Методы дискретизации в проблеме устойчивости систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГб од

- 5 ИЮН 1995

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КИРИН Алексей Николаевич

МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ В ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Специальность 01.01.09 — математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-д'атематических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на факультете прикладной математики - процессов управления.

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор Жабко А.II. Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор А.М.Камачкин кандидат физико-математических наук, доцент О.В.Шаляпина Ведущая организация : Санкт-Петербургский государственный технический университет

о 2.3 с-чоЮк Л LI .защита состоится __199о года в 1 -Д- часов на

заседании диссертационного совета K-0G3.57.1C по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу : 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д. 33, ауд. 88.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " " _ 1995 года.

Ученый секретарь диссертационного совета K-0G3.57.1G, доктор физико-математических наук В.Ф.Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе исследуются задачи устойчивости и оптимального управления линейных систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Для этих систем имеется целый ряд результатов в теории устойчивости и теории оптимального управления (Красовский H.H., Зубов В.И., Разуми-хин Б.С., Репин Ю.М. и др.). Актуальность задачи вызвана необходимостью повышать эффективность методов анализа современных сложных технологических процессов, а также необходимостью улучшать качественные характеристики наблюдаемых и управляемых процессов. Учитывая сложные взаимосвязи в моделируемых процессах приходится рассматривать комплексные системы, развивающиеся под действием запаздывающих по Бремени факторов. Решение практических задач требует органического синтеза настоящей теоретической базы, численных алгоритмов решения и эффективного использования всех возможностей ЭВМ.

Цель работы состоит в представлении теоритичсски обоснованного применения методов разностной аппроксимации в решении задач исследования устойчивости и построения оптимального стабилизирующего управления для систем с запаздыванием.

Методы исследования основаны на результатах теории дифференциально-разностных систем, теории устойчивости, теории управления, аппарата численных методов, математического анализа.

Научная новизна. В диссертации впервые : 1) предложены и исследованы методы построения дискретной an

проксимации и задаче устойчивости для систем с запаздыванием на основе применения интегральной формулы Коши;

2) получен критерий эквивалентности свойства устойчивости системы с запаздыванием и ее дискретной аппроксимации;

3) указаны пути повышения эффективности применения дискретной аппроксимации систем с запаздыванием;

4) дан метод построения последовательных приближений оптимального стабилизирующего управления дискретных управляемых систем и систем с запаздыванием с учетом неполной обратной связи.

Практическое и теоретическое значения. Представленный в дисс ертации метод может быть распространен на случай нелинейных и нестационарных систем, применен для решения более сложных практических задач и модифицирован при дополнительных условиях путем выбора как хорошо известных так и специальных схем аппроксимации.

Апробация работы. Основные результаты работы докладыпа-лись на семинаре кафедры теории управления факультета Прикладной Математики - Процессов Управления С'ПбГУ, на международной конференции "ПЧ'ТЕЯУАЬ'О-Г (7-10 марта 1994 г., Санкт-Петербург), на научной конференции факльтета ПМ-ПУ С'ПбГУ (апрель 1994 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [1-3].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложений и списка литературы. Основной текст

изложен на 67 страницах машинописного текста, приложения занимают 26 страниц, используемая литература содержит 75 наименований.

Содержание работы.

Во введении дана краткая историческая справка по иссяедуе^ мому вопросу, представлены основные результаты работы, обозначены пути дальнейшей разработки и соверщенстопания представленного метода дискретной аппроксимации в теоретическом и практическом аспектах.

В работе исследуется система вида

о

¿(0 = <?о*(0 + I «Й7(т)»(* + г), < > 0, (1)

1/

—Л

где Со- С(г) - вещественные матрицы п X п, С(т) - матрица ограниченной вариации на [-/1,0], (Л > 0), Л?(0) = О.

Построение разностной аппроксимации системы (1) осуществляется с помощью интегральной формулы Копт на приращении шага Д = равномерной сетки :

д о

+'Д) = У(Д) [*■(*) + {1<1С;{тгМ1 + г, + т*)^] -

0 -к

= У(Д)*(<) + ]Г^(Д).г(<~ДЛ + '•(')' (V

1=1

где У(Д) = еСлЛ. УДД) = У(Д) /1-'(тМг• [<?{-ДЛ -С(-Д0' +1))], 7 = 1,7—1, а норма вектор-функции погрешности оценивается следующим образом :

|г(/)|<«Дг.

Принимая обозначение Уо(Д) = У(Д)- построим разностную систему вида

гм=Ргк, г4б7г;", к еЛГо, (3)

где

Р(Д) =

/У0(Д) У,(Д) Е О О Е

о о о о

(4)

О О ••• £ О /

Для систем (1),(3) установлена следующая теорема.

Теорема 1.4 Для того чтобы система (1) была асимптотически устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при некотором Д > О система (3) была асимптотически устойчива для всех Д 6 (0,Д) и имела бы место оценка

А(Д) < е-рд,'

где А(Д) - оценка сверху модулей собственных чисел матрицы Р системы (3), /г > 0.

Для удобства практического использования метода устаповлен следующий факт.

Теорема 1.5 Для того, чтобы система (1) была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при некотором Д € ( 0, Д ) уравнение Ляпунова для системы (3) Р'{А)\ГР(А) —V = — Е имело положительно определенное решение У > 0 и-соответствующее ему наибольшее собственное число А*. удовлетворяло яера-

венству

о '

гд« Я = ЛЕ ( Е Уаг^<г<о(^(г))) , С(Т) = {дц(т)}, д = ||С0||,

/-(А) =

_ / +(^0^ + ^110.,|Л_1})25 если ||Со|| ^ 0?

д/1 + (14д Д)а,

если ||С0|| = 0.

Особое внимание в работе уделяется возможности построить эффективные схемы аппроксимации.

В параграфе 5 главы 1 в качестве блоков Д) матрицы (-!) рассматриваются значения кусочно-дифференцируемой матричной функции, для нахождения которой предлагается решать сопряженную граничную задачу для стационарной системы липейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. А именно, дли системы

1П

■ ¿-(0 = -л,-) |=0

строится сопряженная система

' Ц9) = в 6 [0,1ц),

Ф(в) = Ф(0)<7О + Ф(0-Л1)<7Ь & € [А|,Лг),

Ф(в) = Ф(«)С70 + Е Чв - 0 6 [Л„ VI). ¡=1

Ф(0) = Ф(в)(?0 + Е - А € {Л, М).

1=1

(С)

т

с граничными условиями

Ф{+0) = Е, Ф(у + 1)Д-*о + 0)=0, ' i = О, J- 1. (7)

С помощью решения сопряженной граничной задачи (6), (7) строится система дискретной аппроксимации (5)

J-1

или - ~ Р(Л)г*<

i=о

где Yj = Ф(0" + 1)Д.— <о — 0), 'о € (.-А, к А — А]. Здесь погрешность аппроксимации имеет тот же порядок что и при аппроксимации по формуле средних прямоугольников.

В главе I для сравнения в качестве ацпроксимационной формулы предложено использовать квадратурную формулу на большом интервале интегрирования в формуле Коши. Так для системы вида

x(t) = Go*(t) + Gx(t - h)

из формулы

т

x(t + Т) = eG°T(x(t) + J e-G"TGx(t + т - h)dr), о

пользуясь большой формулой трапеций по равноотстоящим узлам = кА, Т — vA, получим аппроксимацию

и

j=о

где J е Л/\{1}, к € ЛГ, 1< и < J, А = 7^-.

Приемущество применения схемы аппроксимации с весовыми коэффициентами метода трапеций над схемой с коэффициентами

по методу прямоугольники) продемонстрировано на примере системы, моделирующей процесс в камере сгорания жидкостного ракетного двигателя. Создана программа для ЭВМ, приведены тексты программ, результаты счета и анализ полученных результатов.

В главе 2 исследуется задача Построения оптимального стабилизирующего управления для системы (1). Решать задачу предлагается методом дискретной аппроксимации, т.е. для управляемой системы вида

и

h(t) = GVr(t) + J dG{r)x(t + r) + KTi(t), t> 0 (8)

о -k

строится управление из класса

о

«{») = j.\J(T)i(l + T)Jr.

-h

По методу дискретной аппроксимации получаем разностную управляемую сис^му

zt+i = + Quk, (9)

Л

причем Р определена в (4), a Q = (/Уо(Л - r)dr ■ К,О,...,О)'

о

матрица размерности Jn xr.

Критерий качества системы (8) в виде положительно определенного функционала

ос , о о

")=/(// х*(* + n)A(rh r2)r(t + r2)r/r,«ir.H-

и о >

+ Jх'(1-\-т)В{т)й(1),1т + Jri'(t)D'(r)x(t + T)dr +u'it)Cu(t)\,lt, (10)

-h -h '

аппроксимируется квадратичным положительно определенным функционалом для системы (6):

A, U) = Л2 J2 "Д »»(«/> ";) = ZjAzj+ZjBuj+UjB'zj+UjCtij. j=o

Решая задачу построения оптимального стабилизирующего управления для системы (9) с помощью метода оптимального демп^ фирования, получаем предельное оптимальное управление в виде

и* = -(С + Q'§Q)-l(Q'GP + B')zt,

где матрица в положительно определенной формы суть решение соответствующего уравнения Риккати.

В диссертации разработан метод построения начального допустимого управления в дискретной задаче оптимальной стабилизации. При условии существования допустимого управления в системе (9) для системы вида

zk = a,,Pzk + Qut, а,, € [0,1] (И)

предлагается строить приближения оптимальных управлений, взяв в качестве исходного допустимого управления нулевое, т.е положить U( = (I в системе (11) при «i = 0. Величина определяется на каждом шаге метода продолжения по параметру аг путем осуществления конечного числа итераций по методу последовательного оптимального демпфирования в системе (11) при ар, найденном на предыдущем шаге. В работе указан способ выбора а;,+1, при котором за конечное число р коррекций параметра аР при ар = 1 будет построено стабилизирующее управление системы

(9).

Также предлагается строить оптимальпое управление по неполной обратной связи. Для системы с запаздыванием (8) ищутся управления вида

о

77(f) = J Ü(r)y(t + г),1т, где y(t) = fx(t),

-I,

а для ее дискретного аналога (9) строится аппроксимирующее управление

Щ = Г ук = TTzk. (12)

Особенностью предлагаемого метода последовательных приближений в дискретном аналоге задачи оптимальной стабилизации по неполной обратной связи является то, что на шаге демпфирования функции Ляпунова v(zt,) = ¿k9zt решается задача

min max {(Р:к + QuL.)'e(Pzk + Quk) - z'k9zk + w(zk,„,.)}

и .-1

при всех tjt=Tzk, zk£TLln. (13)

Показывается существование решения этой задачи при наличии исходного допустимого управления вида (12) и сходимость процесса последовательных приближений к оптимальному решению, которое характеризуется равенством нулю выражения (13).

Решив задачу построения оптимального Стабилизирующего управления для разностной системы, восстанавливаем соответствующее кусочно-постоянное управление для системы (8) близкое к оптимальному по критерию (10) при достаточно малом шаге дискретизации Д.

В качестве примера построения оптимального стабилизирующего управления рассмотрена модель управления звеном тшго-

пой технологической линии. Для данной задачи написана и представлена в приложении программа для ЭВМ, проанализированы полученные и отраженные в приложении результаты счета ври уменьшении шага дискретизации.

Список работ, опубликованных по теме диссертации.

1. Кирин А.Н. Критерий асимптотической устойчивости линейной системы с последействием по дискретному приближению. -Доп. в ВИНИТИ от 2 марта 1994 г., N° 494-В94.

2. Кирин А.Н. Оптимальная стабилизация линейной системы с последействием по дискретному приближению. -Деп. в ВИНИТИ от 25 августа 1994 г., ЛГ* 2111-В94.

3. Кирин А.Н. Стабилизация возмущенной системы с запаздыванием по дискретному приближению. -Тезисы доклада международной конференции "ПчтТЕП\'А1/94", 7-10 марта 1994 г., Санкт-Петербург.