Метод моделирования отсоединенных вихрей в приложении к задачам отрывного обтекания решеток тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЯКУБОВ Сергей Ансарович

МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ОТСОЕДИНЕННЫХ ВИХРЕЙ В ПРИЛОЖЕНИИ К ЗАДАЧАМ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ РЕШЕТОК

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена на кафедре теоретических основ теплотехники ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Смирнов Евгений Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Стрелец Михаил Хаимович

кандидат физико-математических наук, Калаев Владимир Владимирович

Ведущая организация: ГУЛ ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова,

г. Санкт-Петербург

Защита состоится 24 января 2006 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.229.07 в ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" (195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, корпус 1, кафедра гидроаэродинамики).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет".

Автореферат разослан « <2 '

»

2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Зайцев Д.К.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью развития методов расчета внутренних отрывных течений, включая течения, характерные для задач турбомашиностроения. Большими потенциальными возможностями для решения соответствующих задач обладает метод численного моделирования отсоединенных вихрей (MOB, Dettached Eddy Simulation, DES).

К настоящему времени в литературе накоплен достаточно обширный положительный опыт применения метода DES к внешним задачам аэродинамики. Однако для численного моделирования внутренних отрывных течений, включая проблемы турбомашиностроения, этот метод широко еще не использовался. Вместе с тем, для ряда важных и одновременно сложных задач аэродинамики турбомашин и турбоустановок метод DES потенциально способен обеспечить не только повышение точности предсказаний шггегральных/осредненных характеристик, но и получение качественно новой информации о вихревой структуре течения и нестационарных силовых нагрузках, действующих на элементы конструкции.

Представляемая диссертационная работа направлена на

- реализацию многосеточного алгоритма численного решения уравнений гидродинамики и реализацию параллельных вычислений на основе базового программного комплекса SINF, а также на проведение тестовых расчетов по оценке эффективности реализованных методик;

- апробацию реализованного в программном комплексе SINF метода моделирования отсоединенных вихрей на ряде тестовых задач и на исследование влияния выбора численной схемы;

- численное исследование отрывных турбулентных течений в решетках, включая изучение вопроса о влиянии на решение поперечного размера расчетной области (числа каналов), анализ вихревой структуры течения в области концевых зазоров и оценку эффективности метода DES для рассматриваемого круга задач.

Цели paôombt

Научная новизна работы

Исследования, проведенные в диссертационной работе, позволили получить ряд новых результатов:

- впервые метод моделирования отсоединенных вихрей применен для расчетов отрывных турбулентных течений через решетки различной геометрии, получен целый ряд новых данных по нестационарным полям и интегральным характеристикам рассчитанных течений;

- проведенные параметрические расчеты дня плоских решеток позволили заключить, что для течений с обширным отрывом необходимо использовать расчетные области, покрывающие как минимум два или три межлопаточных канала;

- численное моделирование течения в рабочем колесе осевого компрессора для условий предотрывных режимов работы показало, что метод DES дает существенно отличную от метода решения стационарных уравнений Рейнольдса картину осредненного течения в окрестности концевого зазора; результаты расчета интегральных характеристик по методу DES для этих режимов лучше согласуются с данными измерений.

Достоверность полученных результатов Результаты проведенных в настоящей работе расчетов по методу отсоединенных вихрей турбулентного обтекания круглого и квадратного цилиндра, а также крылового профиля, согласуются с аналогичными данными других авторов и с известными экспериментальными данными. Результаты расчетов турбулентного течения в рабочем колесе осевого компрессора согласуются по интегральным характеристикам с известными экспериментальными данными.

Практическая ценность работы Практическая значимость диссертационной работы состоит в следующем:

1) существенно расширены возможности базового программного комплекса SINF для проведения трехмерных нестационарных расчетов на сетках с большим количеством узлов; это достигнуто как путем реализации параллельных вычислений на кластерных системах, так и за счет внедрения многосеточного алгоритма численного решения уравнений гидродинамики;

2) реализация метода DES в программном комплексе SINF верифицирована путем расчета базовых тестовых задач и сравнения полученных данных с результатами других авторов и экспериментами;

3) выработаны рекомендации по выбору числа одновременно рассчитываемых

2

межлопаточных каналов для задач о течении жидкости через периодическую решетку профилей;

4) получены подробные пространственные данные о структуре течения в рабочем колесе осевого компрессора с увеличенным радиальным зазором.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на российских и международных конференциях и семинарах: международной конференции по параллельным вычислениям в вычислительной гидродинамике (Москва, 2003); XIV школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева "Процессы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках" (Рыбинск, 2003); всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" (Ростов-на-Дону, 2004); IV европейском конгрессе "Вычислительные методы в прикладных науках" (Финляндия, 2004); заседании секции «Высокопроизводительные вычислительные системы и их применение» Совета РАН под председательством акад. Г.И. Савина (Москва, 2004); XV школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева "Процессы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках" (Калуга, 2005).

Публикации по теме диссертации

Основные результаты работы изложены в шести научных публикациях.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 108 наименований. Работа изложена на 143 страницах машинописного текста, включая 18 таблиц и 77 рисунков.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, ее научное и практическое значение, сформулированы основные задачи работы.

В первой главе приводится обзор литературы по тематике работы.

В разделе 1.1 рассмотрены вопросы моделирования течений вокруг плохообтекаемых тел. Неблагоприятный характер обтекания тел такого рода, с отрывом пограничного слоя, обусловливается прежде всего формой их обводов - большой относительной толщиной сечений, наличием изломов обтекаемых поверхностей, присутствием выступов, расположенных поперек течения и т.п.

При достаточно большом числе Рейнольдса (а именно такие случаи и представляют основной практический интерес), возникает обширная зона отрыва и развивается сильнонестационарный вихревой след. Все это приводит к большой силе сопротивления и возникновению боковых периодических сил, действующих на тело и вызывающих его вибрацию. Наиболее полно в разделе рассматриваются работы по численному моделированию и экспериментальному изучению обтекания длинных круговых и квадратных цилиндров.

Раздел 1.2 посвящен введению в метод моделирования отсоединенных вихрей (DES). Этот метод, предложенный менее десяти лет назад [Spalart P.R., Jou W.-H., Strelets M., Allmaras S.R. / In: Advances in DNS/LES, Greyden Press, Columbus, OH, 1997. - P. 137-147] на сегодняшний день является одним из наиболее распространенных гибридных подходов к моделированию турбулентности и основан на сочетании метода решения нестационарных трехмерных уравнений Рейнольдса в пограничных слоях (URANS) и метода моделирования крупных вихрей (МКВ, Large Eddy Simulation, LES) в зонах свободного потока [Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур М.Л., Спаларт Ф.Р. / НТВ СПбГПУ, 2004. - №2(36). - С.22-33]. Излагается мотивация к использованию метода DES и основные идеи его реализации. Отмечается, что к настоящему моменту метод DES реализован уже в большом числе развитых пакетов вычислительной гидродинамики, включая коммерческие (CFX, Fluent, Cobalt), использующие схемы дискретизации второго прядка точности и неструктурированные сетки.

Первоначальный положительный опыт использования метода DES накапливался, в основном, при его применении к задачам внешней аэродинамики. В разделе дается обзор работ, посвященных расчетам обтекания крылового профиля NACA 0012 при произвольном угле атаки и обтекания круглого цилиндра, численному моделированию задачи обтекания шасси самолета и ряда других задач внешней аэродинамики. Также рассматриваются результаты приложения метода DES к двум задачам внутренней аэродинамики: к течению в канале с обратным уступом и к задаче обтекания цилиндра треугольного сечения, находящегося в канале.

В разделе 1.3 рассматривается проблема сокращения временных затрат на получение численного решения, которая становится особо острой при проведении расчетов на основе трехмерных нестационарных формулировок задач аэродинамики. Данную проблему можно рассматривать с двух позиций -ускорение сходимости итерационного процесса решения дискретизированных

задач и ускорение собственно вычислений за счет эффективного использования современной вычислительной техники (применение новейших компьютеров, суперкомпьютеров, параллелизации вычислений). Прогресс в ускорении сходимости итераций требует внедрения специальных алгоритмов, обладающих, как правило, достаточно сложной логикой расчета и трудностью реализации, а ускорение счета предполагает привлечение новейших, часто дорогостоящих вычислительных ресурсов и своевременное их обновление. Естественно, наиболее эффективным, с точки зрения уменьшения временных затрат, будет согласованное использование обоих подходов.

Среди итерационных методов на данный момент наибольший эффект ускорения сходимости позволяет получить многосеточный метод, а наиболее экономически привлекательным и сегодня уже весьма распространенным способом ускорения счета является параллелизация процесса вычислений с использованием кластерных систем.

В разделе излагаются основные идеи многосеточного алгоритма и история его развития, приводятся работы, посвященные использованию многосеточного алгоритма при решении задач гидродинамики, даны оценки эффективности алгоритма для разных задач.

Также в разделе рассмотрены базовые идеи современных технологий параллельных вычислений. Выделены основные направления развития высокопроизводительной вычислительной техники, приведены описания двух парадигм параллельного программирования: параллелизма данных и параллелизма задач, дано краткое описание библиотеки распараллеливающих подпрограмм MPI (Message Passing Interface), использованной в данной работе.

Во второй главе излагаются математическая модель (раздел 2.1) и численный метод (раздел 2.2). на основе которых были проведены расчеты (все задачи рассматриваются в работе в рамках модели несжимаемой ньютоновской жидкости с постоянными физическими свойствами). Рассматриваются вопросы реализации замыкающих моделей метода RAN S (модели турбулентности Спаларта-Аллмараса и Ментера), LES (модель Смагоринского) и метода DES (на основе моделей турбулентности Спаларта-Аллмараса и Ментера) в использованном для расчетов программном "конечно-объемном" комплексе S INF, разработанном на кафедре гидроаэродинамики СГТбГПУ. Заложенные в ПК возможности прошли предшествующую верификацию в результате численного моделирования целого ряда задач гидродинамики и теплообмена.

В разделе 2.3 приводится описание реализованного автором алгоритма параллелизации вычислений в программном комплексе S INF на основе

технологии MPI, соответствующей библиотеки стандарта MPI и учитывая исходный многоблочный подход, реализованный в SINF для численного решения широкого круга задач. При таком подходе расчетная область заранее разбивается на подобласти (блоки), для каждого из которых строится своя сетка. После чего происходит распределение блоков по выбранным процессам, запускаемым на кластере. Каждый процесс производит независимые вычисления для назначенных ему блоков и, кроме того, обеспечивает вывод данных, связанных с этими блоками. Кроме независимых вычислений на разных процессорах, при расчетах происходит обмен данными вдоль поверхностей, по которым происходит стыковка соседних блоков.

В этом же разделе приведены данные по оценке эффективности параллелизации вычислений для задачи течения жидкости в кубической полости с движущейся верхней крышкой и задачи обтекания круглого цилиндра. В среднем, достигнутая эффективность параллелизации составляет около 0,9 (по опытам расчетов с числом процессов до 24-х).

Раздел 2.4 посвящен реализации многосеточных вычислений. Приведен алгоритм метода, основанный на схеме полной апроксимационной памяти для решения нелинейных задач. Рассмотрены разновидности многосеточных алгоритмов: V-, W- и F-циклы, а также различные варианты операторов ограничения и пролонгации как для двумерных, так и для трехмерных задач. Также рассмотрены особенности реализации алгоритма, связанные с решением уравнений для параметров турбулентности и позволяющие избежать нефизических (отрицательных) значений рассчитываемых характеристик кинетической энергии турбулентности, скорости ее диссипации и т.д.

В разделе 2.5 приводятся результаты исследований по оценке эффективности многосеточного алгоритма в сочетании с неявной итерационной схемой расчета поправок по методу приближенной факторизации, реализованной в ПК SINF. Алгоритм был протестирован при решении ряда задач теплопроводности (уравнение Лапласа) и динамики вязкой жидкости (уравнения Навье-Стокса). При этом основное внимание уделялось исследованию зависимости скорости сходимости итерационного процесса от числа многосеточных уровней.

Были рассмотрены задачи теплопроводности для квадратной области с граничными условиями первого рода на равномерной и неравномерной сетках (64x64 ячеек). Реальное ускорение (оцениваемое по сокращению времени работы компьютера) для данной задачи составило 12 раз как для равномерной, так и для неравномерной сетки.

Оценка эффективности многосеточного алгоритма при решении уравнений Навье-Стокса была проведена на примерах стационарного течения, вызванного движением крышки кубической полости при числе Рейнольдса 5000 и пограничного слоя, развивающегося на пластине при ReL~106. Для течения в каверне при использовании сетки 364x364 ячеек и восьмиуровневого многосеточного алгоритма было достигнуто реальное ускорение, составляющее около 9 раз. Для задачи пограничного слоя (использовалась сильно неравномерная сетка 128x64 ячеек) ускорение составило три раза.

В двух последующих главах представляются результаты численного моделирования турбулентных течений, полученные на основе методов DES и URANS. Относительно затратные расчеты по методу DES проводились с использованием нескольких кластерных систем: Центра высокопроизводительных вычислительных кластерных технологий СПбГПУ, Санкт-Петербургского филиала Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН и Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации РАН.

В третьей главе приводятся результаты апробации метода DES для ряда тестовых задач внешней аэродинамики.

В разделе 3.1 рассматривается задача об обтекании круглого цилиндра безграничным потоком. Вычисления по методу DES проводились для двух режимов обтекания: с отрывом либо ламинарного, либо турбулентного пограничного слоя. Случай отрыва ламинарного пограничного слоя (LS) рассматривался при числе Рейнольдса, построенном по диаметру цилиндра и скорости внешнего потока, равном 18900. Второй режим, с отрывом турбулентного пограничного слоя (TS), моделировался при числе Рейнольдса 1,4х105.

Полученные данные по интегральным характеристикам течения - коэффициентам лобового сопротивления и подъемной силы, числу Струхаля и длине рециркуляционной зоны за цилиндром, хорошо согласуются с экспериментальными данными и расчетами авторов метода DES. Полученные для обоих случаев результаты распределения коэффициента давления по поверхности цилиндра

I 1 I 1 I

-- Re=18900 (DES)

О О O-Re=20000(exp) • • • - Re=8000 (exp )

Рис. 1. Коэффициент давления по поверхности цилиндра в зависимости от угловой координаты (вариант Ьв). (•,о) - экспериментальные

данные, (-) - результаты

настоящей работы.

также достаточно хорошо согласуются с известными результатами экспериментальных измерений, особенно для случая отрыва ламинарного пограничного слоя (рис. 1).

В разделе 3.2 рассматривается задача об обтекании цилиндра квадратного сечения при числе Рейнольдса 22000. В дополнение к трехмерным расчетам по методу DES (на основе модели турбулентности Спаларта-Аллмараса) задача решалась и в двумерной постановке, для чего использовались нестационарные уравнения Рейнольдса и та же модель турбулентности.

хго Х/О

Рис 2 Распределения интенсивности пульсаций продольной (слева) и поперечной (справа) компонент скорости за квадратным цилиндром: (символы) - экспериментальные данные, (линии) - результаты настоящей работы.

В серии проведенных двумерных расчетов проводилось варьирование размера сетки, численной схемы и шага по безразмерному физическому времени. Была показана сеточная сходимость задачи, установлено, что уменьшение шага по времени и использование различных схем вычисления

конвективных потоков (не ниже второго порядка) незначительно влияет на интегральные характеристики течения. При этом наибольшие отличия от экспериментальных данных наблюдаются для протяженности рециркуляционной зоны (в расчетах протяженность получилась заниженной), в то время как число Струхаля и значения коэффициента лобового сопротивления предсказываются довольно точно.

X/D

Рис. 3. Распределение продольной

компоненты скорости за цилиндром.

цилиндром вдоль

Рис. 4. Рассчитанные по методу DES с использованием QUICK-схемы (слева) и смешанной схемы (справа) поля завихренности для течения вокруг крылового профиля при угле атаки 20 градусов.

Расчеты по методу DES показали, что его использование позволяет на сетках, имеющих порядка полумиллиона ячеек, разрешить большое число вихревых структур, образующихся в ближнем следе цилиндра. Среднеквадратичные пульсации компонент скорости в следе за цилиндром, посчитанные с использованием метода DES, хорошо согласуются с данными измерений (рис. 2). Вычисления настоящей работы дали наилучшее среди аналогичных расчетов согласие с экспериментом по распределению осредненной продольной компоненты скорости за центральной линии (рис. 3).

Задача об обтекании крылового профиля NACA 0012 рассматривается в разделе 3.3. Расчеты по методу DES на основе модели турбулентности Ментера проводились дня двух углов атаки: 20 и 45 градусов. Число Рейно-льдса, построенное по длине хорды профиля и скорости на входе, составляло 10s. Для расчета конвективных потоков использовалась схема QUICK, а также смешанная схема второго/четвертого порядка (заметим, что для получения наилучших результатов авторы метода DES рекомендуют использовать схемы более высокого порядка, вплоть до пятого). Результаты расчетов показали, что использование смешанной схемы позволяет разрешить больше Таблица1 Осредненные значения мелкомасштабных вихревых структур В

отрывной зоне над профилем, чем QUICK-схема (рис. 4). На временную эволюцию коэффициентов лобового сопротивления и подъемной силы переход от использования QUICK-схемы к смешанной схеме не оказал существенного значения.

В целом же, проведенные для профиля NACA 0012 расчеты по методу DES показали достаточно хорошее согласование с экспериментом (табл. 1) и тестовыми расчетами авторов метода.

коэффициентов сопротивления и подъемной силы для крылового профиля NACA 0012 при различных углах атаки

Эксперимент DES, расчеты настоящей работы

Угол атаки 20 градусов

<Cd> 0,30 0,32 (7%)

<CL> 0,66 0,75(11%)

Угол атаки 43 градусов

<Со> 1,12 1,13 (1%)

<CL> 1,18 1,11(6%)

Четвертая глава посвящена вопросам применения метода моделирования отсоединенных вихрей к расчетам турбулентных течений в областях с периодической геометрией.

В разделе 4.1 рассматривается течение жидкости через бесконечную периодическую решетку, составленную из расположенных поперек течения квадратных цилиндров с сечением НхН. Отношение шага решетки L к стороне цилиндра H было выбрано равным трем. Задача решалась в двух постановках: в двумерном приближении, с использованием нестационарных уравнений Рейнольдса, замкнутых согласно модели турбулентности Спаларта-Аллмараса, и в трехмерной постановке - по методу DES на основе той же модели турбулентности. Для обоих случаев проводилось варьирование размера сетки (использовались три различные сетки) и поперечного размера области: использовались области, включающие один, два и, в двумерном случае, три шага решетки (обозначаемые Ol, 02 и ОЗ соответственно). Задача решалась при числе Рейнольдса, равном ДО5 (построенном по стороне цилиндра и входной скорости).

Двумерные расчеты течения в области Ol привели к установлению стационарного течения с сильно завышенной длиной рециркуляционной зоны за цилиндром. Переход к задаче для области 02 обеспечил возможность получения нестационарного течения, при этом развившиеся колебания являются квазипериодическими. Для области 03 полученное течение имеет еще более сложный характер.

Расчеты по методу DES, в отличие от двумерных расчетов по методу URANS, позволили получить нестационарное течение уже для области Ol. Однако определенная по осредненным полям длина рециркуляционной зоны также оказалась весьма завышенной. Течение, полученное при расчетах для области 02 (рис. 5), имеет близкий к хаотичному характер: просматривается большое число дополнительных частот различной интенсивности, что в двумерных расчетах наблюдалось лишь при переходе к области ОЗ. На рис. 5 видно также, что в различные моменты времени большая часть жидкости поочередно протекает то через один, то через другой проход между соседними цилиндрами. Та же картина течения наблюдалась и при двумерных расчетах.

Что касается интегральных характеристик, то, как в двумерных, так и в трехмерных расчетах, наибольшие различия между результатами для областей Ol и 02 заключаются в длине рециркуляционной зоны за цилиндром. В отношении коэффициента лобового сопротивления результаты двумерных и

Рис. S. Результаты расчетов по методу DES для решетки квадратных цилиндров. Мгновенные поля продольной компоненты скорости (слева) и трансверсальной компоненты завихренности (справа) для области с поперечным размером в два шага оешетки.

трехмерных расчетов для областей различного поперечного размера оказались достаточно близки между собой.

В разделе 4.2 рассматривается течение несжимаемой жидкости через линейную бесконечную компрессорную решетку (рис. 6). При расчетном режиме угол входа набегающего потока (угол между вектором входной скорости и осью X, перпендикулярной к фронту решетки) составляет 55 градусов. В настоящей работе, для получения режима с развитым отрывом, расчеты проводились при угле входа 70 градусов, то есть при угле атаки 15 градусов. Число Рейнольдса, построенное по абсолютной скорости на входе и хорде профиля, полагалось равным 106. Расчеты проводились в двумерной и трехмерной постановках, с использованием методов 2D URANS и DES соответственно.

Двумерные расчеты проводились для областей, покрывающих от одного до семи межлопаточных каналов, трехмерные - от одного до трех каналов. Было получено, что, несмотря на геометрическую периодичность области, через соседние каналы жидкость протекает с разными скоростями, при этом за лопатками возникают обширные зоны обратного течения (рис. 6). Кроме ярко выраженной непериодичности решений для областей с несколькими каналами, следует отметить эффект уменьшения частоты колебаний и одновременное

, —Î2 канала,

y^UHDES.

ш

Рис. 6. Результаты расчетов в линейной компрессорной решетке, мгновенные поля продольной компоненты скорости

а)

-сх

- Су

I-1-1-'-Г"

12 16 20 безразмерное время

б)

г г

н\

I ' I I I

II I > t I ' 11 I

J Ы ч> и

№

1<| 11 *

: а f Г

ïisï!|! ,'$! ï ¡¡S Ж

ФП Ш

1—I—'—I—1—I—'—r~ 40 M 80 100 безразмерное время

—1-1-1-1---1

200 300 400

безразмерное время

Рис 7. Результаты двумерного моделирования течения через плоскую компрессорную решетку: эволюция сил, действующих на отдельную лопатку для областей с одним, двумя и шестью межлопаточными каналами, (а-в) соответственно

увеличение амплитуды сил, действующих на лопатку, по сравнению с

результатами для облети с одним каналом. В случае области, охватывающей

два канала, ведущая частота оказывается вдвое меньше. Соответственно,

амплитуда действующих на лопатку сил значительно больше, чем для области с

одним каналом (рис. 7).

В целом, сравнение сводных данных по вычисленным значениям

осредненных сил и ведущих частот для всех рассмотренных вариантов

позволило заключить следующее: при переходе от области с одним каналом к

области с двумя каналами решение по методу DES сильно изменяется, однако,

переход от двух к трем каналам на результатах почти не сказывается; при

двумерном моделировании по методу URANS необходимо, чтобы расчетная

область включала не менее трех соседних каналов.

Раздел 4.3 посвящен изучению

ШШ ЯДйр возможностей метода DES при

ШЧИЁ моделировании предотрывных режимов

{¡ИИ! ''ÎÎÊÊÊÊ течения в рабочих колесах осевых

Jt

Рис. 8 Общий вид и фрагмента сеток, использовавшихся при расчетах течения в роторе компрессора.

компрессоров, прежде всего, для условии, при которых проявляются сильные эффекты перетекания газа через концевые зазоры. На примере одиночного вращающегося ротора с 16-ю лопатками (рис. 8) было проведено сопоставление решений по методу DES со стационарными решениями уравнений

Рейнольдса, полученными на основе одной и той же модели турбулентности (Спаларта-

Аллмараса). Для предотрывных режимов, в частности, при коэффициенте расхода ф=0,35, метод RANS предсказывает продолжающуюся на большое расстояние вниз по потоку отрывную зону на периферии ротора. В решении же по методу DES обратные токи в выходном сечении ротора не наблюдаются (рис. 9), что указывает на большую интенсивность турбулентного обмена, предсказываемого на основе данного подхода. Примечательно также, что в решении по методу DES концевой вихрь вообще не формируется: процесс сворачивания вихревого слоя струи, которая образуется из-за утечки, разрушается интенсивными пульсациями потока (рис. 10).

-0.2

Рис. 9. Осредненные радиальные

распределения осевой (Vz) и окружной (Ve) скорости за рабочим колесом компрессора при ф=0,35: сравнение результатов метода DES со стационарным решением уравнений Рейнольдса (сплошные и штриховые линии соответственно).

Рис 10 Линии тока в области радиального зазора рабочего колеса осевого компрессора для ф=0,35: (слева) - стационарное решение уравнений Рейнольдса; (справа) - решение по методу DES.

Сопоставление вычисленных по двум подходам значений коэффициента повышения полного давления и приложенной к ротору нормированной мощности с экспериментальными данными показало, что метод DES позволяет существенно повысить качество расчетных предсказаний в области пониженных расходов.

В заключении кратко сформулированы основные результаты настоящей работы, которые сводятся к следующему:

1. На основе базового "конечно-объемного" программного комплекса S INF, использующего неявные итерационные схемы и блочно-структурированные сетки, реализован многосеточный алгоритм численного решения уравнений Навье-Стокса. Достигнуто существенное сокращение времени получения сошедшегося решения. В результате программной доработки комплекса обеспечена также возможность проведения высокоэффективных параллельных вычислений на кластерных системах.

2. Реализованный в программном комплексе SINF метод моделирования отсоединенных вихрей (DES) апробирован на ряде тестовых задач внешней аэродинамики, для которых характерно образование обширных зон отрыва. Полученные для этих задач осредненные поля течения и интегральные характеристики хорошо согласуются с экспериментальными результатами и расчетами других авторов, использовавших тот же подход. Тем самым обоснована возможность получения по методу DES достаточно точных результатов с использованием не только высокоразрешающих схем, но и типичных для метода конечных объемов схем пространственной дискретизации второго порядка точности.

3. Результаты проведенных тестовых расчетов турбулентного течения вокруг квадратного цилиндра не уступают по качеству данным, полученным другими исследователями методом моделирования крупных вихрей (LES) на сетках с существенно большим числом расчетных ячеек; при этом для ближнего следа за цилиндром достигнуто хорошее согласование с измерениями не только для осредненной скорости, но и для среднеквадратичных пульсаций.

4. Впервые метод моделирования отсоединенных вихрей применен для расчетов отрывных турбулентных течений через решетки разной геометрии, включая плоские и кольцевые решетки турбомашин. Результаты метода DES сопоставлены с данными расчетов на основе стационарных и нестационарных уравнений Рейнольдса (методов RANS и URANS).

5. Результаты численного моделирования течения через решетку квадратных цилиндров позволили заключить, что для проведения расчетов, как

по методу URANS, так и DES, поперечного размера области в один шаг решетки оказывается недостаточно для получения удовлетворительного решения: необходимо использовать расчетные области, покрывающие, как минимум, два шага решетки. Наибольшие отличия между решениями для областей с различным поперечным размером заключаются в длине рециркуляционной зоны за каждым цилиндром.

6. Для течения жидкости через плоскую компрессорную решетку с развитым отрывом установлено, что результаты двумерных расчетов по методу URANS для областей с одним, двумя и тремя межлопаточными каналами сильно различаются; при этом ведущая частота колебаний потока уменьшается пропорционально поперечному размеру области. При дальнейшем увеличении числа включаемых в расчет каналов результаты изменяются не столь сильно. В случае же трехмерных расчетов по методу DES сильные изменения в решении происходят только при переходе от области с одним каналом к области с двумя каналами; включение в расчет трех и более каналов оказывается избыточным.

7. Проведено сопоставление возможностей методов RANS и DES по предсказанию характеристик течения в рабочих колесах осевых компрессоров с проявлением сильных эффектов перетекания газа через концевые зазоры. Для близкого к проектному режиму работы ротора с 16-ю лопатками получено, что как метод RANS, так и DES, дают хорошее согласование с экспериментальными данными. Для предотрывного режима полученное по методу RANS решение характеризуется наличием весьма обширной зоны обратного течения в выходном сечении за ротором; при этом предсказываются значения коэффициентов повышения полного давления и мощности существенно ниже экспериментальных. В решении по методу DES зона обратного течения в выходном сечении отсутствует, а эффект общего "запирания" потока гораздо слабее, чем в решении метода RANS. Зависимости интегральных характеристик работы ротора от коэффициента расхода, рассчитанные по методу DES, хорошо согласуются с данными измерений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Якубов С.А. Численное моделирование нестационарных явлений в двумерном турбулентном течении жидкости через решетку квадратных цилиндров // Труды XIV Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева. Том 1. - Москва: Издательство МЭИ, 2003. С.125-128.

2. Smirnov Е.М., Abramov A.G., Ivanov N.G., SmirnovP.E., Yakubov S.A. DNS and RANS/LES-computations of complex geometry flows using a parallel

15

multiblock finite-volume code / in: Parallel Computational Fluid Dynamics -Advanced Numerical Methods, Software and Application (eds. Chetverushkin B. et al.). Elsevier, 2004. P.219-226.

3.Смирнов E.M., Абрамов А.Г., Зайцев Д.К., Иванов Н.Г., Смирнов П.Е., Якубов С.А. Применение параллельных вычислений для моделирования турбулентных течений в областях сложной геометрии / "Параллельные вычисления в задачах математической физики": Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции, Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2004. С. 132-141.

4. Smirnov Е., Yakubov S. URANS and DES of turbulent flow through a periodic row of bluff bodies // In: 4th European congress on computational methods in applied sciences and engineering (July 24-28,2004, Finland). Book of abstracts, P. 171.

5. Смирнов E.M., Смирнов П.Е., Якубов С.А. Метод моделирования отсоединенных вихрей в приложении к проблемам аэродинамики турбомашин // Труды XV Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева. Том 1. - Москва: Издательство МЭИ, 2005. С.20-25.

6. Якубов С.А. Метод моделирования отсоединенных вихрей в приложении к задаче турбулентного обтекания цилиндра квадратного сечения и сопоставление с решениями двумерных уравнений Рейнольдса // Труды XV Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева. Том 1. - Москва: Издательство МЭИ, 2005. С. 130-133.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 13.12.2005. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 220Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: 550-40-14 Тел./факс: 247-57-76

¿t&¿/?

-731

Оглавление.

Основные обозначения.

Введение.

1. Обзор литерату ры по тематике работы.

1.1. Моделирование течений вокруг плохообтекаемых тел.

1.1.1. Обтекание круглого цилиндра.

1.1.2. Обтекание цилиндра квадратного сечения.

1.2. Использование метода отсоединенных вихрей при расчете отрывных течений.

1.3. Ускорение расчетов.

1.3.1. Использование многосеточного метода.

1.3.2. Параллелизация вычислений.

2. Математическая модель и численный метод.

2.1. Математическая модель.

2.1.1. Определяющие уравнения.

2.1.2. Моделирование турбулентности в рамках метода решения уравнений Рейнольдса (RANS).

2.1.3. Модель турбулентности Спаларта-Аллмараса.

2.1.4. Модель турбулентности Мегггера.

2.1.5. Моделирование турбулентности в рамках метода моделирования крупных вихрей (LES) и метода моделирования отсоединенных вихрей (DES).

2.2. Численный метод и его реализация.

2.2.1. Предварительные замечания.

2.2.2. Запись определяющих уравнений в обобщенной системе координат.

2.2.3. Численная схема.

2.3. Реализация параллельных вычислений.

2.3.1. Алгоритм параллелизации.

2.3.2. Эффективность параллелизации.

2.4. Реализация многосеточных вычислений.

2.4.1. Схема полной аппроксимационной памяти для решения нелинейных задач.

2.4.2. Операторы ограничения.

2.4.3. Операторы пролонгации.

2.4.4. Особенности решения уравнений для параметров турбулентности.

2.5. Исследование эффективности реализованного многосеточного метода.

2.5.1. Решение уравнения Лапласа для квадратной и кубической областей.

2.5.2. Расчет течения жидкости в каверне с движущейся крышкой.

2.5.3. Развитие турбулентного пограничного слоя на пластине.

3. Тестовые расчеты по методу отсоединенных вихрей.

3.1. Обтекание кругового цилиндра.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Результаты расчетов.

3.2. Обтекание цилиндра квадратного сечения.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Результаты расчетов.

3.3. Обтекание крылового профиля.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Результаты расчетов.

4. Расчеты турбулентных течений в областях с периодической геометрией.

4.1. Течение через решетку квадратных цилиндров.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Результаты двумерных расчетов.

4.1.3. Результаты расчетов по методу DES.

4.2. Отрывное течение через плоскую компрессорную решетку.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Результаты двумерных расчетов по методу URANS.

4.2.3. Результаты расчетов по методу DES.

4.2.4. Сводные результаты.

4.3. Моделирование пред отрывных эффектов в рабочем колесе осевого компрессора.

4.3.1. Постановка задачи.

4.3.2. Подбор входных граничных условий.

4.3.3. Стационарные численные решения по методу RANS.

4.3.4. Расчеты по методам DES и URANS.

4.3.5. Сравнение результатов, полученных по методам DES и RANS.

Метод моделирования отсоединенных вихрей (MOB, Detached Eddy Simulation, DES), предложенный менее десяти лет назад [Spalart et al., 1997] и детально разработанный [Travin et al., 1999; Spalart, 2000; Travin et al., 2002] в последние годы для расчетов турбулентных течений с обширными отрывными зонами, вызывает все больший интерес исследователей и инженеров. Сегодня наиболее распространенные коммерческие программные пакеты (FLUENT, CFX, STAR CD) и многие коды внутреннего пользования включают DES в качестве одной из «опций» для моделирования турбулентности. Этот метод предполагает расчет пристенных слоев на основе трехмерной нестационарной формулировки осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (RANS), а удаленных от стенки слоев — по методу моделирования крупных вихрей (МКВ, Large Eddy Simulation, LES). В зоне ответственности метода LES для расчета турбулентной вязкости используется по виду та же модель турбулентности, что и в пристенных слоях, но с переопределенным линейным масштабом турбулентности, обеспечивающим необходимый уровень диссипации турбулентной энергии.

К настоящему времени в литературе накоплен достаточно обширный положительный опыт применения метода DES к внешним задачам аэродинамики [Strelets, 2001]. Однако для численного моделирования внутренних отрывных течений, включая проблемы турбомашиностроения, этот метод широко еще не использовался. Вместе с тем, для ряда важных и одновременно сложных задач аэродинамики турбомашин н турбоустановок метод DES потенциально способен обеспечить не только повышение точности предсказаний интегральных/осредненных характеристик, но и получение качественно новой информации о вихревой структуре течения и нестационарных силовых нагрузках, действующих на элементы конструкции. К таким задачам, в частности, относятся: обтекание профилированных и непрофилированных стоек в осевых или осерадиальных выхлопных диффузорах энергетических газовых турбин; течение пара в выхлопных патрубках паровых турбин, включая вопросы обтекания конструктивных элементов жесткости; сильно нерасчетные режимы течения рабочего тела через лопаточные венцы турбомашин, сопровождающиеся массивным отрывом потока от передних кромок лопаток или образованием больших отрывных пузырей; предотрывные режимы течения в рабочих колесах осевых компрессоров с проявлением сильных эффектов перетекания газа через концевые зазоры.

Задачи, актуальные для современной вычислительной гидродинамики, в частности, упомянутые выше, требуют, для моделирования с приемлемой точностью, использования сеток с достаточно большим количеством узлов, особенно для случая трехмерных расчетов. В связи с этим, проблема ускорения вычислений всегда привлекала особое внимание исследователей. Данную проблему можно разбить на две составляющие: ускорение сходимости итерационного процесса решения дискретизированных задач и ускорение собственно вычислений за счет эффективного использования современной вычислительной техники (применение новейших компьютеров, суперкомпьютеров, параллелизации вычислений). Прогресс в ускорении сходимости итераций требует внедрения специальных алгоритмов, обладающих, как правило, достаточно сложной логикой расчета и трудностью реализации, а ускорение счета предполагает привлечение новейших, часто дорогостоящих вычислительных ресурсов и своевременное их обновление. Естественно, наиболее эффективным с точки зрения уменьшения временных затрат будет согласованное использование обоих подходов.

Среди итерационных методов наибольший эффект ускорения сходимости позволяет получить многосеточный метод, а наиболее экономически привлекательным и сегодня уже весьма распространенным способом ускорения счета является параллелизация процесса вычислений с использованием кластерных систем.

Исходя из изложенных соображений, определены основные цели работы. Диссертационная работа направлена на:

- реализацию многосеточного алгоритма численного решения уравнений гидродинамики и реализацию параллельных вычислений на основе базового программного комплекса S INF, а также на проведение тестовых расчетов по оценке эффективности реализованных методик;

- апробацию реализованного в программном комплексе S INF метода моделирования отсоединенных вихрей на ряде тестовых задач и на исследование влияния выбора численной схемы;

- численное исследование отрывных турбулентных течений в решетках, включая изучение вопроса о влиянии на решение поперечного размера расчетной области (числа каналов), анализ вихревой структуры течения в области концевых зазоров и оценку эффективности метода DES для рассматриваемого круга задач.

Первая глава диссертации посвящена обзору литературы по задачам обтекания плохообтекаемых тел, в частности, по обтеканию цилиндров круглого и квадратного сечений - базовых задач для тестирования методов DES и LES. Также приведен обзор метода моделирования отсоединенных вихрей, рассмотрены области его применения и перспективы использования для задач внутренней аэродинамики. Третья часть главы посвящена обзору возможностей по ускорению расчетов — рассматриваются способы параллелизации задачи, а также ускорение вычислений с помощью многосеточного алгоритма решения уравнений гидродинамики.

Во второй главе дается изложение математической модели и численного метода, на основе которого были проведены расчеты (все задачи рассматриваются в работе в рамках модели несжимаемой ньютоновской жидкости с постоянными физическими свойствами). Излагаются вопросы реализации замыкающих моделей метода RANS (модели турбулентности Спаларта-Аллмараса и Ментера), LES (модель Смагоринского) и метода DES (на основе моделей турбулентности Спаларта-Аллмараса и Ментера) в использованном для расчетов программном "конечно-объемном" комплексе SINF. второго порядка точности rio времени и пространству.

В третьей главе проводятся результаты апробации метода DES для ряда тестовых задач внешней аэродинамики. Одним из важнейших тестов при численном моделировании отрывных течений является задача о турбулентном обтекании неограниченного по длине цилиндра. Приводятся результаты ряда расчетов по моделированию обтекания круглого и квадратного цилиндра, включая исследование сеточной сходимости задачи и сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, а также результаты численного моделирования задачи об обтекании крылового профиля NACA 0012. Проводится сравнение результатов, полученных по методу DES для двух углов атаки с расчетами других авторов и с экспериментальными данными.

В четвертой главе излагаются постановки задач и результаты применения метода моделирования отсоединенных вихрей к расчетам турбулентных течений в областях с периодической геометрией. В качестве первой, модельной задачи рассмотрено течение жидкости через решетку квадратных цилиндров. Исследуются вопросы выбора поперечного размера области, другими словами, числа включаемых в расчет шагов решетки. В качестве примера сильно нерасчетного режима работы лопаточного венца турбомашины рассмотрено течение в плоской компрессорной решетке при большом положительном угле атаки. Здесь также проводится исследование зависимости решения от выбранного числа межлопаточных каналов. Возможности метода DES для расчета предотрывных режимов течения в рабочих колесах осевых компрессоров, с проявлением сильных эффектов перетекания газа через концевые зазоры, исследуются на примере одиночного ротора с 16-ю лопатками. Полученные данные сопоставляются с результатами расчета по методу RANS и с экспериментальными измерениями.

В заключении представлены основные результаты и выводы, полученные в работе.

Основные выводы по диссертационной работе сводятся к следующему:

1) На основе базового "конечно-объемного" программного комплекса SINF, использующего неявные итерационные схемы и блочно-структурированные сетки, реализован многосеточный атгоритм численного решения уравнений Навье-Стокса. Достигнуто существенное сокращение времени получения сошедшегося решения (в 3 раза и более). В результате программной доработки комплекса, обеспечена также возможность проведения высокоэффективных параллельных вычислений на кластерных системах.

2) Реализованный в программном комплексе SINF метод моделирования отсоединенных вихрей (DES) апробирован на ряде тестовых задач внешней аэродинамики, для которых характерно образование обширных зон отрыва: круглый и квадратный цилиндр в безграничном потоке, аэродинамический профиль при большом угле атаки. Полученные для этих задач осредненные поля течения и интегратьные характеристики хорошо согласуются с экспериментальными результатами и расчетами других авторов, использовавших тот же подход. Тем самым обоснована возможность получения по методу DES достаточно точных результатов с использованием не только высокоразрешающих схем, но и типичных для метода конечных объемов схем пространственной дискретизации второго порядка точности.

3) Результаты проведенных тестовых расчетов турбулентного течения вокруг квадратного цилиндра не уступают по качеству данным, полученным другими исследователями методом моделирования крупных вихрей (LES) на сетках с существенно большим числом расчетных ячеек. При этом для ближнего следа за цилиндром достигнуто хорошее согласование с измерениями не только для осредненной скорости, но и для среднеквадратичных пульсаций.

4) Впервые метод моделирования отсоединенных вихрей применен для расчетов отрывных турбулентных течений через решетки разной геометрии, включая плоские и кольцевые решетки турбомашин. Результаты метода DES сопоставлены с данными расчетов на основе стационарных и нестационарных уравнений Рейнольдса (методов RANS и URANS).

5) Результаты численного моделирования турбулентного течения через решетку квадратных цилиндров позволили заключить, что для проведения расчетов, как по методу URANS, так и DES. поперечного размера области в один шаг решетки оказывается недостаточно для получения удовлетворительного решения. Сколько-нибудь близкие к реальным результаты можно получить, если использовать расчетные области, покрывающие, как минимум, два шага решетки. Наибольшие отличия между решениями для областей с различным поперечным размером заключаются в длине рециркуляционной зоны за цилиндром. Значение же коэффициента лобового сопротивления оказывается менее чувствительным к изменению поперечного размера области.

6) Для течения жидкости через плоскую компрессорную решетку с развитым отрывом установлено, что результаты двумерных расчетов по методу URANS для областей с одним, двумя и тремя межлопаточными каналами сильно различаются; при этом ведущая частота колебаний потока уменьшается пропорционально поперечному размеру области. При дальнейшем увеличении числа включаемых в расчет каналов результаты изменяются не столь сильно, по крайней мере, в отношении действующих на лопатку осредненных сил и ведущей частоты колебаний потока.

В случае же трехмерных расчетов по методу моделирования отсоединенных вихрей было получено, что сильные изменения в решении происходят только при переходе от области с одним каналом к области с двумя каналами; включение в расчет трех и более каналов оказывается избыточным.

7) Проведено сопоставление возможностей методов RANS и DES по предсказанию характеристик течения в рабочих колесах осевых компрессоров с проявлением сильных эффектов перетекания газа через концевые зазоры. Для близкого к проектному режиму работы ротора с 16-ю лопатками получено, что как метод RANS, так и DES, дают хорошее согласование с экспериментальными данными для осредненного течения, а также для коэффициентов повышения полного давления и мощности па валу. Для предотрывного режима полученное по методу RANS решение характеризуется наличием весьма обширной зоны обратного осевого течения в выходном сечении за ротором; при этом предсказываются значения коэффициентов повышения полного давления и мощности существенно ниже экспериментальных. Метод DES дает существенно отличную от метода RANS картину осредненного течения на больших радиусах и в окрестности концевого зазора. В решении DES зона обратного течения в выходном сечении отсутствует, а эффект общего "запирания" потока гораздо слабее, чем в стационарном решении метода RANS. Зависимости интегральных характеристик работы ротора от коэффициента расхода, рассчитанные по методу DES, хорошо согласуются с данными измерений.

Заключение

1. Андерсон В.К., Томас Дж.Л., Уайтфшд Д.Л. Ускоренный многосеточный метод с использованием расщепления потоков для уравнений Эйлера // Ж. Аэрокосмическая техника, 1989. № 6. - Стр. 15-23.

2. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор // ЖВМ и МФ, 1966. — Т.6, №5. — С. 861884.

3. Брандт А. Расчеты многосеточным адаптивным методом в гидродинамике // Ж. Ракетная техника и космонавтика, 1980. № 10. - С. 18-29.

4. Ваи-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа / М.: Мир, 1986 184 с.

5. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости / Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, 1966.-С. 186-192.

6. Вольп Г. Многосеточная приближенно факторизованная схема для расчета обтекания двухэлементных профилей // Ж. Аэрокосмическая техника, 1988. № 5. -С. 3-12.

7. Головачев Ю.П., Колешко С.Б. Численные методы решения уравнений динамики жидкости и газа / Уч. пособие. Л.: изд. НГ1РО ГИПХ, 1988. 126 с.

8. Гхиа У., Рамамурти Р., Гхиа К.Н. Решение задачи Неймана для давления на ортогональной сетке с помощью многосеточного метода // Ж. Аэрокосмическая техника, 1989.-№ 7. С. 3-14.

9. Девнин С.И. Аэродинамический расчет плохообтекаемых судовых конструкций / Л: Судостроение, 1967. 223 с.

10. ХЪ.Кофи Д. А. Многосеточный неявный метод для уравнений Эйлера с диагонализцией блочных матричных элементов // Ж. Аэрокоемическая техника, 1989.-№ 6.-Стр. 3-15.

11. Лаборатория параллельных информационных технологий НИВЦ МГУ, http://parallel.ru.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / М.: Наука, 1973. 848 с.

13. Хб.Мэвриплис Д. Дж. Решение двумерных уравнений Эйлера многосеточнымметодом на неупорядоченных триангулярных сетках // Ж. Аэрокосмическая техника, 1989.-№6.-Стр. 31-41.

14. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / М.: Мир, 1980, 616 с.

15. Смирнов Е.М., Зайцев Д.К. Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии // НТВ СПбГПУ, 2004. №2(36). - С.70-81.

16. Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур М.Л., Спаларт Ф.Р. Метод моделирования отсоединенных вихрей для расчета отрывных турбулентных течений: предпосылки, основная идея и примеры применения // НТВ СПбГПУ, 2004. -№2(36). С.22-33.

17. Травин А.К. Численное моделирование турбулентного обтекания цилиндра при докритических числах Рейнольдса // Вестник молодых ученых, 1997. №1. - С. 62-71.

18. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ, 1961. Т. 1, №5. - С. 922-927.

19. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса // ЖВМ и МФ, 1964. Т.4, №3. - С. 559-564.

20. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости / М.: Мир, 1991. — Т. 1. -502 с.

21. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости / М.: Мир, 1991. Т. 2. -552 с.

22. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / М.: Наука, 1974 712 с.

23. Ahuja V., Deshpande M. Practical applications of parallel processing in computational fluid dynamics //AIAA Journal, 1997. P. 1036-1048.

24. Bcilcichandar S., Parker S. J. Onset of vortex shedding in an inline and staggered array of rectangular cylinders // J. Physics of Fluids, 2002. Vol.14, N. 10. - P. 3714-3732.

25. Bailey S.C.C., Kopp G.A., Martinuzzi R.J. The irregular vortex shedding regime for a square cylinder wake near a wall // Turbulence and Shear Flow Phenomena. 2nd Int. Symposium, 2001. Vol. 3. - P. 101- 106.

26. Brandt A. Guide to multigrid development / Multigrid Methods (Hackbusch, W. and Trottenberg, U. (eds.)). Springer, 1982. P. 220-312.

27. Braza M. The 3D transition to turbulence in wake flows by means of direct numerical simulation // Int. J. Turbulence and Combustion, 1999. Vol. 63. - P. 315-341.

28. Cantwell B„ Coles D. An experimental study of entrainment and transport in the turbulent near wake of a circular cylinder // J. Fluid Mech., 1983. Vol. 136. - P.321-374.

29. Chen K.H. A diagonally-dominant coupled strongly implicit procedure for 3D viscous flows / In: Proc. 1st Asian CFD Conference. Hong Kong, 1995. P. 325-333.

30. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems / J. Comput. Phys, 1967.-Vol. 2.-P. 12-26.

31. Cummings R.M., Morton S.A., Forsythe J.R. Detached eddy simulation of slat and flap aerodynamics for a high-lift wing // AIAA Paper 2004-1233, 2004. 14 P.

32. Dick E., Steelant J. Multigrid solution of steady compressible Navier-Stokes equations coupled to the k-e turbulence equations // AIAA paper 95-1669-CP, 1995.

33. Durao D.F.G., Heitor M.V., Pereira J.C.F. Measurements of turbulent and periodic flows around a square cross-section cylinder // J. Exp. Fluids, 1988. Vol. 6. - P. 298304.

34. Edwards J.R. An implicit multigrid algorithm for computing hypersonic chemically reacting viscous flows // Journal of computational physics, 1996. Vol. 123. - P. 84-95.

35. AX.Franke R., Rodi W. Calculation of vortex shedding past a square cylinder with various turbulence models // 8-th Turbulent Shear Flows Symposium. Munich, 1991.

36. Hansen R.P., Forsythe J.R. Large and detached eddy simulation of a circular cylinder using unstructured grids // AiAA Paper 2003-0075, 2003.

37. АЪЛпоие M, Kuroumaru M„ Fukuhara M. Behavior of tip leakage flow behind an axial compressor rotor // ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 1986. -Vol. 108.-P. 7-14.

38. Jameson A. Solution of the Euler equations by a multigrid method // J. Applied Mathematics and Computation, 1983. Vol.13. - P. 327-356.

39. Kapadia, S., Roy S., Heidmann J. Detached eddy simulation on turbine blade cooling // AIAA Paper 2003-3632. 2003. 11 P.

40. AR.Khalid S.A., Khalsa A.S., Waitz LA., Tan C.S., Greitzer E.M., Cumpsty N.A., Adamczyk J.J., Marble F.E. Endwall blockage in axial compressors // ASME Journal of Turbomachinety. 1999.-Vol. 121.-P. 499-509.

41. Kordulla W., Vinokur, M. Efficient computation of volume in flow predictions // AIAA Journal, 1983. Vol. 21. - P. 917-918.

42. Kroll N., Radespiel R., Rossow C. Accurate and efficient flow solvers for 3D applications on structured meshes // von Karman institute for Fluid Dynamics, lecture series 1994-05, 1994.

43. Kwak D., Chang J.L.S., Shanks S.P., Chakravarthy S.R. A three-dimensional incompressible Navier-Stokes flow solver using primitive variables // AIAA Journal, 1986. Vol. 24. - P.390-396.

44. Lakshmirayana В., Zaccaria hi., Marathe B. The structure of tip clearance flow in an axial How compressor// ASME J. Turbomachinety, 1995. Vol. 117. - P. 336-347.

45. Laurence D. Large eddy simulation of industrial flows / Closure strategies for turbulent and transitional flows (eds. Launder B. and Sandham N.). Cambridge Univ. Press, 2000. -P. 392-406.

46. Leonard A. Energy cascade in large eddy simulations of turbulent fluid flows // Adv. In Geophys, 1974. Vol. 18A. - P. 237.

47. Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng, 1979. Vol. 19. - P. 5998.

48. Lien F.S., Leschziner M.A. Multigrid acceleration for recirculating laminar and turbulent flows computed with a non-orthogonal, collocated finite-volume scheme // UMIST report TFD/93/11, 1993.

49. Lyn, D.A., Rodi, W. The flapping shear layer formed by flow separation from the forward corner of a square cylinder // J. Fluid Mech., 1994. N. 267. - P. 353-376.

50. Magidov D., Shur M., Strelets M., Travin A. / Final report under research agreement with GE Global Research Center, 2003.6\.Martinelli L., Jameson A. Validation of a multigrid method for the Reynolds averaged equations. AIAA paper 88-0414, 1988.

51. Menter F.R. Zonal two-equation k-omega turbulence model for aerodynamic flows // AIAA Paper 1993-2906, 1993.

52. Menter F.R., Kuntz A/., Langtry R. Ten years of industrial experience with the SST turbulence model / Turbulence, Heat and Mass Transfer 4 (Hanjalic K., Nagano Y., Tummers M. (eds)), Beggel House, Inc., 2003. 8 P.

53. MPI Standard v. 1.1, June 1995, by Message Passing Interface Forum.

54. Nakamura //., Igarashi T. Unsteady heat transfer from a circular cylinder for Reynolds numbers from 3000 to 15000 / Turbulent Heat and Mass Transfer 4 (Hanjalic K., Nagano Y. and Timmers M. (eds.)), Beggel House, Inc., 2003. 8 P.

55. Oosterlee C.W., Wesseling P. On the robustness of a multiple semi-coarsened grid method // J. ZAMM Z. Angew. Math. Mech, 1995. №4. - P. 251-257.

56. Radespiel R., Rossow C., Swanson R. C. An efficient cell-vertex multigrid scheme for the three-dimensional Navier-Stokes equations. AIAA paper 89-1953, 1989.

57. Reddy T.S.R., Srivastava R.r Mehmed O. Flutter and forced response analyses of cascades using a two-dimensional linearized Euler solver // NASA/TM-1999-209633, 1999.

58. Motlelling and Measurements (eds. Rodi, W. and Laurence, D.). Elsevier, 1999. P. 669-678.

59. Sivaloganathan S., Shaw G.J. A multigrid method for recirculating flows // J. Numerical methods in fluids, 1988. Vol. 8. - P. 417-440.

60. Sirakov T.B., Tan C. S. Effect of upstream unsteady flow conditions on rotor tip clearance //ASME-Paper GT-2002-30358, 2002. P. 1-11.

61. Smagorinsky J. Numerical study of small-scale intermittency in three-dimensional turbulence // Mon. Weather Rev. 1963. Vol. 91. - P. 99-164.

62. Smirnov E.M. Numerical simulation of turbulent flow and energy loss in passages with strong curvature and rotation using a three-dimensional Navier-Stokes solver / Department of Fluid Mechanics. Vrije Universitet, Brussel, 1993. 122 P.

63. Smirnov E.M. Solving the Full Navier-Stokes Equations for Very-Long-Duct Flows Using the Artificial Compressibility Method / ECCOMAS-2000, Barcelona, Spain (CD-ROM publication), 2000. 17 P.

64. Spalart, P.R., Jou, W.-H., Strelets, M., Allmaras, S.R. Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach / Advances in DNS/LES, C. Liu and Z. Liu eds., Greyden Press, Columbus, OH, 1997. P. 137-147.

65. Spalart, P.R. Strategies for turbulence modelling and simulations // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2000. Vol. 21. - P. 252-263.

66. Strelets M. Detached eddy simulation of massively separated flows // AIAA Paper 20010879, 2001.- 18 P.

67. Tamura T., Ono Y. LES analysis on aeroelastic instability of prisms in turbulent flow / J.

68. Wind engineering and industrial aerodynamics, 2003. Vol. 91. - P. 1827-1846.- 143, 96. Travin, A., Shur, A/., Strelets, M, Spalart, P.R. Detached-eddy simulations past a circular cylinder// Int. J. Turbulence and Combustion, 1999. Vol. 63. - P. 293-313.

69. Vatsa V.N., Singer B.A. Evaluation of a second-order accurate Navier-Stokes code for detached eddy simulation past a circular cylinder // AIAA Paper 2003-4085, 2003.21st AIAA Applied Aerodynamics Conference. Florida, 2003. 10 P.

70. Verdon J. V., Montgomery M.D., Kousen, K.A. Development of a linearized unsteady Euler analysis for turbomachinery blade rows // NASA CR 4677, 1995.

71. Vinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws. J. Comput. Phys., 1989. Vol. 81. - P. 1-52.

72. Yokuda S., Ramaprian B.R. The dynamics of flow around a cylinder at subcritical Reynolds numbers // Phys. Fluids A., 1990. Vol. 2 (5). - P.784-791.

73. Yoon S„ Chao Y.K., Jameson A. An LU-SSOR scheme for the Euler and Navier-Stokes equations // AIAA paper 87-0599, 1987.

74. Zaitsev D.K. Numerical simulation of turbulent particle laden flows using lagrangian modelling of dispersed phase behaviour / Department of Fluid Mechanics, Vrije Universitet, Brussel, 1996. 114 P.

75. Zhu Z.W., Hirsch Ch. Validation of turbulence models on the transonic flow around the F4 wing/body configuration with multigrid acceleration // Final report for ECARP project, 1995.

76. Zhu Z. W. Multigrid operation and analysis for complex aerodynamics / Ph.D. Thesis, (Dept. of Fluid Mechanics Vrije Universiteit Brussel), 1996. 171 P.