Деформирование и устойчивость упругопластических тел с возмущенными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

О _____ .

' ' На правах рукописи

Ж"

ПЕТРОВ Николай Ильич

ДЕФОРМИРОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГШАСШЧЕСКИХ ТЕЛ С ВОЗМУЩЁННЫМИ ГРАНИЦАМИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула - 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа Чувашского государственного педагогического института имени И .Я. Яковлева.

Научный руководитель - Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Ивлев Д.Д.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Матченко Н.М.

Ведущая организация: Воронежский государственный университет.

Защита состоится "/7" октября 1997. г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д063.47.07 при Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула,ГСП, пр. Ленина, 92, 9 учебный корпус, аудитория 101

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан " 5 " сентября 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических

кандидат технических наук,

ст. научный сотрудник Редько А.А.

наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Вопросы определения предельных состояний упругопла-стических тел и устойчивости элементов конструкций за пределом упругости принадлежат к числу актуальных в машиностроении, строительной механике, горной механике и т.д.

Методы исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости упругопластических тел имеют многочисленные приложения в инженерной деятельности. Решение задач на основе теории малых упругопластических деформаций связано с решением сложных нелинейных уравнений и связаны со значительными математическими трудностями.

Линеаризация уравнений по малому параметру позволяет получить приближенные аналитические решения с требуемой точностью. Наряду с широко распространенным классом решений тригонометрического вида и специальных функций, решения рассматриваемого круга задач могут быть определены и в виде полиномов.

Целью работы является приблженное аналитическое решение задач теории малых упругопластических деформаций и задач об устойчивости упругопластических тел на основе введения малой величины, характеризующей возмущение геометрических граничных условий.

Научная новизна полученных результатов:

— разработан алгоритм определения полиномиальных решений линеаризированных задач теории малых упругопластических деформаций;

— исследовано деформированное состояние упругопла-стических тел с возмущенными границами по теории малых упругопластических деформаций на основе полиномиального решения;

— проведен анализ устойчивости статической потери устойчивости тел по трехмерной теории;

— исследована потеря устойчивости толстостенной трубы из идеального упругопластического материала.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при расчете напряженно-деформируемых состояний и при расчете критических нагрузок устойчивости твердых деформируемых тел.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач и методов их решения.

Апробация работы

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на:

— семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПИ, 1996-1997);

— Всероссийском семинаре "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (Чебоксары, 1996).

Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].

Огруктура И объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих пять параграфов, заключения, списка использованной литературы, включающем 59 наименования, и содержит 46 страниц текста с рисунками.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Работа посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния и устойчивости упругопластических тел с возмущенными границами.

Метод возмущений для решения задач жесткопластиче-ского анализа применили Е. Онат и В. Прагер. Они определили поля напряжений и скоростей перемещений для растягиваемой полосы, ослабленной пологими выточками. Задача о течении полосы из идеального жесткопластическо-го материала при малых возмущениях границы является частным случаем задачи А.Ю. Ишлинского о течении вяз-колпластической полосы. Позднее А.Ю. Ишлинский дал-непосредственное решение этой задачи, представив решение в виде тригонометрических рядов.

Дальнейшее развитие метод малого параметра получил в работах Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова. Они получили общие соотношения для плоских и осесимметричных задач теории идеальной пластичности и теории малых упругопластических деформаций. Был решен ряд конкретных задач: о вдавливании тонкого тела в жесткопластическую среду, о деформировании конической, эллиптической, искривленной труб, находящихся под действием нормального давления, о двуосном растяжении толстой и тонкой пластины с круговым и эллиптическим отверстием и др.

Решение ряда задач по определению деформированного и напряженного состояний плоских, осесимметричных и пространственных тел, полученные методом малого параметра, приводится в работах С.А. Вульман, В.В. Кузнецова, Ю.М. Марушкей, А.П. Харченко, Т.Д. Семыкиной,

М.А. Артемова и Д.Д. Ивлева, М.В. Михайловой, T.JI. Захаровой, Т.И. Рыбаковой, A.M. Васильевой, В.Г. Ефремова.

В 1908 г. JI.C. Лейбензон рассмотрел устойчивость сжатой пластины и полого шара (оболочки) под действием равномерного внешнего давления методом математической теории упругости с учетом дополнительного искривления границы.

Р.В. Саусвелл в 1913 г. получил уравнения трехмерной теории устойчивости упругих тел при малых докритиче-ских деформациях.

A.A. Ильюшин в лагранжевых, а затем А.Ю. Ишлинский в эйлеровых координатах рассмотрели задачи об устойчивости течения вязкопластических тел при малых возмущениях границы.

A.M. Жуков рассмотрел устойчивость растягиваемой полосы и круглого стержня по теории малых упругопластиче-ских деформаций.

Одна из первых работ по определению устойчивости полосы с учетом углов поворота была выполнена J1.B. Ершовым и A.A. Калужиным. Решение ряда задач теории устойчивости в постановке Лейбензона-Ишлинского приведено в монографии Л.В.Ершова и Д.Д.Ивлева. Цикл работ по трехмерной теории устойчивости упругопластических тел был выполнен И.Д. Легеней.

Обзор работ в области трехмерной теории устойчивости твердых деформируемых тел дан А.Н.Гузем, И.Ю.Бабичем и Е.Н.Спорыхиным.

Постановка Лейбензона-Ишлинского в отличие от постановки потери устойчивости, данной Р.В. Саусвеллом, Р. Каппусом, как отмечал А.Н. Гузь, приводит к более

"жесткому" поведению материала во втором приближении. Обоснованию постановки Лейбензона-Ишлинского посвящена работа Л.И. Балабуха и М.Г. Яковенко.

Первая глава содержит три параграфа, посвященных решению задач теории малых упругопластических деформаций. Линейные уравнения теории упругости допускают полиномиальные решения. С.П. Тимошенко в монографии "Теория упругости" привел решение плоских задач теории упругости в полиномах. Полиномиальные решения получены Ивлевым Д.Д. и Ершовым Л.В. для линеаризированных задач определения напряженно-деформированного состояния конических труб. Ивлев Д.Д. и Захарова Т.И. определили класс полиномиальных решений в случае плоской ли-неризованной задачи теории идеальной пластичности в полярных координатах. В данной главе разработан алгоритм определения полиномиальных решений линеаризированных уравнений теории малых упругопластических деформаций на примере плоской и осесимметричной задач.

В §1.1 линеаризируются соотношения плоской задачи теории малых упругопластических деформаций в полярных координатах г, 0. В итоге решение поставленных задач сводится к решению дифференциального уравнения четвертого порядка в частных производных, имеющее вид

^ + + = (1)

где V,- — дифференциальные операторы Эйлера по переменной г. Решение уравнения (1) ищется в виде

£ = 6+6, (2)

где £2 определяются как полиномы по степеням О

6 = (3)

¿=0

Ь = ЕЯЧп-г)-г02{п-{)-\ (4)

¿=0

и сводится к решению двух незавимимых совокупностей неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, однородные части которых представляют собой уравнения Эйлера. Приведены примеры определения функции в частности для полинома четвертой степени по переменной в.

В §1.2 линеаризуются соотношения осесимметричной задачи теории малых упругопластических деформаций. Используя алгоритм, развитый в §1.1, определены решения уравнений в виде полиномов четвертой степени по z.

В §1.3 на основе результатов §1.1 определены в первом и во втором приближении компоненты напряжений, перемещений и деформации при растяжении полосы, ослабленной пологими выточками. Граница полосы, ослабленной выточками, имеет вид

у = ±(/i + 8qx2), q —const, S << 1. (5)

Линеаризируя исходые соотношения теории малых упругопластических деформаций, из уравнений равновесия, условия несжимаемости и соотношений Коши, получаем дифференциальные уравнения четвертого порядка в частных производных для функции ф' в первом приближении

д4ф' д4ф' д4ф' ^ + = 0 (6)

и для функции ф" во втором приближении

^Г + + -щг = /(*.^ - = —в—. (7)

= - ^

+ Лз^ + ^ - ^^

дхду дхду 2 у <9у2 дх2

(8)

, дф' , дф'

и =

Эг/ ' дж '

где

(9)

„ дф" „

(10) (12)

. _ 2 с1ф° 4

2 ~ (13)

= Ф(ег), Ф(ег) = 3^(е,-)е,-, (14)

и, V — компоненты перемещения, е^ — компоненты деформаций, ст,- — интенсивность напряжений, е,- — интенсивность деформаций,

индекс градус приписан компонентам начального невозмущенного состояния, индекс штрих — компонентам возмущения.

Решение дифференциальных уравнений получено в виде полиномов.

На основе экспериментальнывх данных Мак-Грегори для трех видов стали, приведенных в работе А.М.Жукова (Инженерный сб. 1949, т. 5, в. 2) установлено влияние второго приближения для двух случаев теории упрочняющегося пластического материала: линейного и степенного. Результаты приведены в виде таблиц и графиков. Показано, что основные эффекты при начальном деформировании могут быть описаны с помощью первого приближения.

Вторая глава содержит два параграфа, посвященных решению задач об устойчивости упругих и идеально упругопластических тел.

В §2.1 исследуется влияние различных форм уравнений равновесия и граничных условий на определение величины критического давления и ее поведение по отношению к эйлеровой критической нагрузке в задаче об устойчивости полосы при сжатии. Проанализировапны все постановки в теории устойчивости трехмерных тел известных в литературе. Дан сравнительный анализ результатов.

В §2.2 в постановке Лейбензона-Ишлинского решена задача о потере устойчивости толстостенной трубы радиусов а и Ь (а < Ь), находящейся под действием внутреннего давления, из идеального упругопластического материала. В частном случае предполагается эксцентричная форма потери устойчивости.

При потере устойчивости уравнения внешней и внутренней границ трубы примут вид

р = 1 + 8и' и р = а + 6и\ а — а/Ь, (15)

где 8 « 1, и' компонента перемещения вдоль оси р для возмущенного состояния, все линейные величины отнесены к внешнему радиусу трубы Ь.

Величина критического значения радиуса пластической зоны г°, = у- определяется из уравнения

- 1)(2С - т/а)2 - 4/?«1пв/А, (16)

где О — модуль сдвига, к — предел текучести при сдвиге.

Величина критического давления может быть определена из соотношения

Ркр = 1 — /?о — 21п д-, (17)

Установлено, что труба теряяет устойчивость до исчерпывания несущей способности. Критическое значение радиуса пластической зоны для достаточно тонких труб определяется соотношением

Д> « 1 - (18)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) Разработан алгоритм определения полиномиальных решений линеаризированных задач теории малых упругопла-стических деформаций.

2) Исследовано деформированное состояние упругопла-стических тел с возмущенными границами по теории малых упругопластических деформаций на основе полиномиальных решений.

3) Проведен анализ устойчивости статической потери устойчивости тел по трехмерной теории.

4) Исследована потеря устойчивости толстостенной трубы из идеального упругопластического материала.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1. Ивлев Д.Д., Михайлова М.В., Петров Н.И. О полиномиальных решениях линеризированных уравнений теории малых упругопластических деформаций в полярных координатах.// Известия ИТА 4P,- 1996-1997.- N 3(4)-2(7).- С. 64-69.

2. Петров Н.И. Полиномиальное решение линеризированных задач осесимметричного состояния в теории малых упругопластических деформаций.// Известия ИТА ЧР.-1996-1997.- N 3(4)-2(7).- С. 70-71.

3. Михайлова М.В., Петров Н.И. О деформировании растягиваемой полосы ослабленной пологими выточками.// Известия ИТА 4P.- 1996-1997.- N 3(4)-2(7).- С. 72-79.

4. Михайлова М.В., Петров Н.И. Устойчивость упру-гопластической трубы под действием внутреннего давления.// Известия ИТА 4P,- 1996-1997.- N 3(4)-2(7).- С. 80-85.

5. Петров Н.И. Влияние различных форм уравнения равновесия и граничных условий на величину критического давления в задаче об устойчивости полосы при сжатии.// Известия ИТА 4P.- 1996-1997.- N 3(4)-2(7).- С. 86-90.