Метод слабой аппроксимации и анализ схем расщепления в газовой динамике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

й'З л I ь •

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР-ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ новосибирский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Кучер Николай Алексеевич

УДК 519.63:517.958

МЕТОД СЛАбОЙ АППРОКСИМАЦИИ И АНАЛИЗ СХЕМ РАСЩЕПЛЕНИЯ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ.

01.01.02 - дифференциальные уравнения.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Кемеровском и Новосибирском государственных университетах

Научный консультант: член-корреспондент Российской Академии

Наук Монахов В.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент Российской Академии

Наук Плотников П.И.

доктор физико-математических наук,

профессор Белов Ю.Я.

доктор физико-математических наук,

профессор Тшкин В.Ф.

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий

СО РАН

Защита состоится * / ^ * сргкскуо V 1992 г. в /а час. на . заседании Специализированного бйвета. д/063.98.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск,90, ул. Пирогова,2. ' .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского университета. ^

Автореферат разослан * к> 'ИС-ЭтЪо -М 1992 года.

Ученый секретарь

Специализированного совета <Г / /1

д.ф.-м.н., профессор А.В.Кажихов

ОбЩАЯ характеристика райоты.

Практика использования методов математического моделирования различных физических процессов стимулиравала теоретическое исследование систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, важное место среди которых занимают модели механики сплошной среды, физика плазмы и др..Ввиду нелинейности и многомерности моделей механики сплошной среды аналитически методы исследования не позволяют в общем случае получить полного решения задачи.Одним из основных методов .позволяющих как проводить теоретические исследования самих моделей,так и применять их к решению практически вамшх-задач являются численные метода.Многомерность таких задач выдвигает в число главных проблему построения и исследования экономичных численных алгоритмов,одним из основных приЗмов построения которых является метод расщепления(слабая аппроксимация) дифференциальных уравнений.

Метод слабой аппроксимации,занимая промежуточное положение между дифференциальной задачей и соответствующей разностной моделью, может быть использован в двух вариантах:

1) как один из методов исследования корректности задачи;

2) как метод построения и строгого математического анализа соответствующих разностных схем расщепления, которые с этой точки зрения представляют собой простые разностные аппроксимации дифференциальных задач на дробных тагах.

Как метод исследования корректности задачи Коши для линейных операторных уравнений в банаховом пространстве, метод слабой аппроксимации сформировался в работах Н.Н.Яненко и A.A.Самарского .

Для линейных дифференциальных уравнений различные аспекты метода слабой аппроксимации изучались в работах З.И.Гечечкори .Д.Г.Гор-дезиани, A.A. Самарского,Г.В.Демидова,С.А.Кантора,В.А.Новикова.Для нелинейных параболических уравнений сходимость метода слабой аппроксимации изучалась Д.Г.Гордезиани , задачу краткосрочного прогноза погоды рассматривали Г.В.Демидов и Г.И.Марчук ^;в работах Р.Темама об'ектом исследования являлось абстрактное дифференциальное уравнение с монотонным оператором,а также^задача Т.Карлемана. У.М.Султангазиннм проведено обоснование метода для некоторых нели-

нейных моделей уравнения Больцмана; с одной нелинейной задачей свя-- зана работа В.А.Новикова.».Я.Бедовым и Г.В.Демидовым получены результаты о сходимости метода слабой аппроксимации в пространствах достаточно гладких функций для двумерной квазилинейной параболической системы типа Бюргерса (модельная система гидродинамики)в случае задачи Кош и первой краевой задачи в прямоугольной области с однородным граничным условием.

Роль метода слабой аппроксимации как аппарата исследования конечно-разностных схем заключается прежде всего в том, что задача, слабо аппроксимирующая исходную, выступает в качестве такой дифференциальной задачи, исследование которой отражает основные моменты исследования соответствующей разностной схемы расщепления.

В данной работе это утверздение достаточно отчетливо демонстрируется на примере конечно-разностных схем расщепления для системы уравнений газовой динамики и уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости.

Литература по численным методам решения задач газовой динамики насчитывает сотни наименований(но значительно меньше работ посвящается теоретическому анализу численных алгоритмов. Актуальность теоретического анализа разностных схем для задач газовой динамики подчеркивается А.А.Самарским , О.М.Белоцерковским , В.М.Ковеней и Н.Н.Яненко .

За последние годы Б.Г.Кузнецовым .Щ.Смагуловым .Рысбаевым A.A. Амосовым и А.А.Злотником опубликованы работы, содержащие строгие математические результаты о сходимости и устойчивости некоторых разностных схем для уравнений одномерного движения вязкого газа.Основной, акцент в этих работах сделан на оценках разностного решения и доказательстве устойчивости схем "в целом" по времени. Одномерность задач используется по существу и эти работы появились вслед за работами А.В.Кажихова, В.В.Шелухина, В.Б.Николаева, С.Я.Белова ,в которых получены важные результаты о глобальной разрешимости основных начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа.

Меаду тем. вычислительные трудности существенно возрастают с ростом числа независимых переменных и это в равной степени относится к теоретическому анализу как дифференциальных, так и разностных моделей. В отличие от одномерного случая, для двумерных и трехмерных нестационарных уравнений вязкого газа теоремы существования и единст-

венности решения задачи Коши и некоторых смешанных задач установлены либо в малом по времени, либо в предположении, что начальные данные длизки к состоянию покоя.Многомерность задачи приводит к качественно иной ситуации - локальное решение ( например, то, которое построено В.А.Солонниковым ) не может быть продолжено на произвольный конечный промежуток времени, причем характер разрушения таков, что плотность становится неограниченной функцией.

Для уравнений одномерного движения невязкого газа в лагран&е-вых переменных вопросы сходимости и точности разностных схем изучались В.Н.Абрашиным при тех или иных предположениях относительно гладкости решения исходной задачи.В ряде рабочим также рассматривались локально-одномерные разностные схемы для многомерных гиперболических уравнений в предположении, что точное решение задачи является достаточно гладким.

Имеет распространение также точка зрения , согласно которой разностная схема есть автономная исходная математическая модел^я тогда дифференциальное уравнение является прадвльнкм объектом,соответствующим данной схеме. Если доказательства сходимости и устойчивости схемы установлено с такой позиции, то это позволяет утверждать е9 пригодность для практических расчетов и в тех случаях,когда о точном решении заранее ничего не известно.

Цвлъв детой работ является обоснование метода слабой аппрок-сгалалща да саатем д^фвренидальннх. уравнений невязкого газа и урав-шккй дасзашя важоа сюшшай жздкоста с двумя а треиа пространст-вакшма тарзмэн&гза.а так за всслэдов&тв сходаости и походка точности (схороста схадогоств) разностных схем расцепления для упомяну-тях хвд&^й. '

- ШтФчт исследования связана с получением агшриоршк оценок р&гадша дафференкиальных в разностных систем уравнений и применением на их основе общих методов решения нелинейных задач.

. Автором диссертации получены следующие' результаты, которые выносятся на защиту: ■

1» Для системы уравнений невязкого газа с двумя и тремя прост-ракяээшшми координатами проведана оСоснованвв метода слабой аппроксимации, предусматривающего расщепление исходной задачи но физи-' ческим процессам и пространственным направлениям. Получены оценки скорости сходимости в нормах.С.Л.Соболева семейства решений расшеп-

ленных задач к точному.

2. Для многомерной системы уравнений динамики вязкого баротроп- ' ного газа со смешанными граничными условиями доказана сходимость локально-одномерного дифференциального расщепления к точному решению и получены оценки скорости сходимости приближенных решений к точному решению.

3. Проведено обоснование схем расщепления метода "крупных частиц" для многомерных систем уравнений вязкого теплопроводного газа и уравнений движений идеального газа.

4. Проведен анализ сходимости и порядка точности в нелинейной постановке конечно-разностной схемы расщепления для задачи движения идеального газа в ограниченом .об'еме с твердыми стенками.

5. Проведено доказательство сходимости и получены оценки скорости сходимости неявной локально-одномерной разностной схемы расщепления для системы уравнений вязкой сжимаемой жидкости со смешанными граничными условиями.

Результаты работы могут быть использованы при разработке пакетов прикладных программ для расчета начально-краевых задач для многомерных уравнений газовой динамики. •

Основные результаты диссертации докладывались:

на семинаре 'Численные методы в газовой динамике* под руководс- ' твом академика О.М.Белоцерковского ( Московский физико-технический Институт), на об'единенном семенаре Института Прикладной матетатики и Института Математического моделирования РАН под руководством академика А.А.Самарского , на семинаре "Математические модели механики сплошной среда" под руководством чл.-корр. РАН В.Н.Монахова (Институт гидродинамики СО РАН), на семинаре "Численные методы механики сплошной среды" под руководством профессора В.М.Ковени (Институт теоретической и прикладной механики СО РАН), на семинаре "Большие задачи математической физики" под руководством чл.-корр. РАН ' А.Н.Коновалова (ВЦ СО РАН), на семинаре "Задачи математической физики" под руководством профессора А.М.Блохина (Институт математики СО РАН), на Всесоюзных школах по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики (Новосибирск,1978,1984;Кемерово,1980,1982, 1986; Омск,1988; Барнаул,1990), на Всесоюзной школе-коллоквиуме по теории функций (Кемерово,1985), на Всесоюзной конференции "Численные методы механики сплошной среды" (Красноярск,1988), на Всесоюзной

- б -

конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, 1990) на Всесоюзной школе "Оптимальное управление, геометрия и анализ" (Кемерово,1986,1987,1989), на восьмой международной школе-семинаре "Качественная теория дифференциальных . уравнений гидродинамики" (Красноярск,1992).

Основные результата диссертации опубликованы в работах [1-19].

Структура диссертации* Работа состоит из введения и трех глав. Каждая глава разбита на параграфа,а крупные параграфы разделены на пункты.Об'ем текста работы 198 страниц,бибилиографая содержит 155 наименований.

КРАТКОЙ СОДЕРЖАНИЕ РДЙОТЫ.

Введение.

Во введении приведен обзор литературы,кратко изложено содержание диссертации по главам и параграфам, сформулированы основные результаты,которые выносятся на защиту.

Глава I.

Первая глава посвящена .обоснованию метода слабой аппроксимации для системы диффаренциалылх уравнений, опясываювдй плоские и пространственные движения невязкого газа. Доказательство сходимости всех вариантов дифференциальных расщеплений проводится без каких-либо априорных предположений о гладкости точного решения, и, таким образом, полученные теоремы являются одновременно доказательствам! соответствующих теорем существования.

В §1 для облегчения ссылок приводятся некоторые вспомогательные предложения и доказывается лета, позволяющая унифицировать вывод апприорных оценок, рассматриваемых в работе схем расщепления.

В §2 рассматривается многопараметрическая схема расщепления по физическим процессам, соответствующая задаче непротекания невязкого газа. Эта задача заключается в определении в ограниченной области Q с ш3 с кусочно-гладкой границей Г вектора скорости v = (vt,v2,v3), плотности р, энтропии S и удельной внутренней и полной энергий е и В = ! р | v |2 ■»• е, удовлетворяющих системе р В 7 + v р = 0, Ор+р div 7 = 0,

3

р Р Е + dtv ( р v ) = О, D = — H?, (I.I)

di

р = / ( p.S ), е = в ( 7,р ), У = I

и условиям

7

" V Х >• Р I = Ро< Х 5

= 5о{ X )

t = о

к=о

|г=о

V-п | =0, ( ут. - вектор нормали к Г )■

(1.2)

(1.3)

Относительно уравнений состояния в (1.1) предполагается, что функция / ие удовлетворяют условию нормальности газа.

Данной задаче сопоставим следующую расщепленную задачу

Задача А,

в у рп

| Р? -* — V р = О,

2 * д г р *

^ + р^ ( с* )г сНи ( X ) = О,

г 5 í

Р, 5

= О,

V п |г =

п ч < t < пх + ^ а, = /(пг) -

(1.4)

п + I Г / а п + 1

Р„ 1 -* + ▼ -

РГ * Р,

V рх= О,

И + , П + ^ ,2

р" + г , . в р п + 5 ™ т 5 г » т г у

( г ГГ + 7 V * ) + • I )

С«1>

[ ( I - * ) ] = О,

.55 пЦ

| —* + V х 2 V г = о, V .П I = о,

2 д I х- х % |р

n% + ^x<t4nx, /П 2 = / ( (п + \ ) Т )

(1.5)

V- I = и.

и = о

- н0 - ш Рс . в.

г = о

= 5.

х = о

(1.6)

Здесь эе = сНая { ае(, эе2, ае3> - диагональная матрица ( ае{- параметры)з

I - единичная матрица.

Значениям эе£ = 1, 1= 1,2,3, в частности,соответствует расщепление по физическим процессам,когда на первом этапе расчета моделируется изменение массы,импульса и полной энергии под влиянием одного только давления,а на втором шаге производится пересчет полученных промежуточных величин с учетом только тех членов уравнений газовой динамики.которыми обусловлен перенос вещества.Отметим,что расщепление такого рода применял Г.И.Марчук для уравнений метеорологии.

Заметим, что специфика метода слабой аппроксимации требует, как правило, детального исследования свойств операторов перехода для задач,решаемых на дробных шагах,а также оператора целого шага.По этой причине зачастую оказывается невозможным воспользоваться готовыми априорными оценками (если таковы имеются) задач,которые решаются на дробных шагах и приходится прилагать дополнительные усилия для их получения в нужной форме .Пункты 2.1 и 2.2 этого параграфа имеют целью получить нужные свойства операторов перехода задач (1.4)-(1.б)0сновным результатом первого параграфа является теорема о корректности схемы расщеш ,ния дх в постранствах Соболева с подходящи показателем диф$еренцируемости и сходимости в этих пространствах однопараметрического семейства решений задачи Дх к точному решению.

Обозначим через Уг(Й), (¡-целое) замыкание по норме

2 = 2 = ( Т X ЫПх)\г &х}"г (1.7)

' М ' |4<! О

множества бесжонечнодай&еренцируемых в

П => { х = ( х,.....хъ ): О < х( < 1, < ■ 1,...,й ) вектор-функций

V = ( V1.....1>й ), удовлетворяющих условиям:

О, р =» О,..., [ I ] » = О, д = 0,..., [ ], {,

^ — 1 р щ • •

Пусть Г1(П) - замыкание по норме (1.7) множества бесконечнодиф-ференцируемых в П скалярных функций ср(х), удовлетворяющих условиям

= о, д = О..... [ -Ь! ], / =

д

шу-О. 1

Теорема 1.1.Пусть начальные данные в (1.6) удовлетворяют условию

*„(«> - ( € к 15:1 <П> к ^(О). г > 3

Тогда при любом выборе параметров зе(, I •= 1,2,3 справедливы следующие утверждения:

А. Расщепленная задача А^ дяя каждого фиксированного 1 € (О,Г) имеет единственное решение

V (чха),нхт,8хи) ] е с [о,1; ^(П)« г1«»- гг<о>]

на любом конечном промежутке О < t < Т.

Б. Для некоторого Тм > 0 последовательность решений задачи А, при г —♦ О сходится »-слабо в И^ О,« Г1(П) » Г1 (А)] и сильно в пространстве С [о,^; * (О) «^"'(П)} к вектор-функции

г сп = (у (г),з. ) с с (о,!1*; у1(П) » г*(П) « в^о)] «

« с'( 0,т„; V1-' СП) « Г1_,(Й) « ^-'(П) ],

которая является классическим решением смешанной задачи (1.1)-(1.3).

. В заключение этого параграфа получены оценки скорости сходимости расщепленной задачи к точному решению.

Теорела 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда имеет место оценка

аир I г V) - ЯМ) | < К т

о«*«-'«, ' (1.8)

■вир | г т - гт 1г.'<к/7'

О < * Г^ х ♦ I .с . _

где - решение задачи (1.1 )-(1.3), а 2 (О. - решение задачи Аъ-В §3 для задачи непротекания (0.6М0.8) в прямоугольной области 0 = | х = {х^,хг,х3)1 0 < х{ < 1, I = 1,2,3 | рассматривается схема расщепления предусматривающая расщепление исходной системы уравнений как по физическим процессам, так и по пространственным направлениям:

Задача В .

_ -^ ае. -= О,

6 х а г 4 а х{

I д и д V. - Р*-Ч ае, -^ = О,

б 'ах,

-= 0. к ^ I, -^ = о,

д ± о г

1-1 I

т + — т; < 4 < пт + - т. < = 1,2,3 6 6

(1.9)

« + !■ а и

^ ^ д х)

п + V <3 V.,

о. . я. * и - а,) —^ » 0«

I а п ♦ 4Г а в, _ » - -— + и

. ---т V. —- I

в о г -» * а х,

П1 + .- < 1 < п% + --1,2,3

б б

V п |г * 0

»,(0) - V ях(0) - И0 ш Щ ро, 8,(0) = 50

Рп Тп , I рп + I

Здесь г" = , = ■ , £ * г «

, 1

4. 1 т>П 2

в" * 5 _

(1.11) сиа)

-у-- I , { « - числовые параметры.

рп + 5 ( * г )3

Таким образом,в этом одупаэ расщмшэнная задача заключается п последовательном решении шеста линоШшх пторболнокшх систем урэв-

нений с одной пространственной переменной (другие пространственные пере меньше на каждом дробном шаге входят в задачу в качестве параметров ).

Теорема 1.3 Если начальные функции в (1.11) таковы, что го - < V Но> Бо > € в1<п> - " Ч^Ю) * ^<0)» 1 > 3»

то:

А) Для каждого фиксированного т е (О,Г) вспомогательная задача Вх имеет единственное решение

(О = ( ) € с ( о,г ; вг(П) )

на любом конечном промежутке (О,У);

Б) На некоторое промежутке (0,2^) последовательность ) сходится

* - слабо в О.™^,^;®1^)] и сильно в пространстве С ^О.Г^;®1"' (0)]

к решению € ^[о.Г^В1 (0)] задачи ('. з).

Оценки скорости сходимости решений ¡¡Г (1) задачи Вх,полученные в пункте 3.3 данного параграфа,так .-же характеризуются неравенствами (1.8). -

Заметим , что гиперболические системы (1.4),(1.5) или (1.9), (1.10), которые нужно решать на каждом дробном шаге, в классических пространствах ( нормой в которых служит аир-норма ) приводят к потери гладкости решений по сравнению с гладкостью начальных даных и коэффициентов. Следовательно, в метрике-'таких пространств решение вспомогательных задач Ах и вх при т; -> О не может привести к аппроксимации точного решения, так как после конечного числа шагов все производные будут исчерпаны, если только речь идет не о бесконечно-дифференцируемых или аналитических функциях. В последнем случае, впрочем, чаще встречается расходимость.

В §4 высказаны' некоторые замечания,касающиеся дифференциальных расщеплений,которыми принято интерпретировать известные в газовой динамике методы' частиц и крупных частиц.Доказана также теорема о сходимости дифференциального расщепления метода крупных частиц при условии,что функция энтропии удовлетворяет некоторым условиям гладкости.

Глава II.

Во второй главе изучается в различных вариантах метод слабой аппроксимации для нестационарных систем уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой жидкости.

В первом параграфе этой главы приведен пример, показывающий, что поведение решений системы уравнений вязкого газа с двумя или тремя пространственными переменными качественно отличается от свойств решений одномерных задач. Отличие, например, заключается в том, что решение первой краевой задачи для многомерной системы уравнений может разрушиться за конечное время, даже если начальные данные являются аналитическими функциями и выполнены нужные условия согласования. Характер разрушения таков, что функция плотности становится за конечное время неограниченной. Этот пример,сообщенный автору В.Вайгантом, нигде не публиковался и приведен с целью дать отрицательный ответ на вопрос: " Могут ли быть получены равномерные оценки ( а, следовательно, и доказана сходимость метода слабой аппроксимации ) решений рассматриваемых дифференциальных расщеплений "в целом" по времени в каком-либо функциональном классе решений с ограниченной плотностью?"

Во втором параграфе проведен анализ сходимости дифференциального расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям для системы уравнений вязкого баротропного газа

д р

— + ( и • v ) р + р dtv ъ = О, р = р(р),

dt,

t д u »

р I — + в • ?u +7p = |iiu+ i|iv ( diu u ), (2.1)

4 t ' 3

где искомые функции u, p и p, зависящие от пространственных переменных х = ( jr(,...,a:fc) ( й = 2 или й = 3 ) и времени t, обозначают соответственно скорость, плотность и давление.

Упомянутое расщепление заключается в том,что на каждом целом шаге [ лт, {п + 1) т ], n = 0,...,N-1, N т = Т система (2.1), заменяется следующими, последовательно интегрируемыми системами:

1

г к

I

г к

I

г~к

д_р э р л

и, — = 0,

а t { а х{

а и а и

+ р и --= Ь ( и * а х *

1 < * < п г + ^ т.

а р а и.

+ Р —¿ = о,

а * а

а и, р —* ар а и + _Л = о, —а

а < а х, а г

+

(2.2)

= 0, а * Л

Операторы 11 в зависимости от размерности задачи определяются следующим образом: Если & = 2, то

а2 и

1,(1»)С*) = А, (<), А} = сНщ { ^ ц.ц )

а2 и

а2-а

ЧЫЫ " Аг Т^г <*> * вг Л^Г.

а ' в х, а хг

: (.* - з * )

л2 = £2£оег ( § ). в2 =

Если й = 3, то

а2 и '

1}(и)(1) = -р (1). Л, = Шов { | Ц.Ц.Ц ).

1_(и)и) = Л

а2 и 2а~4

(*) + в

а2 и

'г д X, 6 Хг

О Ь

( * ~ г * ).

¿2 = £1(05 С |А,§ 11,11 ). В|2

о

а ^

Х3(и)и)^3

(1) + в

а ^

гз

д Хг а Х3

О

О о о о

4- В

д2 U

13

д х. д лг.

(t-lx)

= díag {

Ц.Ц.

J.

" 0 0 . о ■ • 0 0 к

вгз = 0 0 9 в,з= 0 0 0

. 0 0 Un 0 0

Тшгим образом, видим, что на каждом дробном шаге требуется интегрировать систему уравнений с одной пространственной переменной и при этом влияние давления учитывается раздельно во времени с факторами, ответственными за перенос вещества и диссипативный механизм.

Расщепления вида (2.2),(2.3) позволяют строить эффективные в реализации неявные разностные схемы , что особенно важно для уравнений газовой динамики и уравнений Навье-Стокса.

Для системы (2.1) исследуется сходимость метода слабой аппроксимации в следующих случаях: 1.. Задача Коши.

К уравнениям (2.1) присоединим начальные условия:

"U-

Ро<*>.

UI . '<=0

= U0(X), X € К®

(2.4)

предполагая, что р0- строго положительная ограниченная функция. Начальные данные p0(x),uQ(x) предполагаются периодическими (с единичным периодом) функциями по каждой пространственной переменной х{. 2. Сметанная задача.

В этом случае в цилиндре -®г= П « (О,Г), Г > О, П= £ 2=(xt,... ,хь)г О < х{< 1, t=í,...,íij- ищем решение (р,и) системы (2.1), удовлетворяющее начальным условиям

P|t_0= р0(х), u|t_0= U0W» í i Í1. о < я « Р0(х) < М < -к»

и граничным условиям

а • n I = О, CU = О, 3 = rot и.

I en ^эп

- касательные к в П « (О, Г) компоненты вектора ¡3 Поскольку расщепленная задача доставляет приближенное исходной, то мы линеаризуем систему (2.2) в пределах каждого расчетного шага [ пт.тш-т ] , сопоставив тем самым задаче Коши (2.1),(2.4) следующую задачу ( индекс т у функций опущен ):

(2.5)

(2.6)

решение

Задача с

«

1 в<* пв<2

-4--4- и?-- О ,

4 вг ' дх

(1 ди, ди, 1 , дги,

(2.7,)

пт < I < пт + -|-г 1 ас? _в<з

л — + «Р — = о . * гдх

„( 1 ди, „ ди. 1 „ д^и. . „ д2иР , 1

т>1 * зТ + з^ ]■ ^ > а)+ 3 " I

„ Г 1 ди, „ ди, 1 ' д^и/ * Э2и_ ,

Ч < <2.7 )

пт + -^-т < t < пт + -¿-т

-3--+• - = и » .

4 дг дх,

4- К«2п) -^ ---0 , —^ = 0 , (2.7_)

? aí дх} вг 3

т + -р-ъ < г £ пт + -^-ч

1 з<з - 4- аи —2 = 0, ах2

1 Т яЮ - аи_ 3(3 —^ +-- о , дг дхг ди. —г. = о , <2.74)

П1 < 4 < пт + т

QJ =Q0(J) = Inp0, nl =u0 (2.8)

U=o ' t=0

В уравнениях (2.7})-(2.74) введены обозначения:

R(Q) - c"2(p) I , RАр) = fl(Q) exp {- Q ),

|p=eapQ

где c2(p) = - квадрат местной скорости звука.

Смешанной задаче (2.1),(2.5),(2.6) соответствует расщепленная задача D^, состоящая в отыскании решения (Qt,ut) системы (2.7t) с начальными и граничными условиями:

Qt(0) = Q0 , ut(0)=-uo, (2.9)

u • n I =0, и I = 0 , w = rot u . (2.10)

XI XI X X

'an lao

Условимся обозначать через (H1 (Q) гильбертово пространство, полученное замыканием множества бвсконечнодифференцируемых во всем пространстве Обточек х = ( xt,...txk) и периодических, (с единичным периодом) по каздой переменной х{ скалярных функций или вектор-функций / по норме (1.7). Условимся подразумевать, что

Х'(0) = ¡Н1(П), Яг(П)=Ш1(0)

( если речь идет о задаче Копи Ct)

X1(Q)=F,(Q), VJ(il) = ^(Q)

( в случае смешанной задачи D,)

Основными результатами второго параграфа являются следующие теоремы о сходимости последовательности решений вспомогательных задач Ct, D и оценки скорости их сходимости к соответствующему точному решению.

Теорела 2.1 Пусть начальные функции Q0(x) = In р0(х) и uQ(x) в (2.4) или (2.5) удовлетворяют соответствующим условиям гладкости

Q0(x) € И*(П) , u0(x) € Vl(Q) , I > 3.

Тогда справедливы утверждения:

а) На любом конечном промежутке ( 0,2" ) существует единственное (для каздого фиксированного а) решение 2x(t) = £ Qx(t),ux (t) j задач Cx и Dx такое, что

3.(1) € <С( О.Т; Х2(П)) . — (1) € и°°< о,Г; х Э 1

и (1) е С( О,Г; ТУ1 <П)) , (г) с й.2( 0,Т; Ч71_'(П))

1 Э 1

б) На некотором промежутке (О,?) последовательность решений

),иги)) задач Сх и Ог при г - О сходится к точному решению Я = (3(1),и(1)) соответствующей задачи в следующем смысле:

- Я(1) * - слабо в 0,Т; ^(П) » Я1<П) ],

2%(1) - Я(1) сильно в Ию[ О.Т; « ],

а (2 9 Я тГ , . ^ -* -— * - слабо в И"! 0,Г; й1"'(0) ],

диви , , .

-ь -— *- слабо в а.2] О,Г; Г"'(П) 1.

д г д X 1 >

При этом вектор - функции Я =. ) сходятся к Я =. (С,и) равномерно в цилиндре О « (0,2*), а производные 1)аЯх до порядка 1-2 включительно сходятся равномерно в. О » (О,Г) к соответствующим производным от Я.

Теорема 2.2 (о скорост сходимости). Пусть выполнены условия теоремы 2.1 Тогда на промежутке (0,2") Сна котором доказана схода. мость последовательности решений вспомогательных задач ) имеют место неравенства

• I 13(1) - + I и(1) - и (1)|2 <11 1 ,

1 х «1-2.2 1 * '1-2,2

I в(1) - в_<и|а + I и(1) - и (1)|2 а/Г

1 г «г-1.2 « * '1-1.2

Г

Пи(1)-и(1)|2 <31 г И-»,2

о

где {(З^.и^} - решения расщепленных задач Сх и Ог, а (С,и> -соответствующее точное решение. Постоянная и не зависит от т и 1.

В §3 для системы уравнений вязкого теплопроводного газа проведено обоснование схемы расщепления, используемой в методе " крупных частиц " .В этом случае на каждом целом шаге I п т,(п + 1) 1 п = О,...,N-1, N 1 = Т временного промежутка (О,Г) система уравнений

ара # Э

д~1 Э~

— + - ( р и.) + - ( р и,) = О,

д * д х. ' д х„ '

'1 г

д д р д Эр

- (pii.lt - ( р <) + - ( р и_) + -

í ' д х1 ' д хг 1 2 8 1,

а г , э и, а и» > а и, ■> = — —- *—-1 + 2 ц—[ +

а х, I 1 а х1 д хг } 9 Х1 J

[ 1 а х1 а хг } \

а хг

а а а Р а р

— ( р и ) + - ( р и, и.) + — ( р.и% ) + —

а t 2 а х1 ' 2 а х2 ' 2 эх,

+ 2

с , а и -а и л а и л

— М —'- * —-} * г V — х2 (. '-ах, а хг > а х2 )

-{„(^.•ла

I 1 а х1 а хг } )

9 ^ " " ^ И "а ' (2Л1)

а

+ — а х.

— ( р Е ) + ( р и, В ) + ( р и, Е ) + -- ( р и.) +

а 1 д х, 1 0 хг 2 Эх, '

а а г - э и, а и. \ + — ( р и. ) =-{ |л 4 —+ —^ и, +

а х2 2 а х; I 1 <з х, а х2 '

г а и а и . а г _. 1

+ ц [ —- + —- ] и2 + ц-[ в о + и^ ] +

а х, а хг а х1 }

а г . а и а и л

= - | ц А [ -+ -? } и +.

а х2 {. а хг} 2

гаиэи, а г

заменяется двумя вспомогательны?«* системами

а р

— - о, а t

1 в и, в р I а , а и. а и, ^

- р —' + -1- = ц А и. +--Г-4- -2 I =

г д X д хк 1 з а I, 1 А I, ах,,-1

(ава а агггаи. зи,.

+ + (риг> - г; I"; 4 + г»+

г о I ах, а хг а хд л ^ а х, а х2

,а и, а и, . а г * 1

а г г гаи. а и,

4- - < " М -- + -- и_ + |1 I -- 4- -- 1 и, +

а хг { з 1 а х, а х2 * 2 чх, а х2 * 1

+ ц ^— [вэ + и|]|, п 1<1<П14-|т.

I ар ар ар г <э и, . а и_ ,1

--(1)4- и,—(1)4- и_—(1)4-р(1) -^-(1 - |т) + —-^(1 - |г) = О

га! 'ат, 2ах2 [ <э 2 ах2]

I а и. в и. д и.

--+ и, -4- и. -= О, I = 1,2 (2.13)

г в % 'ах, " а х2

I д Е ' в Е дБ 1

--+ и, —:— 4- иэ - = О, П14--г<1<П14-1.

'Эх, ■ * д хг г

Здось искомыми функциями переменных x = ( х,,х2) и 1 являются скорость и = ( и,,и2), плотность р, давление р, удельные внутренняя и полные анэргии 3 и Б = 3 + | I и I2-

Для замыкания системы уравнений (2.11) и вспомогательных систем (2.12) и (2.13) для простоты используются уравнения состояния совершенного политропного газа:

р = Я р Я, 3 = су в,

( й = сопаХ > 0, = сспаХ, 0 - абсолютная температура ) и коэффициенты вязкости и теплопроводности постоянны

|А = сот^ > О, ае » cc¡nat > О, А ц = - § (1.

В = ~ = сопа1 >0. Рг - число Прандля .

По сравнению с аналогичным расщеплением системы уравнений невязкого газа, рассмотренным в первой главе изменяется лишь первый шаг расчета , в который теперь входят члены, обусловленные молекулярной вязкостью среда и теплопроводностью. Присуствие в системе эйлерова этапа (2.12) диссипативных членов обеспечивает устойчивость задач на каждом дробном шаге и позволяет доказать безусловную сходимость решений расщепленной задачи к точному решению системы (2.11) с данными Коши:

и I = и (х), р I = р (X). "9 I = «„(*>» х <= К2, (2.14)

14=0 4=0 и=0

а также в случае смешанных начально-краевых условий

и I = ио(х). р I = р (х), -в | = «0(х), X € п И=о и=о и=о р

ви, д и. в ■д

и п I = 0. о I = О, о = 2------

|з о |эп Эх, д Х2 д п

= О, ' (2.15)

д п

8 - абсолютная температура, О - прямоугольная область на плоскости О х2, п - нормальный вектор к еЭ границе д О.

Заметим, что и для модели идеального газа, для улучшения устойчивости счета первого этапа вместо давления р вводят обычно величину р + <?, где д - исскуственное вязкостное давление , что приводит к появлению в уравнениях этого этапа вязкостных членов.

Паралельно с системой (2.12),(2.13) ш рассмотрим ее линеаризованный в пределах каждого расчетного шага [т.пх+т;] вариант:

- - О д X ~

1 д и, д ы д О,

- а"-+ Я-+ Н-= Ъ" Ь.(и), ( = 1,2,

2 д г д Х1 д Х1 4

1 д и г , ч

- оу/ — + Я Ши и = Ъп [ж, (¡IV [ ¿"(и) V и ]-

- § ц. ( Ши ип)( и ) + 2 ц. 0 (ип) : О (и) ],

a"(w) = a(üP), Ьп = b(Qn,un), dn= d(un) и т.д.

i=nt

n г < t < n t + | t. (2.16,)

1 д Q n + ~ . ' '

г д t г

i д и, п +

--i + (U a • v ) u. =» О, t - 1,2,

г д t 1

i ö w « + t. <г-162>

--(u • v ) и ■ 0,

г ö t

n t + 11 < t а i + t.

Здесь введены обозначения

Q = In p, u «= In 0,

» ö

It(u) = ц Ä u. (i) + - ц- ( dtv u(t) ), i = 1,2

' 4 3 ö Xt

D(U) : D(v) - J DtJ(a) Dtj(v). t »«I

V»>

Ifiüi^l,

г L <9 Xj a Xs j

а (u) = exp (-u), ü(o>) » exp (o),

b(Q,u) = exp (-o-Q),

Если рассматривается задача Коса (2.11),(2.14), то к системам (2.12),(2.13) и (2.16,),(2.16г) присоединяем начальные условия (2.14), а в случае смешанной задачи (2.II),(2.1 Б) - начальные и граничные условия (2.15).

Расздиленную задачу (2.12)+(2.13),(2.14) назовем для краткости

о

задачей £х; (2.16,)+(2.162),(2.14)- задачей Е,; (2.12)+(2.13), (2.15)

- задачей Ft; (2.16, )+(2.16г), (2.15)- задачей

Зйштим, что сдвиг временного аргумента t у слагаемого diu и в

в

системе (2.13) и (2.162 ) обусловлен стремлением взять его из предыдущего дробного шага С м, пх + ^т ]. В противном случае после прохождения целого шага происходит потеря гладкости решения и, следовательно, семейство решений (и ) расщепленной задачи не может аппроксимировать точное решение в классах функций конечной гладкости.

В пункте 3.2. этого параграфа доказывается существование промежутка времени [0,Г1 и констант не зависящих от параметра

1, для которых имеют место неравенства:

вир | 2(1) ц. , «; к.. г > з. о $ х < г, т '

2%(1) » {\(1), т), },

т

Г , 9 и ¡2 . д о .г

Л '51 «х-г.2 « д 1 «х-г.г

й 1 < Кг,

аир

* < г

д о

" Ч- 8 ~ (1) 9 t «х-».г

(2.1?)

Положим

В1 (П) = 17г(П) « $'(()) « Х*(П),

где

Ч7г(П) = 0^(0), К,(П)=1Н,(П) (что соответствует задаче Коши ), либо

17* (П) = \Уг(П), Х1(П)=И1(П) (что соответствует смешанной задаче ).

На основе оценок (2.17) в п.3.3. проводится доказательство теоремы о сходимости последовательности решений расщепленных задач:

Теорет 2.3. Если начальные функции в (2.14), (2.15) удовлетворяют условиям

и0 € 17г(П), <30, € Х1(0), г > 3, то на некотором промежутке О < 1 < Г последовательность решений (\(1), } € ®1(П> ]

задач Et. Ег и Fx при а - О сходится * - слабо в (L^O.T; В1 (Q)j и сильно в пространстве С Г О,Г; В1-' (Q) 1 к точному решению задачи (2.11), (2.14) или задачи (2.11),(2.15).

В заключительном пункте 3.4. • данного параграфа доказывается

о о

теорема о скорости сходимости решений расщепленных задач

Теорела 2.4 Вели выполнены условия теоремы 2.3, то на промежутке (0,Т1 справедливы следующие неравенства:

| u(t) - u,(t) \\_г г + | QU) - Q%(t) |f_2 2 + + I U(t) - w%(t) |f_2 2 « К nc,

| Md) - u,(t) |f_, 2 + | Q(i) - Q,(t) |f_f>a + ' + | U(i) - U,(t) 2 < X /т~\

J [ I u(t) - -U,(t) |f_(>2 + I U(t) - u,(t) |f_, 2 )dt<H,

0 l >3

где постоянная К > О определяется данными задачи и не зависит oi параметра t, - решения расщепленных задач, а ju,Q,uj -

соответствующие точное решение.

Глава III.

Третья глава посвящается анализу сходимости в исходной нелинейной постановке конечно-разностных схем расщепления «ассоциированных < рассмотренными в первых двух главах дифференциальными расщеплениями

В §1 приведено описание пространств сеточных функций, в которы; проводятся исследования разностных схем и доказываются некоторш вспомогательные утверждения.

Второй параграф данной главы содержит анализ сходимости и ско роста сходимости явной разностной схемы расщепления для систем! уравнений невязкого газа, соответствующий расщеплению по физически процессам и пространственным направлениям.

Для системы уравнений газовой динамики (1.1) с периодическими данными Кош (1.2) в соответствии с дифференциальной схемой расщепления рассматривается следущая разностная модель:,

Задача Т*.

- Б* а4 у, + а,жг) - - г? а, л, а, а, (о » о,

4 4

Г

(3.1)

(3.2)

- У1 at ff(t) + 3,y,(t) - i а{ ht ö( Э, H(t) = О.

Л 1

dt Vj{t) "О, J t i; dt Sit) - 0. x € i^, t=(n + -^i-)x + aA{,

a » 0,...,p{-1, i = 1,2, A{ > 0, p, = i t, ■ »

П + - A. -

Vj <*> +y V*> - ßj hj aj 9J V*> -0.

n + — ~ —

atH(t) + ^ J dj ff(t) - p^ ^ dj dj Hit) = o, + — —

ots(t) + y" a dj Sit) - p, ^ dj dj s(t) - о

a = 0,...,pJ+2 - 1, J = 1,2,

v°=vo.h' >» = 0.....

Решение v = v, . if = ff .., S = S .. задачи T? зависит

хгП|й I

от параметров t, ?i = (h,,ft2) , А и ищется ( при фиксированных х и Л) в пространства функций от х, определенных на решетке

rh = | х = х^ = ( : Л(> О, р^целые числа }

и периодических (о единичным периодом) по каждой переменной.

Я-1 4 (п)

Временной аргумент Г пробегает множество узлов ш «= и и промежутка { 0,Т ], где п=0 <='

^ 1 3 + + и ( п + -Цр- ] х + а 8 = 0,...,р4

р, Дс « О >/х > Т , = Т, У - целое. .

ЧгО

При фиксированных п и { (О < п < ЛГ-7, 1 <.£ < 4) представляет собой разностную сетк^АрГ О на промежутке ггс + х<1<пх + ^х Функции ц^(.х),х € Г^ множества достаточно рассматривать на

сетке

= ■[ х = а? ш ( ): Р, = О.....Яс1, = П} '(3.3)

Используются общепринятые обозначения для разностных операторов:

Ф*' Vх' = V х + N )» Ф»' = V Х ~ ®( >

е( - орт, направленный по оси х{,

дв Vх* = < " ' > «Ух)»

о

Vх* - ■<1 - О Vх*»

I

да = - < да + )' в а

2

а, /»> ,

Коэффициенты Е* и в уравнениях (3.1),<3.2) представляют собой суперпозиции Е" = Е(НпуЗп), Р" = Р(НП,5П) заданных функций (они выражаются через функции состояния) непрерывного аргумента и дискретных функций Нп=Н^ н д ^ д, вычислешшх на предыдущем шаге.

При фиксированных п их уравнения (3.1) аппроксимируют систему уравнений аккустическаго типа с переменными коэффициентами с первым порядком,точности по и А,,а разностные уравнения (3.1) представляют собой по существу схему Годунова для этого случая.Уравнения (3.2) с таким ке порядком точности аппроксимируют уравнения переноса со знакопеременным коэффициентом.

Для смешанной задачи (1.1)-(1.3) с краевым условием непротекания, соответствующая разностная задача формулируется следующим образом: К исходной разностной сетке (см.(3.3)) присоединяем фиктив-

ныв слои

( - пг ) , ( * + V Р2 Л2 ), Р2 = о.....иг,

( Р, Л,. - Лг ) . < Р, V 1 + пг ), р, = О.....У,

и семейство сеточных функций -

ищется из требований, чтобы во всех узлах ( € *

П^ = { з?ш ( /г,, р2 Л2 ): - О.....У,, ( = 1,2 | (3.4)

выполнялись уравнения (3.1) и (3.2) и следующие начальные и граничные условия ( индексы х,Л,Л у функций опущены )

▼I = 'о к* = Но к- = н- '

и. I + V, I = О, V. I ' + V. I = О,

1*1, и =1,2 (3.5)

Я | . -Н I = О, Я I - £М = О,

г I - Б I = О, Б I - Б] = О. { = 1,2

Сформулированную разностную задачу назовем для краткости Т2-В пространстве сеточных функций ц^ € тс^ введем нормы (*<р<-к»)

| «н 1 «ь '2.р.вь" ^ ^ '»'.««к

I «ь «о.- = I 1с -.«ЧЧ "ь(х> I

При р =2 данные пространства, обозначаемые Через Шг(Ол), I > 1, = являются гильбертовыми.

Мы будем рассматривать также множества вектор-функций

V. - ( VI а?) = ( и.СсР), МхР) ) : = О }

Л V. ' * 1*1=0.» *

и скалярных функций Рп = | ф(х^) определенных в области

Элементом этих пространств сопоставим их продолжения на всю решетку Гн таким образом, что получим соответственно множества

- { »<**)-<»., (аРм^я*)): »,(х^4)= -

а ii вв ч

»!<*/> = 3 * I, vi^xвя^- 2) = vi^xв^), (,8 = 1,2 Ц

(*»г в в. е. е. ■»

1ГЯ = ■[ ф(хР) : (Р(х^) - ф(-х/), <р( х<1+ 2 ) - Ф( х,1), ( - 1,2

На линейных множествах и определим норму по формуле

г

1 " = I I + Е I Ю "ГТ

( Если под знаком сумм участвуют значения и^в узлах, лежащих вне области П., то подразумевается, что они взяты равными значениями соответствующих продолженных функций из ^ и 0^).

Для восполнения сеточных функций используется так называемый интерполянт Рябенького У С у|ы^1,сопоставляющий дискретной функции некоторую'кусочно-полиномиальную функцию переменной у = (у,,...»уь), обладающую в соответствующей области непрерывными частными производными до порядка 1 включительно. Функцию и^у) = называют интерполяционной функцией Рябенького.

Семейства троек ( 1Н1(Су, рн, гн), ( Рк,гн) и ( Рн,гы),

( > 2, ( где под операцией 'продолжения* рп подразумевается интерполянт Рябенького, а оператор 'сужения* гн есть операция сужения функции непрерывного аргумента на разностную сетку ) задают устойчивую гильбертову аппроксимацию (в смысле определения Темама) соответственно пространств И1 (0), V1 (0) и 0г1(П), определенных выше.

В пункте 2.2. изучаются разностные схемы, соответствующие схе-

мам, возникающим на отдельных дробных шагах в задачах т* и Т^. Для этих схем выводятся априорные оценки в подходящей форме, позволившие затем в пункте 2.3. установить равномерную ограниченность по сечениям i = canst норм сеточных решений

,д = ( hl,h.& = ln д

задачи Т* при определенных ограничениях на отношение шагов, формулируемых в теряшах входных данных. На основании этих оценок в пункте 2.3. доказывается сходимость в нормах Соболева разностной схемы Т* и устанавливаются оценки ее скорости сходимости.

Точная формулировка упомунутых результатов выглядит следующим образом .

Положим

й (р ,р ) = £ п f т t п { £(£,t)),P(?,t)) } ,

2 UK p,. hl< p21 J (3.6)

&,(p.,p„) = s u p m a x ( S(5,t?),P(5,t}) } , Pf, hU Pg 1

где E и P - известные функции, выражающиеся чероз функцию состояния по формулам (1.12) и в силу свойств последней kQ и й( локально ограничены снизу и сверху положительными константами (своими для каздого компакта), причем к0 невозрастает, а к{ неубывает по каждому своему аргументу.

Пусть KQ и CQ - постоянные (зависящие только от области Q), взятые соответственно из неравенств

I «hll.Q « U U.2 ' 1>2

h (3.7)

I "н 1о.« ' <Со! % 1>2

Через Z н д = Uix\Z^. ] обозначим интерполяционные функции Рябенького, соответствующие'решениям Zx задачи Т^.а через Zx h - линейную по i интерполяцию функции Zx 'h 'д.

Теорет 3.1 Предположил выполненными'условия:

4(1 + Д)г{ < n(R | ko{c/70rc0/T0), Уг(с0/^ ) }• 1 - 1'2;

2/К ( соЛГ- соАГ ) < «i <

2 rc( i + Д )

i = 7,2

2 Г (Со^) ^TrJTTT)' 1' и (3'8)

где А0 ш ( S0 * 1 ) г<. Ь-

Är( I »öle.- I Solo.co) l'o'bip

r(t) = - c0t /й,( C0t,c0t) ,

S0 > 1 - фиксированное число, например, SQ= 2. Функции kQ и й, определена в (3.6);констгнта К0 и CQ взяты из неравенств (3,7),Тогда имеют место утверждения:

а) На промежутке 0 < t < ( Т$ определено в теореме 1.1) ддя решения Z% н д задачи Т* имеет место оценка

I 1 € 0й (3.9)

с постоянной М, зависящей только от нормы в (Н1 (Q) начальных функций и числа т^, но не зависящей от г,Л,Л.

б) В цилиндре ©„ существует равномерный предел

lim Jim Z ' Z, 1-0 |h|,i->0

причем Z является решением задачи (1.1) - (1.2) в классе сЦ !Hl(Q)] п ш1"'(0) Штерполадиошше функции

z%.h,\ годятся к точному решению Z такжэ в олодущом одаоле!

2 * - слаб° « )• 1 > 3 2

* - омбо В L®[ 0,r#i ^"'(O) ) #

t 4 ®

a z . a z

__x,h,A _

a t а

При этом производные { }' МИ <1-2 сходятся равномерно в

®Г к соответствующим проиэаднш по х} о г 2,

Теорем 3.2 Если ашюлшш условна 3.1, то имеют место

неравенства

I < * + IM).

- SO -

I ^ч.н.д-* »1-г.п <* 2 ( А + | Ь |+ Т ),

л

где 2 - решение задачи (1.1)-(1.2); 2% - решение расщепленной задачи (1.9)-(1.11); д - решение разностной задачи Т,.. Постоянная К но зависит от т,?1,А

Для смешанной задачи имееют место аналогичные утверждения о сходимости в соответствующих пространствах:

'Теорела 3.3 Пусть вектор-функция = ( ) в (3.5)

предстаачяют собой сужение на сотку П^ заданой вектор - функции

20 = ( 70,Я0,Ь'0) из пространства

Ш1(0) = У1(П) « Г1(П) « Г1(а), I > 3

и выполнены условия (3.8).

/2 Тогда на некотором промежутке 0 < 1 $ Г^ (Ть определено^ тео-^еме^последовательность интерполяционных функций ь д = д,

^х'н л,£ч' ъ. ь) (соотв0'гствущая последовательности ре'ше'нкй задата т|) сходится при 1, \Щ, А —► О к решению Я = ( 7,Я,Б ) смешан-

ной задачи (1.1)-(1.3) в следующем смысла:

^х'.н.д 2 * ~ слаб° в ^ ( 0'2'*; в1(0) )•

/V

а я/. . а я „ , . , .

-1ЛЛ — * _ слабо в 1го Г 0,Тк; Шг~'(П) 1,

д I -д г I * )

^ъ.н.д ^ сильно в С [ 0,ТШ; ш'-'(П) ].

Теорема 3.4(0 скорости сходимости ) Если выполнены условия теоремы о сходимости 3.3,то имеют место неравенства

I - <С < А* * * 1*1 >' I + 1 + '

где 2 н ^ - решение, задачи т2; Я - точное решение задачи (1,1 )-(1.3). Постоянная С не зависит от параметров сетки.

В §3 третьей главе анализируется неявная разностная схема, соответствующая расщеплению по физическим процессам и пространственным переменным системы уравнений вязкого газа. Рассматриваемая схема в

свое время была предложена В.М.Ковеней и Н.Н.Яненко и по ней проведена широкая серия расчетов различных задач газовой динамики и течений вязкой сжимаемой жидкости в двумерная и трехмерном случаях.Для определенности рассмотрим случай двух пространственных переменых.

Задаче Коши (2.1),(2.5) сопоставляется следующая разностная схема

Задача Р* :

5 дгЫ) + 5,в<*л,) = 0 ,

1 Е(СГ) дги,Ц) + Й(СР) и? а,и,(1 + д,)= ц Я, «Г) 5,а,и,(1 + д,) 1 д«П а4и2т + й((П и? а,и2и + д,)= ц к,«зп) а(ё,и2с + д,)

I ( 0( , * = + = ПХ + а Л, , 8 =

= [ /(г + д,) - /и) ] (З.ю})

£ ЖСР) «) + Й(С}П) а2и,(1 + Д2)= ц Й,«П Я2а2и,(1 + д2)+ + 1 ц й,«п[ I 5,а2и2(1 + д2- 1 а) 1 а,а2и2Ц + Д2- ± а)],

(З.юг)

1 жсПа^а) + й«зп)и* дгигц + д2) = | ц д, «р) а2а2и2и +д2)+

+ ± Ц н,«Г)[ I а,а2и,и + Д2- 1 а) 4-, I 0,аги,(г ♦ дг- 1 а) ],

X а пн , 1 = *п + 1 + ;_=(п + :£)х + ад2, е - о,...,ра-( * *Рг

-^<Ж) + + Ад) = О ,

-^-й«зп) в4и,и) + а,ей + д3) . о ,

(3.10,)

х ь а , í = г + 1 + - ( п + | >х + з д., з « о,...,р -I

г + дгиги + а4) = о ,

-Ъ-ЫСГ) дгига) + дгяи + Л4) « о ,

(ЗЛО.)

х € , * * 4. » + ■ ( П + ^ + в 4,, в» о.....

<}(0) = а0 , и{0) = ^ , п = О.....В-1 ^ ^

« - > « - «ь •

Относительно начальных функций Я0 и и0 в (3./Г) предполагает-;я, что они являются сужением на функций 30(г) и и0(х) неп-¡ерывного аргумента таких, что

<30(х) € Шг(0) , . и0(х) € Шг(С1) , » > з. . (3.12)

Разностная задача, соответствующая смешанной задаче (2.1), 2.5), (2.6), несколько отличается от рассмотренной выше и может ¡ыть сформулирована следующим образом«

Задача •.

Обозначим через узлы = ( з? - ( р^ ), р(=

О,£ = 1,2 и ввэдем фиктивные ¿пои

( -Пг, р.Д,) , ( 1+Л,, р^) , р2=о.....на

( р,Лг,, -?12) , ( р(Л;, ППг) , р,=о.

еточные функции (<3,и) = ( О . ., и . .) ищутся из условий

± д^м + и? о,оа + д,) = о ,

Д(<2п)[ I 34и(П 4- и? д,\Щ + д,) ] = Я,«Г) + д,),

(3.13,)

й£с£ { х € ,

í = + = пг + 8 д, , а -

1

-j-dtQV) + agQ(t + д2) - о , R(Qn) [ + hw + ] "

= R,«T) [ Агдгдг»<t + Аг> + ßaÖ,3£U(t + %) ] , (3.13г

diag | } , B£

x

«Q,» . t - tn + 4_

0. -fill 0

+ а s - о,,..,ра->

(3.13=

ötUk(i)-0, feiij, J-1.2, X i C^

(m- 'г iJ~*)x + 8 а - 0,...,pa(..-J,

Б качестве граничных условий для систем уравнений (3.13,), t =

» примем следующие соотношения, которые должны быть выполне-

Н-! 4 (п)

на для всех t « U0 4Ц, г

+ и<| I e 0 , N I «V I о , <=1.2

*("ht ! ' s j=i+h j '«r'-ht

-utl » 0 , N I u( 0 , Jti. i.J=l.2 ■

*J"hJ ! *Ja~hJ I

-Q I * 0 , Q I Q 0 , 1=1.2 (3.14

le«B,+h» L,= l-h{

О | » Ср , и I = и0 (3.15

Начальшо функции <3°= <50^ , и°= иол в (3.15) предполагаются получвнншш сузшниэм на Он соответственно функций 0о(х) 5 и0(х) непрерывного аргумента таких, что

Q

Q0(x) e Fa(G)t u0(x) € 1 з (3.16)

(роме того, начальные данные Q°, и0 предполагаются продолжатш-га на фиктивные слои так, что они удовлетворяют условиям (3.14).

Теорела 3.5 Если начальные функции в (3.11) удовлетворяют условиям гладкости (3.12), то на некотором промежутке (0,£ ) при всех достаточно малых Д для решений Z^ h = ( Q h д,их h д ) ¡адачи P* имееют место равномерные по i,Va неравенства:

зир I г (i) I <tf , sup > < г < tJ Ij.a 0 о < t (i - ij t о

г *>

*

i

*)

0

/V / Л» / А» /

1оследовательность интерполяционных функций Zx h д = (i, h ,, ¿) p i - О, |Л| - О, A - О сходится к решению'.Z = (Q,u) задачи ;2.1),(2.4) в следующем смысле:

z v . - Z

Z v А - Z

X,h, д

aS' д д Q

д t * д!

л» / S u . , t .h. д д и

д t д t

* - слабо в Iе0 ( 0,Т ; (Нг(0)) ,

сильно в С( 0,Тв; IHI-,(G))

* - слабо в ИЛ 0,Т : (Нг"'(0)) ,

(4.7)

слабо в Иг( 0,Т„; Шг~'(0))

Теорела 3.6 Пусть выполнены условия теоремы 3.5 и I > 4. Тогда меют место неравенства:

По определению

I (| - »<*> Л < ° <1М2+ А + -о ,

0 ' ^

где постоянная С не зависит от т, Л, Л; { ^ д.их ь л ) - решения задачи Р,; <С},г1) - решение задачи (2.1),(2.4).'

Теорела 3.7. Если начальные функции в (3.15) удовлетворяют услс виям (3.16),то на некотором промежутке (0,7) последовательность интв-рповдщагаш функций 2%\ ^),соответствующая решени-

ям д - вадотм' расходится к рашивь Ж » (а,и;

смешанной задачи' (2.1), (г.'5), (2.6) в следующем смысла ( ^.л.д'^.н.д* " «-слабо в 1°>(0,Т;Г1(П))«1О(,(0,Т;^(а))

- «¡<*>'и<*)> сильно в С(0,Т;ОГ1-'(0) )«<С(0,Т;Ч/1-'(О))

вд' „ , ,

—— * - слабо в 0. г"(П)) ,

д г о г

д и ' . в и . „ , .

—^А-— слабо в 1г(0,Т;^1~'(0)) д t д t

Теорема 3.8 Если выполнены условия теоремы 3.7, то имеют мае неравенства,

| ^ к д<"*) ' | _ < С'(|Ь|г+ А+4) , ' *

1 [ I " Г ] * С 4 + »

о 1 '-»»V

Где ^х.п.д " тршяш з.адачи ; 2- решение смешашой аадачи (2.1), (2.5), (2к6)к Щстоянная С не зависит от т , ь , Л ..

Золечаниёу. В§щежуток времени (О,Г) на котором доказана сходи-

- за -

юсть разностных схем Т^.Т^.Р^.Р^ в теоремах 3.1-3.8 совпадает с про-южутком существования решения указанных классов соответствующих дифференциальных задач. При этом сходимоть семейств сеточных решений 1азностных задач доказывается без каких-либо предположений о гладкости точного решения и поэтому данные схемы можно использовать и в тох лучаях, когда о точном решении заранее ничего неизвестно.

Публикации по теме диссертации

. Кучер H.A. О разрешимости смешанной задачи для одной системы равнений газовой динамики // Динамика сплошной среда. - Новосибирск: 1972. - Вып.II. - С.44-57.

. Кучер H.A. Теорема аппроксимации для квазилинейных скмметричес- • их систем дифференциальных уравнений // Молодые ученые Кемеровского н-та в 10-ой пятилетке.- - Кемерово, 1981. - C.7-II. . Кучер H.A. Теорема аппроксимации для некоторых схем расщепления равнений газовой динамики // Численные методы механики сплошной реда. Часть I. - Красноярск, 1987. - С.17-18. . Кучер H.A. Об обосновании схем расщепления, используемых в мзто-е крупных частиц // Математические проблемы в тидродинаг.тике. Дипа-ика сплошной среда. - Новосибирск: 1988. - Вып.85. - С.52-73. . Кучер H.A. Обоснование схем расщепления для многомерных уравне-ий газовой динамики // Докл.АН СССР.-1990.-Т.315.-йЛ.-0.23-28. . Кучер H.A. Метод слабой аппроксимации и анализ схем расщепления ногомерннх уравнений газовой динамики // Дифференциальные уравнения оптимальное управление. - Ашхабад, 1990. - С.83-85. . Кучер H.A.О методе слабой аппроксимации для многомерных ( урзтшо-ий газовой динамики // Математические проблемы механики сплошных ред. Динамика сплошной среда.-Новосибирск:1990.-Вып.97.-С.51-62. . Кучер H.A. Об обосновании разностных схем расщепления для гдого-ерных уравнений газовой динамики // Задачи механики сплошной срэда о свободными границами. Динамика сплошной среда. - Новосибирск, 991. - Вып.101.- С.69-84.

. Кучер H.A. Метод слабой аппроксимации для многомерных уравнений деального газа. - Новосибирск: Из-во НГУ, 1990. - 40с.

0. Кучер H.A. Обоснование схем расщепления для многомерных уравне-ий идеального газа. Часть1. - Новосибирск: Из-во НГУ, 1991. - ЗБс»

1. Кучер H.A. Обоснование схем расщепления для многомерных ураьнэ-ий идеального газа. Часть!!. - Новосибирск: Из-во НГУ, IS9I. - 40с.

12. Кучер H.A. Метод слабой аппроксимации и анализ схем расщеплена для многомерных уравнений газовой динамики.I // Труда семинарг С.Л.Соболева. - Новосибирск, 1991. - - С.47-69.

13. Кучер Н.А.Метод слабой аппроксимации и анализ схем расщеплена для многомерных уравнений газовой динамики. II // Труда семинар« С.Л.Соболева. - Новосибирск, 1991. - Jí.2. - С.63-84.

14. Кучер H.A. О сходящейся схеме расщепления для многомерных уравнений вязкого газа // Докл.АН CCCP.-I99I.-T.320.- JS.6.-C.I3I5-I3I8.

15. Кучер H.A. Метод слабой аппоксимации для уравнений вязкого газа. - Новосибирск: Из-во НГУ, 1992. - 58с.

16. Кучер H.A. Разностные схемы расщепления для уравнений движешь вязкой сжимаемой жидкости. - Новосибирск: Из-во НГУ, 1992. - 70с.

17. Кучер H.A. О сходимости метода расщепления по физическим проце! сам и пространственным направлениям для уравнений вязкой сжимаем< хидкостп // Вычислительные методы прикладной гидродинамики.Динамика сплошной среда.-Новосибирск,1992.-Вып.106.-С.51-67

18. Кучер H.A. О сходимости неявной схемы расщепления для многомер ных уравнений вязкого газа // Восьмая международная школа-семинар : качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамик сб.тезисов.-Красноярск, 1992.

19. Кучер H.A. Исследование неявной схемы расщепления для многомер ных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // Динамика жидкое ти со свободными границами. Динамика сплошной среда. - Новосибирск 19Э2. - Вып.108. (принято в печать).

Пздасако к печати 22.10.92 <Юр:.:зт 60x84, I/I6. Заказ té es?

Объем 2,2 п. л.. Тираж 100 экз.

Рохаг.р::;:? НГУ, 63C09Ü, Новосибирск-ЭО, ул.'Иирогова, 2