Методы факторизации в проблеме исследования напряженно-деформированного состояния материалов сложного строения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Евдокимова Ольга Владимировиа

МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ В ПРОБЛЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛОВ СЛОЖНОГО СТРОЕНИЯ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ООЗ176342

Краснодар 2007

003176342

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный консультант Официальные оппоненты

Ведущая организация

член-корреспондент РАН Индейцев Дмитрий Анатольевич

академик РАН,

доктор физ -мат наук, профессор Морозов Никита Федорович

доктор физ -мат. наук, профессор Дунаев Игорь Михайлович

доктор физ -мат наук, профессор Суворова Татьяна Виссарионовна

Институт проблем механики РАН

Защита состоится « б » 2007 г в 10 часов на заседании

диссертационного совета Д 212 101 07 при Кубанском государственном университете по адресу 350040, г Краснодар, ул Ставропольская, 149, Куб ГУ, ауд 207

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке универси-

тета

Автореферат разослан « ^ ^ » 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

А А. Евдокимов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Исследованию физико-механических свойств материалов посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых.

Различные вопросы теории и методов исследования как краевых задач для дифференциальных уравнений, описывающих поведение деформируемых тел, так и свойств самих материалов рассматривали М А. Алексидзе, В.И. Арнольд, И.Н Векуа, М И Ви-шик, В С. Владимиров, И.И. Ворович, И.Ц Гохберг, Д.А Индейцев М.Г Крейн, В Д Купрадзе, О.Н. Ладыженская, В П. Мас-лов, В П. Матвеенко, С Г. Михлин, Н Ф Морозов, С J1. Соболев, С. Агмон, А Дуглис, Л Ниренберг и др Существенные результаты при исследовании смешанных краевых задач получили В.М Александров, Б Д Аннин, Н X. Арутюнян, А В Белоконь, А О Ватульян, И.И Ворович, Б М. Глинский, Е.В Глушков, Н В. Глушкова, А Г Горшков, Р В. Гольдштейн, И.Г Горячева, И.М Дунаев, Д А. Индейцев, В В Калинчук, В И Колесников, А В. Манжиров, Н Ф Морозов, А Д Полянин, В И Моссаков-ский, С М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г Я Попов, ОД. Пряхина, В С Саркисян, М.В Сильников, А.В Смирнова, Т.В. Суворова, Д В Тарлаковский, J1 А Фильштинский и др

Вопросы концентрации напряжений в деформируемых телах при наличии дефектов были глубоко изучены в работах В Г Баженова, И И Воровича, И.Г. Горячевой, А Н. Гузя, И М. Дунаева, В.А. Еремеева, JI.M Зубова, Д А Индейцева, Д М. Климова, Л.П. Лебедева, Н.Ф. Морозова, A.B. Наседкина, В В. Новожилова, И Ф. Образцова, Б Е. Победри, М Г Селезнева, А.Ф. Резчикова, Ю А. Устинова, В.И. Феодосьева, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина, ЮГ Яновского и др.

Разнообразие целей, для которых предназначены материалы, широкий спектр механических - прочностных и физических -электромагнитных, температурных, оптических, магнитных, пьезоэлектрических, сегнетоэлектрических и других характеристик сформировали ряд направлений исследования материалов, преимущественно по отдельным из перечисленных свойств

Дальнейшее многообразие материалов достигается их различными сочетаниями в композиционных материалах, материалах блочного строения, представляющих сложное строение из фрагментов материалов различных типов

Особое место занимает исследование свойств материалов на-норазмерных величин, физико-механические свойства которых значительно изменяются по сравнению с макротелами Взаимодействие микро- и макротел с наноразмерными представляет новый важный раздел для исследователей

В связи с технологическим назначением многие материалы используются во взаимодействии или в контакте с другими материалами, что может приводить к искажению первоначально установленных физико-механических свойств, изученных вне взаимодействия В этих случаях появляются новые задачи, требующие дополнительного исследования, учитывающие технологический контакт материалов при использовании. Задачи нового типа возникают и при исследовании возможностей конструирования материалов с заданными физико-механическими свойствами. Сложность решения указанных задач связана с необходимостью исследования возникающих при этом краевых задач механики деформируемого твердого тела и физических процессов, описывающих поведение соответствующих полей.

Кажущаяся возможность преодоления этих сложностей применением современных вычислительных средств не всегда позволяет достигать искомой цели Причина состоит в том, что в композитных, составных материалах, в материалах с дефектами или включениями меньшей размерности распределение физико-механических полей носит сложный характер, описываемый большим числом параметров В частности, в отдельных областях могут возникать зоны концентрации напряженности или плотности физико-механических полей, усложняющие исследование Понимания закономерностей возникновения таких явлений, опираясь только на численные методы, достигнуть не всегда удается.

Настоящая работа нацелена на преодоление ряда отмеченных нерешенных проблем В основе исследования лежит новый метод- дифференциальный метод факторизации, разработанный для решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений

в частных производных большого порядка Этот метод служит дополнением к методу Винера - Хопфа, разработанному для решения интегральных уравнений и названному в работе интегральным Два указанных метода значительно расширяют арсенал средств аналитического и численно-аналитического исследования краевых задач для больших систем дифференциальных уравнений в частных производных, а также возникающих при этом систем интегральных уравнений, появляющихся при исследовании материалов, тем самым позволяют выявлять ряд важных закономерностей в поведении их решений

Значительное внимание в работе уделено конструированию материалов путем пассивного напыления мелкоразмерных субстанций на подложку, которая может иметь разнотипные подстилающие поверхности Принимается во внимание возможность искривления траекторий движения субстанций физическими полями, действующими в зоне между источником и подстилающей поверхностью.

Особое место занимают краевые задачи для материалов, имеющих составное строение из трехмерных фрагментов материалов этого же типа или других свойств Такого рода материалы называют материалами блочного строения Простейшими среди них являются слоистые материалы Теория слоистых материалов глубоко развита и считается практически исчерпанной

Исследование материалов блочного строения производится, как правило, численными методами. В то же время в случаях протяженных тел, а тем более при наличии дефектов эти методы неэффективны Такая же проблема возникает в задачах вибрации в случаях неограниченных блочных тел, когда необходимо учитывать условия излучения на бесконечность

В диссертации дается аиализ существующих аналитических, численно-аналитических и численных методов исследования и решения краевых задач о напряженно-деформированном состоянии материалов сложного, в том числе блочного строения Важное внимание уделено проблеме создания материалов с заданными физико-механическими свойствами, предназначенных для использования в условиях мощных физико-механических полей Значительное продвижение в этом направлении может быть сде-

лано на основе формирования материалов блочного строения с блоками, имеющими сложные физико-механические характеристики. Речь идет о создании материалов с заданной способностью локализовать те или иные поля деформаций или напряжений, напряженности электрического или магнитного полей, иметь определенные динамические трассы внутри тела, обладать заданным уровнем концентрации напряжений в окрестностях дефектов и т д.

Для выполнения этих исследований в диссертации развивается новый математический аппарат, использующий идеи факторизации. Определенные шаги по прямому или косвенному развитию этого метода были сделаны в работах М И Вишика, Г И. Эскина, А.О Ватульяна, Л.А. Игумнова, В А Бабешко и О.М. Бабешко В работах М И. Вишика, Г.И. Эскина рассмотрено применение метода факторизации для полупространства В основе исследования лежит идея выделения главного члена асимптотики символа псевдодифференциального уравнения В работах А.О. Ватульяна и учеников строится система граничных интегральных уравнений для упругих ограниченных тел на основе свойств преобразований Фурье, связанных с целыми функциями в таких областях. Далее развивается метод исследования ГИУ как некорректных, по А.Н. Тихонову, операторных уравнений Аналогичные уравнения получил Л.А. Игумнов, используя разложения по собственным функциям краевой задачи, в предположении возможности их построения

В А Бабешко и О.М Бабешко разработан ряд подходов исследования краевых задач для систем однородных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в отдельной области, опирающихся на топологические методы и факторизацию матриц-функций, построены варианты факторизации мероморфных матриц-функций.

В то же время ими не был решен большой круг вопросов, что не позволяло перенести методы факторизации на блочные структуры и не давало возможности исследовать краевые задачи для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Например, подход, который ими рекомендовался для блочных структур, состоял в следующем. Поскольку получаемое методом факторизации решение принадле-

жит классу медленно растущих обобщенных функций, состоящих из классических и обобщенных составляющих, предлагались достаточно сложные преобразования по отделению классической составляющей решения от обобщенной Затем предлагалось удовлетворение по традиционной схеме граничным условиям путем внесения классических составляющих решений в граничные условия контакта блоков. Это существенно усложняло задачу и делало подход неэффективным. Кроме того, ими не была решена проблема исследования и решения краевых задач для неоднородных дифференциальных уравнений, не исследовались нестационарные краевые задачи, что также тормозило перенос метода на нелинейные задачи

Наконец, не были систематизированы методы факторизации мероморфных матриц-функций и по этой причине не было замечено существование двух методов факторизации - классического, созданного Н Винером и Е. Хопфом и названного интегральным, и дифференциального Оба метода основаны на сведении в одном случае интегральных, в другом - дифференциальных уравнений к функциональным уравнениям, дальнейшее исследование которых опирается на идеи факторизации. Перечисленные причины не позволяли осуществлять исследования блочных структур в полной мере Ряд перечисленных недостатков устраняется настоящей работой В частности, в диссертации развит дифференциальный метод факторизации, применяемый к краевым задачам для систем дифференциальных уравнений Надо отметить, что существование дифференциального метода факторизации долгое время не было обнаружено Это объясняется тем, что в основе метода лежат тонкие свойства топологической алгебры, связанные с автоморфизмом топологических многообразий с краем, разделом математики, не часто используемым в приложениях В диссертации этот метод систематизирован и для его применения разработан и обоснован строгий алгоритм использования. Метод демонстрируется на многочисленных примерах

Цели исследования

1 Разработка математического аппарата, основанного на идеях факторизации, для исследования краевых задач для систем дифференциальных и интегральных уравнений, описывающих

напряженно-деформированное состояние материалов сложного строения, в том числе наноматериалов, и позволяющего давать аналитические представления решения краевых задач внутри области

2 Применение метода к краевым задачам для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами любого порядка, заданным на множестве областей материала блочной структуры одной размерности или разных размерностей с кусочно-гладкой границей. Предполагается, что материалы имеют блочное строение, причем каждый блок обладает специфическими физико-механическими свойствами Блоки могут иметь поверхностные и внутренние дефекты типа трещин и включений Блоки способны реагировать на внешние физические поля - температурные, электромагнитные, диффузионные, описываемые краевыми задачами для систем дифференциальных уравнений в частных производных

3. Развитие дифференциального метода факторизации для исследования нестационарных и неоднородных краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих поведение материала со сложными свойствами

4. Развитие интегрального метода факторизации для исследования и решения систем двумерных интегральных уравнений.

5 Построение общего представления решений краевых задач для блочных структур деформируемых материалов. Формирование условий, позволяющих управлять определенными свойствами материалов

6. Исследование возникновения резонансных явлений в материалах с покрытиями и сложного строения

Научная новизна результатов работы

В работе впервые обобщены различные методы факторизации, основанные на идеях автоморфизма топологических многообразий и разработан метод сведения как краевых задач для систем дифференциальных уравнений, так и систем интегральных уравнений к функциональным уравнениям в пространствах медленно растущих обобщенных функций

Развиты два дополняющих друг друга метода факторизации.

Дифференциальный метод факторизации позволяет получать аналитические представления решений краевых задач в материалах блочной структуры одной размерности Материалы могут подвергаться воздействиям внешних полей различной природы.

Второй, интегральный, метод факторизации обобщил подходы к исследованию интегральных уравнений с разностным ядром Он позволяет получать представления решений при наличии неоднородностей гипа трещин и включений в материалах Для его применения построены новые формулы факторизации мероморфных матриц-функций произвольного порядка. Благодаря им оказалось возможным построить решение систем интегральных уравнений с мероморфным символом, которые ранее решить и исследовать не удавалось В диссертации развит новый подход к исследованию многомерных, в частности, двухмерных интегральных уравнений в произвольных областях. Данный подход эффективен при исследовании материалов с покрытиями, а также имеющих внутренние неоднородности и дефекты сложной формы

Разработка указанных методов для блочных структур дала возможность разрабатывать методы исследования краевых задач для систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений.

В диссертации развивается метод бесконечных систем линейных алгебраических уравнений для исследования двухмерных интегральных уравнений в произвольных областях Метод служит дополнением к традиционным подходам и позволяет получать явные формулы для описания поведения решений (контактных напряжений, температурных и электромагнитных полей) в сложных телах

Полученные научные результаты позволили сформулировать условия проектирования материалов с заданными свойствами В частности, сформулированы условия, приводящие к локализации деформационных процессов в средах с неоднородностями и ре-зонансов, что не удавалось выполнить другими методами.

Научное и практическое значение результатов работы

Дифференциальные и интегральные уравнения являются основным средством описания широкого спектра природных и тех-

ногенных закономерностей и процессов. Поэтому любой прогресс при их исследовании и решении способствует познанию действительности, позволяет выявить новые явления и свойства Уместно упомянуть, что такие уравнения, как уравнение Максвелла в теории электромагнитных волн, Шредингера в квантовой механике, Дираки в релятивистской квантовой механике, стали результатом осмысления определенных решений более простых уравнений и их связи с результатами экспериментов Поэтому знание аналитического представления решений может послужить получению необходимых связей с экспериментальными данными и выявлению новых закономерностей Развитые методы дают большие возможности для этих исследований

Разработанный в диссертации дифференциальный метод факторизации существенно облегчает процесс понимания, анализа и применения свойств решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных, что ранее делалось только численными методами и не позволяло получать аналитическое представление решения.

Благодаря развитию методов исследования блочных структур стало возможным исследование систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами Развитый математический аппарат позволяет ставить и решать краевые задачи для систем нелинейных дифференциальных уравнений, основываясь на сведении последних к линейным системам дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом Ньютона - Канторовича

Развитие дифференциального метода факторизации дает толчок к исследованию классов медленно растущих обобщенных функций, представленных двухмерными интегралами, а также к исследованию аналитических многообразий, порождаемых характеристическими уравнениями систем дифференциальных уравнений в частных производных.

В диссертации дифференциальный метод факторизации применяется для исследования различных типов материалов, находящихся в сложных механических, физико-химических и биологических условиях На основании анализа решений краевых задач формируются условия для проектирования новых материалов, в

том числе обладающих определенными медико-биологическими свойствами

В результате созданы новые материалы медико-биологического назначения, имеющие практическое применение. При этом использована лишь небольшая часть возможностей метода. Он применим для исследования прочности и разрушения материалов, явлений сейсмологии, геофизики, в сейсмостойком строительстве, акустике, экологии С его помощью удается исследовать краевые задачи для полупроводниковых и пьезокера-мических материалов, возникающие при создании объемных интегральных схем элементной базы электроники Метод применим для изучения наноматериалов и устройств, использующих эти материалы, в том числе во взаимодействии с микроструктурами

Дифференциальный метод факторизации эффективен при исследовании квантово-механических явлений и процессов, протекающих в квантовых ямах и квантовых проволоках Он используется для анализа поведения больших молекул как механических объектов С его помощью оказывается возможным теоретически анализировать взаимодействие на ядерном уровне столкновения элементарных частиц с ядром. Это лишь небольшой перечень задач, которые могут решаться дифференциальным методом факторизации

Интегральный метод факторизации в той форме, которая развита в диссертации, применим для анализа напряженно-деформированного состояния материалов с неоднородностями меньших размерностей - включениями, трещинами, покрытиями. Данный метод может использоваться для решения большого круга двухмерных интегральных уравнений, частные случаи из которых в одномерном варианте изложены в многочисленных работах Назовем некоторые из них. материаловедение, смешанные и контактные задачи механики деформируемого твердого тела, фупдаментостроение, строительство, судо- и авиастроение, распространение электромагнитных волн и др.

Важно заметить, что дифференциальный и интегральный методы факторизации не исключают, а дополняют друг друга (и это демонстрируется в диссертации), позволяя исследовать классы задач, не поддающихся эффективному изучению другими методами

Работа выполнена в КубГУ в рамках исследований по приоритетному направлению развития науки и техники в Российской Федерации «Индустрия наносистем и материалов» и имеет прямое отношение к следующим критическим технологиям Российской Федерации- «Технологии создания и обработки композиционных и керамических материалов», «Технологии создания и обработки кристаллических материалов», «Технологии создания и обработки полимеров и эластомеров», «Технологии создания электронной компонентной базы».

Исследования велись при поддержке грантов федеральных целевых программ «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997— 2000 гг.», проекты А0017, В0121, гранта ИЕС-004 Американского фонда гражданских исследований и развития, Краевой целевой программы Краснодарского края «Академические прикладные научные проблемы Краснодарского края на 2004-2008 годы», грантов РФФИ, выполняемых под руководством соискателя (04-01-08101)-офи, (04-01 -96822)-р2004юг, (06-05-96806)-офи, а также с участием в качестве исполнителя (06-08-96635)-р_юг_а, (06-08-96636)-р_юг_а (06-08-08017)-офи, (06-08-96803)-р_юг_а, (03-08-96537)-р2003юг_а, (03-01-96527)-р2003юг_а, (00-01-96023) р2003юг, проектов ведущих научных школ НШ-2107 2003, НШ-4839 2006 1, программ отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН и Президиума РАН, выполняемых Краснодарским отделом Южного научного центра РАН.

Достоверность результатов

Достоверность результатов теоретических исследований обеспечивается применением строгих математических методов Полученные результаты подвергаются проверке путем применения к задачам, решаемым иными способами. Поэтому диссертация изобилует многочисленными примерами, демонстрирующими применение развитых в ней теорий и результатов Например, дифференциальный метод факторизации проверялся на различных типах дифференциальных уравнений и систем, в частности, для простейшей блочной системы - слоистой среды Методы

факторизации мероморфиых матриц-функций прошли непосредственную проверку путем перемножения последних

Полученная с применением теоретических методов интеллектуальная собственность прошла патентную экспертизу и запатентована

На защиту выносится:

1. Разработка нового метода - дифференциального метода факторизации исследования и решения краевых задач напряженно-деформированного состояния материалов, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами произвольного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях Области могут быть многосвязными, границы - кусочно-гладкими или содержащими неоднородности той же или меньшей размерности

2. Развитие дифференциального метода факторизации для исследования напряженно-деформированного состояния и физических свойств материалов блочного строения при воздействии физическими полями различной природы Блоки структуры могут обладать широким спектром физико-механических свойств.

3 Разработка интегрального метода факторизации для исследования и решения систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании материалов с неоднородностями, в том числе с покрытиями

4 Разработка методов факторизации мероморфных матриц-функций нескольких комплексных переменных применительно к дифференциальному и интегральному методам факторизации

5. Разработка методов расчета напыления и осаждения субстанций материалов на подложку в условиях наличия физических полей

6 Разработка методов управления некоторыми механическими свойствами материалов.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на VIII (Пермь, 2001 г) и IX (Нижний Новгород, 2006 г) Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике, на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, Азов, 2003 г), на V1JI Всероссийской научно-

технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2004 г), на IX Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства измерений физических величин» (Нижний Новгород, 2004 г), на X Всероссийской конференции с международным участием «ПЭМ-2004» (Дивноморск, 2004 г.), на IV Всероссийской научной конференции «Физическая экология» (Москва, 2004 г), на X Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2006 г), на Международной конференции «Environmental Problems and Ecological Safety» (Wiesbaden, 2004 г), на IV Международном семинаре «Фундаментальные прикладные проблемы мониторинга и прогноза стихийных бедствий Стихия-2001» (Севастополь, 2001 г.), на XXXV Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Sint-Petersburg, 2007 г), а также на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Института проблем механики и геоэкологии КубГУ.

Публикации

По теме диссертации опубликованы 23 статьи, из них 18 в журналах, определенных ВАК РФ для публикаций основных научных результатов докторских диссертаций, в 16 тезисах всероссийских и международных конференций Диссертационные исследования использованы в 10 патентах и свидетельствах

Структура, содержание и объем работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, приложений, списка использованной литературы

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор основных проблем и результатов исследований в области прочности материалов, проводившихся отечественными и зарубежными учеными Обосновывается необходимость развития новых методов исследования поведения материалов сложного блочного строения в условиях комплексных внешних воздействий физическими полями различной природы Обосновывается необходимость развития новых математических

методов исследования для решения возникающих новых проблем материаловедения

В первой главе диссертации в § 1-5 приводятся краевые задачи, описывающие поведение различных деформируемых материалов, включая уравнения теории упругости, термо-, электроупругости, уравнения сред с предварительной напряженностью, уравнения магнитной гидродинамики, уравнения акустоэлектро-ники, фундаментальную систему уравнений электроники, уравнения квантовой механики. Области, занимаемые материалами, могут быть произвольными. Все эти материалы могут служить блоками вводимых ниже блочных структур

Вторая глава посвящена разработке методов факторизации функций и матриц-функций Весомый вклад в развитие теории факторизации внесли В М Александров, И Н Векуа, Н П Векуа, Н Винер, И.И. Ворович, Ф Д. Гахов, И Г. Горячева, И.Ц Гохберг, В В. Калинчук, Г М. Крейн, Г.С Литвинчук, Н И Мусхелиш-вили, Б. Нобл, Г Я Попов, ИМ Спитковский, НГ Чеботарев, Ю И. Черский, В А Фок, Е Хопф и другие отечественные и зарубежные исследователи.

В § 1 излагаются известные сведения о факторизации функций В § 2 даются аналогичные сведения относительно факторизации матриц-функций Выделяются случаи, когда факторизацию можно получить точно для специальных типов матриц-функций, треугольных, функционально-коммуникативных. В § 3 вводится ряд новых определений факторизации матриц-функций, которые продиктованы двумя новыми разработанными автором методами факторизации - дифференциальным и интегральным

В диссертации впервые доказано, что матрицы-функции с мероморфными элементами в общем случае имеют формулы факторизации, что ранее считалось возможным лишь для частных случаев, представленных в предыдущем параграфе. В зависимости от задач приводятся различные виды этих формул В частности, они позволяют построить решения многочисленных систем интегральных уравнений Винера - Хопфа, которые не удавалось решить другим способом.

Рассматриваемые матрицы-функции к(а) обладают следующими свойствами: элементы к,,,;,(ач) т,р = 1,2, , N матриц-функций являются в общем случае целыми функциями экспоненциального типа переменных а), А = 1,2,3

Здесь индексом V обозначена локальная система координат, порожденная касательным расслоением многообразия - области, занятой материалом

Для применения построенных в настоящей работе формул факторизации необходимо знание в нужном объеме, диктуемом целями задачи, нулей определителя. Эти нули в случае функций трех комплексных переменных принадлежат некоторым аналитическим многообразиям Разрешив относительно одной из переменных, их можно представить в форме

«И, =<(«!> а!) = аЦа1'), « = 1,2,

Ветви нулей определителя можно записать в виде

2;1=а,;±(а')7М+0(1), 5 = 1,2, 4 = 1,2, ,Н Среди них могут быть лежащие в верхней Ыг\ >о и нижней ¡тг~л <0 полуплоскостях

С каждой группой нулей (а' ) связываются бесконечные произведения вида

г

р = 1, 2, , N1, « < да

Вводится ряд новых определений факторизации матриц-функций, продиктованных особенностями разработанных в диссертации методов исследования краевых задач, и доказываются связанные с этим теоремы В их числе

Определение 1. Будем называть матрицы-функции к^(«!,-)

левой, а к;,;, («;,-) правой факторизующей для матрицы-функции к(а;) в области Лр, если они обладают следующими свойствами в случае левой факторизующей имеет место соотношение

к («;,+)=к;„! («;,-) к («;); в случае правой факторизующей справедливо соотношение к («;,+)=к («;) к;', («;,-),

где матрицы-функции к(а;,+) регулярны в области Лр и их определители не имеют в этой области нулей, а матрицы-функции к„„(«;,, к„„(«;,-), обратные к матрицам-функциям к~|(«;,-), к,»(«!.-) соответственно, регулярны вне области Лр и их определители не имеют вне этой области нулей.

Теорема 1. Пусть элементы матрицы-функции к (а;) являются целыми или рациональными функциями Пусть определитель матрицы-функции в области Лр имеет нули г,,,(а') Тогда мементы правой факторизующей матрицы-функции к,;), («;,-) для к (а;) представимы в следующей форме

1 «,„(«;) О

о Маз) •

, , 1 От(т,и )К Ли )с1и

' 2т )Ф„,(" )(«„-«,)

.....(«;Н>:(«;)

Здесь

к„' (а\) = |от' (а; )£>,„ (»/,) ||, р / т, .у т, (а\) = <1^ к „,(»;),

где матрица-функция К,Даз) порядка N-1 получена из матрицы-функции к(а;) вычеркиванием строки и столбца под номером т. Считается, что ее определитель От(а$} отличен от тождественного нуля Предполагается, что нули определителя £>„(«;) не совпадают с нулями г\р Левая факторизующая матрица-функция к;,!(а;,-) имеет транспонированный по отношению к вид

с элементами, аналогичными Л(„„

В § 4 строятся формулы факторизации для интегрального метода факторизации Обсуждаются и решаются вопросы фактори-

зации произвольных матриц-функций, элементы которых являются мероморфными функциями двух комплексных переменных Строятся правосторонние и левосторонние факторизации, а также формулы, позволяющие осуществлять каноническую факторизацию

Приведенные примеры демонстрируют технику факторизации

Построенные формулы факторизации составили фундаментальную основу для практического применения абстрактных построений методов факторизации, изложенных в последующих главах

Третья глава посвящена разработке дифференциального метода факторизации исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных произвольного порядка В основе метода лежат положения топологической алгебры, связанные с исследованием векторных полей на многообразиях

В § 1 для изложения топологической основы метода факторизации вводится краевая задача следующего вида

В выпуклой односвязной области п с гладкой границей дп рассматривается краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами

<}(дх„дх2,дх,)(р = & х еП(Д'), К(йг )<р = и х еда

Оператор <? представим матрицей вида

0(8х,„дх1,) = \\ашг„1дх„дх1,+Ьтг1,8х1 + с„|г ||

Здесь приняты обозначения (суммирование по повторяющимся индексам)

г г

атп,к /„ /» = ^ 2 "»»>'< /л/* '

|фч) = 1 К,*дх„+р,,г1 дх = д!3х, К,л =И„1г1(дО) /-=1,2, , М, «я = 1,2, ,М * = {/}. е = {яЛ> р(х) = р(лт„ *,),

0(ог)з-0(-/ая -шк), п,к = I, 2, 3 0 = {№(}(«*)

Для вещественных «,

Считается, что граничный оператор и удовлетворяет условиям дополнительности и краевая задача поставлена корректно

Краевая задача порождает псевдодифференциальный оператор, эллиптическим символом которого является матрица-функция (2(а)

Введенный псевдодифференциальный оператор действует в пространстве медленно растущих обобщенных функций н,(п) и ограничен из н,(о) в для любого 5, где

импяи:, им! 1 м!о+нг

=а,2 +а22 + а,2, ¿а = ¿/«.¿/а^а,, сЫ. = 1'<Р, = } "А, е = щ; }{]>>, е-!"

(а,х > = в,*, +а2х2 +

При л >0,5 оператор понижения из п в эп действует как ограниченный из н,(й) в Н

Решение ч> = {<рт} и заданные функции считаем принадлежащими некоторым пространствам Н(, введенным выше Предполагается, что введенная топология индуцирована евклидовой метрикой исходной системы координат

Приведенные соотношения можно рассматривать как дифференцируемое отображение векторного поля <р, заданного на ориентированном многообразии с краем М3 =(£2идП), в векторное поле, задаваемое правой частью краевой задачи, рассматриваемое на этом же М3 Отображение осуществляется дифференциальным выражением, описываемым левыми частями приведенных соотношений.

Таким образом, с помощью линейного дифференциального отображения задается преобразование векторного поля <р, заданного на М3, в векторное поле Г, g на М3. Необходимо по векторному полю г,е восстановить векторное поле <р Следовательно, вместе с дифференциальным отображением задается автоморфизм М3 С автоморфизмом связана некоторая, в общем слу-

чае бесконечная, некоммутативная, нераспадающаяся группа преобразований М3 на себя

Известно, что эта группа может быть представлена гомоморфизмом, отображающим ее в группу невырожденных линейных преобразований некоторого векторного пространства и, значит, в некоторую группу невырожденных матриц. Подчиняя преобразование описанному автоморфизму, получим необходимые соотношения для локального представления указанной группы преобразований В тех случаях, когда область п оказывается простой - слоем, сферой, цилиндром, удается построить ее глобальное представление В общем случае произвольных областей приходится вводить касательное расслоение многообразия, порождающее локальные системы координат, и в каждой из них формировать представления групп преобразований пространства, диктуемые свойствами границы многообразия в этих локальных системах координат

Обеспечение отмеченного автоморфизма приводит к требованию сохранения носителей у вектор-функции <р(х) при дифференцируемом отображении, что достигается применением представлений групп в локальных системах координат и вычислением форм-вычетов Лере. Это требование приводит к соотношениям, из которых получаются псевдодифференциальные уравнения меньшей размерности для определения недостающих неизвестных Реализация этой идеи потребовала использования средств внешнего анализа и ряда построений, в частности, переход к обобщенным функциям и функциональным уравнениям

В § 2 излагается созданный соискателем дифференциальный метод факторизации как обобщение серии других подходов, опирающихся на идеи факторизации. Метод рассматривается применительно к отдельным телам или отдельным блокам Он предназначен для получения интегрального представления решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в сложных областях

Используя возможности топологической алгебры - автоморфизм многообразий, а также расширение класса решений до медленно растущих обобщенных функций, удается свести краевые

задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных к более общим уравнениям - функциональным.

В § 3 изложенный применительно к отдельной области дифференциальный метод факторизации развивается для совокупности различных областей, граничащих друг с другом, называемых блочными структурами. Решение этим методом краевых задач для таких совокупностей областей имеет свою специфику. Например, граничные условия в дифференциальном методе факторизации не могут удовлетворяться в традиционной форме путем внесения в заданные граничные условия предельных значений решений и их производных на границе области. Из предыдущих параграфов следует, что это невозможно, поскольку производные от построенного методом факторизации решения краевой задачи на границе имеют наряду с классическими и составляющие в виде обобщенных функций - «^-функций и их производных. Их происхождение детально разъяснено ранее, и они не являются помехой при решении краевых задач. В настоящей работе показано, каким образом преодолеваются эти сложности при применении дифференциального метода факторизации в блочных структурах.

Далее вводится понятие блочных структур Под блочными структурами понимаются материалы, занимающие ограниченные, полуограниченные или неограниченные области, называемые контактирующими блоками Предполагается, что в блочной структуре каждый блок обладает своими специфическими свойствами поведения при воздействии физическими полями различной природы Считается, что эти поля описываются краевыми задачами для систем связанных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами Далее рассматривается случай структуры, блоки которой являются трехмерными. Отсутствие существенных ограничений на краевые задачи, описывающие свойства отдельных блоков, свидетельствует о том, что рассматриваемые блочные структуры могут иметь большое разнообразие свойств В общем случае понятие блока включает требование неизменности границы области задания краевой задачи, в том числе мноюсвязной, и требование ее кусочной гладкости Каждый блок может быть как ограниченным,

так и неограниченным, в нем могут протекать связанные процессы механики деформируемого твердого тела, гидромеханики, электромагнитные, диффузионные, тепловые, акустические и другие процессы Введенные блочные структуры являются более общими, чем кусочно-однородные структуры, предполагающие лишь скачкообразное изменение физических параметров среды при переходе от блока к блоку с сохранением материала среды Последнее выражается в скачкообразном изменении отдельных коэффициентов дифференциальных уравнений краевых задач, происходящем при переходе из блока в блок с сохранением типа краевой задачи Естественно, введенные блочные структуры имеют более широкий спектр свойств, чем кусочно-однородные Это обусловлено как разнообразием свойств блоков, их формой, характером взаимодействия блоков между собой, так и результатом взаимодействия физических полей блоков, ряд из которых ими излучается или трансформируется, проходя через них Частным случаем блочных структур являются слоистые структуры.

Далее формулируется краевая задача для блочной структуры. Считается, что область О блочной структуры состоит из областей 6 = 1,2, В страницами ЭО^ Часть границы блока может оказаться общей с границей другого блока, ее называем контактирующей Остальная часть, не контактирующая, может быть свободной или подчиненной внешним воздействиям. Предполагается, что в каждой области О,, ставится краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными, своими в каждой области, коэффициентами

Краевую задачу для системы р дифференциальных уравнений в частных производных в блочной трехмерной области п можно записать для каждого блока в виде

»и р.I

А»,* =«»»'. = ><Рьг), в» ={&,}. Ь= 1,2, ,В

<Р = {<Р,}, 4>{*) = <р{х,, *2, л,)' х = хеО„

На общей, контактирующей, границе дп,,пдп<1 задаются следующие граничные условия сопряжения

!*„(&„ дх2, дх^)(р„ + КДйг,, дх2, =

»1-1 и-1 1=1 1> 1

л-1,2, ,зш<Р, хедП.пдП,,, М,<М, Ы„< N, К,<К Ь, </ = 1, 2, , В

Краевая задача исследуется в пространствах медленно растущих обобщенных функций ii,(п)

Неоднородный член в правой части дифференциальных уравнений, как правило, свидетельствует о внешних воздействиях на изучаемый объект. Если линейная краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных содержит также производные по времени, а именно члены д'рЬг/д1', то после применения преобразования Лапласа по параметру / с параметром р при ненулевых начальных условиях также получается неоднородная система дифференциальных уравнений, в которой правый член несет информацию о начальных условиях в области Поэтому отдельно случай нестационарной задачи не выделяется

Граничные условия в общем виде описывают случай контакта блоков, когда на общих границах принимаются условия совпадения необходимых компонент физических полей, продиктованные соответствующими физическими законами В частности, условия могут быть намного проще - не иметь на границе внешних воздействий и представлять лишь требование равенства на общей границе решений и их производных Но как уже указывалось, это обстоятельство не позволяет приравнивать производные от решений, записанных в интегральной форме, поскольку их составляющими в методе факторизации являются обобщенные функции

Если речь идет о частях границ блоков, не являющихся общими ни с каким другим блоком, то на них принимаются граничные условия краевой задачи, рассмотренной во втором параграфе Излагается схема применения дифференциального метода факторизации к таким областям

Согласно дифференциальному методу факторизации краевая задача в каждом блоке Ь сводится к системе функциональных уравнений, причем каждая область Ол рассматривается отдельно

Дифференциальный метод факторизации включает следующую систему алгоритмов

1. Сведение краевой задачи для системы дифференциальных уравнений преобразованием Фурье к функциональным уравнениям.

Трехмерным преобразованием Фурье

Ф. (а) = \\\<Р„ (*У~»Л = р<р„, Ф. = />.,

а

введением внешних форм и использованием интегралов Стокса

¡¡¡да, = \\юь

П/, Х1ь

она сводится к функциональным уравнениям

В результате приходим к системе функциональных уравнений вида

= ДОо>»-СДа), сЛа)=Щ Ъ(*)ехр1{ах)с1х1х2х„ «¡1 и

К6 («) = (-/о„ -¡а,,- «г,) = |<:Л„.,(а)|, ах = а,х, + аЛ + а,х„ 6 = 1,2, ,В

Здесь к (а) - полиномиальная матрица-функция порядка Р. Вектор внешних форм ть имеет в качестве компонент двухмерные внешние формы вида

<»»=КЬ *=1'2> л

Далее индекс Ь опущен

= Р |21Л,Лй6г2 +11 А А, + Р2!1Л:2ЛЛ, Операции внешней формы имеют обозначения

Л, АЛ, = (кс\<1х\ - (1х1]ск\, (¿г,А<Л, = <к\с!х\ - , <&2ЛЛг, = сЬ$сЫ\ -

Здесь введены векторы произвольной системы координат из покрытий касательного расслоения поверхности тела В декартовой системе координат для касательных векторов произвольного элемента покрытия приняты обозначения

={*!.*!. хг = |л2,л2,.х2}

Коэффициенты внешних форм имеют вид

«-1 м=» *=| />=>

Л"',/. **-*»>'(»>

«-1 м=» А = 1 />=| М N к Р

=~ИИ\......, {(-<«,)"'(-,/ £(-«*,)'1С" ^

1>.«| 11.1 (»1 /1.1 /. -I

/. =1 са,4 '

/Р =1

ИЛА/

=11114-{ (-«О"(-'«О' £ (-«О'"

м.| »1=1 4=1 /»=1 >

+ЕЕЁ (-«ГЧ-^-Ч-'^-г} <,-1« 0*2 '

(ах) = а|дг, +а2д:2+а,дг,, ?> = {$>„}, а = {а,, а2, а,}, Ф = {Ф„,}

2 В соответствии с правилами дифференциального метода факторизации дальнейшее исследование задачи предполагает левую дифференциальную факторизацию матрицы-функции КДа^), даваемую формулами второй главы. Для этого выбирается матрица-функция Кь'(а^,т) порядка Р-1, получающаяся вычеркиванием строки и столбца под номером т у сопряженной матрицы-функции К6'(«,"), такая, что нули ее определителя <2Ь (а\) = сЫ кл (а;,т) не совпадают с нулями

Элементы обратной матрицы-функции вводятся соотношением

[ к /к,«) г'=|а-'а,м||

Тогда элементы матрицы-функции к'(«;,-), имеющей вид "1 0 " 1

Км-1 («;-)=

О 1

допускают интегральное представление в форме

п 1„ли Ь/ V/,, 1 1 /?"

III ф р,

САК Ж,

лг

Здесь замкнутый контур Г+ занимает положение, при котором область содержит только нули а область А. - только нули Замкнутый контур г_ охватывает область, содержащую все нули

Из этого представления следует, что элементы матрицы-функции к,,-'(«;,-) - рациональные функции, единственная особенность которых - нули г"_, причем член лу1 («;), содержащий их, явно выделен.

Граничные условия в соответствии с алгоритмом применения дифференциального метода факторизации в случае неконтакти-рующих границ применяются в соответствии с правилами, оговоренными в § 2

3. Удовлетворение граничных условий осуществляется по следующей схеме. Вначале граничные условия на неконтакги-рующей границе для каждого отдельного блока вносятся в соответствующие векторы внешних форм функциональных уравнений. При контакте блоков на общих границах соседних блоков выполняются условия сопряжения, которые могут, в зависимости от свойств описываемых полей, включать некоторые соотношения для решений и их производных В простейшем случае имеет место равенство на общей границе решений и их производных при переходе из одного блока в соседний. Эти соотношения должны быть внесены в соответствующие векторы внешних форм функциональных уравнений, предварительно разрешенных относительно неизвестных на границе производных по нормали Последнее не требует отделения классических составляющих решения от обобщенных и обеспечивает выполнение контактных

граничных условий при решении псевдодифференциальных уравнений, представленных далее.

4 Сведение функциональных уравнений к системе псевдодифференциальных уравнений.

В результате последующих преобразований получается в случае блоков, занимающих выпуклые области, представление решения в каждом блоке в виде

лг )=¿т Ш («;-+) («Г, -) х

Требование автоморфизма для каждого блока как топологического многообразия после вычисления форм-вычетов Лере приводит к системе псевдодифференциальных уравнений вида

¿с;;,Л /К,«,о ]=о,

Н га

( ,„„„„ = - > —--, т * 5, тФ р,

= п± = пь± =1,2, ,5;(±)

Ь (2„1 )

Решив псевдодифференциальные уравнения, получаем решение в форме обратного преобразования Фурье вида

И-¿И

к:

-к:

+ у С1'Ь2шР(^) Т.. ={0,0, 0,/„„., 0, 0}

и аКЖАЫ

В этих формулах граница д£1ь и функции для выбранного дг3"<0, х"<епь разбиты последующему правилу.

Я»»=}{«/,+ я«»».

<Х1Ь Л 2 ь «1 ,,

Я ю,, ехр (- нх"х") -> О, 1т а," -> да,

ю л

Я о),, ехр (- м\х\) -> 0, 1т а\ ->

Л! ,

С* ехр(-) -» 0, 1т-> да,

С;^ ех/7(— ) —> О, 1та\ ->-оо

Построенные решения были проверены на примерах краевых задач для слоистой среды, решаемых точно, результаты совпали

В случае, если блок вырождается в полупространство или слоистую среду, псевдодифференциальные уравнения, появляющиеся в процессе решения краевой задачи, вырождаются в алгебраические, после обращения которых решение строится в конечном виде

В том случае, если рассматриваемый блок не является выпуклым телом, для исследования краевой задачи применяется метод обобщенной факторизации.

Таким образом, вопрос «сшивания» решений, получаемых в каждом блоке, в методе факторизации осуществляется автоматически при удовлетворении граничных условий посредством решения псевдодифференциального уравнения При наличии трещин, разломов или включений меньших размерностей последние надо рассматривать как границы блоков В результате получается однотипный алгоритм исследования блочных структур с указанными неоднородностями.

В том случае, когда блоки вырождаются в слои с плоскопараллельными границами, изложенный алгоритм исследования блочных структур приводит к решениям, полностью совпадающим с получаемыми традиционными методами интегральных преобразований по координатам, лежащим в граничной плоскости

Четвертая глава посвящена разработке теории интегрального метода факторизации В § 1 дается обзор исследований в этой области, выделяются нерешенные проблемы

В § 2 излагается интегральный метод факторизации применительно к системам интегральных уравнений, возникающих в задачах для материалов с дефектами типа трещин, жестких или деформируемых включений, вида

„I „-1 ..,.1

4 = 1,2,3, р = 1,2, ,/V,, / = 1, 2, , Показано, что развиваемая в диссертации теория позволяет преодолеть ряд не решавшихся ранее проблем, изложенных в § 1, в том числе 1) построение точных решений систем интегральных уравнений с мероморфными символами на полуоси (множество примеров таких не решавшихся систем интегральных уравнений приведено в ряде монографий), 2) построение приближенных решений систем интегральных уравнений для случаев символов, содержащих точки ветвления (путем естественной мероморфиза-ции символов, состоящей в приближенной замене с любой степенью точности многозначных функций мероморфными, проблема сводится к 1); 3) разработка различных вариантов исследования и решения двухмерных интегральных уравнений пространственных задач механики дифференцируемого твердого тела

Разработке теории интегральных уравнений, задаваемых в совокупности областей сложной формы, посвящен § 3 Исследование указанных интегральных уравнений и их систем оказывается возможным благодаря использованию дифференциального метода факторизации Решения интегральных уравнений представляются с использованием дифференциального метода факторизации некоторых краевых задач, возникающих в проблеме прочности материалов

В § 4 исследуются интегральные уравнения и системы, связанные с покрытиями материалов, в том числе имеющих дефекты (трещины), изменивших свои свойства, причем разнородно, а также с изменившимися контактными условиями. Для изучения указанных интегральных уравнений развиваются методы бесконечных систем линейных алгебраических уравнений

В § 5 формулируются условия локализации деформационного волнового процесса в средах с дефектами. Развиваются методы приближенного обращения указанных систем интегральных

уравнений В основе обращения лежит метод интегральной факторизации

В пятой главе дифференциальный метод факторизации применяется к ряду задач, в частности, к пространственным блочным структурам Рассматривается совокупность различных трехмерных деформируемых тел, подверженных поверхностным и объемным динамическим воздействиям, в частности, вибрационным.

В § 1 анализируется применение метода к одному блоку, представляющему выпуклое, произвольной формы трехмерное изотропное линейно деформируемое тело. Для него строится касательное расслоение многообразия и в каждой локальной координатной системе расслоения вводятся внешние формы Показан определенный произвол при введении внешних форм и возможности оптимизации их выбора

Строятся функциональные уравнения, к которым сводятся краевые задачи, поставленные для рассматриваемого тела.

Изотропный случай трехмерного деформируемого тела особенно удобен по нескольким причинам Во-первых, он изучался другими методами и можно сопоставить возможности разных подходов Во-вторых, хорошо известны многие характерные закономерности и решения в этой среде, такие, как уравнение Релея, решения задач для полупространства и слоя и другие, и представляет интерес увидеть их проявления при применении настоящего метода В-третьих, в случае изотропного материала, в отличие от анизотропных, характеристическое уравнение имеет кратные корни, что позволяет продемонстрировать возможности метода и в этом случае Дан анализ по всем затронутым выше вопросам при применении дифференциального метода факторизации.

В § 2 строятся псевдодифференциальные операторы меньшей размерности, необходимые для определения недостающих неизвестных на границе тела. Это достигается вычислением форм-вычетов Лере, обеспечивающих автоморфизм многообразий

Рассмотрены различные варианты постановок краевых задач теории упругости для деформируемого тела в дифференциальном методе факторизации и соответствующие им псевдодифференциальные уравнения. Показана связь дифференциального метода факторизации с интегральным методом факторизации, возни-

кающая при исследовании псевдодифференциальных уравнений Даются различные варианты представления решений - перемещений и напряжений в области, занятой телом В случае, если тело не является выпуклым или занимает многосвязную область, требуется применение дифференциального метода обобщенной факторизации В этом случае полностью сохраняется описанный алгоритм исследования, но с усложнением используемых функций - вместо экспоненциальных применяются специальные

В § 4 на основании результатов, изложенных в предыдущем параграфе, дифференциальный метод факторизации применяется к блочным структурам Рассматривается совокупность трехмерных изотропных деформируемых тел с разными механическими характеристиками, динамически взаимодействующих между собой под действием поверхностных и объемных сил Предполагается, что области контакта остаются неизменными

Изложен метод построения функциональных и псевдодифференциальных уравнений для таких систем. Далее метод блочных систем развивается для исследования краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных в случае переменных по координатам механических характеристик упругого тела Для такого тела вводится блочная структура путем разбиения области сеткой необходимой плотности на клетки, которые формируют блоки

Показано, что все алгоритмы, изложенные для изотропной среды, без особого труда переносятся на случаи анизотропных материалов, материалов, имеющих сложные физико-механические свойства, а также при наличии нелинейностей В последнем случае применением метода Ньютона - Канторовича проблема сводится к необходимости исследования последовательности линейных краевых задач для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

В § 5 излагается ряд результатов, демонстрирующих возможности дифференциального и интегрального методов факторизации в близких и смежных областях - напылении субстанций на подложку с разнотипными подстилающими свойствами при создании новых материалов, в экологии, квантовой механике, на-номатериалах

Основные результат ы и выводы

1. В соответствии с поставленной целью в диссертации разработаны новые методы исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных и систем интегральных уравнений, описывающих поведение деформированных материалов блочного строения Они названы дифференциальным и интегральным методами факторизации Особенностью методов оказалась возможность сведения как краевых задач для систем дифференциальных уравнений, так и систем интегральных уравнений к функциональным уравнениям в пространствах медленно растущих обобщенных функций Методы взаимно дополняют друг друга и позволяют исследовать единым подходом практически все краевые задачи для систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и двухмерных систем интегральных уравнений с разностными ядрами, возникающих в блочных структурах деформируемых тел и решаемых однотипно

2. При создании методов потребовалась более сложная факторизация матриц-функций, что привело к совершенствованию определения факторизации и построению новых формул факторизации, одновременно позволивших решать ранее не поддававшиеся исследованию системы интегральных уравнений Винера - Хопфа.

3 Разработанный метод применим к материалам, которые имеют блочное строение, причем каждый блок обладает специфическими физико-механическими свойствами. Блоки могут иметь поверхностные и внутренние дефекты типа трещин и включений, пластин, накладок Они способны реагировать на внешние физические поля - температурные, электромагнитные, диффузионные, описываемые краевыми задачами для систем дифференциальных уравнений в частных производных

4 Показано, что дифференциальный метод факторизации применим к блочным структурам одной размерности, а интегральный в сочетании с дифференциальным - к разноразмерным блочным структурам Методы позволяют описывать поведение решений в любой выбранной зоне блочной структуры с выявле-

нием влияния на решение различных параметров физико-механических полей.

5. Доказана применимость дифференциального метода факторизации к неоднородным и нестационарным системам дифференциальных уравнений в частных производных Это дает возможность применять метод и при исследовании краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных

6. Разработаны методы управления некоторыми свойствами материалов, а также выявлены условия, обеспечивающие локализацию волновых процессов в материалах с неоднородностями

7 Разработанные дифференциальный и* интегральный методы факторизации содержат большие возможности для развития новых направлений в исследовании как самих методов, так и различных задач механики деформируемого тела, физики, химии, биологии, геофизики и других областей, использующих дифференциальные и интегральные уравнения

Публикации по теме диссертации в журналах, определенных ВАК РФ для докторских диссертаций

1 Евдокимова ОБ Дифференциальный метод факторизации в механике разрушения, материаловедении и сейсмологии // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2006 № 4 С 32-42.

2 Евдокимова ОБО факторизации матриц-функций, возникающих в проблеме прочности материалов сложного строения // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2007 № 4 С 8-11

3. Евдокимова ОБ Дифференциальный метод факторизации в неоднородных и нестационарных задачах // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2007. № 2. С. 51-55.

4 Евдокимова ОБ, Бабешко В А, Федоренко АГ, Бабеш-коОМ О дифференциальном методе факторизации в сложных макро-, микро- и наноструктурах // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2007 № 1 С. 24-29

5 Бабешко ВА, Бабешко ОМ, Евдокимова О В Об интегральном и дифференциальном методах факторизации // ДАН 2006 Т 410 №2. С. 168-172

6 Бабешко В А , Бабешко ОМ, Евдокимова О В К проблеме исследования материалов с покрытиями // ДАН 2006. Т. 410. № 1. С 49-52.

7. Бабешко В А , Бабешко ОМ, Евдокимова Ой К проблеме оценки состояния материалов с покрытиями // ДАН 2006 Т 409. №4. С. 481-485

8 Бабешко В А, Бабешко ОМ., Евдокимова О В Выполнение граничных условий в дифференциальном методе факторизации //ДАН 2007 Т. 412. №5 с 600-603

9 Бабешко В А , Евдокимова О В, Евдокимов С М Об исследовании физических свойств интеллектуально управляемых материалов и наноматериалов // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2003 № 1.С 6-9

10 Бабешко В А , Бабешко ОМ, Евдокимова О В О некоторых типах материалов // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2006. № 1. С.14-17.

11. Бабешко В А, Евдокимова ОВ, Бабешко ОМ, Евдокимов СМ К решению краевых задач, связанных с факторизацией матриц-функций // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2006. № 3 С 7-13

12 Бабешко ВА, Евдокимова ОВ, Бабешко ОМ Дифференциальный метод факторизации в блочных структурах и наноструктурах//ДАН 2007. Т 415 №5 С 596-599

13 Бабешко В А , Евдокимова О В, Бабешко ОМ К теории блочных и наноструктур // Вестник Самарского государственного университета Естественнонаучная серия 2007 № 4 С 42-48

14. Бабешко В А , Бабешко О М, Евдокимова О В, Лозовой В В, Мухин А С, Чмыхалов СП К проблеме паспортизации сейсмических трасс // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2006 № 4 С 8-15.

15 Бабешко В А , Евдокимова О В, Евдокгшов СМ К решению краевых задач с применением факторизации матриц-функций // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2004 № 2 С 5-7.

16 Васильев НС, Барышев МГ, Евдокимова О В, Куликова НН Воздействие электромагнитного поля на дистиллированную воду и микроорганизмы // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2005 № 2 С 41-44

17 Евдокимова О В, Барышев МГ, Васильев НС О возможности управления численностью микроорганизмов на поверхности трикотажного материала с помощью магнитного поля и создания безопасной одежды // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2004 № 1 С 36-38

18 Васильев Н С, Евдокимова О В, Барышев МГ, Куликова НН Воздействие электромагнитного поля на водные растворы микроорганизмов // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества 2005 № 3 С 48-51

19 Бабешко О М, Евдокимова О В, Евдокимов С М Об учете типов источников и зон оседания загрязняющих веществ // ДАН 2000 Т 371 № 1.с 32-34

20 Бабешко ОМ, Евдокгшов СМ, Евдокимова О В К оценке эколого-экономической целесообразности дизайна рекреаций предприятий // Известия вузов Северо-Кавказский регион. Естественные науки 1999 №3 С 115-117

Статьи в других журналах

21 Барышев МГ, Сидоров ИВ, Евдокимова О В, Кор-оков А Н, Куликова НН Результаты поисковых исследований по созданию функциональных приборов для биоэлектроники // Вестник ЮНЦ РАН 2005 Т 1 №4 С 18-20

22 Евдокимов СМ, Бабешко ОМ, Евдокимова О В К проблеме учета типов зон оседания загрязняющих веществ // Наука Кубани Естественные и технические науки 1999. №1 С 31-34

23 Касьяиенко А А , Евдокимова О В, Барышев М Г О попытке компенсации влияния вредных электромагнитных излучений на биологические системы с помощью современных тканей // Вестник Российского университета дружбы народов Сер Экология и безопасность жизнедеятельности 2005 №11 С 132-134

24 Калинчук В В, Белянкова ТИ, Евдокимова О В Определяющие соотношения динамики преднапряженной пьезоакшвной среды в отсутствие внешних электрических полей // Вестник Южного научного центра РАН 2006 Т 2 № 1.С 16-23

25 Бабешко ОМ, Гчадской И Б, Горшкова ЕМ, Евдокимова О В, Евдокимов С М Модель оседания загрязняющих веществ на разнотипные подстилающие зоны // Наука Кубани 2001 №5(1) С 4

Патен гы и свидетельства

26 Барышев МГ, Евдокимова О В, Джимак С С, Васильев Н С Комплекс для обеззараживания одежды и придания ей бактерицидных свойств / Патент РФ на полезную модель №53111 ФИПС 10 05.2005

27 Барышев МГ, Евдокимова О В, Коржов А Н Одежда для релаксации / Патент РФ на полезную модель № 49694 ФИПС. 10.12.2005

28. Евдокимова О В, Барышев МГ Одежда из трикотажного материала / Патент РФ на полезную модель № 56388 ФИПС. 20 07 2006

29 Евдокимова О В, Басов А А , Барышев МГ, Джимак С С Одежда, предохраняющая от воздействия электромагнитного излучения / Патент РФ на полезную модель № 56128 ФИПС. 10 09 2006.

30 Барышев МГ, Евдокимова ОВ, Джимак С С Обогревающий пояс / Патент РФ на полезную модель № 56194 ФИПС 10 09 2006

31 Бабешко В А , Евдокимова О В , Зарег{кая МВ, Ломакина Л В, Рашпер С В, Сыромятников П В Программа расчета прохождения магнитотеллурических волн в зонах Земти с учетом ее сложного строения Свидетельство ФСИСПТ РФ №2007611522 от 11 04 2007

32 Бабешко ОМ, Евдокимов СМ, Евдокимова ОВ, Зарецкая MB , Ратпер С В, Сыромятников П В Математическая модель расчета осаждения загрязняющих веществ, выбрасываемых в многослойную среду периодическими или стационарными источниками Свидетельство об офиц регистрации программы для ЭВМ (Россия) №2005611863 от 21 07 2005

33 Бабешко ОМ, Калинчук В В, Бечянкова ТИ, Евдокимов СМ, Евдокимова О В, Сыромятников ПВ, Зарецкая MB Математическая модель переноса загрязняющих веществ конвективными движениями атмосферы Свидетельство об офиц регистрации программы для ЭВМ (Россия) №2005610008 от 11 01 2005

34 Бабешко В А , Евдокимов СМ, Бабешко ОМ, Евдокимова О В , Зарецкая MB Система определения оптимальных путей эвакуации при вредных выбросах в атмосферу / Патент РФ на полезную модель № 48772 от 10 12 2005

35 Евдокимова О В, Барышев МГ Текстильное изделие с электрическим обогревом / Патент РФ на полезную модель №43711 ФИПС 27 01 2005

Тезисы докладов на съездах и конференциях

36 Бабешко В А, Бабешко ОМ, Евдокимова О В Интегральный и дифференциальный методы факторизации в задачах для сплошных сред // Тез докл IX Всерос съезда по теоретической и прикладной механике Н Новгород, 2006 С 12

37 Бабешко ОМ, Евдокимова О В, Зарецкая MB, Евдокимов СМ Оседание загрязняющих веществ на разнотипные поверхности // Тез докл VIII Всерос съезда по теоретической и прикладной механике Пермь, 2001 С 65.

38 Бабешко ОМ, Зарецкая MB, Евдокимова О В , Евдокимов СМ Применение методов динамических смешанных задач теории упругости к решению проблем экологии // Труды III Всерос конф по теории упругости с международным участием. Ростов н/Д, 2004 С 65-67

39 Evdokunova OV, Barishev MG, Evdokimov SM On the possibility of developing safe and healthful clothes // Environmental

Problems and Ecological Safety Proceeding of the Workshop Wiesbaden, 2004 P 70-72

40 БарышевМГ, Евдокимова OB, Куликова HH Исследования влияния магнитного поля на физико-химические свойства водных систем // Современные проблемы математики и естествознания: Матер VIII Всерос науч -техн конф Н Новгород, 2004 С. 1.

41 Барышев МГ, Евдокимова О В, Куликова НН Исследования возможного обеззараживания тканиевых материалов с помощью слабого магнитного поля // Современные проблемы математики и естествознания Матер VIII Всерос науч -техн конф. Н Новгород, 2004. С. 2

42. Барышев МГ, Евдокимова ОБ, Васильев НС Измерение резонансных частот магнитно обработанных жидкостей // Методы и средства измерений физических величин- Матер IX Всерос науч -техн конф Н Новгород, 2004 С 9.

43. Евдокимова OB, Барышев МГ Экология одежды // Эко-логия-2004 - море и человек- Матер. III Всерос науч. конф. Таганрог, 2004 С.238

44.Барышев МГ, Евдокимова OB Использование современных тканей для защиты биологических систем от влияния вредных электромагнитных излучений // Физическая экология (экологическая физика) Матер IV Всерос науч конф М , 2004

45. Барышев МГ, Евдокимова ОБ Использование достижений наноэлектроники для создания современной одежды // Матер X Всерос конф с международным участием «ПЭМ-2004» Дивноморск, 2004

46 Евдокимова О В, Бабешко В А , Федоренко А Г, Бабешко ОМ Дифференциальный метод факторизации в проблеме конструирования материалов // Современные проблемы механики сплошной среды Тр X Междунар конф Ростов н/Д, 2006 С 103-108

47 Бабешко ОМ, Евдокимова OB, Зарецкая МБ, Евдокимов СМ Исследование состояния зон вблизи загрязняющих предприятий // Экологическая безопасность и устойчивое развитие Матер V Междунар экологической конференции студентов и молодых ученых М , 2001.

48 Бабешко ОМ, Евдокимова ОБ, Зарецкая МБ, Евдокимов СМ Оперативная оценка состояния окружающей среды при катастрофических выбросах радиоактивных или токсических загрязняющих веществ // Фундаментальные прикладные проблемы мониторинга и прогноза стихийных бедствий Стихия-2001 IV Севастопольский Междунар семинар. Севастополь, 2001

49. Бабешко ОМ, Зарецкая MB, Евдокимова OB, Евдокимов СМ Прогноз состояния окружающей среды с учетом основных климатических и ландшафтных факторов II Экология и рациональное природопользование. Матер I науч конф СПб, 2001

50 Бабешко ОМ, Зарецкая MB, Евдокимова OB, Евдокимов СМ Математическое моделирование процессов массопере-носа в воздушной и водной средах // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов Матер IV Междунар науч -техн. конф Ульяновск, 2001

51 Babeshko VA , Babeshko О M, Evdokimova О V Materials of complex block structure // Advanced Problems m Mechanics Book of abstracts XXXV Summer School-Conference. Saint-Petersburg, 2007 P 26

Лвгорефера)

Евдокимова Ольга Владимировна

МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ В ПРОБЛЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛОВ СЛОЖНОГО СТРОЕНИЯ

Подписано в иечат и 26 09 2007 Псчат ь офсетная Формат 60х84'/)б Бумага тип №1 Уел печ л 2,32 Тираж 100 экз Зака! № 107

Тиио! рафия КубГУ 350063, г Краснодар, ул Октябрьская 25

Введение.

Глава 1. ОБ УРАВНЕНИЯХ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ, МАТЕРИАЛОВ ЭЛЕКТРОНИКИ И УРАВНЕНИЯХ СМЕЖНЫХ ОБЛАСТЕЙ.

§ 1. Термоэлектроупругие материалы.

§ 2. Система уравнений физики полупроводников и материалов радиоэлектроники.

§ 3. Фундаментальная система уравнений.

§ 4. Исходные данные.

§ 5. Некоторые часто употребляемые уравнения краевых задач.

Глава 2. О ФАКТОРИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ И МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ.

§ 1. Сведения из теории факторизации функций.

§ 2. О факторизации матриц-функций.

§ 3. Факторизация матриц-функций большого порядка.

§ 4. Дифференциальная факторизация матриц-функций.

§ 5. Интегральная факторизация матриц-функций.

Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ

СРЕД.

§ 1. Топологическая основа метода факторизации.

§ 2. Дифференциальный метод факторизации.

§ 3. Блочные структуры.

Глава 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ В ТЕОРИИ

ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛОВ.

§ 1. Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела.

§ 2. Интегральный метод факторизации.

§ 3. Метод бесконечных систем алгебраических уравнений.

§ 4. Материалы с покрытиями.

§ 5. О локализации деформационного процесса в средах с дефектами.

Актуальность проблемы

Исследованию физико-механических свойств материалов посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых.

Различные вопросы теории и методов исследования как краевых задач для дифференциальных уравнений, описывающих поведение деформируемых тел, так и свойств самих материалов рассматривали М.А. Алексидзе, В.И. Арнольд, И.Н. Векуа, М.И. Вишик, B.C. Владимиров, И.И. Ворович, И.Ц. Гохберг, Д.А. Индейцев М.Г. Крейн, В.Д. Купрадзе, О.Н. Ладыженская,

B.П. Маслов, В.П. Матвеенко, С.Г. Михлин, Н.Ф. Морозов, C.JI. Соболев,

C. Агмон, А. Дуглис, J1. Ниренберг и др. Существенные результаты при исследовании смешанных краевых задач получили В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, Р.В. Гольд-штейн, И.Г. Горячева, И.М. Дунаев, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников, А.В. Манжиров, Н.Ф. Морозов, А.Д. Полянин, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, B.C. Саркисян, М.В. Сильников, А.В. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, JI.A. Филыитинский и др.

Вопросы концентрации напряжений в деформируемых телах при наличии дефектов были глубоко изучены в работах В.Г. Баженова, И.И. Во-ровича, И.Г. Горячевой, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.А. Еремеева, JI.M. Зубова, Д.А. Индейцева, Д.М. Климова, Л.П. Лебедева, Н.Ф. Морозова, А.В. Наседкина, В.В. Новожилова, И.Ф. Образцова, Б.Е. Победри, М.Г. Селезнева, А.Ф. Резчикова, Ю.А. Устинова, В.И. Феодосьева, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина, Ю.Г. Яновского и др.

Разнообразие целей, для которых предназначены материалы, широкий спектр механических (прочностных и физических), электромагнитных, температурных, оптических, магнитных, пьезоэлектрических, сегнетоэлектриче5 ских и других характеристик сформировали ряд направлений исследования материалов, преимущественно по отдельным из перечисленных свойств.

Дальнейшее многообразие материалов достигается их различными сочетаниями в композиционных материалах, материалах блочного строения, представляющих сложное строение из фрагментов материалов различных типов.

Особое место занимает исследование свойств материалов наноразмер-ных величин, физико-механические свойства которых значительно изменяются по сравнению с макротелами. Взаимодействие микро- и макротел с на-норазмерными представляет новый важный раздел для исследователей.

В связи с технологическим назначением многие материалы используются во взаимодействии или в контакте с другими материалами, что может приводить к искажению первоначально установленных физико-механических свойств, изученных вне взаимодействия. В этих случаях появляются новые задачи, требующие дополнительного исследования, учитывающие технологический контакт материалов при использовании. Задачи нового типа возникают и при исследовании возможностей конструирования материалов с заданными физико-механическими свойствами. Сложность решения указанных задач связана с необходимостью исследования возникающих при этом краевых задач механики деформируемого твердого тела и физических процессов, описывающих поведение соответствующих полей.

Кажущаяся возможность преодоления этих сложностей применением современных вычислительных средств не всегда позволяет достичь искомой цели. Причина состоит в том, что в композитных, составных материалах, в материалах с дефектами или включениями меньшей размерности распределение физико-механических полей носит сложный характер, описываемый большим числом параметров. В частности, в отдельных областях могут возникать зоны концентрации напряженности или плотности физико-механических полей, усложняющие исследование. Понимания закономерно6 стей возникновения таких явлений, опираясь только на численные методы, достигнуть не всегда удается.

Настоящая работа нацелена на преодоление ряда отмеченных нерешенных проблем. В основе исследования лежит новый метод - дифференциальный метод факторизации, разработанный для решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных большого порядка. Этот метод служит дополнением к методу Винера - Хопфа, разработанному для решения интегральных уравнений и названному в работе интегральным. Два указанных метода значительно расширяют арсенал средств аналитического и численно-аналитического исследования краевых задач для больших систем дифференциальных уравнений в частных производных, а также возникающих при этом систем интегральных уравнений, появляющихся при исследовании материалов, тем самым позволяют выявлять ряд важных закономерностей в поведении их решений.

Значительное внимание в работе уделено конструированию материалов путем пассивного напыления мелкоразмерных субстанций на подложку, которая может иметь разнотипные подстилающие поверхности. Принимается во внимание возможность искривления траекторий движения субстанций физическими полями, действующими в зоне между источником и подстилающей поверхностью.

Особое место занимают краевые задачи для материалов, имеющих составное строение из трехмерных фрагментов материалов этого же типа или других свойств (Рис. 3.1-3.6). Такого рода материалы называют материалами блочного строения. Простейшими среди них являются слоистые материалы. Теория слоистых материалов глубоко развита и считается практически исчерпанной.

Исследование материалов блочного строения производится, как правило, численными методами. В то же время в случаях протяженных тел, а тем более при наличии дефектов эти методы неэффективны. Такая же проблема 7 возникает в задачах вибрации в случаях неограниченных блочных тел, когда необходимо учитывать условия излучения на бесконечность.

В диссертации дается анализ существующих аналитических, численно-аналитических и численных методов исследования и решения краевых задач о напряженно-деформированном состоянии материалов сложного, в том числе блочного строения. Важное внимание уделено проблеме создания материалов с заданными физико-механическими свойствами, предназначенных для использования в условиях мощных физико-механических полей. Значительное продвижение в этом направлении может быть сделано на основе формирования материалов блочного строения с блоками, имеющими сложные физико-механические характеристики. Речь идет о создании материалов с заданной способностью локализовать те или иные поля деформаций или напряжений, напряженности электрического или магнитного поля, иметь определенные динамические трассы внутри тела, обладать заданным уровнем концентрации напряжений в окрестностях дефектов и т.д.

Для выполнения этих исследований в диссертации развивается новый математический аппарат, использующий идеи факторизации. Определенные шаги по прямому или косвенному развитию этого метода были сделаны в работах М.И. Вишика, Г.И. Эскина, А.О. Ватульяна, J1.A. Игумнова, В.А. Ба-бешко и О.М. Бабешко. В работах М.И. Вишика, Г.И. Эскина рассмотрено применение метода факторизации для полупространства. В основе исследования лежит идея выделения главного члена асимптотики символа псевдодифференциального уравнения. В работах А.О. Ватульяна и учеников строится система граничных интегральных уравнений для упругих ограниченных тел на основе свойств преобразований Фурье, связанных с целыми функциями в таких областях. Далее развивается метод исследования ГИУ как некорректных, по А.Н. Тихонову, операторных уравнений. Аналогичные уравнения получил JI.A. Игумнов, используя разложения по собственным функциям краевой задачи, в предположении возможности их построения. 8

В.А. Бабешко и О.М. Бабешко разработан ряд подходов к исследованию краевых задач для систем однородных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в отдельной области, опирающихся на топологические методы и факторизацию матриц-функций, построены варианты факторизации мероморфных матриц-функций.

В то же время ими не был решен большой круг вопросов, что не позволяло перенести методы факторизации на блочные структуры и не давало возможности исследовать краевые задачи для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Например, подход, который ими рекомендовался для блочных структур, состоял в следующем. Поскольку получаемое методом факторизации решение принадлежит классу медленно растущих обобщенных функций, состоящих из классических и обобщенных составляющих, предлагались достаточно сложные преобразования по отделению классической составляющей решения от обобщенной. Затем предлагалось удовлетворение по традиционной схеме граничным условиям путем внесения классических составляющих решений в граничные условия контакта блоков. Это существенно усложняло задачу и делало подход неэффективным. Кроме того, ими не была решена проблема исследования и решения краевых задач для неоднородных дифференциальных уравнений, не исследовались нестационарные краевые задачи, что также тормозило перенос метода на нелинейные задачи.

Наконец, не были систематизированы методы факторизации мероморфных матриц-функций и по этой причине не было замечено существование двух методов факторизации - классического, созданного Н. Винером и Е. Хопфом [302] и названного интегральным, и дифференциального. Оба метода основаны на сведении в одном случае интегральных, в другом - дифференциальных уравнений к функциональным уравнениям, дальнейшее исследование которых опирается на идеи факторизации. Перечисленные причины не позволяли осуществлять исследования блочных структур в полной мере. Ряд перечисленных недостатков устраняется настоящей работой. В частно9 сти, в диссертации развит дифференциальный метод факторизации, применяемый к краевым задачам для систем дифференциальных уравнений. Надо отметить, что существование дифференциального метода факторизации долгое время не было обнаружено. Это объясняется тем, что в основе метода лежат тонкие свойства топологической алгебры, связанные с автоморфизмом топологических многообразий с краем, разделом математики, не часто используемым в приложениях. В диссертации этот метод систематизирован и для его применения разработан и обоснован строгий алгоритм использования. Метод демонстрируется на многочисленных примерах.

Цели исследования

1. Разработка математического аппарата, основанного на идеях факторизации, для исследования краевых задач для систем дифференциальных и интегральных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние материалов сложного строения, в том числе наноматериалов, и позволяющего давать аналитические представления решения краевых задач внутри области.

2. Применение метода к краевым задачам для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами любого порядка, заданным на множестве областей материала блочной структуры одной размерности или разных размерностей с кусочно-гладкой границей. Предполагается, что материалы имеют блочное строение, причем каждый блок обладает специфическими физико-механическими свойствами. Блоки могут иметь поверхностные и внутренние дефекты типа трещин и включений. Блоки способны реагировать на внешние физические поля - температурные, электромагнитные, диффузионные, описываемые краевыми задачами для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

3. Развитие дифференциального метода факторизации для исследования нестационарных и неоднородных краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих поведение материала со сложными свойствами.

10

4. Развитие интегрального метода факторизации для исследования и решения систем двухмерных интегральных уравнений.

5. Построение общего представления решений краевых задач для блочных структур деформируемых материалов. Формирование условий, позволяющих управлять определенными свойствами материалов.

6. Исследование возникновения резонансных явлений в материалах с покрытиями и сложного строения.

Научная новизна результатов работы

В работе впервые обобщены различные методы факторизации, основанные на идеях автоморфизма топологических многообразий и разработан метод сведения как краевых задач для систем дифференциальных уравнений, так и систем интегральных уравнений к функциональным уравнениям в пространствах медленно растущих обобщенных функций.

Развиты два дополняющих друг друга метода факторизации.

Дифференциальный метод факторизации позволяет получать аналитические представления решений краевых задач в материалах блочной структуры одной размерности. Материалы могут подвергаться воздействиям внешних полей различной природы.

Второй, интегральный, метод факторизации обобщил подходы к исследованию интегральных уравнений с разностным ядром. Он позволяет получать представления решений при наличии неоднородностей типа трещин и включений в материалах. Для его применения построены новые формулы факторизации мероморфных матриц-функций произвольного порядка. Благодаря им оказалось возможным построить решение систем интегральных уравнений с мероморфным символом, которые ранее решить и исследовать не удавалось. В диссертации развит новый подход к исследованию многомерных, в частности, двухмерных интегральных уравнений в произвольных областях. Данный подход эффективен при исследовании материалов с покрытиями, а также имеющих внутренние неоднородности и дефекты сложной формы.

11

Разработка указанных методов для блочных структур дала возможность разрабатывать методы исследования краевых задач для систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений.

В диссертации развивается метод бесконечных систем линейных алгебраических уравнений для исследования двухмерных интегральных уравнений в произвольных областях. Метод служит дополнением к традиционным подходам и позволяет получать явные формулы для описания поведения решений (контактных напряжений, температурных и электромагнитных полей) в сложных телах.

Полученные научные результаты позволили сформулировать условия проектирования материалов с заданными свойствами. В частности, сформулированы условия, приводящие к локализации деформационных процессов в средах с неоднородностями и резонансов, что не удавалось выполнить другими методами.

Научное и практическое значение результатов работы

Дифференциальные и интегральные уравнения являются основным средством описания широкого спектра природных и техногенных закономерностей и процессов. Поэтому любой прогресс при их исследовании и решении способствует познанию действительности, позволяет выявить новые явления и свойства. Уместно упомянуть, что такие уравнения, как уравнение Максвелла в теории электромагнитных волн, Шредингера в квантовой механике, Дираки в релятивистской квантовой механике, стали результатом осмысления определенных решений более простых уравнений и их связи с результатами экспериментов. Поэтому знание аналитического представления решений может послужить получению необходимых связей с экспериментальными данными и выявлению новых закономерностей. Развитые методы дают большие возможности для этих исследований.

Разработанный в диссертации дифференциальный метод факторизации существенно облегчает процесс понимания, анализа и применения свойств

12 решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных, что ранее делалось только численными методами и не позволяло получать аналитическое представление решения.

Благодаря развитию методов исследования блочных структур стало возможным исследование систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Развитый математический аппарат позволяет ставить и решать краевые задачи для систем нелинейных дифференциальных уравнений, основываясь на сведении последних к линейным системам дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом Ньютона - Канторовича.

Развитие дифференциального метода факторизации дает толчок к исследованию классов медленно растущих обобщенных функций, представленных двухмерными интегралами, а также к исследованию аналитических многообразий, порождаемых характеристическими уравнениями систем дифференциальных уравнений в частных производных.

В диссертации дифференциальный метод факторизации применяется для исследования различных типов материалов, находящихся в сложных механических, физико-химических и биологических условиях. На основании анализа решений краевых задач формируются условия для проектирования новых материалов, в том числе обладающих определенными медико-биологическими свойствами.

В результате созданы новые материалы медико-биологического назначения, имеющие практическое применение. При этом использована лишь небольшая часть возможностей метода. Он применим для исследования прочности и разрушения материалов, явлений сейсмологии, геофизики, в сейсмостойком строительстве, акустике, экологии. С его помощью удается исследовать краевые задачи для полупроводниковых и пьезокерамических материалов, возникающие при создании объемных интегральных схем элементной базы электроники. Метод применим для изучения наноматериалов и уст

13 ройств, использующих эти материалы, в том числе во взаимодействии с микроструктурами.

Дифференциальный метод факторизации эффективен при исследовании квантово-механических явлений и процессов, протекающих в квантовых ямах и квантовых проволоках. Он используется для анализа поведения больших молекул как механических объектов. С его помощью оказывается возможным теоретически анализировать взаимодействие на ядерном уровне столкновения элементарных частиц с ядром. Это лишь небольшой перечень задач, которые могут решаться дифференциальным методом факторизации.

Интегральный метод факторизации в той форме, которая развита в диссертации, применим для анализа напряженно-деформированного состояния материалов с неоднородностями меньших размерностей - включениями, трещинами, покрытиями. Данный метод может использоваться для решения большого круга двухмерных интегральных уравнений, частные случаи которых в одномерном варианте изложены в многочисленных работах. Назовем некоторые из них: материаловедение, смешанные и контактные задачи механики деформируемого твердого тела, фундаментостроение, строительство, су до- и авиастроение, распространение электромагнитных волн и др.

Важно заметить, что дифференциальный и интегральный методы факторизации не исключают, а дополняют друг друга (и это демонстрируется в диссертации), позволяя исследовать классы задач, не поддающихся эффективному изучению другими методами.

Работа выполнена в Кубанском государственном университете в рамках исследований по приоритетному направлению развития науки и техники в Российской Федерации «Индустрия наносистем и материалов» и имеет прямое отношение к следующим критическим технологиям Российской Федерации: «Технологии создания и обработки композиционных и керамических материалов», «Технологии создания и обработки кристаллических материалов», «Технологии создания и обработки полимеров и эластомеров», «Технологии создания электронной компонентной базы».

14

Исследования велись при поддержке грантов федеральных целевых программ «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 гг.», проекты А0017, В0121, гранта REC-004 Американского фонда гражданских исследований и развития, Краевой целевой программы Краснодарского края «Академические прикладные научные проблемы Краснодарского края на 2004-2008 годы», грантов РФФИ, выполняемых под руководством соискателя: (04-01-08101 )-офи, (04-01-96822)-р2004юг, (06-05-96806)-офи; а также с участием в качестве исполнителя (06-08-96635)-рюга, (06-08-9663 6)-рюга (06-08-08017)-офи,

06-08-96803)-рюга, (03-08-9653 7)-р2003юга, (03-01-96527)-р2003юга, (00-01-96023) р2003юг; проектов ведущих научных школ НШ-2107.2003, НШ-4839.2006.1, программ отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН и Президиума РАН, выполняемых Краснодарским отделом Южного научного центра РАН.

Достоверность результатов

Достоверность результатов теоретических исследований обеспечивается применением строгих математических методов. Полученные результаты подвергаются проверке путем применения к задачам, решаемым иными способами. Поэтому диссертация изобилует многочисленными примерами, демонстрирующими применение развитых в ней теорий и результатов. Например, дифференциальный метод факторизации проверялся на различных типах дифференциальных уравнений и систем, в частности, для простейшей блочной системы - слоистой среды. Методы факторизации мероморфных матриц-функций прошли непосредственную проверку путем перемножения последних.

Полученная с применением теоретических методов интеллектуальная собственность прошла патентную экспертизу и запатентована.

На защиту выносятся:

1. Разработка нового метода - дифференциального метода факторизации исследования и решения краевых задач напряженно-деформированного

15 состояния материалов, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами произвольного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях. Области могут быть многосвязными, границы - кусочно-гладкими или содержащими неоднородности той же или меньшей размерности.

2. Развитие дифференциального метода факторизации для исследования напряженно-деформированного состояния и физических свойств материалов блочного строения при воздействии физическими полями различной природы. Блоки структуры могут обладать широким спектром физико-механических свойств.

3. Разработка интегрального метода факторизации для исследования и решения систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании материалов с неоднородностями, в том числе с покрытиями.

4. Разработка методов факторизации мероморфных матриц-функций нескольких комплексных переменных применительно к дифференциальному и интегральному методам факторизации.

5. Разработка методов расчета напыления и осаждения субстанций материалов на подложку в условиях наличия физических полей.

6. Разработка методов управления некоторыми механическими свойствами материалов.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на VIII (Пермь, 2001 г.) и IX (Нижний Новгород, 2006 г.) Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике, на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, Азов, 2003 г.), на VIII Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2004 г.), на IX Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства измерений физических величин» (Нижний Новгород, 2004 г.), на X Всероссийской конференции с международным участием «ПЭМ-2004» (Дивноморск, 2004 г.), на IV Всероссий

16 ской научной конференции «Физическая экология» (Москва, 2004 г.), на X Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2006 г.), на Международной конференции «Environmental Problems and Ecological Safety» (Wiesbaden, 2004 г.), на IV Международном семинаре «Фундаментальные прикладные проблемы мониторинга и прогноза стихийных бедствий. Стихия-2001» (Севастополь, 2001 г.), на XXXV Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Saint-Petersburg, 2007 г.), а также на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Института проблем механики и геоэкологии КубГУ.

Публикации

По теме диссертации опубликованы 25 статей, из них 20 в журналах, определенных ВАК РФ для публикаций основных научных результатов докторских диссертаций, в 16 тезисах всероссийских и международных конференций. Диссертационные исследования использованы в 10 патентах и свидетельствах.

Структура, содержание и объем работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, приложений, списка использованной литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В соответствии с поставленной целью в диссертации разработаны новые методы исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных и систем интегральных уравнений, описывающих поведение деформированных материалов блочного строения. Они названы дифференциальным и интегральным методами факторизации. Особенностью методов оказалась возможность сведения как краевых задач для систем дифференциальных уравнений, так и систем интегральных уравнений к функциональным уравнениям в пространствах медленно растущих обобщенных функций. Методы взаимно дополняют друг друга и позволяют исследовать единым подходом практически все краевые задачи для систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и двухмерных систем интегральных уравнений с разностными ядрами, возникающих в блочных структурах деформируемых тел и решаемых однотипно.

2. При создании методов потребовалась более сложная факторизация матриц-функций, что привело к совершенствованию определения факторизации и построению новых формул факторизации, одновременно позволивших решать ранее не поддававшиеся исследованию системы интегральных уравнений Винера - Хопфа.

3. Разработанный метод применим к материалам, которые имеют блочное строение, причем каждый блок обладает специфическими физико-механическими свойствами. Блоки могут иметь поверхностные и внутренние дефекты типа трещин и включений, пластин, накладок. Они способны реагировать на внешние физические поля - температурные, электромагнитные, диффузионные, описываемые краевыми задачами для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

4. Показано, что дифференциальный метод факторизации применим к блочным структурам одной размерности, а интегральный в сочетании с дифференциальным - к разноразмерным блочным структурам. Методы позволя

262

1. Абрамов И.И., Харитонов В.В. Численное моделирование элементов интегральных схем. Минск: Вышэйшая школа, 1990. 224 с.

2. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962. 208 с.

3. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. 368 с.

4. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконъ А.В., Кренев Л.И., Труб-чик И. С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М. : Физматлит, 2006. 238 с.

5. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

6. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

7. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

8. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. 351 с.

9. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352 с.

10. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции уравнений математической физики в приближенных решениях граничных задач. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1989. Ч. 1. 412 с.

11. Апанович В.Н. Метод внешних конечноэлементных аппроксимаций. Минск: Вышэйшашк., 1991. 170 с.

12. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

13. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.263

14. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: НАН, 1999. 320 с.

15. Бабешко О.М. К расчету экологических последствий спиралеобразных движений атмосферы и водных масс // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 3. С. 5760.

16. Бабешко О.М., Евдокимов С.М., Евдокимова О.В. К оценке эколого-экономической целесообразности дизайна рекреаций предприятий // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. 1999. № 3. С. 115-117.

17. Бабешко В.А. «Вирусы» вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. 1994. Спецвып. № 1. С. 90-91.

18. Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. № 6. С. 1328-1333.

19. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Исследование краевых задач двойной факторизацией // Докл. РАН. 2005. Т. 403. № 1. С. 20-24.

20. Бабешко О.М. Метод факторизации в проблеме напряженно-деформированного состояния литосферных плит: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Краснодар, 2005. С. 273.

21. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // Докл. РАН. 2005. Т. 400. №2. С. 192-196.

22. Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318-321.

23. Бабешко В.А. О неединственности решений динамических смешанных задач для систем штампов // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310. № 6. С. 13271330.

24. Babeshko О.М., Zaretskaya M.V., Syromyatnikov P.V. Pollutants Transfer by Tornadoes and Convective Movements: Proceeding of a Workshop held at the University of Applied Sciences. Wiesbaden, Germany, 29.09-01.10. 2004.264

25. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Вильяме Р. Метод факторизации решения некоторых неоднородных краевых задач // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. 2003. Спецвып. С. 10-12.

26. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // Докл. РАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 184-188.

27. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 767-770.

28. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // Докл. РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 473-477.

29. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред // Докл. РАН. 2004. Т. 399. № 3. С. 315-318.

30. Бабешко В.А., Бабешко ОМ. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 185-189.

31. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О некоторых проблемах в сейсмологии // Вестн. Юж. науч. центра РАН. 2004. № 1. С. 17-23.

32. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 265 с.

33. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Вильяме Р. Проблема исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. 2004. Спецвып. С. 10-12.

34. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых ме-роморфных матриц-функций // Докл. РАН. 2004. Т. 399. № 1. С. 26-28.

35. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 74-83.

36. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Интегральные преобразования и метод факторизации в краевых задачах // Докл. РАН. 2005. Т. 403. № 6. С. 26-28.

37. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Об одной модели расчета концентрации напряжений в литосферных плитах // Экологический вестник на265учных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 2. С. 16-22.

38. Бабешко О.М. Новый подход в оценке оседания веществ на разнотипные поверхности // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 1. С. 82-87.

39. Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. Об учете типов источников и зон оседания загрязняющих веществ // Докл. РАН. 2000. Т. 371. № 1. С. 32-34.

40. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

41. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 5—9.

42. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации // ДАН. 2006. Т. 410. № 2. С. 168— 172.

43. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К проблеме исследования материалов с покрытиями // ДАН. 2006. Т. 410. № 1. С. 49-52.

44. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К проблеме оценки состояния материалов с покрытиями II ДАН. 2006. Т. 409. № 4. С. 481-485.266

45. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Выполнение граничных условий в дифференциальном методе факторизации // ДАН. 2007. Т. 412. № 5. С. 600-603.

46. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. Об исследовании физических свойств интеллектуально управляемых материалов и наномате-риалов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. № 1. С. 6-9.

47. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О некоторых типах материалов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 1. С. 14-17.

48. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Евдокимов С.М. К решению краевых задач, связанных с факторизацией матриц-функций // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 3. С. 7-13.

49. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в блочных структурах и наноструктурах // ДАН. 2007. Т. 415. №5. С. 596-599.

50. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. К теории блочных и наноструктур // Вестн. Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2007. № 4. С. 42-48.

51. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Лозовой В.В., Мухин А.С., Чмыхалов С.П. К проблеме паспортизации сейсмических трасс // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 8-15.

52. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. К решению краевых задач с применением факторизации матриц-функций // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 5-7.267

53. Бабешко О.М., Гладской КБ., Горшкова Е.М., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. Модель оседания загрязняющих веществ на разнотипные подстилающие зоны // Наука Кубани. 2001. № 5(1). С. 4.

54. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Ломакина Л.В., Ратнер С.В., Сыромятников П.В. Программа расчета прохождения магнито-теллурических волн в зонах Земли с учетом ее сложного строения: Свидетельство ФСИСПТ РФ № 2007611522 от 11.04.2007.

55. Бабешко В.А., Евдокимов С.М., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В. Система определения оптимальных путей эвакуации при вредных выбросах в атмосферу / Патент РФ на полезную модель № 48772 от 10.12.2005.

56. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Интегральный и дифференциальный методы факторизации в задачах для сплошных сред // Тез. докл. IX Всерос. съезда по теоретической и прикладной механике. Н. Новгород, 2006. С. 12.

57. Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Евдокимов С.М. Оседание загрязняющих веществ на разнотипные поверхности // Тез. докл. VIII Всерос. съезда по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. С. 65.

58. Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. Прогноз состояния окружающей среды с учетом основных климатических и ландшафтных факторов // Экология и рациональное природопользование: Матер. I научной конф. СПб., 2001.

59. Babeshko V.A., Babeshko О.М., Evdokimova O.V. Materials of complex block structure // Advanced Problems in Mechanics: Book of abstracts XXXV Summer School-Conference. Saint-Petersburg, 2007. P. 26.

60. Балабаев C.M., Ивина Н.Ф. Анализ пьезопреобразователей комбинированным методом конечных и граничных элементов // Акустический журнал. 1996. Т. 42. № 2. С. 172-178.

61. Барыбин А.А. Волны в тонкопленочных полупроводниковых структурах с горячими электронами. М.: Наука, 1986. 288 с.

62. Барышев М.Г., Сидоров КВ., Евдокимова О.В., Коржов А.Н., Куликова Н.Н. Результаты поисковых исследований по созданию функциональных приборов для биоэлектроники // Вестн. ЮНЦ РАН. 2005. Т. 1. № 4. С. 18-20.

63. Барышев М.Г., Евдокимова О.В., Джимак С.С., Васильев Н.С. / Патент РФ на полезную модель № 53111. Комплекс для обеззараживания одежды и придания ей бактерицидных свойств. ФИПС. 10.05.2005.

64. Барышев М.Г., Евдокимова О.В., Коржов А.Н. / Патент РФ на полезную модель № 49694. Одежда для релаксации. ФИПС. 10.12.2005.269

65. Барышев М.Г., Евдокимова О.В., Джимак С.С. / Патент РФ на полезную модель № 56194. Обогревающий пояс. ФИПС. 10.09.2006.

66. Барышев М.Г., Евдокимова О.В., Куликова Н.Н. Исследования влияния магнитного поля на физико-химические свойства водных систем // Современные проблемы математики и естествознания: Матер. VIII Всерос. на-уч.-техн. конф. Н. Новгород, 2004. С. 1.

67. Барышев М.Г., Евдокимова О.В., Васильев Н.С. Измерение резонансных частот магнитно обработанных жидкостей // Методы и средства измерений физических величин: Матер. IX Всерос. науч.-техн. конф. Н. Новгород, 2004. С. 9.

68. Барышев М.Г., Евдокимова О.В. Использование современных тканей для защиты биологических систем от влияния вредных электромагнитных излучений // Физическая экология (экологическая физика): Матер. IV Всерос. науч. конф. М., 2004.

69. Барышев М.Г., Евдокимова О.В. Использование достижений нано-электроники для создания современной одежды // Матер. X Всерос. конф. с международным участием. «ПЭМ-2004». Дивноморск, 2004.

70. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1970. 328 с.

71. Белоконъ А.В., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. №. 3. С. 491-501.

72. Белоконъ А.В., Надолин К.А., Наседкин А.В. и др. Симметричные алгоритмы в конечно-элементном анализе сложных пьезоэлектрических устройств // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 2.270

73. Белоконъ А.В., Еремеев В.А., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акусто-электроупругости // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64. № 3. С.381-393.

74. Белянкова Т.Н., Калинчук В.В., Устинова С.Ю. Динамические свойства составной преднапряженной среды // Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки. 2001. № 4. С. 122-125.

75. Бенерджи П., Баттерфшд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 496 с.

76. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 352 с.

77. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И., Новиков Д.Б., Пастуцан В.Б. Анализ и интерпретация магнитотеллурических данных. М.: Изд-во МГУ, 1997.

78. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. 336 с.

79. Болкиев A.M. Конечно-элементный анализ деформированного состояния пьезоэлектрического двигателя // Прикладная механика. 1993. Т. 29. № 8. С. 69-72.

80. Борисов Д.В., Пряхина ОД., Смирнова А.В. Решение динамической задачи для трехслойной среды с включениями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 8-13.

81. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высшая школа, 1980. 296 с.

82. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 526 с.

83. Бремерман Г.Б. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968. 276 с.271

84. Бреховских JI.M., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 412 с.

85. Брычков ЮА., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

86. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

87. Василъченко К.Е., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. К расчету АХЧ задач об установившихся колебаниях на основе кластерных технологий в ACELAN // Вычислительные технологии. 2004. № 3.

88. Васильев Н.С., Барышев М.Г., Евдокимова О.В., Куликова Н.Н. Воздействие электромагнитного поля на дистиллированную воду и микроорганизмы // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 2. С. 41-44.

89. Васильев Н.С., Евдокимова О.В., Барышев М.Г., Куликова Н.Н. Воздействие электромагнитного поля на водные растворы микроорганизмов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 3. С. 48-51.

90. Ватульян А. О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // Докл. РАН. 1993. Т. 333. №3. С. 312-314.

91. Ватульян А.О., Ковалев О.В., Соловьев А.Н. Новый метод ГИУ в краевых задачах для эллиптических операторов и его численная реализация // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 1. С. 54-65.

92. Ватульян А. О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в электроупругости // Прикладная математика и механика. 1999. Т. 63. Вып. 6. С. 1035-1043.

93. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука. 1970. 379 с.

94. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991. 576 с.272

95. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121. №5. С. 778-781.

96. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. 1957. Сент.-окт. Т. 12. Вып. 5 (77). С. 3— 122.

97. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об эллиптических уравнениях, содержащих малые параметры при старших производных // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. №4. С. 734-737.

98. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

99. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

100. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи математических наук. 1965. Т. 20. Вып. 1. С. 3-74.

101. Волевич Л.Р., Егорова Ю.В., Панеях Б.П. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1967. 366 с.

102. Волъмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

103. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

104. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 4. С. 817— 820.

105. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

106. Ворович НИ., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.273

107. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 248 с.

108. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.264 с.

109. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

110. Г ахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

111. Гелъфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Наука, 1962. 656 с.

112. Гелъфанд И.М., Граев М.И., Пятецкий-Шапиро И.И. Теория представлений и автоморфные функции. М.: Наука, 1966. 512 с.

113. Глушков Е.В. Вибрация системы массивных штампов на линейно деформируемом основании // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49. Вып. 1.С. 142-147.

114. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проверке существования явления высокочастотного резонанса в полуограниченных областях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 208-209.

115. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 780-785.

116. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 282-289.

117. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. Дифракция нормальных мод в составных и ступенчатых упругих волноводах // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 297-303.

118. Глушков Е.В., Кириллова Е.В. Динамическая смешанная задача для пакета упругих слоев // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 455-461.274

119. Глушкова Н.В. Асимптотическое представление термоупругих напряжений в угловых точках разномодульных соединений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. № 2. С. 69-77.

120. Глушкое Е.В., Глушкова Н.В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн пространственными трещинами // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 866-870.

121. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шулъга Н.А., Гузь А.Н., Гринчен-ко В. Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 5: Динамика упругих тел. Киев: Наукова думка, 1986. С. 288.

122. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука, 1995. 352 с.

123. Горячева И.Г., Добычин И.Г. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 254 с.

124. Горячева И.Г., Торская Е.В. Анализ напряженного состояния тел с покрытиями при множественном характере нагружения // Трение и износ. 1994. Т. 15. №3. С. 349-357.

125. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001.478 с.

126. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой, с ядрами, зависящие от разности аргументов // Успехи математических наук. 1958. Т. 13. Вып. 2. С. 3-72.

127. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Проекционные методы решения уравнений Винера Хопфа. Кишинев: Изд-во Молд. ССР, 1967. 164 с.

128. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

129. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967. 508 с.

130. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1986. Т. 1. 268 с.275

131. Гузъ А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2: Закономерности распространения. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1986. С. 536.

132. Гузъ А.Н., Махорт Ф.Г. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 3: Акустомагнитоупругость. Киев: Наукова думка, 1988. С. 286.

133. Гузъ А.Н., Шулъга Н.А., Бабич И.Ю., Космодамианский А.С., Ла-пуста Ю.Н., Подлипенец А.Н., Рущицкий Я.Я., Сторожев В.К, Чехов В.Н., Шпак В.А. Механика композитов. Т. 2: Динамика и устойчивость материалов. Киев: Наукова думка, 1993. С. 430.

134. Гуткин М.Ю., Овидъко И.А. Физическая механика деформируемых наноструктур. СПб.: Янус, 2003. Т. 1. 194 е.; 2005. Т. 2. 352 с.

135. Денисова КВ., Индейцев Д.А. Клименко А.В. К вопросу об устойчивости вязкоупругой пластины в потоке жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47. № 4. С. 66-74.

136. Драгунов В.П., Неизвестный И.Г., Гридчин В.А. Основы наноэлек-троники. Новосибирск: Интеграция, 2000. 332 с.

137. Евдокимова О.В. Дифференциальный метод факторизации в механике разрушения, материаловедении и сейсмологии // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 32^2.

138. Евдокимова О.В. О факторизации матриц-функций, возникающих в проблеме прочности материалов сложного строения // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. №4. С. 8-11.

139. Евдокимова О.В. Дифференциальный метод факторизации в неоднородных и нестационарных задачах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 2. С. 51-55.

140. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Федоренко А.Г., Бабешко О.М. О дифференциальном методе факторизации в сложных макро-, микро- и наноструктурах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 1. С. 24-29.

141. Евдокимов С.М., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К проблеме учета типов зон оседания загрязняющих веществ // Наука Кубани. Естественные и технические науки. 1999. № 1. С. 31-34.

142. Евдокимова О.В., Барышев М.Г. / Патент РФ на полезную модель № 56388. Одежда из трикотажного материала. ФИПС. 20.07.2006.

143. Евдокимова О.В., Басов А.А., Барышев М.Г., Джимак С. С. / Патент РФ на полезную модель № 56128. Одежда, предохраняющая от воздействия электромагнитного излучения. ФИПС. 10.09.2006.

144. Евдокимова О.В., Барышев М.Г. / Патент РФ на полезную модель № 43711. Текстильное изделие с электрическим обогревом. ФИПС. 27.01.2005.

145. Evdokimova О. V., Barishev M.G., Evdokimov S.M. On the possibility of developing safe and healthful clothes // Environmental Problems and Ecological Safety: Proceeding of the Workshop. Wiesbaden, 2004. P. 70-72.

146. Евдокимова O.B., Барышев М.Г. Экология одежды // Экология-2004 море и человек: Матер. III Всерос. науч. конф. Таганрог, 2004. С. 238.

147. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Федоренко А.Г., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в проблеме конструирования материалов // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. X Между-нар. конф. Ростов н/Д, 2006. С. 103-108.

148. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974. 400 с.277

149. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф. К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов // Журнал технической физики. 2006. Т. 76. Вып. 10. С. 74-80.

150. Игумнов JI.A. Интегральные представления для голоморфных векторов теории упругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности (Горький). 2000. № 61. С. 210-219.

151. Игумнов JI.A. Применение сингулярных операторов Михлина -Кальдерона Зигмунда к решению динамических краевых задач теории упругости // Вестн. Нижегород. ун-та. Сер. Механика. 2002. № 1. С. 72-85.

152. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

153. Кажис Р. -Й.Ю., Мажейка Л.Ю. Расчет неоднородных электрических и акустических полей в измерительных пьезопреобразователях методом конечных элементов // Науч. тр. вузов ЛитССР. Радиоэлектроника. 1983. Т. 19. № 1. С. 25-35.

154. Калинчук В.В., Белянкова Т.И., Евдокимова О.В. Определяющие соотношения динамики преднапряженной пьезоактивной среды в отсутствие внешних электрических полей // Вестник Южного научного центра РАН. 2006. Т. 2. № 1. С. 16-23.

155. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. К проблеме исследования динамических смешанных задач электроупругости и термоупругости для слоисто-неоднородного полупространства // Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки.2000. № 3. С. 72-74.

156. Калинчук В.В., Белянкова Т.И К проблеме исследования особенностей динамического контактного взаимодействия штампа с полупространством, ослабленным наличием дефекта // Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки.2001. Спецвып. С. 83-85.

157. Калинчук В.В., Белянкова Т.Н. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. М., 2002. 240 с.

158. Калинчук В.В., Белянкова Т.Н. Об одном подходе к исследованию динамики преднапряженного цилиндра, заполненного жидкостью.// Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. 2003. Спецвып. С. 227-230.

159. Калинчук В.В., Белянкова Т.Н. О динамике среды с непрерывно изменяющимися по глубине свойствами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. 2004. Спецвып. С. 46-49.

160. Канторович JT.B. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи математических наук. 1948. Т. 3. Вып. 6. С. 89-185.

161. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

162. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. Киев: Наукова думка, 1988. 320 с.

163. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 4: Электротермовязкоупругость. Киев: Наукова думка, 1988. С. 320.

164. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

165. Келлер Д.Б., Антман С. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. 256 с.

166. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 311 с.

167. Колесников В.И., Суворова Т.В. Моделирование динамического поведения системы «верхнее строение железнодорожного пути слоистая грунтовая среда» М.: Изд-во ВИНИТИ РАН, 2003. 232 с.

168. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов // Успехи математических наук. 1958. Т. 13. Вып. № 5. С. 3-120.

169. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений. М.: Изд-во МГУ, 1985. 336 с.

170. Кузнецов С.В. Построение тензора Грина и Неймана в теории упругости анизотропного тела // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 27. №7. С. 58-62.

171. Кузнецов С.В. Фундаментальные решения уравнений Ляме для анизотропных сред // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. № 4. С. 50-54.

172. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Наука, 1963. 472 с.

173. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики // Успехи математических наук. 1967. Т. 22. № 2. С. 59-107.

174. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвши М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 603 с.280

175. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832 с.

176. Куренное С.С., Николаев А.Г. Первая основная задача термоупругости для сжатого сфероида с концентрической полостью // Прикладная математика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 1. С. 92-98.

177. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

178. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

179. Литвинчук Г.С., Спитковский И.М. Факторизация матриц-функций: В 2 ч. М., 1984. Ч. 1-2. Деп. в ВИНИТИ № 2410-84.

180. Лифшиц И.М., Розценцвейг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упругости анизотропной среды // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1947. Т. 17. Вып. 9. С. 783-791.

181. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

182. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

183. Мазья В.Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно-гладкими границами // Успехи математических наук. 1981. Т. 38. № 4. С. 229-230.

184. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 544 с.

185. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1967. Т. 1. 488 с.

186. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1968. Т. 2. 624 с.

187. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.

188. Милнор Д., Уоллес Ф. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972. 278 с.281

189. Мишин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

190. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

191. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С. С. Контактные задачи математической теории упругости. Киев: Наукова думка, 1985. 250 с.

192. Мотовиловец И.А., Козлов В.И. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 1: Термоупругость. Киев: Наукова думка, 1987. С.264.

193. Мусий Р.С. Математическая постановка и методика решения пространственных задач электромагнитотермоупругости для сферических тел // Теоретическая и прикладная механика. 2003. № 37. С. 52-58.

194. Мусхелишвили Н.И. Системы интегральных уравнений. М.: Физ-матлит, 1962. 600 с.

195. Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Пакет ACELAN и конечно-элементное моделирование гидроакустических пьезопреобразователей // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. 2001. Спецвыпуск: Математическое моделирование. С. 122-125.

196. Никаноров A.M. Гидрохимия. СПб.: Гидрометеоиздат, 2001. 448 с.

197. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука; СО АН СССР, 1979. 272 с.

198. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. М.: ИЛ, 1962. 280 с.

199. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с.

200. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

201. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. С. 872.

202. Новацкий В. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. С. 308.

203. Новиков С.П., Сакало В.И. Применение суперэлементов для решения задач МКЭ с использованием релаксационной схемы // Динамика, проч282ность и надежность транспортных машин: Сб. тр. Брянск: Брянский гос. техн. ун-т, 2003. С. 43-48.

204. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацъгшин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1978. 444 с.

205. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

206. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

207. Подилъчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных системах координат // Прикладная механика. 2003. Т. 39. № 2. С. 14—54.

208. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

209. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499-506.

210. Пряхина ОД., Смирнова А.В. Динамическая задача для разномо-дульной среды с включениями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. Вып. 2. С. 388.

211. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977. 488 с.

212. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966. 320 с.

213. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. № 4. С. 829-831.283

214. Садовский М.А. О распределении размеров твердых отдельностей // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. № 1. С. 69-72.

215. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. М.: Наука, 1987. 104 с.

216. Садовский М.А., Красный Л.И. Блоковая тектоника литосферы // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. № 6. С. 1451-1454.

217. Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1983. 260 с.

218. Сеницкий Ю.Г. Метод конечных интегральных преобразований. Его перспективы в исследовании краевых задач механики // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. 2003. № 22. С. 10-39.

219. Серебряков Г.Г., Коваленко М.Д., Цыбин Н.Н. О некоторых свойствах однородных решений теории упругости // Докл. РАН. 2003. Т. 388. № 2. С. 193-196.

220. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. 668 с.

221. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 442 с.

222. Суворова Т.В., Суворов А.Б., Беляк О.А. О прогнозировании эффективности слоистых подкрепляющих конструкций железнодорожного пути на основе математических моделей // Вестн. РГУПС. 2007. 2(26). С. 116— 122.

223. Суворова Т.В., Беляк О.А. О колебаниях многослойного гетерогенного полупространства под действием осциллирующей нагрузки // Труды РГУПС. 2006. Вып. 2(3). С. 127-134.

224. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 804 с.

225. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.284

226. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. М.: Мир, 1984. Т. 1. 360 с.

227. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 296 с.

228. Филъштинский JI.A. Двухмерные статические и динамические задачи теории упругости для тел с трещинами // Теория и расчет тонкостенных конструкций: Сб. ст. М., 1986. С. 107-117.

229. Филъштинский М.Л., Бардзокас Д. Метод граничных интегральных уравнений в проблемах дифракции электроупругих волн. Сумы: Изд-во Сумского гос. ун-та, 1999. 193 с.

230. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. 280 с.

231. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Механика композитов. Т. 3: Статистическая механика и эффективные свойства материалов. Киев: Наукова думка, 1993. С. 390.

232. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ: В 2 ч. М.: Наука, 1985. Ч. 1-2.

233. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. Киев: Наукова думка, 1970. 288 с.

234. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. I. Постановка задач и анализ установившихся вынужденных колебаний // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 7. С. 1252-1260.

235. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. II. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. №2. С. 317-326.

236. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдо дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.285

237. Южаков А.П. Элементы теории многомерных вычетов. Красноярск: Изд-во Красноярск, гос. ун-та, 1975. 182 с.

238. Allik К, Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectric vibration // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1970. Vol. 2. № 2. P. 151-157.

239. Babuska I., Aziz A.K. On the Angle Condition in the Finite Element Method. SIAM// J. on Numerical Analysis. 1976. Vol. 13(2). P. 214-226.

240. Bern M., Mitchell S., Ruppert J. Linear-size non-obtuse triangulation of polygons // Proceedings of the 10th ACM Symposium on Сотр. Geometry S.L.. 1994. P. 221-230.

241. Blacker T.D., Meyers R. Seams and wedges in plastering: A 3-d hexa-hedral mesh generation algorithm // Engineering with Computers. 1993. Vol. 2. P. 83-93.

242. Cavendish J.C., David A.F., William H.F. An Approach to Automatic Three-Dimensional Finite Element Mesh Generation // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. 1985. Vol. 21 (2). P. 329-347.

243. Challande P. Finite element method applied to piezoelectric cavities study: influence of the geometry on vibration modes and coupling coefficient // J. Mec. Theor. et Appl. 1988. Vol. 7. № 4. P. 461^77.

244. Charles L. Lawson. Software for CI Surface Interpolation // Mathematical Software III / ed. J.R. Rice. N.Y.: Acad, press, 1977. P. 161-194.

245. Chen W., Lynch C.S. Finite element analysis of cracks in ferroelectric ceramic materials // Eng. Fract. Mech. 1999. Vol. 64 (5). P. 539-562.286

246. Chen J.R., Lu Y, Ye G.R., Cai G.R. 3-d elektroelastic fields in functionally graded piezoceramic hollow sphere under mechanical and electric loading // Arch. Appl. Mech. 2002. Vol. 72. №1.P. 39-51.

247. Cheung Y.K., Jin W.G., Zienkewicz O.C. Solution of Helmholtz equation by Trefftz method // Intern. J. Numer. Methods Eng. 1991. Vol. 32. P. 53-68.

248. D'Azevedo E.F., Simpson R.B. On Optimal Interpolation Triangle Incidences // SIAM J. on Scientific and Statistical Computing. 1989. Vol. 10. P. 10631075.

249. DeGiorgi KG. Computational evaluation of poling induced stress in a piezoelectric ceramic // Appl. Mech. Eng. 2000. Vol. 5 (1). P. 89-100.

250. Dmowska R., Rice J.R. Fracture Theory and its Seismological Applications. Continuum Theories in Solid Earth Physics // PWN-Polish Scientific Publishers. Warsawa, 1986.

251. Doherty J.P., Deeks A.J. Scaled boundary finite element analysis of nonhomogeneous axisymmetric domain subjected to general loading // J. Num. and Anal. Meth. Geomech. 2003. Vol. 27. № 10. P. 813-835.

252. Gray L.J., Kaplan Т., Richardson J.D., Paulino G.H. Green's functions and boundary integral analysis for exponentionally graded materials // Trans. ASME. J. 2003. № 4. P. 543-549.

253. Hunt J.T., Knittel M.R., Barach D. Finite element approach to acoustic radiation from elastic structures // J. Acoust. Soc. Amer. 1974. Vol. 55. № 2. P. 269-280.

254. Hwang S.C., McMeeking R.M. A finite element model of ferroelastic polycrystals // Intern. J. Solids Struct. 1999. Vol. 36 (10). P. 1541-1556.

255. Indeitsev D.A, Mochalova Y. Problem of Low-frequency Localized Oscillations in a Thin Film with Growing Islands Springer Mecanica. 2006. Vol. 41. P. 311-320.

256. Krishnasamy G., Echmerr L.W., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingu-lar boundary integral equation: Same applications in acoustic and elastic wave scattering // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. Vol. 57. № 2. P. 404-414.287

257. Liew K.M., Lim H.K., Tan M.J., He X.Q. Analysis of laminated composite beams and plates with piezoelectricpatches using the element-free Galerkin method // Computational Mechanics. 2002. Vol. 29. P. 486.

258. Kagawa Y. Finite element simulation of transient heat response inultra-sonic transducers // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1992. Vol. SU-39. № 3. P. 432-440.

259. Kagawa Y., Tsuchiya Т., Kawashima T. Finite element simulation of vibrator gyroscopes // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. and Freq. Control. 1996. Vol. 43. P. 509-518.

260. Kagawa Y., Arai H. Finite element simulation of energy-trapped electromechanical resonators //J. Sound and Vibr. 1975. Vol. 39. № 3. P. 317-335.

261. Kobayashi S., Nishimura N. Green's tensors for elastic half-spaces: An application of boundary integral equation method // Mem. Faculty Eng. Kyoto Univ. 1980. Vol. 42. P. 228-241.

262. Liew KM., Liang J. Modeling of 3D transversely piezoelectric and elastic bimaterials using the boundary element method // Computational Mechanics. 2002. Vol. 29. P. 151-162. Springer-Verlag. 2002. DOI 10.1007/s00466-002-0328-9.

263. Lu P., Mahrenholtz O.A. Variational boundary element formulation for piezoelectricity // Mech. Res. Comm. 1994. Vol. 21. P. 605-611.

264. Mackerle J. Finite element modeling of ceramics and glass, a bibliography (1977-1998) // Eng. Comput. 1999. Vol. 16 (5). P. 510-571.

265. Makkonen Т., Holappa A., Salomaa M.M. 3-d FEM modeling of composite BAW resonators // Proc. IEEE Ultrasonics Symp. 2000. P. 893-896.

266. Miller G.L., Talmor D., TengS.-H. Data generation for geometric algorithms on non-uniform distributions // Intern. J. of Computational Geometry and Applications. 1998.

267. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic elastic bimaterials with imperfect interfaces // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. №2. P. 180-190.288

268. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic half-space with general boundary conditions // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. № l.P. 101-110.

269. Pan E., Tonon F. Three-dimensional Green's function in anisotropic piezoelectric solids // Intern. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37. P. 943-958.

270. Park K.N., Banerjee P.K. Two- and three-dimensional soil consolidation by BEM via particular integral // Comput. Meth. Appl. Mech. an Eng. 2002. Vol. 191. № 29-30. P. 3233-3255.

271. Piranda В., Steichen W., Ballandras S. Comparison between different finite element / boundary formulations for modeling acoustic radiation in fluids // Proc. IEEE Ultrasonics Symp. 1998. P. 1073-1076.

272. Rawlins A.D., Williams W.E. Matrix Wiener-Hopf factorization // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1981. Vol. 34. № 1. P. 1-8.

273. Roberts A.P., Garboczi E.J. Elastic properties of model porous ceramics // J. Am. Ceram. Soc. 2000. Vol. 83 (12). P. 3041-3048.

274. Ruan X. A theoretical study of the coupling effects in piezoelectric ceramics // Intern. J. Solids Struct. 1999. Vol. 36 (3). P. 465-487.

275. Scott A.C., Muthukrishnan S.N., Phillips R.K. Topological refinement procedures for triangular finite element meshes // Engineering with Computers. 1996. Vol. 12(3, 4). P. 243-255!

276. Stephan E.P. Boundary integral equations for screen problems in R3 // Integral Equations Operator Theory. 1987. Vol. 10. P. 236-257.

277. Stone G.O. High-order finite elements for inhomogeneous acoustic guiding structures // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techn. 1973. Vol.MTT-21.P. 538-542.

278. Stmal K.D., Chanderjit L.B., Kokichi S. On good triangulations in three dimensions // Intern. J. of Computational Geometry & Applications. 1992. Vol. 2 (1). P. 75-95.289

279. Teixeira de Freitas J.A., Cismasiu C. Hybrid-Trefftz displacement element for spectral analysis of bounded and unbounded media // Inern. J. Solid and Structure. 2003. Vol. 40. № 3. P. 671-699.

280. Lin Y., Dodson J.M., Hamilton J.D. et al. Theory and experiment for the design of piezoelectric element for phased arrays // Proc. IEEE Ultrasonics Symposium. 1997. P. 1697-1700.

281. Tverdokhlebov A., Rose J.L. On Green's functions for elastic waves in anisotropic media // J. Acoust. Soc. Am. 1988. Vol. 83. № 1. P. 118-121.

282. Vogel S.K., Rizzo F.J. An integral equation formulation of three dimensional anisotropic elastostatic boundary value problem // J. Elastisity. 1973. Vol. 3. P. 203-216.

283. Walkington N. A Delaunay based numerical method for three dimenthsions: generation, formulation, and partition // Proceedings of 27 Annual ACM Symposium on the Theory of Computing (Las Vegas, Nevada, 29 May 1 June 1995). Las Vegas, 1995. P. 683-692.

284. Watson D.F. Computing the n-dimensional Delaunay Tessellation with Application to Voronoi Polytopes // Computer J. 1981. Vol. 24 (2). P. 167-172.

285. Wilson R.B., Cruse T.A. Efficient implementation of anisotropic three dimensional boundary-integral equations. Stress analysis // J. for Numer. Meth. In Eng. 1978. Vol. 12. P. 1383-1397.

286. Wiener N., Hopf E. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen, S. B. Preuss. Acad. Wiss. 1932. P. 696-706.

287. Zhai J., Zhou M. Finite element analysis of micromechanical failure modes in a heterogeneous ceramic material system // J. Fract. 2000. Vol. 101 (1/2). P. 161-180.290

288. Zhang Ch., Achenbach J.D. A new boundary integral equation formulation for elastodynamic and elastostatic crack analysis // J. of Appl. Mechanics. 1989. Vol. 56. № 2. P. 284-290.

289. ATILA. Finite-element code for piezoelectric and magnetostrictive trans ducer and actuator modeling. V.5.1.1. User's Manual / Lille Cedex (France): ISEN, 1997.291