Методология исследования динамических свойств сложных упругих и гидроупругих систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Григорьев Валерий Георгиевич

МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СЛОЖНЫХ УПРУГИХ И ГИДРОУПРУГИХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте специального машиностроения МГТУ им. Н.Э.Баумана Научный консультант доктор технических наук, профессор

В.П.Шмаков

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор Лиходед А.И.

- доктор технических наук, профессор Шклярчук Ф.Н.

- доктор физико-математических наук, профессор Попов А.Л.

Ведущая организация НПО машиностроения, г. Реутов, Московская область

Защита состоится «_»_2000 года в _часов на

заседании диссертационного совета Д 053.18.07 Московского

Государственного авиационного института (технического университета).

Приглашаем принять участие в обсуждении диссертации или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Адрес института: 125871, Москва, Волоколамское шоссе, дом 4.

Автореферат разослан «_»_2000 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

В.Н.Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Практически все современные технические сооружения и аппараты - ракеты и космические станции, самолеты, корабли, автомобили, строительные и гидротехнические сооружения - представляют собой сложные системы, состоящие из совместно функционирующих подсистем. Несущей основой этих систем является обычно конструкция, элементы которой работают в области упругих деформаций. Важным этапом исследования динамического поведения разрабатываемой системы является определение динамических характеристик входящей в ее состав упругой конструкции, к числу которых относятся собственные частоты и формы колебаний, амплитудно-фазовые частотные характеристики, динамические коэффициенты влияния (динамические жесткости и динамические податливости) и т.д.

Обычно упругая конструкция сама представляет собой сложную систему, составленную из подконструкций, механически соединенных между собой и взаимодействующих в процессе совместных колебаний. Это существенно осложняет задачу исследования ее динамических характеристик как экспериментальными, так и расчетными методами в связи с трудностями технического и организационного характера:

- размерность математической модели всей конструкции в целом превышает возможности используемой для расчета вычислительной системы;

- конструкция слишком велика для проведения вибрационных испытаний;

- сборка и проведение испытаний затруднены из-за взаимной удаленности кооперированных разработчиков сложной системы.

Естественным путем преодоления возникающих проблем является исследование составной конструкции по частям с последующим синтезом результатов, полученных для каждой части в отдельности теоретически или экспериментально. При этом актуальной проблемой является разработка универсальных алгоритмов, позволяющих автоматизировать процедуру синтеза при исследовании динамических характеристик сложных механических систем.

Среди отечественных исследователей, внесших значительный вклад в современную теорию синтеза динамических характеристик подконструкций, следует отметить Постнова В.А., Вольмира A.C., Шклярчука Ф.Н., Шмакова В.П., Лиходеда А.И., Бурмана З.И. и других. Среди зарубежных исследователей наиболее заметны работы таких авторов, как Krön G., Craig R.R., MacNeal R.H. и другие.

Среди многообразия подходов к синтезу динамических характеристик выделяется, как наиболее физически и математически обоснованный, метод модального синтеза, когда в качестве исходной информации о свойствах подконструкций используются данные об их собственных частотах и формах колебаний. В этом случае объем предварительных исследований существенно сокращается при ограничении исследуемого частотного диапазона.

Однако, общим недостатком разработанных методов модального синтеза является невозможность построения априорной оценки погрешности, связанной с усечением модальных разложений посредством отбрасывания высокочастотных форм колебаний. Наиболее распространенная (но не дающая количественных оценок) рекомендация в плане обеспечения точности получаемых результатов состоит в удержании при расчете всех собственных форм подкон-струкций, частоты которых превышают верхнюю частоту среза исследуемой системы в 1,5 - 2 раза.

В связи с этим актуальной становится задача создания метода модального синтеза подконструкций, обеспечивающего одновременно высокую точность результатов и получение априорных оценок погрешности.

Многие технические системы, такие как изделия авиационной и ракетно-космической промышленности, гидротехнические сооружения и т.д., характеризуются наличием в полостях составляющих их подконструкций жидких масс, взаимодействующих с упругими компонентами в процессе колебаний.

Задача о колебаниях упругой конструкции, содержащей во внутренних полостях жидкость, представляет собой математически сложную проблему взаимодействия разнородных сред.

Начало современного этапа развития методов решения данного класса задач можно отнести к концу 50-х - началу 60-х годов. В его основе лежат работы таких отечественных исследователей как Моисеев H.H., Рабинович Б.И., Рапопорт И.М., Шмаков В.П. Среди зарубежных специалистов здесь можно отметить работы Abramson H.N., Капа D.D., Lindholm U.S., Bauer H.F. Значительный вклад в решение проблемы внесли такие исследователи, как Григолюк Э.И., Шклярчук Ф.Н., Горшков А.Г., Балакирев Ю.Г., Лампер P.E. и многие другие.

Ввиду возрастающей сложности конструктивных решений, усложнения компоновочных схем изделий актуальной задачей является создание высокоточных и универсальных методов расчета динамических характеристик тонкостенных упругих конструкций, содержащих жидкость. С этой точки зрения наиболее приемлем метод конечных элементов.

Часто при исследовании колебаний гидроупругой системы существенным фактором, влияющим на ее динамические свойства, оказывается интенсивность действующего гравитационного поля. Для решения таких задач важна корректная формулировка динамических соотношений на поверхности контакта разнородных сред и правильное выражение для потенциальной энергии гравитационных сил жидкости.

Возбуждение динамических процессов в упругой или гидроупругой системе в составе сложного технического объекта связано, как правило, с работой управляемого источника энергии. Условия его взаимодействия с упругой системой могут приводить к неустойчивости в образующемся замкнутом контуре и развитию автоколебаний, отрицательно влияющих на условия функционирования объекта. Актуальная проблема такого рода связана с исследованием

продольных автоколебаний жидкостной ракеты в полете, возникающих в результате взаимодействия колебаний корпуса ракеты и вызываемых ими колебаний жидкости в топливных магистралях с колебаниями тяги двигателя. Важной задачей здесь является оценка амплитудных величин параметров развивающихся автоколебаний.

Среди прочих факторов в ограничение амплитуд колебаний вносит вклад нелинейность поведения корпуса, представляющего осесимметричную оболо-чечную конструкцию с жидкостью. Внутренние усилия, возникающие в таких системах при продольных колебаниях, играют роль параметрических нагрузок для неосесимметричных форм колебаний оболочек, которые могут приводить к динамической неустойчивости оболочек. Впервые теоретически описанное в работе Бублика Б.Н. и Меркулова В.И. явление параметрического возбуждения неосесимметричных форм колебаний оболочек подробно исследовано в работах Капа D.D. , Abramson H.N. и Шклярчука Ф.Н., Образцовой Е.И. для цилиндрических баков. Оценка вклада этого эффекта в процесс ограничения амплитуд автоколебаний весьма актуальна для понимания сущности данного явления и принятия конструкторских решений при проектировании изделий.

Цель работы. Указанные проблемы определили цель представленной работы: разработка и теоретическое обоснование высокоточной методики расчета динамических характеристик сложных упругих и гидроупругих систем посредством модального синтеза подконструкций, обеспечивающей априорную оценку погрешности получаемых результатов; совершенствование математической модели и алгоритма расчета динамических характеристик упругих тонкостенных конструкций, содержащих жидкость; создание методики исследования динамики продольных автоколебаний гидроупругой системы, образованной тонкостенной конструкцией с жидкостью, трубопроводом и динамически связанным с ним двигателем, с учетом нелинейности поведения оболочек и параметрического возбуждения неосесимметричных форм колебаний. Для достижения данной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать теоретические основы метода корректирующих рядов применительно к проблеме синтеза динамических характеристик подконструкций, вывести соотношения метода применительно к дискретным моделям подконструкций и разработать на их основе алгоритмы и программные комплексы.

2. Усовершенствовать математическую модель колебаний упругих конструкций, содержащих жидкость, при действии гравитационного поля, а также алгоритм и программу определения их динамических характеристик.

3. Разработать математическую модель автоколебаний в замкнутом контуре взаимодействующих подсистем «корпус - трубопровод - двигатель», а также алгоритмы, программы и методику проведения исследования влияния нелинейности поведения корпуса на амплитудные значения параметров системы.

Научная новизна. Главным научным результатом работы является методология исследования динамических свойств сложных упругих и гидроупругих систем, основанная на корректном и непротиворечивом подходе к задаче определения динамических характеристик входящих в систему конструкций, содержащих жидкость, и высокоэффективном и надежном методе модального синтеза подконструкций, обеспечивающем оценку точности получаемых результатов.

1. Сформулированы и доказаны основные теоремы метода корректирующих рядов, создающие принципиально новую основу модального синтеза динамических характеристик подконструкций.

2. Выведены асимптотические оценки погрешности результатов синтеза.

3. Разработан численно устойчивый алгоритм вычисления корректирующих векторов.

4. Выведены основные соотношения и разработана методика синтеза динамических характеристик подконструкций с использованием корректирующих рядов применительно к методам жестких и свободных границ, а также в варианте гибридного метода.

5. Сформулирован вариационный принцип для колебаний упругой конструкции, взаимодействующей с ограниченным объемом жидкости, в условиях однородного гравитационного поля, применимый к произвольным кусочно-гладким поверхностям контакта конструкции с жидкостью.

6. Разработана методика расчета динамических характеристик упругих осесимметричных оболочечных конструкций с жидкостью, основанная на методе конечных элементов. Созданный программный комплекс позволяет определять динамические характеристики при осесимметричных и неосесиммет-ричных колебаниях с учетом влияния начальной деформации за счет внутреннего давления и собственного веса конструкции, а также гравитационных эффектов, связанных с колебаниями свободной поверхности жидкости и смещений контактной поверхности. Предусмотрена возможность модального синтеза подконструкций с использованием корректирующих рядов.

7. Разработана методика исследования автоколебаний системы, состоящей из осесимметричной тонкостенной конструкции с жидкостью, трубопровода и динамически связанного с ним двигателя, с учетом геометрической нелинейности поведения оболочек и эффекта параметрического возбуждения неосесим-метричных форм колебаний. Проведенное исследование показало необходимость учета указанного эффекта при определении предельных амплитуд автоколебаний в такого типа системах, в частности, при исследовании амплитуд продольных колебаний жидкостных ракет в полете.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов обосновывается строгостью используемого в работе математического аппарата, исследованиями точности разработанных методов и алгоритмов, сопоставлением полученных результатов с точными решениями и с теоретическими и экспериментальными результатами других исследователей, опубликованными

риментальными результатами других исследователей, опубликованными в научных изданиях, а также сопоставлением результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными, полученными при наземных экспериментах и в процессе летных испытаний жидкостных ракет.

Практическая ценность работы заключается

- в повышении точности и надежности результатов расчета динамических характеристик сложных упругих и гидроупругих систем посредством модального синтеза за счет использования метода корректирующих рядов;

- в сокращении материальных и временных затрат на экспериментальную отработку проектируемых конструкций за счет повышения точности расчетов;

- в снижении риска аварийных ситуаций за счет проведения предварительных расчетов с использованием результатов исследования отдельных подконструкций при создании крупногабаритных сложных объектов, экспериментальная отработка которых невозможна.

Области применения. Разработанные методики, программы и алгоритмы могут эффективно применяться при решении задач, возникающих в процессе проектирования широкого спектра технических объектов и систем в области ракетно-космической и авиационной техники, кораблестроения, автомобилестроения, строительства гражданских и промышленных объектов, гидротехнических сооружений и т.д.

Алгоритм определения динамических характеристик оболочечных конструкций, содержащих жидкость, внедрен в практику расчета практически всех отечественных ракетно-космических КБ и использовался при проведении про-ектно-конструкторских работ по созданию ракетных систем Зенит, Энергия-Буран, Космос, Рокот, Прибой и других.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Гармонический отклик подконструкции на систему дискретно приложенных сил во внешних узлах может быть точно представлен в ограниченном замкнутом частотном интервале в виде модального разложения, в котором присутствуют лишь конечное число собственных форм, частоты которых лежат в данном интервале, и равномерно сходящихся степенных корректирующих рядов. Данное утверждение справедливо как для низкочастотных интервалов, примыкающих к нулевому значению частоты, так и для высокочастотных, ограниченных снизу ненулевой частотой.

2. Априорная оценка погрешности усечения корректирующего ряда (суммы остаточных членов) представляет степенную зависимость от количества удерживаемых членов.

3. Новая концепция модального синтеза динамических характеристик подконструкций в ограниченном частотном диапазоне основана на использовании

ограниченного набора собственных форм подконструкций при наращивании длины корректирующих рядов для достижения требуемой точности результатов. Основой для оценки точности служит указанная выше априорная оценка суммы остаточных членов корректирующего ряда.

4. Устойчивый алгоритм построения последовательности корректирующих векторов, являющихся коэффициентами корректирующего ряда, реализуется в подпространстве, ортогональном учтенным в модальном разложении собственным формам подконструкции, при дополнительной ортогонализации решений на каяедом шаге рекуррентного процесса.

5. Основанный на методе конечных элементов алгоритм расчета динамических характеристик осесимметричных оболочечных конструкций с жидкостью, усовершенствованный с использованием корректного выражения для потенциальной энергии гравитационных сил жидкости, позволяет учитывать полный комплекс гравитационных эффектов, связанных с образованием волн на свободной поверхности жидкости и контактным взаимодействием жидкости со стенками полости.

6. Учет параметрического возбуждения неосесимметричных форм приводит к существенному ограничению продольных автоколебаний, возникающих в системе из осесимметричной оболочки с жидкостью и связанного с ней через трубопровод двигателя, возбуждающего продольные (осеимметричные) колебания, при неустойчивости данной замкнутой системы. Применительно к проблеме продольных колебаний жидкостной ракеты тандемной схемы этот вывод указывает на эффект параметрического возбуждения неосесимметричных колебаний оболочек как на один из основных возможных механизмов ограничения амплитуд колебаний в зоне неустойчивости.

Апробация работы и публикации. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на III семинаре «Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью» (г. Томск, 1977 г.), на IV симпозиуме по колебаниям упругих конструкций с жидкостью (г. Новосибирск, 1979 г.), на 13 Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (г. Таллин, 1983 г.), на научно-технической конференции «Крупногабаритные космические конструкции» (г. Севастополь, 1990 г.), на Международной конференции «Научно-технические проблемы космонавтики и ракетостроения» (г. Калининград Московской обл., 1996 г.), на IV Международной научной конференции «Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности» (г. Орехово-Зуево, 1996 г.), на III, IV, V, VI Международных симпозиумах "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (г. Ярополец Московской обл., 1997, 1998, 1999, 2000 гг.), на XVI Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт-Петербург, 1998 г.), на XIX Между народ но й конференции по теории оболочек

и пластин (г. Нижний Новгород, 1999 г.), на семинаре кафедры Вычислительной математики МГУ под руководством Н.С.Бахвалова (сентябрь 2000 г.).

Основные материалы диссертации представлены в 20 печатных работах в изданиях МГУ, МГТУ им. Н.Э.Баумана, в трудах всесоюзных и международных конференций и симпозиумов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Работа изложена на 328 листах, содержит 53 рисунков, 23 таблицы и список литературы из 193 наименований.

Краткое содержание.

Во введении приведен анализ литературы по рассматриваемым проблемам, сформулированы решаемые задачи, дана краткая характеристика работы, приведена аннотация глав.

Первая глава посвящена изложению теоретических предпосылок использования метода корректирую-

щих рядов в синтезе динамических характеристик сложных упругих систем.

В разделе 1.1 сформулированы основные понятия и в наиболее общей операторной форме дана постановка задачи модального синтеза динамических характеристик дискретно соединенных упругих подкон-руршиш ЙП о кйашшанж н икж иикгг ро с н и я корректирующих функций, обеспечивающих ускорение сходимости модального разложения колебаний подконст-рукции.

Для выделенной в составе системы подконструкции (рис. 1) уравнения колебаний запишем в виде:

Рис. 1.

. д1и ,. . г А—- + Си

аг

(1)

где А и С - инерционный и упругий операторы, Г - поле внешних сил.

В множестве внешних обобщенных перемещений подконструкции выделим те, которые фиксируются при определении ее собственных частот и форм -

[.'.' , / = 1.....пь ("граничные"), и те, которые остаются при этом свободными -

. / = 1.....я ("соединительные").

Набор собственных значений подконструкции и нормированных по массе собственных форм .и, к = 1,2,...} представляет решение базовой задачи:

Си - сгАй = 0 , и* [и] = 0 . (2)

Такой подход, называемый гибридным, охватывает как частные случаи методы жестких и свободных границ, когда при определении собственных форм все внешние степени свободы закреплены или свободны.

Обозначив пространство, образованное всеми кинематически допустимыми движениями подконструкции, , а подпространство движений, стесненных дополнительными ограничениями в граничных узлах,

= |й | и* [й] = 01, запишем "слабую" вариационную формулировку задачи о

гармонических колебаниях подконструкции под действием обобщенных сил,

приложенных во внешних узлах (/„ = п? - квадрат круговой частоты):

< j

Здесь [у]с и [•-•] , - энергетические произведения.

Колебания подконструкции представим в виде модального разложения, два вида корректирующих членов:

(4)

I j к

т-1 п-1

где ц, = ^ Л'ц' , И; = /1И ^ - ПОЛИНОМЫ, коэффициенты которых определяло 1=0

ются рекуррентно из решений последовательностей статических задач (при отсутствии нулевых собственных значений базовой задачи):

| у]с =0 V? е; 8? е^ , = <5, ,

VveW0;g:eW0, / = 1,...,да-1,

ь' V

В результате последовательности преобразований получается выражение для коэффициентов собственных форм:

/ \ т-1 / \п

а также выражение, связывающее внешние обобщенные перемещения с обобщенными силами в виде:

(8)

где х4 = | , хс = , = | /•/' | , \ = | /•',' |, а коэффициенты динамического влияния вычисляются по формулам:

а, - Я \ сг

ак -ЛАСТк

и;[иА]и,с[йА]

= [и,и,]^ игр,]

'а, - Я \ сг

2

= и'

2

к У^к

X

Из формулы (8) легко получаются вьфажения для матрицы динамических жесткостей ()е(Л) и матрицы динамических податливостей ИДЯ) подконст-рукции:

-нг'в

и;1

' О/ о^1

1 И^СХ^

(10)

которые можно использовать для исследования гармонических колебаний или спектра сложной системы, осуществляя синтез по методу перемещений (как в МКЭ) или по методу сил.

Из формул (7) и (9) следует, что погрешность усечения модального разложения при исследовании низкочастотных колебаний оценивается сверху величиной

. ПППО// \.Н)

8 = С,

I

(П)

убывающей при Я < гт""" с возрастанием да и и, где гт""" - минимальная из частот отброшенных собственных форм.

В разделе 1.2 представлен способ построения корректирующих функций в подпространстве, ортогональном к удерживаемым в модальном разложении собственным формам, позволяющий формировать сходящиеся корректирующие ряды.

Формулы (7) и (9) неудобны тем, что при исследовании ограниченного частотного интервала колебаний системы вьфажения для оставляемых в суммах модальных членов содержат в явном виде порядок корректирующего ряда как показатель степени отношения /.¡сг к . На практике это означает, что наращивание длины корректирующего ряда приводит к необходимости заново формировать и сумму модальных членов.

Предлагаемый способ формирования корректирующих рядов дает формулы для коэффициентов модального ряда, сохраняемых в разложении:

ъ=--г-т +Т1ТЕ^Р*]^; . (12)

и соответственно упрощаются формулы (9).

В разделе 1.3 сформулированы две основные теоремы метода корректирующих рядов: первая - для низкочастотного интервала, примыкающего к нулевому значению, а вторая - для ограниченного высокочастотного интервала с ненулевой нижней границей.

Теорема 1. Гармонический отклик упругой конструкции на систему дискретно приложенных (в узлах, называемых внешними) гармонических сил может быть точно представлен в ограниченном частотном интервале [0. | в виде модального разложения

й = £С,. ДО*+£Й, (13)

< ] 4=1

в котором присутствуют лишь собственные формы, частоты которых лежат в указанном интервале, определенные при условии закрепления граничных внешних степеней свободы. Коэффициенты дк определяются соотношениями (12). Корректирующие векторы являются равномерно сходящимися на интервале [ОД,.] степенными рядами относительно частотного параметра Я :

СО СО

= , = , (14)

1=0 1=0 коэффициенты которых вычисляются как решения последовательностей статических задач:

к=1 к=р+1 '

е^ , ОД] = бв , Щ,пк]А=0(к = 1 ,...,р)

= V? е\¥0 , / = 1,...,оо ;

(15)

[£Ис = " £ 4й * >

1 -1 к=1

Й° , [Ъ',йк]л = 0 {к = \,...,р) ;

(16)

|Ь',.,= |Й'1,, 1 = 1,

Ь'- , [Ц,йк]А = 0 {к = \,...,р)

Формулы (15) и (16) здесь обобщены на случай, когда базовая задача имеет р нулевых собственных значений.

Принципиальное значение этой теоремы состоит в том, что при исследовании гармонических колебаний подконструкции в ограниченном частотном интервале можно перейти от ряда, содержащего бесконечное количество модальных членов, к сумме их конечного набора и сходящегося степенного ряда. При проведении практических исследований здесь требуется лишь усекать этот степенной ряд, руководствуясь требованиями точности получаемого результата. Априорная оценка погрешности вида (11) позволяет получать апостериорные оценки погрешности при помощи последовательно уточняемых расчетов.

Применительно к задаче исследования динамических свойств сложного объекта в ограниченном частотном диапазоне, имеющем положительную нижнюю границу, в работе сформулирована вторая теорема, дающая ответ на вопрос о возможности отбрасывания низших тонов с собственными частотами, не попадающими в заданный интервал частот.

В разделе 1.4 полученные общие соотношения конкретизированы на примере изгибных колебаний однородных стержней, внешние степени свободы которых соответствуют смещениям и поворотам их концов.

Вторая глава посвящена разработке принципов метода корректирующих рядов применительно к дискретным моделям подконструкций с учетом особенностей, характерных для конечноэлементных моделей.

В разделе 2.1 подробно исследован вариант жестких границ, непосредственно дающий формулы для компонент матрицы динамических жесткостей подконструкции. Показана неустойчивость исходного рекуррентного процесса формирования корректирующих векторов и разработана устойчивая схема их вычисления в ортогональном к собственным формам подпространстве с дополнительной ортогонализацией на каяедом шаге. Рассмотрены два способа формирования матриц динамических коэффициентов влияния: метод прямой подстановки и метод замены переменных, обеспечивающий удвоенный порядок точности для компонент матриц при том же порядке корректирующего ряда. Проведены численные исследования, подтверждающие справедливость асимптотических оценок погрешности метода корректи-руюгвигрядяш конечноэлементных уравнениях гармонических колебаний подконструкции граничные степени свободы х4:

Выделяя в полной матрице собственных векторов Х0 удерживаемые Х„ и отсекаемые Хг: Х0 = [Ха Х( ]. формулу модального разложения запишем в виде:

имеем базовую задачу о собственных значениях:

К„х„ = оМпх„ .

(17)

оАо •

(18)

н в

о

х„

о

Ча

(19)

где qa , qr - векторы коэффициентов собственных форм, а матрица корректирующих векторов представляет конечный ряд:

С = С0+/1С1+...+/Г-1Ст

(20)

(21)

(22) (23)

коэффициенты которого вычисляются по рекуррентным формулам: [к0С0=-(10-М0ХХ)А* , |к0С, = (10 -М0ХХ)М0С,м , / = 1,...,т-1 ,

получаем вьфажения: в которых Ла и Лг - диагональные матрицы собственных значений,

А*=А-дв, а;=а*тх„, а; = а*тхг .

Множитель (10-М0ХаХ*), присутствующий в уравнениях (21) для / = 1,...,да -1, обеспечивает численную устойчивость рекуррентного процесса.

Метод прямой подстановки дает выражение для редуцированной матрицы динамических жесткостей подконструкции:

д;(2) = К,-2М,+А*тС-А:(Ла-Ла)-1А;т , (24)

а метод замены переменных:

дг2(2) = К,-2М,+А*тС-ГСтСм-А;(Ла-Ла)-1А;т , (25) где См =М0Ст_1 .

Если для формулы (24) справедлива асимптотическая оценка погрешности

(

8 = 0

I

ст

то для (25) верна оценка:

(

8=0

2лЛ

т —>■ оо

т —>■ оо

(26)

(27)

имеющая удвоенный показатель при том, что строится формула (25) на основе того же набора корректирующих векторов, что и (24).

В разделе 2.2, посвященном варианту свободных границ, предложен способ преодоления вычислительных сложностей, возникающих в случае вырожденной матрицы жесткостей базовой задачи о собственных значениях, что характерно для данного варианта. Соответствующий метод назван частотным сдвигом корректирующих векторов, а корректирующий ряд в этом случае строится относительно смещенного частотного параметра. Проведено численное

исследование по сопоставлению точности результатов, получаемых методами жестких и свободных границ, в зависимости от порядка используемых корректирующих рядов.

Базовая задача о собственных значениях в этом случае имеет вид:

Кх = оМх , (28)

а модальное разложение представляется формулой:

х= Н

(29)

Яг.

где индекс р соответствует формам с нулевыми собственными частотами, а Г - вектор обобщенных сил, соответствующих соединительным степеням свободы.

Частотный сдвиг заключается в замене матрицы жесткостей К на Ка = К + аМ , где а - параметр сдвига (а >0). Корректирующий ряд строится по степеням смещенного частотного параметра у = Л + се:

Н = Н0 + уН1+... + ут~1Нт_1 , (30)

а его коэффициенты определяются из уравнений:

[кан0 = (1-мхХ-мхХ)С

КД=МН,1; / =1,...,ш-1

(31)

С использованием методов прямой подстановки и замены переменных получаются выражения для редуцированных матриц динамических податливо-стей подконструкции соответственно в виде:

Кг1(Я) = СТИ-Г1СрСТр+Са(Аа-Лау1СТа , (32)

Щ(Л) = СтН + у^НтНм-Л-1СрСтр+Са(Аа-ЛаГ1Ста , (33)

где Нм = МН„ ,, а матрица С выделяет соединительные степени свободы: хс = Стх , причем Ср = СтХр , Са = СТХ„.

Сопоставление точности результатов синтеза методами жестких и свободных границ проведено на примере составной консольной балки (рис. 2).

Результаты исследования представлены на графике (рис. 3) , где показана зависимость относительной погрешности вычисления собственных частот при синтезе подконструкций от порядка корректирующего ряда пг . Сплошные линии соответствуют методу свободных границ, штриховые - методу жестких границ. Кривые помечены цифрами, указывающими номера тонов составной конструкции. Синтез по методу свободных границ обеспечивает более высокую точность результатов, чем по методу жестких границ, что согласуется с формулой (11).

В разделе 2.3 результаты первого и второго разделов синтезированы в гибридном методе. Полученные формулы учитывают возможность независи-

О.бЬ

0,4 Ь

Жесткие границы

Свободные границы

Собственные частоты балки: » * , *

Частота среза 1000 Гц

-,—--,-,-¥-,-,-Ч-

0 200 400 600 800 10|00 1200 1400 1600 1800

подконетрукций

Гц

А:

1-

I, Гц

О 200 400 600 800 10100 1200 1400 1600 1800

В: г-^п—,—Л—,—,—,—,—,—*—I—,—,—,—,—,—,—, л I, Гц

200 400 600 800 10

1200 1400 1600 1800

С: н*-^ Б: *

-т-

0 200 400 600 800 10(0 0 1200 1400 1600 1800 --Л-,-,-,-,-,-1-I-,-,-,-,-,-,-- 1 ■

10

-2

10

-4

10

10

-6

Гц I, Гц

0 200 400 600 800 1М0 1200 1400 1600 1800

Рис. 2.

0 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 /я

к V

С; ' - V _

, — ^ ч ц

\1 IV \ 1Л N V „ ■ ^ ч) — | ^ "ч

\ к\| \ \ V л \ \ 1 к \ Ль N

* \ \ \ ч\ \ \ ь. \ N. N

\\ \ ч \ ч \ 1 Л ч ч N

V 1 " \ \ \ \ Ч \ ь ч \

\ д н 1 V \ 1 > \ \ \ Л ч ч ч ч ч N

1 1 \ \ % \ ч ч I » 1. ч V ч

V, у 1 Л 1 ч ч ч

>7

>6

Т 2 3 4 5

Рис. 3.

мого частотного сдвига для корректирующих рядов, соответствующих граничным и соединительным степеням свободы подконструкции. Результирующие

соотношения имеют вид (8). Выражения для динамических коэффициентов влияния получены как с помощью метода прямой подстановки, так и методом замены переменных.

В разделе 2.4 полученные результаты распространены на случай пропорционально демпфированных подконструкций. Колебания подконструкции описываются уравнением:

М^ + С—+ Кх = Г , (34)

Л2 Ж

где С = ушШ + укК.

Результирующие соотношения гибридного метода сохраняют при этом вид (8), где коэффициенты становятся комплекснозначными функциями комплексного частотного параметра. Различные модули в составе сложной конструкции могут иметь разные параметры ум и ук, что расширяет возможности исследования свойств демпфированных упругих систем.

На рис. 4 показаны результаты синтеза методом жестких границ АФЧХ прогиба середины составной балки, показанной на рис. 2, при действии приложенной к ее концу поперечной силы.

В разделе 2.5 исследована возможность введения в вычислительную схему метода аналитических формул для подконструкций, структура которых позволяет получать их без использования прямых численных методов и дискретизации исходной математической модели. Показана необходимость введения регуляризирующих процедур для обеспечения численной устойчивости при наращивании порядка корректирующих рядов.

В разделе 2.6 эффективность метода показана на примере сложной пространственной балочной модели орбитальной космической станции. Конструкции такого типа характеризуются очень высокой плотностью собственных частот в нижней части спектра, и применение корректирующих рядов дает значительную экономию при исследовании ограниченных частотных интервалов.

В третьей главе сформулирована математическая постановка задачи о колебаниях упругой конструкции, взаимодействующей с ограниченным объемом жидкости, при действии однородного гравитационного поля (рис. 5).

1 - т, = т2 = 1, 1 тон + 1 тон

2- т, = тг = 1, 3 тона + 2 тона

3- т, >1, т2 >1

Рис. 4.

Рис. 5.

В разделе 3.1 линейные уравнения колебаний жидкости и кинематические условия на контактной поверхности выведены на основе лагранжева подхода. Все соотношения записаны в перемещениях, линеаризованное условие непротекания жидкости через контактную поверхность сводится к равенству нормальных перемещений контактирующих частиц жидкости и упругого тела.

В разделе 3.2 исследованы динамические соотношения на контактной поверхности и выведено выражение для потенциальной энергии гравитационных сил жидкости, применимое к произвольному случаю кусочно-гладких поверхностей контакта.

Ключевым для вывода корректного выражения оказывается то обстоятельство, что «следящая» гидростатическая сила, совершающая работу на перемещениях смоченной поверхности, зависит не только от вертикального смещениях ее точек, но и направление ее действия меняется в соответствии с поворотом нормали к деформированной смоченной поверхности тела. Кроме того, изменение площади элемента поверхности вследствие растяжения или сжатия в процессе деформации влияет на величину совершаемой работы.

Полная потенциальная энергия гравитационных сил жидкости, определяемая деформацией ее свободной поверхности и стенок содержащего ее сосуда, равна:

К =\\РйСи1ёБ-

т

1 _ (35) --||/з0О(Хз -х3)[м101 +й2в2 +й3(е1 +е2)] + /?0(Сг-й)Мз^^ ,

где р0 - плотность жидкости,

углы поворота линии главных кривизн,

М[,М2,М3 - перемещения в локальном триэдре, ::,.::2 - деформации, - координата свободной поверхности. Эта формула применима к произвольному случаю кусочно-гладких поверхностей контакта 80.

В разделе 3.3 приведена замкнутая система уравнений в перемещениях, а также система уравнений для случая безвихревого движения жидкости, описываемого потенциалом смещений. Рассмотрены возможности упрощения постановки задачи посредством отбрасывания отдельных составляющих гравитационной энергии жидкости.

Уравнения для потенциала смещений:

ДФ = 0 в (2о, (36)

¿Ф

—— = (и-п0) на 80, (37)

Зг0

¿Ф

— =г, наЕ, (38)

¿к0

Ф + Ст? = 0 наЕ, (39)

дополняются уравнениями колебаний упругого тела (как правило, редуцированными в уравнения теории оболочек), включающими динамические соотношения на смоченной поверхности, сформулированные в разделе 3.2.

Показано, что отбрасывание гравитационной составляющей в соотношениях на контактной поверхности возможно лишь в системе уравнений, преобразованной таким образом, что в уравнении (39) появляется интегральная переменная, соответствующая среднему вертикальному смещению свободной поверхности, что неудобно для использования прямых численных методов решения задачи.

В разделе 3.4 сформулирован смешанный вариационный принцип, основанный на модифицированном выражении для лагранжиана системы:

Г(и) = Г(и)-К(и), (40)

где и = {и, Ф, 77} - совокупность переменных, описывающих движение системы, У(\]) - полная потенциальная энергия системы, а выражение для кинетической энергии заменено на следующее:

+ + , (41)

<3 <Зо Яо Е

В этом случае кинематические краевые соотношения (37), (38) входят в число условий стационарности функционала действия.

Четвертая глава посвящена разработке методики расчета динамических характеристик осесимметричных оболочечных конструкций, содержащих жидкость.

В разделе 4.1 сформулирована математическая постановка задачи и вариационный принцип, удобный для применения метода конечных элементов.

Рассматриваются малые колебания осесимметричной оболочечной конструкции, составленной из оболочек вращения, соединенных при помощи упругих шпангоутов. Внутренние полости конструкции частично заполнены жидкостью. Оболочки считаются тонкими упругими и могут быть подкреплены набором несимметричных относительно срединной поверхности часто расположенных продольных и кольцевых ребер. Упругие шпангоуты представляют собой тонкие кольца, размеры поперечных сечений которых малы по сравнению с их радиусами. Жидкость считается идеальной и несжимаемой, движение ее безвихревое. Конструкция находится в однородном

вихревое. Конструкция находится в однородном поле гравитационных сил, направленном вдоль ее оси симметрии.

Движение жидкости в полостях конструкции описывается при помощи потенциалов смещений Ф® , к = 1, ... . Л'с. (Ыс - число не связанных между собой объемов жидкости), удовлетворяющих уравнениям:

Дф® = 0 в . (42)

5Ф(А)

■ = » на Яо® ; (43)

дп

оФ(к>

= Г](к) на ; (44)

Зг

ф(Л)+0г/<к) =0 на . (45)

где (3® - область, занятая к-м объемом жидкости, а Ик' и 8о® - свободная поверхность и поверхность оболочки, смоченная жидкостью к-то объема, м> и 77® - нормальные перемещения стенок полости и точек свободной поверхности.

Колебания оболочек описываются соотношениями теории тонких упругих оболочек. В общем случае используется один из простейших вариантов геометрически нелинейной теории, характеризующийся геометрическими соотношениями, имеющими для оболочек вращения следующий вид:

1 ¿^1 М1 1 2 ^ \ 1 ЗАр М! 1 2 Еа=--+-+ — в1„ ; Ев=--+---и+-+ — 6% ;

а Аа да Яа 2 а ' ' ^ ^ АаАр да Яр 2 Р '

Р Л да Ар др АаАр да

1 дв„ 1 двв 1 дАв

Ка =---; Кр =---В.---Р-0 ■ (46)

да р Ар др АаАр ах

1 99 „ 1 дАв „ 1 9У

9Р 5а р 5а

^ 1 5>е и 1 5>с V

где а и р - криволинейные координаты на срединной поверхности оболочки (а - вдоль образующей, р - по окружности), и . г . \г - касательные и нормальное перемещения точек срединной поверхности, ва , Ор - углы поворота касательных к координатным линиям, Еа , Ер , Еар - удлинения и сдвиг срединной поверхности, Ка , Кр , Кар - параметры, характеризующие изменение кривизны и кручение срединной поверхности.

Уравнения колебаний конструкции получаются из условия стационарности функционала:

г

£*(и) = |(Г(и)-К(Щкй (47)

на множестве движений и = ,\\(к> ,к = , удовлетворяю-

щих лишь кинематическим ограничениям, наложенным на упругую часть конструкции. Этот функционал представляет собой модифицированный функционал действия, причем У(\]) - потенциальная энергия конструкции и гравитационных сил жидкости, а

Г(Ц) = Г(Ц) + |;{- \р{Р{УФт)2аУ + , (48)

Е«о

где Д11) - кинетическая энергия конструкции, р1 - плотность жидкости, п(А) орт внешней нормали.

Основное достоинство этого функционала в том, что среди условий его стационарности есть условие непротекания жидкости (43), что весьма удобно при применении метода конечных элементов.

Для определения динамических характеристик конструкции используется линеаризованная постановка задачи. В этом случае система уравнений распадается на не связанные между собой подсистемы для гармоник разложения неизвестных функций в ряд Фурье по окружной координате ¡3 , соответствующие различным числам волн по окружности. Тем самым трехмерная задача сводится к двумерной и обеспечивается явная зависимость любой собственной формы 11Л от окружной координаты в виде:

И, =м,(а)со8(/и,р-г,у) ; у,=у,(а)яп;

71

= м^ (а) совО^Р -—) ; (49)

ф« =$«(,-,7) СОвОи,/?-/, у)

где гпз = О, 1, 2 ... - число волн по окружности, 4 = О или 1 - определяет сдвиг по окружности для гпз > О, а для т;, = 0 идентифицирует продольно-радиальные и крутильные формы колебаний.

Раздел 4.2 содержит описание использованных в работе конечных элементов и способ дискретизации задачи.

Рассматривается задача определения собственных частот и форм колебаний описанных выше конструкций с заданным числом волн по окружности т . В соответствии с характером задачи используются конечные элементы трех типов - двумерные для аппроксимации потенциалов на осевых сечениях объемов жидкости (рис. 6), одномерные для аппроксимации перемещений точек срединной поверхности оболочки на ее осевом сечении (рис. 7) и одномерные

}

Рис. 7.

2(0; 1)

3(0; 0)

7(.к)

Ф

Ш

Рис. 8.

г

б) Рис. 6.

для аппроксимации потенциала и нормального смещения точек на осевом сечении свободной поверхности жидкости (рис. 8).

Дискретизация функционала (47) по методу конечных элементов дает приближенное значение функционала в виде:

1 ' т

= Т| ({<5}Т [Мр} - {<5}т [К]{3})Л :

(50)

где \М\ и |/\| - матрица масс и матрица жесткостей системы. Полный вектор параметров, описывающих движение конечноэлементной модели конструкции, {<5} содержит узловые значения перемещений, поворотов касательной к образующей и жидкостных потенциалов. Задача определения динамических характеристик конструкции сводится к алгебраической задаче о собственных значениях:

[К]{3}=а>2[М]{3} . (51)

В разделе 4.3 описана модификация оболочечных конечных элементов с целью учета влияния статического напряженно-деформированного состояния, возникающего вследствие действия внутреннего давления и собственного веса конструкции. Это влияние может быть учтено, если линеаризовать нелинейные уравнения колебаний в окрестности этого напряженно-деформированного состояния. Выполненная на уровне конечного элемента, такая дискретизация приводит к некоторой модификации выражения для матрицы жесткостей обо-лочечного элемента. Если статическая деформация достаточно мала, чтобы ее

можно было определить из линейных соотношений, то для расчета этой статической составляющей удобно также использовать метод конечных элементов.

В разделе 4.4 описаны основные принципы построения вычислительных алгоритмов и даны краткие характеристики разработанных программ.

Для расчетов по данному методу был разработан ряд программ, эксплуатировавшихся на вычислительных машинах БЭСМ-6, единой серии ЕС-1050, ЕС-1060, на компьютерах типа IBM PC. Программа включена в ФАП по ракетно-космической технике РКА, использовалась во всех конструкторских бюро ракетно-космической отрасли в расчетах динамических характеристик топливных баков и корпусов жидкостных ракет.

Благодаря тщательной отладке и тестированию, а также использованию эффективных численных методов достигнута высокая надежность алгоритма, не имевшего отказов при проведении тысяч расчетов. Решающую роль в распространении программ сыграла разработка удобных препроцессорных и постпроцессорных процедур, а также возможность вести расчет практически от чертежа, без трудно обосновываемых упрощений и введения промежуточных расчетных моделей с использованием механических аналогов. Новая версия программы обеспечивает полный учет гравитационных эффектов, связанных с колебаниями свободной поверхности жидкости и смещений контактной поверхности.

В разделе 4.5 приведены результаты тестовых расчетов, показывающие эффективность разработанных программ и сходимость к точному решению. Тестирование проводилось, в частности, на задачах для осесимметричных колебаний соосных цилиндров с жидкостью, для осесимметричных колебаний полусферической и сферической оболочек с жидкостью, для неосесимметрич-ных колебаний конической оболочки с жидкостью при наличии наддува, для осесимметричных колебаний сухой тороидальной оболочки с наддувом.

Впервые были исследованы динамические характеристики тороидальной оболочки с жидкостью. На рис. 9 показана зависимость собственных частот осесимметричных колебаний от уровня заполнения. Параметры конструкции: Д=1м, а = 2, /г = 0,01м, £ = 7-Ю10 Н/м2, v= 0,3 , р = 2750 кг/м3, р0 = 1000 кг/м3.

Здесь же рассмотрен пример гидроупругой системы, в которой возможна потеря устойчивости в результате действия гравитационного поля (рис. 10). Жесткая цилиндрическая полость, заполненная жидкостью, закрыта снизу тонкой пластинкой (R = 1 м, Я = 1 м, г0 = 1000 кг/м3, Е = 7-Ю10 Н/м2, v= 0,3 , р = 2750 кг/м3). Уменьшение толщины днища не ограничено соображениями прочности, поскольку статическое давление столба жидкости уравновешивается избыточным давлением газа в полости под днищем. Собственные частоты колебаний, обусловленные упругостью днища, снижаются с уменьшением его толщины и с возрастанием интенсивности гравитации, как показано на рис. 11 (пунктир соответствует собственным частотам колебаний свободной поверхно-

Рис. 9.

Рис. 10. сти в жесткой полости). Равенство собственной частоты нулю соответствует потере днищем статической устойчивости.

В разделе 4.6 исследована точность результатов синтеза динамических характеристик составных осесимметричных оболочечных конструкций с жидкостью (типа корпусов жидкостных ракет тандемной схемы) на основе ргошдях рядовдйюпдарюндасданные сопоставлены с результатами других методов синтеза: (1) с помощью стержневой схематизации корпуса и замены

дов синтеза: (1) с помощью стержневой схематизации корпуса и замены баков системами осцилляторов, (2) посредством последовательной замены верхних отсеков системами эквивалентных осцилляторов.

Стержневая модель дает заметную погрешность для первого тона, а также весьма существенные отличия для собственных форм конструкции. При моделировании осцилляторами верхнего отсека достаточно точные результаты получаются лишь при учете всех его тонов, частоты которых вдвое перекрывают заданную частоту среза. Метод синтеза с использованием корректирующих рядов уверенно дает высокоточные результаты. При этом наблюдается быстрая сходимость решения с увеличением порядка корректирующих рядов.

В пятой главе разработана методика расчета автоколебаний гидроупругой системы с регулятором с учетом нелинейности поведения осесимметрич-ной оболочки, предназначенная для исследования влияния нелинейности поведения корпуса жидкостной ракеты на амплитуду ее продольных колебаний в полете.

В разделе 5.1 выведены уравнения колебаний оболочечной конструкции с жидкостью с учетом влияния колебаний жидкости в присоединенных к ней трубопроводах и приведены уравнения колебаний жидкостной ракеты с двигателем (в линейном приближении). Новизна полученных соотношений заключается в выведенных в работе формулах для вычисления коэффициентов уравнений, ориентированных на использование оболочечной модели корпуса.

В разделе 5.2 выведены уравнения в нормальных координатах, описывающие нелинейные колебания осесимметричных оболочечных конструкций с жидкостью, и исследована их структура.

В результате разложения движения конструкции в ряд по ее собственным формам 11л (осесимметричным и неосесимметричным) в виде:

со

и = Х?,(')и, (52)

получаются уравнения в нормальных координатах, которые с учетом диссипации энергии имеют вид:

Эти уравнения связаны между собой посредством квадратичных и кубичных членов. Структура связей между колебаниями с различным числом волн по окружности с учетом общего выражения для собственных форм (49) определяется следующими условиями.

Коэффициент а Ф О , если выполнены два условия:

1) 1Р ЧН =0(шос12) , (54)

2) одно из трех равенств, получаемых перестановкой индексов:

тР=тд+тг (р д г р) . (55)

Коэффициент Ь Ф 0 , если выполнены два условия:

1) °(тос12) , (56)

2) одно из семи равенств, получаемых перестановкой индексов:

тр=тд+тг+т!, >г—>■/?) ,

тр+тд = тг+т!, (д —> г —> 5 —> д) .

В разделе 5.3 получены уравнения параметрического возбуждения неосе-симметричных форм колебаний при осесимметричных вынужденных колебаниях конструкции.

При действии на конструкцию осесимметричной продольной силы, как следует из структуры нелинейных связей уравнений в нормальных координатах (53), при нулевых начальных условиях не должны развиваться неосесим-метричные формы колебаний. В то же время наличие этих связей может привести к неустойчивости нулевых решений для неосесимметричных форм и, следовательно, к быстрому росту их амплитуд и даже преобладанию по сравнению с осесимметричной составляющей при появлении малых неосесимметричных возмущений, что неоднократно наблюдалось в эксперименте.

Условия такого параметрического возбуждения неосесимметричных форм получаются из исследования системы в вариациях, построенной для невозмущенного осесимметричного отклика. В предположении, что из учтенных в разложении собственных N форм первые К осесимметричные, эта система имеет вид:

к

= о, р = к + \,...,и.

ц=К+1

Из структуры нелинейных связей (54) - (57) следует, что Срд (/) = 0, если

тр или г ^г , т.е. система распадается на не связанные между собой

подсистемы, соответствующие различным значениям т иг, что позволяет для каждой пары (т, /) отдельно исследовать условия параметрического возбуждения.

Если исследуется устойчивость установившихся периодических колебаний конструкции, то коэффициенты системы (58) периодические. В случае, когда действующая на конструкцию продольная сила имеет гармонический характер и достаточно малую амплитуду, чтобы осесимметричный отклик удовлетворительно описывался линейными соотношениями, получаются простые аналитические выражения для коэффициентов Срд (I ).

В разделе 5.4 описан способ вычисления коэффициентов нелинейных уравнений и метод исследования областей параметрического возбуждения неосесимметричных форм, а также получены некоторые приближенные формулы для области главного параметрического резонанса.

Для вычисления коэффициентов нелинейных уравнений (53), представляющих собой интегралы по срединной поверхности оболочки, удобно использовать, как и для вычисления собственных форм, метод конечных элементов. С этой целью была разработана соответствующая программа. Для построения областей неустойчивости на плоскости «частота - амплитуда воздействия» также разработана программа, использующая метод, предложенный В.В.Болотиным и основанный на вычислении матрицы монодромии системы с периодическими коэффициентами и исследовании мультипликаторов системы.

В разделе 5.5 уравнения продольных колебаний обобщены на случай учета нелинейности поведения корпуса и параметрического возбуждения неосе-симметричных форм и описан метод их численного решения. Эти уравнения имеют вид:

лг,

+ 1>оД = <ЗР;

1=1

ЛГ„ И,

мк(Чк+екЧк +(01чк)+^1ак4г%чг + + 1ХД = ™Рк5р;

д,г=1 //.г.л /=1

МР(ЧР + ер4р +С02^р) + + = 0;

ык

=0; (59)

к= 1

Фо = XV/;

1=1

дР = Ь5{др0)-

{к = \,...,Ык- р = Ык+\,...,Ып- I 1......V.)

где Цк , ¡лК, еК, юК - обобщенные координаты, массы, коэффициенты демпфирования и собственные частоты корпуса, .v,, а,, с,, сг, - аналогичные величины для топливной магистрали, ф0 - вариация давления на входе в двигатель, 8Р -вариация тяги двигателя, /,„• - линейный оператор, Л',, - число учтенных в разложении собственных форм корпуса (первые А^ - осесимметричные), ТУ,- - число учтенных тонов магистрали.

Систему (59) можно рассматривать как систему интегро-дифференциальных уравнений, представив оператор /,„■ в виде:

г

5РЦ) = | (/ - г)ф0 (т)йт , (60)

о

где Ку, (I) - импульсная переходная функция, вычисляемая с помощью заданной амплитудно-фазовой частотной характеристики двигателя. Для решения систем интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра:

у = Р(*,у,ж) ;

г

•г(0 = /К(/>т>у(т)Ут; (61)

у(0)=°у„;

разработана и отлажена подпрограмма, на основе которой составлена программа численного интегрирования систем вида (59) при заданных начальных условиях.

В разделе 5.6 описана гидроупругая система с регулятором, на примере которой проведены исследования нелинейных оболочечных эффектов при возникновении продольных колебаний. Методика такого исследования включает в качестве этапов: расчет динамических характеристик оболочечной конструкции с жидкостью с помощью программы, основанной на методе конечных элементов; расчет коэффициентов нелинейных уравнений с использованием того же метода; расчет областей параметрического возбуждения неосесим-метричных форм колебаний конструкции при гармоническом продольном воздействии для выделения наиболее легко возбуждаемых; исследование переходных процессов в замкнутом контуре методом численного интегрирования.

Построены области параметрического возбуждения неосесимметричных тонов при гармоническом продольном воздействии. Исследованы переходные процессы в замкнутом контуре без учета нелинейности корпуса и с учетом ее как в отсутствие неосесимметричных форм, так и при их возбуждении при

различных начальных условиях, играющих роль внешних возмущений.

Исследуемая модель состоит из корпуса, представляющего собой цилиндрический бак (рис. 12) с подвешенными к торцам массами, присоединенного к нему трубопровода, закрытого снизу упругой мембраной, имитирующей упругость кавитационных каверн, и моделирующего динамические свойства двигателя регулятора, управляющего величиной действующей на конструкцию продольной силы в зависимости от величины давления на выходе из трубопровода. Параметры модели: Ь = 2,2 м , II, = 0.3 м . к = 0,0015 м , Е = 6,8-1010 Н/м2 , V = 0,3 , р = 2648 кг/м3, М = 481,264 кг , М2 =326,334 кг , / = 1,6 м , й?о = 0,06 м . Действительная и мнимая части АФЧХ регулятора представлены на рис. 13.

На рис. 14 показаны значения четырех низших собственных частот в зависимости от числа волн по окружности т .

Рис. 12.

/,Гц

200

150

100

50

Л \ \

81 1 ' \

?Л \ ' \ \ \ / $

* V \ \ "Я * ^ р*

р* у? (

Рис. 14.

Рис. 13.

Исследование параметрического возбуждения неосесимметричных форм при гармоническом продольном воздействии проводилось с учетом трех низших тонов осесимметричных колебаний и одного тона неосесимметричных (для каждого из значений т). На рис. 15 показаны нижние границы областей параметрического возбуждения низших неосесимметричных тонов с т = 2, ... , 8 в окрестности низшего тона осесимметричных колебаний.

Исследование проведено с учетом демпфирования, логарифмические декременты полагались равными 0,05.

15000

10000

5000

40 50 60 70 /, Гц

Рис. 15.

Использованный метод построения областей неустойчивости позволил получить не только области главного параметрического резонанса (сплошная линия), но и области побочных резонансов (первого порядка - штриховая линия, второго - штрих-пунктирная). Кроме того, выявляется чередование областей устойчивости и неустойчивости при увеличении амплитуды силы, как показано на рис. 16 для числа волн т = 6.

При исследовании автоколебаний в замкнутой системе значение собственной частоты колебаний жидкости в трубопроводе было задано 58 Гц, что соответствует неустойчивости системы «в малом». В линеаризованной системе

/,Гц

Рис. 16.

ветствует неустойчивости системы «в малом». В линеаризованной системе при этом развиваются колебания с экспоненциально возрастающей амплитудой и частотой, близкой к частоте первого тона осесимметричных колебаний конструкции, как видно из графика на рис. 17, где показаны результаты расчетов с учетом трех тонов осесимметричных колебаний (пунктиром показана огибающая процесса в случае линеаризованной системы). В качестве начальных условий задавалась деформация конструкции по форме первого тона с максимальных прогибом оболочки 0,01 к . Из графика видно, что учет нелинейности не дает заметного эффекта в случае осесимметричных колебаний.

Характер переходного процесса существенно изменился, когда дополнительно был учтен низший тон с т = 5, наиболее легко возбудимый на частоте возникающих автоколебаний (см. рис. 15). Начальное условие для этого тона соответствовало максимальному прогибу оболочки 0,01/г. На рис. 18 показано изменение во времени продольной силы Р и максимального прогиба оболочки по неосесимметричной форме м>тях , отнесенного к толщине оболочки. При достижении определенного уровня амплитуд продольных колебаний происходит интенсивное возбуждение неосесимметричной составляющей. В результате развитие продольных автоколебаний прекращается, и в дальнейшем они остаются ограниченными. Изменение начальных условий интегрирования не изменило характер процесса. Это демонстрирует важность учета эффекта параметрического возбуждения неосесимметрич-ных форм при исследовании автоколебаний в системах рассматриваемого типа.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,&

Рис. 17.

1,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

1,0

0,5 0

-0,5 1,0

1,с

0,1 0,2

1,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,3 0,9 1,0

Рис. 18.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Сформулированы и доказаны основные теоремы метода корректирующих рядов, составляющие принципиально новую идеологическую основу модального синтеза подконструкций при исследовании динамических свойств сложных систем в ограниченном частотном интервале. Операция усечения ряда из собственных форм подконструкции заменяется усечением степенного корректирующего ряда при конечном числе собственных форм в модальном разложении колебаний. Коэффициенты степенного ряда вычисляются рекур-рентно с помощью последовательности статических задач.

2. Получена асимптотическая оценка погрешности усечения модального разложения при увеличении порядка усеченного корректирующего ряда, дающая априорную оценку точности результатов синтеза подконструкций.

3. Выведены соотношения метода корректирующих рядов как для дискретных моделей подконструкций, так и для континуальных моделей. Рассмотрены различные варианты синтеза в зависимости от условий закрепления внешних степеней свободы подконструкций при определении их собственных частот и форм: методы жестких и свободных границ, а также гибридный метод, когда часть внешних степеней свободы закреплена, а часть свободна. Исследованы различные методы формирования матриц динамических коэффициентов влияния подконструкций.

4. Разработан численно устойчивый алгоритм вычисления корректирующих векторов (или функций). Показано, что в ходе рекуррентного процесса они должны вычисляться в подпространстве, ортогональном к учтенным в разложении собственным формам, при этом на каждом шаге должна выполняться дополнительная ортогонализация решения.

5. Разработан программный комплекс для исследования динамических характеристик сложных пространственных стержневых систем, включающий программу расчета собственных частот и форм колебаний подконструкций, препроцессор, постпроцессор для формирования баз данных, содержащих информацию о динамических характеристиках подконструкций и применяемых при синтезе корректирующих векторов, а также программы для исследования динамических характеристик составной конструкции с использованием метода корректирующих рядов. На основе аналогичных принципов разработан программный комплекс для исследования составных осесимметричных оболочеч-ных конструкций, содержащих жидкость. Проведены численные исследования сходимости метода корректирующих рядов на ряде простых примеров, а также на примерах конструкций типа корпусов жидкостных ракет и орбитальной космической станции (стержневая модель). Полученные результаты демонстрируют высокие показатели точности метода корректирующих рядов и скорости вычислений при невысокой требовательности к параметрам вычислительных систем.

6. Сформулирована непротиворечивая постановка краевой задачи и вариационный принцип для описания динамического поведения упругой конструкции, взаимодействующей с ограниченным объемом жидкости в

ции, взаимодействующей с ограниченным объемом жидкости в условиях однородного гравитационного поля. Предложенная формулировка применима к произвольным регулярным (кусочно-гладким) поверхностям контакта конструкции с жидкостью.

7. Разработан алгоритм решения задачи определения динамических характеристик осесимметричных оболочечных конструкций, взаимодействующих с ограниченными объемами жидкости, основанный на методе конечных элементов. Вычисляются как осесимметричные, так и неосесимметричные формы колебаний с учетом влияния начального напряженно-деформированного состояния, обусловленного внутренним давлением в полостях конструкции (включая гидростатическое давление) и ее собственным весом. Программная реализация алгоритма на различных электронных вычислительных системах показала его высокую надежность в процессе многолетней эксплуатации в условиях конструкторских бюро ракетно-космической отрасли. Он включен в фонд алгоритмов РКА и использовался в процессе проектно-конструкторских работ при создании ракет Зенит, Энергия-Буран, Космос, Рокот, Прибой и других. Новый программный комплекс позволяет в полном объеме учитывать гравитационные эффекты, связанные с образованием поверхностных волн и деформацией поверхности контакта жидкости со стенками сосуда.

8. Разработана методика исследования амплитуд продольных автоколебаний жидкостной ракеты с учетом нелинейности деформаций оболочек корпуса и эффекта параметрического возбуждения неосесимметричных форм колебаний. Проведенное исследование показало, что, во-первых, учет геометрической нелинейности в рамках предположения об осесимметричности колебаний не дает существенного эффекта в плане ограничения амплитуд продольных автоколебаний, и во-вторых, учет эффекта параметрического возбуждения неосесимметричных тонов оказывает существенное влияние на характер переходного процесса и приводит к значительному ограничению амплитуд продольных колебаний. Этот результат показывает необходимость учета нелинейности поведения корпуса при оценке максимальных амплитуд продольных колебаний, развивающихся в связи с неустойчивостью в контуре «корпус - топливная магистраль - двигатель», а методика открывает путь исследования данного вопроса в ходе проектно-конструкторских разработок данного класса изделий.

Разработанные алгоритмы внедрены в практику расчета ведущих предприятий и конструкторских бюро ракетно-космической отрасли.

Основные результаты работы опубликованы в следующих трудах автора по теме диссертации:

1. Григорьев В.Г. Применение метода конечных элементов к расчету колебаний упругих оболочечных конструкций, содержащих жидкость. // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. (Труды III семинара). - Томск, Томский ун-т, 1978. - С. 55 - 60.

2. Григорьев В.Г. Расчет динамических характеристик сложных оболочечных конструкций с жидкостью. // Колебания упругих конструкций с жидко-

стью. Сборник научных докладов IV симпозиума. - М.: ЦНТИ "Волна", 1980. -С. 102 - 107.

3. Григорьев В.Г. Расчет динамических характеристик осесимметричных оболочечных конструкций, содержащих жидкость, при осесимметричных колебаниях. Программа инв. N 0365П: Аннотация. // Справочно-информационный бюллетень ОФАП САПР, вып. 14. ГОНТИ, 1981.

4. Григорьев В.Г. Устранение погрешностей при синтезе подконструкций по методу жестких границ и корректирующие ряды в ортогональном подпространстве //Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. - 1997. - № 3. - С. 48-54.

5. Григорьев В.Г. О построении матриц при синтезе конструкций по методу жестких границ с использованием корректирующих рядов // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. - 1997. - № 4. - С. 93-99.

6. Григорьев В.Г. О вычислительных аспектах применения корректирующих рядов при синтезе подконструкций по методу свободных границ // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. - 1998. - № 4. - С. 17-27.

7. Григорьев В.Г. Колебания и устойчивость упругих сосудов с жидкостью при действии гравитационного поля. // Материалы V Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". - М.: Издательство "ГРАФРОС", 1999. - С. 33.

8. Григорьев В.Г. О расчете колебаний упругих оболочек с жидкостью в условиях однородного гравитационного поля. // Механика оболочек и пластин: Сборник докладов XIX Между народно й конференции по теории оболочек и пластин. - Нижний Новгород: Издательство ННГУ, 1999. - С. 51 - 54.

9. Григорьев В.Г. О вариационных принципах в динамике упругих конструкций, взаимодействующих с жидкостью. // Материалы VI Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". - М.: Издательство "ГРАФРОС", 2000. - С. 30 - 31.

10. Балакирев Ю.Г., Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Нелинейные продольные автоколебания оболочечных конструкций с жидкостью. // 13 Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек, Таллин, 1983. Ч. 1. А-В. - Таллин, 1983.-С. 84 -89.

11. Балакирев Ю.Г., Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Нелинейные автоколебания регулируемых систем, содержащих оболочки с жидкостью. // Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. -С. 6- 19.

12. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Модальный синтез подконструкций с использованием корректирующих последовательностей в исследовании динамики больших космических конструкций. // Крупногабаритные космические конструкции. Тезисы докладов научно-технической конференции. - Севастополь, 1990.-С. 40-41.

13. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Повышение точности динамического синтеза подконструкций в методе жестких границ для дискретных моделей // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. - 1997. - № 2. - С. 108 - 122.

14. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Использование корректирующих рядов для повышения точности динамического синтеза подконструкций в варианте жестких границ. // Тезисы докладов III Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". - М.: Издательство "ЛАТМЭС" МГАТУ, 1997. - С. 46 - 47.

15. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Синтез подконструкций методом свободных границ с использованием корректирующих рядов. // Материалы IV Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". - М.: Издательство "ГРАФРОС", 1998. -С. 100 - 105.

16. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Модальный синтез суперэлементов с применением корректирующих рядов // XVI Между народная конференция "Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов", 23 - 26 июня 1998 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов. - СПб., 1998. - Т. 1. - С. 31 - 32.

17. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Исследование динамики сложных упругих систем на основе синтеза подконструкций с использованием аналитических и дискретных моделей. // Материалы V Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". - М.: Издательство "ГРАФРОС", 1999. - С. 33 - 34.

18. Шмаков В.П., Григорьев В.Г. О новых подходах к решению задач динамики крупногабаритных модульных космических конструкций. // Международная конференция "Научно-технические проблемы космонавтики и ракетостроения". Тезисы и аннотации докладов. - Г. Калининград Московской области, ЦНИИмаш, 1996. - С. 252.

19. Шмаков В.П., Григорьев В.Г. Синтез динамических характеристик аналитических и дискретных моделей подконструкций с использованием корректирующих рядов // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. - 2000. - № 2. - С. 5 -19.

20. Shmakov V.P., Grigoriev V.G. Effective synthesis of dynamic model of complex elastic structure for problems of control // Multiple criteria and game problems under uncertainty. Abstracts. The Fourth International Workshop (8-14 September, 1996). - Moscow, 1996. - P. 107.

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

МЕТОДА КОРРЕКТИРУЮЩИХ РЯДОВ В СИНТЕЗЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ.

1.1. Основные соотношения метода корректирующих рядов.

1.2. Построение корректирующих векторов в ортогональном подпространстве.

1.3. Основные теоремы метода корректирующих рядов.

1.4. Синтез изгибных колебаний однородных стержней.

Глава 2. СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПОДКОНСТРУКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОРРЕКТИРУЮЩИХ РЯДОВ.

2.1. Модальный синтез дискретных моделей подконструкций методом жестких границ.

2.1.1. Общая схема построения корректирующих рядов и . . . 74 синтеза подконструкций.

2.1.2. Использование ортогональных подпространств в . . . 87 процессе построения корректирующих векторов.

2.1.3. Методы формирования матриц подконструкций с . . . 92 использованием корректирующих векторов.

2.1.4. Простые корректирующие вектора в методе . . . 101 жестких границ.

2.2. Модальный синтез дискретных моделей подконструкций методом свободных границ.

2.2.1. Построение корректирующих рядов в методе . . . 106 свободных границ.

2.2.2. Вычисление корректирующих векторов с частотным сдвигом при наличии нулевых собственных частот. 2.2.3. Сопоставление точности методов свободных и жестких границ.

2.3. Гибридный подход к модальному синтезу дискретных моделей подконструкций.

2.4. Расчет амплитудно-фазовых частотных характеристик сложных упругих систем с учетом демпфирования.

2.5. О синтезе аналитических и дискретных моделей подконструкций.

2.6. Расчет динамических характеристик орбитальной космической станции.

Глава 3. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГИДРОУПРУГОСТИ . . . 151 ДЛЯ КОНСТРУКЦИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЪЕМАМИ ЖИДКОСТИ.

3.1. Уравнения малых колебаний жидкости в лагранжевой форме и кинематические условия на контактной поверхности.

3.2. Динамические условия на контактной поверхности и потенциальная энергия гравитационных сил жидкости.

3.3. Уравнения колебаний конструкции, содержащей жидкость.

3.4. Вариационные принципы для решения задач о колебаниях конструкций, содержащих жидкость.

Глава 4. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЖИДКОСТЬ.

4.1. Основные соотношения.

4.1.1. Колебания несжимаемой жидкости.

4.1.2. Тонкостенная упругая оболочка.

4.1.3. Упругие шпангоуты.

4.1.4. Вариационная формулировка проблемы.

4.1.5. Массы эквивалентных осцилляторов.

4.2. Конечноэлементная дискретизация конструкции.

4.2.1. Конечные элементы несжимаемой жидкости.

4.2.2. Конечные элементы тонкостенной оболочки.

4.2.3. Конечные элементы свободной поверхности.

4.2.4. Формирование объединенных матриц . . . 210 конечноэлементной модели.

4.3. Учет влияния статического деформированного состояния при расчете динамических характеристик.

4.4. Основные принципы построения вычислительных алгоритмов.

4.4.1. Рациональное использование памяти . . . 217 вычислительной системы.

4.4.2. Решение проблемы собственных значений.

4.4.3. Ввод исходной информации.

4.5. Результаты расчетов.

4.5.1. Сопоставление расчетных данных с известными . . . 223 решениями.

4.5.2. Исследование устойчивости гидроупругой системы . . . 234 при действии гравитационного поля.

4.6. Синтез подконструкций в расчетах динамических характеристик корпусов жидкостных ракет тандемной схемы.

Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОДОЛЬНЫХ

АВТОКОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТНОЙ РАКЕТЫ НА ОСНОВЕ ОБОЛОЧЕЧНОЙ МОДЕЛИ КОРПУСА.

5.1. Уравнения продольных колебаний жидкостной ракеты как гидроупругой системы с регулятором.

5.2. Уравнения нелинейных колебаний осесимметричных оболочечных конструкций с жидкостью.

5.3. Параметрическое возбуждение неосесимметричных форм при осесимметричных колебаниях.

5.4. Вычисление коэффициентов нелинейных уравнений.

Построение областей параметрического возбуждения.

5.5. Уравнения продольных колебаний с учетом нелинейности поведения корпуса. Метод решения.

5.6. Исследование нелинейных автоколебаний гидроупругой системы с регулятором.

5.6.1. Параметрическое возбуждение неосесимметричных . . . 292 колебаний.

5.6.2. Нелинейные продольные автоколебания . . . 296 гидроупругой системы с регулятором.

Практически все современные технические сооружения и аппараты - ракеты и космические станции, самолеты, корабли, автомобили, строительные и гидротехнические сооружения - представляют собой сложные системы, состоящие из совместно функционирующих подсистем. Условия взаимодействия этих подсистем, выделяемых либо пространственно, как часть конструкции, либо в плане выполняемой функции, определяют успешность выполнения главной задачи разрабатываемой системы. Как правило, понятие "сложность" связывается именно с наличием в системе многих компонент, взаимное влияние которых создает проблемы при проведении теоретических исследований, необходимых для ее проектирования.

Физическую основу рассматриваемых систем, несущую все прочие подсистемы, представляет конструкция, скомпонованная из стержневых, тонкостенных или иных элементов, изготовленных из материалов, которые в пределах достаточно малых деформаций могут рассматриваться как упругие. Результатом взаимодействия упругой конструкции с прочими подсистемами и с внешней средой являются ее колебания - периодические или же переходный процесс. Параметры этих колебаний определяют пригодность конструкции к эксплуатации по критериям прочности, амплитудным значениям перемещений, уровням перегрузок или иным конкретным для каждой системы показателям.

Важным этапом исследования динамического поведения разрабатываемой системы является определение динамических характеристик входящей в ее состав упругой конструкции, к числу которых относятся собственные частоты и формы колебаний, амплитудно-фазовые частотные характеристики, динамические коэффициенты влияния (динамические жесткости и динамические податливости) и т.д. Эта информация является исходной для последующего анализа вибраций конструкции.

Обычно упругая конструкция сама представляет собой сложную систему, составленную из относительно более простых подконструкций, механически соединенных между собой и взаимодействующих в процессе совместных колебаний. Это существенно осложняет задачу исследования ее динамических характеристик как экспериментальными, так и расчетными методами. При этом возникающие трудности могут иметь как технический, так и организационный характер:

- размерность математической модели всей конструкции в целом может превышать возможности используемой для расчета вычислительной системы (либо ограничен объем памяти, либо потребное время счета делает задачу невыполнимой);

- конструкция может оказаться слишком велика для проведения вибрационных испытаний (в особенности это относится к летательным и космическим аппаратам, динамические характеристики которых должны определяться при отсутствии какого-либо закрепления);

- многие крупные системы (например, космические станции) обычно формируются из фрагментов, разрабатываемых разными фирмами, находящимися в разных странах на значительном удалении друг от друга, когда сборка всех компонент для проведения испытаний оказывается весьма дорогостоящим и трудновыполнимым мероприятием.

Естественным направлением мысли на пути преодоления указанных проблем является анализ расчлененной на подсистемы конструкции по частям и последующий синтез результатов, полученных для каждой части в отдельности теоретически или экспериментально. Развитие электронной вычислительной техники с середины 1960-х годов придало актуальность разработке универсальных алгоритмов, позволяющих автоматизировать процедуру синтеза при исследовании динамических характеристик сложных механических систем.

Считается, что впервые четко оформленный тензорно-матричный подход к этой проблеме изложен в работах Г.Крона [65]. Предложенная им методология преимущественно ориентирована на анализ электрических сетей и оказалась мало приспособленной к специфике механических задач. Тем не менее, имеются немногочисленные последователи, развивающие это направление [183, 185, 86].

Основные же пути развития теории синтеза динамических характеристик подконструкций определялись с учетом особенностей задач динамики упругих систем. Значительный вклад в этот раздел науки внесли отечественные исследователи, и здесь следует отметить работы Постнова В. А. [70, 89, 90, 85] , Вольмира А.С. [28, 29, 30, 79], Шклярчука Ф.Н. [101], Шмакова В.П. [103, 104, 105], Лиходеда А.И. [68, 4, 5], Бурмана З.И. [24]. Среди зарубежных исследователей наиболее заметны работы таких авторов, как Craig R.R. [126, 127, 128, 129, 130], MacNeal R.H. [168].

Среди многообразия подходов к синтезу динамических характеристик выделим, как наиболее физически обоснованный, метод модального синтеза, когда в качестве исходной информации о свойствах подконструкций используются данные об их собственных частотах и формах колебаний. Основой для построения математической модели всей системы в этом случае служит представление колебаний каждой подконструкции в виде ряда, содержащего ее собственные формы (в дальнейшем - модального разложения колебаний). Т.е. собственные формы играют роль координатных функций в описании движения подконструкции.

Заметим, что существуют подходы к решению данной задачи, не основанные на предварительном вычислении динамических характеристик подкон-струкций. Это, например, работа [113], в которой разбиение дискретной модели упругой системы на подконструкции используется, фактически, лишь для более эффективной реализации метода итерирования подпространства при вычислении собственных частот и форм системы. Здесь же упомянем работы [140, 169], в которых предлагается для аппроксимации колебаний подконст-рукций использовать произвольные полные системы базисных функций, а также работы [117, 141, 142], где с помощью специальных итерационных алгоритмов эти базисные функции улучшаются (итерация подпространств на уровне подконструкций).

Тем не менее, наибольшее количество работ посвящено модальному синтезу, поскольку в этом случае удается эффективно сокращать объем исходной информации о подконструкциях и, что самое важное, уменьшать размерность решаемой в процессе синтеза динамических характеристик задачи, основываясь на ограничении исследуемого частотного диапазона.

Важное значение при исследовании сложной системы имеет способ соединения ее компонент (интерфейс системы). Как правило, соединение под-конструкций осуществляется посредством специальных пространственно локализованных узлов, работающих таким образом, что в рамках принимаемой математической модели подконструкции воздействие со стороны этого узла представляет совокупность сосредоточенных обобщенных сил, связанных с соответствующими обобщенными перемещениями в точке. Обычно входящие в узел степени свободы связаны линейными соотношениями, входящими в получаемую при синтезе математическую модель системы непосредственно либо с помощью множителей Лагранжа, как в работе [132].

Сопряжение подконструкций по одномерным и двумерным многообразиям обычно имеет место при искусственном рассечении крупногабаритной конструкции. При использовании в расчетах дискретных моделей подконструкций (как правило, построенных на основе метода конечных элементов) здесь не возникает принципиальных затруднений, поскольку соединение осуществляется посредством коллокации в узлах модели. В работах [140, 169] предлагается метод, основанный на введении специальных весовых функций, связанных с континуальным интерфейсом, что практически означает его дискретизацию (хотя и не пространственную). В работе [155] с этой целью введены граничные обобщенные координаты. Такой подход может быть полезен при использовании аналитических моделей подконструкций. Отметим также работу [174], где в вариационной постановке задачи синтеза используются определенные на границе сопряжения множители Лагранжа, а решение дискре-тизированных по методу Ритца уравнений осуществляется с использованием сингулярного разложения подматриц, соответствующих интерфейсу системы.

Ключевым вопросом при реализации модального синтеза подконструкций является выбор граничных условий, при которых определяются собственные частоты и формы компонент системы (парциальные динамические характеристики). При этом, естественно, не могут варьироваться наложенные на подконструкцию кинематические ограничения, не относящиеся к интерфейсу системы. Свобода выбора существует только для обобщенных перемещений, связанных с соединительными узлами, которые в дальнейшем будем называть внешними степенями свободы подконструкции. Существующие методы модального синтеза можно классифицировать по этому признаку следующим образом:

- методы жестких границ, когда парциальные характеристики подконст-рукций определяются при условии закрепления внешних степеней свободы;

- методы свободных границ, когда парциальные характеристики подкон-струкций определяются при не закрепленных внешних степенях свободы;

- гибридные методы, если возможно частичное закрепление внешних степеней свободы подконструкции при определении ее парциальных характеристик.

В дополнение к перечисленным, существует еще метод, названный в работе [131] методом «нагруженных границ», когда расчет форм колебаний под-конструкции осуществляется не изолированно от остальных компонент системы, а при дополнительных жесткостных и инерционных нагрузках, добавляемых к внешним степеням свободы с целью приблизить эти формы к виду собственных колебаний системы в целом на данной подконструкции. При правильном выборе этих нагрузок решение задачи о собственных значениях при синтезе подконструкций может дать более точный результат. Варианты такого подхода под названием «метода ветвей» описаны в работах [135, 116]. Нагруженные собственные формы используются также в работе [156].

Неудобство этого метода по сравнению с тремя перечисленными выше очевидно ввиду того, что модификация одной из составляющих систему подконструкций при таком подходе вызывает необходимость пересчета парциальных характеристик остальных подконструкций и внесения изменений в соответствующие им базы данных. При этом интуитивность подбора дополнительных нагрузок не гарантирует существенного повышения точности результата.

Варианты метода жестких границ представлены в работах [149, 150, 151, 128, 126, 130, 61]. Отметим, что вариант в форме Крейга-Бэмптона [128] послужил основой распространенного в настоящее время формата обмена данными по динамике подконструкций между кооперированными разработчиками сложных конструкций. В работе [144] описан метод жестких границ применительно к системам с демпфированием, позволяющий учитывать несимметричность, связанную с кориолисовыми силами и взаимодействием системы с внешней средой. В работе [5] описан метод выделения квазистатических составляющих кинематического и силового типов как дополнительных членов модального разложения колебаний подконструции, обеспечивающий существенное повышение точности решения. При этом вычисляемая на первом шаге квазистатическая составляющая кинематического типа представляет собой аналог введенных в методе Крейга-Бэмптона «граничных форм» («constraint modes»), дополняющих модальное разложение.

Методы свободных границ представлены в работах [136, 146, 129, 126, 181]. Отметим, что в работе [129] введено понятие остаточной податливости для приближенного учета влияния в низкочастотном диапазоне не включенных в модальное разложение высших тонов подконструкции, с которым связано понятие «соединительных форм» («attachment modes»), как дополнительных членов этого разложения [126]. Метод учета остаточных эффектов второго порядка предложен в работе [181]. В работе [154] для построения матриц остаточной податливости балочных подсистем используются аналитические выражения для собственных форм и частот.

Гибридный метод описан в работе [168], где также предложены методы учета остаточных эффектов для повышения точности решения.

В отечественной практике получили распространение многоуровневые методы синтеза, в которых допускается поэтапное укрупнение фрагментов сложной системы. При этом синтез группы подконструкций на более низком уровне дает информацию о подконструкции следующего уровня, получаемой посредством их соединения. Метод суперэлементов, представленный в работах [28, 29], ориентирован на использование собственных форм, определяемых с учетом влияния соседних суперэлементов вдоль общих границ, чем сходен с методом работы [116]. Предложенный в работе [57] метод многоуровневой динамической конденсации может быть отнесен к методам жестких границ и на низшем уровне соответствует идеологии работы [128]. При этом, как и в работе [115], подконструкция рассматривается как суперэлемент с внутренними обобщенными неизвестными, соответствующими ее собственным формам.

Отметим как предельный («вырожденный») случай модального синтеза метод, основанный на статической конденсации подконструкции [153, 139, 70], когда вводится жесткая связь внешних степеней свободы с внутренними и последние исключаются из уравнений колебаний. Такой подход весьма прост в реализации, т.к. не требует предварительного определения собственных частот и форм, но имеет весьма ограниченную сферу применения ввиду невысокой точности, поскольку в уравнениях полностью исключается внутренняя динамика подконструкции. Как промежуточный можно рассматривать предложенный в работе [167] вариант упрощенной динамической конденсации, когда вычисленные при фиксированных границах собственные формы используются для приближенного учета внутренней динамики подконструкции посредством линеаризации в окрестности заданного значения частоты.

Заметим, что все упомянутые выше методы направлены на обеспечение удовлетворительной точности результатов синтеза в диапазоне низких частот колебаний, для чего в модальных разложениях удерживаются формы, соответствующие низшим собственным частотам подконструкций. В работах [152, 162] предложены методы учета остаточных эффектов не только высших, но и низших отсекаемых в модальных разложениях тонов, когда интервал исследуемых частот для системы ограничен снизу ненулевым значением.

Подавляющая часть методик синтеза динамических характеристик разрабатывалась таким образом, чтобы в результате синтеза формировались линейные алгебраические системы или системы дифференциальных уравнений. В этом случае на завершающем этапе расчета динамических характеристик системы формулируется линейная задача о собственных значениях, методы решения которой хорошо разработаны. Ради этого при выводе соотношений отбрасываются нелинейные члены и вводятся иные допущения, приводящие к погрешностям, оценка которых представляет собой непростую задачу.

В случае метода жестких границ результирующая система обычно синтезируется аналогично процедуре объединения конечных элементов с внутренними степенями свободы [56] в соответствии с методом перемещений. В случае методов свободных границ процедура синтеза несколько более сложная. В работе [53] описан алгоритм формирования уравнений задачи о собственных значениях для метода остаточных податливостей.

Однако, следует отметить, что для решения многих задач, связанных с разработкой технических систем, включающих сложную упругую конструкцию, определение в чистом виде ее собственных частот и форм колебаний является лишь промежуточной задачей. Непосредственно важными часто оказываются данные, получаемые с использованием этих характеристик, - это амплитудно-фазовые частотные характеристики, передаточные функции, импе-дансы, динамические коэффициенты влияния (динамические жесткости и динамические податливости) и т.д. Характерными примерами здесь могут быть задачи исследования устойчивости систем управления упругими объектами, задачи акустики. Все перечисленные выше величины, являющиеся функциями частоты, относятся в широком смысле к динамическим характеристикам упругой системы. Непосредственное их получение из соотношений синтезированной математической модели упругой системы без промежуточной стадии вычисления ее собственных частот и форм обеспечивает в указанных случаях решение основной задачи.

Подход, представленный в работе Крона [65] и его последователей [183, 185], фактически направлен на вычисление матриц динамических податливо-стей как нелинейных функций частоты с последующим синтезом по методу сил. Получаемая система линейных алгебраических уравнений содержит зависящие от частоты коэффициенты. Это дает возможность построения различного рода амплитудно-фазовых частотных характеристик и прочих перечисленных выше зависимостей. Определение собственных частот и форм колебаний системы здесь также возможно с использованием общих методов поиска решений нелинейных уравнений, разработаны и специализированные методы для рассматриваемого класса задач (см., например, [183, 185]).

Заметим, что достаточно точная информация о динамических коэффициентах влияния упругой системы может эффективно использоваться и для расчета переходных процессов при исследовании динамических нагрузок при помощи численных интегральных преобразований, как, например, в работе [184].

Аналогичный подход представлен в работах [164, 165], но с использованием матриц динамических жесткостей подконструкций. Он проще в реализации, поскольку основан на синтезе систем уравнений по методу перемещений, что ближе исследователям, традиционно работающим с методом конечных элементов. Здесь, как и в работах [65, 183, 185], для построения динамических матриц подконструкций используются данные об их собственных частотах и формах колебаний.

Отметим также работу [2], в которой для формирования нелинейных характеристических уравнений сложных упругих систем предлагается использовать математический аппарат метода факторизованных возмущений, предназначенного для анализа линейных физических систем с взаимодействием. Каждая налагаемая в процессе соединения подсистем связь при этом представляется возмущающим оператором, действующим на исходную совокупность не взаимодействующих подсистем. Существенной составляющей в предлагаемых математических построениях являются выражения для частотных гриновских функций изолированных подсистем. Это весьма жесткое для практического использования метода условие, поскольку построение соответствующих аналитических выражений возможно для ограниченного класса подсистем.

Общей для всех описанных подходов является проблема точности представления динамических свойств подконструкции в синтезированной системе в условиях, когда в модальном разложении может присутствовать ограниченное число собственных форм, - проблема усечения модального разложения. Этот вопрос принципиален, поскольку лежит в основе метода модального синтеза, обеспечивающего снижение размерности решаемых задач и вычислительных затрат за счет ограничения спектра подконструкций.

Очевидно, что если ставится задача исследования динамических свойств системы в диапазоне частот, ограниченных сверху некоторой частотой среза, то в модальных разложениях подконструкций должны учитываться все собственные формы, частоты которых не превосходят эту границу. Отбрасывание форм с более высокими частотами вносит погрешность в математическую модель и приводит к ошибкам в получаемых результатах. Как показывают исследования, в зависимости от способа соединения подконструкций и локальных особенностей их собственных форм влияние высших тонов на низкочастотную динамику системы меняется существенно не монотонно с возрастанием их собственных частот. Вопросам выбора критериев оценки и исследованию величины вносимой погрешности посвящены работы [171, 163, 145, 114, 52]. Предлагаемые критерии предназначены для автоматизации процесса выбора удерживаемых в модальных разложениях собственных форм подконструкций. Однако на практике наиболее употребителен подход, представленный в работах [181, 57] рекомендацией удерживать в модальных разложениях все собственные формы, частоты которых превосходят обусловленную частоту среза в 1,5 - 2 раза.

Подчеркнем, что несмотря на актуальность вопроса, ни один из рассмотренных выше методов модального синтеза не позволяет сформулировать априорную оценку погрешности получаемых результатов. Причина этого в том, что единственным варьируемым параметром, влияющим на точность получаемого результата, остается во всех методах количество удерживаемых собственных форм в модальном разложении колебаний подконструкции. Изначально не предсказуемая в общем случае сложность спектров подконструкций и структура их собственных форм не позволяет делать предварительные оценки погрешности синтеза.

В настоящей работе предлагается принципиально иной подход к оценке погрешности синтеза, основанный на отказе от идеи наращивания числа учитываемых собственных форм сверх минимально необходимого, определяемого количеством тонов с частотами, попадающими в исследуемый интервал. Повышение точности представления динамических свойств подконструкции в ограниченном частотном диапазоне достигается с помощью конструктивного алгоритма формирования вспомогательных членов модального разложения при неизменном наборе сохраняемых собственных форм.

В работе В.П.Шмакова [103] предложено строить решение задачи о гармонических колебаниях одномерной подконструкции в виде разложения по собственным формам базовой задачи, дополненного корректирующей составляющей. Эта корректирующая составляющая строится в виде многочлена относительно квадрата частоты колебаний, коэффициенты которого определяются как решения рекуррентной последовательности статических краевых задач. Поэтому степень многочлена может неограниченно наращиваться. При этом коэффициенты модальных членов разложения изменяются таким образом, что вклад тонов с высокими собственными частотами в области низких частот колебаний уменьшается с ростом порядка корректирующего многочлена. Это является основой для повышения точности получаемых при синтезе подконст-рукций решений частотного уравнения в условиях ограниченного числа учтенных собственных форм.

Аналогичный подход использован в работе А.И.Лиходеда [68] для повышения точности при расчетах нестационарного динамического нагружения упругих систем, а также при синтезе подконструкций методом жестких границ [5], где он трактуется как многократное выделение квазистатической составляющей.

Неограниченное наращивание порядка корректирующего многочлена не приводит к построению сходящегося степенного ряда. Однако, если выделить некоторое количество собственных форм и строить корректирующий многочлен в подпространстве, ортогональном к линейной оболочке этих форм, то соответствующие им (формам) коэффициенты имеют вид, не зависящий от порядка корректирующего многочлена. В таком случае получающийся степенной ряд оказывается сходящимся в ограниченном частотном интервале, если в модальное разложение включены все собственные формы, частоты которых лежат в этом интервале. С учетом этого обстоятельства автором настоящей работы был введен термин «корректирующий ряд» [37, 38, 39]. Коэффициенты этого ряда можно называть корректирующими функциями.

В настоящей работе методика синтеза динамических характеристик строится на основе гибридного подхода, когда собственные формы подконст-рукции определяются при условии частичного закрепления внешних степеней свободы. Метод жестких границ и метод свободных границ рассматриваются как частные случаи. Соединение подконструкций предполагается дискретным, т.е. интерфейс системы конечномерный.

Теоретической основой разработанного здесь метода корректирующих рядов служат две сформулированные автором основные теоремы. Суть первой из них в том, что гармонический отклик подконструкции в ограниченном частотном интервале может быть точно представлен в виде модального разложения, включающего лишь те тона колебаний, собственные частоты которых не превосходят верхней границы этого интервала, и дополненного равномерно сходящимся на этом интервале корректирующим рядом. Вторая теорема утверждает то же самое относительно ограниченного частотного интервала с ненулевой нижней границей, причем в модальном разложении должны присутствовать лишь те собственные формы, частоты которых лежат в этом интервале. В этом случае строятся корректирующие ряды относительно смещенного значения частотного параметра.

Использование этих теорем позволяет принципиально изменить идеологию модального синтеза. Усечение модальных разложений путем отбрасывания высших тонов подконструкций заменяется усечением корректирующего ряда. В процессе доказательства теорем строится алгоритм вычисления коэффициентов корректирующего ряда и, что весьма важно, выводится асимптотическая оценка погрешности его усечения. Использование этой оценки в качестве априорной при проведении пробных расчетов дает возможность реально оценивать точность получаемых результатов.

В настоящей работе принята терминология, в соответствии с которой усеченный корректирующий ряд, содержащий т членов, (фактически, корректирующий многочлен) называется корректирующим рядом т-го порядка. Упомянутая асимптотическая оценка содержит порядок корректирующего ряда в показателе степени, основание которой меньше единицы. Таким образом, наблюдается экспоненциальная сходимость решения с ростом порядка корректирующего ряда.

На основе предложенного вида модального разложения для подконст-рукции формулируются соотношения между внешними обобщенными силами и перемещениями в виде системы уравнений, содержащих набор динамических коэффициентов влияния. Эти коэффициенты могут использоваться для формирования матрицы динамических жесткостей или матрицы динамических податливостей подконструкции. Синтез системы в зависимости от этого можно осуществлять либо по методу перемещений (метод динамических жестко-стей), либо по методу сил (метод динамических податливостей).

Получаемая система уравнений может быть использована для определения собственных частот и форм упругой системы, однако наиболее удобно ее применение для непосредственного вычисления амплитудно-фазовых частотных характеристик, передаточных функций и других характеристик в решении тех задач, где такие данные используются. Следует отметить, что разработанная методика обеспечивает чрезвычайно быстрый расчет частотных характеристик системы при гарантированной высокой точности в заданном частотном диапазоне.

Основные соотношения и теоремы метода сформулированы применительно к обобщенной операторной постановке задачи для континуальных моделей упругих систем. Аналогичные результаты формулируются для дискретных моделей подконструкций, получаемых, например, методом конечных элементов. Векторные коэффициенты корректирующих рядов в этом случае называются корректирующими векторами.

Полученные формулы легко обобщаются на случай пропорционально демпфированных подконструкций. При этом предоставляется возможность задания различных коэффициентов демпфирования в подконструкциях, что существенно расширяет возможности моделирования демпфированных упругих систем.

Для проведения численных исследований и расчетов разработан программный комплекс, содержащий:

- программы расчета динамических характеристик конечноэлементных моделей упругих подконструкций с препроцессором;

- постпроцессорные программы формирования баз данных о подконст-рукциях, содержащих информацию о динамических характеристиках и корректирующих векторах;

- программы исследования спектра составной упругой системы и построения ее частотных характеристик с учетом демпфирования.

Сформированные предварительно базы данных о подконструкциях используются в алгоритме синтеза для определения динамических и частотных характеристик составной системы. Замена или модификация какой-либо компоненты системы отражается лишь в изменении соответствующей ей базы данных. Разработана универсальная структура баз данных для конечноэле-ментных моделей подконструкций.

Программный комплекс строится на основе общих принципов и может дополняться программами расчета необходимых для синтеза данных о под-конструкциях различного типа. В настоящее время разработаны версии для пространственных стержневых конструкций и осесимметричных оболочечных конструкций, содержащих жидкость. Могут использоваться и аналитические соотношения для континуальных моделей подконструкций. В частности, выведены формулы для изгибных колебаний однородных стержней, соединяемых в концевых сечениях.

В процессе исследований автором настоящей работы обнаружено, что рекуррентному алгоритму построения корректирующих векторов присуще свойство неустойчивости, приводящее к быстрому накоплению погрешностей и распаду решения уже при учете 5-6 членов корректирующего ряда [37]. Эффективным средством подавления этой неустойчивости оказалась ортогонали-зация вычисляемых векторов на каждом шаге рекуррентного процесса к учтенным собственным формам подконструкции. Это обстоятельство свидетельствует о том, что формулировки работ [103, 104, 105, 5] не достаточны для построения устойчивого гарантирующего точность результата алгоритма. Построение корректирующих функций неизбежно должно осуществляться в ортогональном к учтенным собственным формам подпространстве (с коррекцией ортогональности на каждом шаге).

Существенные затруднения при реализации модального синтеза вызывает наличие среди собственных частот подконструкции нулевых значений, соответствующих формам движения твердого тела. Предложенный автором способ использования частотного сдвига при вычислении корректирующих векторов позволяет избежать трудностей и не вносить в алгоритм принципиальных изменений [39].

Помимо гарантированной оценки точности результата синтеза для метода корректирующих рядов важна оценка дополнительных затрат, связанных с вычислением корректирующих векторов, в сравнении с расширением набора собственных форм подконструкции. Учитывая то обстоятельство, что факторизация матрицы для решения последовательности статических задач выполняется однократно, можно приблизительно оценить затраты на вычисление одного дополнительного корректирующего вектора как на порядок меньшие по сравнению с затратами на вычисление дополнительной собственной формы. При этом проведенные исследования показали, что при использовании 5-10 членов корректирующего ряда относительная погрешность результатов синтеза не превышает 10-5-10-6. Это свидетельствует о неоспоримом преимуществе предложенного метода, особенно существенном для подконструкций с высокой плотностью спектра (что характерно для сложных пространственных конструкций). Его эффективность демонстрируется в настоящей работе на примере сложной составной конструкции орбитальной космической станции, модифицируемой в процессе сборки и изменяющей свою конфигурацию в процессе функционирования (например, в связи со стыковкой с транспортными кораблями или добавлением новых модулей).

Наличие среди компонентов сложной упругой системы гидроупругих звеньев, представляющих собой упругие конструкции, взаимодействующие с ограниченными объемами жидкости (в частности, содержащие жидкость во внутренних полостях), существенно усложняет задачу исследования ее динамических свойств. Такие задачи актуальны для исследования динамики летательных аппаратов, гидротехнических сооружений, проблем транспортировки жидких грузов. Успех их решения непосредственно зависит от правильности математической постановки задачи и эффективности методов определения динамических характеристик упругих конструкций с жидкостью, входящих в состав системы.

Как правило, конструкции, содержащие жидкость, представляют собой тонкостенные сосуды, динамическое поведение которых хорошо описывается с помощью соотношений теории оболочек.

Первые результаты в области динамики колебаний упругих оболочек, взаимодействующих с жидкостью, связаны с именами Рэлея, Жуковского Н.Е. и других исследователей конца XIX - начала XX веков. Однако период наиболее интенсивной разработки данной проблемы относится ко второй половине XX века в связи с развитием ракетной и авиационной техники, а также электронных вычислительных систем.

В основе современного этапа развития методов решения данного класса задач лежат работы таких отечественных исследователей как Моисеев Н.Н. [73], Рабинович Б.И. [92], Шмаков В .П. [102], Рапопорт И.М. [94]. Среди зарубежных специалистов здесь можно отметить работы Abramson H.N., Kana D.D., Lindholm U.S., Bauer H.F. Значительный вклад в решение проблемы внесли исследования Григолюка Э.И., Шклярчука Ф.Н., Горшкова А.Г., Балабуха Л.И., Балакирева Ю.Г., Лампера Р.Е., Пожалостина А.А. и других.

Вообще, число опубликованных к настоящему времени работ, посвященных задаче расчета динамических характеристик оболочек, содержащих жидкость, весьма велико. Основную часть из них составляют работы, в которых исследуются оболочки определенной формы и решения получаются, как правило, с помощью какого-либо вариационного метода, причем выбор координатных функций определяется формой полости. В этих работах получены приближенные или точные формулы для ряда оболочек простой геометрической формы. Однако для практики, где сложность конструкторских решений часто затрудняет получение аналитических оценок и не всегда позволяет использовать простые модели, наибольшую ценность представляют универсальные численные методы, не налагающие жестких ограничений на форму и параметры исследуемых конструкций. Здесь следует отметить разработанный под руководством В.П.Шмакова метод расчета динамических характеристик оболочек вращения с жидкостью [17, 18, 23], основанный на разложении потенциала смещений жидкости в ряд по собственным функциям гидродинамической задачи (решаемой методом Ритца) и использовании при решении уравнений теории оболочек метода ортогональной прогонки. Отметим также предложенный Р.Е.Лампером метод Ритца с варьируемым параметром [3, 67], позволяющий рассчитывать динамические характеристики широкого класса осе-симметричных баков с жидкостью. Применялись при решении указанной задачи и прямые численные методы: метод конечных разностей [6, 7] и метод суммарных представлений [8, 9], также основанный на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов.

В настоящее время известны решения задач для весьма широкого класса оболочек с жидкостью: исследовались цилиндрические оболочки с различными днищами (плоскими, сферическими, коническими), сферические оболочки, конические оболочки, соосные цилиндрические оболочки. Мы не указываем здесь эти работы ввиду большого их числа - библиография по этому вопросу содержит несколько сотен названий. Заметим однако, что, несмотря на это, ряд вопросов долгое время оставался не решенным. Неизвестны, например, работы, в которых изучались бы колебания тороидальной оболочки с жидкостью. Лишь единичные работы касаются задачи о колебаниях систем из двух баков с промежуточными разделительными днищами, причем рассмотрены весьма частные случаи. При этом на практике, например, в изделиях ракетной техники часто встречаются баки весьма сложной конфигурации, с двусвязными полостями, с разделительными днищами, когда невозможно рассматривать отдельно колебания жидкости в баках горючего и окислителя. Значительно усложняют разработку простых моделей для аналитических оценок и приближенных расчетов такие факторы, как переменность толщины оболочки, наличие шпангоутов, подкрепляющих ребер.

Все это вызвало потребность разработки простого и универсального алгоритма, позволяющего быстро выполнить расчет с учетом как можно большего числа конструктивных особенностей (возможно, ценой увеличения затрат времени работы вычислительной системы). В наибольшей степени таким условиям при расчете упругих конструкций отвечает метод конечных элементов [56]. В настоящей работе развиваются теоретические и методические основы его применения для расчета динамических характеристик оболочечных конструкций с жидкостью, функционирующих самостоятельно либо входящих в состав сложной упругой системы в качестве подконструкций.

Применению метода конечных элементов к расчету динамики упругих конструкций, взаимодействующих с жидкостью, посвящен целый ряд работ преимущественно зарубежных авторов. Если попытаться их классифицировать, то можно выделить две группы работ.

К первой группе отнесем те работы, в которых движение частиц жидкости описывается непосредственно векторами их смещений. В [147, 148] разработаны дискретные элементы, моделирующие свойства частиц сжимаемой или несжимаемой жидкости, которые могут быть включены в конечноэлементную модель упругой конструкции, содержащей жидкость. В комментарии к этим работам [124] отмечается, что эти элементы построены лишь на основе физических соображений и интуиции, и предлагается выражение для лагранжиана, на основе которого можно строить любые конечные элементы жидкости, причем несжимаемость может быть обеспечена наложением некоторых ограничений на степени свободы элемента. Фактически такое выражение для лагранжиана и использовано в работе [161], где описаны конечные элементы для аппроксимации сжимаемой жидкости. К этой же группе работ относится и работа [177], где метод конечных элементов разработан для расчета неосесиммет-ричных колебаний оболочек вращения с несжимаемой жидкостью. Отметим, что подход, использованный в [177], отличается чрезмерной усложненностью и громоздкостью построений, не свойственными, вообще говоря, методу конечных элементов.

В работе [97] обсуждается применение конечных элементов, предложенных в [161], к расчету осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью. Результаты сопоставляются с результатами расчета при помощи элемента с матрицей жесткости, сформированной на основе принципа минимума дополнительной энергии. При этом точность, полученная в первом случае, оказывается значительно хуже, чем во втором.

Если пренебречь влиянием поверхностных волн, то эквивалентным подходом является интерпретация сжимаемой жидкости в виде упругой (акустической) среды с нулевым модулем сдвига [110, 111]. Такой подход позволяет использовать с небольшими дополнениями имеющиеся конечноэлементные программы общего назначения.

Методы этой первой группы содержат ряд общих сложностей. Во-первых, это обеспечение условий на поверхности контакта упругого тела с жидкостью, для выполнения которых необходимо либо налагать дополнительные ограничения, как, например, в [177], либо вводить специальные конечные элементы, как предлагается в [110]. Во-вторых, как отмечается в [161], появляется набор собственных форм с нулевой частотой, соответствующих циркуляционным течениям жидкости, что усложняет решение задачи о собственных значениях.

Такие же циркуляционные формы получаются в работе [143], где для описания движения жидкости использованы уравнения в перемещениях в ла-гранжевой форме и сформулирован вариационный принцип, используемый для построения конечных элементов. Для исключения этих форм в этой работе предложено использовать метод штрафных функций.

Ко второй группе отнесем работы, в которых используется предположение о безвихревом движении жидкости, что позволяет описывать его при помощи одной скалярной функции (давление, потенциал скоростей, потенциал смещений). Это не только исключает формы циркуляционного течения жидкости, но и снижает размерность дискретизированной задачи.

В работах [187, 189, 160] поведение несжимаемой жидкости описывается потенциалом скоростей, который с помощью интегральных соотношений теории потенциала исключается из уравнений движения конструкции. Такой подход (часто используемый при решении задач гидроупругости) позволяет ограничиться описанием движения лишь оболочки и свободной поверхности жидкости, и соответственно лишь их дискретизацией при использовании метода конечных элементов, что особенно удобно при решении трехмерных задач. Однако при этом матрица масс конечноэлементной модели теряет весьма существенное свойство, а именно, ленточную структуру. Это резко увеличивает требуемые размеры памяти, используемой при расчетах вычислительной системы. Такой же результат получается в [56, 123, 112, 54], а также в [125] для несжимаемой жидкости, где сначала выполняется конечноэлементное разбиение жидкости, а затем из дискретной системы уравнений исключаются переменные, соответствующие жидкостным потенциалам (или давлению). Разбиение жидкости на конечные элементы с сохранением ленточной структуры матриц, как показано в [161], позволяет более эффективно использовать машинную память.

Вопрос о формировании матриц дискретизированной системы в случае, когда разбиение осуществляется как для упругой конструкции, так и для жидкости, может решаться несколькими способами. В работах [56, 193, 112, 125], где поведение несжимаемой жидкости описывается давлением, отдельно строятся системы дискретных уравнений для упругой конструкции и для жидкости. При построении же матриц, определяющих взаимосвязь этих двух систем, давление жидкости и перемещения смоченной поверхности рассматриваются как внешние воздействия по отношению соответственно к первой и ко второй из них. Получающиеся системы уравнений несимметричны, а методы их симметризации, как и при исключении соответствующих жидкости переменных, нарушают ленточную структуру матриц. В работах [138, 191, 192] предложены методы решения получаемых при таком подходе задач о собственных значениях, экономно использующие память вычислительной системы.

В работах [118, 119, 120, 121, 188] движение несжимаемой жидкости описывается при помощи потенциала скоростей. Для построения конечноэле-ментных систем уравнений здесь все уравнения (в том числе и соотношения на поверхности контакта конструкции с жидкостью) записываются в вариационной форме. Дискретизация задачи при таком подходе соответствует методу Бубнова-Галеркина. Для учета условий контакта с жидкостью при этом, вообще говоря, необходимо вводить специальные конечные элементы.

Однако наиболее простым и естественным является подход, основанный на дискретизации функционала действия, условие стационарности которого удовлетворяется решением задачи. Такой подход использован в работе [54], где решается задача о колебаниях пластинки на поверхности несжимаемой жидкости, заполняющей жесткий резервуар, а также в работе [170], являющейся развитием работы [118] в плане учета сжимаемости жидкости. При этом из условия стационарности функционала следуют все соотношения, в том числе и граничные условия контакта упругого тела и жидкости, что приводит к их автоматическому учету в дискретизированных системах уравнений. Это обеспечивается надлежащим выбором вида функционала. В работах [32, 33] такой подход называется смешанным вариационным принципом. Фактически он эквивалентен используемому в [118] в смысле построения матриц конечноэле-ментной модели.

В работах [170, 175, 176] для описания поведения сжимаемой жидкости используются две функции: потенциал смещений и давление. Введение второй независимой переменной при учете сжимаемости оказывается необходимым для получения симметричных матричных уравнений. В противном случае, как, например, в [125, 133], где движение жидкости описывается лишь давлением, приходится осуществлять дополнительные преобразования с целью симметризации системы.

Для получения правильного результата при использовании численного метода, в частности, метода конечных элементов, первоочередное значение имеет адекватность исходной математической модели (системы уравнений, вариационного принципа) исследуемому физическому явлению. Возможность пренебрежения в математической модели влиянием отдельных факторов с целью упрощения процедуры решения должна быть не только обоснованной, но и соответствующие преобразования должны быть выполнены корректно, не приводя к противоречиям с физическими законами. Поэтому целая глава настоящей работы посвящена формулировке математической модели колебаний упругой конструкции с жидкостью в условиях однородного гравитационного поля.

В настоящей работе рассматриваются малые колебания упругой конструкции, содержащей жидкость во внутренних полостях (либо взаимодействующей с ограниченным объемом жидкости). Колебания жидкости также малы, и поэтому задача может рассматриваться в линейной постановке. Линеаризация исходных, вообще говоря, нелинейных соотношений должна осуществляться в окрестности статического равновесного состояния системы. Тем самым при определении ее динамических характеристик учитывается влияние статического нагружения. Материал конструкции считается линейно упругим, жидкость - идеальной и несжимаемой. Конструкция находится под действием однородного гравитационного поля, определяющего положение недеформиро-ванной свободной поверхности жидкости.

Традиционно при формулировке замкнутой системы уравнений, описывающих колебания упругой конструкции, содержащей во внутренней полости жидкость, исследователи основывались на совмещении двух различных способов описания движения сплошной среды. Если уравнения малых колебаний упругого тела представляют лагранжев подход, то для описания движения жидкости наиболее распространен метод Эйлера. При этом используется предположение о потенциальности течения жидкости, позволяющее существенно упростить соответствующие уравнения. Такое совмещение разнородных методов повышает вероятность появления в постановке задачи некорректностей, одна из которых рассмотрена ниже. (Хотя, конечно, корректное построение определяющих соотношений возможно и на основе смешанного эйлерово-лагранжева подхода.)

В настоящей работе вывод уравнений осуществлен на основе лагранжева подхода как для упругой конструкции, так и для заполняющей ее полости жидкости. Техника последовательного единого лагранжева подхода в проблемах динамического взаимодействия разнородных сред изложена в работах [58, 96, 59], где основное внимание уделено вопросам нелинейности получаемых соотношений. Применительно к случаю малых колебаний контактные соотношения линеаризованы в окрестности стационарных значений переменных параметров. В предположении о безвихревом движении жидкости для его описания введен потенциал смещений. Выведена формула для лагранжиана консервативной системы «упругая конструкция - жидкость». Сформулирован вариационный принцип смешанного типа, среди условий стационарности которого содержатся контактные соотношения на смоченной поверхности упругой конструкции, что важно для эффективной реализации метода конечных элементов.

Важным моментом в описанных построениях является корректный учет влияния гравитационного поля на динамику системы.

Влияние интенсивности однородного гравитационного поля на собственные частоты колебаний упругих конструкций, содержащих жидкость, может осуществляться через два различных механизма взаимодействия этого поля с конструкцией. Первый из них реализуется опосредованно через статическую составляющую напряженно-деформированного состояния конструкции. Математически учет этого эффекта сводится к линеаризации уравнений малых колебаний относительно этой статической составляющей. Если материал конструкции линейно упругий, то определяющую роль здесь играет геометрическая нелинейность в выражении для тензора деформаций.

Второй канал влияния связан с работой, выполняемой гравитационными силами, действующими на жидкость, в процессе колебаний гидроупругой системы. Одно из проявлений этой работы связано с волнообразованием на свободной поверхности жидкости. Однако этим механизм явления не исчерпывается.

Тесно связанным с волнообразованием оказывается эффект колебаний гидростатического давления жидкости на стенки полости вследствие их движения. Локальное вертикальное смещение контактирующей с жидкостью стенки сосуда приводит к изменению давления на нее вследствие изменения глубины. Появляющийся при учете этого фактора член в уравнениях малых колебаний имеет первый порядок малости, т.е. по такому формальному признаку отброшен быть не может и должен присутствовать в динамических соотношениях на контактной поверхности.

Впервые корректное выражение для динамических условий на контактной поверхности приведено применительно к оболочкам вращения в работе Э.И.Григолюка и Ф.Н.Шклярчука [33]. При их выводе принципиален учет того обстоятельства, что гидростатическая сила является "следящей". Это выражается в том, что, во-первых, направление действия силы меняется в соответствии с поворотом нормали к деформированной смоченной поверхности, а во-вторых, изменение площади элемента поверхности вследствие растяжения или сжатия в процессе деформации влияет на величину совершаемой этой силой работы. Эти два обстоятельства отмечены в работе [20] применительно к проблемам устойчивости упругих оболочек. Только при учете этих факторов удается записать выражение для потенциальной энергии гравитационых сил, действующих на жидкость, и следовательно, выражение для лагранжиана гидроупругой системы.

В процессе исследований выяснилось, что выражение для потенциальной энергии гравитационных сил жидкости, приведенное в работе [33], верно только для гладких поверхностей контакта жидкости с конструкцией. В настоящей работе получено выражение, применимое для произвольного случая кусочно-гладких смоченных поверхностей.

Заметим, что в большинстве из рассмотренных выше работ гравитационными эффектами полностью пренебрегается. Это допустимо в тех случаях, когда для исследования представляют интерес лишь колебания, обусловленные преимущественно упругостью стенок сосуда, а их спектр существенно отделен от собственных частот колебаний свободной поверхности жидкости. В этом случае на свободной поверхности задается условие равенства нулю давления или потенциала смещений (или скоростей). Естественно, отсутствует гравитационная составляющая и в контактных соотношениях. Такой подход можно считать предельным случаем упрощения гидроупругой задачи. Он весьма распространен, поскольку его результаты дают точность, достаточную для широкого круга приложений.

Однако, поскольку вносимая гравитационным членом поправка в эффективную жесткость стенок сосуда, как правило, весьма мала, возникает вопрос о возможности пренебрежения ее величиной в уравнениях математической модели при сохранении членов, описывающих волнообразование на свободной поверхности.

В настоящей работе показано, что простое вычеркивание соответствующего члена в динамических контактных соотношениях недопустимо, поскольку приводит к противоречивой с точки зрения механики математической модели. А именно, система получает дополнительную связь, препятствующую ее смещению как жесткого тела в направлении вектора гравитации. Оценки показывают, что вносимая этой связью погрешность в расчетный спектр системы может быть значительной.

Это свидетельствует о взаимной связи колебаний свободной поверхности и деформации контактной поверхности как единой системы, состояние которой определяет потенциальную энергию гравитационных сил жидкости.

В работе показано также, что, варьируя способ определения аддитивной константы в потенциале смещений, можно получить эквивалентную систему уравнений, в которой вычеркивание гравитационного члена в динамических контактных соотношениях не приводит к противоречиям. Фактически, в результате такого преобразования свободная поверхность жидкости выделяется в подсистему с собственной потенциальной энергией гравитационных сил. Вследствие указанного выбора константы в уравнениях колебаний свободной поверхности жидкости и в лагранжиане системы появляется интегральная величина - среднее смещение свободной поверхности. Введение такой интегральной величины вызывает затруднения при реализации метода конечных элементов, обесценивающие это «упрощение».

Необходимо отметить, что в перечисленных выше основополагающих работах отечественных исследователей [73, 92, 102, 62, 94], где влияние гравитации учитывалось только в форме поверхностных волн, в уравнениях также присутствуют указанные интегральные члены, обеспечивающие непротиворечивость математической модели.

Если же говорить о работах зарубежных специалистов, то библиографические исследования показывают, что все они (за исключением тех, где гравитационные эффекты не учитываются совсем) содержат ту или иную форму некорректности. Единственным обнаруженным исключением являются работы [108, 109], где исследуются математические свойства краевых задач, сформулированных на основе результатов работ [73, 94].

Несмотря на относительную давность результата работы [33], он остался, по-видимому, полностью вне сферы внимания зарубежных специалистов. Некорректный подход к формулировке динамических условий контакта упругого тела с жидкостью, когда не учитываются две отмеченные выше особенности действия гидростатической силы в условиях колебаний, приводит к появлению несимметричных операторов.

В качестве примера можно привести работу [118], где с целью достижения симметричности введена совершенно не оправданная с точки зрения механики гипотеза, состоящая в пренебрежении касательными к поверхности контакта смещениями. Результатом явились уравнения, не инвариантные относительно сдвига системы и, как следствие, дополнительно наложенные на систему связи.

Связи эти действуют не только в вертикальном направлении, как в рассмотренном выше случае неверных уравнений для свободной поверхности при отбрасывании гравитационной компоненты в динамических контактных соотношениях, но и в горизонтальном направлении. При этом жесткости этих связей могут быть как положительными, так и отрицательными. В работе [32] отмечено, что такой подход допустим, если нормальные перемещения смоченной поверхности значительно больше тангенциальных. Однако в случае систем, колебания которых характеризуются значительными средними смещениями содержащихся в них масс жидкости, указанные связи должны оказывать существенное влияние на результаты расчетов. (Отметим единственный геометрический вариант, когда эти связи не возникают, - полость, образованная строго вертикальными стенками и горизонтальным плоским днищем.)

Часто такие же формулы получаются из-за небрежности при выводе динамических контактных условий, выполняемом с помощью наглядных геометрических представлений, как это сделано в работе [133]. На таких же формулах основано выражение для энергии сил тяжести конечного элемента в работах [161, 124]. Такое же выражение использовано в работе [160] для потенциальной энергии объема жидкости. На основе таких же формул построены конечные элементы жидкости в распространенном программном комплексе АКБУБ версии 5.4. Ссылки на эти же формулы содержатся в работах отечественных авторов [55, 74].

Возможность получить удобные формулировки, связав гравитационную потенциальную энергию жидкого объема (и конечного элемента жидкости) лишь с параметрами его собственной деформации, отвлекает разработчиков от механической сущности проблемы. Форма занимаемого жидкостью объема определяется удерживающими его стенками сосуда, а работа гравитационных сил жидкости осуществляется на перемещениях этих стенок (а не контактирующих с ними частиц жидкости в условиях взаимного скольжения). Отсюда следует невозможность конструирования жидкостного конечного элемента, в котором учитывался бы этот фактор.

Иного рода усилия были приложены разработчиками известного конеч-ноэлементного комплекса иА1/ЫА8ТКАК [186], где в результате применения метода конечных элементов к системе с несимметричными операторами получаются уравнения с несимметричными матрицами. Для решения проблемы собственных значений в состав комплекса включены специально разработанные алгоритмы, требующие нетривиальных ресурсов вычислительных систем. Вопрос о точности получаемых результатов требует отдельного исследования.

Достоин удивления факт значительного количества работ, в которых при не учете влияния гравитации на контактные соотношения уравнения поверхностных волн сформулированы неверно - без учета среднего смещения свободной поверхности. В качестве примеров укажем работы [193, 175, 176, 122]. С попытками устранить возникающие при этом противоречия связано, по-видимому, появление работ [134, 172, 173], где введены усложненные формулировки, основанные на труднообъяснимом в рамках линейной задачи введении понятия «отсчетного» состояния для учета влияния движения стенок сосуда.

Широкий класс практических задач связан с определением динамических характеристик осесимметричных оболочечных конструкций, полости которых частично заполнены жидкостью. Вектор гравитационных сил в этом случае коллинеарен продольной оси конструкции. В настоящей работе задача расчета динамических характеристик конструкций такого типа рассмотрена подробно и разработан алгоритм метода конечных элементов для ее решения.

Осесимметричность конструкции позволяет в цилиндрической системе координат свести пространственную задачу определения динамических характеристик к двумерной путем разложения неизвестных в ряд Фурье по окружной координате. Расщепление системы уравнений для гармоник на независимые подсистемы приводит к тому, что собственные формы представляют собой колебания с целым числом волн по окружности (в случае нулевого значения это продольно-радиальные и крутильные колебания).

Рассмотренная выше постановка задачи о колебаниях конструкций, содержащих жидкость, переработана с учетом гипотез теории тонких упругих оболочек и нелинейности геометрических соотношений [98, 77]. Линеаризация в окрестности статического напряженно-деформированного состояния, возникающего в результате действия давления газа в полостях конструкции и сил тяжести, позволяет учесть влияние этих факторов на собственные частоты и формы колебаний. Рассмотрен общий случай произвольного количества несвязанных между собой полостей, частично заполненных жидкостями разной плотности. Допускается наличие промежуточных между этими полостями стенок, касающихся жидкости с обеих сторон. Учитываются такие конструктивные особенности, как наличие упругих силовых шпангоутов, а также несимметричного относительно срединной поверхности оболочки подкрепления в виде часто расположенных продольных и кольцевых ребер.

Жидкость считается идеальной и несжимаемой, движение ее безвихревое и описывается при помощи потенциала смещений. Для применения метода конечных элементов использован описанный выше вариационный принцип в виде условия стационарности функционала, из которого следуют уравнение несжимаемости, граничные условия на свободной поверхности жидкости, а также условия на контактной поверхности жидкости и оболочки с учетом влияния однородного гравитационного поля.

В работе описаны конечные элементы для дискретизации жидкости (включая элементы свободной поверхности) и оболочечные конечные элементы, описаны способы формирования их матриц и способ учета влияния статического напряженно-деформированного состояния на матрицу жесткостей оболочечного элемента. Заметим, что оболочечные элементы сформулированы таким образом, что учтена возможность контакта с жидкостью, и это освободило от необходимости введения специальных контактных элементов.

На основе этих конечных элементов разработан программный комплекс, предназначенный для расчета динамических характеристик оболочечных конструкций с жидкостью при осесимметричных колебаниях, при колебаниях с заданным числом волн по окружности, с учетом влияния внутреннего давления и собственного веса конструкции.

Этот программный комплекс расширяет возможности разработанных ранее программ [34, 35], эксплуатировавшихся на вычислительных машинах БЭСМ-6, единой серии ЕС-1050, ЕС-1060, на компьютерах типа IBM PC. Программа расчета динамических характеристик оболочечных конструкций с жидкостью при осесимметричных колебаниях включена в ФАП по ракетно-космической технике РКА [36], использовалась во всех конструкторских бюро ракетно-космической отрасли в расчетах динамических характеристик топливных баков и корпусов жидкостных ракет.

Благодаря тщательной отладке и тестированию, а также использованию эффективных численных методов достигнута высокая надежность алгоритма, не имевшего отказов при проведении тысяч расчетов. Решающую роль в распространении программ сыграла разработка удобных препроцессорных и постпроцессорных процедур, а также возможность вести расчет практически от чертежа, без трудно обосновываемых упрощений и введения промежуточных расчетных моделей с использованием механических аналогов.

Новый программный комплекс позволяет (в дополнение к прежним возможностям) в полном объеме учитывать гравитационные эффекты. Это важно ввиду того, что на практике далеко не всегда реализуются условия, позволяющие пренебрегать влиянием волн на поверхности жидкости. В работе приведен также пример конструкции, расчет динамических характеристик которой в принципе невозможен без учета гравитационной составляющей соотношений на смоченной поверхности.

Применительно к проблемам динамики жидкостных ракет важное преимущество программного комплекса связано с возможностью определять динамические характеристики корпуса целиком, без промежуточной схематизации его стержнем с упруго подвешенными массами (что по сути является способом синтеза динамических характеристик). Такая схематизация затруднительна в упомянутом выше случае вложенных друг в друга баков с промежуточным разделительным днищем, когда невозможно рассматривать колебания жидкости в баках по отдельности. Кроме того, заметное влияние на собственные формы корпуса оказывает связь между радиальными и продольными колебаниями стенок несущих баков за счет отличия от нуля коэффициента Пуассона (не учитываемая в стержневой модели корпуса), что показано в работе [22] на примере продольных колебаний конструкции, составленной из отрезков стержня и цилиндрических баков, частично заполненных жидкостью.

В программном комплексе предусмотрена также возможность модального синтеза подконструкций (отдельных отсеков) с использованием метода корректирующих рядов, обеспечивающего гарантированную высокую точность результатов, в случае когда расчет полной модели корпуса затруднен из-за высокой размерности задачи. В работе проведено сравнительное исследование точности результатов, получаемых различными методами синтеза.

Возбуждение динамических процессов в упругой или гидроупругой системе в составе сложного технического объекта связано, как правило, с работой источника энергии. Интенсивность его воздействия на конструкцию связана с изменением параметров ее деформации, причем в этом процессе наряду с собственными динамическими характеристиками источника энергии значительную роль могут играть и специальные регулирующие устройства. Такая система образует замкнутый контур, в котором могут развиваться автоколебания, отрицательно влияющие на условия функционирования объекта.

Одна из актуальных проблем такого рода связана с исследованием продольных автоколебаний жидкостной ракеты в полете, возникающих в результате взаимодействия колебаний корпуса ракеты и вызываемых ими колебаний жидкости в топливных магистралях с колебаниями давления в камере сгорания и тяги двигателя.

Это явление достаточно хорошо изучено с точки зрения исследования условий возникновения автоколебаний при неустойчивости в замкнутом контуре «корпус - топливная магистраль - двигатель». Здесь значительный вклад внесли отечественные ученые Микишев Г.Н. [71], Рабинович Б.И. [91], Шмаков В.П. [93], Колесников К.С. [63, 64], Натанзон М.С. [75, 76], Пилипенко В.В. [88], Балакирев Ю.Г. [13, 16], а также ряд американских исследователей [178, 180, 190].

Тем не менее, в значительной мере дискуссионным остается вопрос о достигаемых при продольной неустойчивости амплитудах колебаний, которые могут оказаться невелики, не требуя поэтому специальных конструктивных мероприятий по их подавлению.

В любом из звеньев указанного замкнутого контура могут проявляться нелинейные зависимости, влияющие на предельные значения амплитуд автоколебаний. Влияние нелинейных характеристик двигательной установки, обусловленных кавитационными явлениями в насосах, на амплитуды продольных колебаний жидкостных ракет рассматривалось в работах [88, 87]. Динамика корпуса описывалась при этом линейными соотношениями. В результате расчетов получено качественное соответствие форм колебаний параметров системы типичным данным летных испытаний.

Тем не менее, упругая конструкция корпуса также может играть значительную роль в ограничении амплитуд. Предпосылкой для проведения исследований в этом направлении послужило экспериментально установленное явление возбуждения неосесимметричных форм колебаний осесимметричных оболочек с жидкостью при продольном воздействии, существенно снижающее порог, при котором проявляются их нелинейные свойства [158, 1]. Механизм этого явления имеет характер параметрического возбуждения при действии вызванных продольным воздействием периодических колебаний осесиммет-ричного напряженного состояния оболочки. Поэтому при исследовании влияния нелинейности корпуса на динамику продольных автоколебаний нельзя ограничиться рассмотрением лишь осесимметричных форм колебаний оболочек, как это делается при исследовании устойчивости.

Мы рассмотрим в данной работе ракеты тандемной компоновки, корпуса которых с хорошей степенью точности можно рассматривать как осесиммет-ричные оболочечные конструкции с жидкостью.

Параметрические колебания оболочек с жидкостью привлекают внимание исследователей с начала шестидесятых годов. Важность изучения этого эффекта особо отмечена в обзорном докладе Э.И.Григолюка [32] на VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок в 1969 году.

По-видимому, статья [26] - первая из работ, где теоретически рассмотрено это явление. В ней показано, что периодические осесимметричные усилия в оболочке играют роль параметрических нагрузок для неосесимметричных форм колебаний и в качестве примера рассмотрена цилиндрическая оболочка с шарнирно опертыми краями, заполненная жидкостью и находящаяся под действием переменных во времени продольной сжимающей силы, распределенной продольной нагрузки и гидростатической силы. Задача о динамической неустойчивости методом Бубнова-Галеркина сводится к системе уравнений типа Хилла. Однако усилия, характеризующие невозмущенное напряженно-деформированное состояние, определяются без учета инерции оболочки и динамического взаимодействия оболочки с содержащейся в ней жидкостью, что ограничивает область применимости полученных соотношений.

Аналогичный подход использован в работах [10, 11] при исследовании параметрических колебаний цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью медленно меняющейся глубины, под действием периодической продольной сжимающей силы, а также в работе [49] при исследовании устойчивости колебаний цилиндрической оболочки с пологим сферическим дном и массами на торцах, частично заполненной жидкостью, под действием приложенных к торцам периодических продольных сил.

В работах [99, 100], где исследовались параметрические колебания цилиндрической оболочки при продольных воздействиях, осесимметричные усилия в оболочке определяются из решения задачи об осесимметричных колебаниях оболочки совместно с частично заполняющей ее жидкостью. Из соотношений нелинейной теории пологих цилиндрических оболочек в работах [80, 81] выведены уравнения нелинейных параметрических осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки, содержащей жидкость. Получены условия возбуждения неосесимметричного тона и выражения для амплитуды колебаний в окрестности главного параметрического резонанса. Построение областей неустойчивости осуществлялось в данных работах приближенно с помощью метода гармонического баланса.

Аналогичные результаты, но в менее точной постановке, были получены в работе [158]. Исследование различного вида параметрических резонансов цилиндрической оболочки с жидкостью при гармонических колебаниях ее основания выполнено в работах [82, 83, 84].

Необходимо отметить большое значение экспериментальных исследований параметрических колебаний цилиндрической оболочки с жидкостью, описанных в работах [158, 1]. Экспериментальные данные содержатся также в работе [69].

В настоящей работе описана разработанная автором методика оценки амплитуды автоколебаний системы, состоящей из осесимметричной оболочеч-ной конструкции с жидкостью, гидравлически связанного с ней трубопровода и регулятора, управляющего величиной действующей на конструкцию продольной силы зависимости от давления на выходе из трубопровода. Эта методика позволяет учитывать геометрическую нелинейность поведения оболочек и связанный с ней эффект параметрического возбуждения неосесимметричных форм колебаний.

Первым этапом методики является расчет динамических характеристик оболочечной конструкции с жидкостью с помощью упомянутого выше программного комплекса, основанного на методе конечных элементов. Вычисляются как осесимметричные, так и неосесимметричные собственные формы, частоты которых лежат в представляющем интерес диапазоне.

Второй этап заключается в вычислении коэффициентов при нелинейных членах (квадратичных и кубичных) в уравнениях колебаний конструкции, записанных в нормальных координатах. Эти коэффициенты представлены интегралами по поверхности оболочки и вычисляются при помощи той же конеч-ноэлементной сетки, которая использовалась на первом этапе. В работе проанализирована структура определяемых этими коэффициентами нелинейных связей между осесимметричными и неосесимметричными тонами в зависимости от числа волн и сдвига по окружности (в случае кратных частот). Сформулированные условия неравенства нулю нелинейных коэффициентов значительно снижают объем вычислительной работы.

На третьем этапе осуществляется расчет областей параметрического возбуждения неосесимметричных форм колебаний конструкции при гармоническом продольном силовом воздействии для оценки степени возбудимости этих форм (и выделения наиболее важных для учета на следующем этапе). Границы областей строятся на плоскости «частота - амплитуда воздействия». Для этого с использованием данных первых двух этапов формируются уравнения в вариациях относительно стационарного осесимметричного отклика конструкции, образующие систему линейных однородных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В предположении, что амплитуда воздействия достаточно мала, параметры этого осесимметричного отклика определяются аналитически из линейных уравнений (этому условию соответствуют нижние границы областей параметрического возбуждения неосесимметричных тонов). Для построения областей используется метод, основанный на вычислении мультипликаторов системы, предложенный в работе [21] и дающий точное положение границ.

И последний, четвертый, этап состоит в исследовании амплитуд колебаний, развивающихся в автоколебательной системе. Для его реализации в работе выведена система уравнений и сформулирована задача Коши, описывающая переходный процесс. В уравнениях учтено взаимное влияние колебаний жидкости в баках и в присоединенных к ним трубопроводах. Динамика источника энергии (двигателя) описывается интегро-дифференциальным уравнением типа Вольтерра, ядро которого вычисляется на основе данных о его амплитудно-фазовых частотных характеристиках.

Сложный вид нелинейности, содержащейся в этой системе, ограничивает возможность ее аналитического исследования. Поэтому исследование проводится методом численного интегрирования при различных начальных условиях до выхода колебательного процесса на максимальные значения амплитуд. Для решения систем интегро-дифференциальных уравнений общего вида была разработана и отлажена подпрограмма, на основе которой составлена программа численного решения уравнений продольных колебаний.

Проведенное численное исследование показало, что, во-первых, учет геометрической нелинейности оболочек в рамках предположения об осесим-метричности колебаний не дает существенного эффекта в плане ограничения амплитуд продольных автоколебаний, и во-вторых, учет эффекта параметрического возбуждения неосесимметричных тонов оказывает существенное влияние на характер переходного процесса и приводит к значительному ограничению амплитуд.

Следовательно, благодаря указанному эффекту нелинейность корпуса может быть определяющим фактором в ограничении амплитуд продольных автоколебаний жидкостной ракеты наряду с нелинейными кавитационными эффектами на входе в насосы и нелинейным демпфированием.

Основные результаты представленных в данной диссертации исследований опубликованы в работах [14, 15, 34 - 48, 106, 107, 182].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 26 разделов, заключения и списка литературы.

Основные результаты, полученные в процессе выполненных исследований, можно сформулировать следующим образом.

1. Сформулированы и доказаны основные теоремы метода корректирующих рядов, составляющие принципиально новую идеологическую основу модального синтеза подконструкций при исследовании динамических свойств сложных систем в ограниченном частотном интервале. Операция усечения ряда из собственных форм подконструкции заменяется усечением степенного корректирующего ряда при конечном числе собственных форм в модальном разложении колебаний. Коэффициенты степенного ряда вычисляются рекур-рентно с помощью последовательности статических задач.

2. Получена асимптотическая оценка погрешности усечения модального разложения при увеличении порядка корректирующего ряда, дающая априорную оценку точности результатов синтеза подконструкций.

3. Выведены соотношения метода корректирующих рядов как для дискретных моделей подконструкций, так и для континуальных моделей. Рассмотрены различные варианты синтеза в зависимости от условий закрепления внешних степеней свободы подконструкций при определении их собственных частот и форм: методы жестких и свободных границ, а также гибридный метод, когда часть внешних степеней свободы закреплена, а часть свободна. Исследованы различные методы формирования матриц динамических коэффициентов влияния подконструкций.

4. Разработан численно устойчивый алгоритм вычисления корректирующих векторов (или функций). Показано, что в ходе рекуррентного процесса они должны вычисляться в подпространстве, ортогональном к учтенным в разложении собственным формам, при этом на каждом шаге должна выполняться дополнительная ортогонализация решения.

5. Разработан программный комплекс для исследования динамических характеристик сложных пространственных стержневых систем, включающий программу расчета собственных частот и форм колебаний подконструкций, препроцессор, постпроцессор для формирования баз данных, содержащих информацию о динамических характеристиках подконструкций и применяемых при синтезе корректирующих векторов, а также программы для исследования динамических характеристик составной конструкции с использованием метода корректирующих рядов. На основе аналогичных принципов разработан программный комплекс для исследования составных осесимметричных оболочеч-ных конструкций, содержащих жидкость. Проведены численные исследования сходимости метода корректирующих рядов на ряде простых примеров, а также на примерах конструкций типа корпусов жидкостных ракет и орбитальной космической станции (стержневая модель). Полученные результаты демонстрируют высокие показатели точности метода корректирующих рядов и скорости вычислений при невысокой требовательности к параметрам вычислительных систем.

6. Сформулирована непротиворечивая постановка краевой задачи и вариационный принцип для описания динамического поведения упругой конструкции, взаимодействующей с ограниченным объемом жидкости в условиях однородного гравитационного поля. Предложенная формулировка применима к произвольным регулярным (кусочно-гладким) поверхностям контакта конструкции с жидкостью.

7. Разработан алгоритм решения задачи определения динамических характеристик осесимметричных оболочечных конструкций, взаимодействующих с ограниченными объемами жидкости, основанный на методе конечных элементов. Вычисляются как осесимметричные, так и неосесимметричные формы колебаний с учетом влияния начального напряженно-деформированного состояния, обусловленного внутренним давлением в полостях конструкции (включая гидростатическое давление) и ее собственным весом. Программная реализация алгоритма на различных электронных вычислительных системах показала его высокую надежность в процессе многолетней эксплуатации в условиях конструкторских бюро ракетно-космической отрасли. Он включен в фонд алгоритмов РКА и использовался в процессе про-ектно-конструкторских работ при создании ракет Зенит, Энергия-Буран, Космос, Рокот, Прибой и других. Новый программный комплекс позволяет в полном объеме учитывать гравитационные эффекты, связанные с образованием поверхностных волн и деформацией поверхности контакта жидкости со стенками сосуда.

8. Разработана методика исследования амплитуд продольных автоколебаний жидкостной ракеты с учетом нелинейности деформаций оболочек корпуса и эффекта параметрического возбуждения неосесимметричных форм колебаний. Проведенное исследование показало, что, во-первых, учет геометрической нелинейности в рамках предположения об осесимметричности колебаний не дает существенного эффекта в плане ограничения амплитуд продольных автоколебаний, и во-вторых, учет эффекта параметрического возбуждения неосесимметричных тонов оказывает существенное влияние на характер переходного процесса и приводит к значительному ограничению амплитуд продольных колебаний. Этот результат показывает необходимость учета нелинейности поведения корпуса при оценке максимальных амплитуд продольных колебаний, развивающихся в связи с неустойчивостью в контуре «корпус - топливная магистраль - двигатель», а методика открывает путь исследования данного вопроса в ходе проектно-конструкторских разработок данного класса изделий.

- 305 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации представлена методология исследования динамических свойств сложных упругих и гидроупругих систем, основанная на корректном и непротиворечивом подходе к задаче определения динамических характеристик входящих в систему конструкций, содержащих жидкость, и высокоэффективном и надежном методе модального синтеза подконструкций, обеспечивающем оценку точности получаемых результатов.

1. Абрамсон Х.Н., Кана Д.Д. Некоторые экспериментальные исследования динамической устойчивости тонких оболочек, содержащих жидкость. // Проблемы механики твердого деформированного тела. - Л.: Судостроение, 1970. - С. 11 - 19.

2. Азаров В.Л., Лупичев Л.Н., Тавризов Г.А. Математические методы исследования сложных физических систем. М.: Наука, 1975. - 342 с.

3. Александрович Л.И., Лампер Р.Е. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда произвольного контура // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, 1966. М.: Наука, 1966. - С. 25 -27.

4. Анисимов А.В., Забудкин В.В., Лиходед А.И., Пономарев Д.А. Динамическое нагружение пилотируемых космических станций сложной пространственной компоновки // Космонавтика и ракетостроение. 1998. - Вып. 13. - С. 130 - 140.

5. Анисимов А.В., Выломов В.Н., Забудкин В.В., Лиходед А.И., Пономарев Д. А. Методика расчета динамических нагрузок на сложные ракетные конструкции с выделением квазистатических составляющих // Космонавтика и ракетостроение. 1995. - Вып. 4. - С. 95 - 107.

6. Анисимов А.М. Применение конечно-разностных методов к расчету осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 1968. - № 3. - С. 23 - 31.

7. Анисимов А.М. Собственные осесимметричные колебания совмещенных сосудов. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. М., 1976. - С. 13 - 21.

8. Антонов В.Н. Применение метода суммарных представлений при исследовании колебаний оболочек с жидкостью. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. М., 1976. - С. 22 - 26.

9. Антонов В.Н. Колебания соосных цилиндрических оболочек, частично заполненных сжимаемой жидкостью // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1977. - № 3. - С. 118 - 124.

10. Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В., Гнуни В.Ц. Динамическая устойчивость моментного состояния цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью переменной глубины. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -Новосибирск, 1974. С. 20 - 21.

11. Багдасарян Г.Е., Гнуни В.Ц. Параметрические колебания цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью переменной глубины // Прикладная механика. 1966. - Т. 2. - № 3. - С. 21 - 26.

12. Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания соосных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью // Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. М.: Наука, 1970.

13. Балакирев Ю. Г. Исследование устойчивости системы упругий корпус топливные магистрали - двигатели для жидкостных ракет пакетной компоновки // Известия Академии наук. Механика твердого тела. - 1994. - № 2. - С. 129 - 137.

14. Балакирев Ю.Г., Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Нелинейные продольные автоколебания оболочечных конструкций с жидкостью. // 13 Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек, Таллин, 1983. Ч. 1. А-В. Таллин, 1983. - С. 84 - 89.

15. Балакирев Ю.Г., Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Нелинейные автоколебания регулируемых систем, содержащих оболочки с жидкостью. // Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. -С. 6 - 19.

16. Балакирев Ю.Г., Мурыгин В.Е. О построении областей устойчивости колебаний упругого объекта с регулятором. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. М., 1976. - С. 27 - 31.

17. Богадица Э.С., Брусиловский А.Д., Шмаков В.П. Применение численного метода к расчету собственных колебаний оболочек вращения, частично заполненных жидкостью // Прикладная механика. 1977. - Т. 13. - № 1. - С. 81 -85.

18. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гос-техиздат, 1956. - 600 с.

19. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. - 339 с.

20. Болотин В.В. К устойчивости параметрически возбуждаемых систем // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1974. - № 5. - С. 83 - 88.

21. Брусиловский А.Д., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Метод расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1973. - № 3. - С. 99 - 110.

22. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

23. Бурман Я.З., Зархин Б.Я. Определение динамической реакции упругих конструкций на основе разложения по собственным формам и векторам Ланцоша // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1991. - № 6. - С. 122 - 131.

24. Бублик Б.Н., Меркулов В.И. О динамической устойчивости тонких упругих оболочек, наполненных жидкостью // Прикладная математика и механика. 1960. - Т. 24. - № 5. - С. 941 - 946.

25. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В.Болотина. М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

26. Вольмир А.С., Терских В.Н. Исследование динамики конструкций из композитных материалов на основе метода суперэлементов // Механика композитных материалов. 1979. - № 4. - С. 652 - 655.

27. Вольмир А.С., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровневые методы исследований. М.: Машиностроение, 1989. - 248 с.

28. Григолюк Э.И. Проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью. // Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. -М.: Наука, 1970. С. 755 - 778.

29. Григолюк Э.И., Шклярчук Ф.Н. Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью // Прикладная математика и механика. 1970. - Т. 34. - № 3. - С. 401 - 411.

30. Григорьев В.Г. Расчет динамических характеристик сложных оболочечных конструкций с жидкостью. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. Сборник научных докладов IV симпозиума. М.: ЦНТИ "Волна", 1980. - С. 102 - 107.

31. Григорьев В.Г. Расчет динамических характеристик осесимметрич-ных оболочечных конструкций, содержащих жидкость, при осесимметричных колебаниях. Программа инв. N 0365П: Аннотация. // Справочно-информационный бюллетень ОФАП САПР, вып. 14. ГОНТИ-1, 1981.

32. Григорьев В.Г. Устранение погрешностей при синтезе подконструк-ций по методу жестких границ и корректирующие ряды в ортогональном подпространстве // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1997. - № 3. - С. 4854.

33. Григорьев В.Г. О построении матриц при синтезе конструкций по методу жестких границ с использованием корректирующих рядов // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1997. - № 4. - С. 93-99.

34. Григорьев В.Г. О вычислительных аспектах применения корректирующих рядов при синтезе подконструкций по методу свободных границ // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1998. - № 4. - С. 17-27.

35. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Повышение точности динамического синтеза подконструкций в методе жестких границ для дискретных моделей // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1997. - № 2. - С. 108 - 122.

36. Григорьев Е.Т. Об устойчивости продольных колебаний оболочки с жидкостью // Прикладная механика. 1967. - Т. 3. - № 6. - С. 23 -30.

37. Джордж А., Лю Дж. Численной решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984.

38. Динамика ракет // Абгарян К.А., Калязин Э.Л., Мишин В.П. и др. -М.: Машиностроение, 1990. 464 с.

39. Дмитриев С.Н. О частотном критерии в методе синтеза форм колебаний // Динамика систем и конструкций. Труды МГТУ им Н.Э.Баумана № 545. -М: Изд-во МГТУ, 1990. С. 51 - 69.

40. Дмитриев С.Н. Формирование частотного уравнения системы в методе остаточных податливостей // Механика в авиации и космонавтике. М: Машиностроение, 1995. - С. 65 - 69.

41. Друзь Б.И., Огай С.А., Хованец В.А. Применение метода конечных элементов к задаче о колебаниях жидкости в отсеке, закрытом мембраной // Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. 1978. - № 36. - С. 147 -155.

42. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. Л.: Судостроение, 1984. - 237 с.

43. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.541 с.

44. Ивантеев В.И., Чубань В.Д. Расчет частот и форм свободных колебаний конструкции методом многоуровневой динамической конденсации // Ученые записки ЦАГИ. 1984. - Т. 15. - № 4. - С. 81 - 82.

45. Ильгамов М.А. Об условиях на поверхности контакта упругой оболочки и идеальной жидкости в лагранжевом представлении // Прикладная математика и механика. 1977. - Т. 41. - № 3. - С. 509 - 519.

46. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 200 с.

47. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Издательство МГУ, 1978. - 287 с.

48. Карцов С.К., Перминов М.Д. Исследование колебаний сложных конструкций методом синтеза форм колебаний // Колебания сложных упругих систем. М.: Наука, 1981. - С. 12 - 18.

49. Кобычкин В.С., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Осесимметричные колебания полусферической оболочки, частично заполненной жидкостью // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1968. - № 5. - С. 46 - 54.

50. Колесников К. С. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем. М.: Машиностроение, 1971. - 260 с.

51. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980. - 376с.

52. Крон Г. Исследование сложных систем по частям диакоптика. - М.: Наука, 1972. - 544 с.

53. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, части I, II. М.: Физматгиз, 1963.

54. Лампер Р.Е. К расчету собственных колебаний баков методом Ритца с варьируемым параметром // Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. М.: Наука, 1970. - С. 351 - 354.

55. Лиходед А.И. О сходимости метода разложения по собственным формам колебаний в задачах динамического нагружения // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1986. - № 1. - С. 180 - 188.

56. Маневич Л.И., Прокопало Е.Ф., Шукуров А.Х. Исследование параметрических колебаний оболочки, заполненной жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью. М., 1976. С. 279 - 284.

57. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений // Пост-нов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов А.А. Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

58. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971. - 463 с.

59. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 512 с.

60. Моисеев Н.Н. К теории колебаний упругих тел, имеющих жидкие полости // Прикладная математика и механика. 1959. - Т. 23. - № 5. - С. 862 -878.

61. Мокеев В.В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конечных элементов // Известия Академии наук. Механика твердого тела. 1998. - № 6. - С. 166 - 174.

62. Натанзон М.С. Влияние собственной частоты колебаний жидкости в топливоподающем тракте на продольную устойчивость корпуса ракеты // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1969. - № 3. - С. 111 - 118.

63. Натанзон М.С. Продольные автоколебания жидкостной ракеты. М.: Машиностроение, 1977. - 205 с.

64. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.-М.: Гос-техиздат, 1948. - 118 с.

65. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962.432 с.

66. Образцов И.Ф., Вольмир А.С., Терских В.Н. Метод суперэлементов в динамике сложных структур // Доклады АН СССР. 1980. - Т. 255. - № 1. - С. 59 - 61.

67. Образцова Е.И. Нелинейные параметрические колебания цилиндрической оболочки с жидкостью при продольном возбуждении // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 1976. - № 6. - С. 87 - 93.

68. Образцова Е.И., Шклярчук Ф.Н. Нелинейные параметрические колебания цилиндрического бака с жидкостью // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1979. - № 4. - С. 133 - 145.

69. Павловский В.С. Устойчивость цилиндрической оболочки с жидкостью при продольных вибрационных воздействиях. // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. Томск, Томский ун-т, 1975. -С.77 - 84.

70. Павловский В.С., Филин В.Г. Параметрическая неустойчивость цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью // Прикладная механика. -1975. Т. 11. - № 6. - С. 72 -81.

71. Павловский В.С., Филин В.Г. Устойчивость колебаний цилиндрической оболочки с жидкостью в условиях нелинейных резонансов // Прикладная механика. 1979. - Т. 15. - № 8. - С. 46 - 55.

72. Пановко О.Я., Постнов В.А. Использование метода подструктур для определения собственных чисел в задачах колебаний и устойчивости упругих конструкций // Актуальные проблемы авиационной науки и техники. М.: Машиностроение, 1984. - С. 172 - 184.

73. Перминов М.Д., Петров В.Д. Исследование вынужденных колебаний сложных систем методом расчленений // Динамика и прочность упругих и гидроупругих систем. М.: Наука, 1975. - С. 9 - 12.

74. Пилипенко В.В., Задонцев А.П., Григорьев Ю.Е., Белецкий А.С. Оценка амплитуд продольных колебаний ракет-носителей космических аппаратов // Механика в авиации и космонавтике. М., 1995. - С. 27 - 34.

75. Пилипенко В.В., Задонцев А.П., Натанзон М.С. Кавитационные автоколебания и вопросы динамики гидросистем. М.: Машиностроение, 1977. -352 с.

76. Постнов В.А., Москалев А.Н. О применении метода подструктур для определения и разделения корней частотного уравнения консервативных систем // Прикладная механика. 1979. - Т. 15. - № 3. - С. 94 - 96.

77. Постнов В.А., Тарануха Н.А. Метод модуль-элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1990. - 318 с.

78. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975. - 416 с.

79. Рабинович Б.И. Об уравнениях упругих колебаний тонкостенных стерженей с жидким заполнением при наличии свободной поверхности // Известия АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. 1959. - № 4. - С. 63 -68.

80. Рабинович Б.И., Шмаков В.П., Кобычкин В.С. К теории колебаний конструкций, несущих упругие резервуары с жидкостью. // Исследования по теории сооружений. Вып. 18. М.: Стройиздат, 1970. - С. 68 - 84.

81. Рапопорт И.М. Динамика упругого тела, частично заполненного жидкостью. М.: Машиностроение, 1966. - 393 с.

82. Самойлов Е.А., Павлов Б. С. Колебания полусферической оболочки, заполненной жидкостью // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 1964. - № 3.

83. Сахабутдинов Ж.М. Нелинейные задачи гидроупругости в лагранже-вых координатах // Труды семинара по теории оболочек. Вып. 2. - Казань: Физ.-техн. ин-т АН СССР, 1971. - С. 165 - 187.

84. Сидельников Р.В., Ямчук В.В. Расчет колебаний осесимметричных конструкций с жидкостью методом конечных элементов // Сборник научных трудов Челябинского политехнического института. 1979. - № 227. - С. 24 - 29.

85. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций // Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. М.: Машиностроение, 1975.

86. Шклярчук Ф.Н. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки, частично заполненной жидкостью, при продольных колебаниях. // Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. М.: Наука, 1970. - С. 619 - 624.

87. Шклярчук Ф.Н. О параметрических колебаниях цилиндрической оболочки, частично заполненной жидкостью, при продольном возбуждении. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск, Новосибирский электротехнический институт, 1973. - С. 314 - 329.

88. Шклярчук Ф.Н. Динамика конструкций летательных аппаратов. -М.: МАИ, 1983. 79 с.

89. Шмаков В.П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с жидким заполнением // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. - № 1. - С. 170 - 173.

90. Шмаков В.П. Построение корректирующих функций в методе Буб-нова-Галеркина // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1981. - № 2. -С. 80 - 92.

91. Шмаков В.П. Метод синтеза динамических характеристик упругих модульных конструкций // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1991. - № 1. - С. 4 - 10.

92. Шмаков В.П. Аппроксимация гармонического отклика упругой конечно-мерной системы в зависимости от частотного диапазона внешнего воздействия // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1995. - № 2. - С. 96 - 110.

93. Шмаков В.П., Григорьев В.Г. Синтез динамических характеристик аналитических и дискретных моделей подконструкций с использованием корректирующих рядов // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 2000. - 1 2. - С. 5 - 19.

94. Aganovic I. Oscillations of an elastic body with cavities partially filled with liquid // Glasnik Matematicki. 1974. - V. 9 (29). - No. 1 - P. 161 - 171.

95. Aganovic I. On a spectral problem of hydroelasticity // Journal de M^anique. 1981. - V. 20. - No. 3. - P. 409 - 414.

96. Akkas N., Akay H.U., Yilmaz C. Applicability of general-purpose finite element programs in solid-fluid interaction problems // Computers and Structures. -1979. V. 10. - No. 5. - P. 773 - 783.

97. Akkas N., Yilmaz C. Dynamics of elastic structures in acoustic media using general purpose finite element programs // Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule fbr Architektur und Bauwesen Weimar. 1978. - V. 25. - No. 1. - P. 4 -6.

98. Ando A. Vibration analysis of submerged structure by finite element method // Japan Shipbuilding and Marine Engineering. 1978. - V. 12. - No. 3. - P. 5 - 10.

99. Arora J.S., Nguyen D.T. Eigensolution for large structural systems with substructures // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1980. - V. 15. - No. 3. - P. 333 - 341.

100. Balmйs E. Optimal Ritz vectors for component mode synthesis using the singular value decomposition // AIAA Journal. 1996. - V. 34. - No. 6. - P. 1256 -1260.

101. Bamford R., Wada B.K., Garba J.A., Chisholm J. Dynamic analysis of large stuctural systems // Synthesis of Vibrating Systems. / Ed. Neubert V.H., Raney J.P. New York: ASME, 1971. - P. 57 - 71.

102. Benfield W.A., Hruda R.F. Vibration analysis of structures by component mode substitution // AIAA Journal. 1971. - V. 9. - No. 7. - P. 1255 - 1261.

103. Bennighof J.K. Component mode iteration for frequency calculations // AIAA Journal. 1987. - V. 25. - No. 7. - P. 996 - 1002.

104. Berger H., Boujot J., Ohayon R. On a spectral problem in vibration mechanics: computation of elastic tanks partially filled with liquids // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1975. - V. 51. - No. 2. - P. 272 - 298.

105. Berger H., Ohayon R. Une mathode de calcul par filaments finis des mouvements de liquides dans des raservoirs rigides ou daformables. // Bulletin de Association technique maritime et aeronautique. 1974. - No. 74. - P. 241 - 253.

106. Boujot J. Sur l'analyze des caractaristiques vibratoires d'un liquide contenu dans raservoir. // Journal de mechanique. 1972. - V. 11. - No. 4. - P. 649 -671.

107. Boujot J. Mathematical formulation of fluid-structure interaction problems // M2AN. Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 1987. - V. 21. -No. 2. - P. 239 - 260.

108. Chung T.J., Rush R.H. Dynamically coupled motion of surface-fluid-shell system. // Transactions ASME. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. 1976. -V. 43. - No. 3. - P. 507 - 508.

109. Cook R.D. Comment on "Discrete element idealization of an incompressible liquid for vibration analysis" and "Discrete element structural theory of fluids" by D.A.Hunt // AIAA Journal. 1973. - V. 11. - No. 5. - P. 766 - 767.

110. Coppolino R. A numerically efficient finite element hydroelastic analysis. // Proc. AIAA/ASME/SAE 17th Structures, Structural Dynamics and Materials

111. Conferense, King of Prussia, Pennsylvania, May 5-7, 1976. S.l., 1976. - P. 298 -312.

112. Craig R.R. Methods of component mode synthesis // The Shock and Vibration Digest. 1977. - V. 9. - No. 11. - P. 3 - 10.

113. Craig R.R.Jr., Bampton M.C.C. Coupling of substructures for dynamic analysis // AIAA Journal. 1968. - V. 6. - No. 7. - P. 1313 - 1319.

114. Craig R.R.Jr., Chang C.-J. Free-interface methods of substructure coupling for dynamic analysis // AIAA Journal. 1976. - V. 14. - No. 11. - P. 1633 -1635.

115. Craig R.R.Jr., Chang C.-J. A review of substructure coupling methods for dynamic analysis // Advances in Engineering Science, V. 2, NASA CP-2001, 1976. P. 393 - 408.

116. Curnier A. On three modal synthesis variants // Journal of Sound and Vibration. 1983. - V. 90. - No. 4. - P. 527 - 540.

117. Dowell E.H. Free vibration of an arbitrary structure in terms of component modes // Transactions ASME. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. 1972. -V. 39. - No. 3. - P. 727 - 732.

118. Dubois J.J., De Rouvray A.L. An improved fluid superelement for the coupled solid-fluid-surface wave dynamic interaction problem // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 1978. - V. 6. - No. 3. - P. 235 - 245.

119. Felippa C.A., Ohayon R. Mixed variational formulation on finite element analysis of acoustoelastic/slosh fluid-structure interaction // Journal of Fluids and Structures. 1990. - V. 4. - No. 1. - P. 35 - 57.

120. Gladwell G.M. Branch mode analysis of vibrating systems // Journal of Sound and Vibration. 1964. - V. 1. - No. 1. - P. 41 - 59.

121. Goldman R.L. Vibration analysis by dynamic partitioning // AIAA Journal. 1969. - V. 7. - No. 6. - P. 1152 - 1154.

122. Gupta K.K. Eigenproblem solution by a combined Sturm sequence and inverse iteration technique // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1973. - V. 7. - No. 1. - P. 17 - 42.

123. Guyan R.J. Reduction of stiffness and mass matrices // AIAA Journal. -1965. V. 3. - No. 2. - P. 380.

124. Hale A.L., Meirovitch L. A general substructure synthesis method for the dynamic simulation of complex structures // Journal of Sound and Vibration. 1980. - V. 69. - No. 2. - P. 309 - 326.

125. Hale A.L., Meirovitch L. A procedure for improving discrete substructure representation in dynamic synthesis // AIAA Journal. 1982. - V. 20. - No. 8. - P. 1128 - 1136.

126. Hale A.L., Meirovitch L. A general procedure for improving substructure representation in dynamic synthesis // Journal of Sound and Vibration. 1982. - V. 84. - No. 2. - P. 269 - 287.

127. Hamdi M.A., Ousset Y., Verchery G. A displacement method for the analysis of vibrations of coupled fluid-structure systems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1978. - V. 13. - No. 1. - P. 139 - 150.

128. Hasselman T.K., Kaplan A. Dynamic analysis of large systems by complex mode synthesis // Transactions ASME. Ser. G. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 1974. - V. 96. - No. 3. - P. 327 - 333.

129. Hintz R.M. Analytical methods in component modal synthesis // AIAA Journal. 1975. - V. 13. - No. 8. - P. 1007 - 1016.

130. Hou S.N. Review of modal synthesis techniques and a new approach // The Shock and Vibration Bulletin. 1969. - No. 40, Pt. 4. - P. 25 - 39.

131. Hunt D.A. Discrete element idealization of an incompressible liquid for vibration analysis // AIAA Journal. 1970. - V. 8. - No. 6. - P. 1001 - 1004.

132. Hunt D.A. Discrete element structural theory of fluids // AIAA Journal. -1971. V. 9. - No. 3. - P. 457 - 461.

133. Hurty W.C. Dynamic analysis of structural systems using component modes // AIAA Journal. 1965. - V. 3. - No. 4. - P. 678 - 685.

134. Hurty W.C. Introduction to modal synthesis techniques // Synthesis of Vibrating Systems. / Ed. Neubert V.H., Raney J.P. New York: ASME, 1971. - P. 1 - 13.

135. Hurty W.C., Collins J.D., Hart G.C. Dynamic analysis of large structures by modal synthesis techniques // Computers and Structures. 1971. - V. 1. - No. 4. -P. 535 - 563.

136. Ichikawa T., Hagiwara I. Frequency response analysis of large-scale damped structures using component mode synthesis // JSME International Journal. Ser. C. 1996. - V. 39. - No. 3. - P. 450 - 455.

137. Irons B. Structural eigenvalue problems: elimination of unwanted variables // AIAA Journal. 1965. - V. 3. - No. 5. - P. 961 - 962.

138. Irretier H. A modal synthesis method with free interfaces and residual flexibility matrices for frame structures // Stavebnicky nasopis. 1989. - V. 37. - No. 9. - P. 601 - 610.

139. Jezequel L., Seito H.D. Component modal synthesis methods based on hybrid models. Part I. Theory of hybrid models and modal truncation methods // Transactions ASME. Journal of Applied Mechanics. 1994. - V. 61. - No. 1. - P. 100 - 108.

140. Jezequel L., Seito H.D. Component modal synthesis methods based on hybrid models. Part II. Numerical tests and experimental identification of hybridmodels // Transactions ASME. Journal of Applied Mechanics. 1994. - V. 61. - No. 1. - P. 109 - 116.

141. Jordan P.F. Vibration tests of a pressurized torus shell // AIAA Paper. -1967. No. 73.

142. Kana D.D., Craig R.R., Jr. Parametric oscillations of a longitudinally excited cylindrical shell containing liquid // Journal of Spacecraft and Rockets. 1968.- V. 5. No. 1. - P. 13 - 21.

143. Kaneko I., Lawo M., Thierauf G. On computational procedures for the force method // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1982.- V. 18. No. 10. - P. 1469-1495.

144. Khabbaz G.R. Dynamic behavior of liquids in elastic tanks // AIAA Journal. 1971. - V. 9. - No. 10. - P. 1985 - 1990.

145. Kiefling L., Feng G.C. Fluid-structure finite element vibrational analysis // AIAA Journal. 1976. - V. 14. - No. 2. - P. 199 - 203.

146. Kubomura K. A theory of substructure modal synthesis // Transactions ASME. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. 1982. - V. 49. - No. 4. - P. 903 -908.

147. Kuhar E.J., Stahle C.V. Dynamic transformation method for modal synthesis // AIAA Journal. 1974. - V. 12. - No. 5. - P. 672 - 678.

148. Leung Y.T. An accurate method of dynamic substructuring with simplified computation // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1979. V. 14. - No. 8. - P. 1241 - 1256.

149. LeungA.Y.T. Damped dynamic substructures // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1988. - V. 26. - No. 11. - P. 2355 - 2365.

150. Linz P. Linear multistep methods for Volterra integro-differential equations // Journal of the ACM. 1969. - V. 16. - No. 2. - P. 295 - 301.

151. Lu X. Simplified dynamic condensation in multy-substructure systems // Computers and Structures. 1988. - V. 30. - No. 4. - P. 851 - 854.

152. MacNeal R.H. A hybrid method of component mode synthesis // Computers and Structures. 1971. - V. 1. - No. 4. - P. 581 - 601.

153. Meirovitch L., Hale A.L. On the substructure synthesis method // AIAA Journal. 1981. - V. 19. - No. 7. - P. 940 - 947.

154. Morand H., Ohayon R. Substructure variational analysis of the vibrations of coupled fluid-structure systems. Finite element results // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1979. - V. 14. - No. 5. - P. 741-755.

155. Morosow G., Abbott P. Mode selection // Synthesis of Vibrating Systems. / Ed. Neubert V.H., Raney J.P. New York: ASME, 1971. - P. 72 - 77.

156. Ohayon R., Felippa C.A. The effect of wall motions on the governing equations of contained fluids // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1990. - V. 57. - No. 3. - P. 783 - 785.

157. Ohayon R., Sampaio R., Soize C. Dynamic substructuring of damped structures using singular value decomposition // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1997. - V. 64. - No. 2. - P. 292 - 298.

158. Ohayon R., Valid R. True symmetric variational formulations for fluid-structure interaction in bounded domains Finite elements results // Numerical Methods in Coupled Systems. - Chichester e.a.: John Wiley & Sons, 1984. - P. 293 -325.

159. Pinson L.D., Brown C.G. A finite element method for nonaxisymmetric vibrations of pressurized shells of revolution partially filled with liquid // AIAA Paper. 1973. - No. 399.

160. Radovich N.A. Analytical model for missile axial oscillation caused by engine-structure coupling // AIAA Publication, CP-12. 1965. - P. 68 - 75.

161. Radwan H., Genin J. Non-linear modal equations for thin elastic shells // International Journal of Non-linear Mechanics. 1975. - V. 10, - No. 1. - P. 15 - 29.

162. Rubin S. Longitudinal instability of liquid rockets due to propulsion feedback (POGO) // Journal of Spacecraft and Rockets. 1966. - V. 3. - No. 8. - P. 1188 - 1195.

163. Rubin S. Improved component-mode representation for structural dynamic analysis // AIAA Journal. 1975. - V. 13. - No. 8. - P. 995 - 1006.

164. Simpson A. The Kron methodology and practical algorithm for the eigenvalue, sensitivity and response analyses of large scale structural systems // Aeronautical Journal. 1980. - V. 84. - No. 839. - P. 417 - 433.

165. Spyrakos C.C., Beskos D.E. Dynamic response of frameworks by fast Fourier transform // Computers and Structures. 1982. - V. 15. - No. 5. - P. 495 -505.

166. Turner G.L., Milsted M.G., Hanks P. The adaptation of Kron's method for use with large finite-element models // Transactions ASME. Journal of Vibration, Acoustics, Stress and Reliability in Design. 1986. - V. 108. - No. 4. - P. 405 -410.

167. UAI/NAS TRAN 11.8. User's Guide. Torrance, California USA: Universal Analytics, Inc., 1995.

168. Ujihara B.H., Guyan R.J. Hydroelastic properties of a full scale S-II LOX tank // AIAA Paper. 1972. - No. 173.

169. Valid R., Ohayon R., Berger H. Le calcul des râservoirs Mastiques partiellement remplis de liquides, pour la provision de l'effet pogo // Recherche Aérospatiale. 1974. - No. 6. - P. 367 - 379.

170. Welch P.W., Ujihara B.H. Zero-g mercury dynamics analysis // AIAA Paper. 1973. - No. 1121.

171. Wick R.S. The effect of vehicle structure on propulsion system dynamics and stability // Jet Propulsion. 1956. - V. 26. - No. 10 (part 1). - P. 878 - 887.

172. Yu I.-W. Solunion of large unsymmetric eigensystems for fluid/structure interaction problems // Nuclear Science and Engineering. 1986. - V. 92. - No. 1. -P. 157 - 161.

173. Yu I.-W. Subspace iteration for eigensolution of fluid-structure interaction problems // Transactions of the ASME. Journal of Pressure Vessels Technol. -1987. V. 109. - No. 2. - P. 244 - 248.

174. Zienkiewicz O.C., Bettes P. Fluid-structure dynamic interaction and wave forces. An introduction to numerical treatment // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1978. - V. 13. - No. 1. - P. 1 - 16.