Метод возмущений в задачах фильтрации со свободными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

—т—т-

о л ЛИГ На правах рукописи

Л II ли!

ШИРОКОВА Ольга Александровна

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ФИЛЬТРАЦИИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ

01. 02. 05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата 4нзико—математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена в лаборатории подземной гидромеханики КИИ математики и механики имени Н.Г.Чеботарева Казанского государственного университета имени В.К.Ульянова-Ленина

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент А.В.Костерин

С&щиалышо оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор В.С.Нустров доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Н.Д.Якимо;

Ведуцля сргашзЕДИЗ: Институт механики и машиностроения

Казанского научного центра РАН

Защита состоится 1993 г. в 14 час. 30

мин. в ауд. физ.Е на заседании специализированного Сова-га Д.053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете (420008, г.Казань, ул. Ленина, 18).

С диссертацией ыокно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачезского Казанского государственного университета. Автореферат разослан "40' ¿ШЭН-Л 1993 г.

Ученый секретарь специализированного 'Совета, кандидат физ.-мат. наук, л

стирал"; научниН сотрудник \{:А , А.К.ГелсганоЕ

ОЕЗАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Во. многих задачах фильтрации неточность исходной информации приводит к необходимости исследовать изменение их решений при вариации исходных данных. В связи с этим, а также в связи с появлением новых математических моделей течений в настоящее время возрастает интерес к изучению вариационных свойств таких задач, особенно б нелинейных случаях. Нелинейность в них молет быть связана как.с законом фильтрации, та}; и с наличием свободных границ. Разнообразные вариационные свойства качественного характера в задачах фильтрации выражают теоремы сравнения (Г.Н.Пологий, Н.Д.Якимов и др.). Эти теоремы, однако, не дают количественных значений вариаций и поэтому, в частности, не характеризуют чувствительность решения к изменениям исходных данных. Здесь оказывается полезными методы теории возмущений.

Целю диссертационной работы является изучение методом возмущений реакции фильтрационных течений со свободными границами на вариации исходных данных в задачах напорной фильтрации с проявлением начального градиента давления и безнапорной фильтрации.

Научная новизна. В диссертации сформулированы краевые задачи для вариаций давления и формы области, вызванных изменением поля фильтрационных сопротивлений среды и границ области течения. Предложена общая методика вывода граничных условий для этих вариаций на свободной границе. Рассмотрен ряд разнохарактерных примеров. Исследована задача о фильтрационном стекании слоя жидкости по наклонному водоупору. Сформулирована вариационная задача об интервале разброса значений функционала от решения на заданном множестве неопределенности исходной информации (задача о чувствительности). В качестве примера в задаче о фильтрационном стекании исследована чувствительность расхода и смоченной пленяли грунта к изменению коэффициента фильтрации в рамках заданной систем ограничений.

Достоверность рззультатоз обеспечивается применением при исследовании строгих математических методов, хорошим согласие:,! с тестовыми примерами, з такке с имеющимися. результатами работ других авторов.

Практическая ценность. Работа косит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны при назначении уровня требований к точности задания различиях исходных данных, при целесообразном упрощении математических моделей и выборе функционалов стоимости в задачах их параметрической идентификации.

Апробация работы. Результаты работу докладывались на I Республиканской научно-технической конференции "Механика машиностроения" (г.Брежнев, 1937), ка Республиканском научно-техни-чэском семинаре "Краевые задачи фильтрации грунтовых вод" (г.Казань, 1388), на X Всесоюзном семинаре "Фильтрация многофазных систем" (г.Новосибирск, 1990), на Международной конференции "Математические модели и численные метода механики сплошной среды" (г.Новосибирск, 1991), на Всесоюзной научной конференции "Краевые задачи теории фильтрации и их приложения" (г.Казань, 1991), на I Республиканском научно-техническом семинаре "Машинные метода решения задач теории фильтрации" (г.Казань, 1992), ка Итоговых научных конференциях Казанского университета (1987 - 1993), на Городском семинаре по подземной гидромеханике (рук. проф. Ю.М.Молокович), на Научных семинарах отдела механики пористых сред и лаборатории подземной гидромеханики НИИ математики и механики Казанского университета (рук. докт. ф.-ы. наук Э.В.Скворцов).

Публикации. По теме диссертации опубликовано десять работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, заключения, списка литературы и изложена на 133 страницах машинописного текста, содержит. 25 рисунков и 4 таблицы. Список литературы включает 101 наименование. .

СОДЕРМНКЕ РАБОТЫ

Бо введении дан анализ литературы по тема, указана цель диссертационной работы, изложен порядок расположения материала,, сформулированы основные результаты, выносимые на зааиту.

Исследование вариационных свойств в задачах механики (в том числе и фильтрации) начато И.Л.Лаврентьевым. Г.Н.Полозий изучил вариационные свойства решений задач линейной напорной фильтрации в областях с известными границами и получил ряд теорем сравнения, в которых установлена зависимость основных фильтрационных характеристик от геометрии границ области течения. С псждью вариационных теорем и метода даворантных областей Г. Н.Положим и его последователями исследованы различные задачи линейно" Фильтрации в заданных областях.

Для задач безнапорной фильтрации исследования вариационных свойств начал Р.Б.Саяимов, который применил технику метода возмещений при конформном отображении близких областей и установил зависимость вменения расхода при фильтрации в плотин© без участка высачивания от вариации ее границ.

Новый подход к изучению вариационных сзсйств задач фильтрации со свободными границами принадлезит Н.Д.Якимову. 51м и его учениками получен рад теорем сравнения да задач фильтрации с депрессионными границами (при неоднородном грунте, криволинейных границах, многосвязных областях течения).

Отвечая на ряд важных вопросов, теоремы сравнения шесте с тем не дают количественных значений вариаций и потому не характеризуют чувствительность решения к изменениям исходных хинных. Между тем выделение классов вариаций с различной степенью чувствительности имеет вазное практическое значение. Естественным инструментом решения всех этих вопросов является теория возмущений.

Метод возмущений напел широкое применение в задачах механики сплошной среды (Д.Коул, Л.".Кайфе, М.Еан-ДаЯк' и др.). В

теории фильтрации он использовался для линеаризации уравнений нестационарной безнапорной фильтрации (П.Я.Палубарннсва-Кочика,

- & -

C.Dagan, J.Bear и др.), для аналитического исследования течений в слабонеоднородных средах в известных областях (R.Ran-gogni), а такае течения в пхасте со слзбопроняиаа.^,; дном и в слабовзашосвязанных пропластках (Р.А.Т,yvand, O.Lafe, O.Ola-deji).

В настоящей диссертации метод возмещений применен к задачам напорной Фильтрации с проявлением начального градиента давления и задачам нестационарной и стационарной безнапорной фильтрации.

• Парная глава (§§1-4) посвяаена разработке метода возмущений для плоских задач нелинейной фильтрации с проявление.! начального градиента.

§1 носит вспомогательный характер. В кем обсу^дазгсд физический смысл модифицированного разрывного закона фильтрации:

U =

О, |7Р! < С;

- hK-VP, 0 « h « 1, IVPI = с. (1)

- K VP, |VP| > С.

Здесь U(x,y) - скорость фильтрации, Р(х,у) - давление, К, С -постоянные коэффициент фильтрации и начальный градиент. Соотношение (1) может рассматриваться как простейшая аппроксимация S-образного закона фильтрации, кроме того, оно отвечает обтеканию предельно-равновесных "целиков" вязко-пластической жидкости фильтрационным потоком, следующим закону Дарси. В соответствии с (1) вся область течения Й распадается, вообще говоря, на подобласти Q1 трех видов, соответствующие звеньям полигона (1) (U = = 0 в h = 1 в П3). Второму звену может соответствовать подобласть il2 течения ненулевой меры, в которой О < h(x,y) < 1, фуккцию h(x,y) в (1) мохно интерпретировать как относительную мощность промытой части пласта. Такая модификация позволяет строить физически корректные решения задач и в тех случаях, в которых традиционная постановка (fl2 вырождается в границу застойной зоны) приводит к противоречиям (линия Q2 имеет точку перегиба) (В.М.Ентов, С.В.Панькс, В.Н.Панков).

В §2 выведены основные соотношения для возмущений фильтрационного точения по закону (1) в плоской трубке тока с входом Г+, выходом Г_ и непроницаемыми границами Г1, Г2 (Гх II Г2 = Гц). Скорость и давление в нем удовлетворяют известным соотношениям:

и(х.у) =0, 17Р! < С, (х,у) ай^ (2)

и(х,у) = - К1г7Р, с!1 V и = О,

17Р1 = С, 0 < Ь « 1, (х,у) « П2; (3)

Щх.у) = - К-?Р, СНУ и = 0, (х,у) е Оз; (4)

Р = Н, Н = сопзг, (х,у) <= Г+; Р = О, (х,у) « Г_; С5)

ип = О, (х.у) «=. Гц; (6)

ип=0, 17Р1 = С, (Х.у) « У13; (?)

СЬЗ = ,ШП] = О, 17Р1 = С, (х,у) в У23' (8)

Здесь ип - нормальная составляющая скорости, С ] означает скачок заключенной в скобки величины при переходе через линию сопряжения У11 подобластей и ^

Возмущения сг(х.у), £Т(х,у) характеристик К, С закона фильтрации, а также геометрии границ трубки тока приводят к вариациям £<р(х,у), £?(х,у) и £Г(х,у) полей давления, скорости и функции Ь(х,у) в области 02. Кроме того, они вызывают смещение

линий сопряжения , которое буд&ч описывать вектором бг =

= £М(з)п, направленным по нормали к исходным линиям у^ (з -дуговая абсцисса, с - малый параметр).

В соответствии с методом возмущений предполагается, что функции Р и о определены как в точках исходной области, так и в возмущенной области и дифференцируемы там.

Решение возмущенной задачи также удовлетворяет соотношениям вида (2)-(8), что позволяет поставить краевую задачу для вариаций. При этом уравнения для р, V и I в областях непосредственно вытекают из (2)-(4), а уравнение для Н(з) вместе с нужными граничными условиями на получается в результате "сноса" на исходные границы соотношений (5) - (8), записанных для возмущенного решения. Краевая задача для вариаций имеэт вид:

V = - К-Ур - х-УР, сПу V = 0; (х.у) « Й3;

)

V = - КЬ-7р - КГ-УР - Л-УР, с11у V = 0; (х.у) в й2;

УРУр - ГС, 1УР1 = С; (х,у) о П2. На линиях сопряаения у^ выполняется условия:

G Щр <хр dN

- N(s)--= Г, — = - G —; (х.у) с у

R «з «п ds 13

G VI7P! N(3) + УР-Ур = <?r . f = - N(s) - |Vh|, (x.y) e y23.

Краевые условия на входе и выходе трубки тока имеэт вид:

«

И(з)УР + р = 0. (9)

на непроницаемых участках:

сд с

— = — (N-ivPi). сю;

причем в (9), (10) функции Р(х,у) и Н(з) - заданы.

При шводэ граничных условий на свободных границах ytj по-1«зано, что вариация норыалн 6п к исходной кривой (рис.1) выра-гаэтся в виде бп =—£ 1Г г. а значэнио квадратичной фор^а (e2p/dxifixj)n1nj несет бать преобразовано в ¿>|УР|/Аз. При это:.: используется аппарат дафферэяциальной гешвтрии.

Для иллюстрации возможностей метода возмущений в §§3-4 рассмотрены три задачи фильтрации с проявлением начального градиента.

В §3 решены две задачи фильтрации от кругового контура питания к сквагине.

В первой из них исследовано течение к нвкоицентрично рас' положенной скваяине, которое интерпретируетса как возмущенно течения с концентричным расположением сквазины. Построено возмущение решения, вызванное вариацией границ, и проведено сравнение его с точным резанием В.И.Ентова, С.В.Панько, В.Н.Панкова.

Во второй задаче возмущенна решения вызвано вариацией коэффициента фильтрации. При решении найдены смещение линии сопряжения у23 подойяасти течения й3 с подобластью 02 частичного "целика".

В §4 дано аналитическое представление решения задачи о величине остаточных целиков вязко-пластической нефти на конечной стадии вытеснения ее водой из слабонеоднородного пласта в элементе пятиточечной системы сквахин. С памсцью вспомогательной функции задача о возмущении сведена к резан;® оздач Пвзрш, Не"гзна и сйкнозонисго дифференциального уравнения.

- В г«""::э 2 (§§ 5-8) метод возмущений реализован в стационарных и нестгшкснзрягх гагачах бозквпорноЗ фильтрации.

В 55 рассмотрено плсскоэ фильтрационное твченио лидкости чгрзз схгбонеоднороднр» плотику произвольной фор:.^ы. Сформированы краевые задач» для вариации напора в области фильтрации

Q0, соответствующей установившемуся течению в однородном грунте. . В стационарном случае:

Ш = - ^(VhgVX); (к,у) « Q0; е<р/вп = О; (к,у) «Гу; (0 = 0; (х,у) « Г1, Г2. Гр; N(x) = <р/{ 1 - eh0/ey); (х.у) ® Гу; вф в f «hn

— = ' ~ [—N]; (х.у) * Г. «S 1 ex } у

Последнее условие на Гу можно представить также в виде (G.Dagan):

а

2(?hnV(D) + N — (7hn)2- *р/ау - N ^hVey2 = 0.

и ву и °

Здесь h0(x,y), KQ(x,y) - напор и коэффициент фильтрации в й0, р(х,у), х(х,у) - их возмущения, Гу - непроницаемо© основание, Гр - участок высачивания, (i = = 1,2) - границы верхнего и нижнего бьефов, Гу - депрессионная кривая. Соответствие точек невозмущенной и смещенной кривых депрессии определено вектором

бу = £N(x)J.

Для нестационарного течения:

Ар * - K0X(VlfVh0): (х.у) « Q0;

т &2 г Щ 02hn

* - - ^CVh, * > - К0 N - (Vh0> +K0(- + N^]-

2

- ж (Vh0) + x —1 = 0; (x,y) « Г ;

0 0y У

N(x,t) = p(x,y,t)/(l - —(к,у) «з Г ;

<зу У

Щ/Sn = О, (x,y) с rY; (5 = 0; (x,y) о Гр.

Условие

p(x.y,t) = Hj(t)

на Г, и Г2 выведено из предположения, что Hi(t) = Н* + € H*(t).

В качестве иллюстрации рассмотрена задача о вариации течения' через прямоугольную наклонную пере;ичку без участка высачи-вания, вызванноЯ изменение;-! поля фильтрационных сопротивления. Реаениэ получено методом Фурье, Крс.!э того, в §6 рассмотрена задача о фильтрационном отекании аиякости по наклонному водо-упору через слабойеоднороднкЯ грунт. Опизем краевую задачу для вариации напора в этом случае.

Пусть возмущение й(х,у) коэффициента фильтрации сосредоточено в притшкгкцеЯ к верхнему бьефу части области Q (рис.2):

2£(Х,у), 0« X < i/Z\

X = •

. О, t/z < X « t.

Опорная область - прямоугольник Í)Q = |(х,у): О 0 ■«у* гз|.

На линии Г2 (х

I » ш) моделируются условия в бесконечно удаленной точке, где локальная неоднородность не изменяет скорость течения: ^Ь/ох

2

= - sim.

Рис.2

- И -

Краевая задача для ip в fiQ имеет вид:

-i

fl0: Ltp = KQ sim ох/ох,

Г^: tp = 0; Г2: ер/ох = 0; = 0; (11)

вр &р Г : sim — + coscí — = 0; N(x) = ф{х,у)/соз*а.

Y ex оу

Для стационарного течения реаение сформулированной краевой задачи для вариации напора в неаозмущенной области фильтрации сведено к последовательному решению краевой задачи для уравнения Пуассона со смешанными грашчньаш условиями и краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами в прямоугольнике. В oúz&ii случае краевая задача для вариации напора решалась численно, а полученные аналитические решения использовались в качество тестов. В нестационарной задаче считается известным закон изменения напора на верхнем бьефе (поднятие уровня воды).

Численные решения рассматриваемой задачи в стационарном и нестационарном режимах при наличии в грунте неоднородных включений построены в §7. Рассмотрено семейство функций

н

*<х) = 1 Cjf^x), i-i

где СА - произвольные константы, N - целое число, f^x) - £укк-ции-крышки

f4(x) =

(х - Xi-i^i-j. х е tx^.Xj]; h4 = х1+1-

(х

i+i

х )/h1, х с Cxltxj+1l; i = T7R;

О, х « Сх1_1,х1+1]: 0 = х1< *2< ... < = i.

Тогда

р(х,у) = > с, , (-:- 7h

1-Х

где tp - решение задачи (11) при :t - Г, (х). Назовем Сч'лисни-ми откликами. Они азляотся решением задач о неоднородном чении в виде вертикального слоя " = f1(x) и нсходятся числс-нно методом граничных интегральных уравнений. На рис.3 приведены графики функций N(x), соответствуйте решению задачи (11) для вариации ж = fi(x), i = 173.

31

-1-

N(x)/h

0 12 3 N(x)/h

9 10

x/h

0 1 2 3 4 5 6 7 N(x)/h

S 10

x/h

1 2 3 453739 10

yl / v

/ x/h

—J—

1 2 3

8 9 10

Рис.3

»

Кроме того, в §7 численно исследовано изменение полотения депрессионной кривой и интегральных характеристик для нестационарной задачи о отекании при наличии неоднородного включения, для случаев вариации коэффициента фильтрации я - Е(х,у), ж = = <*(у), а такие в задаче о возмущении формы водоупора.

В §8 поставлены и методами линейного программирования решены две задачи об интервале разброса значений расхода и смоченной площади грунта при изменении коэффициента фильтрации в рамках заданной системы ограничений. В первой из них рассматривается фильтрация через прямоугольную наклонную перемычку без участка высачивания и используется аналитическое решение §6. Во второй речь идет о фильтрационном отекании по наклонно^ водо-упору и используются базисные отклики ipi из §7. Проведены расчеты, сделаны выводы, результаты расчетов представлены в виде графиков, рисунков и таблиц.

В заключении подведены итоги проведенных исследований, сделаны рекомендации относительно возможности их использования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Систематическое применение метода возмущений к задачам фильтрации со свободными границами. Методика вывода граничных условий для возмущения на свободной границе.

2. Решение задач об изменении напорных и безнапорных течений при вариации проницаемости: задачи напорной фильтрации с проявлением начального градиента давления и задачи нестационарной и стационарной безнапорной фильтрации.

3. Постановка и ранение задач об интервале разброса значений интегральных характеристик при изменении коэффициента фильтрации в рамках заданной системы ограничений.

Основное содержание ¿¡иссьртгцнн опубликовано в работах:

1. Костерин A.B., Широкова O.A. Возмущение фильтрационных течений с проявлением начального грациента/Д!еханикг машиностроения. Тезисы докл. Республиканской конференции. Наб. Челны,

123?. - С.ЗЗ.

2. Ксстерин A.B., Широкова O.A..Возмущения плоских фильтрационных течения, следующих "разрывному" замену// Исследования по подземной гидромеханике. Казань: Изд-ва-Казан. ун-та. •• 19®. - Вып. 10. - С.82-94.

3. Костерин A.B., Широкова O.A. Метод возмущений в задачах безнапорной фильтрации/УИсслвдовзния по подземной гидромеханике. Казань: Изд-во Казан, ун-та. - 1991. -fein.il. - С.48-55.

4. Ксстерин A.B., Широкова O.A. Возмущение решений краевых г.цдач со свободными граинц&чи/УНоделирование в механике, 1992. - Т.6(23). - "А. - С.33-40.

5. Широкова O.A. Применение метода возмущений в задачах сэзнапорнс.1 фильтрации// Тезису докл. Респ. науч.-тзх. семии. "Краевые задачи фильтрации грунтовых вод", 14-16 юаня 1933.-Казань, 1SS8. - С.74.

6. Широкова O.A., Ксстерин A.B. Метод возмущения в займах фильтрации со свободными границами. Деп. в В51ШГГИ, 193, JS1310-ВШ, 43 с.

7. Широкова O.A. О чувстаительнссти резення задач безнапорной фильтрации к изменения исходных данных//Чнсленные котоды решения задач фильтрации и оптимизация нефтедобычи. - КФАН СССР, СТИ - Казань, 1920. - С. 142-152.

8. Широкова O.A. Возмущенно течения с начальна:i градиентом в э^&менто пятиточочноЯ расстановки скваг.$щ//*11льтргция многофазных систем: Натер. 10 Всес. семин., Новосибирск, 17-20 док., 1990. - Нсзссибирск, 1991. - С.56-60.

9. Широкова O.A. Чувствительность резаний задач безнапорной фильтрации к позмузенигм проницаемости//Гезису докл. Всосо-взн. научн. кокф. "Краевые задачи теории фильтрации и их придо-г-!.-ни:;'\ 23-27 сентября 1931г., Казань, С. 102.

10. Зирохсвз O.A. Уотод возмущений в задачах нестационарно:] СззкспсриоЗ ф'лтрзции в сдабонеоднсроднс« грунто//7бзнсн

7 Р^спуашгзнспогс научно-технического "Уз^иннке

мотогц рутения загач теории фильтрации", 22-25 гая я 1992г., Ка-::2НЬ, С.41-42.

Сдано в набор 18.05.93 г. Подписано в печать 29.04.93 г. Форм.бум. 60 х 84 I/I6. Печ.л. I. Тира* 100. Заказ 264.

Лаборатория оперативной полиграфии НГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5