Метод разрешающих функций в линейных дифференциальных задачах с интегральными ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГС од

п

г

О /Хи{вський ун1верситет ¡меш Тараса Шевченка

На правах рукопису

УДК 518.9

БЕЗМАГОРИЧНИЙ BiKTop Володимирович

МЕТОД РОЗВ'ЯЗУВАЛЬНИХ ФУНКЦШ В Л1Н1ЙНИХ ДИФЕРЕНЩАлЬНИХ 1ГРАХ 3 ШТЕГРАЛЬНИМИ обмеженнями

01.01.09 — математична к1бернетика

»

Автореферат дисертацп на здобуття наукового ступени кандидата ({изико-математичних: наук

КиУв 1993

b

Дисертащею е рукопйс.

Робота виконана в 1нституп юбернетики ¡меш В. М. Глуш.-_ .. АН Упрапш.

Науковий кер1вник: -доктор ф1зико-матема.тичних -наук, професор Чикpiй Аркад»"! Олексшрвич.

Офщшж опонснтн:

1. Доктор ф1зико-математичних наук, професор Онопчук Юрш Миколайович,

2. Кандидат фЪнкочматематичних наук, доцент Крак Юрш Васильевич. у

Провщна оргашзащя: Кн1вський полггехшчний шетитут.

Г) . .

3ахнет вщбудеться « » — 1993 р. .

на застцанш спещал1зовано1 вчено! ради Д 068.18.16 при Ки-Твському ушверситет1 ¡меш 1Тараса Шевченка за адресою:

252207 Киш 207, проспект Академша Глушкова, 6. ■

3 дисертаюею можна" ознайомитися у б1блютеил Кшвського ушверситету ¡меш Тараса Шевченка.'

1 «-2^» Л\ле.т01-\о.&а ]

Автореферат розлеланий. 1993,-р.

Вчений секретар ' . /¡и

■спсщал!зовано\' вчено'Г ради уиЦ'!^ ^ КУЗЬМ'!Н А. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Аитусиън1сть тели. Предмет досл1дження в дан!Й дисертаЩйнхй робот! складають конфш'ктн! задача про керування об'ектами, як! описугаться звичайними диференц1альними р!вняннями. Так1 задач! пряйнято об'еднувати терм1ном диференц!альн! 1гри. При цьому вивчення обмежене розглядом л^дШшх диферешиалышх !гор пересл!дування за наявнос-П антегральних обмежень на керуваиня гравц!в.

Дослхджуються як Юн! питания про можливост1 приведения траекторН диферентального р1вняння, що знаходиться Шд впливом Л г, ох лротад1Ю:1их стордн, ■ на задану множину. Критер!ем якост! е час.

Ггровкй характер таких конфлактних задач керування проявляеться в тому припущен«!, що гравцю (у данШ робот! гра розглядаеться з точки зору переслхцувача, тобто гравцю, що лемагаеться вивести траекторию процесу на задану множину) в кожний момент часу не в3.домкй точно майбутнШ спос!б дШ суперника (неведомо точно, якими Оудуть у майбутньому керукг-а впливи суперщтка), 1 при визкаченн! сгогл дхй цей граэець може ыгаратися лиие на знания ф1зич!тих можливостей свой та суперника.

Вже 1снуюча !стор1я розвитку теорН диферетЦальних !гор показала велик! труднощл в строгому математичному формал1зувакн1 зг/1стоено! картини лиферешЦально! гри. Лля л!нШшх дуферетЦэльних !гор переслйдувашя з !нтегральними обмеженнями нг, керування гравШв обхад цих трудноиИв обо 1х подола1шя зд1йснюються одним з таких основних еЩзмих на сьогодн 1 шлях1в.'

Одна з формзл!зац!й - позиц!йка диференЩальна гра. Така назва п!дкреслюе. що в розглядуванШ гр! керуючий вшшв (переслХдувача), який визначаеться в той чи !нший момент часу Ясго стратегдею та яодэеться вхдразу на систему, с фушаЦею (може, випадковою) в!д позицИ, що була реализована в цей же момент часу (або функЩсю в1д !сторП позиц1й, ио реаллзувзлась на цей момент часу). Така постановка дкферснхПзльно! гри запропоксванз М.М. Красовсышм та розвикена в його роботах 1 роботах його учкхв.

В УкрШнз такий пхд;<1д до лгнайних диферетЦальних хгор з !нтегралькши обмеженнями отримав сь!й розвиток у роботах Б.и. Пшеничного та Ю.М. Окопчука. Не вдаючксь у детал!

цього п!дходу, В1ДМ*ткмо, що в1н ор!ентований на час першого поглинання, тобто визначаються деяк1 достатн! умови (умови регулярности, виконання яких 1 забьздачують зак1нчення гри за час першого поглинання. Якщо умови регулярност1 не виконуються, то можливе застосування разноманатних способ!в регуляризаци, як! дозволяють закЗлчити пересл!дування за час з деякого околу часу першого поглинання. При иибор! свого керування переслЦувач використовуе правило екстремального пршилювагая.

Гнша формал!зац1я стосовно л!н1Йних диферешЦальних !гор з' !нтегральними обмеженнями - прямий метод. В1н запропонова-ний М.С. Школьським 1 в, як в1домо, аналогом першого прямого методу Л.С. ПонтряПна. Цей метод реалазовано в к лас! контркерувань, тобто при формувашг керуючого впливу пересл!дувач використовуе в поточниЛ момент часу Шформац!» про реал!зац!ю керувашя суперника в той же момент часу. Як гарантований момент закШчення при такому п!дход1 використовуеться деякий момент поглинання, не завжди найменший. Коротко суть такого п1дходу виражаеться у такий спосаб. Визначаються деяк1 достатн! умови, як1 накладаються на динамику процесу 1 пов'язуються з ЮТегральними обмеженнями, при виконанн! яких юнуе деякий вим1рний селектор у простор! допустимих керу-вань пересл!дувача I в!дпов!дний до нього абсолютно неперервний селектор у фазовому простор!, який визначаеться до початку гри 1 йдучи за яким система приводиться на терм!нальну множину. При цьому вказан1 вище достатн! умови гарактують пересл!дувачу можливютъ вести систему даним селектором,' використовуючи анформаЩю про поточне значения керуючого впливу суперника. Подальиий розвиток такий Шдх5.д отркмав у роботах О.Б. Мезенцева та А.Я. Азимова.

Для диферешЦальних ¿гор з геометричними обмеженнями на керування гравц!в в1дома ще одна формал!зац1я - метод розв'язувальних функц!й. НайповнИпе б!н викладений 1 детально розроблений у роботах А.О. Чикрхя. Особливютю такого подходу-е введения- деяко! допом!жно1 розв'язувально! функцИ, через яку й визначаеться гарантований час . закшчешя гри. 3 Хншого боку, розв'язувальна функция характеризуе прот!кання процесу. Таким чином, яри визначенн! гарантованого часу заканчення гри перетворення !нтегралу в!д не! на одиницю в деякий момент означав гарантоване влучення в цей момент на терм!нальну множину.

Перетворэння ж 1нтегралу вЩ розв'язувально! функцИ на одиницю в деякий момент у процес! гри означав, що подальший рух системи по раньше визначеному гарантованому селектору забезпечуе зустр1ч з терм1.нальною множиною. МожливЮть же переслЗдувачу вести систему по заданому селектору забезпечуеть :я, в свою чергу, виконашям умови Л.С. ПонтрягЗла, в1дпов1,цним вибором селектора i можлив1стю вккористання пересл1дувачем у поточний' момент при форму ваши свого керуючого впливу 1нформацИ про реал1зац1ю керування суперника в той же момент. Тим самим процес перзсл1дування роздьляеться на да! частини. На nepmifl д!е власне метод розв язувальних функц!й з використанням пересл1дуватем у кожний момент часу Bciel перед1сторН керування втхкача; коли ¿нтеграл в1д розв'язувально! фулкцП стае р1вним одшвпц, то процес пересл!дування переключаеться на перший прямий метод Л.С. Понтрягзла i реал1зуеться в клас1 контркерувань. Потребно заувакити, що хнформованЮть пересл!дувача, яка при цьому використовуеться, взагал! кажучи, може допускати pisui фэрмал1зацП диференЩально! гри, тому що за умови детерм!нованост1 процесу гри розумно допустити, що, знаючи в кожний момент перед}сторхю керування вт!кача, а також деяко правило, що дозЕоляе за ц!ею 1нформац1ею отримати реал!зоване в цей момент власне керування, переслШувач може волод1ти в кожний момент 1яформац1ею про гозиШю, яка реалхзувалась у цей самий момент часу.

Мета робот. 1. Отримати аналог методу розв'язуряльних функЩй для лхнИйшх диференц1альних irop з 1нтегральними обмеженнями. 2. Доол1лити способи б1лып эфективного використання ¿нфоркацайшнс можливостей методу розв'язувальних функЩй.

Иетодй дослЬдхення. В дисертацИ широко використовуються елементи Teopii Оагатозначних в!дображень, апарат опорних функЩй, апарат розв'язувальних (кал1брувальних) функЩй. Особливо широко застоссвуються елементи опуклого анал1зу. Такох використовуються елементи Teopii диференЩальних р!внянь, функЩонального анал1зу та топологи.

Наукова новизна. 1. Введено розв'язувалыИ функцН загального вигляду та досл1джено 1х властивост1. 2. Запропоновано аналог методу розв'язувальних ФункЩй для лШИШх диференЩаль-

них 1гор з ттегральними обмеженнями, який дозволяв легко перехо-дити до прямого мотоду (М.С. Школьського), але не дозволяв шл1шшти гарантований час зак!нчення пересл!дування, що дае прямий метод, з. Запропоновано процедуру полЛшення методу, що дозволяв достатьно гнучко використовувати информацио про можливЮть л характер "помилок" втЛкача. 4. Запропоновано аналог методу розв'язувальних функц1й для л1н1йних диференЩальних Агор

3 р1знотипними обмеженнями 1 показано, що його використання дае можлив!сть у деяких випадках полШшити гарантований час закШчення пересл!дування пор1вняно з прямим методом (О.В. Мезенцева). 5. Запропоновано спос!б пересл1дування, який бЛлып ефективно використовуе олформадШЛ можливост! методу розв'язувальних функЩй, та визначено умови, коли за допомогою даного способу пересл!дування можна пол1лшити гарантований час зак1нчення переслЛдування, що дае прямий метод (М.С. Школьського). б. Показано, що запропонований спосЮ пересл!дування можна ефективно використати 1 в раз1 групового пересл1дування.

•

Теоретична та практична ц1нн1стъ робота. Результата дисертацИ носять теоретичний характер 1 можуть служити основою для подалышх досл!джень. Запропонований у глав! 3 спосХб пересл1дування дозволяв, з одного боку, гнучко настроюватися на використання "помилок", з ддшого - за деяких достатньо загальних умов - на полХлшення гарантованого часу зак!нчення пересл!дування (пор1вняно з прямим методом).

АпробацЫ роботи. 0сновн1 результата дисертацИ допов1дались на науковому сем1нар! "ТеорХя оптимальних рНиень" науково! ради АН Укра1ни з проблема "Ибернетика".

Публ1кац11. 0сновн1 результата дисертацИ опубл1кован! в

4 статтях, список яких наведено в кдлц! автореферата. .

Структура дисертацИ?. ДисертаЩя складавться з вступу,

чотирьох глав та списку л1тератури. Робота викладена на

99 стор!нках машинописного тексту. Бабл1ограф1я нараховуе 60 найменувань.

3MICT ДИСЕРТАЦП

В глав! 1 розглядаеться задача пересл!дування

z = Az + Bu + Cv, (1.1)

де г « к", кп- п-м!рний евкл!довий прост!р; А.В.С -

матриц! з шст1йними коеф!ц!ентами розм!рн!стю пхп, n*p, n*q

в!дпов!дно; u,v - керуюч! вектори з кр и R4 в!дпов1дао, так1, що

/<и(т),и(т:)>ат < ftz (ц>0), (1.2)

о

О! _

/<v(T),v(x)>dx < Vе (v>0). (1.3)

° * JO

Терм!нальна множила мае вигляд M =ir+M,

де - л!н!йний nlnnpocTip в R"; M - опукла, замкнена

мношна з1- ортогонального додатку до м° в npociopi R?

Означення I. Гра (1.1)-(1.3) мохе бути зак!нчена !з . за-даного положения г0еж"\м* не ni3Hime His за час' T=r(z°), якщо icHye вим!рна функЩя, яка задовольняе (1.2), . u(t)-u(z°,vt(.)), Де vt(. )={v(T), te[0,t]}, U=[0,T(z° )], що

а(т(з°))бМ* за Оудь-яко!, що задовольняе (1.3) вим!рно! функцИ v(t), te[o,T(z°)], де z(t> - розв'язок системи (1.1), що в!дпов!-дае керуванню (u(t),v(t)) та початковому положению z°.

Нехай 1С - оператор ортогонального проектування з к" на п!дпрост!р L, Розглянема л!н!йний оператор i:etAB.

Уыова А. Оператор icetAB виконув взаемно однозначна з!дображення простору кр на L (з чого вишивае, що dim L=p) .для будь-якого t>0.

Надал! вектори %z будемо розглядатаг в базис! ь. Позначимо П матрицю оператора %.

При виконанн! умови А маемо

ПеиВ= (%<*>). ПеиС= де ?t(t) - матряця р«р з ненульовим означником при t>0; Pz(t) -матриця pxq.

При BHKOHaHHi умови А хсяуе F(t) = F~'(t)P2(t) при t>0.

Уыова В. Матрична фунгаЦя F(t) неперервна в точц! t=0.

Введемо функцию

%z(t)=SP(t)ijV , t=o,

x2(t)= .. sup r<F(T)v(T;),F(i:)v(T)><iT , t>0.

/iv(s),v(s)>ds<v о

Умова С. Для будь-якого t>0 виконуеться \х>хСt). де %(t) -арифметичне значения кореня !з х2(t) ■ Позначимо

г t t -,

G(t,T]M /Р1(г)ы(х)с1т : /<u(t),o)(t)><it<T)zL lo o J

де ы(-) - вс!ляк! вим1рн1 векторн1 функцИ з кр.

В1дм1тимо деяк! властивост! воображения G(t,T]) при t>0, rgO.

1. Git.TJ^it.l).

2. G(t,l ) - компактнозначне, опуклозначне, причому строгови- : пуклозначне та неперервне по t>0.

3ayça*e ння. П!д строговипуклозначн!стю тут i надал! розумхеться строговипуклозначн!сть у простор! L. Заф!ксуемо неперервну функц1ю î](t). :

X(t)<T¡(t)<^, t>0. , (1.4')

Заф!ксуемо неперервну векторну функШю g(t):

g(t)e(H-T)(t))G(t.1) при t>0. (1.4")

Введемо воображения при t>0, ZeRn, TefO.t], Ve-R4, ß>0: M(t,z)=M-itetAz-g(t), H(t,T,v,p)=F1(x)Sp(P('i:)7,l|P(T:)v||+/^(T)(t)-x(t))),

де sp(x,p)={ уеКр:Цх-у(|<р }, Ц. |]=/ <•, -У, р>о.

Введемо функцИ, що допускають безмежн! значения: . a(t,T,z,v,ß)= sup { аго : wit.t.v.ß) n aM(t,z)x0 }, ß(t,T,z,v)= sup { ß>0 : W(t,T,v,ß) n ßM(t,z)*0 }. В1дм!тимо деяк! властивост! фунгаЦй a(t,T,z,v,ß) та ß(t,T,z,v). Властивост! функцИ a(t,T,z,v,ß), t>o, Xeto.t], ze¡R", v«=R4, ß>0:

1. inf d(t,t,z,v,ß) = a(t,x,z,ö,ß), де 5 - нуль-вектор в1дпо-veK4

вЩю! pocMipHocTi.

2. a(t,t,z,ö,ß)=yrpa(t,i.z,ötl), якщо не виконуеться одночас-но ß=0 та 5eM(t,z).

3. a(t,t,z,v,ß) неперервна за сукупнЮтю bcíx сво!х аргу-мент1в в ycix точках, в яких 5¿M(t,z), t>0, т>0.

Властивост! функц!! ß(t,t,Z,v) при t>0, TeíO.t], ZeKn, VeK4:

1. Inf ß(t,a1z>v)=ß(t,T,z,5).

velR4

2. ß(t,i.z.ö)=/ß(t,t,z,5) a(t,t,z,5,i) або

ß(t,D,z,5)=ta(t,T,z,5.i)]2.

3. ß(tti,z,v) неперервна за сукупнЮТю bcíx cboíx аргумен-т!в в ycix точках, в яких 5<rM(t,z), t>0, т>0.

Розглянемо

Т_ „(z)=inf/t>0 : / inf P(t,t,z,v)di>l), l о vgR4 i

д6 zern\m .

Зауваження. Якщо х=о, то за домовлен!стю приймемо inf(x)=®.

t xgX

1. T1)jg(z)=iiif^t>0:/p(t,T;,z,ö)dt2l]=

=inf|t>0:/[a(t,t,z.ö.l )]adt>lJ.

2. Яадо ввести

T^ gts.ßi- ))=lnf^t>0:/a(t,T;,z,ö,ßCc))dt>lJ,

де /ß(i:)dt<i, ß(t)>0;

° t

TTJ(g(z,v(.))=inf|t>0:/ß(t,T:.z,v('c))dT>lji .

де v(.) задовольняе (1.3), то буде справедливим сп1вв1дношешя

3. Якщо ввести

r(z)=inr|t>0 : (^x(t))G(t,1 )n{M-%etAzW}, то справедливе сп!вв!дношення

T(s)=inf|'PT)fg(z): t](-) ig(-) задовольняють (1.4') i (1.4й)}.

Зазначхмо, що в силу властивостей 2 и 3 для Т^ ^(г) маемо

)):Т)(.) аг(.) задовольняють (1.4*) 1 ;1.4")},

де ) задовольняе (1.3). 3 цього випливае, як цв показано на приклад! п.1.5, що дана схема дозволяв в деяких вяпадках, колл мокливе визначення Т^в(г,т(.)) в клас! стратег!,!, оаф!исованих в означенн! 1, отримати час попадания на торм!нальну множину меншв т(г) за рахунок такого використзнкя хнформацИ про вт1кача, яке допускав використання "пскилок" втАкача. Так само за рахунок цього мокливе наблюдения до в клас! стратег!®, заф!ксованих в

означенн! 1 ! там самим покращання часу попадания на термШалъну множнну (теореми 1.2-1.3).

Для доведения властивост! 3 функц!й а(1;.,т,г,у,р) та р(-Ь,т,г,7) використовувться так! леми.

Лена I.I. Нехай багатозначне в!добракенкя й':кк*к%к(кр), де К(кр) - непуст! компакта з кр, вэлод!в властивостями:

1) Mi(x,ß)c W(x,a.ß). А«[0.13, ß»0, s^ß";

2) w(x,ß) нап!внешрервне ЗЕэрху по х для будь-якого ф!ксо-ваного ß>0.

Нехай багатозначне в!дображення и :гек-»К(о?р) нап!внеперервнв зверху; М2(х) = М+Х(х), де Х:кЧкр - неперервна векторна функц1я, м - замкнена необмежена множина з кр. Надал1 нехай воображения М(х) можна подати або як М4(х), або як мг(х). Тод! функц!я ß(x)=sup {ß>0: W(x,ß)nßM(x) * 0}

■ нап!внеперервна зверху.

Лена 1.2. Нехай багатозначне в!дображення W:RIckK"->Kv(Rp) , де Kv(кр) - непуст! опукл! компакта з гер, волод!е властивостями:

1) \W(x,ß)\ö с Int w(x,Xß), оа<1, ß>0, хе«\ де intS= {ycS : э e=6(y)>0 i ||x-yfl<e * x<=S};

2) W(x,ß) нап!внеперервне знизу по х для будь-якого ф!ксо-ваного ß>0.

Нехай багатозначне воображения Mi:Rk-»K(Kp) нап1внеперервне знизу; Ы2(х) = Ю-Х(х), де r:Kk-»Rp - неперервна векторна фунгаЦя; ы - замкнена необмежена множила з кр. Надал! нехай воображения М(х) можна подати або як М1(х), або як М2(х). Тод1 функц!я ß(x)=sup {ß>0:W(x,ß) n ßM(x);*0} нап!внеперервна знизу в точках, в яках öeM(x).

Лема 1.3. Функц!я %г (t) неперервна при t>0. При дьому

X2(t)=N2(t)v2, де N(t) = max pMII-

o<x<t

Теорема I.I. Нехай при виконанШ. умов А, В i С для дея-ких т)(.) i g(.)i що задовольняють (1.4') i (1.4") воповоно, та z°eRn\M* справедливо т^^Н®. Т0Д1 rpa може бути зак!нчена !з заданого початкового положения z° не п!зн!ше Hia: за час т„ _(z°).

'/•о

В глав! 2 розглядаеться задача переслОування (1.1),(1.2) !

v(t) е Q, (2.3)

¡де Q - непуста компактна множ1ша простору к4.

■Формулюеться результат, аналог!чний теорем! 1.1.

В глзв1 3 розглядаеться лИЦйна задача первсл1дування одним гравцем одного втолача з 1нтегральними обмеженнями на керування гравц1в. Проводиться пор!вняння часу зак!нчення пересл1дування, що в!дпов1дае двом р!зним п-дходам - позицШшу методу та прямому методу, що в, як в3.домо, аналогом прямого "йвтоду Л.С. ПонтряПна. Вивчаеться можлив1сть збликешя п!дход!в .на ochobí прямого методу 1з застосуванням розв'язувальних функ-Шй. Пропонуеться cnoci6 пересл!дування, що частково реал!зуе цю могишв1сть.

Задача полягае в тому, щоб привести траекторий проце-су (1.1) на терм!нальну множину за найкоротший час, використовуючи керуючий вектор u, i3 заданого початкового положения а°. При цьому векторна функц!я u(t) повинна бути вим1рюю та задовольняти обмекення (1.2).

Припускаеться, що'при побудов! керування u(t) пересл1дувач мозяе використовувати 1нформац1ю про керування втХкача аж до поточного моменту t, тобто .u(t)=u(z°,vt(*)), де vt(.) =-- {v(t), т«(0,ti).

На да л i скр1зь пртгпускаетья виконання умов A i В.

Введемо багатозначне воображения

r t t 1 ' • G (t)={ s H(T)u(i;)di; : /<u(t),u(i:;>di;<i L

>- o o '

де H(*) - неперервна матрична фунгаЦя, елементи яко! неперервш функцН з к; ш(•) - вс1ляк1 BiiMipHi векторн1 функцН в1дпов1дно1 розмлрност!.

Позначимо

M(t,z,p.,v)=M-1CetAz+HGF (t)-VGF (t), * 1 z

де X-Y={x: x+YcX}= n (X-y).

УеУ

Введемо функцН

K(z)=inf|t>0 : 5eM(t,z,|Jt,V)j,

T(z)=infjt>0 : (t)j,

де йеК"\м*, о - нуль-вектор вл.дповд.дно1 розм1рностх.

В1ДМ1ТИМ0 деяк1 властивост! функЩй K(z) та T(z).

I. K(z)=inf|t>0 : WJF (t)cU(t,z,H,0)| <

<inf{t>0: (t)-vGF (t)}nM(t,z,O,0)f0];

Т(г)=1п1^>0 : ШсМ^.а.ц.О)} =

причому останн! да! р!вност1 справедлив! при х^)*!1 У^О.

2. Якщо К(г)<о), то 0е5М(К(2),2,ц,у). АналогДчно, якщо Т(г)<со, то о е а{М(Т(2).2.Ц,0)-Х(Т(а))0г (Т<2))}.

1

3. Якщо ввести

Т(2,р)=!п^г>0 : ОеМ^.г.Ц.О-рП'^рхСЮС,,. <1;

то

Т(а,р1)<Т(а,рг), О^р^, причому Т(2,0)=К(г), Т(г,1 )=Т(г).

4. Справедливе твердження, що

• К(г) = ТЫ < ю.

тод! ! Т1ЛЫШ Т0Д1, коли

о е дСмиагКг.Ц.Ц-Р^РХОСЫ^ (К(а))} Уре[0,1]-

i

Зв1дси, зокрема, випливае, що якщо об'екти одиотипн!, тобто

^>0, то К(г)=Т(г) УгеК"\зг*. Кр1к того, зв!дси також випливае, що 'якщо Т(а)<ш х о * дМ(г(2),2,ц,у), то К(г)<Т(г).

Зазначимо, що в останньому випадку, як це буде показано ниж-

че, мокливе приведешя траекторН процесу (1.1) на термхнальну

множину ран Пне моменту Т(г) з використанням способу переелгдуван-

ня, в!дм!нного В1Д П03ИЦ1ЙН0Г0.

Не хай для деякого 2еКп\М* виконуеться Т(г)<ш. Додатково

вимагатимемо, щоб 0<х(Т(г))<ц. ( Хоча зам!сть цього мокна розгля-

дяти 1пМ ж 0 <х(Т(г))<|1) (див. п.1.3) або, аналог!чно,

!п4{М(Т(2),2,|Л,0)^Х(1|(г))Сг (ТЫ)} * 0.)

1

Тод!

3 в0е (Ц-Х(5,(е)))Сг (ТЫ) 1

1

е =го ~Хе т € М.

о о

ЗвХдси

Тш

Э0)о(-): / Р1{Т(г)-т)ио('С)(П--ёо Д о

/|ыо (т >Ц2<«;- (ц-Х > > >г •

Тод!

Vee[0,T(z)'] 3Xse [0,1]: /||Uo<Х)П^Х=(1-\*У01-Х(т(г))f,

О

s BuJ X ) ||zdt=\g (Ц-Х (T (z ) ) f. -.

s

Позначимо при s€[0,T(z)], te[s,T(z)], Xefo.1] воображения + д s

M ( t, z Д ) e z+XXa (Ц-Х (T(z)))Gr ( t-s )-/F, ( t-X)Uo ( X ) dx.

i о

BJjmîtiîmo, що (див. п.1.4)

1. 5е<?Мв(Т(г),гД), ЯЮЦО s=T(z) ИЛИ .

2. 5<=l\ms(t(z),z,A.), якщо s*T(z), л*1.

Введемо фуншЦю.'ЩО допускав безмежне значения й визначену при se[0,T(z)],ie[T(z)-stT(z)],vdR<,,ta^Rp,A€[0,1]:

Ps(t.z,v,u,A.)=eup{p>OsW(T,v,u)) л PMs(T(Z),Z,X)>î0 },

де

w(X,V,U)=Fi(I:)sp(P(T:)V-U,N(T(Z) )av8+ja)» ). BlmlTHMo деякх властивост! воображения ff(x.v.w):

1. 5elntw(x,v,u) <F(x)v,o» > -H(T(z) HvIISUJ ; ôe<5ïï(X,v,U) <F(x)v,U> = —N(T(z) )Uv} tloB .

2. BP (х)ыЦ * N(T(z) )BU)|> «> OeintW(x,v,u) або v=o.

Можна показати (див. п.1.2 in.1.4), що ра(х,г,у,иД) непе-рервна за сукупнЮтю (x,v,to,\) в ycix точках, у яких 5eL\MB(T(z) ,z Д), Х>0.

Заф1ксуеыо деяк! se(0,T(z)) та Ае[0,1). Розглянемо воображения

uo(X,v,uA)=-[ue Kp:Pi(x)u€^ff(X,v,(jj)nP3(T,z,v,0),A.)MB(ï,(z),z,^)j|.

ï(z)-s<X<T(z) , v««4, UeK". Можна стверджувати (див. леми 1.4 та 1.6), що воображения

uo(T(z)-x,v(x),a)(x) Д) однозначне та неперервне за сукупнЮтю (x,v,u) i, отже, якщо

v(x) i и(х) - BHMipHi функцИ, то i воображения. uo(T(z)-x,v(t),g>(x)Д) вим1рне за хе[0,з]. Якщо

s

/•ps(r(z)-x,z,v(T),a)(x)Д)(1Т > 1,

о

то

*

* s 3 s e[0,s] : Г P (T(z)-x,ztv(x),u(x),\)dx = 1.

о

У цьому випадку припустимо u (x,v,c0,a.)=5 при t(z)-S<x<T(z)-s* , ver4, шекр.

Позначимо при ^[8,Т(г)]

(.)Л)= / [*1(1;-т)-У1^-т)Р(Т(г)-1с)Мг)е№ +

о

В

+ X Р1(г-т)ио(Т(г)-'С,у(х),11)о(г)Л)<1т;;

е

к(1;.у8(.)> = ХУ'У-Цв-н^-в)/ Vя-VI ) Г*.

Дв

О

. в

Ув = /<у(х),у(г)>(1х; Т(2.У8(.),М=1ПГ{1;>8: 1г(1,У6(. )Л)еМви,7.,к(1;,Ув(.)))}.

В1дм1тимо деяк! властивост! воображения 1(г,т3(ОД)| ЯК1 вишшвають з означения Л нерел1чених вшце властивостей:

1. Т(г,Ув(.)Д) < Т(е,уо(. )Д) = Т(г) Уу(-)> що задоволь-няе (1.3).

2. Ь(Т,УВ(.)Л) € Мв(Т,а,к(Т,тв(.))), де Т=Т(г,Ув(. )Д).

Зв1дси

3 ЫЕ(1) (Те(0,Т(г,Ув(.)Д)-в1):

Т~3 Б

ь(Т,у0(. )Д) = га -%еТАг - г т (х)ш (х)ах - / Т.(т-х)со (х)йх,

В о I о * о •

о о

Т/<ШВ(Т),Ы8(Х)>(1Х < к2(т,Ув(. ))Х.в(ц-х(Т(й)))г, де Т= Т(г,Ув(. )Д), твеМ.

3. Якчр б «! <ЗИ(Т(а),г,ц,т), то

Збе(0,Т(а)) 1 ЛбСО.1): МТ,у8(.)Л) е ШМв(Т,а,к(Т,У8(.))), де Т=Т(г), тобто

Т(и,у8(*Уу(•), що задовольняе (1.3). Доведения ц1е! властивост! наводиться в п.3.4.

Теорема 3.1. КехаЯ виконуються умови А, В Л для деякого а^ЧМ* виконуеться аг(г0)<® х (,ох(!Г(го))>0. Заф1ксуемо деяк!

Ее(0,Т(й°)), Ле[0,1)- Тод! траектория процесу (1.1) можо бути приведена з гочаткового положения % на термхнальну множину не'п1зн1ше ник за час Т(и°,у (-)Д).

Заувагёння. Як видпо з теореми, пересл^цувач на етап! [0,з] використовуе !лформац!ю про

= {У(х), те[0,Ш, ге[0,в], а на етап! [в,Т(2°,?в(') - тальки шформаЩю про поточив значения т-(т) керування вт1кача. Застосувашя розв'язувально! функ-цН на етап! [О,в) дозволяе використовувати не т!льки неминуч! "помилки" вт!кача при

о «г

але й його поточ*'! "помилки" в процес! гри.

Зауваження. Маючи на початковий момент як оЩкку часу зак!нчення пересл1дування момент Т(г), за допомогою дано! проце-дури в момент ве(0,т(г)) можна уточнити цю оцзлку, взявши за не! момент „(• )Д) < т(г). Ясно, що под!бну

процедуру можна повторити багаторазово, якщо задати 1нтервал е>0, тобто задати в^ 1 Х^, 2>1. Це дозволить протягом усього перес-лЩувакня уточняти момент його зак!нчення у б!к зменшення.

В глав! 4 розглядавться Л-Ш!йча задача пересл!дуЕання групою гравц!в одного вт!кача з !нтегральними обмеженнями на керування гравЩв. Використовуеться той самий принцип, який був використаний у попередн!й глав!. Вал полягэе в тому., щоб на основ! прямого методу виявляти випадки, коли вт!кач змушений робити "помилки", ! вивчати можливЮть використання цих "помилок" для скорочення часу пересл!дування. Але на в!дм!ну в!д попередньо! глави, де так! "помилки" виявлялись у сам!й динам!ц! процесу, тут вони мокуть виникати за рахунок зб!льшення числа пересл!дувач1в та !х взаемного розташування в!дносно вт!кача.

Автор висловлюе подяку своему науковому кер!вников! Чикр!ю А".0. за постановку задач! та корисн! поради.

OcHOBHi результата дисертацП опублИсован! у таких роботах:

1. Безлагорычный В.В. Метод разрешающих функций в линейной задаче преследования с интегральными ограничениями. - Киев, 1993. -23 с. - (Препр. / АН Украины. Ин-т кибернетики им. В.М. Глуш-кова; 93-14).

2. Безлагорычный В.В. Метод разрешающих функций в линейных дифференциальных играх с разнотипными ограничениями / Теория и вычислительные проблемы оптимизации. - Киев : Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова АН Украины, 1993. - С.20-26.

3; Безлагорычный В.В. О линейных дифференциальных играх преследования одним и группой игроков с интегральными ограничениями. -Киев, 1993. - 24 с. - (Препр. / АН Украины. Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова; 93-33).

4. Чикрий A.A., Безлагорычный В.В. Метод разрешающих функций г. линейных, дифференциальных играх с интегральными ограничениями / Автоматика. - 1993. - N4. - С.26-37.