Метод R- функций в задачах теории трещин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК. УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ -И МАТЕМАТИКИ имени Я.С.ПОДСТРИГАЧА

на правах рунотшси

БОДНДР Юриа Иванович

УДК 539-3

МЕТОД И-ОУНКЦЯЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ТРЕЩИН

Специальность 01.02.04 -Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Львов-1992

Работа выполнено во Львовском политехническом институте.

Кау-щал! руководитель: доктор фкзнко-матемпткчоеккх паук,

профессор РУ.Л1НК0 К.!!.

(>5г1?ааль!Е1с оппонента: академик АН Украины, доктор

физико-мзт еыатичоских п аук, профессор 1'ВЛЧЕН В.Л. , доктор физико-математических паук ХАЙ М.В.

Будущая организация: Львовский госутлверситет им. И. Я.Франко

Защита состоится " у, 1992 г. в

сов на засодапии специализированного совета К 01б.ЬУ-01 по присуждению учопой степени кандидата фиэико-митоматичоских наук и кандидата технически паук в Институте прикладных проб-л&м механики в математики имопи Я.С.Подстригоча АН Украины (г.Львов, ул.Научная, 36).

С диссертацией можио ознакомиться в библиотеке Института прикладпкх проблем механики к математики имени Я.С.Подстригоча АН Украины (г.Львов, ул.Научная, 36).

Отзывы па члторзферат просим направлять по адресу: 290С63, ГСП, г.Львов, ул.Научная, 36, ученому секретарю специализированного совета.

Автореферат разослан " у? 3. " С\ /7 Л /7 г? г.

Учении сасретарь специализированного совета

ШЕВЧУК II.Г.

-з-

. ; ОКЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность работы. Успешное решение задач сннгенпя мате-риалоегясости ыапяностроительиого производства, разработка оптимальных дарпвптов конструкций зданий и сооружений, создатгиа ко:ш-лекса мероприятий по их безаварийной эксплуатации и многие другие проблеет связали с изучением полей напрягонаХ п деформаций в телах слозаюЯ конфигурации с тротциноподобшаш дефектами. Это обуславливает актуальность разработка а развития истодов решения граничим задач механики деформируемого твердого тела с тропутлами .

Этим вопросам посвящены работы А.Е.Андрейюша, Д.В.Гряляц-кого, \.А.Каминского, Г.С.Кита, Е.М.Йороэовя, Н.Ф.Морозова, Н.И.Иусжелепшкли, В.А.Осадчука, В.В.Панасюка, Г.Я.Попова, К.Н.Ру-синко. И.П.Сапрука, В.С.Саркисяпо, Я.С.Уфлянда, М.В.Хая, Г.П.Черепанова, F.Krdogan, M.Isida, Y.üurakamt и других отечественных и зарубежных ученых.

Во №!оггк случаях , например, когда высота трещины пли размеры вырезе, отверстия conocíавамн с размерами тела, модель с трецянамя в неограниченной или полуограпиченной области работает некорректно. При небольших расстояниях иедду трещивоподобтма и другизл дефвкта!дг нельзя ограничиться рассмотрением одного дефекта, а необходимо учитывать их взаимодействие. Во многих работах при решении задач теории треадп ограничиввотся определением коэффициента интенсивности напряжений (КИН). В приложениях Ее встречаются задачи, когда необходимо иметь полную картину напряженно- деформированного состояния, а не только значения ККН. Так, например, при нормативных расчетах подкрепленных (сталебетонных) строительных элементов с учетом наличия трещин пользуются

реагачзкма доауцэнпяка, на давоя ' ем надлсчяцзго теоретического обоснования- Это мазло сделать, емол полную картину НДС. Больасе Елэчэиае 2иеет тькге Еоа^озяость учота, наряду с огрепичэнностью разайеров, ивпрорявпого пзыепзния упругих свойств» характерного для мзогз2 материалов и, :;е>:: покаэквеэт исследования Г.Б.Колчгаа, В.А.Лс&мхкна, С.Ы.У^гтарлгз, В.С.Процзвко, 2?. Л.Рвзчева и другпз ученых, оказывакцза е ряде случаев определяющее елзяепэ па иапря-озено-деформированное состояние тола. Реиевия задач теории упругости непрарщшо-нводяородЕкж тел, учзтыввкссяе произвольную зависимость свойств материала от координат, ыозшо такае использовать для решения некоторых задач пластичности .приводя их к последовательности упругих задач с паременными удругишг характеристиками.

Как показал анализ литературных источников, исследования о взаимодействии састем трещин, отверстий, вирэзов, о такзе о тро-цжвах в непрерывно-неоднородных телах, проводились в основром дая плоскости и полуплоскости. В то ае время такие задачи для полосы и ограниченных тел, наиболее часто встрвчахвдиеся в инженерной практике, пзучены мало. При этом получить точные аналитические ратания большенства практических задач не представляется возмож зъш. Поэтому возрастает роль приблияенных методов, позволяющих получать решения с достаточной для практики точостыо. Анализ прьблихенных методов решения граничных задач теория упругости показал, что для исследования таких задач можно эффективно использовать разработанный академиком В.Л.Рвачевым математический апарат теории И-функций.

Целью работы является: 1) Распространение метода {¡-функций на задачи теории трещин:

э) построено структура рзггавгЗ перпо.-^чэскп: задач тоорга трссзш для полоса. Под структурой подрвэуиввзем варггэплл дая пэремэпзплЗ, удовлетворяк^зэ грзшгчгаги условия« па пэртгадяпэс-fccf.í элзькште, гшо зависимости от зиЗора и ;-:гн:зсг-:г.-.1 фуякцзЗ, взгодяцзе в этд Ецр.чг-гспя.

б) разрэботзсэ алгоритма рэаааля оздоч ла осяовэ ссз-

изсткого прсмэпэгптя построенной структуры п варззцЕогзого катода, aro ярогрзкихтя реалаэецля.

2) Исглодоввплэ взаггтовлЕяпгл поргодпчэсгезг систем трепел, отпэрстзЗ, сирэзоз при рзстлсопгп однородней ccmocEi;

3) Исс.т.'эдозаЕг.о пдгжпя кзстгэдьпоП пагрувкп, зр^логеввсЛ к гранам о туэз^зега, па на^етешо-доОорссфоввЕЛОЭ соотойнкэ

Щ)Я!Л0уГ'0.7ГЬП0п ПЛЯСТЕЗШ С ДЗуЬШ КОЛЕШЗарПШ-С! С^ЗЗгЭТрЗЧПЕКП

краэпгяш трестшма, прл задвпнгпг кормальпд: порэиег'ЗЕНЯЕ грэ-таЗ, цэрагоаяыгаз Ticr^nriti, п о*еутезпп за ь лэдея: кеептогьпгг: ззврягаппЗ.

4) Иссхздовсплэ зязяпая гэодюродноета пп паггряг-зпго-д-лСхгркзропагпгоо оостсякла полоса о nepzoxzvocr.oG системой ¿аусторспп^п креэзггг тростя, ргстяггзечузЗ га бес^осочлоота.

?* :?т;. г; псггззиз рзбегы ссстспт з слгадуЕГзи«

- Расгтрострпхззо млч-ед Д-Суггс:™ ;;я эегчтз тс-арпл трегг^з.

- Пасгртопо сгругвуреза Оср^уст рзгкпгй ггрто/тгезвигг задоа теэ-

Р" ДЛЯ ТЧАЭСН, TÍOTCp:>3 ТО'-ПО }ТПШВ! ГрПГГГЕЗГО уОЛСЗЕЯ

пз эгдг'йгпгэ я позпааяот корргжто пссота гэретгзр-

- ctocvO Г;>:->сз!;:_1л и структуру сглтгуллр:?сстза с гз-

- !-.'•) с<;гтсъз:1.::-1 ec,rwstí?;!oro ас-:сльэсвэго-л лосгроотсЯ: структур!! п

варяациоиного ьютодо исследовано:. взаимовлияния периодачоскпх систем краавш; трэщин .отверстий, вырезов при растякешш однородной полосы; растяяевие полосы с периодической системой угловых; краевых вырезов и исходящая из их вершин трещин; влияние касательных напряжение на границе прямоугольной пластины с краевым« трещинами на ое ньлрягенно-деформировашюе состояние; напряженное состояшю. растягиваемой па бесконечности непрерывно-пэоднородной полосы с периодической системой двусторонних краевые трещин; напряженное состояние непрерывно- неоднородной прямоугольной пластины с краевой трещкпоЗ.

Достоверность результатов диссертационной работы обосновывается строгостью математического аппарата, сравнением полученных результатов для тестовых примеров с известными решениями, апалегзоы прьблагошел решение для различных размерностей ашгрок-силяругцего пространства, анализом решений с точки зрения их физической достоверности.

Практическая ценность. Результаты исследований могут Сыть использованы в расчетной практике научно-исследовательских и проектных организаций при исследовании напряхонно-дофорынровавного состояния тел с трещкяаии, а такие пря разработке вняекершгх цетодих расчета элементов конструкций с треищнаш!. Созданное прогрекмпое обеспечение повышает производительность труда исследователей прв проведении многоварионтных расчетов конструкций. Кетоднка использована во Львовском ДОН N2 при разработке еффзктиниш: козструкцЕЗ круппопакелызи зданий серил В4 ■

Апробация работы. Основные розультстп дЕссертецЕОНпоЕ рзботи дохладквалжсь и обсуждалась на каучво-техничеекпг конференциях

Львовского политехнического института в 1988-1991 гг., на Всесоюзном симпозиуме "Механика и физика разрушения композитных материалов и конструкций" (г.Ужгород, 1988 г.), на семинаре отдели прикладной математики института проблем машиностроения АНУкраи-Ш1 (г.Харысов, 1991 г.), на мекфакультетском научном семинаре Львовскогс политехнического института "Механика деформированного твердого тела" (г.Львов, 1991 г.).

В целом работа обсуядалась на специализированном семинаре по механике дефср;гируемого твердого тела Института прикладных проблем механики и математики АН Украины, научном семинаре ка£едрц теоретической механики Львовского политехнического института.

Публикации. Основные результаты выполненных псследованяЯ отгуб ликопаегн в четырех работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заклвчения, списка литературы (90 наименования) и приложения. Обзртй объем диссертация 155 страниц, в том числе 38 рисунков, 2 А таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность вопросов, составляжщгг предает зсследов ания, приведен краткий с<5зор близких по направлению робот, сформулировала цель и дана аннотация диссертации по главам.

В первой главе приведены основные соотношения теории упругости непрерывно-неоднородных тел, используемые в последующей изложении. Показано влияние неоднородности на характер особен-

иости в вершине трещины. Изложена элементы структурного метода решения задач теории упругости, распространяемого в последующих главах на задачи теории трещин : вводится понятие структуры решения краевой задачи, описаны методика построения с помощью й-функций нормализованных уравнений границы области и ее участков, а также дифференциальные операторы , используемые для построения структур, и некоторые их свойства.

Во второй главе приводится постановка плоских задач теории упругости для непрерывно-неоднородной полосы шириной 2Н с периода часксй системой прямолинейных трещин длиной 1, перпендикулярных к оси, периодической системой отверстий, вырезов и периодической нагрузкой на гранях (период 2<3), при условии симметричности НДС относительно линий трещин.

Определение НДС такой полосы приводится к граничной задаче на периодической элементе О мекду соседними трещинами, т.е. к определенна перемещений и(х,у). у(х.у), удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям:

" (х)-/°(х)~ах+а. х (х)<0 (х.у) с 30, (1)

п 3 1 £ П I

ап(х.у)-/°(х.у) . хп(х,у)=Т°2(х.у) (х.у) е ЭПг (2)

где ось Оу совпадает с осью полосы, ЗС^-часть границы периодического влеиэнта на продолжении трещин, д$г-остальная часть границы периодического элемента , Э£)=ЗП1 и дО^, и^-перемещение нормальное ДО 30, Т\(х,у). 1°г(х.у)~ известные функции, о ,т -нормальные и касательные к 30 напрянения.

п п

Константы а1,а2 определяются из условий равновесия часта полосы отсеченной плоскостью проходящей через одну из трещин. Эти со-

отиояенкя и зпмыкзк/т постановку задачи.

Необходимо откатить, что данная постановка соответствует также задачам о напряженно-дефорштровапдси состоянии прямоугольника с треажлагя па оси симметрии, заданными перемещениями 1£п па гранях пора."ел'1гнг трегршям и отсутствии на последних касательных напрягвжгЗ.

С использованием метемятического аппарата теории й-функций построена структура регалия поставленной задачи. При построении структуры обеспечена такхе возмогглосгь пведеиггя, характерные для данпыт: задач, особенностей в верпшаан треп^ш для ди/дх . аи/Зу посредство!.! надлежащего выбора функций / •

Структура репепия задачи га.геет вид:

Эх а-:.'

дш 3_ ду ЗУ

Э»

ей о

ау зт бт оу

—5—1) г12)=_1—т

1 и1+ Ы2 1" 1 и Г

» - Л + Рг

9 борем для симметричных относительно Оу задач в виде с/ ^ и Р ,

4 11

а для несижзтричных - в вида с /^ Р];

и{2.у)~0 . и i^.x,y)=0 . ,2) -нормализованные уравнения границы 30 и ее участков 30^, ЗП2 соответственно;

./2»/3-иродолгепие внутрь области 0; Р ,Рг~пооиро-

делонныо функции; с-пензвестная константа.

Неопределенные компоненты находятся из условий минимума функционала энергии:

о

+ - I К '

1 да

(4)

Для этого функции Р].Рг представляются в виде разложений по ноли-помай Чэбкшзва с выбором степеней в соответствии с солмэтрией задача

р

(х.у)-Т (х) Т (у), Т,(Х) - полинома Чебыиево.

Процесс нинимизации функционала (4) па множество функций полученных па основании структуры (3) и разлэзсонпС (5) даот систзму лпнеПпых алгебраических уравнений относительно с .:

N

£ а с С 1=1.2.....N ,N = 1; (6)

1-1

[ СГ'

| с л - п+1

I Л >

Интегрирование при вычислении коэффициентов а ,ь вшюлня-лось по кдадратуршк формулах Гаусса. Система алгебраических уравнений рзпалась модафяцировашшм методом Гаусса (методом вращения). ДкфЗер-энцироваште осуществлялось численно- аналитическим методом с использованием дифференциальных кортекеЛ.

3 тре-; э," главе предлогоп способ внесения в структуру син-гулярностс:'! на основе точного решения задачи о давлении штампл па полуплоскость.

Для о,~;!;от;однсЯ полосы прп и -co^гзí=5. (х.у) с функции

/ ,/ признаем з виде з л

Л," «т(х.а-у) > (8)

где и - известной точное решение задачи о давлении штампа с т т

гладким плоский основанием на полуплоскость.

И2-

гдо к = 2,

Эффективность алгоритма, реализующего структурные формулы, числонно исследовано на тестовых примерах. В качестве тостов выбрано: задача об одноосном растяжении полосы (длина трепан, равна нулю) с известным точным реыением и задача о растяжении полосы с периодической системой двусторонних краевых трещин с изестнш.: приближенным решением. В первой задаче отклонения полученного решения от точного не превышало 0-5 % по перемещениям и 3-7 % по напряжениям' при 20 координатных функциях и использовании квадратур Гаусса 12 порядка. Во второй тестовой задаче отклонения от известных приближенных решений по КШ и по напряжениям о^ на продолжении трещины пе превышало 6 % при 43 координатных функциях.

Взаимовлияние трещин, отверстий, вырезов исслодовапо па задачах:1) растяжение полосы с периодической системой двусторонних краевых трещин и периодической системой эллиптических отверстий на оси; 2) растяжение полосы с периодической системой двусторонних- 'краевых трещин и периодической системой краевых эллиптических вырезов ыезду шага; 3) растяхешю полосы с периодической системой угловых вырезов на гранях и трещин, исходящих из их вершин. Варьировалась длйпа трещин и размори вырезов, отверстий.

Для построения функций а(х.у), а.(х.у), (1=1,2) используется достаточно полная система К -операций, включающая

/ ЛвР - ^д | /+<х-/ /г+(р2-2а/р | - -конъюнкцию,

/ У^И = ( /+а+/ /г+(Р2-2а/ф j - Г^-дизъинкция,

- К -отрицание,

причем для всех случаев, 1срсые оговореного ниже, принято

-лъ-

Тогдя, например, для задачи о растяжепии полосы с периодической системой угловых вырезов (глубиной Ь .углоч 2Д) и трещин, исходящих из их вершин, выражения для и,м^имеют вид:

и =(/, А0 /г)Лв(/5 Л0 /6), «,=/, У0 ?3 . «2=о у0 /3. (Ю)

ГД° /,"0 ~ нормализованное уравнение границы горизсг-альной полосы высотой 2(3, /2=0./з=0 - нормализованные уравнения транш; вертикальпих полос высотой ?Н и 2а соответственно, (а-Н-1), -О./6"0 ~ нормализованные уравнения полос с осями .составляющими с Ох углы 0.

При отом принимаем а»-0.9 из условия равенства напряжений на продолжении трещины для данной задачи при Ь = О и для задачи о растяжении полосы с периодической системой двусторонних трещин.

Исследования показали, что наличие отверстий приводит к значительному перераспределению напряжений на продолжении трещины: напряжения па оси полосы уменьшаются, а к вершине трещины увеличиваются и соответственно увеличивается и коэффициент интенсивности напряжений. Наличие трещин приводит к увеличению растягивающих напряжений на контурах отверстий, причем это проявляется более существенно для трещин большой длины и для отверстий большей кривизны в точках пересечения контура отверстия с осью перпендикулярной к оси полосы. Наличие вырезов приводит к снижению КИН. Краевые трещины расположенные мезду краевыми вырезами уменьшают растягивающие напряжения на контурах вырезов, причем это проявляется более существенно для трещин большей длины.

Исследовано также напряженно-деформированное состояние прямоугольной пластинки с двумя коллинеарными краевыми трещинами

равной длины па осп симметрии, при заданных нормальных переме,гениях граней, паралельных трещине, (и^сопзГ.) и касательной нагрузка на остальных гранях. Показано, что касательная нагрузка оказывает, при определенных параметрах, значительное влияние на НДС тела, в том числе на величину и характер раскрытия трегвдш. Еще раз подтверждена эффективность подкреплений пластинок с трещинами.

Для коптроля точности результатов использовано условие статического равновесия частей периодического элемента, выделенных сечениями y•*conзt. Погрепность не превышала 2 % . Для оценки сходимости получаемых результатов исследования проводились при различном числе координатных функций.

В четвертой главе исследовано напрякеппо-деформпрованное состояние тел с трещинами, упругио характеристики которых являются непрерывными функциями координат.

На основании предложенной методики решены: 1) задача о рас-ТЯ20ЕЕИ па бесконечности непрерывно-неоднородной полосы с периодической системой двусторонних прямолинейных треццш, перпендикулярных к оси; 2) задача определения напряженного состоянии неоднородного прямоугольника с краевой трещиной ыа оси симметрии, при заданных нормальных перемещениях и ~6 на грапях, пзралельиых треиране, и отсутствии па последних касательных напряжений. Модуль упругости материала меняется по степенпому закону в направлении, параллельном трепрше, и постоянен в направлении, ' перпендикулярном ей. Коэффициент Пуассона постоянен.

Исследования показали, что увеличение жесткости к оси и умэньсекае ее к граням для полосы, а также уменьшение модуля Юнга к граням с треципой и увеличение к противоположным граням для прямоугольника, приводит к перераспределению напряжений о в бо-

-о-

.гев г-веткпо области и соответственно к уменьшении Ю-1Н. Обрвтгиэ изменения гесткостой, при определенных ях значеннях, приводят к более слозшш качественны!! и существенным количественным перераспределениям напряжений и к увеличении КИК.

В заключении приведены основные результаты работы н краткие выводы.

В дрилоаении содергатся краткое описание программной реализации методики, распечатки программ и акт об использовании результатов исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

1. Метод И-функций распространен на решение задач тоориж тре-

2. Построены структурные формулы решений периодических задач теории трещин для полосы, точно удовлетворяющие граничным условиям на периодическом элементе и позволяющие корректно #внести характерные для данных задач особенности.

3. Предложен способ внесения в структуру сингулярностей с использованием точного решения задачи о давлении штампа на полуплоскость.

4. На основе совместного использования построенной структуры и вариационного метода разработан алгоритм з создано програ>етоэ обеспечение для репгэния задач такого класса-

5. На тестовш: задачах проведены анализ эффективности алгоритма с оценка достоверности полученных результатов.

6. С использованием разработанной методики и созданного на ее основе комплекса программ выполнены постановки и получены чпс-

лоппыэ гарагсторпст;л'31 пспрягэЕпого состоялся для с-.' KXS" за-

дач:

а) Взаиловлпянио пэрлодичоских систем кразчиз: xpo:^zi2 п периодических систем отверстий, краевых вырезов прп растякопзш однородной полосы. Установлено, что палячнз зллинтпчоскци: отЕорстсЗ на оси полосы может для определенных парзмзтрол тре^гп п отззр-стпй увеличивать КИН болзе чем в дгза раза, а нзлзчиэ зллшггпчэс-1ше"вырезов па гранях иозду тре;5г31а;.:п моезт $цопьепггь ККН беыгао чей на 50 прецзитои. Нелично трецгя епккаот таксе ксицзтгграцра папрягошй! па вырэзах, а при опредолеппкз параизтраЕ троена е вырезов совсем ие&тралжэуот еэ.

б) Растяаэппе полосы с пзрподкческой систзиоЗ дзусторопссг краевых угловых вырозоа п системой троцил исходящая: пз es bsjш. Установлено, что вырезы умзпызают КИП, причем, это сказшаотся более сущзствзнно для больших углов ß н глубин внрозоз Ь . "г.;-. для (Ь^ + 1 )/П=0.Ъ, (i/U= 1.0 умепьпэппэ досткгозт 23 процептоп .

в) Влияние касательное кагруэкн но гранях с трск^дэгаг па па-прягошю-до^юршгрованноз состояпео прякоуголъпсП пл&лплег; с дэу-ма коюшяэарш&а сыедетрпча^из краозкиз трацзнечл, ирл задщи^-х пормакьшк пэреиэзуишяз: граней парэлалкшг трастам п отсутсзсз по Еосладпдд кэоагедьииз напрягзкпй. Устшюолоно, что кзсзтол'_.пзя нагрузка на грахшцэ с трос^шакз, прспятстпу^эцая раотлло^хз тела, укэпьшаот КШ босым, чом сграппчэшгз пэремзцап-й ' rpnnoii цзрг-лзлыгих трощанз при рсюзыз: сукморглс: Еацряяэшя:: растакоппл па продававши: тровцшн. Тш: для В/а - 1.0, г/И - 0.5 от а г-азпоегь состазхяат около 40 процентов.

г) Влияние и-зсдцородпостз па нзарягоплоэ созтоанго иод оса с аораодзчоскоЛ онствкоЛ двусторэгсшз: трацра, раотигазазмой па бос-

холечтгестгг. Устспсвязпо, что угеныпопно гестксстп к сся полосы пргссддт к слсзппа л суяэстпоппкм порерасцределёпяям напрягеша и

0СН0ВШЗ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В РАБОТАХ

1. Бсдпор D.I. Досл1д.т8евп взаемовшщву пер1одзчних систем Tpli^ZH i GTEOpiB при розтяз! полоса / Львов, политехи. ин-т--Лызоп, 1592.- 11 с,- Доп. в УкрНИИНТИ 16.01.92, N 53-Ук92.

2. Боднар Ю.51. Исследование папрягеЕдо-дефорглтроваяного состояния полосы с периодической системой краевых трещин методом Н-£.упквдЗ / Львов, политехи. пп-т.- Лызов, 1992.- 11 е.- Деп. в У:срКМИНТЯ 16.01.92, N 52-Ук92.

3. Русягосо K.M., Боднар ¡0.1. Нэггрухсепо-деформоваяий стан нвпе-рервяо-яеоднор1дпо1 полоси з пер1одичного системою дпосторопя1х тр1щия< "'.о розтягуеться на песк!пчеиост1 / Львоз. полггтэгн. пн-т - Львов, 1992.- 11 е.- Iß п. в УкрНИШГИ 16.01.92, U 51-Ук92.

4. Бо-тыЯ И.П. .Боднар Ю.И. .Яоребоцкий С.К. Прочность и даформа-тниность панелей перекрытия КЦД, содержащих трегциноподобные да-(ЗУкты // Механика а физика разрушения композитных материалов л конструкций: Тез. докл. 1-го Всесовз. сгалюсяума, секцяя 2.-Уасгород, 1989.- с. 91.

Поди, к печати 2*. сн. аг. Форма г 60x8^/16 Бумага типограф, fä 2. Офс. пвч. Усл.пвч. л Усл. крае.-отт. у. Учетно-изд.-л 0,93-Тирад -(Со экз. 5ак. &'в .Бесплатно

___ЛГИ 290546 Львов-13. Мира. 12

Участок оперативной печати опытного завода ЛГМ Львов, ул. 1-го'Мая, 286