Метод мультипольных разложений в задачах теории упругости для плоскости с круговыми отверстиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
Мокряков, Вячеслав Викторович
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт проблем механики
МЕТОД МУЛЬТИПОЛЪНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ С КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
01 02 04 - Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
□□3168921
Москва-2008
003168921
Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук
Научный руководитель
Официальные оппоненты
Ведущая организация
доктор физико-математических наук, профессор Гольдштейн Роберт Вениаминович (Институт проблем механики Российской академии наук)
доктор физико-математических наук, профессор Бураго Николай Георгиевич (Институт проблем механики Российской академии наук)
доктор физико-математических наук, профессор Линьков Александр Михайлович (Институт проблем машиноведения Российской академии наук)
Кафедра теории пластичности механико-математического факультета Московского государственного университета им МВ Ломоносова
Защита состоится 5 июня 2008 г в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 002 240 01 при Институте проблем механики Российской академии наук по адресу 119526, Москва, пр-кт Вернадского, д 101, кори 1
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики Российской академии наук
Автореферат разослан 5 мая 2008 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002 240 01 при ИПМех РАН, кандидат физико-математических наук
ЕЯ Сысоева
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертация посвящена исследованию полей напряжений, создаваемых круговыми отверстиями в упругой плоскости, находящейся под воздействием нагрузок на бесконечности Предложен метод представления полей в виде ряда базовых решений уравнения упругости - мультиполей
Актуальность темы. Один из важнейших предметов исследования теории разрушения - поведение полей напряжений в окрестности концентраторов дефектов и неоднородностей среды, полостей и включений Широкое практическое приложение имеют задачи о концентрации напряжений возле пор и отверстий в конструкциях и материалах, нередко их можно свести к плоским задачам об упругой плоскости с отверстиями К таким задачам можно отнести, например, задачи о туннелях, скважинах, перфорированных пластинах
В последнее время все больший интерес вызывают материалы, содержащие мезостругауры пор ("сверхрешетки"), как природные (цеолиты), так и возникающие при различных процессах обработки, таких как радиационное облучение, травление, и др В электронике все более популярными, прежде всего, из-за их уникальных свойств, становятся фотонные кристаллы и пористый кремний Под воздействием механических нагрузок, градиентов температур, в них могут возникать дефекты, трещины, что негативно сказывается на характеристиках материала
Поле напряжений вокруг одиночного круглого отверстия в плоскости при произвольном нагружении хорошо изучено, известно точное аналитическое решение для произвольной нагрузки на поверхности поры и на бесконечности Это решение можно применять на практике при достаточно редко расположенных в материале порах Однако, если характерное рассто-
яние между порами не превышает нескольких их диаметров, то их влияние друг на друга вносит значительные искажения в поля напряжений в их окрестностях
Уже для двух отверстий аналитическое решение задачи представляет собой серьезную проблему Для некоторых частных случаев (два отверстия в плоскости при всестороннем нагружении, одноосных нагружениях вдоль и поперек оси, соединяющей центры отверстий) с помощью биполярной системы координат получено аналитическое решение в виде гиперболиче-ско-тригонометрических рядов К сожалению, в общем случае нагружения применение данного метода представляется затруднительным
Из-за сложности аналитического решения подобных задач приходится применять численные методы, такие как, например, метод граничных элементов Однако известно, что на круговых контурах такие методы могут давать ложные решения из-за высокой степени симметрии контура (так называемый "парадокс симметрии" - Линьков А М "Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости", §72)
Таким образом есть потребность в численных методах, позволяющих устранить указанные трудности, и при этом точно и эффективно строить поля напряжений в среде и исследовать их особенности точки концентрации, асимптотику на расстоянии, зависимость от геометрических параметров системы
Цели работы. 1) Разработка численного метода решения задач теории упругости для плоскости с круговыми отверстиями, позволяющего
- в точности учитывать геометрию поставленной задачи,
- в точности удовлетворить уравнениям теории упругости,
- отказаться от разбиения как контура, так и среды на конечные элементы
2) Апробация метода на задачах с известным решением
3) Создание алгоритма решения задач теории упругости с помощью разработанного метода и его программная реализация
4) Демонстрация применения данного метода для решения ряда задач теории упругости и исследование полученных результатов
Методика исследования Представленные в диссертации исследования опираются, в первую очередь, на теорию упругих комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили и теорию сингулярных граничных интегральных уравнений При этом используются результаты и методы теории аналитических функций, функционального анализа, теории разрушения
Научная новизна. Разработан новый метод представления полей, создаваемых концентраторами напряжений в упругой плоскости - метод мупьтипольных разложений На его основе разработан численный метод решения поставленных задач теории упругости, не нуждающийся в разбиении контуров, в точности учитывающий геометрию задачи и автоматически удовлетворяющий уравнению упругости Предложен критерий точности полученного решения - по величине функционала интегральной квадратичной невязки Программно реализован алгоритм, позволяющий с использованием разработанного метода строить поля напряжений, создаваемые заданной группой круговых отверстий и двояко-периодической решеткой одинаковых круговых отверстий Программа также позволяет в процессе расчета менять алгоритм минимизации интегральной невязки и количество членов разложения, что дает возможность динамически повышать точность расчетов, если она недостаточна, или напротив, ограничиться минимально необходимым количеством членов разложения для достижения достаточной точности Также рассмотрены некоторые теоретические вопросы, касающиеся мультипольного разложения Кроме того, исследовано по-
ведение концентрации напряжений при изменении геометрических параметров системы отверстий и установлено, что в некоторых случаях она может быть меньше, чем концентрация на одиночном отверстии
Практическая значимость. Результаты работы представляют теоретический и практический интерес как для механики деформируемого твердого тела, так и для теории разрушения в частности, и могут быть использованы в инженерной практике при расчете запаса прочности конструкции и величины концентрации напряжений на круговых отверстиях
Диссертация выполнялась в рамках плановой тематики Института проблем механики Российской академии наук, ее результаты включались в отчеты по проектам, входящим в Программу фундаментальных исследований Президиума РАН «Исследование вещества в экстремальных условиях», направление «Физика и механика сильно сжатого вещества и проблема внутреннего строения Земли и планет», гранты Президента РФ по поддержке ведущих научных школ России НШ-1849 2003 1, НШ-4472 2006 1
Достоверность полученных результатов в рамках рассматриваемых механических моделей обеспечивается применением строгого математического аппарата при построении и анализе решений поставленных задач Она основывается также на практических оценках точности выполняемых машинных вычислений, контроле точности найденного напряженного состояния посредством оценки величины функционала интегральной квадратичной невязки, тестировании разработанной программы на задачах с известным решением, полученным другими исследователями посредством иных численных методов, сопоставлении получаемых в частных случаях результатов с заранее известными Также достоверность полученных результатов подтверждается проведенными экспериментами и сравнением результатов экспериментов с результатами численного моделирования
Апробация работы. Результаты диссертации представлены на Международной Молодежной Научной Конференции «XXX Гагаринские чтения» (Москва, 2004), Международной Молодежной Научной Конференции «XXXII Гагаринские чтения» (Москва, 2006), на Семинарах по механике прочности и разрушения в Институте проблем механики РАН, а также на совместном заседании Семинара по динамике сплошной среды под руководством академика А Г Куликовского, профессора В Н Кукуджанова и профессора И В Симонова и Семинара по механике прочности и разрушения под руководством профессора РВ Гольдштейна, состоявшегося в ИПМех РАН 31 октября 2007 г
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы Полный объем диссертации вместе с иллюстрациями составляет 136 страниц Из них 5 занимает список литературы содержащий 56 наименований Общее количество иллюстраций - 70
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обсуждается тематика предпринятых в диссертации исследований и обосновывается их аюуальность Проводится краткий обзор важнейших работ, посвященных решению задач для упругой плоскости с отверстиями и близких к ним по тематике Приводятся основные трудности решения этих задач Описываются структура и содержание диссертации
В Главе 1 основные положения метода мультипольного разложения выводятся при решении задачи о двух взаимодействующих отверстиях в напряженной плоскости С помощью метода решена модельная задача, результаты согласуются с опубликованными данными Также исследована
концентрация напряжений на отверстиях при их различном расположении, определены вероятные сценарии разрушения
! I
Фиг 1
В п. 1.1 дается постановка задачи о двух одинаковых отверстиях в упругой плоскости (фиг 1) Радиус отверстий полагается единичным, края отверстий свободны от нагрузок На бесконечности плоскость подвергается двухосному нагружешш Требуется найти смещения на краях отверстий, распределение полей напряжений и деформаций в среде Также требуется найти наиболее вероятные точки зарождения трещин и ориентацию отверстий (по отношению к нагрузке), при которой возникновение трещин наиболее вероятно
В п. 1.2 выведены основные уравнения задачи Поле напряжений ищется в виде комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили в их выражении через функцию смещений
Используя симметрию задачи, выражение для функционалов сводится к следующему выражению, зависящему только от одной функции g(t) (1 = е"-точка, принадлежащая контуру)
1
Ф(2)=£±£ + _1Г 4 2л [
2 2 к*
1
/ + 20 + г 1 1
г + г0 + 2
-ё
2п '2л
1 1
- + -
О)
1 1
¡ь+ъъ'т+в+г
Граничное условие (П*
Ф((')+ Ф ((')+ "77 В'ф40+ о, (Г1' - точка на контуре)
ш
с учетом (1) преобразовано в сингулярное интегральное уравнение
(2)
где ядра
1 72 -+—
/-< Г г / + /+2г0 г+г+2г0 ¿(Г+210)
1
г + ('+22„
Г-Г-
Г+Г+2г0 (Г+Г+220)2 (Г + 2г0У и свободный член
2 2
В п. 1.3 предложен численный метод решения поставленной задачи Чтобы обойти "парадокс симметрии" нужно, чтобы представление искомой функции (как и основное уравнение) не было связано с определенными точками на контуре
Таким представлением может быть разложение по степеням /
*'(<)= |>/ (3)
Уравнение (2) в этом случае сводится к
где ядра суммирования
2Л 2 2Я £
Введена функция невязки
В качестве критерия точности численного решения {#„} выбран функционал интегральной квадратичной невязки
Точному решению соответствует
Доказано, что если <?(£„,?') также разложить в ряд
<?&/)= Ёс/*
то в силу взаимной ортогональности функций 1к на единичной окружности
|2
Таким образом показано, что (2) равносильно системе Далее приведены значения Ск для поставленной задачи
В п. 1.4 получены формулы, выражающие смещения на контуре через найденное решение
Показано, что каждому g„ соответствует определенный тип деформации отверстия, имеющий вполне определенный физический смысл Так, Яе go соответствует вращению контура, как единого целого, причем другие члены вклад во вращение не дают Аналогично, компонента 1т go (и только она) описывает всестороннее расширение (сжатие) контура Члену при g.2 соответствует деформация чистого сдвига Вместе эти члены дают решение для одиночного отверстия в плоскости
Члену при £.4 соответствует квадрупольная деформация, и вообще, каждому g.n соответствует мультипольная деформация и-го порядка Отмечено, что каждому g-n (п > 2) соответствует сопряженный ему член gn.2, который позволяет выделить из и-го члена отдельно действительную и мнимую компоненты Например, комбинируя 0-й и -2-й члены можно получить одноосную деформацию вдоль любой из координатных осей
Особо выделен коэффициент g ь которому соответствует дислокационно-подобная деформация Отмечено, что это единственный член, дающий разрыв смещений Таким образом, при любых граничных условиях возможно вычислить исходя только из условия совместности (но только его)
Таким образом показано, что разложение функции, заданной на единичной окружности, в степенной ряд относительно центра окружности фактически является разложением по мультиполям
,. /А + к)
В п. 1.5 введены критерии возникновения трещин разрыва и сдвига, приведены выражения для первого главного и максимального сдвигового напряжений
В п. 1.6 для проверки работоспособности метода с его помощью была решена модельная задача о вертикальном растяжении плоскости с парой одинаковых отверстий, контуры которых свободны от нагрузки Для различных расстояний между отверстиями были получены распределение окружного напряжения вдоль контура, для горизонтального и вертикального расположения отверстий, зависимость коэффициента концентрации напряжений на отверстиях от ориентации пары отверстий относительно направления приложенной нагрузки Результаты расчетов согласуются с результатами, полученными и опубликованными другими исследователями
В п. 1.7 метод мультипольных разложений применен для решения задачи о вертикальном сжатии Построены поля напряжений для вертикального, горизонтального и диагонального расположений отверстий Также исследовано поведение концентрации растягивающих и сдвиговых напряжений на контуре при изменении геометрических параметров системы Продемонстрировано, что хотя взаимовлияние отверстий, как правило, приводит к увеличению концентрации напряжений, в некоторых случаях, напротив, наблюдается ее снижение, те разгрузка среды
Также метод опробован на решении задачи Кирша для одиночного отверстия при тех же условиях Результаты совпали с известным аналитическим решением Также, полученное поле максимального сдвига соответствует экспериментально полученной картине интерференционных полос
В п. 1.8 проводится сравнение результатов экспериментов по разрушению тел с отверстиями с результатами численного моделирования, полученными с применением метода мультипольных разложений
Эксперименты проведены в ИПМех РАН в рамках Программы фундаментальных исследований Президиума РАН П-09 "Исследование вещества в экстремальных условиях", Подпрограмма "Физика и механика сильно сжатого вещества и проблемы внутреннего строения Земли и планет" (проект "Механика структурированных сред и горных пород в условиях высокого давления", руководитель проекта зав лаб ИПМех РАН, проф д ф -мн РВ Гольдштейн) Эксперименты проведены снс,кф-мн ЮВ Купиничемиснс,ктн НМ Осипенко
Испытания проводились на ИС ТНН - испытательной системе трехосного наравнокомпонентного нагружения, разработанную в ИПМех РАН Отличительная особенность системы - возможность независимого нагружения образцов по трем перпендикулярным осям и реализации сложных траекторий нагружений
Образцы представляют собой кубы из песчаника со стороной 5 см В каждом образце просверлено два отверстия диаметром 8 мм, расстояние между центрами отверстий составляет 16 мм Образцы были подвергнугы постепенно возрастающему сжатию (соотношение по осям выдерживалось о, а2 о3 = 0 2 0 5 1, при этом оси отверстий были ориентированы параллельно оси Ох2, таким образом поддерживалось плоское напряженно-деформированное состояние), до начала разрушения После этого изъятые образцы были залиты эпоксидной смолой и распилены Сечение образцов было зашлифовывало и изучено
Исследованные структуры разрушения были разделены на два класса - отколы на краях отверстий и трещины сдвига Вид и расположение обоих типов структур разрушения согласуется с данными численного моделирования
В п. 1.9 подведены итоги проведенных в Главе 1 исследований
В Главе 2 метод мультипольных разложений применен для решения задачи о двояко-периодической решетке отверстий в упругой плоскости Исследовано поведение концентрации напряжений в решетке в зависимости от периодов решетки и ее ориентации относительно приложенных нагрузок
Фиг 2
В п. 2.1 дается постановка задачи о бесконечной двояко-периодической решетке одинаковых отверстий в упругой плоскости (фиг 2) Радиус отверстий также полагается единичным, края отверстий свободны от нагрузок На бесконечности плоскость подвергается двухосному нагруже-
нию Как и в предыдущей задаче, требуется найти смещения на краях отверстий, распределение полей напряжений и деформаций в среде Также требуется найти наиболее вероятные точки зарождения трещин и ориентацию отверстий (по отношению к нагрузке), при которой возникновение трещин наиболее вероятно
В п. 2.2 получены выражения для упругих потенциалов Ф(г) и Ч'(г), а также для интегральных ядер KiUt) и L(t,t')
В п. 2.3 с помощью разложения (4) найдены выражения для К„ (О и ¿.(О Вычислены значения Gjt, в тч доказано, что для нечетных значений ¿величины Gic и g„ обращаются в нуль
В п. 2.4 рассмотрен случай квадратной решетки отверстий с периодами ш,\ =3 при одноосном сжатии и чистом сдвиге Исследованы поля напряжений для различных углов а между сох и Ох В силу симметрии задачи рассмотрен только диапазон 0< а< л/4 Построены поля первого главного и максимального сдвигового напряжений для а = 0°, 15°, 30" и 45° В п. 2 5 исследовано поведение коэффициента концентрации напряжений в квадратной решетке при одноосном растяжении Показано, что при определенных условиях и нагрузках запас прочности решетки тесно расположенных отверстий может быть больше, чем у решетки с большими периодами, или у плоскости с одним отверстием
В п. 2 6 подведены итоги исследований, проведенных в Главе 2 В Главе 3 метод мультипольных разложений расширен на более общий тип задач упругая плоскость с отверстиями произвольного радиуса и расположения
В л 3.1 поставлена более общая задача. В упругой плоскости расположено конечное число круговых отверстий Lj произвольных радиусов Д, (фиг 3) Плоскость на бесконечности подвергается нагрузкам р и q
I 1М 1
ш.
г
11,11
.л
Фиг. 3.
В гг. 3.2 выведены основные уравнения, описывающие задачу. Поскольку в данном случае задача не обладает симметрией, для каждого контура I/ определена своя функция смещений
Граничное условие также будет удобно записать в виде сингулярного интегрального уравнения, однако для каждой пары отверстий (/, т) будет определена своя пара интегральных ядер К]т (£,Г|) и Ь'т (^.л), где \ принадлежит .¡-му контуру, а Т1 - т-му. Вычислены значения ядер.
В п. 3.3 с использованием разложений
е'Л)=
сингулярное ГИУ сведено к системе линейных уравнений
Значения коэффициентов К'п™ и Ц* вычислены В п 3.4 с помощью метода мультипольных разложений решен ряд задач теории упругости - рассчитаны поля напряжений вокруг кольца отверстий, цепочхи отверстий, а также группы малых отверстий в области влияния одного или двух больших Во всех случаях исследованы точки концентрации напряжений, определены возможные сценарии начала разрушения
Также отмечены некоторые частные эффекты "экранирование" напряжений кольцом отверстий, "вытеснение" концентрации напряжений на крайние отверстия вертикальной цепочки при вертикальном стесненном сжатии Также для исследованных задач о малых отверстиях в поле больших получено, что риск возникновения трещины сдвига выше для малых отверстий, а трещины разрыва - для больших
В п. 3.5 подробно исследован вопрос о точности полученного решения Для задачи о паре отверстий в плоскости получен ряд приближенных решений при различных максимальных порядках учтенных в решении мультиполей Показано, что минимум функционала интегральной квадратичной невязки Г уменьшается экспоненциально с увеличением порядка учтенных в решении мультиполей Поскольку F соответствует среднеквадратичному отклонению приближенного решения от истинного, сделан вывод, что уменьшение погрешности решения также имеет экспоненциальный характер
В п 3.6 подведены итоги проведенных в Главе 3 исследований В Главе 4 рассмотрен ряд теоретических вопросов, связанных с мультипольным разложением
В п. 4 1 даны определения ансамбля отверстий, разделенных ансамблей, внешнего поля ансамбля
В п. 4.2 доказана теорема о мультилольной разложимости внешнего поля Тем самым показано, что вне определенной области поле группы отверстий может быть представлено одним мультипольным разложением, то есть, ряд мультиполей может быть использован не только для описания поля одного отверстия, но и поля группы взаимодействующих отверстий
В п. 4.3 приведены примеры внешних полей ансамблей для пары отверстий и для колец из 3, 4 и 5 отверстий Исследованы спектры разложений, проведено сравнение спектров отдельных отверстий и ансамблей Показано, что геометрическая симметрия ансамбля отражается в спектре его мультилольного разложения
В п. 4 4 подытожены результаты Главы 4
В Главе 5 продемонстрировано применение метода мультипольных разложений для изучения механизма разрушения пористых сред - произведен расчет области трещиноватости в окрестности конца макротрещины
В п. 5.1 приведены области трещиноватости, рассчитанная по модели сплошной среды Рассмотрены случаи первой, второй и смешанных мод
В п. 5.2 рассчитаны области трещиноватости для модели редкопо-ристой среды
В п. 5.3 рассчитаны области трещиноватости для двух моделей высо-копорисгах сред Проводится сравнение результатов, полученных для пористых сред, с результатами для сплошной среды, отмечено существенное увеличение размеров области трещиноватости и изменение ее формы В п. 5.4 подводятся итоги Главы 5
В Заключении сформулированы выводы и перечислены основные научные результаты диссертации
В Приложении приведены поля напряжений, создаваемые отдельными мупьтиполями
ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1 Предложен метод мультипольных разложений - метод представления полей напряжений, создаваемых отверстиями, в виде ряда мультипо-лей, базовых решений уравнений упругости Метод позволяет учитывать взаимовлияние близко расположенных отверстий, анализировать поля, определяя вклад в них основных видов напряженно-деформированного состояния всестороннее растяжение, чистый сдвиг и др , а также исследовать асимптотическое поведение полей на расстоянии
2 Разработан и программно реализован математический алгоритм построения напряженного поля для заданной группы отверстий и заданной нагрузки с использованием метода мультипольных разложений Также разработан и программно реализован математический алгоритм контроля точности и пошагового уточнения решения
3 С использованием созданных программных средств исследован ряд задач теории упругости для различных наборов круговых отверстий два одинаковых отверстия, двояко-периодическая система одинаковых отверстий, кольце отверстий, цепочка отверстий, группа малых отверстий в поле большого, группа малых отверстий в поле двух больших В каждом случае построены распределения всех компонент поля напряжений, а также максимальных главного и сдвигового напряжений Для двух отверстий исследована зависимость напряжений на контурах отверстий от ориентации пары относительно приложенных на бесконечности нагрузок и расстояния между отверстиями Для решетки отверстий исследовано поведение концентрации напряжений при повороте решётки и изменении периодов
4 Рассмотрены некоторые теоретические вопросы мультипольного разложения В частности, показано, что поле группы отверстий вне охватывающего группу контура может быть представлено одним разложением и выведены формулы коэффициентов этого разложения
5 Продемонстрировано применение метода мультипольных разложений для изучения механических свойств пористых сред
ПУБЛИКАЦИИ
Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях
1 Мокряков В В Применение метода мультиполей для решения задачи о двух близко расположенных отверстиях // Изв РАН МТТ 2007 №5
2 Мокряков В В Плоская задача о напряженном состоянии, возникающем при взаимовлиянии двух близко расположенных отверстий - Препринт ИПМех РАН № 774 Москва 2005 30с
3 Мокряков В В Задача о напряженном состоянии, возникающем в упругой плоскости, ослабленной бесконечной периодической системой близко расположенных отверстий - Препринт ИПМех РАН № 806 Москва 2006 34с
4 Мокряков В В Применение метода мультиполей для решения задачи о нескольких отверстиях произвольного радиуса - Препринт ИПМех РАН №849 Москва 2007 34с
5 Мокряков В В Плоская задача о напряженном состоянии, возникающем при взаимовлиянии двух близко расположенных
отверстий - Труды Международной Молодежной Научной Конференции «XXX Гагаринские чтения» Москва 2004 6 Мокряков В В Плоская задача о напряженном состоянии, возникающем в периодической системе близко расположенных отверстий - Труды Международной Молодежной Научной Конференции «XXXII Гагаринские чтения» Москва 2006
Подписано в печать 23 04 2008 г Печать трафаретная
Заказ № 338 Тираж 100 экз
Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56, (499) 788-78-56 www autoreferat ru
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МУЛЬТИПОЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ДВУХ ОТВЕРСТИЯХ.
1.1. Постановка задачи.
1.2. Построение основных уравнений.
1.3. Численное решение.
1.4. Расчет смещений на контуре отверстия и полей напряжений в среде. Физический смысл компонентов разложения.
1.5. Расчет наиболее вероятных точек зарождения трещин.
1.6. Модельная задача.
1.7. Пример расчета.
1.8. Экспериментальная проверка.
Один из важнейших предметов исследования теории разрушения - поведение полей напряжений в окрестности концентраторов: дефектов и неоднородностей среды, полостей и включений. Широкое практическое приложение имеют задачи о концентрации напряжений возле отверстий и пор в конструкциях и материалах, нередко их можно свести к плоским задачам об упругой плоскости с отверстиями. К таким задачам можно отнести, например, задачи о туннелях, скважинах, перфорированных пластинах. Для их решения обычно используется метод сингулярных граничных интегральных уравнений (СГИУ), разработанный Н.И. Мусхелишвили в его основополагающих трудах [1,2]. Метод в дальнейшем был значительно развит и расширен многими учеными (см., например, работы [3-7]), продолжает развиваться и сегодня (см., например, статьи [8, 9], посвященные исследованию свойств сингулярных интегралов). Приложение методов СГИУ в пространственных задачах о трещинах изучается в труде [10].
Для численного решения систем» СГИУ обычно используется метод граничных элементов (МГЭ), бурно развивающийся в последние годы. О последних достижениях в этой области было доложено на Симпозиуме Международной Ассоциации МГЭ (IABEM) в июле 2006, по материалам Симпозиума издан сборник "Boundary Element Analysis" [11].
Поле напряжений вокруг одиночной поры в плоскости при произвольном на-гружении хорошо изучено, получено точное аналитическое решение (см., например, [2, 4, 12]) для произвольной нагрузки на поверхности поры и на бесконечности). Это решение можно применять при достаточно редко расположенных в материале порах. Однако, если характерное расстояние между порами не превышает нескольких их диаметров, влияние пор друг на друга вносит значительные искажения в поля напряжений в их окрестностях.
В последнее время все больший интерес вызывают материалы, содержащие мезоструктуры пор ("сверхрешетки"), как природные (цеолиты), так и возникающие при различных процессах обработки, таких как радиационное облучение, травление, и др. [13-15]. В электронике в последние годы все более популярными, прежде всего из-за их уникальных свойств, становятся фотонные кристаллы и пористый, кремний. Под воздействием механических нагрузок, градиентов температур в них могут возникать дефекты, трещины, что негативно сказывается- на характеристиках материала.
Большое внимание уделялось изучению упругой плоскости с периодически и двояко-периодически расположенными отверстиями или включениями (группами отверстий или включений), например, в [16]. Аналитическое решение здесь не получено, но задача сведена к бесконечной системе линейных уравнений, которая решается численными методами: В [17] рассмотрены аналогичные задачи для волокнистых композитов, где роль концентраторов напряжений играют волокна. Приведены распределения напряжений на границе включения и матрицы для некоторых частных видов нагружений (продольный и поперечный сдвиг, поперечное растяжение для сплошных и полых волокон), но при этом использовалось приближение однородного взаимодействия между волокнами. Однако, для изучения процессов разрушения важно знать напряженно-деформированное состояние непосредственно в зоне возможного зарождения трещин (т.е. окрестности концентраторов напряжений и в области между ними) с учетом их взаимовлияния.
Даже для двух отверстий аналитическое решение задачи представляет собой серьезную проблему. Некоторые частные случаи (два отверстия в плоскости при всестороннем нагружении, одноосных нагружениях вдоль и поперек оси, соединяющей центры отверстий) исследованы в [18]. Здесь с помощью биполярной системы координат для них получено аналитическое решение в виде гиперболи-ческо-тригонометрических рядов. К сожалению, в общем случае нагружения применение данного метода представляется затруднительным. Развитие этот метод получил [19], где особый упор сделан на случай малого расстояния между отверстиями, доя которого известные методы были неэффективны.
Из-за сложности аналитического решения подобных задач приходится применять численные методы. Суть их обычно сводится к замене искомой' функции (например, упругих потенциалов) на линейную комбинацию системы известных функций, дающих приближение искомого решения с приемлемой точностью. В результате вместо СГИУ получим систему линейных уравнений, методы решения-которых давно и хорошо разработаны. Так, в работах [20, 21] исследованы, распределения напряжений вокруг двух и трех отверстий, а также бесконечного ряда отверстий. Напряжения рассчитывались для случая, когда прямая, соединяющая центры отверстий, параллельна приложенной на бесконечности нагрузке, или перпендикулярна ей. >
В последние годы в связи с бурным развитием вычислительной техники появилось большое количество работ, посвященных совершенствованию численных методов расчета напряженно-деформированного состояния пластин с отверстиями. Например, в [22] авторы применили модифицированный метод квадратур для вычисления концентрации напряжения у границы отверстия - произвольной формы. В статье [23] описан метод циклического уточнения НДС вокруг системы круговых отверстий. В [24] предлагается расширение метода конечных элементов, которое позволяет моделировать наличие отверстий в пластине одним специальным элементом.
Для упрощения задачи влияние удалённых от дефекта внешних границ тела обычно (по принципу Сен-Венана) полагается незначительным. Другими словами, рассматривается задача об отверстии либо в бесконечной плоскости (если отверстие удалено от всех границ тела), либо в бесконечной полуплоскости (если отверстие расположено вблизи какой-либо точки границы). Однако если размер отверстия сравним с характерным размером тела, то влиянием границ уже нельзя пренебречь. Решение таких задач (за исключением простейших случаев, таких как толстостенная труба) возможно только численно, и поэтому, ранее было весьма затруднено. Сейчас интерес к таким задачам всё больше растёт. Так, в [20] тщательно рассматривается поведение и устойчивость прямоугольной пластины с большим круговым отверстием под различными видами нагрузок.
В последние годы активно развивается быстрый мультипольный метод, БММ (fast multipole method, FMM), который (см., например, [11], а также [26-28]) позволяет существенно снизить порядок сложности задачи (с 0(N3) до 0(N)) при расчете НДС упругой пластины с большим количеством дефектов (десятки тысяч и более).
В статье [29] предложен метод решения задачи об антиплоской деформации среды с упругими волокнистыми включениями кругового сечения. Аналогичную задача, но для изгиба плоскости решена в [30]. В [31] рассмотрен метод решения задачи © двух отверстиях произвольной формы в упругой плоскости.
За последние годы получено большое количество результатов, касающихся неограниченных систем неоднородностей. Так, перфорированная плоскость с отверстиями сложного профиля (нецилиндрическими) рассмотрена [32]. Упругой пластине с двояко-периодической системой включений посвящена работа [33]. В [34, 35] изучается разрушение перфорированного алюминиевого листа при растяжении, в статье рассматривается влияние распределения отверстий на разрушение, проведено сравнение численных расчётов с экспериментальными данными. Анизотропный материал с массивом произвольно ориентированных эллиптических отверстий рассматривается в статье [36]. Возможности применения генетических алгоритмов для расчёта перфорированных пластин исследуются в [37].
Всё больший интерес привлекают к себе и динамические задачи: так, в [38] предложен метод расчёта концентрации наряжений вокруг отверстия в полуплоскости, вызываемой движущейся по границе полуплоскости нагрузкой. Решение этой задачи весьма важно, например, для дорожного строительства, когда требуется рассчитать прочность труб и стенок шахт, проходящих под полотном дороги.
Расчет концентрации напряжений вокруг дефектов играет важную роль при моделировании процессов разрушения, в т.ч. разрушения горных пород под действием собственного веса и при землетрясении, изучению этих процессов посвящен ряд работ [39 - 47].
Таким образом, тема упругой среды с отверстиями и включениями сегодня актуальна и востребована, и является перспективной областью исследований.
В данной работе представлен метод численного решения,задач об упругой плоскости с круговыми отверстиями. Предлагаемый метод мультипольных разложений позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние среды как на удалении от отверстий, так и непосредственно в их окрестности.
В главе 1 основные положения метода мультипольного разложения выводятся при решении задачи о двух взаимодействующих отверстиях в напряженной плоскости. С помощью метода решена модельная задача, результаты полностью совпали с опубликованными данными: Также исследована концентрация напряжений' на отверстиях при их различном расположении, определены вероятные сценарии разрушения. Кроме того, приведены результаты ряда экспериментов по разрушению тел с отверстиями и проведено сравнение с расчетами, проведенными по методу мультипольных разложений.
В главе 2 метод применен для решения задачи о двояко-периодической решетке отверстий в упругой плоскости. Исследовано поведение концентрации напряжений в решетке в зависимости от периодов решетки и ее ориентации относительно приложенных нагрузок.
В главе 3 метод мультипольного разложения расширен на более широкий тип задач: упругая плоскость с отверстиями произвольного радиуса и расположения. Рассчитано поле напряжений вокруг кольца отверстий, цепочки отверстий, а также группы малых отверстий в области влияния одного или двух больших.
В главе 4 показано, что ряд мультиполей может быть использован для описания не только поля одного отверстия, но и внешнего поля группы взаимодействующих отверстий. Даны определения ансамбля отверстий, разделенных ансамблей, внешнего поля ансамбля, доказана теорема о мультипольной разложимости внешнего поля.
В главе 5 продемонстрировано применение метода мультипольных разложений для изучения механизма разрушения пористых сред - произведен расчет области микротрещиноватости в окрестности конца макротрещины. Рассмотрены несколько моделей пористости.
В приложении приведены поля отдельных мультиполей.
Результаты диссертации опубликованы в работах [48 - 50]:
- Мокряков В.В. Плоская задача о напряженном состоянии, возникающем при взаимовлиянии двух близко расположенных отверстий. - Препринт ИПМех РАН № 774. Москва. 2005. 30с.
- Мокряков В.В. Задача о напряженном состоянии, возникающем в упругой плоскости, ослабленной бесконечной периодической системой близко расположенных отверстий. - Препринт ИПМех РАН № 806. Москва. 2006. 34с.
- Мокряков В.В. Применение метода мультиполей для решения задачи о двух близко расположенных отверстиях // Изв. РАН. МТТ. 2007. №5.
- Мокряков В.В. Применение метода мультиполей для решения задачи о нескольких отверстиях произвольного радиуса — Препринт ИПМех РАН № 849. Москва. 2007. 34с.
А также доложены на:
- Международная Молодежная Научная Конференция «XXX Гагаринские чтения». 2004. (Мокряков В.В. Плоская задача о напряженном состоянии, возникающем при взаимовлиянии двух близко расположенных отверстий.)
- Международная Молодежная Научная Конференция «XXXII Гагаринские чтения». 2006. (Мокряков В.В. Плоская задача о напряженном состоянии, возникающем в периодической системе близко расположенных отверстий.)
- на семинарах Института проблем механики РАН, в том числе на совместном заседании Семинара по динамике сплошной среды под руководством академика А.Г. Куликовского, профессора В.Н. Кукуджанова и профессора И.В. Симонова и Семинара по механике прочности и разрушения под руководством профессора Р.В. Гольдштейна, состоявшегося в ИПМех РАН 31 октября 2007 г.
Автор выражает глубокую признательность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Роберту Вениаминовичу Гольдштейну за полезные советы и помощь в работе, а также кандидату физико-математических наук Кулиничу Юрию Владимировичу и кандидату технических наук Николаю Михайловичу Осипенко за предоставленные результаты экспериментов и их обсуждение.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В диссертации представлен метод решения задач об упругой плоскости с круговыми отверстиями. Метод мультипольных разложений позволяет представить поля напряжений, создаваемые отверстиями и группами отверстий, как комбинацию элементарных полей - мультиполей.
Метод выгодно отличается от методов типа МКЭ и МГЭ тем, что не требует разбиения пространства (или его границы, в случае МГЭ) на базовые элементы. Соответственно, исследователь избавлен от проблемы выбора формы конечного элемента и базовой функции, построения сетки. Также результат работы алгоритма не зависит от параметров разбиения в виду его отсутствия.
Метод позволяет контролировать точность решения простым и эффективным способом: используя функцию интегральной невязки. В отличие от точек коллокации, эта функция позволяет отслеживать точность решения на всем контуре, а не только в отдельных точках. Также этот метод позволяет избежать появления ложных решений, случаи возникновения которых описаны в [6]. ,
Задачи, решенные в данной работе, показали, что в большинстве случаев метод мультипольных разложений позволяет описывать поля напряжений с точностью до седьмого знака, используя всего лишь несколько членов разложения - не более десяти. В случае если этого недостаточно, алгоритм позволяет увеличить точность всего лишь добавлением членов более высокого порядка. При этом не требуется пересчитывать решение заново, достаточно использовать уже имеющееся как начальное, и уточнить его.
Также весьма перспективным качеством данного метода представляется возможность свести к одному мультиполю поле целого ансамбля отверстий. Это позволит значительно сократить время на расчёт полей напряжений и взаимное влияние отдельных групп отверстий.
1. Мусхелишвши Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.
2. Мусхелишвши Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматлит, 1958. 545 с.
4. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1981. 323 с.
5. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО "ЯНУС", 1995. 520 с.
6. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. 382 с.
7. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001, 192 с.
8. Андреев А. В. Расчет предельного равновесия краевых криволинейных трещин в упругой полуплоскости с учетом асимптотики напряжений // Изв. РАН. МТТ. 2003. №6. С. 82-96.
9. Андреев А. В. Прямой численный метод решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с обобщенными ядрами // Изв. РАН. МТТ. 2005. №1. С. 126-146.
10. Шифрин Е. И. Пространственные задачи линейной механики разрушения. М.: Физматлит, 2002. 368 с.
11. Shanz М., Steinbach О. (Eds.) Boundary Elements Analysis. Berlin: Springer-Ver-lag, 2007. 352 p.
12. Tamuzs V., Romalis N., Petrova V. Fracture of Solids with Microdefects. N. Y.: Nova Science Publ., 2000. 238 p.
13. Емельянов В.И., Еремин К.И., Старков В.В., Гаврилин Е.Ю. Квазиодномерное распределение макропор при анодном травлении одноосно напряженной пластины кремния. Письма в ЖТФ, 2003, т. 29, вып. 6., с. 19-25.
14. Нечитайпов А.А., Астрова Е.В., Кукушкина Ю.А., Каменева С.Ю. Окислительно-гравиметрическая порометрия макропористого кремния. — Физика и техника полупроводников, 2006, т. 40, вып. 10, с. 1254-1258.
15. Мынбаева М.Г., Константинов О.В., Мынбаев К.Д., Романов А.Е., Ситни-кова А.А. Механизм релаксации напряжений несоответствия при эпитакси-альном росте GaN на пористом SiC. — Письма в ЖТФ, 2006, т. 32, вып. 23., с. 25-31.
16. Григолюк Э. К, Фильштинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556 с.
17. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1985. 302 с.
18. Уфлянд Я. С. Биполярные координаты в теории упругости. M.;JI.: Гостехиз-дат, 1950. 232с.
19. Устинов Ю.А. Концентрация напряжений в полуплоскости и плоскости с круговыми отверстиями при растяжении // Изв. АН СССР. Механика. 1965. №1. С. 145-148.
20. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий. М.-Л.: Гостехиздат, 1951.496 с.
21. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наук, думка, 1968. 887 с.
22. HelsingJ., JonssonA. Complex variable boundary integral equations for perforated infinite planes // Eng. Anal. Bound. Elem. 2001. V. 25. № 3. P. 191-202.
23. Ting K., Chen К. Т., Yang W. S. Applied alternating method to analyze the stress concentration around interacting multiple circular holes in an infinite domain // Intern. J. Solids Struct. 1999. V. 36. № 4. P. 533-556.
24. Soh A.K., Long Z.F. A high precision element with a central circular hole // Intern. J. Solids Struct. 1999. V. 36. № 35. P. 5485-5497.
25. El-Sawy Khaled M., Martini Mohammad Ikbal. Elastic stability of bi-axially loaded rectangular plates with a single circular hole. // Thin-Walled Struct. 2007. V. 45. №1. P. 122-133.
26. Akaiwa N., Thornton K., Voorhees P. W. Large-scale simulations of microstructural evolution in elastically stressed solids // J. Сотр. Phys. 2001. № 173. P. 61—86.
27. Wang Zh., Ghoniem N., LeSar R. Multipole representation of the elastic field of dislocation ensembles // Phys. Rev. B. 2004. V. 69. № 17. 174102-174107.
28. Liu Y. A new fast multipole boundary element method for solving large-scale two-dimensional elastostatic problems // Intern. J. Numer. Meth. Engng. 2006. V. 65. P. 863-881.
29. Lu-qing Zhang, Ai-zhong Lu. An Analytic Algorithm of Stresses for Any Double Hole Problem in Plane Elastostatics // J. App. Mech. 2001. V. 68. P. 350-353.
30. Fuh-Kuo Chen, Yi-Che Lee. Plastic Deformation of a Perforated Sheet With Nonuniform Circular Holes Along the Thickness Direction // J. Engng. Mat. Tech. 2002. V. 124. P. 434-439.
31. Dong C.Y. Effective elastic properties of doubly periodic array of inclusions of various shapes by the boundary element method // Intern. J. Solids Struct. 2006. V. 43. №25-26 P. 7919-7938.
32. Jia S., Raiser G.F., Povirk G.L. Modeling the effects of hole distribution in perforated aluminum sheets I: representative unit cells // Intern. J. Solids Struct. 2002. V. 39. № 9. P. 2517-2532.
33. Jia S., Povirk G.L. Modeling the effects of hole distribution in perforated aluminum sheets II: minimum strength failure paths // Intern. J. Solids Struct. 2002. V. 39. № 9. P. 2533-2545.
34. Tsukrov L, Kachanov M. Effective moduli of an anisotropic material with elliptical holes of arbitrary orientational distribution // Intern. J. Solids Struct. 2000. V. 37. №41. P. 5919-5941.
35. Vigdergauz S. The effective properties of a perforated elastic plate. Numerical optimization by genetic algorithm // Intern. J. Solids Struct. 2001. V. 38. № 48-49. P. 8593-8616.
36. Afferrante L., Ciavarella M., Demelio G. On the stress concentration around a hole in a half-plane subject to moving contact loads // Intern. J. Solids Struct. 2006. V. 43. № 13. P. 3895-3904.
37. Голъдштейн P. В., Осипенко H. M. Структуры в процессах разрушения // Изв. РАН. МТТ. 1999. №5. С. 49-71.
38. Голъдштейн Р. В. Разрушение при сжатии // Успехи механики. 2003. Т. 2. № 2. С. 3-20.
39. Каминский А. А. Хрупкое разрушение вблизи отверстий. Киев: Наук, думка, 1982. 158 с.
40. Костров Б. В., Фридман В. Н. Механика хрупкого разрушения при сжимающих нагрузках // Физика очага землетрясения. М.: Наука, 1975. С. 30-44.
41. Никитин Л.В., Одинцев В. Н. Распространение трещин отрыва в сжатых горных породах // Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Наука, 1988. С. 157-165.
42. Dyskin А. V., Germanovich L. N., Ustinov К. В. Asymptotic solution for long cracks emanated from a pore in compression // Intern. J. Fract. 1993. V. 62. № 4. P. 307-324.
43. Ustinov К. B. Asymptotic solution for long cracks emanated from a hole in bi-axial loading // Intern. J. Fract. 1994. V. 68. № 3. P. R73-R77.
44. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
45. Черепанов Г.П. О развитии трещин в сжатых телах // Изв. РАН. ПММ. 1966. Т. 30. №1. С. 82-93.
46. Мокряков В.В. Плоская задача о напряженном состоянии, возникающем при взаимовлиянии двух близко расположенных отверстий. — Препринт ИПМех РАН № 774. Москва. 2005. 30с.
47. Мокряков В.В. Задача о напряженном состоянии, возникающем в упругой плоскости, ослабленной бесконечной периодической системой близко расположенных отверстий. Препринт ИПМех РАН № 806. Москва. 2006. 34с.
48. Мокряков В.В. Применение метода мультиполей для решения задачи о двух близко расположенных отверстиях // Изв. РАН. МТТ. 2007. №5.
49. Мокряков В.В. Применение метода мультиполей для решения задачи о нескольких отверстиях произвольного радиуса Препринт ИПМех РАН № 849. Москва. 2007. 34с.
50. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.
51. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.
52. Никифоров А.Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984. 344с.
53. Kachanov М. Elastic Solids with Many Cracks and Related Problems. Advances in Applied Mechanics, V. 30, p. 259-445.
54. Гольдштейн P.В., Кулинич Ю.В., Осипенко H.M. Разрушение горных пород вблизи отверстия при сжатии. Препринт ИПМех РАН №778. Москва. 2005. 36с.