Метод сингулярных возмущений в задачах устойчивости упругих систем при неоднородном напряженном состоянии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

а и 5 ?

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ЗАПОРОЖСКИЙ ОРДЕНА «ЗНАК ПОЧЕТА» МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ имени В. Я. ЧУБАРЯ

На правах рукописи ГРИЩАК Сергей Викторович

УДК 539.3

МЕТОД СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Запорожье — 1991

Работа выполнена в Днепропетровском ордена"Трудового Красного Знамени горном институте имени Артема

Научный руководитель •» доктор технических наук

профессор Дидык Р. П.

Официальные оппоненты :

доктор физико-математических наук профессор В.И.Пожуев,

доктор технических наук профессор Ю.А.Мельников

Ведущая организация - Московский инженерно-строительный институт

им. В.В.фйбышева

Защить диссертации состоится " i% " 1992 г.

в _J_ часов на заседании специализированного совета

К 068.38.01 при Запорожском ордена "Знак Почета" машиностроительном институте им.В.Я.Чубаря по адресу: 330063, Запорожье, ГСД-39, ул.Жуковского, 64.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " ~1у" ¡, р_ 1992г.

Ученый секретарь специализироьанного совета, д.т.н., профессор

И.П.Волчок

; ; ОЩАЯ ХАРА1СГ ЕРИСГГИ1-СА РАБОШ

гпг.^зотг'-уйДс^уальност^ темы. Вопросы исследования статической и динамической устойчивости конструкций при неоднородном напряженном состоянии представляют значительный теоретический и практический интерес в связи с интенсивным использованием тонкостенных конструкций в современном общем и специальном машиностроении. В последние годы аналитические методы с использованием асимптотических подходов весьма эффективно используются при решении задач устойчивости и колебаний упругих систем, в том числе тонкостенных пластин и оболочек переменной геометрии и жесткости, а также конструкций с разрывными жесткостными характеристиками.

Принципиальной с точки зрения теоретического анализа и приложений является проблема построения приближенных аналитических решений, которые могут служить в качестве опорных для численной реализации сложных систем и оценочных, когда речь идет о достоверности полученных численных результатов. ttpoMa того, как извест» но, в сингулярных задачах использование прямых численных методов наталкивается на определенные вычислительные трудности, связанные с необходимостью резкого уменьшения вага интегрирования при приближении к особой точке, что приводит к существенной затрате машинного времени, а иногда приводит к неустойчивости алгоритма численной реализации.

Разработке общей теории и развитию методов расчета инженерных конструкций при статическом и динамическом нагружении посвящены работы Алфутова H.A., Андреева Л.В., Афанасьевой А.Д., Воль-мира A.C., Герасименко П.В., Григолюка Э.Н., Грищака В.З., Да-ревского В.М., Лармииина A.B., Малютина И.С., Маневича Л.И., Мельникова Ю.А., Печникова В.П., Пожуева В.И., Писанко А.Н., Преображенского И.Н., Савчука А.Р., Суркина Р.Г., Тиуэшзва С.А.,

Ахенбаха И.Д., Баруха М., Бремыера Н., Будянского Б., Фултона Р., Матковского Б., Сировича 1., Стилла Ч. и других.

Несмотря на значительное количество теоретических и прикладных исследований в данной области, основанных главным образом на использовании прямых численных методов, проблемы построения приближенных аналитических решений многих важных классов краевых задач, особенно задач на собственные значения, остаются во многих случаях открытыми или же требуют дальнейшей уточненной разработки.

В настоящее время разработано большое число приближенных способов нахождения собственных значений, основанных главным образом на вариационных методах. Широкую популярность среди исследователей и инженеров-практиков приобрели летод конечных элементов и метод граничных элементов - весьма эффективные методы решения прикладных задач для сложных механических систем. Однако и этим мощным численным методам присущ недостаток, обсуждаемый вьша.

В практике проектирования современных конструкций, как правило, предполагается, что внешние нагрузки равномерно распределены вдоль координатных линий. В реальных объектах внешние нагрузки являются функциями координат, что приводит к неоднородности напряженного состояния и соответственно к необходимости интегрирования разрешающих дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

является разработка и применение аналитического подхода, основанного на использовании метода сингулярных возмущений, в частности, метода фазовых интегралов к решению задач устойчивости и динамики упругих систем при неоднородном напряженном состоянии, въп'чшюм переменностью внешних нагрузок, с получением замкнутых расчетных зависимостей для опре-

деления параметров критических усилий и частот колебаний в исследуемых механических системах.

Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в следующем:

1. Асимптотический метод сингулярных возмущений, в частности, метод фазовых интегралов, распространен на класс инженерных задач механики при воздействии переменных нагрузок.

2. Предложены алгоритмы построения приближенных аналитических решений прикладных задач.

3. Выявлены новые качественные эффекты в поведении упругих конструкций при воздействии на них переменных нагрузок.

Достоверность основных положений работы, содержащихся в ней практических выводов обеспечивается математической строгостью моделей исследуемых систем, а также сравнениями с известными результатами, проведшими проверку практикой, и предельными переходами в конечных зависимостях н формулах.

Научное значение исследований, проведенных в диссертации, состоит в развитии математических методов построения приближенных аналитических решений прикладных задач механики деформируемого твердого тела, сводящихся к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, а также к уравнениям, содержащим точку поворота.

Практическая значимость содержащихся в работе результатов связана с построением аналитических решений задач устойчивости цилиндрической, конической оболочек и круговой арки при нагруженин статическим давлением, изменяющимся по координате; сферической оболочки, подверженной динамическому внесшему давлению; на основе физических представлений обсуждается решение задачи о прохождении волны расширения через неоднородную среду; полученные

- Б -

аналитические решения могут служить основой для аффективного использования численных методов и подходов к решению более сложных задач механики конструкций} полученные данные и аависи» мости при решении конкретных прикладных задач, которые позволя» ют повысить качество реальных проектно-конструкторских разработок и снизить в ряде случаев материалоемкость изделий.

• Внедрруие результатов. Результаты диссертации и разработанные алгоритмы расчета внедрены в Институте черной металлургии в проектные работы по созданию комплекса программ для расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости тонколистовых рулонов горячекатанных и холоднокатанных полос.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы доложены и получили одобрение на Ш научно-технической конференции молодых ученых и специалистов (Днепропетровск 1988), II Всесоюзной конференции "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций" (Горький, 1989), I Всесоюзной конференции "Математическое моделирование в'машиностроении" (Куйбышев, 1990), ежегодных итоговых научных конференциях и семинарах кафедры технологии горного машиностроения Днепропетровского горного института, научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Запорожском машиностроительном институте.

Публикации Основное содержание выполненных по теме диссертации исследований опубликовано в 4 печатных трудах.

Структура и объем диссертационно^ ррботы. Работа изложена на 134 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и заключения, включает список литературы из 85 наименований.

- 7 -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана развернутая характеристика актуальности проблемы, дан краткий общий обзор работ, посвященных решению наиболее важных вопросов статической и динамической устойчивости элементов инженерных конструкций при неоднородном напряженном состоянии, поставлена цель диссертационной работы и выделены главные вопросы, подлежащие разработке. Кратко охарактеризованы все главы диссертационной работы.

Первая глава посвящена применение метода фазовых интегралов к решению задачи устойчивости сферической оболочки при действии импульса внелнего давления. Получено приближенное аналитическое резение задачи, справедливое для широкого класса законов изменения формы импульса от времени.

В отличив от существующих численных решений дифференциального уравнения, связывающего параметр нормального прогиба с изменяющейся во времени нагрузкой, предположение о том, что в квадрат частоты собственных колебаний исследуемой системы является величиной относительно больной, позволяет построить асимптотическую процедуру нахождения критического параметра внешней нагрузки. При этом закон изменения давления от времени, являясь непрерывной функцией, не сказывается принципиально на структуре полученного решения.

Исследование начальной стадии динамического выпучивания сферической оболочки описывается линеаризованным дифференциальным уравнением теории пологих оболочек

Э 6 Е

С w - Wo) (w - Wo) + ч*1 w 3

ъ в

с i)

- ь -

Ф Ей5

где у«-N7*47*-+■-У ( 2 ) ^

'Эх1 Ъу1

Введением безразмерных параметров с учетом решения в форме

исх.^нажх.у) (з)

исходное уравнение ( I ) сводится к дифференциальному уравнение второго порядка по времени с переменными коэффициентами:

гдв ¿«и>*-г *а>аг\у

( 4 )

о,

(в)

Решение однородного уравнения, соответствующего уравнению { 4 ), в соответствии с методом фазовых интегралов представляется в форме

■Ь*

ОС

( 6 )

Ё результате подстановки (6)в(4)и сравнения коэффициентов при одинаковых степонях параметра имеем в первом прибли-

хота общее решение исходного уравнения ( 4 ) в форме:

^ü>Y[co»co*Tft*)f \C1kt)&lnu>*T(t) di -

J ' ( 7 )

- sin u)*ТОТ } К 1 (t)coscú*T(b) 4b 1

Во втором приближении решение имеет соответственно вод: - К 1/Ч№) [cosu)*T(t*) [ К*"%) SÍHUD*T(t)c|t - ( 8 *

-sínu)*T(t*H к"'^ft)cosco*Tft)<l-t ]f гдв +*

TCfc*) = j K%)dtf

A*ft) < 9 >

"ь

Для конкретных геометрических и весткостных параметров оболочки проведен расчет функции нормального перемещения в зависимости от параметра времени и определена его критическая величина при шбранном критерии устойчивости, соответствующем пара* метру перемещения, равному единице. Отличие от численного репе«, ния, полученного методом Рунге-^утта ужа в первом приблипении составило 8/5.

Во второй главе работы метод сингулярных возмущений использован для построения асимптотического решения задачи устойчивости цилиндрической оболочки, подверженной переменному внешнему давлении. Для уравнения четвертого порядка с переменными коэффициентами, соответствующего полубезмоментиой теории оболочек и

содержащего малый параметр при старшей производной, предложено аналитическое решение, реализованное для конкретных законов изменения внеонего давления и граничных условий. В общем случав обо« дочка может быть подкреплена частой системой продольных и поле« речных ребер жесткости. *

После разделения переменных задача свелась к отысканию собственных значений уравнения

П » число волн в окружном направлении при потере устойчивости; {!>« и фд - соответственно жесткостные характеристики оболочки при растяжении-сжатии в осевом направлении и изгиб в окружном направлении; 6» - малый параметр; при задан-

ных граничных условиях.

Используя решение в форме ( 6 ) в случае, например, линейного закона изменения внешнего давления и жесткого защемления торцов, расчетные зависимости для определения критического параметра давления имеют вид:

(10)

(II)

ч

м*

(12)

для случая малой изменяемости функции давления;

где

*

. для случая большой изменяемости функции давления.

Характерная зависимость критического давления от относи« тельной толщины оболочки и характера изменяемости внешнего давления приведена на рис.1.

<Й°3

Зависимость ^ ^/й )

Рис. I.

На основе изложенного подхода исследовано влияние конусности оболочки на ее устойчивость, исходя из разрезающего уравнения вида:

где "V/ - тангенциальное перемещение течек срединной поверхности;

6 - осевая координата; -вд» расстояние от полюса до меньшего основания; Д§0 , ¡)до - приведенные жесткость на растяжение сжатие и изгиб при ¿э £0 .

Характерные зависимости представлены на рис. 2.

,, .геометрический 2са параметр

Рис. 2. Зависимость параметра критического давления от параметра конусности

Построенное приближенное аналитическое решение задачи устойчивости пролета гладкой оболочки при действии переменного давления позволило на основе метода начальных параметров в матричной форме учесть влияние дискретности расположения промежуточных шпангоутов на общую устойчивость оболочки.

Третья глава работы посвящена исследованию устойчивости угругой круговой арки при знакопеременном давлении. Появляющаяся ч разрешающем уравнении точка поворота, обусловленная знако-порб'менностью давления, приводит к необходимости построения

"сквозного" асимптотического представления резания дифференциального уравнения второго порядка с переметши коэффициентом. При условии шарнирного опирания торцов условие нетривиальноста реивния уравнения приводит к определителю, равенство нулю которого дает следующее уравнение для отыскания критического давления:

Численный анализ полученных зависимостей при заданных кесткостных характеристиках арки и закона изменения давления показал, что учет знакопеременности внешней нагрузки приводит к существенному изиененкю критических параметров.

главз диссертации на задача о прохождении безвихревой волны расширения через неоднороднув среду показано, как асимптотические решения, соответствующие методу фазовых гагаегра» лов, могут быть получены применительно к уравнению второго порядка с переменными коэффициентами другим путам на основе физических представлений волнового процесса с использованием проникающей и отраженной волн на кусочно-постоянном слое с последуют

щим устремлением толщины слоев к нулю. Получеьное в результате решение использовано при исследовании задачи о продольных колебаниях кусочно неоднородного стержня, частота продольных колоба-

(17)

(18)

- малый параметр.

- и -

кий которого определяется из конечной формулы:

I

_. «-в ,

о

В. предельной случае 0(х)=Со7?5^ имеем

имеем известный результат.

Основные теоретические и практические результаты, полученные в диссертационной работе сводятся к следующему:

1. На основе метода сингулярных возмущений получены асимптотические решения новых задач механики упругих конструкций.

2. Решены новые практически важные задачи: устойчивости сферической оболочки при действии импульса внешнего давления ; цилиндрической, конической оболочки при статическом внешнем давлении, круговой арки при действии знакопеременного давления.

3. Исследованы и описаны следующие механические 'эффекты: влияние геометрических параметров1 оболочек и арки на поведение конструкций при динамическом и переменном статическом внешнем нагружении ? влияние характера изменяемости внешнего воздействия на устойчивость исследуемых конструкций ; влияние изменяемости механических свойств на продольные колебания стержня с кусочно-неоднородными свойствами.

4. Результаты диссертации и разработанные алгоритмы расчета внедрены в Институте черной металлургии г.Днепропетровска п проектные работы по созданию комплекса программ для расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости тонколистовых рулонов.

Основное содержание диссертации опубликовано в следящих работах:

1. Грищак C.B. О прохождении волны через неоднородную среду.-Сб. Методы решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела.- Днепропетровск, 1989.- С. 32-35.

2. Грищак C.B., Писанко А.Н. Некоторые задачи механики неоднородных конструкций с точкой поворота.- Тез.докл. I Всес. конф. "Математическое моделирование в машиностроении".-Куйбышев, 1990. ,

3. Грищак C.B., Дидык Р.П., Писанко А.Н. Динамическая устойчивость сферической оболочки при внешнем давлении.- Тез. докл. П Всес.конф. "Проблемы снижения материалоемкости силоеых конструкцийГорький, 1989.

4. Грищак C.B., Дидык Р.П., Писанко А.Н. Построение аналитн-.ческого решения задачи о динамической устойчивости сферической оболочки.- В кн. Математическое и электронное моделирование в ыашиностроачии,- lûtes, 1990.

ул.иорова, y. ~

АВТОРЕФЕРАТ