Метод сравнения и управляемость механических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

аслнкт-петербургскиП государственный университет

Б Ой

) ш ^

На правах рукописи

Никитин Иван Павлович

МЕТОД СРАВНЕНИЯ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.09- "Математическая кибернетика" 05.13.16 - "Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях . (в.ртр>сли ^физико-математических наук)"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1996

Работа выполнена на ка^здре прикладной матекатакп Мордовского государственного университета км.Н.П.Огарева

Научный руководитель: доктор фпаЕко-катбматияэсяих наук,

профессор Е. В.Воскресенский

Официальные оппоненты: доктор {изико-катекатичссюз наук, '

профзссор Ю.З. Ллеикоа кандидат фязико-иьтемзтичэских наук доцэн? И.Б.Попов ~

Ведущая организация - БешшрсккС государственна университет, Уфа

Зещкта состоятся в "_" час.

на заседании диссертационного совете К-063.5Т.16 по присуждению ученой степени кандидате {нзкно-мвтэмэткчэ ских наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 190004, Санкт-Петербург, В.0.,10-я ягния, док 33.

С диссертацией можно ознакомиться в фукдамэнтальной библиотеке Санкт-Двтербургского государственного университета им. А.М.Горького (г.Санкт-Петербург, Университетская наберек-ная, дом Т/9).

Автореферм разослан

" ?У ■ яге/Ягою года.

Ученый секретарь диссертационного Совета

доктор физико-математических наук В.Ф.Горьковой

ОНЦДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность т*?мч. В процэссэ Оункцпэяирсвания кногах ваха-НКЧ9СК2Х объектов часто воззшсгет нвсОходамость перепада их лз одного рабочего состояния _ другое. Сзсйством обессзчззагЕ^и возможность такого пэреводт, являэтся управляемость састеии двгД^рйт^ядуц^гг урзЕНвкпЗ, опяг- «еЕцгх дврэееэ рассматриваемого оОъеггз. Вопроса упрааля-змоо« иехвЕнчзсетх сгстем бнхх значительна раззаты з последнее Броня и ссстзахяпт сааостоптэхлниЛ раздал овгрй теория управляемых процэссоз. Теорая управления легайннал састеяака достаточно пажа издогэнз в «окагра£™ях К.Н.Красовского, Р.Е.Калденз, Э.В.Ла, Л.Иаркуса, Р.Габассва, <5.Кирадсэс2 и других. Гораздо нэнее разработана теерзя управления неяшейныаз системами, Енташпгаасе азучекзе которой началось а последила гсда. В работах В.И. Зубаа-з, 2.В. Воскресенского а других ресаэтся задача оО упреаляеиостз ланеЯзнх з неяшзЗннх систем кэ только за конвчиоэ, но и за бесконечное врзмя. В етстз сдучга фвссарованная точка пераводатся 2 сколь угодао яялут» окрестность другой точки, прячем а дальней»»! эту окрестность яэ погадает.

В дассвртзгцтотшай работе рассматривается мчхакзчаехке системы, спаснзаеиыэ нелгиэгны&а снстеап* дмй-эрвгаазлвыд ураькениа, полученными путем преобразовать аз урааненаЗ Лагранаа. Праше часта системы згвасят хах от фпзоеах коерданэт, так и от управлял®*! плрзметроз. Класс допустаких ураапекиз фиксирова-а. Требуется получать услокая, прз которых точка одке.о факеярованного множества переродятся в другое (¡кхеяроавкмео ».оюхество.

Яра рлв«нии подобных яядач всаго приетняэтея зтороЗ

л

метод Ляпунова, что станет иерад ксслздователви проСлзку аЮэк-тнзного пояска фушодай Ляпунова. В качества адьтераатквшл: методов здесь иогут применятся метода сравнения Е.В. Воокресенского, когда о пова денет реаашгЗ некоторой недгаеЛной шотека судят по свойствам лшебвоЗ системы при условии их всиштотствскоС энзнзадентноств. О шяюв&а отзх ыэтодов в дгссэртацжонноЗ работе резгвтся задача об управляемости иэхангчвохих сиотек ва конечное в бесконечное нреия к нсслэдуотся проблема устоЗчиэостз состокеи равновесия.

Пяль е222С£- Изучешз услоетг управляемости азгенкческш сгстем, уравнэшя даззнкя котори приводятся к давферэнциадша уравненггяа в нормальном ездз. Прл этом кэобходаю шлучкт! услонгя астаетотлческог зкзгэадзнтаэсти походного уряйпяшя 1 уравнения срававши. Получонные результаты сраманяггоя п для ра езнея щххЗлам /отсСтааоота г сегмптотнчешсоа усто2чгвостк трлш ьльеого ресенгя наганвйноЗ систеаы.

Ыотодича косдяаовенаЗ}. В роботе применяется слэдугпв

с

штода: 1) кэтод сравшнгия; 2)штоды ьскгптотгческоЯ рквшвг яэнткооти дгйвренциалъныг уравнений Е.В.Воскрэсвнского; 3} лвгс вараают произвольных постоянных Лагрвюеа; метод, основянкг на теоремах о негодехноИ точки.

Като-яя н^нг^нУ} 1. Пздучэны вовне условия всякптотичесж зкн^{залбнтнасги макду рэввншшк нелнзкЕшг стстамы в ее линеСво праСлагенея как ш воем компонентам, тек г по чаотп кошонен 2. Исоледувтся услозгя упрввляеуости нелинейных систем га кокэ воэ н бесконечное время. 3. Приведена достаточные ус.-.сггя устс чкаости и. асюсгготичоскза устойчивости р" .::-^ еэ/л . " у{

25ЕЕЗ в взггселзстн от ЛОЕЭдаЕгЯ р0~еК23 соотвзтстзущэго яэчй-5го яр!йлгг51пгл. 4. Пскгзгна гсзкяяность пргыаЕвнгя получении: езуЛЬТВТОЭ гр? 2ССЛВ533СНПИ СЗНЗД9Е1Я М51ЙЕ1ГСеСК2Х (ЯСТвИ.

Пргктггасззя известь- ДЕссзртзцпспная ргЗота носят творетя-гскгЗ хтрз^тер. Пздучзеенэ а дгссзртецки резу^тьтати позволяет ля упргвгя^щх :зстем нкв-'згпгчбска построить

рогрггзн? управэлггя, подучить гсЕтлшзпгческзэ фэрзта для рсгр"д.~гг дуу.ЧЩД, обосновать ныЗор гшнклвдсзэ'ппс сял п гртгэтрсн система. всэ рэзугьтатк жгут сыть пггопьзсзезнн з задачах, сзжезеше о управлением и уотохгтаеосьа

мигания.

22*222- Результаты дгсиргодкнссЯ работа доклади-:вгись г сйсугдзлгеь тгз ззсэдзнгях свУЕНЕоа по двЗфервзцгзльнкн •р5Е29Е2Яа иор^твзого уЕпверсятвта (1992-1995 г.г.) я Беикгр-жого госуназерсЕтета (январь 1995 г.), на межЕтгародвкх хоз-¡врэЕ:;еях "Ди@эренпва.чыше п татэгральнна уравзекая. У^течгтз-гэская фгззпса г епэцгахьЕыэ функции" з г.Самара (¡аЗ 1592 т.), 'ЛгЯвренпгальнкэ урзззэвгя л гг лршааэпм'" б г.Свргнскэ (хз?:з-5рь 1994 г.), уэ^зузовског конфэрэЕщги "Катэмати^эсхое ыздаларо-$гзпе и нргевыэ задета:*' в г.Сакзрз 1995 г.). на Огзреаских ггвЕ2ях Цордовсяого госунЕВврсптета (1992-1995 г.г.)

ПуАдияияя. По результатам пссдэдозангК опубликовано сечь забот. Зсэ результаты автором дассертзцгг получэш самостоятель-ю. Е.Б.Боскрасенсхоыу праналяегит постановка задачи а предлсяэни ¡ютоды речевая гоотевввнешс проблэм.

СУУьвм 2 структура работа. Дассертвагя изложена на 124 ярвняцвх квзгнопнсного текста г состетт аз введения, трех глав г писка литература, содэргазэго 112 нгикэнозазЖ.

СОДЕРНДНИЕ РАБОТЫ

Пусть дана кзганическгя сгстека о к степеням"! свободу. Ургвньнаа дага^агя его« огстэгл* г лзгрьжеЕл координатах имеет ннд

Й «и

— ---»--+ Q(t,q,q). {t )

dt oq £q «q

Спргпнзаетснг: api каких уолониях спстсга (J ) будэг управляемое ка:: sa коневое, так и за бесконечное Еремч ? Будет прн ertuj д^пгзез» устоЛчиггм, лгбо еотг^тотяческв устой1«!»,! "î Эт^ гогроса язллэтся ocncirrsai в дзссертыданной роботе.

Пэрээл rczss пос^лдо^с вопросам Ез&эодадаста ууэннснй! дь^-

SE2Z3 JKÎE!I3«eCIttfX CZCTBM S ^¿¡р^ЬТ'С'-АУ ВЭД. ТаХСЗ ПОДХОД ПрГ-

дккгзэен слэдугадаа ссйбрагагютй:: Богмохаостьи яглцонзния : исследован» норч&льЕого уртзлг шиакшв качеотьбЕяой ïoojvj уразнэякй п втала-эния пйдгчешах р5ьу.;ь?2?сз ч; только к ypsisawzs двzsôqm йзхавичвскгх слсш-, но г к друга прососем, олЕсьшаввдп ¿рс-ззспзямл гда

йх

— * À(t)s + £(t)u + i{t,r,u). (2)

it

П ттерво» параграфа рзссмзгразагтзк урагяеma Гамильтс-:-^ Лагранха для коисарвдтпвныд нэхашяос:съ. мв.тг.нгчвсккх слоте«, дпгггся условак лразсдвкссга zx к Еерггалькзгпу гаду.

Ео Etopofi napsrpaGe ставился задач б упрьплекил t:z.-; s конечное, так в sa бесконечное zzpu?., рассызтркйавтся различна сила, который йогу? дзёствозвть ъ2 иаханлчвскув сгстзку.

В третьем параграфе уравнения двзязг-хя управвяеках кохаяг ческах систем гряводятся s нормальному езду е предлаг^гпс цроста£? уодальгэт примэра кяхсническах объектов, опнсывгэщ

г

ЛЕнейннми и нэлянвйнкыи урЕзнвнювса. Обсуждается г иллостркруатся на примере линеаризация урезнаний дшшвзгя.

Вторая глава является основной и она содержат слвдущге результаты.

Первый параграф включает в себя вспомогательный материал, необходимая: для решения союзной задача: условия управляемости для линейной система га конэчег>~ г бесконечное время, оценка для решений управляемых систем и понятие асисгтотгчвского равновесия.

Во втором параграфа приводятся условия асимптотическое эквивалентности дифференциальшгх уравнений как по воем, тая-г по часта компонент. Зти результаты основываются на работах Е.З. Воскресенского. ,

Предположим, что из каких-либо соображений на управления наложены ограшгчення следующего вида |и(£„х)3 * Класс

допустимых управления Ко= (и: ц - В*с,. |цЦ,х)| 5 а(г,|х|)>. Для Ш,х,ц) выполняется следущ»в условиэ: |Г{г,х,и)| * <р4(Ь)|х1 + + <ра(г)Ви! « 0<Мх1) и Ь + * ММх|), «

е к*), при всех Ъ « СТ,-к»), < - т„-н»). £3СЬ>8 £ Ь-

фундаментальная матраца 7(1} система

йу

— * А(1:)у* (3)

4г

будем считать нормирована в точке СТв,+®)-

Пусгь нецрернЕная функция о: 11,+®) удовлетворяет нэра-,

ренству: т(») а Т £ Тв 5 I < +«> и при любом сЮ

|'|У(4)Г1(з)ВР{8,са(в))йа - о(сш(«))

е • '

Jl¿I(t)rt(s)|*.(s,co(a)Jda - o(co(t)) (5)

прж t -Кв.

Творена 2.2.4. Ecxz реиеная уравнения

^ - jr*(t)i\{t,ZB't)) -(fi) »

определена а огранхчзнн при всех t г tjt T, za* в внаоявя-втся условия (4) ж (5). то ураганная (2) а (3) асзшютэтасет экнивалеяпш m Бра^зру саосггвшю Сцнащш n(t) в ххассе до-щгстюси усрашаняг

Згаэчанкэ 2.2.2. Еся а квчастве ураввашя даазазза берется йх

— » A(t)x + B(t)u, (Т)

ût

в X(t,Jx|: - ba(t,|x|}, то асахваигс* все условая теорема 2.2.4 в уравнение (Т) будет асзмптотзчвсхн аккавалантна уравнению (3).

Из замечания 2.2.2. следует, что пра. внтгоднйнах условий теорема 2.2.4. ургшнашш (2) будет астаптотачески ысзавалэнтно и уравнению (7).

Понятие аедаииотачвсасЗ эквивалентности можно распирать, рассматравая асшштотнчевкув агви2ь*ентность уравнений лиаь по часта шраменнах. Будза тазквать ату вкагЕалентгость похоапопэн-тно2.

Рассмотрим множества Ж0з Н, Я»{1,2,...,n) s {1,2,...,q). Пусть управления берутся œ» класса %в » tu: и » В*с, Ju^t.xJI s í i-ТЗ, a |rct,x,u)| s |хм1), h^ пагса^,!*^,...,^!)}*- ввхЩг.Ц,,!.....

ММ*;,!.---»!**!). Для л«35« 3 * к и .....- V а.рЛ -

к^), при всех и <= [т,-н»), я1 = 10,+®), а.

„-ндадзментальнзл матраца Кг) » (у^ (Ю) сзстеш (3) будем питать нормирована а точка 1;о« 1То,+<») и 'Г4 {г) =• ) - На=

(х:х е н", I » со1оп(х4,...,х„), 0, 3 с Но>.

Пусть непрерывные функция га: [Т,-к») -» 1Т.+«) - к*

довлэтеорявт нэревеЕствам : а (Б) ^ папу ¡(1)1, при !Г\М * 0 и

^оАыо

ели ЯЧН = э, то ц (Юг 0, ш(1;)2: шах £пах|у,,(1;)| ,а(1:)}, 1« Мо, : 5 5 1 < -к» а при лесом с а о

|11уи(э)1Мз,от.(з))си < ; (8)

1 О I

Г I У У.к(1)уи(з)|я:(з,сп(з5;^ » о(сц (*)), (9)

• JI

о

^Тк^У1к(г)ук'(д)|Я(з.СГ5(3))с13 - 0(^(6)), (10)

при г - -ио и любых з * и, 1 в ао.

Теорема 2.2.5. Если решения уравнения йг

— - У >У (И)

аг ■

определены, и для ке Но ограничены при -сех г * То> г, т.^«. и выполняется условия (8)-(10), то уравнения (3) и (2) покомпонентно асяутгсг^чсгки экнквалэнтш по Ераузру относительно фугеецк® ^ ^ >, 1еКо а классе дег^-тгаг.^х упрззлешй.' <а.

В третьем параграфе расс:атриаавтся вопроси упра'иг:".:-; неланайичт систем за бесонечное время.

Теорема 2.3.1. Если видолнявтоя условия теоремы 2.2.4, причем a(t,|x|) - ^(t)|z|. P(t,|xD « где R, и Н,

таковы, что I^e C(t0,+«j,[0,+«)) в

♦со

JR4(B)da < +®, i-1,2; (12)

^ О

система (3) имеет асимптотическое равновесие ж матрица А (-но) *

*а>

J Bo(B)B3(a)da, где Be(t) - lT*(t)B(t), невыровненная, то для

о

всех te, для которых

Ч - /1г1(а)|НД(в)|У(в)|<1а < 1, (13)

j-|r4(B)|jY(s)|Hi(s)dB где Ко - h ||Г4(а)|Н,(в)й8 е •

i

о

система (2) является управляемой за бесконечное время s классе Ь in: и - l£c, |u(t,x)| s H.(t)|x|î.

Кроме тога, рассматривается ж более овщая система бх

— - f(t,x) + <p(t,u). tm

где u«tc c-C(tT,+®)x*'\R,")I f(t,x) « C([T,+®)XRn.O' «

m c([£,-HB)xR<">Rn), T s О. Исходя из способа замены переменных при приведении к нормальному виду уравнения Лагранжа, - систему (14) можно записать в следуицем виде:

dz

— - х.

(15,

dx

— - i(t,X,Z) + <p(t,U). dt

Такая форма записи удобна тем, что от нее легко перейти к исследована® управляемости как по всем компонента«, так и го

части компонент, причем формулировка тоорекы существенно не изменится.

Займемся вопросами управляемости за бесконечное время системы (15) та компонентам х. Пусть функции Iи.х.г) и ср(1:,и) удовлетворяют условии Липшица:

|1(г,х4,24) - Г<г.х,,^)| ^ фви)|*4. - х,|.

(16)

) - Ф^,и,)| 5 ф,(г)|и1 - и,!,

для любых х4,х4 • к*, и4,и, « к", ф( • С([Т,+«),К*), 1-1,?. : Запишем интересугцуг нас часть системы (15) в виде

йх

— « А(г)х + В(г)и + СШ.х.гНЦ^)!] + Сф(1,и)-В(1)и1, (17)

гдэ А(Ь) - (кхк) в ВШ - (кш) - непрерывные вещественные матрицы.

Обозначим

[Г(г,х,2)-А(г)х) + [ф(1,и)-в(г)и] - £(г,х,г,и), (18)

тем самым мы придем х системе вида (2). Потребуй*» чтобы выполнялось условна

|и(1,ув) - иК,у4)| * Ф (Ю|ув - у4| (19)

для любых у4 ,ув «я*, и4 « к™, фв - непрерыннаД функция.

Теорема 2.3.2. Если для системы <1у

— - А(Ъ)у + В(1)и 01

решена задача об управляемости ва бесконечное время в смысле теоремы 2.1.3, выполняются условия (16) и (19), а

I 2

Г|В(з)1|йз <+«=, Гф (з)(!з <+«, 1=1,2, |Г8Г(э,0,0)-кр(з,0)|£1з < -к»,

¿Т .»т 1 Л

|\(3)К,(з)<1э <+«, 2

Я =|11Г'(з)|(йой4(а)1Г(а)1 + Н2(з)ф9(з))б2 < 1,

Т 1 < то систэмз (17) является управляемой ю кэышишитаа х за бесконечное время в глассе

и = В'с, Во(г) - Г'иэви). с в к"}.

В четвертом параграфа, такзэ кад г в продндтезм, используется щ .мирт сргзнэяЕЛ для регангл задачи об управляемости для системы (2) на конечном проысдуткэ времена а по часта компонент.

Творена 2.4.1. Етла для стстемп (17) ло компонентам х заполняется замечание 2.4.1 и ГТ|В(з)8аз < -н», Г*ф (в)<1з < +«, 1-1,2,

1о 'о 1

^'(а.О.О) + ф(8,0)ВЛз < -нв, |Хфэ(а)И1(а)(1а <"

о в

О Ггг* 0)1(11^(3)11(3)1 + Й1(а)фа(з})аз < 1,

о

то существует упрзвдэнкз и « Ха, тарч^одя^г, точку г., в точку у* за конечное время т.

В пятом параграфе рассматривается практическое при:« некие полученных зыше теореы для некоторых аехашпэских систем, описываемых уравнениями (1). В к^твстве обобщенных сил использовались гироскопические силы и управлящие. Выбор гироскопически. сил неслучаен - именно при помощи этих сил Зуда? в дальнейшем стабилизироваться программное движение.

Зусть алеется управляемая голономнвя механическая система о uzaana свобода. Цредаодоиви, что кинетическая энергия гтред-¡»t coOGft фгосцг» класса (f a tasse т вид

T(q»4) - 1/2

(q) - шгашкслао опрвдалажад ашмэтрячвсная матрица. По-адозя ?Еарггя тгккэ ¡тиются функцаа* классе 0* а нжзэт вид

0{q) - q*Cq,

о - поатоаимия тайтргезсавп катрица и, крсга того, що) -

(0) - 0.

Пусть ка меккачэсдув систему дэйствугт гироскопические силы G(t)q, гдз e^tt) - - eU^)*0» и упрзвлящаэ

оу » b(t)u. Урагсэазэ .ïarpaissa (1 ) дел дгзкоа ыэхашчесхоа вма после алкаш пэрекожаа so права«? ^ - z. » q^, Т7Е и преобразовали к кормалаой фар« (g) примат вид:

i « а,

(20)

z - r4j)G(t)s + f**(0)D(t)U + f(t,î,z,u).

Теорема 2.5.1. Пусть упраалямаиа силы Û(t)u, действупцие на

гагчэскув састекд такова, «то. |u(t,2)J s ct(ï)|zS, где a(t) «

h

[[t ,+e), Ir), JD(t)8 s —--, где h - coast, для гироско-

1Г4(0)|

эсзах саз G(t)q, где G(t) - ан-тигэеетрлческЕЯ матраца» выпол-

гся условий J*fEr*(0)G(a)lda < -и>. Фундаментальная матрица t

о

тема у « ?"'(Q)G(t)y яоршрованна в точке te a s с-

да, вс-л lf(t,x,z,u)i s P(t,jz|), ha(t)lz|<-p(t,Bz|) s X(t)Jz|,

внполнявтоя условия jjpf4 (s)|X.(s)ds < -но, J*\(e)da < +» и

в 1о

q - |7г*(в)|НвМз)ГГ(з)|<1з < 1, 1

♦ е

Jjfrt(8)HY(s)IX(3)ds .гда R0- bj ¡Г*(в)|Х(8)<& е, " i

о

при t > te£ О, та система (20) будет убавляемой за бесконе< время по коигоиентам z в классе Ко « fui u « B*(t)c, Во(1 r^tjr^OMt). |u(t,z)| s a(t)|z|ï.

В третьей главе ревеятся задача об устойчивости 8 стьЗад ции программных движений.

Первый параграф дает различные постановки задачи стабих ции как для механических систем, так и более обадт постав для систем, опиодваемих уравнением (2). Здесь sa ргссм&трггз задача о стабилизации по части кокпрЕвнт.

Во втором параграфе рассматривается вопросы устойчивое асмптотической устойчивости двшввния при управлении

u - V(t)x , (21 )

где V(t) йогах быть в постоянной матрицей. Рассмотрим нелшшануя систему

dx

--A(t)x + B(t)u ч i(t.x,u), (22)

йХ

и "оответствуххцее линейное приближение

•— - A(t)z + B(t)u, (23)

ût

где A(t) -(nxn) и B(t) — (пхп) - непрерывные матрицы, fe C(tT 3benSR",Rn), If(t,x,u)| £ t|)(t)|x|, /(¡>(s)ds £ -но, в управлен

lb

"3Q? пад (21) з Eu(t.z)| s igxj, L - const.

ПодстЕгга упрсвлзнЕэ пздп (215 в рзсснатргваэказ сзстькн, ■огда когнг записать dz

— - á(t)s + 3(t)7(i)x + í(t,r,u) - i (t)2 T t(t,X) (S-t) dt

I

6z

- - A{t)s + B(t)7<t)S - A (t)S. (25)

út

Тесрока 3.2.1. Soai для czctskh (25) наполняется условна

»es

f 5A0 (s > 5ds s -ча, то при управленаг азда (21 ; сзстогаз» çzzzœc-

т

сгя т - о cscTsxa (22) будит устойчиво. Гесрета Э.2.2. Если система* ¿У

- - A(t>y (2£)

dt

равночзрзо устойчива«, ц « 7(t)3c-ssct-íkí (22) тароо,

-з» *а£>

что f Ц3(э)7(а}"йз < -к» a J ô(3)us < -то, то трязгальзоэ резгапав

i i

г. ^

СПС?5МЗ (22) 6УДОТ рЗЕЮИОрНЭ У СТС^ЛЮ.

So тратьс»! псрагpaja раиегвтазвеытея Еи-с-октэтеггж "этсдн стабггззацхз spcrpewsaix д^ксекгг по отнсаснзпз ? ПоГ«?»ЕЕЗй1 rt,..(3 < ь г п>. озсгначзу ггя гэреуе*д£2я "î&p0^ ^ - л.

(i-TTfc).

Теорзкз 3.2.1. Пусть наполняются »едоки тэсрзча 2.2.5, 2 УСЛОВИЯ (S) - (10) îr:-3dt !Л9СТО psliioïispno относггэлько

^(t)£ к. к > О, îoi t <«=, иЕй а У - хоютивнта ^"чдого

_рзззЕ2л сгстегц (3) стргчгтса s аула пра t ♦ то (5?н:<цги

iu(t,it.....ijî < ix^f.....12^1), í - ÎT5, "

« II , psspeaurr задач» об у -стг0Ехпззи,тгз.

?1EC7¿, ОШгЗЛШШЗАШЗЕ Ш> ГЭЕ ДтЯИЭДШ

1. Еосифвсзнснсг Е.Б., Ноа^пх U.E. ¿спггготихв ренекг? HassHSî-ЗНХ // а S3. Г-СК2. науч. гзыф. "IUI СгзрБзе^э îtessi*. СгрсЕ^г. ô-i" гзквбрз 1992 г. / - СерпЕзг: йз^-ез ун-та, - 1=54. - D. 76-71.

2. EsaiTzn U.TÎ. ¿¿MSC^tj isrcys пр^цасззз ь biticrpiísa^HEr цзиях // Сев- X^x-jn. 3LJ4- s

I. . j." спсц. Ч'1'^"*j 2^—21

кзн 1953 г. / - С^сра: СгЗаг. - 1532. - С. Î&t-JHS.

^Sít.-.-v xzrcazx: ff !Г«з. jpsHsanz-ч п ez

23-22 д^ззгрл 19s4 г./ - Сгргзск: Езд-ьо

Изрдзз. 2Н-Г£, - 1594. - С. 151.

ртг-гг^тг; КыХ^ничасзс: eiste:: /У 2ез. дзкл. fess—*.. кс^О. "¿Í2T. юдвщрсвснп и 22ДЗЧЕ". Свизрз, 24-25 13Я 1935

г. / Оеглр-: СзыГЕУ, - 1995. - С.53-54.

5. Н<2С1тгн И .П. О стабсл22лд22 прогргкггпото движения асзлгтогк-чзсыу 1атодсй» //Lía?. ыздслпранзнга. -1995. - Т.7, К 5. -С.75.

6. Hekhtze И.п. об ьццштотпчаскаЗ ЕгнинапентЕостн дгё^арзшщалъ-huz урзезепй //Тр. cskze. по дафференц. уравненЕЕМ 1Ьрд. гос. уз-тв. СарЕза:, янв.-к7нь, 1995/ Деп. з ейвгги -t.c3.95, к 2336 -в95. с. 219-22?.

7. езсгтш ".п. Ереьадэаш уравнений дбигьнея управляемых кэха-нгсеазх czcreü к Еориальнаму гаду // Бестн. Норд, ун-та. -- 1995. - Hi. - С. 58-62