Управляемость систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.938

на правах рукописи

Глухова Наталья Александровна

УПРАВЛЯЕМОСТЬ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного педагогического университета имени С.А. Есенина

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор М.Т. Терехин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Малышев; кандидат физико-математических наук В.П. Кузнецов

Ведущая организация:

Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева

Защита состоится 8 октября 2003 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, д. 17, ауд.324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " августа 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, /у

доцент

Е.К. Липачев

I 2^8 (

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертационной работе изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащие управление. Создание математической теории управления обязано трудам JI.C. Понтря-гина, Р. Калмана, H.H. Красовского, В.И. Зубова, Р. Беллмана. Значительный вклад в развитие теории внесен В.Г. Болтянским, Р.В. Гамкрелидзе, А.Б. Куржанским, Р.Ф. Габасовым, Ф.М. Кирилловой, ЕЛ. Тонковым.

Хотя математические постановки задач управления стимулировались практическими потребностями, классические их варианты были рассчитаны на идеальные условия, а именно, на существование безупречной по строгости математической модели системы и на полную априорную информацию об исходных данных. Однако далеко не каждая прикладная задача укладывается в подобные рамки.

.Весьма распространенной при исследовании математической модели является ситуация, когда начальные данные о неизвестных параметрах системы минимальны: соответствующая информация ограничивается заданием лишь допустимых областей изменения неизвестных величин. Изучение ситуаций, характеризующихся указанными информационными ограничениями, приводит к теории управления в условиях неопределенности. Такие задачи носят весьма общий характер.

Впервые подобная задача была поставлена А.Б. Куржанским, который рассматривал системы дифференциальных уравнений, линейные как по фазовой переменной, так и по программному управлению. В процессе решения он пришел к специальному классу задач математического программирования при выпуклых операторных ограничениях. Операторные линейные уравнения, задающие эти ограничения, содержали набор неопределенных параметров, а оптимум выпуклой функции понимался в смысле 1фитерия минимакса. А.Б. Куржанским получены необходимое условие минимума, которому удовлетворяет оптимальное управление, и достаточные условия оптимальности. В исследованиях применялся аппарат выпуклого анализа, в частности, конструкции, вытекающие из теории двойственности. . >

В настоящей работе для управляемых систем ставится задача управления в условиях неопределенности. Целью исследования является поиск среди допустимых программных управлений оптимального, являющегося таковым для всех движений рассматриваемой системы.

В' работе исследуются системы с известным видом общего решения. Операторные ограничения задаются принадлежностью постоянного вектора некоторому выпуклому ограниченному компактному множеству. Под критерием качества понимается достаточно гладкая функция, которая может не быть выпуклой. Рассматриваются также нелинейные системы с од-

ним известным решением, для которых указывав

БИБЛИОТЕКА

J

С. Петербург _ л I OB щ t

ного управления в окрестности нулевого. Полученные условия оптимальности позволяют для многих задач привести аналитическое решение.

Если вопрос об оптимальном управлении для линейных систем изучен достаточно хорошо, то для нелинейных систем эта проблема до сих пор является одной из самых трудных и малоразрешенных. Применение на практике большинства известных результатов представляет значительную сложность, поэтому в диссертационной работе внимание уделяется получению условий оптимальности, непосредственная проверка которых была бы более простой.

' Большинство результатов в работе предусматривает возможность численной проверки, что обусловлено растущей мощностью вычислительной техники и совершенствованием компьютерных программ.

Изложенные факты позволяют считать тему диссертации актуальной.

Цель работы. Целью исследования является получение необходимых и достаточных условий оптимальности управления для систем (линейных и нелинейных) обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности, причем оптимальное управление должно являться таковым для всех решений рассматриваемой системы.

Методика исследования. Допустимые управления и() отыскиваются в виде «(()= к(()с, где к(>) - матрица ограниченных измеримых известных функций, с — неизвестный постоянный вектор, значения которого принадлежат выпуклому компактному множеству с.

Исследования опираются на свойства коэффициентов в разложении функций по формуле Тейлора в окрестности исследуемого на оптимальность управления в случае, когда известно общее решение рассматриваемой системы, или в окрестности заданного движения, если общее решение системы неизвестно.

Если для системы определен вид общего решения, необходимые и достаточные условия оптимальности управления формулируются в терминах разрешимости систем недифференциальных уравнений и неравенств.

Если известно только одно решение системы, то задача решается на сужении исходного множества С. Доказательства теорем о существовании управлений, удовлетворяющих необходимому условию оптимальности, основаны на применении метода неподвижной точки.

Научная новизна. В диссертации найдены новые необходимые и достаточные условия оптимальности управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии неопределенности по начальным значениям, использующие вид коэффициентов в разложении функций по формуле Тейлора. Приведены различные достаточные условия оптимальности, учитывающие свойства исходной системы и оптимизируемого критерия качества. В случае неизвестного вида решения управляемой системы сформулированы условия, позволяющие судить о том, будет ли оптимальное управление граничной или внутренней точкой множества до-

пустимых управлений. Предложен способ построения множества, для которого оптимальное управление гарантировано будет граничной точкой. Условия оптимальности, приведенные в диссертационной работе, справедливы как для линейных, так и для некоторых нелинейных систем.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в работе-результаты являются новыми, имеют практический и теоретический интерес. Они могут быть использованы для аналитического решения задачи оптимального управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности. Для систем с одним известным решением построенная теория позволяет найти оптимальное управление численными методами. Полученные результаты применяются при исследовании конкретных систем дифференциальных уравнений - моделей процессов, происходящих в природных и физических системах.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления в условиях неопределенности.

, . 2. Условия, при которых оптимальными могут бьггь только граничные точки множества допустимых управлений, критерий оптимальности в этом случае.

3. Условия, при которых управления, удовлетворяющие необходимому условию оптимальности, находятся внутри множества и оценка их положения/

Апробация Диссёртации.^Ъсновные результаты докладывались на заседаниях Научно-Исбледовйтельского семинара по качественной теории диффёрбНЦиальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на IV, V, VII Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные, технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на V Международной конференции "Дифференциальные уравнения ,и их приложения" в г.Саранске, на III Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" в г.Туле, на X Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." в гЛущййо: ' •

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в пятнадцати работах;'список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы (7 параграфов), заключения, приложениями списка литературы, включающего 106 наименований. Работа изложена на 117 страницах машинописного текста.

Содержание работы

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, обзор работ по ее тематике, краткое описание методики исследования и содержания работы.

, Первая глава посвящена исследованию управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых известен общий вид решения.

В первом параграфе первой главы доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности управления для внутренних точек и-мерной области допустимых параметров управления. Исследование оптимальности управления выполнено с помощью разложения по формуле Тейлора заданного функционала качества, являющегося функцией многомерной переменной. Необходимое и достаточное условия оптимальности связаны со свойствами коэффициентов этого разложения.

Рассматривается и-мерная система

* = /('.*>«), (1.1) где /(их,и) — л-мерная вектор-функция, д:еЛ" - фазовая переменная, иеЯ' -управляющеевоздействие, рйп, /е[/0;Г]. Пусть С -ограниченное замкнутое выпуклое множество в пространстве Л". Допустимые управления «/(•) являются программными и определяются равенствами ы(/)=.к(/)с, где к{}) - ру.п -матрица ограниченных измеримых известных функций, се С - неизвестный постоянный вектор. Обозначим и() - класс допустимых управлений. Так как множество значений управления «(*) ограничено, то существует выпуклый компакт и с Л', такой, что ы(/) е и при г е [/„; г].

Предположим, что функция /(/,*,«), определенная на множестве п=[/0;Г)хГх£/, где Г открыто в Л", такова, что при любом и()е£/() для любого л°еГ существует единственное решение системы (1.1) х = «(•)), определенное на отрезке [/0; г] и удовлетворяющее начальному условию х" =х(/0;дг°,«(•)).

Будем считать, что начальное состояние системы неизвестно заранее и задано лишь ограничение на допустимые значения этой величины, а именно, условие ха е Xй, где Xй - заданное выпуклое компактное множество в /?". Тогда в каждый момент времени / определено множество х(<;и(-))={*|* = л(/;-*<>,иО),х0 еХ"}. Учитывая, что и(/)=к(»)с, множеству Х(г,и()) поставим в соответствие множество Л'(/;с)= {х|х = ^/^".с^д:0 еХ0}.

Будем считать, что для всех с е С и всех е Л"0 решения системы (1.1) определены на всем отрезке [г0; 7"], непрерывно зависят от начальных данных и параметра и имеют частные производные по начальным данным и параметру до третьего порядка включительно.

Определим множество #(и°()) вариаций управления u°()et/() равенством я(и° (•)) = | h(t)=u(t) - u° (г), / е [/0; т\ u() е (/(•)}. Ему соответствует множеств? я(с0)={А|Л = с-с°,сеС},где u"(t)=K{i)c\ u(t)=K{t)c.

Предположим, что <р = <р{х) - функция в R", имеющая частные производные по всем координатам вектора х до третьего порядка включительно и принимающая конечные значения. Определим функционал Ф() на множестве и{) равенством Ф(и(-)) = шах р{х\ х е Х(Т; «(■)). Ему соответствует

функция ф(с)=шах^(дг)> хеХ(Г;с), определенная на множестве с.

Ставится задача: в классе функций £/(•) найти оптимальное управление «"(-), удовлетворяющее условию ф(и0 (•)) = mi ji max <р(х), u()eL/(),

хеХ(Г;и()), или же во множестве С найти такое с", что ф(с°)= minmax(/p(x(r-х",с))), сеС, ха еХ". Управление, удовлетворяющее

этому минимаксному равенству, позволяет минимизировать функцию Ф(с) на всем ансамбле траекторий системы (1.1).

Пусть Ae[0;l]. Дадим вектору с'еС приращение АЛ, такое, что с" + Ahe С. Разложим по формуле Тейлора функцию р(х(г;х°,с)) в окрестности точки с", получим

р(х(Г;х°,с0 +м))=р(х(г,х<1,с°))+о(г;х<',с0)м+о1м1), (1.2) где £>(г;дг°,с°) - /»-мерный вектор из производных функции р по с.

Теорема 1.1. (Необходимое условие оптимальности) Пусть с0 eintC. Тогда для того, чтобы точка с" доставляла минимум функции Ф(с), необходимо, чтобы для любого направления Аея(с°)\{о} выполнялось условие

Замечание. Теорема 1.1 справедлива и в случае, когда точка с0 является граничной точкой множества С, так как при доказательстве теоремы не использовались свойства внутренних точек множества.

Следствие 1.1. Для того, чтобы точка с" eintC доставляла минимум функции Ф(с), необходимо, чтобы для любого Ле#(с°)\{о} существовал вектор **еЛ'0, такой, что D(r;x*,c°)h = 0.

Следствие 1.2. Если уравнение £»(Г;х°,с)= 0 имеет решение (х*,с°)еХ° xintC, то в точке с0 выполнено необходимое условие оптимальности управления.

Разложим по формуле Тейлора функцию q>{*(г;л°,с)) в окрестности точки с0, получим

<р(х{т-х°,с° + Ah)) = ?>(x(r;*V))+ ф,х°,св)АЬ +

Пусть ct(jc°) - некоторая функция, определенная на множестве Х°. Обозначим Л'*(<т(х<>))= Л"0,Va:0 е xя а(х*)><т(х0)}. Поскольку требу-

ется найти локальный минимум функции ф(с) на множестве int с, то в дальнейшем вместо множества //(с0) будем рассматривать некоторую окрестность нуля множества вариаций управления с" я(с°)с я (с0).

Будем говорить, что для функции ^(г;*°,е0)) по направлению heн(с")\{о} выполнено

условие (А), если существует вектор х*еХ*{<р(х{^,х°,с°]1}, такой, что D(T;x*,c'>)h = 0 и N(T;x*,c°,h)>0;

условие (Б), если существует вектор х*еХ *(<р(х(г;,с0))), такой, что d(t-,x*,c°)1>0.

Теорема 1.2. Пусть с0 eint С и существует множество я(с°)ся(с0)\{0},

такое, что для любого Лея(с°) выполнено одно из условий (А) или (Б), а для каждого Лея(с°)\^{о}ия(с°У| при любом Ле[0;1]

справедливо неравенство ф(с°+^л)>ф(с°), тогда точка с0 доставляет минимум функции Ф(с).

Во втором параграфе первой главы на оптимизируемый критерий качества налагаются дополнительные ограничения, которые позволяют сформулировать условия оптимальности, более удобные для практического применения в некоторых частных случаях.

Лемма 1.4. Пусть при некоторых значениях векторов с" еС и Аея(с°)\{о} множество X*{<р{х(т;х1*,е°)))глx•>(о(т-х°,с")h) не пусто. Тогда производная по направлению h функции Ф(с) в точке с0 существует и определяется равенством

dh V Г ' Теорема 1.5. Пусть с" eint С, для любого вектора йея(с°)\{о} множество X *(р(х(г;х0,с°)))пХ*(d(t;x0,c0)t) не пусто и выполнено равенство

. Тогда для того, чтобы значение с" минимизировало

¿Ф

dh

dO

функцию Ф(с), необходимо, чтобы для любого х" еХ° выполнялось равенство о(Г;*°,с0)= 0.

В случаях, когда непустыми являются множества Р)Х* Цх(т; ,с0 + ль))) и р)** д°, с0 + Ль))), сформулированы утверждения, аналогичные теореме 1.5.

йИ>

ство-

dh

Сформулируем достаточное условие оптимальности управления, используя разложение (1.3).

Теорема 1.9. Пусть с" eint С, для любого направления йе//(с°)\{о} множество x*(р(х(:г;iVfri^'(d(t\x\c")h) не пусто и выполнено равен- —г . Тогда для того, чтобы значение с" доставляло ми-h)

нимум функции ф(с), достаточно выполнения условий

1. d(t;x°,c°)=0 для любого вектора х° еХ°;

2. для любого АеЯ(с°)\{о} существует вектор х*еХ*(р(х(:Г;,с0))), такой, что N(T;x*,c°,h)>0.

Теоремы параграфов 1 и 2 позволяют составить схему поиска оптимального управления для внутренних точек произвольного выпуклого множества допустимых управлений: . . ..-»ь

1. Для всех точек с" e int С определяется множество X*\ç{x(^'x°,c°)fj.

2. Находятся множества x * (<р(х(Г; х0,с°)))ЛХ* (d(t- х° ,с")г),

flX*((!>(x(r;x0,c0 + /Uî))), Q* (ç>(*(r;je0,с0 + ял))) для каждого значе-■Mo.ll ,

ния допустимого управления.

3. С помощью следствия 1.1 и теоремы 1.5 (или аналогичных ей) определяются подозрительные на экстремум точки.

4. Для найденных значений управления проверяются условия теорем 1.2, 1.9. Каждая точка, удовлетворяющая этим условиям, определяет локальный минимум функции ф(с).

5. Непосредственными вычислениями из найденных точек выбирается точка; являющаяся точкой минимума для всего множества hit С. Соот-

,, ветствующее управление решает поставленную задачу. ; ' "

Вторая глава посвящена получению условий оптимальности управления для граничных точек множества допустимых управлений в случае, когда это множество и множество начальных значений являются выпуклыми многогранниками.

В первом параграфе второй главы доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности управления для рассматриваемого случая.

Пусть числа Л,fie [О; 1]. Дадим переменной еX" приращение fig, такое, что х° + fig е Xй. Тогда

+ (2.1) где р{г,х°,с) - п -мерный вектор из производных функции q> по х".

Теорема 2.1. Для того, чтобы вектор х" eintX0 при фиксированном значении сеС доставлял максимум функции р(х(г;х0,с)), необходимо, чтобы выполнялось равенство

/>(г;Лс)=0. (2.2)

Пусть множество X - выпуклый многогранник в пространстве Л". Произвольную грань многогранника для которой несущей плоскостью является гиперплоскость пространства Л", обозначим В"'1 (5). Через обозначим грань многогранника 5, которая может быть получена пересечением ровно q его граней вида В""'(5), где ц = 2,.. ,п. Несущая плоскость грани В""*^) определится системой линейных уравнений

[¿'(*)=0.

/.'(*) = О,

где L'(s)=0, i=l,...,q - уравнение гиперплоскости в пространстве Л". Пусть В"'1 (s) - грань, несущая гиперплоскость b'(s) которой задается уравнением ¿'(j)=0.

Определение 2.1. Назовем грань s"~'(s) правильной, если она принадлежит ровно q граням вида B"~'(s).

Лемма 2.1. Пусть s0 е 5""'(5) не принадлежит никакой грани меньшей размерности многогранника S и грань B"",(s) правильная, 9 = 1,...,п. Тогда во множестве #(/) существует система линейно независимых векторов А,.....А„, таких, что для любого вектора Aetf(i°) возможно разложение

А = £*,А,, где А„...,А„_? принадлежат грани B"~*(s°,#) и коэффициенты

ы

Предположим, что при рассматриваемом фиксированном значении с условие (2.2) не выполняется ни в одной точке j^eintA"0. Тогда так как множество X" замкнуто и ограничено, а функция <р(х(г;х° непрерывна, то она достигает максимума по переменной на границе дХ".

Пусть точка х° еВ"'ч(х°) для некоторого q = l,...,n не принадлежит никакой грани меньшей размерности многогранника Xй. Для точки выберем систему из и линейно независимых векторов gf.....gC,>gf-,*i,->gf ■>

таких, что точки jc0+g*°.....х" + g*", принадлежат грани В"~''{х°). Если

грань В""'(х°) правильная, то в качестве системы gf.....£„'!,,

выберем систему векторов, удовлетворяющих лемме 2.1.

Теорема 2.2. Для того, чтобы точка х" е В"~*(х"), q = i,...,n, не принадлежащая никакой грани меньшей размерности, доставляла максимум функции f>fe(r;x0,c)) при фиксированном значении се С, необходимо, чтобы:

1) выполнялись условия

ю

р(Г.х°,С^ = 0,

¿|(г°)=0)

(2.3)

2) для каждого вектора g*0, такого, что Х° \В""ч(х°), было

справедливо неравенство р(г;х°

В выражении (2.1) для приращения Ар(х°) выделим форму второго

порядка по координатам вектора .....Получим разложение

Л?И= р{ту,с)^ + м2Р2 {т-,х\с,8)+ 0(/«|г). (2.4)

Теорема 2.3. Для того, чтобы точка х° епПХ0 при фиксированном значении се С доставляла максимум функции р(*(г;дг°,с)), достаточно, чтобы выполнялось равенство р{г,х°,с)=0 и при всяком g*0 выполнялось условие Р2(р;х°,с^)<0.

Теорема 2.4. Для того, чтобы точка х" е В"4(х°), ? = 1не принадлежащая никакой грани меньшей размерности, доставляла максимум функции /р(х(г;х°,с)) при фиксированном се С, достаточно, чтобы:

1) выполнялось условие (2.3);

2) при всяком векторе таком, что х" было справедливо неравенство я2(г;л0,с,я)<0;

3) при любом векторе g*0, таком, что х" + geX0\В"-Ч(ха), точка х" удовлетворяла неравенству

Р^У^к 0. (2.5)

Предположим, что для каждой грани и внутренности многогранника X0 система (2.3) или (2.2) соответственно либо разрешима относительно лг° единственным образом и ее решением является х° = /(с), причем функция /(с) трижды дифференцируема на всем множестве С, либо эта система не имеет решения. Множество всех таких функций обозначим О. Заметим, что ввиду поставленных условий множество Й конечно. Введем в рассмотрение также множество

а*(с)=(/'*01 */(•)€й <р{х(Т-/*(с\с))><р{х(Т-,/(с\с)1/*(Ьй}.

Очевидно, что значения х* = /*(с) определяют максимум функции <г>(ж(7";д:0,с)) на множестве Х° при фиксированном значении се С.

Пусть с0 еС. Дадим вектору с" приращение ЯМ, такое, что с0 +'ЛАеС. Тогда <р{х{т-Лс° + + ^(7-;/(с°]1с0))+ й{т-/{с0\с°)м,+где

Л

М

Лемма 2.2. Для любой точки с°еС и любого направления АеЯ(с°)\{о} существует число Л/1, такое, что не пусто множество По*(с0+ЛА).

¿«(«А)

Теорема 2.6. (Необходимое условие оптимальности для точек границы) Пусть в точке с" е В"~'(с) множество П*(с°) одноэлементное и его элементом является функция /(•). Для того, чтобы точка с°еВ"~,(с), не принадлежащая никакой грани меньшей размерности, доставляла минимум функции ф(с), необходимо, чтобы: 1) выполнялись условия

/>(г,7Ис°>г=о,

¿'Н=0,

£'(с°)= 0;

(2.8)

2) для каждого вектора А * 0, такого, что с" + А е С \ В"4 (с), было справедливо неравенство о(г;7(с°)с°)>!>0.

Выделив в о((ДА|) форму второго порядка £)2(г;/(с°)с°,а) по А аналогично тому, как это было сделано в равенстве (1.3), получим ДР(с0)=д(7-;/(с0]1с»)ЛА+Д2Ог(Г;/(С^С«,А)+ОЦг).

Теорема 2.9. (Достаточное условие оптимальности для точек границы) Пусть в точке с" е В"4 {С) множество О* (с0) одноэлементное и его элементом является функция /(•). Для того, чтобы точка с°еВ""*(с), не принадлежащая никакой грани меньшей размерности, доставляла минимум функции Ф(с), достаточно, чтобы:

1) выполнялось условие (2.8);

2) при всяком а*0, таком, что с° + аев"~*(с), было справедливо неравенство £>2(г;/(с°)1со,а)>0;

3) для каждого вектора И*0, такого, что с" +Иес\в"~,(с), было справедливо неравенство

^;/(со)1со),>0. (2.10)

Следствие 2.2. Если грань в"~'(с) правильная, то условие 3 теоремы 2.9 равносильно тому, что точка с0 удовлетворяет системе неравенств

>0,

(2.11)

£)(г; 7(с°} с0 )*!,' > 0.

Пусть множество О*(с0) содержит более одного элемента. Зафиксируем некоторое допустимое направление Л. Обозначим П*4 (с°)=П*(с0)пП*^° +Ха), где 0<Х <Л„ — некоторое фиксированное

число. Согласно лемме 2.2 множество П*А (с°) не пусто и не зависит от выбора X.

Теорема 2.12. Для того, чтобы значение с" е С доставляло минимум функции Ф(с), необходимо, чтобы для любого направления Ле#(с°)\{о} для каждой функции/А()еП*(, (с0) было справедливо неравенство

флИ*0)**0-

Теорема 2.13. Пусть в точке с" е С для некоторого направления Ле я(с°)\ {о} выполнено одно из условий

1) существует функция /Д)бП*(с°), для которой справедливо равенство £>(Г;/А= 0, НО При этом £>1(Г;/Дсо)со,л)>0;

2) существует функция /Л(-)е£2*(с°), для которой выполнено неравенство о(г;/л(с°}с°),>0.

Тогда точка с" е С доставляет минимум функции Ф(с) по направлению А.

Следствие 2.3. Пусть с"еС. Если для любого направления Лея(с°)\{о} выполнены условие 1 или условие 2 теоремы 2.13, то точка с" еС доставляет минимум функции Ф(с).

Изложенные в §1 главы II положения позволяют составить схему поиска оптимального управления.

Во втором параграфе второй главы рассмотрено приложение теории к линейным системам в случае, когда оптимизируемый функционал представляет собой евклидову метрику.

Третья глава посвящена проблеме оценки положения оптимального управления для нелинейных систем с неизвестным видом общего решения. Предполагается, что известно одно решение системы при некотором значении управления.

В первом параграфе третьей главы заменой переменных система сводится к более удобному для изучения виду у=/¡(¡,у,и), причем полученная система имеет решение у ■ 0 при и = 0.

Предполагается, что вектор-функция /,(1,у,и) определена равенством /, (/, у, ы)=л(/)>> + й((, и)+«/(/, .у, и) и выполнены условия в(/, 0)з0, у, и) = ^(г, у, и)у, у" = 0 является внутренней точкой множества начальных значений У". Обозначим / = вектор размерности 2л.

Подстановкой и(*)=к(/)с исследуемая система сводится к системе

у = А(1)у + Щ,с)+Щ(1,У,с), (3.3)

в которой £(/,0)з0, ¡//(1,у,с)=Ч'(1,у,с)у. Предполагается, что с-0 - внутренняя точка множества С.

Лемма 3.2. Если в системе (3.3) вектор-функция Щ,с) имеет производные второго порядка по координатам вектора с, у/(/,у,с)=Ч'(1,у,с)у, причем НтЧ'(/,_у,с)=0 равномерно на множестве [г0;Г], то существует такое

число 0>О, что для всех сеС, |c|<i9, решение у = у(г,у°,с) системы (3.3)

можно представить в виде = Y(t)ya + В, (i)c + o(ic|) + , с), где lim1 . j - О

In-0 Ы

на отрезке [<0;Г].

Пусть z е Л". Символом [zf обозначим вектор размерности тк, координатами которого являются все возможные произведения r(lz(2...z,t, где /„/2,...,/t е {l,2,...,т}.

Используя лемму 3.2, разложим решение системы (3.3) по степеням координат вектора у:

у{гУ,с)=г(/)у>(3-6)

где Ч7,^),%(/),яД') - их и2-матрицы при векторах [у0]\[у°4Н2 соответственно. Тогда производная решения по параметру с в произвольной, но фиксированной точке у из малой окрестности нуля имеет вид

~ (г;/, с) = В1 (/)+4 (/)+Ly, (/) + L\ (t)+о(г|2), где Lc, Ly„ - л х л-матрицы, элементами которых являются линейные комбинации координат векторов сиу0 соответственно, L\ - их и-матрица, элементами которой являются формы второго порядка по координатам вектора у.

Разложим функцию р(у) по формуле Тейлора в окрестности решения у = 0, получим

тогда %(у(>у4=Ф)+у(гу-4т+Му>4г' где

4у - , .,

y(t;y°,c) определяется из разложения (3.6). Знак г означает операцию транспонирования. Пусть fj(r;0,0)=/,(о)г,(г). Обозначим

д(г;У,с)=—(у(г;У,с))— (г,У,с). Используя полученные представления dy de

для производных, выделим в данном произведении формы первого и второго порядков по координатам вектора у, получим

о(Г;/,с) = /•(Г;0,0)+/гГ, + с% + Z?(r)+0|r|2)=

= F1(r;0,0)+/F2(r;0,0)+[rfFJ(r;0!0)+Of/r). (3-7)

Во втором параграфе третьей главы исследование проводится на сужении исходных множеств допустимых управлений и начальных значений. Рассматривается случай, когда оптимальное управление может являться только точкой границы.

Введем обозначение: Гг(г)=^\\у\^г). Исследуем вопрос об оптимальном управлении системы (3.3) в случае, когда вектор /^(Г;0,0) в разложении (3.7) отличен от нулевого.

Теорема 3.1. Если выполнено неравенство ^(Г;0,0)*0, то существует такое число к>0, что при уеГг(/е) ни одно значение с из окрестности нуля Гс(*-) не является точкой минимума функции Ф(с).

Лемма 3.3. Для того, чтобы существовала окрестность начала координат Гг(?), для точек которой справедливо неравенство

(Г;0,0)+у°т + сгГе|)т; 0, необходимо и достаточно, чтобы вектор

(Г;0,0) был ненулевым.

Теорема 3.2. Если то существует число к*йк, такое, что

для точек у из множества гДаг*) справедливо неравенство

Теорема 3.4. Если ^¡(Г;0,0) * о, то ни одна внутренняя точка множества Гс(к*) не доставляет минимум функции Ф(с).

Лемма 3.4. Пусть для некоторого направления А справедливо неравенство Ы |(к1(Г;0,0)+/Т„ +сгГс)||)*0. Тогда существует такое число

кь > 0, что в окрестности нуля Гг (кгк) выполняется условие

Теорема 3.5. Пусть для некоторого направления Ае я(с°)\{о} справедливо неравенство т^(/г1(Г;0,0)+.уогГ,. +сгГс)г|)*0. Тогда для того, чтобы

точка с" едГс(кгк) доставляла минимум функции Ф(с) по направлению А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (/•", (Г;0,0) + сог Гс > 0.

Выбор числа кь в лемме 3.4 определяется только направлением вектора А. Пусть £(с°)=|е|е = |^,Аея(с0)\{о}|, Я0 - множество таких значений А, для которых выполнено неравенство

Во множестве н° выделим замкнутое

подмножество Н". Определим множество Е° = |е|е = щ, АбЯ°|. Тогда множество Г,, = |~)гДк;) замкнуто и не является одноэлементным. Множество г, определяет два множества Гс и Г „.

Теорема 3.6. Пусть с0 - граничная точка множества Гс и Е(с°)сЕ0. Для того, чтобы точка с" едГс доставляла минимум функции Ф(с), необходимо и достаточно, чтобы для любого вектора еее(с") выполнялось неравенство (/г|(Г;0,0)+с°Тс)е>0.

Пользуясь теоремами 3.5, 3.6, можно сконструировать множество допустимых управлений Гс таким образом, что оптимальное управление с" будет являться граничной точкой этого множества.

В третьем параграфе третьей главы рассматривается вопрос о наличии оптимального управления внутри множества допустимых управлений. . ... , .

Пусть ^(Г;0,0)=0. Покажем, что в этом случае внутренние точки множества С мо1уг доставлять экстремум функции Ф(с). !"' ' -1 ^

■ Теорема 3.7. Пусть ^(Г;0,0)=0. Если матрица Г „ 6 равенстве (3.7) неособенная, то существует такое положительное число /г,, что в каждой точке множества Гс (*-,) выполнено необходимое условие оптимальности, указанное в следствии 1.1.

Теорема 3.8. Пусть ^,(Г;0,0)=0. Если матрица 1С в равенстве (б.7) неособенная, то существуют внутренние точки множества С, в* которых выполнено необходимое условие оптимальности управления (следствие 1.1) для траекторий ансамбля с начальными значениями в некотором непустом множестве У0 с У0. :

Теорема 3.9. Пусть К,(Г;0,0)=0 и матрицы ТуЛ и Ьс в равенстве (3.7)

особенные. Тогда если га^, (7*;0,0)= л, то существуют внутренние точки множества С, в которых выполнено необходимое условие оптимальности управления (следствие 1.1) для траекторий ансамбля с начальными значениями в некотором множестве У0 с У0.

Замечание 2. Пусть ^,(7';0,0)=0, матрицы и 1С в равенстве (3.7)

особенные и rangF (Т\0,0) = п. В этом случае существуют ненулевые управления с, для которых выполнено необходимое условие оптимальности.

Предположим, что система (3.3) такова, что /^(Г;0,0) = 0 и матрица Р2(т,0,0) является нулевой. В этом случае, очевидно, ни одна из приведенных выше теорем не может указать управлений, подозрительных на оптимальные. Согласно разложению (3.7), уравнение д(г;У,с)= 0 имеет вид

РМ+окЦ. (3-14)

Пусть г.=?-., тогда уравнение (3.14) можно записать так

И

ру+оу=о. (3.15)

Наряду с системой (3.15) рассмотрим систему £>(r;y°,c)fc = 0, которая в данном случае имеет вид

Р(е> + О(1г|>. = 0. (3.16)

Теорема 3.11. Пусть F,(Tfifl)= 0 и F2(T;0,0) = О. Если хотя бы одна координата вектора Р [ег ) является знакоопределенной формой, то существует некоторое множество Y* * хС* с К0 х С, такое, что ни одно значение ceinte* не решает задачу оптимального управления ансамблем траекторий с начальными значениями из множества Y" *.

Пусть ■

' «7*

Теорема 3.12. Пусть ^(Г;0,0)=0 и Г2(Г;0,0) = 0. Если при некотором

значении ег *, \ег *[ = 1, выполняется равенство Р(ех*)=0 и rangDr[p(er)J=n,

то в окрестности нуля (по с) существует управление, для которого выполнено необходимое условие оптимальности (следствие 1.1).

В приложении приведена программа, позволяющая найти приближенное значение оптимального управления для системы двух дифференциальных уравнений. Приведены результаты выполнения программы для примера биологической системы "хищник-жертва". Совпадение численных результатов с предсказанными теоретически позволяет считать их достоверными, не находя множества Гг.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору М.Т. Терехи-ну за постановку задачи, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

1. Глухова H.A. К вопросу об управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов 4 всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. Рязань: Изд-во РГРТА, 1999. С. 48-49.

2. Глухова H.A. Управляемость систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов 5 всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. Рязань: Изд-во РГРТА, 2000. С. 27-30.

3. Глухова H.A. Условия оптимальности управления систем в условиях неопределенности // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов 7 всероссийской научно-

технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. Рязань:'Изд-во РГРТА, 2002. С. 9-11.

4. Глухова H.A. Оптимальность управления систем дифференциальных уравнений в условиях неопределенности // Труды Средневолжского математического общества. Саранск: Изд-во СВМ0.2002. Т.З-4.№ 1. С.234-235.

5. Глухова H.A. Оптимизация управления для систем с неизвестным видом общего решения // Тезисы докладов всероссийской научной конференции. "¡Современные проблемы математики, механики, информатики." Тула: Tynryj 2002. С. 12-13.

6. Глухова H.A. Оптимизация критерия качества для нелинейных систем // Тезисы докладов X Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." в г. Пущино. Изд. "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. С. 102.

7. Глухова H.A. Схема поиска оптимального управления для выпуклых многогранников // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материаль! конференции. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003, - 300с. С. 74-75.

8. Глухова H.Ä! 'Минимизация радиуса конечной окрестности для линейных систем // ЙЙфо'рматика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Ряз. гос. педЗ'н-т- им. С.А. Есенина. - Рязань: РГПУ,2002. С.43-45.

9. Глухова H.A. Задача оптимизации для систем с неизвестным видом решения // Информатйка'и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Ряз. гос. пед. ун-т. им. С.А. Есенина. - Рязань: РГПУ, 2002. С. 46-48.

Ю.Глухова H.A. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления систем обыкновенных: дифференциальных уравнений в условиях неопределенности // Известия* РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. № 6. С. 20-28.

11.Глухова H.A. Об оптимальности управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности в частных случаях II Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. № 6. С. 29-40. " 1 ' 'г

12.Глухова H.A., Терехин М.Т. Поиск оптимального управления в условиях неопределенности // Вестник Рязанского государственного педагогического университета им. С.А. Есенина. № 1(9), 2003. С. 160-170.

13.Глухова H.A. Оптимизация критерия качества во внутренних точках выпуклых множеств / Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 2002. - 10 с. Деп. в ВИНИТИ 30.09.02, № 1645-В2002.

14.Глухова H.A. Схема поиска оптимального управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. — Рязань, 2002. - 14 с. Деп. в ВИНИТИ 30.09.02, № 1646-B20Ö2.

15.Глухова H.A. Управление в условиях неопределенности для систем с неизвестным видом общего решения / Ряз. гос. пёд. ун-т. - Рязань, 2003. -19 с. Деп. в ВИНИТИ 13.02.03, № 293-В2003.

1S

Глухова Наталья Александровна

УПРАВЛЯЕМОСТЬ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Рязанский государственный педагогический университет им. С.А. Есенина Россия. 390000, г. Рязань, ул. Свободы, 46.

.Отпечатано в ООО «НПЦ «Информационные технологии» Заказ № 2159. Тираж 120 экз. Лицензия серия ПЛД №66-16 от 20 июля 1999 г. г. Рязань, ул. Гоголя, 28, оф. 34. Тел.(0912)98-42-49

К r¿ Ь b I

2oo5-A

Введение.

Глава I. Оптимизация критерия качества во внутренних точках 17 выпуклых множеств.

§1. Необходимые и достаточные условия оптимальности 17 управления.

§2. Частные случаи условий оптимальности для некоторых 27 видов функционалов.

Глава II. Решение задачи оптимизации для точек выпуклого мно- 40 гогранника.

§1. Схема поиска оптимального управления для выпуклых 40 многогранников.

§2. Минимизация радиуса конечной окрестности для линей- 64 ных систем.

Глава III. Задача оптимизации для систем с неизвестным видом 74 общего решения.

§ 1. Постановка задачи. Общий вид решения нелинейной сис- 74 темы.

§2. Критерий оптимальности для точек границы множества 82 допустимых управлений

§3. О необходимых условиях существования оптимальных 92 управлений внутри множества С. Заключение.

Актуальность темы. В настоящей работе изучаются управляемые системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для таких систем ставится задача управления в условиях неопределенности. Целью исследования является поиск среди допустимых программных управлений оптимального, являющегося таковым для всех движений рассматриваемой системы.

Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, социально-экономических и других процессов [5,11,12,18,30,59,62,63,81,84,86,91], так как большое число реальных процессов описывается системами дифференциальных уравнений, содержащими управляющий параметр. Например, в системе "хищник-жертва" в качестве управляющего воздействия можно рассматривать изъятие особей, при описании химических реакций - количество катализатора. Особый интерес представляют методы исследования нелинейных систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка, поскольку именно такие модели характерны для большинства реальных объектов. При этом возникает задача об управляемости системы, причем зачастую одновременно требуется оптимизировать некоторый критерий качества.

Предмет теории оптимальных процессов известен широко. Принципиальные ее положения, касающиеся математической стороны вопроса, -фундаментальный принцип максимума J1.C. Понтрягина и необходимые условия оптимальности, теория линейных систем, основы метода динамического программирования [10,29,56], - приобрели характер классических результатов. Существенный вклад в теорию управления внесли Р. Калман, Н.Н. Красовский, В.И. Зубов, Р. Беллман, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелид-зе, А.Б. Куржанский. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, E.JL Тонкова [16,23,70,71].

Хотя математические постановки задач программного управления стимулировались практическими потребностями, классические их варианты были рассчитаны на идеальные условия, а именно, на существование безупречной по строгости математической модели системы и на полную априорную информацию об исходных данных. Однако далеко не каждая прикладная задача управления укладывается в подобные классические рамки. Неполнота исходных данных приводит к так называемым информационным задачам.

Весьма распространенной при исследовании математической модели является ситуация, когда априорные данные о неизвестных параметрах системы минимальны: какое-либо статистическое их описание отсутствует, а соответствующая информация ограничивается заданием лишь допустимых областей изменения неизвестных величин. Изучение ситуаций, характеризующихся указанными информационными ограничениями, приводит к теории управления в условиях неопределенности. Такие задачи носят весьма общий характер.

Решение задачи поиска оптимального управления в условиях неопределенности проводится в работе [37]. Оно осуществляется в рамках детерминированного подхода, основанного на методах минимакса. Однако полученная теория относится сугубо к системам, линейным как по фазовым переменным, так и по управлению. В связи с этим целесообразно рассмотреть поставленную задачу для нелинейных систем, которые наиболее часто встречаются при описании реальных объектов.

Следует заметить, что применение элементов выпуклого анализа, например, поиск выпуклой оболочки функции, верхней огибающей и т. п., само по себе является нетривиальной задачей. Поэтому представляют интерес методы, позволяющие получить ответ на вопрос об оптимальности управления без использования подобных конструкций.

Изложенные факты позволяют считать тему диссертации актуальной.

Цель работы. Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений x = f(t,x,u), (0.1) в которой f(t,x,u) - «-мерная вектор-функция, xeR" — фазовая переменная, ueRr - управление, р<п. Предполагается, что начальное состояние системы неизвестно заранее, а задано лишь ограничение на допустимые значения этой величины: хп е X", где Xй - выпуклое компактное множество в R". Для системы (0.1) строится множество x(t;«(•)) = \х|х = xit;х°,«(•)),х° el"j. Определяется функционал ф(м()) = шах(р{х), x(eX(T;u(;)), где Т - фиксированное число, (р{х) - функция, определенная в R".

Ставится задача определения положения допустимого управления и°(), удовлетворяющего условию ф(м°(•))= minшах<р{х), хеХ(Т;и()). (0.2) и О л:

Целью работы является получение необходимых и достаточных условий того, что допустимое управление удовлетворяет равенству (0.2).

Методика исследования. Допустимые управления м() отыскиваются в виде и(/) = A:(f)c, где K(t) - рхп-матрица ограниченных измеримых известных функций, с е С - неизвестный постоянный вектор, С - выпуклое компактное множество в пространстве R".

Исследования опираются на свойства коэффициентов в разложении функций по формуле Тейлора в окрестности исследуемого на оптимальность управления в случае, когда известно общее решение системы (0.1), или в окрестности известного движения, если общее решение системы (0.1) неизвестно.

В случае, когда известен вид общего решения системы (0.1), необходимые и достаточные условия оптимальности управления для внутренних и граничных точек множества С формулируются в терминах разрешимости систем недифференциальных уравнений и неравенств.

Если известно только одно частное решение системы (0.1), то задача решается на сужении исходного множества С. Доказательства теорем о существовании управлений, удовлетворяющих необходимому условию оптимальности, основаны на применении метода неподвижной точки нелинейного оператора.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Математическая теория управления возникла сравнительно недавно, ее интенсивное развитие приходится на вторую половину XX века и связано с совершенствованием техники и усложнением социальных процессов [11,30,57,58,78]. Одной из основных задач теории управления является проблема перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние. При постановке задачи управления часто требуется оптимизировать характеристики протекающего процесса. Работы [2,10,24,49,56,60], посвященные вопросам оптимального управления, основываются на предположении об управляемости системы.

Одновременно с классической возникла информационная теория управления, исследующая задачи с неполными априорными данными или сведениями о текущем состоянии системы. Теорию стохастического управления составляют задачи, в которых описание недостающих величин носит вероятностный характер. В работе [52] неизвестные входные воздействия, начальные данные и параметры моделируются при помощи марковских случайных процессов с заранее известными характеристиками. Вопросам о наилучшей оценке положения траектории вероятностной системы по доступным измерению величинам посвящена теория стохастической фильтрации. В работах [25,83] проблема оценки положения траекторий рассматривается для линейных систем и квадратичного критерия оптимума. Ограничения на применение теории стохастического оценивания связаны с тем, что процессы, рассматриваемые во многих прикладных задачах, имеют только ограниченное число наблюдений, характеризуются неполнотой информации о данных задачи и отсутствием статистических характеристик возмущений и ошибок измерений. Часто требуется находить оценки, обеспечивающие некоторый гарантированный результат. Требования такого рода возникают в различных задачах механики, инженерии, биомедицины, проблемах, связанных с изучением окружающей среды. Они типичны для задач навигации и оценивания движения механических систем. Альтернативой вероятностному подходу к задачам оценивания стал гарантированный подход, основанный на представлении априорной информации о неизвестных параметрах при помощи задания множеств, содержащих эти параметры. На основе этого подхода получила развитие теория позиционного наблюдения. В рамках этой теории оценки состояний динамических систем с неопределенными возмущениями по данным наблюдений формируются апостериори по ходу процесса наблюдения в виде функций от наблюдаемого сигнала. Ключевым здесь является понятие информационного множества, определяемого как множество всех возможных состояний системы, совместимых с результатами измерения и априорными ограничениями на неизвестные возмущения и ошибки измерений, В работах А.Б. Куржанского [33,35,38] содержатся исследование свойств информационных множеств и минимаксных оценок, описание их динамики, изучение вопросов устойчивости, разработка вычислительных процедур для их построения. Куржан-ским А.Б. разработаны алгоритмы позиционного управления по неполным данным в условиях противодействия и помех, когда в качестве позиции рассматривается информационное множество системы, исследованы вопросы сочетания процедур управления и наблюдения [34,36]. В работе [39] созданы конструктивные методы описания семейств траекторий некоторых дифференциальных включений, сохраняющихся в течение предписанного времени в пределах заданного множества фазового пространства. В линейном случае доказана теорема о точном описании областей достижимости дифференциальных включений с фазовыми ограничениями.

Предложенный в работе [19] подход позволяет для систем с неопределенностью при двойных ограничениях x(t) = В (t)u(t), = t е [/0, ] указать области достижимости и разрешимости. В работе [76] свойства множества достижимости исследуются для нелинейной системы x = Ax + u<p(x)b + d со скалярным ограниченным управлением. Никольским М.С. [51] для системы x = f(x,u) получена оценка изнутри для множества достижимости d(t): OeintAT c:d{t), где к - некоторый эффективно вычислимый выпуклый компакт. Для системы х = Ах + Ви в банаховом пространстве X с линейным оператором В множество достижимости строится в работе [89], там же указываются условия управляемости. Задача определения области управляемости для указанной системы с постоянными параметрами, в которой х a R", ueRr, ||м|| <М > 0, рассматривается в работах [10,25,26,41,56,60,74,75], получено ее исчерпывающее решение. Нармано-вым А .Я., Петровым Н.Н. [49] рассматривается вопрос о структуре множества управляемости, в частности, о его размерности и границе. В работе [90] получены условия управляемости и достижимости линейных систем с переключениями, дана полная геометрическая характеристика этих множеств.

Проблема управляемости дифференциальных уравнений исследуется в работе [29] Красовского Н.Н. Для системы линейных уравнений x = A(t)x + B(t)u + w(t), x{ta ) = xa задача об управлении рассматривается как проблема моментов. Формулируются необходимые и достаточные условия существования оптимального решения, определяется его зависимость от краевых условий. Там же ставится задача управления квазилинейными объектами, поведение которых в окрестности точки х = 0 описывается системой вида х = f(t,x)+g(t,x)u, x(ia)-xa, В предположении, что система линейного приближения вполне управляема на отрезке \ta,tp\, методом последовательных приближений доказывается существование релейного управления, разрешающего краевую задачу и отличающегося от оптимального на величину второго порядка малости по .

Исследованию квазилинейных систем уделяли внимание Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. В работах [3,4] для управляемой системы х = A(t)x + b(t)u + /jf(x,t), x(ta)=/, x{tp) = О в предположении о полной управляемости системы первого приближения указывается итерационный метод построения оптимального управления.

Проблеме синтеза управления, разрешающего краевую задачу, много внимания уделяется Зубовым В.И. [23]. В ряде случаев им синтезируется семейство требуемых управлений, с помощью метода последовательных приближений рассматривается возможность численного решения задачи.

Исследованию свойств локальной управляемости систем посвящены работы [46,47,48,49,54,65,69]. В работах [65,69] изучаются системы, не являющиеся в общем случае управляемыми, исследуется проблема определения множества управляемости.

Пантелеевым В.П. в работе [54] устанавливается критерий локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х - A{t)x + b(t, u).

В работах [46,47,48] Митрохиным Ю.С., Степановым А.Н. исследуется система вида х= /(*)+ Ви. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, формулируются необходимые и достаточные условия управляемости нелинейной системы в малом.

В работе Тонкова Е.Л. [70] в предположении полной управляемости системы линейного приближения получены достаточные условия управляемости нелинейной системы. Проблема полной управляемости линейных нестационарных систем рассмотрена в статье [45].

Львовой JI.JI. [42,43] для нелинейной системы в предположении, что система линейного приближения может не быть вполне управляемой, получены условия существования пары "управление-параметр", которая переводит объект из нулевого начального в нулевое конечное состояние. В работах [79,80] Шарафеевым Д.Р. найдены условия существования тройки "начальное значение-управление-параметр", разрешающей периодическую краевую задачу. Устойчивость управления по параметру исследуется в работах [66,67]. В работах [21,22] получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, разрешающего глобальную краевую задачу.

В статье [28] приводятся достаточные условия существования семейства управлений и(х(),х' )(•), переводящих точку х°еЛл в точку xr е R" и непрерывно зависящих от х°,хт, для систем, матрица коэффициентов систем линейного приближения которых является треугольной. В качестве следствия получена полная управляемость равномерно ограниченных возмущенных систем данного класса при условии глобальной липшевости правой части по * и и.

Проблема управляемости исследуется Воскресенским Е.В. В работах [13,14,15] методом сравнения определены условия управляемости нелинейных систем как за конечное, так и за бесконечное время.

Метод сравнения используется в работах Павлова А.Ю. В статье [53] dx система — = A(t)x + B(t)u + f(t,x,u)+F(t) сравнивается с соответствующей ли-dt нейной системой в предположении, что в фиксированном классе допустимых управлений система сравнения управляема.

Для поиска управлений, разрешающих краевую задачу, Терехин М.Т., Землякова JI.C. [68] предлагают метод вариации промежуточной точки, Га-басов Р.Ф., Кириллова Ф.М. [16] используют метод приращений, рассматриваемых на траекториях системы.

Задачам управления и оценке координат системы в условиях неопределенности посвящена монография Куржанского А.Б. [37]. В ней рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений х = A(t)x + B(t)u + w(t), tQ<t<t^ с управлением u(t). Управление следует подобрать так, чтобы привести весь ансамбль траекторий в заданное конечное положение, оптимизируя при этом некоторый критерий качества. Постановки и решения задач проводятся в рамках детерминированного подхода, основанного на методах минимакса. Для линейных систем формулируются необходимые и достаточные условия оптимальности, использующие понятия выпуклого анализа.

Задача управления по неполным данным исследуется в работе Ананьиной Т.Ф. [8]. В ней рассматривается управляемая система х = f(t,x,u) и доказывается, что управление и°() является оптимальным, если выполнено условие maxminmin Js(r |/,дг°,м°())Щт,х(т \ х°,и°(•)),и0(г))(«(г)- и 0 (г))/г = 0,

О х t h где s(r) = s(r |/,х",ы0(-)) - решение сопряженной системы.

В статье [88] рассматриваются параметрические управляемые системы, описываемые нелинейными эволюционными уравнениями. Доказывается теорема существования для соответствующей минимаксной задачи. Рассмотрены также непараметрические задачи с немонотонными операторами.

В статье [20] рассматривается задача программного управления обыкновенным дифференциальным уравнением в классе ограниченных измеримых функций. Функционалом качества является

•),!/(•),*,)=sup ^F{x,u,y,v)dt. Ставится задача минимизации этого функциоогеЛ , h нала при известных ограничениях. Указываются необходимые условия того, что тройка лг°(-), и0 (•),*, является оптимальным процессом поставленной задачи.

В работе [9] для задачи оптимального управления х = f(x,uj), = t е [r(),/(], u(t)eU, <p(x(tj)) —» min строится третья вариация приращения оптии мизируемого функционала качества (p(x{t^))~(p{x{tx)) на пакете вариаций управления.

В статьях [31,32] рассмотрены задачи оптимального управления линейными системами при различных ограничениях на фазовые координаты системы, выявлены некоторые свойства оптимальных решений.

В работе [19] Дарьиным А.Н., Куржанским А.Б. рассматривается задача о нелинейном синтезе управления в системе с линейной структурой x(t) = B(t)u(t), £(/)=||м(/)||2, t е [f0,f,] при одновременном воздействии двух виi дов ограничений на управление - интегральных |]|м(/|2Л < k{tn) и геометрио ческих < ц. Решение задачи проводится на основе метода динамического программирования. Указывается структура разрешающих стратегий. Предложенный авторами подход допускает распространение на системы с неопределенностью.

В работе [82] задача оптимизации квадратичного функционала на траекториях системы у = Ау + f(s,y)+Bu на [0;Г] также решается с помощью методов динамического программирования.

Авторами работы [87] получен аналог критерия Калмана для систем с запаздыванием. Применению критерия Калмана к исследованию систем посвящена статья [85].

В последнее время появились работы [6,7], направленные на численное решение задач математической теории управления. В работе [6] указывается алгоритм получения управления, переводящего систему в состояние покоя. В качестве примера рассматривается задача об управлении материальной точкой неизвестной массы, перемещающейся вдоль горизонтальной прямой. В статье [7] исследуется задача управления механической системой, представляющей собой две материальные точки, соединенные пружиной и перемещающиеся вдоль параллельных прямых. Предполагается, что массы точек и жесткость пружины неизвестны и на точки действуют силы сухого трения с неизвестными переменными коэффициентами. Строится закон управления, приводящий первую массу в заданное положение за конечное время. Эффективность предлагаемого закона управления демонстрируется с помощью численного моделирования.

Содержание работы. Работа посвящена исследованию управляемости системы в условиях неопределенности. В отличие от работ [22,42,43,67,80], в которых задано начальное положение объекта, в диссертации информация о начальных значениях ограничивается заданием допустимой области их изменения. Управление выбирается одним и тем же для всего ансамбля движений системы. Одной из основных задач, решаемых в теории оптимального управления, является выяснение условий, гарантирующих существование оптимального управления для некоторого управляемого процесса. Достаточные условия оптимальности управления, сформулированные в работе [8], опираются на выпуклость функционала качества. В настоящей работе оптимизируемый функционал не ограничен требованиями выпуклости. Задача управления в условиях неопределенности рассматривается в монографии Куржанского А.Б. В ней необходимые и достаточные условия оптимальности формулируются исключительно для систем, линейных как по фазовым переменным, так и по управлению. В данной работе для нелинейных систем приводится критерий оптимальности для граничных точек множества допустимых управлений, указываются условия, при выполнении которых возможно существование оптимальных управлений внутри рассматриваемого множества. Необходимые условия оптимальности, сформулированные в работах [8,37], используют конструкции выпуклого анализа, и их проверка сама по себе представляет нетривиальную задачу. В диссертации необходимые и достаточные условия оптимальности управления формулируются в терминах разрешимости систем недифференциальных уравнений и неравенств. Применение сформулированных условий иллюстрируется примерами.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и приложения. Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Заключение.

Работа посвящена изучению управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности. Начальные значения решений не известны точно, а заданы лишь допустимые области их изменения. Проводится поиск управления, оптимизирующего некоторый критерий качества, причем оптимальное управление выбирается одним и тем же для всего ансамбля траекторий системы. Исследования опираются на свойства коэффициентов в разложении функций по формуле Тейлора. На оптимальность исследуются внутренние и граничные точки множества допустимых управлений. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления формулируются в терминах разрешимости систем недифференциальных уравнений и неравенств. Приводится схема исследования, в результате применения которой находится управление, решающее задачу оптимизации на всем ансамбле траекторий системы. Для систем, у которых известно только одно частное решение при некотором значении управления, предлагается способ определения вида решения с точностью до членов нужного порядка. Для таких систем рассматривается случай, когда внутри множества допустимых управлений не содержится оптимальных. Для граничных точек этого множества формулируется критерий оптимальности. Указываются условия, при выполнении которых внутренние точки множества управлений могут удовлетворять условию оптимальности. При доказательстве существования таких управлений используется метод неподвижной точки нелинейного оператора. Рассмотрены примеры применения теоретических положений.

107

1. Аваков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения //Математические заметки. 1990. Т. 47. Вып. 5. С. 3-13.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.-432 с.

3. Альбрехт Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем И Дифференциальные уравнения. 1969. Т 5. № 3. С. 430-442.

4. Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. Синтез систем управления с минимальной энергией // Дифференциальные уравнения. 1995. Т 31. № 10. С. 1611-1616.

5. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.- 157 с.

6. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №2. С. 39-47.

7. Ананьевский И.М. Управление нелинейной колебательной системой четвертого порядка с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2001. №3. С. 3-15.

8. Ананьина Т.Ф. Задача управления по неполным данным // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 4. С. 612 620.

9. Барбашина Е.Е. Компактная формула третьей вариации и необходимые условия оптимальности // Дифференциальные уравнения. 2002. Т 38. №3. С. 414-415.

10. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.-408 с.

11. Волков И.К., Крищенко А.П. Качественный анализ модели развития популяции // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 11. С. 1457-1465.

12. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.-288 с.

13. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Сарат. ун-та Саран, фил. 1999. 224 с.

14. Воскресенский Е.В. Управляемость нелинейных уравнений: докл. (Международная научная конференция "Актуальные проблемы математики и механики", Казань). // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. 2000. №5. С. 261.

15. Воскресенский Е.В., Черников П.Г. О сравнении и управляемости нелинейных систем // Труды СВМО. 1998. Т. 1. № 1. С. 37-76.

16. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. — 501 с.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492 с.

18. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986. -152 с.

19. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Нелинейный синтез управлений при двойных ограничениях // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37. №11. С. 1476-1484.

20. Железное Е.И. Принцип максимума в одной задаче на минимакс. // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 9. С. 1504-1515.

21. Землякова Л.С. Управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Меж-вуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С 64-71.

22. Землякова Л.С. Управляемость систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С 72-78.

23. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

24. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

25. Калман Р.Е. Об общей теории систем управления // Труды I Международного конгресса ИФАК, Т.1, 2, М.: Изд-во АН СССР, 1961.

26. Канарев Л.Е. О синтезе оптимального по быстродействию управления // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1962. № 2.

27. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 572 с.

28. Коробов В.И., Павличков С.С. Непрерывная зависимость решения задачи управляемости от начальных и конечных состояний для треугольных нелианеризуемых систем // Мат. физ., анал., геом. 2001. 8, №2. С. 189-204.

29. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.:Наука, 1984. 476 с.

30. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Николаичев А.Н. Математические модели нелинейных динамических процессов в социологии // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7. Часть II. Сб. науч. тр. М.: Прогресс-Традиция. 2000. С. 437.

31. Куржанский А.Б. Задачи об управлении для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1966. Т.30. №6. С. 1121-1124.

32. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К задаче управления с ограниченными фазовыми координатами // Прикл. математика и механика. 1968. Т.32. № 2. С. 194-202.

33. Куржанский А.Б. К теории позиционного наблюдения. Общие соотношения // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1973. № 5. С. 20-31.

34. Куржанский А.Б. Оптимальные системы сочетания управления и наблюдения // Прикл. математика и механика. 1974. Т. 38. № 1. С. 12-24.

35. Куржанский А.Б., Пищулина И.Я. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях. I-III. // Дифф. уравнения. 1976. Т. 12. № 8. С. 14341446; № 9. С. 1568-1579; № 12. С. 2149-2158.

36. Куржанский А.Б., Ананьев Б.И., Шелементьев Г.С. Минимаксный синтез в задачах импульсного наведения и коррекции движения // Прикл. математика и механика. 1976. Т. 40. № 1. С. 3-13.

37. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М., 1977.-394 с.

38. Куржанский А.Б. Об информационных множествах управляемой системы // ДАН СССР. 1978. Т. 240. № 1. С. 14-17.

39. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Дифф. уравнения. 1987. Т. 23. № 8. С. 1303-1315.

40. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963. 432 с.

41. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.-576 с.

42. Львова Л.Л. Условия управляемости нелинейных систем // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 73-80.

43. Львова Л.Л. Условия управляемости нелинейных систем с параметром // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов: изд-во ТГУ, 2000. Т. 5. Вып. 4. С. 475-476.

44. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.-510 с.

45. Минюк С.А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 3. С. 414-420.

46. Митрохин Ю.С. Об управляемости в малом линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений оптимального регулирования.: Труды Рязан. радиотехн. ин-та. Рязань, 1976, вып. 69. С. 25-30.

47. Митрохин Ю.С., Степанов А.Н. Некоторые критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнеий.: Труды Рязан. радиотехн. ин-та. Рязань, 1974, вып. 53. С. 62-67.

48. Митрохин Ю.С., Степанов А.Н. Критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений оптимального регулирования // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1985. С. 61-70.

49. Нарманов А.Я., Петров Н.Н. Нелокальные проблемы теории оптимальных процессов//Дифференциальные уравнения. 1985. Т.21.№4. С. 605-614.

50. Немыцкий В.В. Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

51. Никольский М.С. Об оценке множества достижимости нелинейного управляемого объекта изнутри // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 11. С. 1487-1491.

52. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

53. Павлов А.Ю. Об управляемости нелинейных систем // Вестник Мордовского Университета, 1995. № 1. С. 54-57.

54. Пантелеев В.П. Об управляемости нестационарных линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. № 4. С. 623-628.

55. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.-332 с.

56. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

57. Приставко В.Т. Матричные модели управления. СПб: Изд-во НИИ химии СПбГУ. 2001.-254 с.

58. Ревкова Н.Д. Задача оптимального управления для одной модели из микробиологии // Научные труды мат. факультета МПГУ. М.: Прометей, 2000. С. 141-143.

59. Ройтенберг Я.Н. Некоторые задачи управления движением. М.: Физмат-гиз, 1963.- 140 с.

60. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 552 с.

61. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 470 с.

62. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

63. Седых Л.Г. Математическая модель процесса регулирования активности поверхностно-активных веществ //Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр.Рязань:Ряз. пед. ин-т, 1985. С 61-70.

64. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М. .Наука, 1972.- 480 с.

65. Терехин М.Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений: Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1992. 88 с.

66. Терехин М.Т. Устойчивость управления по параметру // Известия Росий-ской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 1998. № 1. С. 86-96.

67. Терехин М.Т. Об устойчивости управления по параметру // Известия высших учебных заведений. Математика. 2000. № 9 (460). С. 38-46.

68. Терехин М.Т., Землякова Л.С. Метод вариации промежуточной точки для исследования управляемости системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1994. С. 116-124.

69. Терехин М.Т., Землякова Л.С. Об управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений//Дифференциальные уравнения (Качественная теория):Межвуз. сб. науч. тр.Рязань:Изд-во РГПУ, 1995. С. 141-150.

70. Тонкое Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному прибли-жению//Прикладная математика и механика. 1974. Т.38,вып. 4. С. 599-606.

71. Тонков Е.Л. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 14. № 2. С. 269-278.

72. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.:Высшая школа, 1980 495 с.

73. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970 . Т. I. 608 с.

74. Формальский A.M. Область управляемости систем, имеющих ограниченную величину и энергию управляющего воздействия // Вестник МГУ, серия "Математика и механика", 1970, № 5. С. 123-130.

75. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974. 368 с.

76. Хайлов Е.Н., Григорьева Э.В. О множестве достижимости одной нелинейной системы на плоскости // Вестн. МГУ. Сер. 15. 2001. № 4. С 27-32.

77. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир, 1970.-720 с.

78. Чудинов В.В., Морозкин Н.Д. Управляемость одной эволюционной системы // Вопр. мат. моделир. и мех. сплош. сред. 2000. №5. С. 73-77.

79. Шарафеев Д-Р- Существование периодических решений нелинейных управляемых систем с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. № 5. С. 182-188.

80. Шарафеев Д.Р. К вопросу о существовании ненулевых периодических решений нелинейных управляемых систем // Информатика и прикладная математика: Межвузовский сборник научных трудов. Рязань; РГПУ, 2001. С. 92-94.

81. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Качественная теория с приложениями). М.: Мир, 1986. 246 — с.

82. Bilic Natasha. Results for a optimal control problem with a semilinear state equation with constrained control. Math. slov. 2002. 52, №1. P. 109-126.

83. Kalman R.E., Bucy R.S. New Results in Linear Filtering and Prediction Theory, Trans. ASME, 83D, 1961.

84. Lefever R., Nicolis G. Chemical instabilities and sustained oscillations. J. Theor. Biol., 30, 1971.P. 267-284.

85. Lio Bao-tai, Liu You-wu. A study on criterion of controllability of systems. Tianjin Norm. Univ. Natur. Sci. Ed. 2001. 21. № 3. P. 5-7.

86. May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1973.

87. Mounier Hugues, Fliess Michel. On a class of linear delay systems often are arising in practice. // Kybernetica. 2001. № 3. P. 295-308.

88. Papageorgiou Nikolaos S., Yannakakis Nikolaos. Optimal control of nonlinear evolution equations. Discuss, math. Differ. Inch, Contr. and Optimiz. 2001. 21, № 1. P. 5-50.

89. Shklyar B. On attainable set and controllability for abstract evolution equation with unbounded input operator. Тр. Ин-та мат. HAH Беларуси. 2001, №7. С. 142-152.

90. Sun Zhendong, Ge S.S., Lee Т.Н. Controllability and reachability criteria for switched linear systems // Automatica. 2002. 38, №5

91. Zeeman E.C. Differential equations for the heartbeat and nerve impulse, Salvador Symposium on Dynamical Systens, Academc Press, 1973. P. 683-741.

92. Глухова Н.А. Оптимальность управления систем дифференциальных уравнений в условиях неопределенности // Труды Средневолжского математического общества, 2002. Т. 3-4. № 1. С. 234-235.

93. Глухова Н.А. Оптимизация управления для систем с неизвестным видом общего решения // Тезисы докладов всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики." Тула: ТулГУ, 2002. С. 12-13.

94. Глухова Н.А. Оптимизация критерия качества для нелинейных систем // Тезисы докладов X Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." в г. Пущино. Изд. "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. С. 102.

95. Глухова Н.А. Схема поиска оптимального управления для выпуклых многогранников // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003, - 300с. С. 74-75.

96. Глухова Н.А. Минимизация радиуса конечной окрестности для линейных систем // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Ряз. гос. пед. ун-т. им. С.А. Есенина. Рязань: РГПУ, 2002. С. 43-45.

97. Глухова Н.А. Задача оптимизации для систем с неизвестным видом решения // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Ряз. гос. пед. ун-т. им. С.А. Есенина. Рязань: РГПУ, 2002. С. 46-48.

98. Глухова Н.А. Необходимые и достаточные условия оптимальности управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. № 6. С. 20-28.

99. Глухова Н.А. Об оптимальности управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности в частных случаях // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. № 6. С. 29-40.

100. Глухова Н.А., Терехин М.Т. Поиск оптимального управления в условиях неопределенности // Вестник Рязанского государственного педагогического университета им. С.А. Есенина. № 1(9), 2003. С. 160-170.

101. Глухова Н.А. Оптимизация критерия качества во внутренних точках выпуклых множеств / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2002. - 10 с. Деп. в ВИНИТИ 30.09.02, № 1645-В2002.

102. Глухова Н.А. Схема поиска оптимального управления систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2002. - 14 с. Деп. в ВИНИТИ 30.09.02, № 1646-В2002.

103. Глухова Н.А. Управление в условиях неопределенности для систем с неизвестным видом общего решения / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2003. -19 с. Деп. в ВИНИТИ 13.02.03, № 293-В2003.