А2щс 1 У°зЬз ~ 4(1 _ „2)3 I ~ уз^

е«1 — 4(1-1/2)2 \ 4 ' /

Для этой оценки необходимо выполнение неравенств: \2p2f

<ь < 0, Ьз > о, е^ - ,,, °2,2 > о, 0 < Сз < 1 - и2 (48)

4(1 — Угу

Сг > 0, г = 7,8,9, 0 < С10 < 1, 0 < Си < 1, 0 < С12 < 1 (49)

Ер\а2Р2 Е0\а4 , ,

С8~6(П^Т ' ~ 12(1 — V2) (50)

Здесь введены обозначения:

£2£> £02£ ^ ( ^ \2Е1С

а3 = [2а -ра2\- (1 _ ~ (1 _ „2)2^ " 4(1-^)2,) +

, Е1Се (1 — г/2)2

Ьг = -ТС„(1 -С„) (^-щз^Сэ) - цф^ +

<52)

Х2Е2Е Х2ЕЮ

е = —

4С,

'10(1 - ^2)2 (С8 - 4Си(1 - ^2)2 (С7 - т^Сз)

7Г

4

£0Аа4

-ЕоА/32 + ^(1 - а2)(1 - Си) (С7 - -щ^щСг ) (53)

4 V 6(1 + г/)) 1 -

1 - ^^ (54)

12(1-1/2) V 1-С3у

В пятой главе «Другой подход к построению функционала Ляпунова— Мое-чана в задаче об устойчивости колебаний цилиндрической оболочки» задача формулируется в той же постановке, что и в главе 3. Вводится мера (46). Результаты решения задачи, полученные в этой главе, можно представить в следующем виде:

1) Рассмотрен случай ^=0. Если выполнено неравенство (32), то достаточное условие устойчивости таково:

«о < -Щ-, (55)

Поскольку /3 < то когда выполнено неравенство (33) справедливо и неравенство (32), а потому для оболочек, для которых выполнено (33), в предпо-

ложении отсутствия ускорения в касательной плоскости, поставленную задачу для данного случая можно считать решенной.

2) Общий случай. В предположении отсутствия ускорения в касательной к оболочке плоскости, имеет место следующая нижняя оценка критической скорости:

а2 < Ъф? (56)

0 - 48р

В заключении работы приведены основные результаты диссертации. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Представлен современный обзор публикаций по развитию метода Ляпунова—Мовчана за последние 50 лет.

2. На основе прямого метода в задаче об устойчивости колебаний прямоугольной пластины найдена нижняя грань критической скорости. Для упругой пластины, бесконечной в одном направлении, имеется согласование с результатами, полученными спектральным подходом.

3. В задаче об устойчивости колебаний цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа найдена нижняя оценка критической скорости для двух случаев дополнительных ограничений на перемещения оболочки.

4. В общем случае задачи об устойчивости колебаний цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа найдена нижняя оценка критической скорости, выраженная через механико—геометрические параметры и некоторые дополнительные варьируемые величины.

5. При другом способе построения функционала получена нижняя оценка критической скорости в общем случае задачи об устойчивости колебаний цилиндрической оболочки в потоке газа. Как частный случай, рассмотрены ограничения на перемещения оболочки, что является обобщением одной из задач пункта 3. При этом незначительно уменьшается нижняя оценка критической скорости.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных изданиях, рекомендованных в перечне ВАК

1. Квачев К.В. Метод Ляпунова—Мовчана в одной задаче устойчивости колебаний пластины // Вестник МГУ. Сер. Математика. Механика. 2011. №6. С. 62-65.

2. Квачев К. В. Метод Ляпунова—Мовчана в одной задаче устойчивости колебаний цилиндрической оболочки // Вестник ЧГПУ им. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2012. Т. 12. №2. С. 57-65.

Статьи в других изданиях

3. Квачев К.В., Георгиевский Д.В. Исследование осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки иод действием неконсервативной нагрузки // Сборник трудов XII Всероссийской школы—семинара "Волновые явления в неоднородных средах". 24-29 мая 2010. Звенигород. Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова. Секция 3 (CD-ROM). С. 18-20.

4. Kvachev К. V. The Lyapunov—Movchan method in the stability problem of oscillations of elastic plate under noncoservative load// Proceedings of the International Symposium on Advanced in Applied Mechanics and Modern Information Technology. 22-23 September 2011. Baku. P. 215-217.

Материалы конференций и тезисы докладов

5. Kvachev К. V. Lyapunov—Movchan method in problems of complicated system dynamical stability // Journal of Mathematical Science. V. 161. No. 5. 2009. P. 611.

6. Kvachev К. V. Stability of Axially Symmetric Aeroelastic Oscillations of a Cylindrical Shell via the Lyapunov—Movchan method // Journal of Mathematical Science, V. 165, No 6. 2010. P. 614.

7. Квачев К.В. Прямой метод Ляпунова в некоторых динамических задачах теории упругости // Proc. XV Internat. Conf. Dynamical system modelling and stability investigation. Kyiv. May 25-27, 2011. Киев: Изд-во КНУ, 2011. С. 278.

8. Георгиевский Д.В., Квачев К.В. Метод Ляпунова—Мовчана в задаче об устойчивости осесимметричных колебаний тонкой цилиндрической оболочки в газе // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2009. С. 47.

9. Георгиевский Д.В., Квачев К.В. Метод Ляпунова—Мовчана в задаче об устойчивости колебаний тонкой упругой платины в потоке газа // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2010. С. 58-59.

В работах [3, 8, 9] научному руководителю Георгиевскому Д.В. принадлежат формулировка задач и выбор методов их исследования, Квачеву К.В. принадлежат построение функционалов Ляпунова—Мовчана и нахождение достаточных условий устойчивости.

Подписано в печать: 16.01.2013 Объем: 1,0 п. л. Тираж: 100 экз. Заказ № 34 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Введение

1 Метод Ляпунова—Мовчана в задачах устойчивости деформирования сплошных сред (обзор)

1.1 Обобщение математического аппарата метода Ляпунова на континуальные системы.

1.2 Метод Ляпунова—Мовчана в задачах устойчивости деформируемых твёрдых тел.

1.2.1 Одномерные деформируемые системы.

1.2.2 Двумерные деформируемые системы.

1.2.3 Трёхмерные деформируемые тела.

1.3 Метод Ляпунова—Мовчана и устойчивость аэро- и гидроупругих систем.

1.4 Прямой метод Ляпунова в теории гидродинамической устойчивости

1.4.1 Температурная конвекция в жидкостях.

1.4.2 Другие задачи гидродинамической устойчивости.

1.5 Устойчивость деформирования относительно возмущений материальных функций, входящих в определяющие соотношения

2 Устойчивость колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа

2.1 Постановка задачи в общем случае и для пластины, бесконечной в одном направлении.

2.1.1 Основные положения поршневой теории.

2.1.2 Вывод граничных условий для свободного торца.

2.1.3 Нахождение нижней оценки критической скорости методом Ляпунова—Мовчана

2.2 Постановка задачи для конечной пластины.

2.2.1 Нахождение нижней оценки критической скорости методом Ляпунова—Мовчана

3 Задача об устойчивости колебаний цилиндрической оболоч ки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа

3.1 Кинематика деформируемых цилиндрических оболочек.

3.2 Уравнения теории оболочек.

3.3 Постановка задачи об устойчивости оболочки.

3.4 Нахождение нижней оценки критической скорости для случая дщ дщ Q дер дер

3.4.1 Построение функционала Ляпунова—Мовчана и вычисление его производной.

3.4.2 Оценки квадратичных функционалов.

3.4.3 Результаты решения задачи.

3.5 Нахождение нижней оценки критической скорости для случая дир дщ Q дЧ> дер |Хо=

3.5.1 Применение метода Ляпунова—Мовчана.

3.5.2 Оценки для производной функционала.

3.5.3 Достаточное условие устойчивости.

4 Общий случай задачи об устойчивости колебаний цилиндрической оболочке в сверхзвуковом потоке газа

4.1 Постановка задачи.

4.2 Интегрирование системы уравнений движения.

4.3 Оценки для функционала и его производной.

4.4 Результаты применения теоремы Ляпунова—Мовчана об устойчивости.

5 Другой подход к построению функционала

Ляпунова—Мовчана в задаче об устойчивости колебаний цилиндрической оболочки

5.1 Применение методики Ляпунова—Мовчана.

5.2 Случай

5.3 Общий случай

Устойчивостью механических систем занимались еще такие выдающиеся ученые как Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж. Их работы посвящены статической устойчивости. Для некоторого класса задач применение статического подхода не позволяет сделать правильного заключения об устойчивости системы. Для таких задач нужно применять динамический подход. В настоящее время известно два основных таких подхода: первый (непрямой) метод Ляпунова и второй (прямой) метод Ляпунова.

Несмотря на универсальность спектрального метода, в задачах аэроупругости даже в самых простых постановках этот подход оказывается математически трудоемким. В большинстве задач окончательные результаты представлены в виде численных расчетов. При подходе Ляпунова—Мовчана нет общей теории построения функционала, но этот метод позволяет аналитически получить достаточные оценки, что показывает его определенное преимущество по сравнению со спектральным подходом для задач аэроупругой устойчивости.

Работа посвящена развитию математического аппарата метода Ляпунова—Мовчана. Ее целью является нахождение условий устойчивости тонких тел в сверхзвуковом потоке газа в терминах ограничений на скорость потока.

В первой главе представлен современный обзор работ по второму методу Ляпунова в задачах устойчивости сплошных сред. В остальных главах продемонстрировано развитие методики Ляпунова—Мовчана на примере некоторых задач аэроупругой устойчивости. Во всех приложениях найдены достаточные условия устойчивости. Рассмотренные задачи описывают динамическое поведение обшивки летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковыми скоростями.

Основные результаты и выводы диссертации

1. Представлен современный обзор по развитию метода Ляпунова—Мовча-на за последние 50 лет.

2. Методом Ляпунова—Мовчана в задаче об устойчивости колебаний прямоугольной пластины найдена нижняя грань критической скорости. Для упругой пластины бесконечной в одном направлении имеется согласование с результатами, полученными спектральным подходом.

3. В задаче об устойчивости колебаний цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа найдена нижняя оценка критической скорости для двух случаев дополнительных ограничений на перемещения оболочки.

4. В общем случае задачи об устойчивости колебаний цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа найдена нижняя оценка критической скорости, выраженная через механико—геометрические параметры и некоторые дополнительные варьируемые величины.

5. При другом способе построения функционала получена нижняя оценка критической скорости в общем случае задачи об устойчивости колебаний цилиндрической оболочки в потоке газа. Как частный случай рассмотрено ограничение на перемещения оболочки, что является обобщением одного из результатов пункта 3. При этом незначительно уменьшается нижняя оценка критической скорости.

1. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // M.-JL: ГИТТЛ, 1950. 471 с.

2. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // M.-JL: ГИТТЛ, 1950. 392 с.

3. Мовчан A.A. Об устойчивости движения сплошных сред. Теорема Ла-гранжа и ее обращение // Инженер, сб. I960. Т. 29. С. 3-20.4■ Мовчан A.A. Устойчивость процессов по двум метрикам // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 6. С. 988-1001.

4. Мовчан A.A. Об устойчивости процессов деформирования сплошных тел // Arch. Mech. Stosow. 1963. V. 15. No. 5. S. 659-682.

5. Слободкин A.M. Об устойчивости равновесия консервативных систем с бесконечным числом степеней свободы // ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 2. С. 356-358.

6. Слободкин A.M. Об устойчивости равновесия систем с бесконечным числом степеней свободы в смысле Ляпунова // Докл. АН СССР. 1964. Т. 157. №1. С. 63-65.

7. Слободкин A.M. Об особенностях понятия устойчивости равновесия в смысле Ляпунова для систем с бесконечным числом степеней свободы // Изв. АН СССР. Сер. Механика. 1965. №5. С. 38-46.

8. Слободкин A.M. К обоснованию энергетического критерия устойчивости равновесия // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 1. С. 27-44.

9. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1961, 360 с.

10. Волъмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 879 с.

11. Гузь А.Н. Устойчивость трёхмерных деформируемых тел. Киев: Науко-ва Думка, 1971. 276 с.

12. Joseph D.D. Stability of fluid motions. Berlin-Heidelberg-N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. Part I. 282 p. Part II. 274 p.

13. Leipholz H.H.E. Stability of elastic systems. Amsterdam: Leyden-Noord-hoof, 1980. 492 p.

14. Зубов В. И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). М: Высш. шк, 1984. 232 с.

15. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределёнными параметрами. Новосибирск: Наука, 1987. 229 с.

16. Лакшмикантам ВЛила С., Мартынюк A.A. Устойчивость: теория, методы и приложения. Киев: Наукова Думка, 1991. 242 с.

17. Drazin P.G. Intoduction to hydrodinamic stability. Cambrige University Press, 2002. 258 p.

18. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Часть I. Устойчивость. М.: Физматлит, 2007. 448 с.

19. Волков Д.М. Аналог второго метода Ляпунова в нелинейных краевых задачах для гиперболических уравнений // Учёные записки ЛГУ. Сер. Математические науки. 1958. Вып. 33. №271. С. 90-95.

20. Сиразетдинов Т.К. Об устойчивости процессов с распределёнными параметрами // Труды КАИ. 1964. Вып. 83. 4.1. С16-42. 4.II. С 43-78.

21. Сиразетдинов Т.К. К теории устойчивости движения жидкости при постоянно действующих возмущениях // Изв. вузов. Сер. Авиационная техника. 1965. №4. С. 62-74.

22. Brayton R.K., Miranker W.L. Stability theory for nonlinear mixed initial boundary value problems // Archive for rational mech. and anal. 1964. V. 17. No. 5. P. 358-376.

23. Lakshmikantham V. Parabolic equations and Lyapunov like functions // Journal of mathematical analysis and applications. 1964. V. 9. P. 234-251.

24. Shield R.T. On the stability of linear continuous systems // Z. angew. Math. Phys. 1965. V. 16. P. 649-686.

25. Knops R.J., Wilkes E. W. On Movchan's theorems for stability of continuous systems // Int. J. Eng. Sci. 1966. V.4. P. 303-329.

26. Netmat-Nasser S., Berrmann G. On the stability of equilibrium of continuous systems // Ingenieur-Archiv. 1966. V. 35. P. 17-24.

27. Gilbert J. G., Knops R.J. Stability of general systems / / Archive for rational mechanics and analysis. 1967. V. 25. No. 4. P. 271-284.

28. Buis G.R., Vogt W.G., Eisen M.M. Lyapunov stability for partial differential equations // NASA Contractor Report 1100. June 1968, P. 1-113.

29. Villaggio P. A stability criterion for non-linear continua // Proc. of Symposium "Instability of continuous systems". Berlin—Heidelberg—New-York: Springer, 1969. P. 19-24.

30. Parks P.C. Some applications of Liapunov functional // Proc. of Symposium "Instability of continuous systems". Berlin—Heidelberg—New-York: Springer, 1969. P. 125-131.

31. Pritchard A.J. On nonlinear stability theory // Quarterly J. of Appl. Math. 1970. V. 27. No. 4. P. 531-536.

32. Зайцев Ю.М. Распространение теорем об асимптотической устойчивости в большом и целом на системы с распределёнными параметрами // Тр. второго семинара-симпозиума по применению метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск: Наука, 1970. С. 25-34.

33. Parks Р.С., Pritchard A.J. Stability analysis in structural dynamics using Liapunov functionals // Journal of Sound and Vibration. 1972. V. 25. No. 4. P. 609-621.

34. Lee Т.Н., Hsu C.S. Liapunov stability criteria for continuous systems under parametric excitation // Journal of Applied Mechanics. 1972. V. 39. No. 1. P. 244-250.

35. Sundararajan C. A theorem on the stability of elastic systems // ZAMP. 1973. V. 24. P. 287-290.

36. Walker J. A. Energy-like Liapunov functional for linear elastic systems on a Hilbert space // Quarterly J. of Applied Mathematics. 1973. V.30. P. 465480.

37. Leipholz H.H.E. Some remarks on Liapunov stability of elastic dynamical systems // Proc. of Symposium "Buckling of structures". Berlin-Heidelberg-New-York: Springer, 1976. P. 208-216.

38. Plaut R.H. A study of the dynamic stability of continuous elastic systems by Liapunov's direct method // University of California, Berkeley Report No. AM-67-3, May 1967.

39. Dym C.L. Stability theory and its applications to structural mechanics. Leyden: Noordhoff International Publishing, 1974. 208 p.

40. Байрамов Ф.Д. О технической устойчивости систем с распределёнными параметрами при постоянно действующих возмущениях // Изв. вузов. Сер. Авиационная техника. 1974. №2. С. 5-11.

41. Байрамов Ф.Д. О технической устойчивости систем с распределёнными параметрами // Труды КАИ. 1974. Вып. 171. С. 36-41.

42. Байрамов Ф.Д. О технической устойчивости систем с распределёнными и сосредоточенными параметрами // Изв. вузов. Сер. Авиационная техника. 1975. №2. С. 19-24.44■ Мартынюк А.А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Нау-кова Думка, 1975. 351 с.

43. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 480 с.

44. Ahmadi G. On the mean square stability of a class of nonstationary coupled partial differential equations // Ingenieur-Archiv. 1979. V.48. P. 213-219.

45. Мартынюк A.A. Об устойчивости и неустойчивости систем процессов по двум многозначным мерам // Прикладная механика. 1981. Т. 17. №2. С. 104-109.

46. Мартынюк A.A., Подилъчук В.Д. О практической асимптотической устойчивости систем процессов // Прикладная механика. 1983. Т. 19. №1. С. 89-94.

47. Мартынюк A.A., Подилъчук В.Д. Устойчивость систем процессов по двум векторным мерам // Прикладная механика. 1984. Т. 20. №3. С. 93100.

48. Матвийчук К. С. Техническая устойчивость параметрически возбуждаемых распределенных процессов // ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 2. С. 210-218.

49. Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989. 292 с.

50. Шестакое A.A. Обобщённый прямой метод Ляпунова для систем с распределёнными параметрами. М: Наука, 1990. 320 с.

51. Padula M. Free work and control of equilibrium configurations // Annali dell Universita di Ferrara. 2003. V. 49. No. 1. P. 375-396.

52. Лаврентьев М.М.(млад.) Решение параболических уравнений через функционалы Ляпунова // Сибирский Математический Журнал. 2005. Т. 46. №5. С. 1085-1099.

53. Ryzhak E.I. A theorem on instability by linear approximation for a one-dimensional non-linearly elastic body // Journal of applied mathematics and mechanics. 2006. V.70. P. 769-784.

54. Michel A.N., Ling Hou, Derong Liu. Stability of dynamical system. BostonBasel-Berlin: Birkhauser, 2008. 501 p.

55. Дружинина О.В., Афанасьева В.И. Исследование устойчивости некоторых классов распределённых систем // Нелинейный мир. 2010. №9. С. 554-562.

56. Plaut R.H. Asymptotic stability and instability criteria for some elastic systems by Liapunov's direct method // Quarterly J. of Applied Mathematics. 1972. V. 29. P. 535-540.

57. Мовчан А.А. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем // ПММ. 1959. Т. 23. Вып.З. С. 483-493.

58. Leipholz Н.Н.Е. Uber die Anwendung der Methoden von Ljapunow.auf Stabilitatsprobleme der Elastostatik // Ingenieur-Archiv. 1966. V. 35. P. 181-191.

59. Leipholz H.H.E., Huseyin K. On the stability of one-dimensional continuous systems with polygenic forces // Meccanica V. 6. No4. 1971. P. 253-257.

60. Infante E.F., Plant R.H. Stability of a column subjected to a time-dependent axial load // NASA Contractor Report 97627. January 1968, 13 p.

61. Plant R.H., Infante E.F. On the stability of some continuous systems subjected to random excitation // NASA Contractor Report 100369. September 1970, 29 p.

62. Kozin F. Stability of linear stochastic systems // Springer-Verlag. Lecture Notes in Math. 1972. V. 294. P. 186-229.

63. Leipholz H. Application of Liapunov's direct method to the stability problem of rods subject to follower forces // Proc. of Symposium "Instability of continuous systems". Berlin—Heidelberg—New-York: Springer, 1969. P. 1-10.

64. Hsu C.S., Lee T.H. A stability study of continuous systems under parametric excitation via Liapunov's direct method // Proc. of Symposium "Instability of continuous systems". Berlin—Heidelberg—New-York: Springer, 1969. P. 112-118.

65. Holzer S.M. Response bounds for columns with transient loads // Journal of Applied Mechanics. Trans. ASME. 1971. V.38. No. 1. P. 157-161.

66. Walker J. A. Liapunov analysis of the generalized Pfliiger problem // Journal of Applied Mechanics. 1972. V.39. No. 4. P. 935-938.

67. Walker J.A. Stability of a pin-ended bar in torsion and compression // Journal of Applied Mechanics. 1973. V. 40. No. 2. P. 405-409.

68. Leipholz H.H.E. On conservative elastic systems of the first and second kind // Ingenieur-Archiv. 1974. V.43. P. 255-271.

69. Leipholz H.H.E. Stability of elastic rods via Liapunov's second method // Ingenieur-Archiv. 1975. V. 44. P. 21-26.

70. Leipholz H.H.E. Stability of elastic structures // CISM Courses and Lectures. Part III. Wien-N.-Y.: Spriger, 1978. No. 238. P. 1-99.

71. Leipholz H.H.E. On the use of Hamiltonian for an evalution of the stability of elastic systems subjected to follower forces // Ingenieur-Archiv. 1981. V. 50. P. 413-426.

72. Leipholz H.H.E. On a generalization of the lower bound theorem for elastic rods and plates subjected to compressive follower forces // Computer Method in Applied Mechanics and Engineering. 1981. V. 27. P. 101-120.

73. Tylikowski A. Dynamic stability of rotating shafts // Ingenieur-Archiv. 1981. V. 50. P. 41-48.

74. Parks P.C., Pritchard A.J. On the construction and use of Liapunov functionals // Proc. 4th IFAC Congress. Tech. Session 20. Warsaw, 1969. P. 59-73.

75. Baillieul J., Levi M. Rotational elastic dynamics // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1987. V.27. №1-2. P. 43-62.

76. Varadi P.C. Conditions for stability of rotating elastic rods // Proc. Royal Soc. Lond. Ser. A. 2001. V. 457. P. 1701-1720.

77. Pavlovic R., Rajkovic P., Pavlovic I. Dynamic stability of the viscoelastic rotating shaft subjected to random excitation // International Journal of Mech. Sciences. 2008. V. 50. P. 359-364.

78. Tylikowski A. Stability of hybrid rotating shaft with simply supported and/or clamped ends in a weak formulation // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 2008. V. 46. P. 993-1007.

79. Jie Min. Plastic dynamic stability of a column under nonconservative forces // Applied Mathematics and Mechanics (English Edition) 1997. V. 18. No. 4. P. 399-405.

80. Jiki P.N. Buckling analysis of pre-cracked beam-columns by Liapunov's second method // European Journal of Mechanics. Ser. A. Solids. 2007. V. 26. P. 503-518.

81. Домансъкий П.П. Оптиънзащя форми стержшв у задачах дослщжения ix CTiilKOCTi за двома лорами з обмеженнями на мш1мально допустим} значения плошд поперечних nepepi3iB // // Машинознавство. 2002. №3. С. 14-22.

82. Доманский П.П., Сорока Е.И. Оптимизация формы шарнирно опертых упругих стержней в задачах их устойчивости но двум мерам // Мат. методи та ф1з.-мех. поля. 2002. Т. 45. №3. С. 148-155.

83. Домансъкий П. П. 0птим1защя форми жорстко защемлених пружних стержшв у задачах ix стШкостп за двома м1рами // Доп. НАН Украши, 2003. №2. С. 50-56.

84. Доманский П. П. Оптимизация по двум мерам формы упругих тел в задачах устойчивости // Ф1зико-математичне моделювання та шфор-мащйш технологи. 2005. Вип. 2. С. 27-42.

85. Tylikowski A. Liapunov functional application to dynamic stability analysis of continuous systems // Nonlinear Analysis. 2005. V. 63. P. 169-183.

86. Pavlovic R., Kozic P., Rajkovic P. Influence of randomly varying damping coefficient on the dynamic stability of continuous systems // European Journal of Mechanics. Ser. A. Solids. 2005. V. 24. P. 81-87.

87. Мовчан А.А. Обоснование некоторых критериев устойчивости равновесия пластин // Инженерный журнал. 1965. Т. 5. №4. С. 773-777.

88. Hegemier G.A. Stability of cylindrical shells under moving loads by the direct method of Liapunov // Journal of Applied Mechanics. 1967. V. 34. No.4. P. 991-998.

89. Leipholz H.H.E. Stabilitätstheorie. Eine Einfuhrung in die Theorie der Stabilität dynamischer systeme und fester Körper. Stuttgart: B.G. Tauber, 1968. 245 p.

90. Leipholz H.H.E. Stability of elastic plates via Liapunov's second method // Ingenieur-Archiv. 1976. V.45. P. 337-345.

91. Leipholz H.H.E. Stability of a rectangular simply supported plate subjected to nonincreasing tangential follower forces // Journal of Applied Mechanics. 1978. V.45. No. 1. P. 223-224.

92. Leipholz H.H.E. On a Liapunov-like approach to the stability limit of Pflüger's rod // Mechanics Research Communications. 1980. V. 7. P. 115118.

93. Leipholz H.H.E. On a Liapunov-like approach to the stability of Pfliiger-like plates // Ingenieur-Archiv. 1982. V.52. P. 39-46.

94. Leipholz H.H.E. Uber die Anwendung von Liapunovs direkter Methode auf Stabilitätprobleme kontinuierlicher, nichtkonservativer Systeme // Ingenieur-Archiv. 1970. V. 39. P. 357-368.

95. Leipholz H.H.E. Stability of elastic, cylindrical shells via Liapunov's second method // Ingenieur-Archiv. 1980. V.49. P. 7-14.

96. Leipholz H.H.E. Liapunov stability of contionuous elastic systems and its topological foundations // Acta Mechanica. 1982. V.45. P. 135-162.

97. Möller T.L. The dynamics of a spinning elastic disk with massive load // Thesis for the degree of doctor of philosophy. California Institute of Technology, Pasadena, California, 1973. Ill p.

98. Nowinski J.L. On the Liapunov—Movchan stability of equilibrium of elastic orthotropic plates // Acta Mechanica. 1983. V.47. P. 27-38.

99. Leipholz H.H.E. Liapunov's second method and its application to continuous systems // SM Archives. 1976. V. 1. P. 367-444.

100. Jie Min. On the Liapunov's stability of a clamped orthotropic round plate under radial axisymmetrical impact load // Applied Mathematics and Mechanics (English Edition) 1996. V. 17. No. 2. P. 149-153.

101. Tylikowski A. Dynamic stability of functionally graded plate under in-plane compression // Mathematical Problems in Engineering. 2005. V. 4. P. 411424.

102. Tylikowski A. Dynamic stability of nonlinear antisymmetrically-laminated cross-ply rectangular plates // Journal of Applied Mechanics. 1989. V. 56. No. 2. P. 375-381.

103. Tylikowski A. Dynamic stability of weak equations of rectangular plates // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 2008. V. 46. №3. P. 679-692.

104. Доманський П. П. Дослщження ст1йкост1 руху за двома м1рами пружних цшиндричних тш / Мат. методы та 4нз.-мех. поля. 1998. Т. 41. №3. С. 2936.

105. Бурак Я.И., Доманский П.П., Ардан Р.В. Устойчивость по двум мерам сжатых осевыми силами упругих цилиндрических тел // Прикладная механика. 2000. Т. 36. №8. С. 79-86.t/

106. Бурак Я.И., Домансъкий П.П. Про оптимальш форми пружних тш в задачах ix ст1йкост1 за двома м!рами // Доп. НАН Украши, 2001. № 12. С. 40-46.

107. Домансъкий П.П., Волошенюк А.В. Про шдвищення критичних пара-метр!в у задачах стШкост! за двома м1рами пружних цилшдричних Т1Л // Мат. метод1 физ.-мех. поля. 2002. Т. 45. №1. С. 129-137.

108. Nemat-Nasser S. Thermoelastic stability of a finitely deformed solid under nonconservative loads // Proc. of Symposium "Instability of continuous systems". Berlin—Heidelberg—New-York: Springer, 1969. P. 256-262.

109. Ball J.M. Material instabilities and the calculus of variations // Proc. Conf. on phase transformations and material instabilities in solids. University of Wisconsin: Academic Press, 1984. No. 52. P. 1-20.

110. Knops R.J., Wilkes E.W. Theory of elastic stability // Encyclopedia of Physics (Handbuch der Physik). 1973. V.6. a/3 (Mechanics of Solids V.8). Springer Verlag. Berlin-Heidelberg-N.-Y. P. 125-302.

111. Tylikowski A. Dynamic stability of carbon nanotubes // Mechanics and Mechanical Engineering. 2006. V. 10. P. 160-166.

112. Tylikowski A. Dynamic stability of carbon nanotubes using nonlocal Euler-Bernoulli model // World Journal of Engineering. 2010. V. 7. No. 2. P. 342-343.

113. Tylikowski A. Instability of thermally induced vibrations of carbon nanotubes via nonlocal elasticity //Journal of Thermal Stresses. 2012. V. 35. No. 1-3. P. 281-289.

114. Bhalekar Anil A., Burande Chandrakant S. A study of thermodynamic stability of deformation in visco-elastic fluids by Lyapunov function analysis //J. of Non-Equilibrium Thermodynamics. 2005. V. 30. No. 1. P. 5365.

115. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Итоги науки и техники/ ВИНИТИ. 1978. Т. 11. С. 67-122.

116. Wang Р. К. С. Application of Lyapunov's direct method to stability problems in elastic and aeroelastic systems // IBM Research Rept. RJ-305. June 1964. P. 29-64.

117. Wang P.K.C. Stability analysis of a simplified pitch-controlled flexible aerodynamic vehicle via Lyapunov's direct method // Final Tech. Documentary Rept. for contract No. AF 33(657)-11545. IBM Research Lab. San Jose, Calif. June 1965. P. 72-83.

118. Wang P. К. С. Stability analysis of a simplified flexible vehicle via Lyapunov's direct method 11 AIAA Journal. 1965. V.3. No. 9. P. 1764-1766.

119. Wang P.K.G. Stability analysis of a simplified flexible aerodynamic vehicle with pitch autopilot via Lyapunov's direct method // Final Tech. Documentary Report, U.S. Air Force Contract AF 33(657)-11545. IBM Research Lab., San Jose, Calif. 1965.

120. Wang P.K.C. Stability analysis of elastic and aeroelastic system via Lyapunov's direct method // Journal of the Franklin Institute. 1966. V. 281. No. 1. P. 51-72.

121. Parks P.C. Liapunov functionals for aeroelastic problems // Journal of the Franklin Institute. 1967. V. 283. No. 5. P. 426-429.

122. Мовчан А. А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через неё жидкости // ПММ. 1965. Вып. 4. С. 760-762.

123. Parks Р. С. A stability criterion for panel flutter via the second method of Liapunov // AIAA Journal. 1966. V.4. No. 1. P. 175-177.

124. Parks P.C. A stability criterion for a panel flutter problem via the second method of Liapunov // Proc. Int. Symp. Differential equations and dynamical systems. Puerto Rico-N.-Y.: Academic Press, 1967. P. 287-298.

125. Webb G.R., Bass B.R., Goodman C.H., Land K.M. Further study on "A stability criterion for panel flutter via the second method of Liapunov" // AIAA Journal. 1967. V.5. No. 11. P. 2084-2085.

126. Parks P.C. Some application of second method of Lyapunov to dynamical systems described by partial differential equations // Acta Facultatis rerum naturalium universitatis comenianae mathematica. 1967. V. 17. P. 281-287.

127. Ц0. Walker J.A., Dixon M. W. Stability of general plane membrane adjacent to a supersonic airstream // Journal of Applied Mechanics. 1973. V. 40. No. 2. P. 395-398.

128. Dixon M. W. Liapunov functionals for nonconservative distributed parameter linear elastic systems // Ph.D. dissertation. Department of Mechanical Engineering and Astronautical Sciences, Northwestern University, 1971.

129. Ц2. Matviichuk K.S. Technical stability of panel motion in a gas stream // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1988. V. 29. N0.6. P. 849-855.

130. Matviichuk K.S. Technical stability of dynamic states of controlled elastic aircraft // International Applied Mechanics. 2001. V. 37. No. 4. P. 550-563.

131. Ц6. Matviichuk K.S. Technical stability of nonlinear states of an elastic vehicle in vertical flight // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2002. V.43! No.3. P. 475-487.

132. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов стенок проточных каналов. Ульяновск: УлГТУ, 2000. 115 с.

133. Ц8. Велъмисов П.А., Молгачёв A.A. Динамическая устойчивость вязко-упругих элементов разделительной стенки канала // Тр. Средневолж-ского математ. об-ва. Саранск, 2005. Т. 7. № 1. С. 138-145.

134. Ц9. Ayfer Kurt. Asymptotic behavior of the zéro solutions to generalized pipe and rotating shaft équations // Türk. J. Math. 2000. V. 24. P. 67-80.

135. Мовчан A.A. Об устойчивости панели, движущейся в газе // ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 231-243.

136. Мовчан A.A. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 211-222.

137. Мовчан А.А. О влиянии аэродинамического демпфирования на сверхзвуковой флаттер обшивки // Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. №1. С. 175-177.

138. Ильюшин A.A. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 6. С. 733-755.

139. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттре пологой оболочки // ПММ. 1994. Т. 58. Вып.З. С. 317-325.

140. Кийко H.A. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 2. С. 317-325.

141. Веденеев В. В. Численное исследование сверхзвукового флаттера пластины с использованием точной аэродинамической теории // Известия РАН. МЖГ. 2009. № 2. С. 169-178.

142. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 247 с.

143. Алгазин С.Д. О вычислении с высокой точностью собственных значений оператора Лапласа // Докл. РАН. 2008. Т. 422. № 2. С. 151-154.

144. Алгазин С.Д. Численное исследование свободных колебаний балки с осцилляторами // Прикл. мех. и техн. физ. 2006. Т. 47. № 4. С. 135-144.

145. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. Ульяновск: УлГТУ, 2009. 220 с.

146. Квачёв К. В. Метод Ляпунова—Мовчана в одной задаче устойчивости колебаний пластины // Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика. 2011. №6. С. 62-65.

147. Квачёв К. В. Исследование устойчивости осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки под действием неконсервативной нагрузки // Современные проблемы математики и механики (в печати).

148. Pritchard A.J. A study of two of the classical problems of hydrodynamic stability by the Liapunov method //J. Inst. Maths. Applies. 1968. V. 4. P. 78-93.

149. Sinha S.C., Carmi S. On the Liapunov-Movchan and the energy theories of stability // ZAMP. 1976. V.27. P. 607-612.

150. Shir C.C., Joseph D.D. Convective instability in a temperature and concentration field // Arch. Rational Mech. Anal. 1968. V. 30. No. 1. P. 3880.

151. Capone F., Gentile M. Nonlinear stability analysis of convection for fluids with exponentially temperature-dependent viscosity // Acta Mechanica. 1994. V. 107. P. 53-64.

152. Goodarz Ahmadi. Stability of a hydromagnetic fluid layer in the presence of temperature and concentration gradients in a rotating frame of reference // Energy Conversion. 1977. V. 16. P. 143-147.

153. Mulone G., Rionero S. Necessary and sufficient conditions for nonlinear stability in the magnetic Benard problem // Arch. Rational Mech. Anal. 2003. V. 166. P. 197-218.

154. Lombardo S., Mulone G. Necessary and sufficient stability conditions via the eigenvalues-eigenvectors method: an application to the magnetic Benard problem // Nonlinear Analysis. 2005. V.63. P. 2091-2101.

155. Galdi G.P., Straughan B. A nonlinear analysis of the stabilizing effect of rotation in the Benard problem // Proc. Royal Soc. Lond. Ser. A. 1985. V. 402. P. 257-283.

156. Mulone G., Rionero S. On the nonlinear stability of rotating Benard problem via the Lyapunov direct method // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1989. V. 144. P. 109-127.

157. Galdi G.P. Non-linear stability of a magnetic Benard problem via a generalized energy method // Arch. Ration. Mech. Anal. 1985. V. 87. P. 167186.

158. Rionero S. Sulla stabilita asintotica in media in magnetoidrodinamica // Ann. Mat. Pura Appl. 1967. V. 76. P. 75-92.

159. Rionero S. Metodi variazionali per la stabilita asintotica in media in magnetoidrodinamica // Ann. Mat. Pura Appl. 1968. V. 77. P. 339-364.

160. Rionero S. Sulla stabilita magnetodinamica non lineare asintotica in media con varitipi di condizionial contorno // Ricerche Mat. 1968. V. 17. P. 64-78.

161. Galdi G.P., Payne L.H., Proctor M.R.E., Straughan B. Convection in thawing subsea permafrost // Proc. Royal Soc. Lond. Ser. A. 1987. V. 414. P. 83-102.

162. Rionero S. On the choice of the Lyapunov function in the stability of fluid motions // Energy stability and convection. Pitman research notes in math. Wiley, 1986. V. 168. P. 392-419.

163. Rionero S., Mulone G. A non-linear stability analysis of the magnetic Benard problem through the Lyapunov direct method // Arch. Ration. Mech. Anal. 1988. V. 103. P. 347-368.

164. Galdi G.P., Straughan B. Exchange of stabilities, symmetry and nonlinear stability // Arch. Rational Mech. Anal. 1985. V.89. P. 211-228.

165. Qin Y., Kaloni P.N. Nonlinear stability problem of a rotating porous layer // Quarterly J. of Applied Mathematics 1995. V.53. No. 1. P. 129-142.

166. Lombardo S., Mulone G., Straughan B. Nonlinear stability in the Benard problem for a double-diffusive mixture in a porous medium // Math. Met. Appl. Sci. 2001. V. 24. No. 16. P. 1229-1246.

167. Mulone G. On the stability of a plane parallel convective mixture through the Lyapunov second method // Atti Accad. Peloritana dei Pericolanti. 1991. V. 68. P. 491-516.

168. Joseph D.D. Nonlinear stability of the Boussinesq equations by the method of energy 11 Arch. Rational Mech. Anal. 1966. V.22. P. 163-184.

169. Mulone G. On the Lyapunov stability of a plane parallel convective flow of a binary mixture // Le Matematiche. 1991. V.46. No. 1. P. 283-294.

170. Mulone G. On the stability of a plane parallel convective flow // Acta Mechanica. 1991. V.87. P. 153-162.

171. Mulone G. On the nonlinear stability of a fluid layer of a mixture heated and salted from below // Continuum Mech. Thermodyn. 1994. V. 6. P. 161-184.

172. Straughan B. The energy method, stability, and nonlinear convection. Springer, 1992. 242 p.

173. Mulone G., Rionero S. The rotating Benard problem: new stability results for any Prandtl and Taylor numbers // Continuum Mech. Thermodyn. 1997. V. 9. P. 347-363.

174. Mulone G., Rionero S. Unconditional nonlinear exponential stability in the Benard problem for a mixture: necessary and sufficient conditions // Rend. Mat. Acc. Lincei. 1998. V. 9. No. 9. P. 221-236.

175. Flavin J.N., Rionero S. Nonlinear stability for a thermofluid in a vertical porous slab // Continuum Mech. Thermodyn. 1999. V. 11. P. 173-179.

176. Flavin J.N., Rionero S. The Benard problem for nonlinear heat conduction: unconditional nonlinear stability // Quaterly J. of Mechanics and Applied Mathematics. 1999. V.52. No.3. P. 441-452.

177. Lombardo S., Mulone G. Necessary and sufficient conditions of global nonlinear stability for rotating double-diffusive convection in a porous medium // Continuum Mech. Thermodyn. 2002. V. 14. P. 527-540.

178. Lombardo S. Stability in the Benard problems with competing effects via the reduction method // Proc. 14th Conf. on waves and stability in continuous media, "Wascom 2007". Baia Samuele, Sicily, Italy. P. 372-377.

179. Palese L., Georgescu A. Lyapunov method applied to the anisotropic Benard problem 11 J. Mathematical Science Research. 2004. V.8. No. 7. P. 196-204.

180. Palese L. On the nonlinear stability of the MHD anisotropic Benard problem // International J. of Engineering Science. 2005. V. 43. P. 12651282.

181. Lanxi Xu. A new energy functional for nonlinear stability of the classical Benard problem // Le matematiche. 2006. V.41. No. 2. P. 385-394.

182. Joseph D.D. On the place of energy methods in a global theory of hydro-dynamic stability // Proc. of Symposium "Instability of continuous systems". Berlin-Heidelberg-New-York: Springer, 1969. P. 132-142.

183. Clever R.M., Busse F.H. Three-dimensional knot convection in a layer heated from below // J. Fluid Mech. 1989. V. 198. P. 345-363.

184. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 4. С. 603-609.

185. Millner A.R. Nonlinear feedback control of continuum systems. // Thesis for the degree of doctor of science. Massachusetts institute of technology, 1972. 408 p.

186. Padula M., Рокоту М. Stability and decay to zero of the L2-norms of perturbations to a viscous compressible heat conductive fluid motion exterior to a ball // J. Math. Fluid Mech. 2001. V.3. P. 342-357.

187. Padula M. Stability properties of regular flows of heat-conducting compressible fluids // J. Math. Kyoto Univ., 1992. V.32. No. 2. P. 401-442.

188. Руда С.А., Юдович В.И. Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы // Сибирский математич. журн. 2007. Т. 48. №3. С. 556-576.

189. Степанов К.Н., Хоменюк В.В. Об условиях устойчивости равновесных магнитогидродинамических конфигураций // ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 3. С. 466-470.

190. Shoureshi R. Diagnostics intelligent control of MPD engines // Defense Technical Information Center, 1988. 141 p.

191. Vergori L. Linear and nonlinear stability in non-standard theories of fluid dynamics //Tesi presentata per il conseguimento del titolo di Dottore di Ricerca. Universita del Salento, 2008. 116 p.

192. Rionero S., Maiellaro M. On the stability of Couette-Poiseuille flows in the anisotropic MHD via the Liapunov direct method // Rend. Acc. Sc. fis. mat. Napoli. 1995. V. 62. P. 315-332.

193. Kloosterziel R.C., Carnevale G.F. Generalized energetics for inertially stable parallel shear flows // J. Fluid Mech. 2007. V.585. P. 117-126.

194. Padula M. On direct Lyapunov method in continuum theories //Nonlinear problems in mathematical physics and related topics. Part I. N.-Y. Boston-Dordrecht-London-Moscow, 2002. P. 289-303.

195. Padula M. Asymptotic stability of steady compressive fluids // Lecture Notes in Mathematics. 2011. V. 2024. 235 p.

196. Buis G.R., Vogt W.G. Application of Lyapunov stability theory to some nonlinear problems in hydrodynamics // NASA Contractor report NASA CR-894, September 1967. p. 1-20.

197. Galdi G.P., Rionero S. Weighted energy methods in fluid dynamics and elasticity // Lecture Notes in Mathematics. 1985. V. 1134. 126 p.

198. Padula M. On the exponential stability of the rest state of a viscous compressible fluid // J. Math. Fluid Mech. 1999. V. 1. P. 62-77.

199. Fruman M.D. Equatorial symmetric stability. Thesis for the degree of Doctor of Philosophy. University of Toronto, 2005, 178 p.

200. Дымииков В.П. Устойчивость и предсказуемость крупномасштабных атмосферных процессов. М.: ИВМ РАН, 2007. 283 с.

201. Kloosterziel R.C. Viscous symmetric stability circular flows /'/ J. Fluid Mech. 2010. V. 652. P. 171-193.

202. Георгиевский Д. В. Устойчивость процессов деформирования по наборам мер относительно заданных классов возмущений // Изв. РАН. МТТ. 1997. №2. С. 69-92.

203. Георгиевский Д. В. Устойчивость процессов деформирования вязкопла-стических тел. М.: УРСС, 1998. 176 с.

204. Георгиевский Д. В. Задача устойчивости квазилинейных течений относительно возмущений функции упрочнения // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 826-832.

205. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

206. Ильюшин А.А. Устойчивость пластинок и оболочек за пределом упругости // ПММ. 1944. Т. 8. Вып. 5. С. 337-360.

207. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твёрдого тела. Современные концепции, ошибки и парадоксы. М.: Наука, 1985. 288 с.

208. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 393-417.

209. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 262 с.

210. Георгиевский Д.В. Тензорио нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механики. 2002. Т. 1. №2. С. 150-176.

211. Georgievskii D. V. Isotropic nonlinear tensor functions in the theory of constitutive relations // Journal of Mathematical Sciences. 2002. V. 112. No. 5. P. 4498-4516.

212. Георгиевский Д. В. Возмущения течений несжимаемых нелинейно-вязких и вязкопластических жидкостей, порождаемые вариациями материальных функций // Изв. РАН. МТТ. 2007. №3. С. 55-62.

213. Georgievskii D. V. Perturbation of constitutive relations in tensor non-linear materials // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2008. V. 15. No. 6. P. 528-532.

214. Григолюк Э.И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. Москва: Наука. 1978. 360 с.