Метод возмущений в решении одного класса задач упрочняющегося упругопластического тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГВ од

На правах рукописи

- 5 ИЮИ 1991з

Ковалев Алексей Викторович

ЙЩ)Д ВОЗМУЩЕНИЙ В РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ УПРОЧШЩЙГОСЙ УПРУШШЯШШЮГО

ш

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого

твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1УУ5

Работа выполнена в Воронежском "государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор л.Н.Спорыхин

Официальные оппоненты: доктор фкзикз-цатематических

наук,профессор Ю.В.Немировсккй

кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Шашкин

Ведущая организация - Воронежский научно-исследователь-

сяий институт автоматизированных средств производства и контроля.

/') л

Защита состоится " - £ " _ 1^95 г,

( л

в ^ часоз на заседании диссертационного совета К 0d3.4c.i3 при Воронежском государственном университете по адресу: ЗУ4с^З, г.Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ''_/£'' 199Ь г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А.Артемов

ОВШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена построению метода приближенного решения упругопластических задач теории течения при анизотропном произвольном упрочнении, разработанный алгоритм базируется на идее разложения всех функций по малому параметру, если он входит в математическую модель рассматриваемого процесса.

Актуальность темы. Необходимость предсказания поведения различных конструкций из металлов, грунтов и т.п. требует разработки более сложных математических моделей, описывающих с достаточной степенью точности процессы и явления. Естественно, возникает необходимость разработки методов, позволяющих производить расчеты по моделям. Так, например, ряд материалов в процессе упругопластического деформирования проявляет упрочнение, с учетом которого существенно усложняются расчеты.

В настоящее время кет универсальных методов решения задач упрочняющегося упругопластического тела. Если в теории идеально: пластичности разработан ряд эффективных методов решения задач, то в теории упрочняющегося упругопластического тела эти методы развиты в значительно меньшей мере. Несмотря на то, что разрабо тан ряд численных методов, для решения неодномерных задач теори течения важное значение имеет разработка методов, дающих приближенно е решение в виде сравнительно простых аналитических выра жений. развитие доследований в этом направлении связано с имена ми М.Т.Алишсанова, М.А.Артемова, Г.И.Быковцева, М.Ван Дайка, С.А.Вульмана, А.Н.Гузя, Г.Д.Деля, Б.А.Друянова, Д.Д.Ивлева, А.А.Ильюшина, А.Ю.Ишлинского, Д.Д.Клшникова, ю.В.Немирозского, А.Х.Найфе, В.Прагера, С.С.Одинга, А.Н.Спорыхина, Г.П.Черепанове и др.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом

научно-исследовательских работ кафедры теоретической и.прикладной механики.Воронежского государственного университета в рамках темы "Разработка фундаментальных математических моделей я эффективных численных методов решения статических и динамических задач механики течения и деформирования сред сложной структуры" (код до ГАСНИТИ 50.53/08).

Даль работы заключается в разработке метода приближенного решения плоских задач теории течения анизотропно-упрочняющегося упругопластического тела и определении в рамках модели Ишлинского-Прагера с произвольным коэффициентом упрочнения поля напряжений и перемещений в задачах I.А.Галина с круговым или эллиптическим или близким по форме к правильному многоугольнику отверстием.

Научная новизна диссертационной раооты состоит в том, что впервые для анизотропно-упрочняющегося упругопластического тела в райках модели йалйнского-Лрагера с произвольным коэффициентом упрочнения:

- получены линеаризированные уравнения;

- развит подход, сводящий решение сложных задач.теории течения с произвольным упрочнением к последовательному решению менее сложных задач этой теории и построен алгоритм их решения;

- решены з рамках плоской деформации задачи Л.А.Галина о двухосном растяжении пластин, ослабленных круговым или эллиптическим или близким к правильному многоугольнику отверстием:

- получены расчетные формулы для вычисления значений величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние в этих задачах.

Практическое значение. Развитый алгоритм решения позволяет определять поле напряжений и перемещений в упругой и пластической зонах, положение упругопластической границы при реше-

нии задачи теории течения в рамках модели Иылинского-Прагера с произвольным коэффициентом упрочнения; оценить различие в решениях задач в рамках теории течения и деформационной теории.

достоверность. Проведенные в данной диссертационной работе исследования базируются на методе возмущений, использование которого в решении многих задач механики сплошных сред, включая задачи теории плстичности, показало его высокую эффективность. Достоверность полученных автором результатов подтверждается ап-робированностью используемых моделей механики сплошных сред и сопоставлением полученных результатов с уже известными.

На защиту выносятся следунцие основные результаты работы:

- в рамках метода малого параметра развит подход к решению плоских задач для анизотропно-упрочняющегося упругопласти-ческого тела модели Кшлинского-Прагера с произвольным упрочнением;

- разработан новый алгоритм решения задач типа Л.А.Галина, который может служить, с одной стороны, апробацией метода, а с другой - ориентиром для сравнения различных теорий;

- решены задачи Л.А.Галина о растяжении пластин с отверстиями различных очертаний;

- обоснована эффективность предложенного подхода к исследованию рассмотренных плоских задач;

- выявлено влияние механических параметров, внешних нагрузок, геометрии контура отверстия на распространение пластической зоны в рассмотренном классе задач.

Апробация. Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались:

- на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 1992-1995 гг.;

- на научных сессиях Воронежского государственного университета 1993-1995 гг. ; ---------

- на школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронен, 1992 г.);

- на научной конференции "Информационные технологии и системы. Технологические задачи механики сплошных сред" (Воронеж, 1994 г.);

- на аколз "Современные проблемы механики и математической физики" (Воронеж, 1994 г.);

- на школа-симпозиуме "Современные методы теории функций и смежные проблемы математики и механики" (Воронеж, 1995 г.);

- на Белорусском учредительном конгрессе по теоретической и прикладной механике ",механика~95" (Микозе, 1995 г.):

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глаз ( 12 параграфов), заключения и списка литературы, включающего 140 наименований, работа содержит 93 листа машинописного текста, включая 6 рисунков.

СОдаЕсЖШ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ, касающихся темы диссертации, обоснована актуальность теш рассматриваемой работы к изложено краткое ее содержание.

Первая глава посвящена разработке метода решения задач для анизотропного упрочнящегося улругопластического тела в рамках модели йшлинского-Прагера с произвольным упрочнением.

Приведены соотношения теории течения упрочнящегося улругопластического тела, используемые в работе при описании его

механического поведения:

- уравнение равновесия в напряжениях

Ц|0 = о; (I)

- соотношения, связывающие полные, упругие.и пластические деформации

Ц е * е£ ; (2 )

(символы " е. " и " р " обозначают принадлезшость величин к пластическому или упругому состоянию, соответственно);

- соотношения: закона Гука, связывающие напряжения и упругие деформации

( С{ - модуль сдвига; У - коэффициент Пуассона);

- уравнение поверхности нагружения

( Хк~ параметр упрочнения, являщийся постоянным при фиксированных ; К с, - постоянная материала);

- соотношения ассоциированного закона пластического течения

(5)

( (/¿А - скалярный положительный множитель);

- соотношения коши, связывающие компоненты тензора деформаций и вектора перемещений

«¡¿ = ¿(^♦11^); <в>

- граничные условия в напряжениях

к] а; = рг. (?)

на части поверхности, где заданы усилия .--компоненты ~ "

вектора-нормали) и" граничные условия для перемещений

Ц1=1и* (8)

на части поверхности, где известны перемещения ili ;

- условие непрерывности векторов напряжений и перемещений на упругспластической границе

|)и] = о. (э)

Соотношения ( I ) - ( 9 ) с учетом условия пластической несжимаемости представляют замкнутую систему уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние упрочняющегося уп-ругопластического тела.

Проводится линеаризация по малому параметру определшдих соотношении ( I ) - ( 9 ), приведенных выхе. Все функции представляются з виде рядов по степеням параметра

е$>. е £ л1"',

(¿«0.(10 >

В этом случае уравнение поверхности нагружения и ассоциированный закон течения в общем виде представлены следующим образом:

для нулевого приближения ( П. = О )

Ъ) ' ( II )

для всех последующих приближений ( П> I )

л о* <с л хм/1£_Уп-т), рМ <12 >

Конкретизация соотношений ( II ) и ( 12 ) проведена для функции нагружения, предложенной А.Ю.Ишлинским и В.Прагером

(¿^-е^Х^-се^-Ак*, < и )

где С - произвольный параметр, характеризующий упрочнение материала .

Далее величины, имеющие размерность напряжения, отнесены к пределу пластичности при чистом сдвиге К и сохранены их прек-ние обозначения.

В цилиндрической системе координат для случая плоско-деформированного состояния для функции нагружения ( 13 ) выведены согласно ( II ) и ( 12 ) .линеаризированные уравнения = 0).

ъ&

Линеаризированная функция нагружения

- ¿?> = (14)

где

2и+гее;

Ассоциированный закон пластического течения

с»)

о

гдй

< - С+1 [г-

•л п ~

(; )М о„пр(-т)] vi

~<bz J ^д(о) J 2 '

Далее вводится з рассмотрение функция напряжений 3 по

юрмулам

,с»ц ЭэСи), i ) «у Ъ

( re )

I функция тока ЦЛ*'

i f i , ) I ^U/W

> { 17 }

Подставляя в ( 14 ) выражение для напряжений через функ-дао Э > получаем гиперболическое уравнение для определения Ьункции _ ,.

i ээ« 1 ^ ф(п) 'г'"1^"* z1' Ъ&ъ 5 т * 1 18 ;

Переходя от Э^к формулам ( 16 ), получим выра-

жение для напряжений в пластической области. Константы определяются из граничных условий, скосил-ых на невэзмуеенку» границу. Б упругой зоне напряжения и перемещения определяются следуя Д.Д.Квлеву.

Перемещения в пластической зоне определяются ло следующей схеме. Введенную функцию тока ^^подставляем в соотношения Коыи ( 6 ). Затем с учетом { 2 ) первое уравнение ( 15 ) принимает вид ^

■MU.ML L$s£. ? Г[йм JM ,±7м , Т9 .

W г1 W^PwM ' 19 >

о

Второе уравнение ( 15 ), являющееся условием пластической несжимаемости, за счет введения функции удовлетворяется

автоматически.

Из уравнения ( 19 ) определяются функция и по формулам ( 17 ) перемещения в пластической зоне.

Разработанный алгоритм, позволяющий получить решение уп-ругопластической задачи для каждого приближения, применяется к решению задач типа Галина.

Во второй главе в рамках плоской деформации решены задачи о двухосном растяжении толстых пластин, ослабленных круговым или эллиптическим или близким к правильному многоугольнику отверстием.

В качестве нулевого приближения выбирается осесимметричное состояние плоскости с круговым отверстием. При этом в пластической области свойства материала описываются моделью Ишлинского-Прагера с произвольным коэффициентом упрочнения. Расчетная схема представлена на рис. I.

Рис. I.

Решения для нулевого приближения взяты в форме: в пластической зоне

в упругой зоне ¿г.- >" ~+ > ^

ГУ

•г®-0- ( 21 )

При этом радиус упругопластической границы удовлетворяется из уравнения

е

{ 22 )

Решение задач для каждого из вариантов отверстий (ряс. 2, где I - отверстие круговое: 2 - эллиптическое; 3 - правильный лногоугольник ) строится в рамках активного процесса нагружения а предполагается, что пластическая зона полностью охватывает контур отверстия.

I * I

р,

КГ у.

я

я

Рис. 2.

При этом, как и вше (глава I), все величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к пределу текучести К , а имеющие размерность длины - к радиусу упругопластической границы в кулевом приближении X. •

Малый параметр вводится следующим образом: - для кругового отверстия

гк т'

- для эллиптического отверстия { эллипс с полуосями

а(<+ оЦ и с<(<(-о1)

- для отверстия, близкого по форме к правильному многоугольнику и описываемого уравнениями гипоциклоиды

малый параметр вводился

0 п:>

где и (д. ограниченные величины.

На бесконечности все три исследуемые задачи имеют одинаковые граничные условия

На контуре отверстия граничные условия сносятся на невозмущенную границу X. ~ (X и определяются для каждой задачи отдельно.

Следуя разработанному в главе I алгоритму, для нахождения решения в первом приближении используется итерационный процесс и определяются две итерации. Тогда напряженно-деформированное- состояние имеет вид:

- в пластической зоне

¿у=е(2©); (24

иI < 25

- в упругой зоне

¿1}к^йк^М < 26

III+ М^) к(20)-(&). -- >""

Все функции ^ , | а Ц известны и определены. Б приведенных формулах индекс указывает на номер за-[ачи: <А - I - задача о круговом отверстии; с< = 2 задача

)б эллиптическом отверстии и сА = 3 - задача о многоуголъни-* ,

г.е; I , ] =1,2. Кроме того,

Первой итерации.

, Заметим, как следует из ( 24 ) напряжения в пластической области для первой итерации не зависят от нагрузки ка бесконечности. Этот факт является следствием статической определимости задач в пластической зоне к того, что все граничные условия формулируются на свободной границе, из анализа решения также следует, что в случае ^ = I поле напряжений в пластической зоне осасимметшчно I, г\~ О. что является следствием граничных условии, ^ля сА = 2 и 3 ¿х«(0 ^ ^Щф ь' 'и тогда выражения ( 25 ) для перемещений в пластической зоне будут одинаковыми как в случае их нахождения по теории течения, так и б случае использования деформационной теории. Во второй итерации соотношения для определения полей напряжений и перемещений имеют вид аналогичный ( 24 ) - ( 2? )• При этом в правую часть ( 24 ) добавляется слагаемое Н^,^) , обусловленное влиянием внешней нагрузки. Однако во второй итерации выражения для перемещений не будут совпадать с выражениями,полученными по деформационной теории.

Для всех трах задач выведены уравнения для определения задиуса упругопластической границы. Так,в случае эллиптического

отверстия ( с1 = 2 ) выражение для радиуса упругопластичес-кой границы имеет вид

4• < га )

Откуда при С<£<1 приходим к результатам работ М.А.Ар-темова. Это верно и в случае = I. Во второй итерации радиус упругопластической границы найден в виде

где ^(еД^аУ-О при = I.

Из выражений ( 28 ) и ( 29 ) следует, что на форму упругопластической границы значительное влияние оказывает возмущение границы внутреннего контура. Полагая упрочнение С = О ( 24) - { 29 ), в случаях с/ = I и 2 приходим к известным решениям Д.Д.Излева, а в случае с>4 = 3 к решению Н.С.Мукашева.

Анализ численного эксперимента показал удовлетворительную сходимость метода итераций в данном классе задач, что для материалов типа "сталь Ст.З" упрочнение не оказывает существенного влияния на положение упругопластической зоны и что уп-ругопластическая граница при С. ^ 0 частично "поглощает" уп-ругопластическую границу при £ = 0 только в случае задачи

оС = з.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ •

В рамках теории возмущений предложен метод, позволяющий получить приближенное решение ряда задач теории течения упрочняющегося упругопластического материала, проявляющего произвольное упрочнение:

- показано, что использование метода малого параметра в

еории течения упругопластического тела позволяет-свести" реше-иеисходных-нелинейных" уравнений к последовательному решению инейнкх систем уравнений ( кроме нулевого приближения);

- показано, что в случае произвольного упрочнения исполь-ювание итерационного процесса в методе малого параметра при >ассмо?ренки плоской задачи позволяет перейти ог решения статически неопределимой задачи к последовательному реаению статичес-::: опрэделимкх задач;

- установлено, что интегрирование линеаризированных соот-юшений ассоциированного закона пластического течения можно вы-юлнить при условии, если производная от невозмущенной функции шгружения не зависит от параметра нагружения;

- построены линеаризированные уравнения глодали Излинского-Iparepa;

- изложен алгоритм решения плоской задачи теории течения знизотропно-упрочнящегося тела, при этом за нулевое приближение принималось осескмметричкое состояние плоскости с круговым отверстием;

- решены задачи Л.А.Галина о двухосном растяжении пластины с круговым отверстие,« или эллиптическим или близким по форме к правильному многоугольнику { найдено два приближения ):

- проведено сопоставление полученных решений с решениями аналогичных задач для идеального пластического .материала и выявлены особенности предложенного алгоритма.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ

I. Артемов М.А., Ковалев A.B. О локальной неустойчивости в задаче Галина для сложной среды / Современные методы в теории краевых задач : Тез. докл. школы. - Воронеж, ун-т. - Воронеж, 1992. - С.7.

2. Артемов М.А., Ковалев A.B., Спорыхин А.Н. Метод возм; щений в одном классе упругопластических задач с произвольным упрочнением / Воронеж, ун-т. - Воронеж, 1995. - 30 о. - Деп. з ВИНИТИ. 14.03.95, * 685-В95.

3. Ковалев A.B. Метод возмущений в одном классе упруго-пластических задач с произвольным упрочнением / Современные ш тоды теории функций и смежные проблемы математики и механики: Тез. докл. мевдунар. школы-симпозиума, Воронеж, ун-т. - Ворон« 1995. - С. 122.

4. Ковалев A.B., Подболотова Н.В. Об одном методе решеш задач Галина / Белорусский конгресс по теоретической и приклад ной механике "Механика-95" : Тез. докл. - ИЩС АНБ, Инфотрибо, Гомель, 1995. - С. 122-123.

5. Спорыхин А.Н., Чиканова H.H., Ковалев A.B. К определи ние> псля напряжений в пластинах с отверстиями различных очерте ний / Информационные технологии и системы : Воронеж, технолог, ин-т. - Воронеж, 1994.-Ч. 3. - С. 11-15.

6. Чиканова H.H., Ковалев A.B. Применение Т<Ш к определению поля напряжений в пластине с эллиптическим включением / Современные проблемы механики и математической физики : Тез. докл. школы.-Воронеж, ун-т. - Воронеж, 1994. - С. 107.

Заказ 183 от 18.5.95 г. Тир. 100 зкз. Формат 60 X 90 I/I6. Объем I п.л. Офсетная лаборатория В1У.