Метод точной диагонализации с учетом SU(2) и точечной симметрий для двумерной изотропной модели Гейзенберга тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

{ми'

СИНИЦЫН ВАЛЕНТИН ЕВГЕНЬЕВИЧ

Метод точной диагонализации с учетом 5С/(2) и точечной симметрий для двумерной изотропной модели Гейзенберга

Специальность 01 04 07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-маюмагическнх наук

Екатеринбург 2007

003071704

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Уральского государственного университета им А М Горького

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук,

доцент ОВЧИННИКОВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук,

профессор БОРИСОВ АЛЕКСАНДР БОРИСОВИЧ

доктор физико-математических наук,

профессор МИТРОФАНОВ ВАЛЕНТИН ЯКОВЛЕВИЧ

Ведущая организация Башкирский государственный университет

Защита состоится & № » 2007 г в ^ часов на заседании

диссертационного совета Д 212 286 01 при Уральском государственном университете им А М Горького по адресу 020083, г Екатеринбург, пр Ленина, 51, коми 248

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им А М Горького

Автореферат разослан » 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

(^^УДреватых Н В

Общая характеристика работы

Актуальность работы Интерес к магнитным „низкоразмерным" системам, основное взаимодействие в которых осуществляется внутри выделенных плоскостей (двумерные системы) или даже вдоль некоторых линий (одномерные системы) сформировался, в основном, с открытием явления выскотемпе-ратурной сверхпроводимости Дальнейшие исследования в области физической химии позволили создать большое число соединений (в том числе, органических), демонстрирующих одно- и двумерное упорядочение в области низких температур Изучение свойств подобных веществ является перспективным направлением современной экспериментальной и теоретической физики, поэтому неудивительно, что для теоретического исследования данных систем были разработаны самые различные методы Расчет термодинамических параметров указанных соединений подразумевает возможность вычислять спектр модельных решеток (пусть даже в некотором приближении) или хотя бы умение точно найти основное состояние, спектр низколежащих возбуждений над которым можно получить методом цепных дробей [1]

Обычно для теоретического изучения свойств низкоразмерных спиновых систем применяются модельные гамильтонианы, прежде всего, изотропный гамильтониан Гейзенберга Поскольку аналитическое изучение свойств таких модельных гамильтонианов очень затруднено, основное развитие в данной области получают полуаналитические и численные методы, в первую очередь, методы точной диагонализации (ЕБ), квантовый метод Монте-Карло (С^МС) и ренорм-группа матрицы плотности (ОМГЮ) К настоящему моменту разработано и реализовано достаточно большое количество таких алгоритмов, каждый из которых обладает своими преимуществами и недостатками Так, весьма популярный метод (}МС страдает от „проблемы знака", затрудняющей его применение для фрустрированных спиновых систем Метод ВМ1Ю, изначально сформулированный для решения одномерных задач, позволяет рассчитать основное и низколежащие возбужденные состояния системы сравнительно большого размера на базисе фиксированной размерности и делает это с очень высокой точностью, однако, он не имеет общепринятого обобщения па случай двумерных систем Метод точной диагонализации позволяет изучать свойства фрустрированных систем на кластере конечных размеров, но экспоненциальный рост размерности гильбертова пространства существенно затрудняет его использование в случае сколько-нибудь больших решеток Наконец, все перечисленные методы обладают общим недостатком они практически не учитывают симметрии, присущие гамильтониану, ограничиваясь в большинстве случаев простой ХУ-симметрией Однако, учет других симмет-

рий позволил бы не только сократить вычислительную сложность задачи, что особенно важно в случае использования метода точной диагонализации (так, по мнению некоторых исследователей [2], возможность учета спиновой 5{7(2)-симметрии является критичной для корректного описания двумерных спиновых систем), но и произвести классификацию энергетических уровней на „естественном" языке неприводимых представлений групп симметрии и построить на ее основе качественную картину основного состояния низкоразмерных спиновых систем

Одной из главных трудностей численных методов, пытающихся описать бесконечную систему путем расчета на конечном кластере, является даже не учет многочастичных эффектов высокого порядка, а минимизация граничных и конечномерных эффектов Чтобы избежать их, зачастую накладываются периодические граничные условия Однако, и в этом случае наибольшая длина модели достаточно мала (половина диаметра кластера) В рамках предложенного в данной диссертации метода рассматривается альтернативный способ получения наблюдаемых в термодинамическом пределе из кластерных вычислений

Хорошо известно, что алгоритмы диагонализации больших разреженных матриц (например, метод Ланцоша), используемые в методах БМИО и точной диагонализации, дают доступ к наинизшим и наивысшим собственным значения модельных гамильтонианов, те к краям спектра Поэтому проблема создания алгоритма, обеспечивающего доступ к полному спектру модельной системы, остается весьма актуальной

Обобщение метода матричных произведений, хорошо зарекомендовавшего себя для квантовых спиновых цепочек, породило ряд вариационных методов, предназначенных для описания основного состояния двумерных спиновых гамильтонианов Упомянем в этой связи модели вершинных состояний [3], вариационный метод тензорных произведений [4] и анзац тензорных произведений [5] Пробные состояния в этих подходах представлены произведениями локальных весов на двумерной решетке, что накладывает жесткие связи на топологию и величину спина, поэтому проблема развития методов, в которых отсутствуют подобные корреляции, также является актуальной

Открытой проблемой алгоритмов, основанных на методе 118110, является выбор оптимальной процедуры сокращения гильбертова пространства Использование дополнительных квантовых чисел гамильтониана дает возможность эффективной организации и этого этапа Как показано в диссертации, использование полного спина 5 и индекса неприводимого представления Г качественно визуализирует процедуру прореживания гильбертова пространства модельного гамильтониана

Цель диссертационной работы Целью настоящей работы является формулировка метода точной диагонализации, учитывающего спиновую Би(2) и точечную симметрию решетки Предложенный метод будет применен для изучения свойств основного состояния двумерных списковых систем в = \ на квадратной решетке, а также 5 = 1 на гексагональной решетке

Научная новизна работы В настоящей работе

1 Сформулирован двухпроходный, полуаналитический метод точной диагонализации, позволяющий корректно учесть 5(7(2) и точечную группу симметрии исследуемого двумерного гамильтониана изотропной модели Гейзенберга произвольного спина 5,

2 Предложена и опробована процедура усечения базиса при укрупнении кластера, позволяющая использовать сформулированный метод даже в случае больших систем,

3 Разработан новый способ вычисления наблюдаемых, апроксимирующий данные термодинамического предела, без использования скейлинг-ана-лиза при обработке значений, вычисленных на конечном кластере,

4 Показано, что основное состояние двумерного антиферромагнетика (в изотропной модели Гейзенберга в приближении ближайших соседей) принадлежит сектору гильбертова пространства, соответствующему тождественному неприводимому представлению точечной группы симметрии решетки (Ах),

5 Изучены свойства основного состояния системы 5 = 1 на гексагональной решетке в приближении ближайших соседей (пп) и соседей, следующих за ближайшими (ппп) Показано, что в случае пп-взаимодействия имеет место качественный переход от одно- к двумерному упорядочению, который происходит в окрестности точки Л/Л ~ 0 33, где Л - интеграл обменного взаимодействия внутри цепочек, а Л - между цепочками Вычисления, сделанные в ппп-приближеиии, позволяют построить картину спинового упорядочения в системе с фрустрацией и сделать вывод об отсутствии скалярного кирального упорядочения

Научная и практическая ценность Используя предложенный в па-стоящей работе метод точной диагонализации, можно получить качественно новую информацию о состояниях низкоразмерных спиновых систем и дополнительные квантовые числа Перечислим преимущества предложенного подхода в отличие от С^МС, метод годится для изучения систем спина в > не

накладывает жестких связей на топологию решетки и величину спина, присущую ряду вариационных методов и, по сравнению с БМИС, обеспечивает доступ ко всем состояниям спектра путем последовательного перебора секторов гильбертова пространства Использование симметрийных свойств гамильтониана позволяет построить классификацию его собственных состояний при помощи соответствующих квантовых чисел и, например, сформулировать на ее основе различные правила отбора

Результаты, полученные для системы 5 = 1, не претендуют на высокую точность, однако являются оригинальными В отличии от системы в = | на квадратной решетке, данная модель гораздо менее исследована С учетом того, что данная система является простейшей моделью реально существующего соединения, можно ожидать, что ее исследование приблизит нас к объяснению присущих ему свойств [6]

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка цитируемой литературы, трех приложений и насчитывает 177 страниц, включая 20 рисунков и 86 библиографических ссылок

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения

В первой главе обсуждаются основные методы, используемые для изучения модельных гамильтонианов двумерных спиновых систем ЕБ, С^МС, БМРЮ и современные варианты ренорм-группы в реальном пространстве (ПБПС) Здесь также излагаются основные понятия, используемые для описания устройства основного состояния низкоразмерных спиновых систем

Во второй главе рассматривается общий формализм оригинального двухпроходиого метода точной диагонализации, учитывающего 5С/(2) и точечную симметрию изотропного гамильтониана Гейзенберга для двумерного антиферромагентика произвольного спина 5о В первую очередь, обсуждается вопрос выбора конечно1 о кластера, который разбивается на две неравные части центральный спин и окружение При этом геометрическую конфигурацию кластера следует выбирать таким образом, чтобы каждый его узел, по возможности, имел такое же число ближайших соседей, как и в бесконечной решетке, иными словами, укрупнение кластера до достижения им необ-

ходимого размера должно производиться по координационным сферам При этом необходимо следить за равенством числа узлов в каждой из магнитных подрешеток - в противном случае точность вычисления наблюдаемых будет невысокой

Процедура построения окружения целиком определяется группой точечной симметрии решетки и выбранным способом укрупнения и, таким образом, выпадает из описания общего формализма К ней, тем не менее, предъявляются следующие требования базис окружения должен быть представлен функциями, отвечающими определенному значению полного спина и неприводимому представлению точечной группы симметрии решетки, предполагается, что на выходе данной процедуры будут вычислены собственные функции гамильтониана окружения и их энергии Практическое решение данной задачи для конкретных систем представлено в последующих главах Процедура построения и диагонализации гамильтониана окружения составляет первый этап предлагаемого двухпроходного метода ЕБ На втором этапе рассматривается взаимодействие центрального спина и окружения, играющего теперь роль бесконечной решетки, и производится вычисление требуемых наблюдаемых как кваптово-механических средних для центрального узла, найденных на функциях кластера

В третьей главе подробно рассмотрена процедура построения окружения для кластера 3 х 3 на квадратной решетке спина 5 = ^ в изотропной модели Гейзенберга в приближении ближайших соседей Небольшой размер этой системы позволяет произвести все вычисления аналитически, не используя сложные компьютерные вычисления, что способствует более глубокому пониманию предлагаемого метода

Окружение кластера 3x3 (см рис 1) содержит 8 спинов, которые могут быть разбиты на две группы, взаимодействие внутри которых отсутствует {5а, 5б, 5С, £<;} и {й^, Бр, 5^} В соответствии с общей методологией, для каждой из них необходимо построить базис полного спина окружения, дополнительно разбитый по неприводимым представлениям точечной группы 1?4 Диагонализация гамильтониана окружения Ни может быть проведена отдельно для каждого сектора гильбертова пространства ¿'¡¡Г,, В данном случае этот факт не играет особо роли, но в больших системах диагонализация гамильтониана окружения оказывается очень трудоемкой и возможность ограничиться некоторым подпространством значительно уменьшает вычислительную сложность этой задачи (уменьшает размер матрицы) Согласно теореме Либа-Маттиса [7], основное состояние рассматриваемого кластера должно иметь спин й = кроме того, прямой расчет показывает, что оно отвечает тождественному представлению точечной группы симметрии Аь а

Рис 1 Кластеры, исследуемые в рамках диссертационной работы система 3 х 3 - аь /?1, 71, г]1 и а, Ь, с, ¿, система уДз X у/13 отличается добавлением узлов с*2, /Зг, 72, для системы 5x5 необходимо добавить „уголки", соединенные волнистой линией

Ь, Р, Р* Р. с,

ПО С>4)

ОС, 0^0,0—0~0YyOy, «зО oY<

(>~0 О 0"~0 а2 п, Пг П, d,

значит впоследствии, для построения основного состояния мы можем ограничиться двумя секторами гильбертова пространства окружения 0А\ и 1А\ После их диагонализации первый этап предложенного двухпроходного метода ED можно считать завершенным

Используя общие выражения для наблюдаемых, полученные в главе один, можно получить численные значения энергии связи е и намагниченности (staggered magnetization) Мс Для кластера 3x3 они составляют е = —0 3442J, где J - обменный интеграл и Мс = 0 299, соответственно Квантовый метод Монте-Карло дает для этих наблюдаемых следующие значения е = —О 3347J и Мс = 0 3070 [8] Таким образом, можно констатировать качественное совпадение полученных результатов с общепринятыми и сделать следующие выводы

• Основное состояние окружения и полного кластера преобразуется по тождественному представлению группы D4

• Доминирующий вклад в функцию основного состояния кластера дают нижние по энергии состояния окружения соответствующей симметрии

l/W + l/W* 0 989

• Предлагаемый нами способ расчета энергии на связь позволяет заметно улучшить точность при неизменных размерах кластера Среднее значение энергии на связь, вычисленное тривиальным способом, составляет Ед/12 = —0 3967, что существенно хуже совпадает с результатми С^МС

В четвертой главе рассматривается кластер больших геометрических размеров ромб со стороной 3 (см рис 1), включающий 13 узлов (12 узлов окружения, моделирующего бесконечную решетку, плюс центральный спин) - т н „система л/13 х ч/ТЗ" Окружение этого кластера охватывает в точности две координационных сферы и в этом смысле является топологически совершенным, но при этом не является бипартитным, те имеет разное число узлов в каждой из магнитных подрешеток Поскольку данный кластер крупнее рассмотренного в третьей главе, можно ожидать, что вычисленные для него наблюдаемые будут лучше соответствовать общепринятым результатам, полученным методами С^МС и БМЯС Ниже проверяется это предположение Окружение данного кластера может быть построено способом, аналогичным представленному в третьей главе Единственное отличие заключается в том, что вместо четверки спинов {5а, Бр, 57, Зп} нам теперь придется иметь дело с четырьмя подкластерами {5„,,5а2}, {571,5'72} и

базис полного спина которых насчитывает 70 векторов

Для вычисления гамильтониана окружения используются те же неприводимые двойные тензорные операторы, что и для системы 3x3, однако, приведенные матричные элементы операторов необходимо предварительно пересчитать на базисе подкластера, те пары спинов Это иллюстрирует еще одну замечательную особенность предлагаемого метода - возможность повторного использования готовых матриц, полученных на более ранней итерации, при постепенном увеличении окружения до необходимых размеров Отметим, впрочем, что эта возможность не исключает выполнение вспомогательных аналитических вычислений - каждое окружение имеет свою специфику, поэтому его построение трудно алгоритмизировать

Результаты, полученные для системы л/ГЗ х \/13, весьма поучительны Основное состояние данного кластера (Ед = —5 779.7) принадлежит подпространству |Лх (размерность 63) Полученное для этого состояния значение энергии связи составляет е = —0 309257, т е сильно расходится с результатом ОМС Более низкое значения для энергии с вязи получается для сектора (его размерность равна 79) е = —0 32297 Подобная ситуация, когда минимальное значение энергии связи получается не из основного состояния кластера, наблюдалась и в расчетах одномерных спиновых цепочек, выполненных методом ВМ1Ю [9]

Тем не менее, результаты, полученные при диагонализации кластера у/13 х л/1з, подтверждают качественные выводы, сделанные ранее при анализе основного состояния квадрата 3x3 основное состояние и окружения, и полного кластера вновь имеет симметрию из 63 базисных состояний вклад трех нижних по энергии уровней 2А\ и нижнего уровня симметрии 3^1 окружения в сумму диагональных элементов матрицы плотности полного кластера составляет 0 993

Результаты, полученные в четвертой главе, подсказывают следующий вывод бипартитность оказывает большее влияние на точность вычисления наблюдаемых, чем топологическое совершенство кластера (максимальное сохранение необходимого числа ближайших соседей) Это и неудивительно, т к бесконечная решетка, которую моделирует окружение, естественно, бипартитна Однако, для проверки данной гипотезы следует также рассмотреть топологически несовершенный, но бипартитный кластер Это и будет сделано в главе 5

В пятой главе исследуется кластер, содержащий 17 узлов (см рис 2) -„система л/Г7 х \/17" Как было отмечено выше, он сознательно выбирается несовершенным (половина узлов окружения имеет двух или менее соседей, вместо положенных четырех), но при этом является бипартитным

Рис 2 Система -/17 х у/У7

3) 0-»"0"™""0 1о О) а ч °п А

Другой отличительной особенностью системы \/17 х -/17 является сравнительно большая размерность базиса, на котором строится функция основного состояния - 633 Это, с одной стороны, позволяет решить задачу точно, а с

другой - оценить эффекты, вносимые сокращением гильбертова пространства при проведении расчетов на усеченном базисе, в первую очередь, скорость сходимости наблюдаемых к своему точному значению

Размерность секторов гильбертова подпространства, которые необходимо рассмотреть для получения основного состояния кластера, равняется 194 для (OAi) и 439 для Таким образом, подпространство состояний кластера,

отвечающее симметрии содержит 633 базисных вектора, как и было указано выше Попробуем реализовать для него процедуру усечения базиса, а именно отберем из секторов OAi и 1 Aj некоторое наперед заданное число векторов, отвечающих наименьшим значениям энергии Эта процедура напоминает стандартный шаг метода RSRG, который, как было показано [2, 9], не подходит для низкоразмерных спиновых систем, но имеет одно важное отличие отбор производится не из некоторого неклассифицированного базиса, а только среди тех векторов, которые действительно составляют базис основного состояния кластера В стандартном RSRG-подходе единственным критерием отбора служит энергия состояния, при этом может оказаться, что функции, отвечающие минимальной энергии, просто не могут входить в базис основного состояния кластера по своим симметрийным свойствам (например, они не преобразуются по тождественному представлению точечной группы)

Вопрос об оптимальном способе усечения для данной системы, т е наиболее выгодном соотношении mi/m2, где тпi - количество векторов, отобранных из сектора 0Ai, а тг - количество векторов, отобранных из сектора шг, представляет собой предмет самостоятельного исследования, поэтому в данной главе мы ограничимся простейшей (и, возможно, не самой удачной) схемой mi = m<¿

Сравнительно большой размер кластера позволяет вычислить не только традиционные наблюдаемые энергию связи е и намагниченность Мс, но и спин-спиновые корреляционные функции где п - номер коорди-

национной сферы Точные значения для наблюдаемых, вычисленных в основном состоянии кластера \/Í7 х у/17 составляют

• Энергия связи е = —0 3304J

• Намагниченность А/с = \/3S% = 0 305

• Корреляционные функции (S^S^) = -0 1101, = 0 0743

Значения энергии связи и намагниченности хорошо согласуются с результатами QMC е = —0 3347J, т — 0 3070 Значения спиновых корре-

Рис 3 Сходимость наблюдаемых в системе у/17 х у/17 как функция размерности базиса М

1 2 1 1 1 О 09 0 8

07

ляционных функций, полученные методом точной диагонализации с экстраполяцией на бесконечную решетку [10], составляют (5ц5'^=1) = —0 1116,

^о^г-м^} = ® 0637 Как можно видеть, качество результатов, вычисленных предложенным нами методом, ухудшается по мере увеличения расстояния г Это, впрочем, не является его внутренним недостатком и объясняется, в первую очередь, топологическим несовершенством системы у/\Л х у/Т'7

Как можно видеть из рис 3, наблюдаемые демонстрируют очень быструю сходимость к своему точному значению Сохраняя всего 100 состояний из каждого подпространства, мы получаем значения £ и то с относительно погрешностью, не превышающей 0 01%, что свидетельствует о высокой эффективности предлагаемой схемы усечения

В шестой главе рассмотрение изотропной модели Гейзенберга спина я = | на квадратной решетке завершается изучением кластера, выбранного в виде квадрата 5x5 (см рис 1) Его окружение является бипартитным, кроме того, геометрические размеры решетки весьма велики, так что можно ожидать, что вычисленные наблюдаемые оказываются весьма точными Однако, процедура усечения базиса, впервые описанная в главе 5, здесь уже является обязательной, поскольку размерность подпространства составляет 93034

Выбор схемы усечения базиса, в свою очередь, полностью определяется способом построения окружения Его можно выполнить двумя способами

1 Начать с окружения системы \/Тз х у/13 и произвести наращивание в

п

-о- ш(М) / т(633) -V- Е(М)/Е(633) -о- е(М) /¡<633)

6

_|->-■___1-•_1—.-1___■---■—

О 100 200 300 400 500 600

М

два этапа вначале добавить пары рз, ,64,73 и 74,773, а затем

- узлы а.2, Ь2, сг и ¿2 При этом размерность базиса добавляемой части каждый раз будет достаточно мала (54 для пар и 5 - для одиночных спинов), так что можно будет обойтись без ее усечения Зато на каждом этапе потребуется произвести затратную по времени операцию пересчета матричных элементов операторов взаимодействия на полном наборе „новых" состояний,

2 Начинать с окружения системы л/13 х л/13 и добавить к нему „тройки" щ,а2,а3, а4,Ь2,03, /34,с2,73 и 74,^2,% В этом случае процедура пересчета будет только одна, зато базис добавляемой части будет содержать 698 векторов, так что усечению придется подвергать и базис „остова" (окружение системы \/ТЗ х л/13), и базис добавляемой части („тройки")

Первая схема может быть условно названа „полный базис добавляемой части плюс усеченный базис остова", и именно она была использована в главе 5 для кластера у/17 х у/17 Таким образом, в данной главе будет разумно сосредоточиться на второй схеме

„Тройки" спинов не использовались нами ранее, поэтому процедуру построения окружения следует начать с построения их базиса, отвечающего полному спину и неприводимому представлению точечной группы симметрии При выбранном нами способе укрупнения добавляемая часть представляет собой четыре невзаимодействующих „тройки" Благодаря этому, ее диа-гонализацию производить не требуется и собственные функции полного спина добавляемой части получаются непосредственно по правилу сложения моментов

Для нахождения основного состояния кластера 5x5, имеющего симметрию 5Л1 необходимо построить и диагонализовать, пусть даже на некотором усеченном базисе, гамильтонианы окружения, отвечающие состояниям ОА^ и 1А\ Размерность базиса состояния ОЛ1 составляет 26164,1Ах - 66870 Следует отметить, что на современном уровне развития вычислительной техники матрицы таких размеров, в принципе, могут быть диагонализованы точно Однако, целью настоящей работы ставилось исследовать эффективность различных способов усечения базиса, кроме того, в пашем распоряжении не было вычислительных машин, способных работать со столь большими матрицами Исходя из этого, мы не производили полную диагонализацию, а ограничились вычислениями на базисах меньшей размерности, не превышающей 9000 Усечение производилось в два приема

Таблица 1 Энергии основного состояния кластера 5 х 5 и его окружений симметрии ОЛ1 и 1Л1 для различных схем усечения

т Л/1 (ОАО Е (ОАО /363 М (1Аа) Е (1Аа) /36 3 N2 Ео/З £/.7

1 1240 -0 3777 1276 -0 3623 800 -14 4384 -0 2960

1 1240 -0 3777 1276 -0 3623 2516 -14 4387 -0 2961

1 5690 -0 3803 6249 -0 3663 800 -14 6217 -0 3144

1 5690 -0 3803 6249 -0 3663 2000 -14 6220 -0 3146

2 8090 -0 3808 8169 -0 3681 800 -14 6775 -0 3215

3 8000 -0 3808 8000 -0 3680 800 -14 6737 -0 3211

3 8000 -0 3808 8000 -0 3680 2000 -14 6738 -0 3212

4 6844 -0 3799 7398 -0 3642 800 -14 4889 -0 2908

• На первом этапе усекался базис каждого из окружений, участвующих в формировании состояния 5А1 кластера (те ОА1 и 1А\) Способ отбора векторов варьировался и будет подробно описан ниже,

• Вторичное усечение производилось при построении кластера, при этом из базиса каждого окружения отбиралось по Тог векторов, отвечающих наименьшей энергии, аналогично тому, как это было сделано в главе 5

Отметим, что существует принципиальная возможность избежать вторичного усечения, ограничившись на первом этапе матрицами таких размерностей, что их сумма не превышает возможностей вычислительной техники, находящейся в распоряжении исследователя Однако, можно предположить, что на базисе столь небольшого размера окружение будет представлено с меньшей точностью, чем при использовании двухступенчатого усечения, когда на каждом из этапов задействуются все возможности имеющихся компьютеров

Полученные результаты сведены в таблицу 1, где через Ео обозначена полная энергия кластера, е - энергия в расчете на одну связь, а Е^О/Ц) и Е (1А0 - энергии основного состояния окружений 0Ах и 1 Ах, соответственно Через Ш1 и тег обозначены размерности базисов после первого и второго усечения, а буквой Т - способ первичного усечения (см ниже) Прежде чем переходить к их описанию, сделаем небольшое замечание Вполне очевидно, что базисы состояний окружения ОА1 и \АХ можно разбить на К подклассов, образованных из различных состояний остова |5//Гя) и добавляемой части

|5/Г/) В случае состояния 0А\ имеем К = 30, а для Mi - К = 76 Число векторов в г-ом классе dim К, варьируется от 1 до 6084 Были опробованы следующие способы усечения

1 Из каждого класса Kt отбиралось к > 1 векторов, отвечающих наименьшей энергии, с тем расчетом, чтобы их сумма не превышала некоторого наперед заданного числа m При этом значение к являлось фиксированным и никак не зависело от dim Кг

2 Аналогичен предыдущему случаю, но значение к теперь вычисляется пропорционально dim.fi, Коэффициент пропорциональности выбирается таким образом, чтобы общая размерность усеченного базиса не превышала т

3 Отбиралось гпх собственных состояний окружения ¿Mi, отвечающих наименьшим значениям энергии (без учета разбиения на классы Кг)

4 Усечение по схеме, опробованной в главе 5 полный набор состояний добавляемой части („троек") плюс состояния остова, отвечающие наименьшей энергии Существенным отличием является то, что число размерности базисов остова и добавляемой части одинаковы, так что для достижения приемлемых значений mi базис остова надо сокращать весьма существенно (не более 10 векторов из каждого класса в случае OAi и 3 - 4 для 1Л0

Эффективность первичного усечения контролировалась путем сравнения найденного значения для энергии основного состояния окружения с „точным" значением, полученным методом Ланцоша Так, для энергии основного состояния окружения OAi при максимуме нормы невязки Ю-4 имеем Е$ = —13 712 или в среднем —0 38088 на связь Как можно видеть из таблицы 1, для второй и третьей схем усечения это число воспроизводится с относительной погрешностью порядка Ю-4

Однако, несмотря на это, точность значения е оказывается гораздо ниже, чем можно было бы ожидать для системы такого размера Если для системы \/17 х y/VI отклонение е от результата QMC (—0 3347J) составляет около 1%, то для системы 5x5 этот показатель колеблется в пределах от 4 до 11% Это является следствием неудачно выбранной схемы первичного усечения, использующей два базиса одинаковой размерности, рассматриваемых приближенно Схема „полный набор состояний добавляемой части плюс усеченный набор состояний остова", реализованная во вторичном усечении, работает хорошо

и в этом случае - изменение значения ГП2 затрагивает только четвертый знак £

В заключение следует отметить, что значения наблюдаемых для системы 5x5, объявленные нами как неточные, тем не менее демонстрируют вдвое меньшее отклонение от результата ОМС, чем значения, полученные двумерным методом ОМВХЗ [11] па кластерах сравнимого размера

В седьмой главе сформулированный и опробованный метод точной диа-гонализации применяется к новому объекту исследования изотропной модели Гейзенберга спина 5 = 1 на на решетке, топологически эквивалентной гексогональной, в приближении ближайших соседей (па) и соседей, следующих за ближайшими (ппп) Данная система является простейшей моделью реально существующих органических магнетиков семейства РЛ^^А^О, синтезированных японскими исследователями в конце 90-х годов прошлого века [61

Рис 4 Кластер 6 х 3 в приближении пп

Результаты квантово-механического расчета для данной модели являются оригинальными и, насколько нам известно, не встречаются в работах других авторов, поэтому, для контроля их точности, было решено произвести параллельный расчет параметров системы с помощью двумерного алгоритма ОМ1Ю [12] С учетом имевшихся в нашем распоряжении вычислительных мощностей, это ограничило размер рассматриваемого кластера значениями 6x3 (см рис 4), что, в свою очередь, привело к использованию упрощенного алгоритма точной диагонализации

Построение гамильтониана кластера производится в несколько этапов На первом из них необходимо построить функции полного спина отдельной цепочки Для этого можно образовать тримеры (1 + 3) + 2 и (4 + 6) + 5, а затем учесть взаимодействие между узлами 3 и 4 Соответствующий базис насчитывает 141 вектор Двумерная решетка 6 х 3 образуется из трех цепочек, которые опять складываются по схеме (а + 7) + /?, что позволяет избежать лишней процедуры диагонализации При этом учитываются все состояния \ipSpMp) и только некоторые (низколежащие) состояния |га5аг757, 5а7Ма7), те опять

Рис 5 Сходимость энергии основного состояния Е(тп) на \сеченном базисе тп к значению Е(ОМЯС)

используется усечение по схеме „полный набор состояний добавляемой части плюс усеченный набор состояний остова1', эффективность которой была подтверждена в главах 5 и 6 Полный набор состояний |га5аг757, За1Ма~,) насчитывает 73789 векторов, 70357 из них удовлетворяют условию ¿>а7 < 6, т е могут дать вклад в основное состояние системы, имеющее 5 = 0 Полный базис |га5аг757 (5а7) грвр, БМ) содержит 1780787 векторов

Нами были опробованы пять различных усеченных базисов с тп = 5, 1179, 1822, 3125, 5830 На рис 5 приведен график сходимости указанных наблюдаемых к значениям, полученным методом БМ1Ю (в относительных единицах) Как можно видеть, для достижения точности, сравнимой с БМИС требуется брать базис тем большего размера, чем больше отношение обменных интегралов к = Зъ! Кроме того, из графиков, представленных на рис 5 можно сделать важный качественный вывод как метод БМГЮ, так и предложенный нами метод точной диагонализации дают совпадающие результаты, что является взаимным подтверждением их корректности Дальнейшие вычисления производились на базисе та = 5830 Мы проследили зависимость от к спин-спиповых корреляций внутри цепочки £\/3\ = и между

ними £2/^2 = ^¿^з^ и намагниченности Мс ~ у Для расчета

£1 и £2 были выбраны пары, максимально удаленные от границ кластера Это было сделано в предположении, что полученные для них результаты будут

Таблица 2 Зависимость энергии и намагниченности от к для т = 5830

к 0 01 0 1 0 33 0 5 0 75 1 0

£оМ -22 218 -23 08 -23 94 -25 40 -26 98

ег/Л -1 504 -1 396 -1 351 -1 303 -1 269

-0 316 -0 638 -0 717 -0 778 -0 808

М 0 20 0 59 0 74 0 75 0 746 0 723

Рис. 6 Зависимость вклада межцепочечного взаимодействия ([/) в полную энергию основного состояния кластера £о как функция к

<и>

-1 -2 -з

-5 -6

"7 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11"

лучше соответствовать термодинамическому пределу Значения £1, £2 и Мс для различных значений к представлены в таблице 2

Заметим, что при к > | значение намагниченности Мс практически не изменяется, из чего можно сделать вывод об образовании устойчивого двумерного упорядочения в районе точки К20 ~ 0 33 При к < /его кластер 6x3 можно рассматривать как набор слабо взаимодействующих цепочек, выше этого значения система становится двумерной Данный вывод подтверждается и графиком 6, на котором зависимость зависимость вклада энергии межцепочечного взаимодействия II в полную энерг ию основного состояния кластера Ец как функция к При к > к.^о зависимость практически линейная, т е энергия изменяется просто за счет увеличения интеграла взаимодействия Зг До этой точки наблюдается отклонение от линейного поведения, связанное с постепенным образованием устойчивой двумерной структуры В случае учета взаимодействия с соседями, следующими за ближайши-

ми, система становится фрустрированной Расчеты киральных параметров ^ 5/з3 х х 4 | и х 5741 ^ для к = 0 5 (в этой области

система демонстрирует устойчивое двумерное упорядочение, а результаты, полученные методом точной диагонализации хорошо совпадают с данными ВМГЮ, что повышает достоверность расчетов) и различных значений 3" / 3\ (3" > 0 - интеграл обменного взаимодействия с соседями, следующими за ближайшими) обнаруживают фактическое отстутствие последнего в основном состоянии системы По мере увеличения 3"/3\ упорядочение внутри цепочек сначала уменьшается, а затем - возрастает и при 3" /3\ > 0 35 становится даже более сильным, чем в нефрустрированном случае Коллинеарность же спинового упорядочения между цепочками не сохраняется

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе

1 Показана эффективность предлагаемого метода, путем сравнения полученных с его помощью результатов с результатами метода С^МС для хорошо исследованной системы - гейзенберговского антиферромагнетика спина з = | на квадратной решетке (в приближении ближайших соседей) Были вычислены энергия основного состояния (в том числе, в расчете на одну связь), намагниченность, спин-спиновые корреляционные функции и векторная киральность для кластеров размеров 3x3, у/13 х у/13, у/17 х у/17 и 5 х 5 Путем прямого расчета было показано, что основное состояние соответствует тождественному неприводимому представлению точечной группы симметрии решетки

2 Предложен способ итеративного увеличения системы до необходимых размеров - с максимальным сохранением симметрии и числа соседей, такого же как в бесконечной решетке (т е по координационным сферам) Изучено влияние бипартитности окружения на точность вычисления наблюдаемых и сделан вывод о ее решающем влиянии на эти величины, по сравнению с числом узлов и геометрической конфигурацией кластера

3 Разработана процедура усечения базиса, позволяющая избежать экспоненциального роста размерности гильбертова пространства при рассмотрении больших систем Было опробовано несколько различных схем усечения базиса и сформулированы условия, которым должен удовлетворять эффективный способ усечения необходимо усекать только базис „остова" окружения, а добавляемую часть учитывать точно, кроме того, добавляемая часть должна иметь как можно меньше состояний (т е , в идеальном случае, состоять из единственного узла)

Исследована сходимость наблюдаемых по мере увеличения размерности усеченного базиса и сделан вывод о том, что достаточно надежные результаты могут быть получены на базисах вполне приемлемых размерностей, доступных современной вычислительной технике

4 Разработан способ вычисления наблюдаемых, позволяющий аппроксимировать результаты в термодинамическом пределе вычислениями на конечном кластере, не используя скейлинг-анализ

5 Предложенный метод точной диагонализации был применен к изучению свойств гексагональной спиновой системы S — 1 в приближении пп и ппп С его помощью была получена информация о существовании в пп-приближении точки перехода от преимущественно одномерного упорядочения к двумерному, определяемой соотношением J1/J2 « 0 333, где J\ - интеграл внутрицепочечного, a J2 - интеграл межцепочечного взаимодействия Для системы в nnn-приближении доказано отсутствие скалярного кирального упорядочения и прямым расчетом показано, что коллинеарность спинового упорядочения между цепочками с учетом фрустрации не сохраняется

С Сформулирован и реализован двумерный алгоритм DMRG для гексагональной решетки спина S = 1С его помощью были получены результаты для энергии основного состояния, а также вычислены димер-димерные корреляционные функции, проясняющие картину „локальной структуры" основного состояния

Список публикаций по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах

1 Синицьш В Е , Боярченков А С , Овчинников А С , Бострем И Г Двумерный гейзенберговский аптиферромагнетик S = 1 с двумя типами обменных взаимодействий на гексагональной решетке RSRG- и DMRG-апализ//ЖЭТФ - 2005 -Т 128 - Вып 3(9) - стр 549-558

2 Boyarchenkov A S , Bostrem I G , Ovchinmkov A S , and Sinitsyn V Е Magnetic Properties of Low-Dimensional Organic Crystals of the PNNNO Family // PMM - 2006 - Vol 101 - Suppl 1 - P S87-S89

3 Бострем И Г , Овчинников А С , Синицын В Е Метод точной диагона-лизации с сохранением полного спина и учетом полного спина и учетом точечной симметрии для двумерного изотропного гейзенберговского магнетика // ТМФ - 2006 - Т 49 - № 2 - Стр 262-280

Статьи, опубликованные в зарубежных научных журналах

4 Simtsyn V Е , Bostrem I G , Ovchmnikov A S Symmetry adapted finite-cluster solver for quantum Heisenberg model in two-dimensions a real-space renormalization approach //J Phys A Math Theor - 2007 - Vol 40 -P 645-668

Статьи, опубликованные в сборниках трудов конференций

5 Синицын В Е Исследование основного состояния органического 2В-антиферромагнетика F2PNNNO методом DMRG // Сборник трудов IV Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике - Уфа Рио БашГУ - 2004 -Т 2-е 171-176

6 Синицын В Е Реализация двумерного алгоритма RSRG с учетом пространственной и Би(2)-симметрий // Сборник трудов Международной уфимской зимней школы-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых - Уфа Рио БашГУ - 2005 - Т 4-е 194-197

7 Синицын В Е Двумерный алгоритм RSRG с учетом пространственной и Зи(2)-симметрий на усеченном базисе // Сборник трудов VI Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике - Уфа Рио БашГУ - 2006 - Т 1 - с 235-239

Цитированная литература

[1] Бострем И Г , Боярченков А С , Коновалов А А , Овчинников А С , Синицын ВЕК вопросу о квантовом плато намагниченности в металл-органических квази-одномерных ферримагнетиках // ЖЭТФ - 2003 - Т 124 - Вып 2(8) - Стр 1-11

[2] Schollwock U The density-matrix renormalization group // Rev Mod Phys - 2005 - Vol 77 - P 259-315

[3] Niggemann H , Klumper A and Zittartz J Quantum phase transition in spm-| systems on the hexagonal lattice - optimum ground state approach // Z Phys B - 1997 - Vol 104 - No 1 - P 103-110

[4] Nishmo T , Hieida Y , Okunishi K , Maeshima N , Akutsu Y , and Gendiar A Two-Dimensional Tensor Product Variational Formulation // Prog Theor Phys - 2001 - Vol 105 -P 409-417

[5] Martín-Delgado M A , Roncagha M , and Sierra G Stripe ansatze from exactly solved models // Phys Rev B - 2001 - Vol 64 - P 075117 (9 pages)

[6] Hosokoshi Y , Nakazawa Y , Inoue K Magnetic properties of low-dimensional quantum spin systems made of stable organic biradicals PNNNO, F2PNNNO, and PIMNO // Phys Rev B - 1999 - Vol 60 - P 12924-12932

[7] Lieb E H and Mattis D G Ordering Energy Levels of Interacting Spin Systems // J Math Phys - 1962 - Vol 3 - P 749-751

[8] Sandvik A W Fmite-size scaling of the ground-state parameters of the two-dimensional Heisenberg model // Phys Rev B - 1997 - Vol 56 - P 11678-11690

[9] White S R Density matrix formulation for quantum renormalization groups // Phys Rev Lett - 1992 - Vol 69 - P 2863-2866

[10] Betts D D , Lin H Q , Flynn J S Improved Finite-Lattice Estimates Of The Properties Of Two Quantum Spin Models On The Infinite Square Lattice // Can J Phys - 1999 - Vol 77 - P 353-369

[11] Farnell D J J Density matrix renormalization group calculations for two-dimensional lattices Application to the spin-half and spin-one square-lattice Heisenberg models//Phys Rev B - 2003 - Vol 68 - P 134419 (7 pages)

[12] Liang S and Pang H Approximate diagonalization using the density matrix renormalization-group method A two-dimensional-systems perspective // Phys Rev B - 1994 - Vol 49 - P 9214-9217

Введение

Глава 1. Литературный обзор.

1.1. Методы точной диагонализации

1.2. Современные варианты метода RSRG.

1.3. Алгоритм DMRG

1.4. Симметрии и хорошие квантовые числа в методе DMRG.

1.5. „Локальная структура" основного состояния.

1.6. Резюме

Глава 2. Метод точной диагонализации с учетом пространственной и £>С/(2)-симметрий.

2.1. Общее описание алгоритма.

2.2. Расчет наблюдаемых

Глава 3. Система 3x

3.1. Функции окружения

3.2. Гамильтониан окружения.

3.3. Обсуждение результатов

Глава 4. Система л/13 х л/

4.1. Базисные функции и гамильтониан окружения

4.2. Оператор киральности

4.3. Обсуждение результатов

Глава 5. Система л/Г7 х \fvj

5.1. Базисные функции окружения.

5.2. Корреляционные функции

5.3. Обсуждение результатов

Глава 6. Система 5x

6.1. Базис „троек"

6.2. Базис добавляемой части.

6.3. Взаимодействие Universel2 и добавляемой части

6.4. Гамильтониан окружения.

6.5. Обсуждение результатов

Глава 7. Система S = 1 на гексагональной решетке.

7.1. Состояния цепочки

7.2. Взаимодействие между цепочками.

7.3. Расчет наблюдаемых

7.4. Взаимодействие с соседями, следующими за ближайшими

7.5. Основные результаты, полученные методом DMRG.

7.6. Обсуждение результатов для nn-взаимодействия

7.7. Обсуждение результатов для nnn-взаимодействия.

Актуальность темы. Интерес к магнитным „низкоразмерным" системам, основное взаимодействие в которых осуществляется внутри выделенных плоскостей (двумерные системы) или даже вдоль некоторых линий (одномерные системы) сформировался, в основном, с открытием явления выскотемпературной сверхпроводимости [1]. Дальнейшие исследования в области физической химии позволили создать большое число соединений (в том числе, органических), демонстрирующих одно- и двумерное упорядочение в области низких температур. Изучение свойств подобных веществ является перспективным направлением современной экспериментальной и теоретической физики, поэтому неудивительно, что для теоретического исследования данных систем были разработаны самые различные методы. Расчет термодинамических параметров указанных соединений подразумевает возможность вычислять спектр модельных решеток (пусть даже в некотором приближении) или хотя бы умение точно найти основное состояние, спектр низ-колежащих возбуждений над которым можно получить методом цепных дробей (2].

Обычно для теоретического изучения свойств низкоразмерных спиновых систем применяются модельные гамильтонианы, прежде всего, изотропный гамильтониан Гейзенберга. Поскольку аналитическое изучение свойств таких модельных гамильтонианов очень затруднено, основное развитие в данной области получают полуаналитические и численные методы, в первую очередь, методы точной диа-гонализации [3], QMC и DMRG [4-6]. К настоящему моменту разработано и реализовано достаточно большое количество таких алгоритмов, каждый из которых обладает своими преимуществами и недостатками. Так, весьма популярный метод QMC страдает от „проблемы знака", затрудняющей его применение для фруст-рированных спиновых систем. Метод DMRG, изначально сформулированный для решения одномерных задач, позволяет рассчитать основное и низколежащие возбужденные состояния системы сравнительно большого размера на базисе фиксированной размерности и делает это с очень высокой точностью, однако, он не имеет общепринятого обобщения на случай двумерных систем. Метод точной диа-гонализации позволяет изучать свойства фрустрированных систем на кластере конечных размеров, но экспоненциальный рост размерности гильбертова пространства существенно затрудняет его использование в случае сколько-нибудь больших решеток. Наконец, все перечисленные методы обладают общим недостатком: они практически не учитывают симметрии, присущие гамильтониану, ограничиваясь в большинстве случаев простой XY-симметрией1. Однако, учет других симметрий позволил бы не только сократить вычислительную сложность задачи, что особенно важно в случае использования метода точной диагонализации (так, по мнению некоторых исследователей [8], возможность учета спиновой 5£/(2)-симметрии является критичной для корректного описания двумерных спиновых систем), но и произвести классификацию энергетических уровней на „естественном" языке неприводимых представлений групп симметрии и построить на ее основе качественную картину основного состояния низкоразмерных спиновых систем;

Одной из главных трудностей численных методов, пытающихся описать бесконечную систему путем расчета на конечном кластере, является даже не учет многочастичных эффектов высокого порядка, а минимизация граничных и конечномерных эффектов. Чтобы избежать их, зачастую накладываются периодические граничные условия. Однако, и в этом случае наибольшая длина модели достаточно мала (половина диаметра кластера). В рамках предложенного в данной диссертации метода рассматривается альтернативный способ получения наблюдаемых в термодинамическом пределе из кластерных вычислений. то не вполне верно в случае методов точной диагонализации, где учет всевозможных симметрий позволяет существенно сократить размерность гильбертова пространства. В работе [7] приведен пример метода точной диагонализации, учитывающего многие симметрии системы s — т;, однако, спиновая su(2)-симметрия была выведена из рассмотрения и здесь, а вместо истинной неабелевой группы точечной симметрии D4 использовалась абелева группа С4 с трансляциями.

Хорошо известно, что алгоритмы диагонализации больших разреженных матриц (например, метод Ланцоша), используемые в методах DMRG и точной диагонализации, дают доступ к наинизшим и наивысшим собственным значения модельных гамильтонианов, т.е. к краям спектра. Поэтому проблема создания алгоритма, обеспечивающего доступ к полному спектру модельной системы, остается весьма актуальной.

Обобщение метода матричных произведений, хорошо зарекомендовавшего себя для квантовых спиновых цепочек, породило ряд вариационных методов, предназначенных для описания основного состояния двумерных спиновых гамильтонианов. Упомянем в этой связи модели вершинных состояний [9, 10], вариационный метод тензорных произведений [11, 12] и анзац тензорных произведений [13]. Пробные состояния в этих подходах представлены произведениями локальных весов на двумерной решетке, что накладывает жесткие связи на топологию и величину спина, поэтому проблема развития методов, в которых отсутствуют подобные корреляции, также является актуальной.

Открытой проблемой алгоритмов, основанных на методе RSRG, является выбор оптимальной процедуры сокращения гильбертова пространства. Использование дополнительных квантовых чисел гамильтониана дает возможность эффективной организации и этого этапа. Как показано в диссертации, использование полного спина S и индекса неприводимого представления Г качественно визуализирует процедуру прореживания гильбертова пространства модельного гамильтониана.

Цель работы. Целыо настоящей работы является формулировка метода точной диагонализации, учитывающего спиновую SU(2) и точечную симметрию решетки. Предложенный метод будет применен для изучения свойств основного состояния двумерных списновых систем s = \ на квадратной решетке, а также S = 1 на гексагональной решетке.

Выбор объектов исследования. В настоящей диссертационной работе проводится исследование двух модельных двумерных спиновых систем: спина s = | на квадратной решетке (изотропный гамильтониан Гейзенберга в приближении ближайших соседей) и спина S = 1 на гексагональной решетке (изотропный гамильтониан Гейзенберга в приближении ближайших соседей, а также в приближении соседей, следующих за ближайшими). Выбор данных систем обусловлен следующими факторами:

• Изотропная модель Гейзенберга на квадратной решетке спина 5 = 1/2 является хорошо изученной, а для наблюдаемых (энергии связи, намагниченности, спиновых корреляционных функций) на ней получены достоверные значения при помощи методов QMC и других [1, 7, 14-16]. Таким образом, результаты, полученные для данной модели, могут быть использованы для контроля точности расчетов, выполняемых предложенным в настоящей работе методом, как на полном, так и на усеченном базисе.

• Изотропная модель Гейзенберга на гексагональной решетке спина S = 1 является простейшей моделью, описывающей свойства реально синтезированных органических двумерных магнетиков семейства F2PNNNO [17]. При этом результаты, полученные для данной модели, особенно в случае nnn-взаимодействия (фрустрированная система) являются оригинальными и не встречаются в работах, опубликованных другими авторами.

Научная новизна. В настоящей работе:

1. Сформулирован двухпроходный, полуаналитический метод точной диагона-лизации, позволяющий корректно учесть SU(2) и точечную группу симметрии исследуемого двумерного гамильтониана изотропной модели Гейзенберга произвольного спина S;

2. Предложена и опробована процедура усечения базиса при укрупнении кластера, позволяющая использовать сформулированный метод даже в случае больших систем;

3. Разработан новый способ вычисления наблюдаемых, апроксимирующий данные термодинамического предела, без использования скейлинг-анализа при обработке значений, вычисленных на конечном кластере;

4. Показано, что основное состояние двумерного АФМ (в изотропной модели Гейзенберга в приближении ближайших соседей) принадлежит сектору гильбертова пространства, соответствующему тождественному неприводимому представлению точечной группы симметрии решетки (Ai);

5. Изучены свойства основного состояния системы S = 1 на гексагональной решетке в приближении ближайших соседей (пп) и соседей, следующих за ближайшими (nnn). Показано, что в случае nn-взаимодействия имеет место качественный переход от одно- к двумерному упорядочению, который происходит в окрестности точки JijJ\ ~ 0.33, где J\ - интеграл обменного взаимодействия внутри цепочек, a J2 - между цепочками. Вычисления, сделанные в nnn-приближении, позволяют построить картину спинового упорядочения в системе с фрустрацией и сделать вывод об отсутствии скалярного кирального упорядочения.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, а также путем сравнения расчитапных свойств основного состояния с результатами других авторов (для системы s = \) и результатами, полученными методом DMRG для того же кластера (в случае системы S = 1).

Научная и практическая ценность. Используя предложенный в настоящей работе метод точной диагонализации, можно получить качественно новую информацию о состояниях низкоразмерных спиновых систем и дополнительные квантовые числа. Перечислим преимущества предложенного подхода: в отличие от QMC, метод годится для изучения систем спина s > не накладывает жестких связей на топологию решетки и величину спина, присущую ряду вариационных методов и, по сравнению с DMRG, обеспечивает доступ ко всем состояниям спектра путем последовательного перебора секторов гильбертова пространства. Использование симметрийных свойств гамильтониана позволяет построить классификацию его собственных состояний при помощи соответствующих квантовых чисел и, например, сформулировать на ее основе различные правила отбора.

Результаты, полученные для системы 5 = 1, не претендуют на высокую точность, однако являются оригинальными. В отличии от системы s = \ на квадратной решетке, данная модель гораздо менее исследована. С учетом того, что данная система является простейшей моделью реально существующего соединения, можно ожидать, что ее исследование приблизит нас к объяснению присущих ему свойств [17].

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Формулировка полуаналитического двухпроходного алгоритма точной диагонализации с учетом спиновой SU(2) и точечной симметрий гамильтониана изотропной модели Гейзенберга для двумерной системы произвольного спина, а также способ вычисления наблюдаемых, аппроксимирующий результат в термодинамическом пределе;

2. Процедура усечения базиса при укрупнении кластера, выполняемая по схеме „полный набор состояний добавляемой части плюс низколежащие состояния остова", позволяющая применять предложенный метод точной диагонализации и в случае сравнительно больших систем;

3. Результаты квантово-механического расчета свойств основного состояния спиновой системы S = 1 на гексагональной решетке в приближении ближайших соседей и в приближении соседей, следующих за ближайшими, выполненного предложенным методом точной диагонализации и двумерным алгоритмом DMRG:

• Наличие точки перехода от преимущественно одномерного упорядочения к двумерному при J2/J1 ~ 0.33.

• Нарушение коллинеарности спинового упорядочения между цепочками при его сохранении внутри них и отсутствие скалярного кирального параметра порядка во фрустрированной системе.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка цитируемой литературы, трех приложений и насчитывает 177 страниц, включая 20 рисунков и 86 библиографических ссылок.

Основные результаты опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах:

1. Синицын В.Е., Боярченков А.С., Овчинников А.С., Бострем И.Г. Двумерный гейзенберговский антиферромагнетик S = 1 с двумя типами обменных взаимодействий на гексагональной решетке: RSRG- и DMRG-анализ // ЖЭТФ. - 2005. - Т. 128. - Вып. 3(9). - стр. 549-558.

2. Boyarchenkov A. S., Bostrem I. G., Ovchinnikov A. S., and Sinitsyn V. Е. Magnetic Properties of Low-Dimensional Organic Crystals of the PNNNO Family 11 PMM. - 2006. - Vol. 101. - Suppl. 1. - P. S87-S89.

3. Бострем И.Г., Овчинников А.С., Синицын В.Е. Метод точной диагонализа-ции с сохранением полного спина и учетом точечной симметрии для двумерного изотропного гейзенберговского магнетика // ТМФ. - 2006. - Т. 49. - № 2. - Стр. 262-280.

В зарубежных научных журналах:

4. Sinitsyn V.E., Bostrem I.G., Ovchinnikov A.S. Symmetry adapted finite-cluster solver for quantum Heisenberg model in two-dimensions: a real-space renormalization approach //J. Phys. A: Math. Theor. - 2007. - Vol. 40. - P. 645-668.

В сборниках трудов конференций:

5. Синицын В.Е. Исследование основного состояния органического 2Б-анти-ферромагнетика F2PNNNO методом DMRG // Сборник трудов IV Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. - Уфа: Рио БашГУ. - 2004. - Т. 2 - с. 171-176.

6. Синицын В.Е. Реализация двумерного алгоритма RSRG с учетом пространственной и 8и(2)-симметрий // Сборник трудов Международной уфимской зимней школы-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. - Уфа: Рио БашГУ. - 2005. - Т. 4 - с. 194-197.

7. Синицын В.Е. Двумерный алгоритм RSRG с учетом пространственной и 8и(2)-симметрий на усеченном базисе // Сборник трудов VI Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. - Уфа: Рио БашГУ. - 2006. - Т. 1 - с. 235-239.

В заключении я хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук Овчинникову А.С., а также Бострем И.Г., за ценные консультации в области квантовой теории углового момента и многочисленные обсуждения, в ходе которых были предложены ключевые идеи, лежащие в основе настоящей диссертации и Синицыной Ю.А. - за помощь в оформлении диссертации.

Заключение

В настоящей диссертационной работе предлагается полуаналитический двух-проходный метод точной диагонализации с учетом спиновой 577(2) и точечной групп симметрий, предназначенный для изучения свойств низкоразмерных спиновых систем. По результатам выполнения работы можно сформулировать следующие результаты:

1. Показана эффективность предлагаемого метода, путем сравнения полученных с его помощью результатов с результатами метода QMC для хорошо исследованной системы - гайзенберговского антиферромагнетика спина s = \ на квадратной решетке (в приближении ближайших соседей). Были вычислены энергия основного состояния (в том числе, в расчете на одну связь), намагниченность, спин-спиновые корреляционные функции и векторная ки-ральность для кластеров размеров 3x3, \/l3 х л/13, л/17 х \/17 и 5 х 5. Путем прямого расчета было показано, что основное состояние соответствует тождественному неприводимому представлению точечной группы симметрии решетки.

2. Предложен способ итеративного увеличения системы до необходимых размеров - с максимальным сохранением симметрии и числа соседей, такого же как в бесконечной решетке (т.е. по координационным сферам). Изучено влияние бипартитности окружения на точность вычисления наблюдаемых и сделан вывод о ее решающем влиянии на эти величины, по сравнению с числом узлов и геометрической конфигурацией кластера.

3. Разработана процедура усечения базиса, позволяющая избежать экспоненциального роста размерности гильбертова пространства при рассмотрении больших систем. Было опробовано несколько различных схем усечения базиса и сформулированы условия, которым должен удовлетворять эффективный способ усечения: необходимо усекать только базис „остова" окружения, а добавляемую часть учитывать точно; кроме того, добавляемая часть должна иметь как можно меньше состояний (т.е., в идеальном случае, состоять из единственного узла).

Исследована сходимость наблюдаемых по мере увеличения размерности усеченного базиса и сделан вывод о том, что достаточно надежные результаты могут быть получены на базисах вполне приемлемых размерностей, доступных современной вычислительной технике.

4. Разработан способ вычисления наблюдаемых, позволяющий аппроксимировать результаты в термодинамическом пределе вычислениями на конечном кластере, не используя скейлинг-анализ.

5. Предложенный метод точной диагонализации был применен к изучению свойств гексагональной спиновой системы S = 1 в приближении пп и nnn. С его помощью была получена информация о существовании в пп-прибли-жении точки перехода от преимущественно одномерного упорядочения к двумерному, определяемой соотношением J1/J2 ~ 0.333, где J\ - интеграл внутрицепочечного, & Jo - интеграл межцепочечного взаимодействия. Для системы в nnn-приближении доказано отсутствие скалярного кирального упорядочения и прямым расчетом показано, что коллинеарность спинового упорядочения между цепочками с учетом фрустрации не сохраняется.

6. Сформулирован и реализован двумерный алгоритм DMRG для гексагональной решетки спина S = 1. С его помощью были получены результаты для энергии основного состояния, а также вычислены димер-димерные корреляционные функции, проясняющие картину „локальной структуры" основного состояния.

Диссертационная работа представляет собой завершенное и целостное исследование, однако, можно отметить следующие приоритетные направления для дальнейших изысканий:

• Предложенные алгоритм принадлежит к классу „cluster-solver", т.е. имеет дело с уединенным кластером. Таким образом, для исследования с его помощью динамических свойств, необходимо ввести в рассмотрение учет трансляционной симметрии решетки.

• Как предложенный метод, так и DMRG позволяют описать большую систему на базисе существенно меньшего размера. При этом алгоритмы построения такого базиса существенно отличаются. В связи с этим возникает вопрос о взаимосвязи между базисом DMRG, и базисом функций полного спина, отвечающим неприводимым представлениям точечной группы симметрии решетки, используемом в данном методе.

1. Manousakis Е. The spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet on a square lattice and its application to the cuprous oxides // Rev. Mod. Phys. - 1991. - Vol. 63. - P. 1-62.

2. Бострем И.Г., Боярченков А.С., Коновалов А.А., Овчинников А.С., Синицын В.Е. К вопросу о квантовом плато намагниченности в металл-органических квази-одномерных ферримагнетиках // ЖЭТФ. 2003. - Т. 124. - Вып. 2(8).- Стр. 1-11.

3. Dagotto Е. Correlated electrons in high-temperature superconductors // Rev. Mod. Phys. 1994. - Vol. 66. - P. 763-840.

4. White S.R. Density matrix formulation for quantum renormalization groups // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 69. - P. 2863-2866.

5. White S.R. Density-matrix algorithms for quantum renormalization groups // Phys. Rev. B. 1993. - Vol. 48. - P. 10345-10356.

6. Peschel I., Hallberg K, Wang X., and Kaulke M. (Eds.). Density Matrix Renormalization: a New Numerical Method in Physics. New York: Springer.- 1999. 355 p.

7. Lauehli A.M. Quantum Magnetism and Strongly Correlated Electrons in Low Dimensions. Ph.D. Diss. - Zurich. - 2002. - 113 p.

8. Schollwock U. The density-matrix renormalization group // Rev. Mod. Phys. -2005. Vol. 77. - P. 259-315.

9. Niggemann H., Kliimper A. and Zittartz J. Quantum phase transition in spin-| systems on the hexagonal lattice optimum ground state approach // Z. Phys. B. - 1997. - Vol. 104. - No. 1. - P. 103-110.

10. Ahrens M.A., Schadschneider A., Zittartz J. Exact ground states of quantum spin-2 models on the hexagonal lattice // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 71. - P. 174432 (6 pages).

11. Nishino Т., Hieida Y., Okunishi K., Maeshima N., Akutsu Y., and Gendiar A. Two-Dimensional Tensor Product Variational Formulation // Prog. Theor. Phys. 2001. - Vol. 105. - P. 409-417.

12. Y. Nishino, N. Maeshima, A. Gendiar, and T. Nishino. Tensor Product Variational Formulation for Quantum Systems // arXiv:cond-mat/0401115 2004. - 5 p.

13. Martm-Delgado M.A., Roncaglia M., and Sierra G. Stripe ansatze from exactly solved models // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 64. - P. 075117 (9 pages).

14. Farnell D.J.J. Density matrix renormalization group calculations for two-dimensional lattices: Application to the spin-half and spin-one square-lattice Heisenberg models // Phys. Rev. B. 2003. - Vol. 68. - P. 134419 (7 pages).

15. T. Barnes. The 2D Heisenberg Antiferromagnet In High-Tc Superconductivity: A Review of Numerical Techniques and Results // J. Mod. Phys. C. 1991. - Vol. 2. - No. 2. - P. 659-709.

16. Lin H.-Q., Flynn J.S., Betts D.D. Exact diagonalization and quantum Monte Carlo study of the spin-1/2 XXZ model on the square lattice // Phys. Rev. B. -2001. Vol. 64.

17. Hosokoshi Y., Nakazawa Y., Inoue K. Magnetic properties of low-dimensional quantum spin systems made of stable organic biradicals PNNNO., F2PNNNO, and PIMNO // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 60. - P. 12924-12932.

18. Zeng C., Farnell D.J.J., and Bishop R.F. An Efficient Implementation of High

19. Order Coupled-Cluster Techniques Applied to Quantum Magnets // J. Stat. Phys.- 1998. Vol. 90. - P. 327-361.

20. White S. R. and Huse D. Numerical renormalization-group study of low-lying eigenstates of the antiferromagnetic S = 1 Heisenberg chain // Phys. Rev. B. -1993. Vol. 48. - P. 3844-3852.

21. Sierra G. and Nishino T. The Density Matrix Renormalization Group Method applied to Interaction Round a Face Hamiltonians // Nucl. Phys. B. 1997. -Vol. 495. - No. 3. - P. 505-532.

22. McCulloch I.P., Gulasci M. Density matrix renormalisation group method and symmetries of the Hamiltonian // Aust. J. Phys. 2000. - Vol. 53. - No. 4. - P. 597-612.

23. LP. McCulloch, M. Gulasci. The Non-Abelian Density Matrix Renormalization Group Algorithm // Europhys. Lett. 2002. - Vol. 57. - No. 6. - P. 852-858.

24. Ostlund S. and Rommer S. Thermodynamic Limit of Density Matrix Renormalization // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 75. - P. 3537-3540.

25. Rommer S. and Ostlund S. Class of ansatz wave functions for one-dimensional spin systems and their relation to the density matrix renormalization group // Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 55. - P. 2164-2181.

26. Dukelsky J., Martin-Delgado M.A., Nishino Т., and Sierra G. Equivalence of the variational matrix product method and the density matrix renormalization group applied to spin chains // Europhys. Lett. 1998. - Vol. 43. - No. 4. - P. 457-462.

27. Roman J.M., Sierra G., Dukelsky J., and Martin-Delgado M.A. The matrix product approach to quantum spin ladders // J. Phys. A. 1998. - Vol. 31.- No. 48. P. 9729-9759.

28. Lanczos С., An Iteration Method for the Solution of the Eigenvalue Problem of Linear Differential and Integral Operators //J. Res. Natl. Bur. Stand. 1950. -Vol. 45. - P. 255-282.

29. E. Davidson, The iterative calculation of a few of the lowest eigenvalues and corresponding eigenvectors of large real-symmetric matrices //J. Сотр. Phys. -1975. Vol. 17. - P. 87-94.

30. Davidson E., Monster Matrices: Their Eigenvalues and Eigenvectors // Computers in Physics. 1993. - Vol. 7. - No. 5. - P. 519-522.

31. Betts D.D., Masui S., Vats N., and Stewart G.E., Improved finite-lattice method for estimating the zero-temperature properties of two-dimensional lattice models // Can. J. Phys. 1996. - Vol. 74. - P. 54-64.

32. Senechal D., Perez D., and Pioro-Landviere. Spectral Weight of the Hubbard Model Through Cluster Perturbation Theory // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - P. 522-525.

33. Potthoff M., Aichhorn M., and Dahnleen C. Variational Cluster Approach To Correlated Electron Systems In Low Dimensions // Phys. Rev. Lett. 2003. -Vol. 91. - P. 206402 (4 pages).

34. H.Q. Lin, D.K. Campbell, Y.C. Cheng, and C.Y. Pan, A Renormalization Group Analysis of Long-Range-Order in the 2-D Antiferromagnetic Heisenberg Model // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 50. - P. 12702-12710.

35. Wilson K.R. The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem // Rev. Mod. Phys. 1975. - Vol. 47. - P. 773-840.

36. Drell S.D., Weinstein M., Yankielowicz S. Quantum field theories on a lattice:

37. Variational methods for arbitrary coupling strengths and the Ising model in a transverse magnetic field // Phys. Rev. D. 1977. - Vol. 16. - P. 1769-1781.

38. Jullien R., Pfeuty P., Fields J.N., Doniach S. Zero-temperature renormalization method for quantum systems. I. Ising model in a transverse field in one dimension // Phys. Rev. B. 1978. - Vol. 18 - P. 3568-3578.

39. Bray J. W. and Chui S. T. Electron localization and delocalization in the one-dimensional Tomonaga model with backscattering and impurities // Phys. Rev. B. 1979. - Vol. 19. - P. 4020-4022.

40. Chui S. T. and Bray J. W. Computer renormalization-group technique applied to the Hubbard model // Phys. Rev. В (Solid State). 1978. - Vol. 18. - P. 2426-2430.

41. Hirsh J. E. Renormalization-group study of the Hubbard model // Phys. Rev. B.- 1980. Vol. 22. - P. 5259-5266.

42. Lee P. A. Real-Space Scaling Studies of Localization // Phys. Rev. Lett. 1979.- Vol. 42. P. 1492-1494.

43. Malrieul J.-P. and Guihery N. Real-space renormalization group with effective interactions // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 63. - P. 085110 (10 pages).

44. Hajj M.A., Guihery N., Malrieu J.P., and Wind P. Theoretical studies of the phase transition in the anisotropic two-dimensional square spin lattice // Phys. Rev. B.- 2004. Vol. 70. - P. 094415 (6 pages).

45. Wind P., Guihery N., and Malrieu J.P. Approximation of an infinite periodic system by a self-consistent embedding of a finite cluster:The dressed-cluster method // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 59. - P. 2556-2563.

46. Bishop R.F., Parkinson J.B., and Xian Y. Many-body correlations in quantum antiferromagnets: A microscopic coupled-cluster approach // Phys. Rev. B. -1991. Vol. 43. - P. 13782-13785.

47. Bishop R.F., Hale R.G., and Xian Y. Systematic Inclusion of High-Order Multispin Correlations for the Spin-1/2 XXZ Models // Phys. Rev. Lett. 1994.- Vol. 73. P. 3157-3160.

48. Sandvik A.W. Finite-size scaling of the ground-state parameters of the two-dimensional Heisenberg model // Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 56. - P. 11678-11690.

49. Croo de Jongh, M. S. L. Density Matrix Renormalisation Group Variants for Spin Systems // arXiv:cond-mat/9908200vl. 1999. - 127 p.

50. Liang S. and Pang H. Approximate diagonalization using the density matrix renormalization-group method: A two-dimensional-systems perspective // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 49. - P. 9214-9217.

51. Xiang Т., Lou J.Z., and Su Z.B. Two-dimensional algorithm of the density-matrix renormalization group // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 64. - P. 104414 (6 pages).

52. McCulloch I. P., and Gulacsi M. Total spin in the density matrix renormalization group algorithm // Philos. Mag. Lett. 2001. - Vol. 81. - No. 6. - P. 447-453.

53. Tatsuaki W. Interaction-round-a-face density-matrix renormalization-group method applied to rotational-invariant quantum spin chains // Phys. Rev. E.- 2000 Vol. 61. - P. 3199-3206.

54. Yang C. N., and Zhang S. C. SOA Symmetry In A Hubbard Model // Mod. Phys. Lett. B. 1990. - Vol. 4. - No. 11. - P. 759-766.

55. Lin H.-Q., Campbell D.K. Long-range order in the 2D antiferromagnetic Heisenberg model: A renormalization perspective // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 69. - P. 2415-2418.

56. Mermin N.D. and Wagner H. Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models // Phys. Rev. Lett. -1966. Vol. 17. - P. 1133-1136.

57. Waldtmann C. et al., First excitations of the spin 1/2 Heisenberg antiferromagnet on the kagome lattice // Eur. Phys. J. B. 1998. - Vol. 2. - No. 4. - P. 501-507.

58. Fouet J.-B., Sindzingre P., and Lhuillier C. An investigation of the quantum J1-J2-J3 model on the honeycomb lattice // Eur. Phys. J. B. 2001. - Vol. 20. -No. 2. - P. 241-254.

59. Trivedi N. and Ceperley D. Ground-state correlations of quantum antiferromagnets: A Green-function Monte Carlo study // Phys. Rev. B. -1990. Vol. 41. - P. 4542-4569.

60. Shender E.F. Antiferromagnetic garnets with fluctuationally interacting sublattices // JETP. 1982. - Vol. 56. - P. 178-184.

61. Zhitomirsky M.E. and Ueda K. Valence-bond crystal phase of a frustrated spin-1/2 square-lattice antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54. - P. 9007-9010.

62. Shastry B. and Sutherland B. Exact ground state of a quantum mechanical antiferromagnet // Physica B. 1981. - Vol. 108. - P. 1069-1070.

63. Anderson P. Resonating valence bonds: A new kind of insulator? // Mater. Res. Bull. 1973. - Vol. 8. - P. 153-160.

64. Liang S., Doucot В., and Anderson P.W. Some New Variational Resonating-Valence-Bond-Type Wave Functions for the Spin-1/2 Antiferromagnetic

65. Heisenberg Model on a Square Lattice // Phys. Rev. Lett. 1988. - Vol. 61. - P. 365-368.

66. Moessner R. and Sondhi S.L. Resonating Valence Bond Phase in the Triangular Lattice Quantum Dimer Model // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 1881-1884.

67. Nayak C. and Shtengel K. Microscopic Models of 2D Magnets with Fractionalized Excitations // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 64. - P. 064422 (7 pages).

68. Rokshar D. and Kivelson S. Quasiparticle Statistics in Time-Reversal Invariant States // Phys. Rev. Lett. 1988. - Vol. 61. - P. 2376-2379.

69. Moessner R., Sondhi S.L., and Chandra P. Two-Dimensional Periodic Frustrated Ising Models in a Transverse Field // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - P. 4457-4460.

70. Moessner R., Sondhi S.L., and Fradkin E. Short-ranged RVB physics, quantum dimer models and Ising gauge theories // arXiv:cond-mat/0103396. 2001. - 16 P

71. Parola A., Sorella S., and Zhong Q. Realization of a spin liquid in a two dimensional quantum antiferromagnet // Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol. 71. - P. 4393-4396.

72. Thouless D. Exchange in solid He3 and the Heisenberg Hamiltonian // Proc. Phys. Soc. 1965. - Vol. 86. - P. 893-904.

73. Misguich G., Lhuillier С., B. Bernu, and C. Waldtmann. Spin-liquid phase of the multiple-spin exchange Hamiltonian on the triangular lattice // Phys. Rev. B. -1999. Vol. 60. - P. 1064-1074.

74. Бострем И.Г., Овчинников А.С., Синицын В.Е. Метод точной диагонализации с сохранением полного спина и учетом полного спина и учетом точечной симметрии для двумерного изотропного гейзенберговского магнетика // ТМФ. -2006. Т. 49. - № 2. - Стр. 262-280.

75. Betts D.D., Lin H.Q., Flynn J.S. Improved Finite-Lattice Estimates Of The Properties Of Two Quantum Spin Models On The Infinite Square Lattice // Can. J. Phys. 1999. - Vol. 77. - P. 353-369.

76. Koster G.F., Dimmock J.O., Wheeler R.G. and Statz H. Properties of the Thirty Two Point Groups. Cambridge: M.I.T. Press. - 1963. - 104 p.

77. Варшалович Д.А., Москалев A.H., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. JL: Наука. - 1975. - 439 с.

78. Lieb Е.Н. and Mattis D.C. Ordering Energy Levels of Interacting Spin Systems // J. Math. Phys. 1962. - Vol. 3. - P. 749-751.

79. G.S. Griffith. The Irreducible Tensor Method for Molecular Symmetry Groups. -New York: Dover Publications. 2006. - 144 p.

80. Sinitsyn V.E., Bostrem I.G., Ovchinnikov A.S. Symmetry adapted finite-cluster solver for quantum Heisenberg model in two-dimensions: a real-space renormalization approach // J. Phys. A: Math. Theor. 2007. - Vol. 40. - P 645-668.

81. Hasenfratz P. and Niedermayer F. Finite size and temperature effects in the AF Heisenberg model // Z. Phys. B: Condens. Matter. 1993. - Vol. 92. - No. 1. -P. 91-112.

82. Zheludev A., Garlea V. O., Nishihara S., Hosokoshi Y., Cousson A., Gukasov A., and Inoue K. Spin-density distribution in the partially magnetized organicquantum magnet F2PNNNO // Phys. Rev. B. 2007. - Vol. 75. - P. 104427 (4 pages)

83. Tsujii H., Andraka В., Hosokoshi Y., Inoue K., Takano Y. Magnetic phase diagram os the quasi-two-dimensional 5 = 1 antiferromagnet F2PNNNO // J. Mag. and Mag. Mat. 2007. - Vol. 310. - P. 415-417.

84. Boyarchenkov A. S., Bostrem I. G., Ovchinnikov A. S., and Sinitsyn V. E. Magnetic Properties of Low-Dimensional Organic Crystals of the PNNNO Family // PMM. 2006. - Vol. 101. - Suppl. 1. - P. S87-S89.

85. Sindzingre P., Lhuillier C., Fouet J.-B. Quantum Phases In Two-Dimensional Frustrated Spin-1/2 Antiferromagnets // arXiv:cond-mat/0U0283vl. 2001. -9 p.

86. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing Cambridge: Cambridge University Press. - 1992. - 934 p.

87. Петрошень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.:Наука. - 1967. - 308 с.

88. Эллиотт Дж., Добер П. Симметрия в физике. М.:Мир. - 1983. - Т. 1. - 368 с.