Исследование схем расщепления для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Б ОД

[ OUT ТРОЦКАЯ Ольга Викторовна

ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1995

Работа выполнена в Кемеровском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Н.А.Кучер.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Кажихов; кандидат физико-математических наук, доцент В.А.Вайгант.

Ведущая организация: Красноярский государственный университе

Защита состоится " Л ¥ " см^чЗц 1995г. в /£. часов мш на заседании диссертационного совета К.063.98.04 в Новосибирског государственном университете по адресу: 630090 г.Новосибирск,90 ул.Пирогова,2.

С диссертацией можно ознакомиться • в библиотеке Новосибир ского государственного университета.

Автореферат разослан " " 1995г.

.Ученый секретарь

/

диссертационного совета В.В.Шелухин

ОбЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Трудности аналитического исследования дач механики сплошной среди вообще' и газовой динамики в стности привели к появлению принципиально новых подходов и тодов для их решения. Однишиз основных методов, позволяющими оводить как теоретические исследования самих моделей, так и вменять их к решению практически важных задач,являются числен-е методы. Многомерность таких задач выдвигает в число главных облему построения и исследования экономичных численных алгорит-в. Метод расщепления (слабая аппроксимация) дифференциальных эвнений является в настоящее время одним из основных приемов строения экономичных численных алгоритмов.

Основополагающие работы по данной теме выполнены в 70-х цах Р.Темамом, Н.Н.Яненко, А.А.Самарским. Шкл работ по обосно-нию метода слабой аппроксимации для модельной системы газовой намики (уравнений типа Бюргерса) был выполнен Ю.Я.Беловым. На нове теории разрешимости "в целом" по времени для системы уравняй одномерного движения вязкого газа, разработанной В.Какихозым и его учениками Ш.Смагуловым, Б.Г.Кузнецовым, А.Злотником,опубликованы работы, содержащие ■ строгие математи-ские результаты о сходимости и устойчивости некоторых разност-х схем для уравнений одномерного движения. ^.

Для многомерных систем уравнений газовой динамики накоплен, ачительный опыт численного решения различных задач, но ввиду . решенности многих важных проблем теории таких уравнений рогие результаты о численных методах остаются более ,скромными, отличие от одномерного случая теоремы существования и единст-гаости установлены либо в малом по времени, либо для начальных яных близких к состоянию покоя. Для многомерных задач динамики зкого газа анализ ряда схем расщепления на дифференциальном и зностном уровнях был проведен Н.А.Кучером.

Целью данной работы является обоснование метода слабой проксимации для системы уравнений движения вязкой сжимаемой цкости с двумя пространственными переменными, использующего ■ эциального вида расщепление исходной .системы. Рассматриваются ' же некоторые схемы расщепления на конечно-разностном уровне. В

настоящей диссертации применяется метод, развитый H.A.Кучером, однако, в силу специфики рассматриваемых схем расщеплений, мы сталкиваемся с некоторыми особенностями вывода равномерных оценок и доказательств теорем сходимости, которые требуют отдельного исследования.

Научная новизна.В диссертации получены следующие результаты. Для системы уравнений динамики вязкого баротропного газа с двумя пространственными переменными проведено обоснование метода слабой аппроксимации, предусматривающего расщепление исходной системы на "квазиодномерные" газодинамические задачи. Доказана сходимость и получены оценки скорости сходимости приближенных решений к точному в функциональных пространствах С.Л.Соболева е случае краевой задачи со смешанными граничными условиями и i случае периодической задачи Кош.

Проведен анализ сходимости и порядка точности в нелинейно! постановке комбинированных явно-неявных разностных схем расщепления для системы уравнений вязкого газа со смешанными граничным условиями и в случае периодической задачи Кош.

. Практическая ценность работы. Результаты работы могут оыт] использованы для расчета начально-краевых задач для многомерны уравнений газовой динамики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады вались на:

1) XXXI мевдународной студенческой научной конференции "Студент научно-технический прогресс", г.Новосибирск,1993г;

2) конференции "Студенты и-молодые ученые Кемеровского государст венного университета - 40-летию КПШ-КемГУ", г.Кемерово, 1994г;

3) международном конгрессе "Женивши-математики*, г.Москва,1994г;

4) второй международной конференции "Математика, компьютер образование", г.Москва. 1995г;

5) конференции в Московском государственном университеч •Ленинские горы-95; г.Москва, 1995г;

6) семинара в Новосибирском государственном университете пс руководством профессора A.B. Кажихова,1995г.

6) семинаре по математическим моделям механики сплошных сред ИН-те Гидродинамики СО РАН под руководством чл.-корр. Pi В.Н.Монахова г.Новосибирск, 1995г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных бот.

Структура и об'ей работы. Диссертационная работа состоит из едения, двух глав, списка литературы, включающего 49 наименовали изложена на 117 страницах машинописного текста.

Содержание диссертации

Введение. Во введении приведен обзор литературы, изложено 'Держание диссертации по главам и параграфам, сформулированы яовные результаты работы.

Глава 1. В первой главе для системы уравнений вязкой имаемой жидкости б р

- + diu (PU) = О,

д t

du,

о - + v р = ■= ц/ (у dtv u) п )

dt J

^ = '^-j + u • v, р = рт, т = сот13т > 1, :

i - плотность среды, и - вектор скорости в прямоугольной системе' -ординат) проведено обоснование метода слабой аппроксимации, ©досматривающего расщепление, исходной системы на одномерные зодинамические уравнения. Доказана сходимость и получены оценки орости сходимости приближенных решений к точному в функциональ-х пространствах Л.С.Соболева в случае периодических по прост-нственным переменным начальных функций, а также для ; краевой дачи со смешанными граничными условиями.

Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем изла-ются основные понятия и утверждения,используемые в ■ дальнейшем, также обозначения, встречающиеся на протяжении первой главы.

Параграф второй посвящен исследованию задачи Коши для авнений движения вязкой сжимаемой . жидкости (1). Необходимо ределить вектор-функцию Z= (p,u(удовлетворяющую системе авнений (1), периодическую (с единичным 'периодом) по каждой ременной х(, 1=1,2 и удовлетворяющую следующим начальным ловиям;

где р0 - строго положительная и ограниченная функция.

Систему уравнений вязкого барогропного газа (1) слаб; аппроксимируем посредством еледугарх систем:

, а я д я д и. 1 — + + —' =0,

г д х ( а а ,

„ , . а и. аи. ч п зз э и

0 . V ^ 3 . д Х1 д ^

, . д и. , дг г д и. л

Я.«?*) I I —+■ и? —| = ц Ли. + 4 IX- —4 , 1*7

0 V 2 Я + ■ * Я т ' ^ Я .тА Л 1. '

а { * д х{ ■> 3 ° ■ а г^а

п % + X < Т ^ 71 X + | Т, = 7,2.

где

3 с

в»йр, = еот <3, Д2(Й) = С2(Р) Р|р=ехра, )- ^

Данное расщепление имеет такую структуру, что на каждом дроонс шаге интегрируются системы уравнений вязкого газа с одной просз ранственной переменной с соответствующими начальными данными, уравнения для других компонент вектора скорости отделены решаются после определения плотности и связанной с ней компонент вектора скорости.

Решение Я = (б ) данной системы (3) ищется в класс

Ъ X %

непрерывных по т функций, причем

Р«1°> = Р0' и,<0> = V (4

Задачу (3),(4) называем задачей

Для такой схемы расщепления, рассматриваемой как автономя математический об'ект, установлена корректность в пространств! Соболева задачи Кош и получены оценки решений, не зависящие I параметра схемы.

Пусть П-единичный квадрат на плоскости х,,х2 ¡Н'Ш)-замыкание по норме Соболева 2= I П-с'а/12с£г мнояюс

ва бесконечно-дифференцируемых периодических функций. Доказана следующая теорема

Т е о р е м а 1. Пусть канальные функции Я0(х)=1п р0, и?( удовлетворят следующим условиям главноеш:

Q0(x) ir(fl), u0U> € 3.

гда для решения ) задачи йх имеют, место равномерные по

оценки.

Априорные оценки, сформулированные выше, позволяют совершить вдельный переход в приближенных уравнениях и установить, что сдельная функция является точным решением задачи Коши для ходной системы уравнений (1),(2).

Теорема 2. (О сходи мост и) Пусть вияолкв-: условия теоремы 1. Тогда решения = с, ит) задачи Я •одятся * - слабо в 100(0,Г;1Нг (П)) и сильно в пространстве С( (fi)) к точному решению Z(i) = (Q(t),u(t)) соответствующей дачи,такому,что

Q(t) е (L°°( 0,Т; Ш7'(П); , ■ 0,Т; М?-'(П))

mt) € оЛ о,?-, , • € i2( о,т; ¡нг_,(а)).:

i7pu этом вектор - функции Z = (Q^>ux) сходятся к Z = (Q,u) '.вномерно в цилиндре Q (0,Т), а производные .. ZP Зо »рядка 1-2 включительно сходятся равномерно в Q * 10,Т) . и, шветапвущил производным от Z. .

Получены также оценки скорости сходимости решений расщеплений задачи к точному решению.

Теорема 3. (О скорости,--с ходимости). \сть выполнены, условия теореш 1. Тогда имеют место неравенства

1 Q(t) - QT(i)\\_2t2 + I! u(t) - tr(t)Jf_,j2 «'C x , ¡1 Q(t) - ■«?,(*) lf_,,2 + J u(t) - xyt)tf_1i2 < С

т»

• J. • ■

I Ü 3 CT-

»e {(З^.гц} - решения расщепленной задачи Ax, a {Q,u> - точное тение исходной задачи (1),(2).'

Третий параграф посвящен изучению сходимости' метода слабой шроксимации в случае смешанной краевой задачи! В цилиндре QT = * (О,Г), Т > О, Q = {0<х{<1, 1=1,ЗУ ищется решение (p,u)- систе-[ уравнений вязкой сжимаемой жидкости (1),. удовлетворяющее

начальным условиям (2) и граничным условиям

а и, а а.

- .« -»Чао - О. «I«-"0- " — ' Л5)

С. I

Краевую задачу, состоящую в нахождении решения системы (3), удовлетворяющей начальным условиям (4) и граничны условиям

V п и=о = ' = (6)

назовем задачей

В данном параграфе для задачи В)^ доказаны утверждения аналогичные приведенным выше теоремам 1-3, но в функциональны пространствах, учитывающих наличие граничных условий.

Глава'2. Целью'второй главы-является анализ' одной конечно разностной схемы расщепления для систем уравнений, описывавши плоские и пространственные движения вязкого газа. Подобного род схемы, отличаясь от других сравнительной экономичностью, широк используются в практических расчетах.

Отметим, что разностные схемы в точной нелинейной постанови для многомерных задач газовой динамики существенно менее изучен по сравнению с аналогичными -схемами для одномерных уравнений Последним посвящены многочисленные работы, достаточно полны обзор которых содержится в работах Ш.Смагулова, А.А.Злогника. Дл многомерных задач динамики вязкого газа анализ ряда схем расщеп ления на разностном уровне приведен в работах Н.А.Кучера.

В §1 второй главы приводится ряд обозначений и вспомогатель ных сведений. Обоснование дифференциальных расщеплений позволяв построить и провести исследование целого ряда семейств конечно разностных схем расщепления. Во втором параграфе изучается комби нированная явно-неявная конечно-разностная схема расщепления и физическим процессам и пространственным направлениям в случа периодического по пространственным направлениям исходного состоя ния среды.

С целью сформулировать конечно-разностную модель, соответст вующую задаче (1),(2), сделаем ряд замечаний, которые касаютс обозначений. Для . функций их№) дискретного аргумент 2=2?=(П}вг71г(Зг), п{>0, 0(= О,±?,..,, 1=1,2 положим

Фг'цн(х) = ин{х (е{ - орт, направленный по оси,х{).

Введем следующие операторы:

д3=1 аа = 2 (9з + дз]' 3=1,к.

з а

Обозначим через х^ множество скалярных функций или вектор-ункций, определенных на решетке

/г{>0, |3{-пробегают множество целых чисел|,

периодических (с единичным периодом) по каждой переменной, чевидно., функции множество %К достаточно рассматривать в узлах

| ¿Цр^.р^): П{>0, 1=7,2 },

редставлящих собой разностную сетку для единичного квадрата П.

Опипем структуру сетки временного промежутка 10,Т). Фикси-уя т € ;0,Т) и считая, удобства ради, число N = - целым,

-N-16 (п)

олагаем ог= и и ш., где

Я=0<=Г

= -! ;г = Г ,1-1, е = (п + I т + зд,, I —г—-т— о »

6 , 1 3 = 0,.,.,р{, п=0,...,Я-1, р,Л( = ^ х, ,6

Такая конструкция сетки позволяет вести расчет различных тапов с собственным шагом,а в теоретическом плане - установить епосредственную связь с соответствующим дифференциальным расщеп-

ением.

Задаче (1),(2) сопоставим разностную модель,состоящую в тыскании в области ПН*Е>Л сеточной вектор-функции ь =

удовлетворяющей следующим

азностным уравнениям

5еис "I (д1~~д1 > 0 = О "

1 Н(.(2п) + д{я - | ЕЩп) (дг -д1 ) и1 = о 3) (7)

а4и, = о, I Ф J .

€ + + _з_ = + ЗД{, 3=0,. ,.,р -1, 1=1,2

в бР{

''параметры х,й,,Д при записи системы для краткости опускаются.

2^Параметры а,0 выбираются из соображений устойчивости схемы.

^'здесь и далее /"•= Дпт).

1 «э4д + -| <е4 - а£ ) а = о ,

г + - I ~ д1 > и< = (3)

ъ + и« -1 -д1 ) и; = о , ь

ха\,г=гп+1 4-» + + зд{+2, з=0,.,р1+2-1 А=1,2

з 6. бр1+г

= О ,

^ ; - з м- / ^ "г1-1''

£ й((Зп) = ц я,(сГ) (<э,а7 + д2д2 (í) + (9)

+ 0 ц Й7(0П)[ а, д{ + дJ а{] и4(П, 4

3 ° 6р{+4

п=0.....У-1, й(П ='u(í + Д.)

Н • -

д = Й«2)= д,= 1-, Й0= егод, л2= с2(р) Р|р=мрв, с2(р)= §-2

■3(0) = 0.., = 1п р.,( и(0) - и,. ПО)

Относительно начальных функций <30 и и0 в (10) предполагается, что они являются сужением на функций.*^ (я), из (2). Задачу (7)-(10) будем называть задачей Шх. Структура схемы такова,что действие физических факторов, формирующих картину течения, разделено во времени так,что не первых двух этапах учитывается влияние градиента давления в однок направлении и расчет ведется по явной конечно-разностной схеме типа Годунова,а на следующем этапе моделируется перенос (в каждой из направлений поочередно) массы и импульса, причем используется относительно простая явная схема, позволящая вести расчет сквозным образом,независимо от знака коэффициента уравнения переноса. Наконец,на последних двух дробных шагах рассматривается неявна? конечно-разностная схема,учитывающая те члены системы уравнеюй вязкого газа .которыми обусловлен механизм диссипации энергии. В пространстве сеточных функций ин € \ введем норму:

Главную роль в исследовании сформулированной выше дискретной [одели играет результат о равномерной ограниченности семейства ее :еточных решений. Доказана следующая теорема.

Теорема 4. Предположим выполненным, условия:

6 ( 1 +• Д ) Г{ $ 771€П-

К (С</аГ>'

Г(/ Л,

^ а $ -:-, 3 Г(У Д„ ) < 0 $

„ _ д ' { Я,

: 1С У А„') 2(1 + Д)г, ^ 2И + й)г

«3 • О I

5^/3 Л _ О

.ис Л Л — ¿Л^

гл = кУил1(3(0)1. м) |г(0)| , Г(?) = с0г Уклсл)

и"

£ (о)= СП/ т*гсС7,Д(?)}» й,(с)= зис тг(1,Н(£)} -!5!<р ' I $ I«о

юкалъно ограниченные сверху и снизу функции, причел й. - невоз-хюпащая функция, к, неубывающая функция (определяете ура^вне-шжи состояния).

Постоянные К0, С0 взяты соответственно из неравенств

I 2 * ко < г «ШХ(П) '^.к.д'о.со $ Со^.Л.п, •

п ¡%

Тогда на промежутке 0 $ £ ^ Тм (Г зависит только от норш иг-юлъних данных) для оешения 2 . . задачи 1В имеют лесяо

X,п,А X

жнки:

,(£)!), < И, £ € уга1тах ^ X,

г -д

I

'»Л.и.Л-,.^«1'

: постоянной И, зависящей только от нормы, в ОТ (0) начальных функций и числа Т^,но не зависай от т,Ь,А.

Данные априорные оценки позволяют в четвертом пункте устано-шть сходимость в нормах Соболева восполненных сеточных решений к

ж) Если 0)й(£о,£35)=С£й=£о+геД, Д>0, 2г=7,.. .27-7 ,рД=£-£0> - некоторое эазбиение промежутка [£0,£] и ЯзК- сеточная функция,определенная

¡а шЛ, то условимся обозначать Г /О) = ^ f(t}¡)^.

*тД А—»

функции, которая оказывается точным решением задачи О),(2). Для восполнения сеточных функций используется интерполятор Рябенького К(х\и ),сопоставляющий дискретной функции и некоторую кусочно-

X "X

полиномиальную функцию переменных'(х.,х2), обладающую в соответ-ствущей области, непрерывными частными производными до порядка I включительно.Функцию и =В.{х\и^.) называют интерполяционной функцией Рябенького. Будем обозначать через и' линейную по í интерпо-

«V X

ляцию функций и .Доказана следующая теорема:

Теоремаб. (О сходимост и) Если' выполнены

условия теоремы 4, то при и2 + П2 + А2 - О интерполяционные

фуннцш 2" , , сходятся к точному решению 2 задачи И ),(2) из

X , п,, & т . 1

класса (С(О,Г,; (Н"(П))П (С (0,Г#;ОТ (А)) б следующем отеле:

* - слабо в 0_°°[ 0,ТМ; Шг(П) ], сильно ■ в 0,2^; ¡ГГП) ],

* - слабо в ¡Г°[ ],

* - слабо в О,ОГ-'(П) ].

Т '

х,Н,А

' I,Н.А

3 л 9 Я

х > /г, А - ^

? 5 £

т:,а. А _

л

г дг

Прй'этол производные (Б3 2 ь д> по Эо порядка |(3| ^ 1-2 сходятся равномерно в П * СО.'Г] к соответствующим производным по х1 от 2.

Поскольку даказательство проведено без априорных предположений о существовании и гладкости точного решения, то данные схемы можно использовать и в том случае, когда о точном решении заранее ничего не известно.

Заключительная часть §2 посЕящена исследованию порядка точности рассматриваемых схем. Доказана следующая теорема:

Теоремаб. (О скорости сходим о с т Пусть выполнены условия теорем 5. Тогда при I > 4 ижеш лесжо неравенства:

^и.д " 5 ^-¿¡а) + К'.^.д --и « М(х.+ К + П2),

] »»т'.Ь.Д - и '«Г"^) Л + *

О

Л* .V «V

)е 2 = (¡3,и) - решение задачи (1)-(2); д.гц.'^ д)-

писанная въше интерполяция вектора 2Т н 'являющегося решением йачи В . Постоянная И не забисит от %,К,Ь. В §3 второй главы гализируется явно-неявная разностная схема расщепления, соответ-гвующзя начально-краевой задаче (1),(2),(5). К исходной разностной сетке

ак = с = V0' з, = £=7,2)

рисоединим фиктивные слои

ЗА,). 11 + п., 3„ = О,

• е- I с. с.

; 1б4п.,1 + ?г,;, е. = о.....лг.;

' » ^ / » » г

семейство сеточных функций 2-2 , , = , , ,и_ . .) ищется

з условий, что в узлах (г,л € е удовлетворяются разност-ае уравнения:7'

^ з^д + д.и, - § (а. - д, ) д = о

6 Ь 14 6.1 I

3{д- - |/й(вТ1) (<з£ - а£ ) и, = о, ¡12)

Л «■ _ О * и #

^ J - 7- <1 9

€ г=гг + .ы + _£ = (ги-^)т 4- ад , 3=0,...,о -г, г=7,2, б бр£

13)

й 6,0 - + "с оьо. -1 ^ - д1 ) я =

+ ,/1 а>е ■э -г 5 ^ :

б 'Л ) :

+ 1" =г , ? (+2 +■ ЗА

1 >

Данная аазностная модель отличается от поиведенной выше

труктурой диссипативных членов.

' &' .'V'- 4 Я . / + Л — И О : ГЛ\ А Я 4. / + \

Т ик г ' , V с / — м > и , л, и м

о С I и г , * с ь

* О е гЛ \ Я «I ♦ \ _ ч О (\ ( Я Я . , л Л \ 4» ' + \ М Л \

^ та; V _ и* | \ V / — м- 4 ъ , Ч ** ) < о» , Ъ- Т V ? Т

+1 и яла"1) з^ йг (г >, *

+ + ЗД£+4, 3=0, ,,р1+4~1,1=1,2.

6 1Ь4

3 качестве граничных условий для системы уравнений (12)-(14) примем следующие соотношения:

¡/и «V* V V V V

•л I л I _ п л I .11 _ п 1 о г и г

Показано, что данная схема устойчива в разностных- аналогах норм Соболева при выполнении условий теоремы 4. На основании равномерной ограниченности. семейства сеточных решений задачи (12)-(15) доказывается их сходимость (точнее, их восполнений) к точному решению без каких-либо априорных предположений о гладкости последнего.

Получены также сценки, аналогичные (11), скорости сходимости сеточных решений.

Основное содержание диссертации отражено в работах:

..I -i I

1. Троцкая О.В. О сходимости локально одномерных дифференциальных расщеплений для уравнений вязкого баротропного газа // Студенты и молодые ученые Кемеровского государственного университета - 40-летию КГПИ - КемГУ: Сб.тезисов - Кемерово,- 1994.-С.40.

2. Троцкая О.В. Обоснование разностных -схем расщепления для многомерных уравнений вязкой сжимаемой жидкости // International congress "Women-mathematicians" Abstracts - Moscow,- 1994.-G.27.

3. Троцкая О.В. Метод, слабой аппроксимации для одной модели вязкого газа //Материалы XXXI международной научной студенческой

конференции "Студент и научно-технический прогресс"- Новоси-

«ipCK, -1994. -G. 82-8?.

. Trozkja 0.7. Foundation oî difference sceme for multldlmen-ional equations of viscous compressed liquid // Proceedings of nternational congress of the association "Women-mathematicians", ssuel, - Nlzhny Novgorod,- 1994. p.56-61.

.Троцкая O.B. Исследование разностной схемы расщепления для равнений движения вязкого газа // Сибирский математический урнал (принято в печать).

. Ттопкая O.S. Основы метода слабой аппроксимации для дифферен-иальных уравнений.Часты - Кемерово: Из-во КемГУ,1994.-4Вс. . Троцкая О.В. Метод слабой аппроксимации для модели идеального аза. Часть2 - Кемерово: Из-во КемГУ,1994.-33с. . Троцкая О.В. О сходящейся схеме расщепления для многомерных равнений вязкого газа. Часть 3 - Кемерово: Из-во КемГУ,1994.-Ос.

Троцкая О.В. Исследование схем расщепления для уравнений зижения вязкой сжимаемой жидкости // Труды 2 международной конференции "Математика, компьютер, образование" - Москва,-995г.

Соискатель: ^

1одписано к печати

)ормат 60 * 84, 1/16 Об'ем

!аказ Л -/93 Тираж 100 экз.

3отапринт КемПУ, 650143, Кемерово, ул.Ермака,7.