Методы глобального анализа в теории бифуркаций минимальных поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение i нелинейный анализ в теории минимальных поверхностей

§1.1 Принцип множителей Лагранжа в банаховом пространстве

§1.2 Некоторые теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле

§1.3 Теорема Крэндалла-Рабиновича о бифуркации решений нелинейных фредгольмовых уравнений ii метод условного экстремума в теории двумерных минимальных поверхностей

§2.1 Обобщенный оператор Плато

§2.2 Свойства обобщенного оператора Плато iii бифуркации минимальных поверхностей, являющихся нулевыми точками обобщенного оператора плато

§3.1 Разрешимость линеаризованной задачи двумерных минимальных поверхностей

§3.2 Бифуркации минимальных поверхностей как нулевых точек обобщенного оператора Плато при варьировании контура

§3.3 Примеры iv минимальные поверхности с ограничениями

§4.1 Разрешимость задачи двумерных минимальных поверхностей с ограничениями типа равенств

§4.2 О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями

Проблема существования минимальных поверхностей возникла в середине 19 века, когда в 1849 году бельгийский физик Жозеф Плато заметил, что если погрузить проволочный контур в мыльный раствор, то образуется пленка, которая по закону поверхностного натяжения принимает в качестве своего положения равновесия форму критической поверхности для функционала площади, называемой минимальной поверхностью, натянутой на контур [18].

В 40 — 50-е годы 19 века Гаусс, Томпсон, Дирихле, Риман, Вей-ерштрасс, Шварц, Дарбу и др.заметили, что граничная задача для дифференциального уравнения гармонических функций в области О, плоскости сводится к задаче отыскания минимума соответствующего функционала при условии, что допустимые функции имеют заданные граничные значения. В силу положительной определенности функционала, существование решения последней задачи было признано очевидным и отсюда сделан вывод о существовании решения граничной задачи. В 1869 г. возражение Вейерштрасса сводилось к следующему. Из положительной определенности функционала следует существование его точной нижней грани. Риман, как и его предшественники, считали очевидным, что точныя нижняя грань является точным минимумом, который осуществляет некоторая допустимая функция. Но именно это утверждение и требует проверки. Обоснование удалось Гильберту в 1900 году [17], он обосновал некоторые теоремы существования Римана, непосредственно доказав, что соответствующая минимальная задача действительно имеет решение.

Только в 1939 году Дуглис, Радо, Курант [17, 18, 36] доказали общие теоремы существования для задачи Плато размерности два.

Для более точного описания результатов диссертации, напомним определение минимальной поверхности. Зададим поверхность радиус-вектором и = и(х,у), (х,у) £ П С R2. Рассмотрим функционал площади

S(u) = J VEG - F2 dxdy, n где E = (ux, ux),F = (ux: uy),G = (uy,uy) — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Определение. Поверхности, являющиеся экстремальными для функционала площади S, называются минимальными поверхностями.

Выберем на поверхности (локально) конформные координаты. В конформных координатах F = О, Е = G. Записав функционал площади в конформных координатах, получим функционал Дирихле . г Е + G D(u) = J —-— dxdy. п

В [12] показано, что D(u) > S(u), а равенство достигается тогда и только тогда, когда F = О, Е = G, то есть координаты конформные. Любая экстремаль функционала Дирихле, для которой координаты (ж, у) оказались конформными, является экстремалью функционала площади. Обратное неверно. Для того чтобы получить все экстремали функционала площади, следует рассмотреть все экстремали функционала Дирихле, отобрать из них те, для которых координаты {х,у) оказались конформными, а затем подвергнуть (х, у) произвольной регулярной замене координат.

Итак, задача о существовании двумерных минимальных поверхностей в конформных координатах задается функционалом Дирихле и условиями конформности координат: U^ — Uy = 0, ихиу = 0. Для задачи с фиксированной границей добавляется еще и граничное условие и — tp(s\ s G 9Г2, где О — двумерный диск. дО,

В конце 70-х — начале 80-х годов 20 века А.Т. Фоменко, а затем А.А. Тужилин, Дао Чонг Тхи повторно провели эксперимент с мыльными пленками. Решена многомерная проблема Плато с фиксированной и деформирующейся границей в терминах бордизмов [11, 32 - 35]. Основная идея — введение стратифицированного объема объясняется тем, что при минимизации "старшего" объема в "младших" стратах могут происходить схлопывания и другие эффекты.

Т. Постон в [36] экспериментально исследовал бифуркацию минимальной поверхности, возникающую при непрерывной деформации одного специального контура, и нашел, что ее можно описать сборкой Уитни.

А.Т. Фоменко и А.А. Тужилин предложили исследовать ветвления графика многозначного функционала площади, построенного на пространстве контуров. Проанализировав пример Т. Постона и проведя физические эксперименты, они обнаружили, что соответствующие бифуркационные диаграммы описываются схемой "ласточкин хвост".

А.А. Тужилин [32, 33] вычислил индексы типа Морса классических минимальных поверхностей.

В 80-е годы A.J. Tromba [38] доказал, что множество функций, удовлетворяющих условиям конформности координат и определенных на данной области, является банаховым многообразием и проводил исследования на этом многообразии с применением теории степени фредгольмовых отображений.

Что касается аналитического метода исследования бифуркаций минимальных поверхностей следует отметить, что в многомерной вариационной теории Морса-Пале-Смейла-Саймонса [25, 38] имеется аппарат позволяющий делать заключения о существовании так называемых "сопряженных контуров"; однако свойство "со-праженности контура " оказывается лишь необходимым условием бифуркации на нем.

С другой стороны, в функциональном анализе имеются эффективные методы исследования бифуркаций решений нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах [1, 2, 5, 15, 16, 24], восходящие к Ляпунову и Шмидту.

В 80 — 90 годы 20 века А.Ю. Борисович применяет функциональные методы исследования проблемы Плато в пространствах

Соболева [3, 4, 34, 35]. Им установлено существование бифуркаций данной минимальной поверхности над прямоугольным контуром; параметрами бифуркации являются размеры контура. Построен оператор минимальной поверхности, действующий в нормальном расслоении, названный автором оператором Плато и ненулевые решения которого реализуют бифуркации минимальных поверхностей.

Основная идея диссертации состоит в применении к проблеме минимальных поверхностей метода условного экстремума в банаховых пространствах, восходящего к работам [13, 14, 22, 23]. В результате задача о существовании двумерных минимальных поверхностей сводится к исследованию на экстремум функционала Дирихле, а в качестве ограничений служат условия конформностй координат. Следуя терминологии в [4], получен обобщенный оператор Плато, нулевыми точками которого являются минимальные поверхности в конформных координатах. Подобный подход позволяет исследовать минимальную поверхность, проходящую через данный контур (рассматривается контур, гомеоморфный окружности 51), на существование бифуркаций от нее, но и получить условия, при которых они существуют. При этом не обязательно дифференцировать функционал Лагранжа по нормали к данной поверхности. Метод условного экстремума позволяет также рассмотреть математическую модель минимальной поверхности с "подпоркой", то есть поверхности, удовлетворяющей не только условиям конформности координат, но и условию закрепления в одной или в п внутренних точках области определения.

Результаты работы докладывались на конференциях "Международная научная конференция, посвященная А.Д. Мышкису" (2000 г.), Международная конференция Лобачевские чтения (г. Казань, 2001 г.), "Воронежская зимняя математическая школа" (2002 г.), на семинарах математического факультета Воронежского госуниверситета (семинары проф. Борисовича Ю.Г., проф. Перова А.И.), на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (семинар академика А.Т. Фоменко).

Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х работах и 3-х тезисах.

Диссертация состоит из 4 глав и 10 параграфов, содержит цитируемую литературу из 41 наименований.

Первая глава посвящена основным положениям теории условного экстремума; некоторым теоремам существования и единственности решения эллиптических краевых задач; теории бифуркаций, используемых в формулировках оригинальных результатов и их доказательствах в последующих главах. В параграфе 1.2 первой главы приведены результаты из монографии Ладыженской О.А. и Уральцевой Н.Н. [21] о разрешимости и оценке решений эллиптических уравнений с ограниченными старшими коэффициентами на липшицевой области Они существенно используется в третьей и четвертой главах. В третьей главе с их помощью удается вычислить размерность ядра линеаризованного обобщенного оператора Плато; в четвертой главе они используются для построения слабого решения в задаче минимальных поверхностей с ограничениями, которое получается путем построения аппроксимаций и доказательства их слабой сходимости.

Во второй главе применяется метод условного экстремума в банаховых пространствах к проблеме двумерных минимальных поверхностей. В результате получен обобщенный оператор Плато, нулевые точки которого являются двумерными минимальными поверхностями в конформных координатах; исследуются его основные свойства.

В параграфе 2.1 определяется обобщенный оператор Плато.

Пусть F\(u) = и2х — Uy, F2(u) = ихиу. Тогда задача о существовании двумерных минимальных поверхностей сводится к исследованию на экстремум функционала Дирихле при условии F\{u) —

0,F2(w) = 0. Граничное условие имеет вид В и = и — </?(s) — дП гомеоморфизм из 8Q в R3, s € д£1.

Следующая лемма показывает в каких соболевских пространствах действуют функциональные отображения F\,F2 : Лемма 2.1.1. F\, F2 : W42(ft) W}{tt).

Положим F(u) = Fi(u) ф F2(u). Получим задачу у

D(u) —> extr, -F(m) = 0, (2.1.5) - ip(s).

Составим функцию Лагранжа этой задачи

С(щ До, А*) = XqD(u) + X*F{u), (2.1.6) где Д0 € R, А* € И/21*(^) Ф — множители Лагранжа. Согласно [13], если uq — решение задачи, то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа Д и Д*, что

Си{щ Д0, Д*) - ДqD'(u) + F'*(u)X* = 0, (2.1.7) где F'*(u) : W2b(fi) ф W2b(Г2) W42*(ft) — сопряженный оператор к оператору F'(u) = (2их-§^ - 2иу^) ф (-j

Если wo не является регулярной точкой отображения F, то есть Imi^wo) не совпадает со всем пространством © то

До = 0 и уравнение Эйлера-Лагранжа в этом случае будет выгля-дить так: F'(uq)X* = 0.

Если щ — регулярная точка отображения F, то есть когда Im F'(uq) совпадает со всем пространством W^H) © W^H) то можно считать До = 1 и уравнение Эйлера-Лагранжа задачи запишется в виде D'(uq) + F'*(uo)X* = 0.

Определение 2.1.1. Нелинейный оператор

Ф{и, X*) = (Д0Аи + F'*(u)A*, F{u)) (2.1.12)

11 назовем обобщенным оператором Плато.

В параграфе 2.2 описываются некоторые свойства обобщенного оператора Плато.

Теорема 2.2Л. Обобщенный оператор Плато Ф(и,Х*) действует в пространствах

Ф : Wl{Q) х (W2b(fi) 0 х 0

Теорема 2.2.2. Отображение F'* билинейно на произведении W42(ft) х (W^ffi) 0 W^ft)).

Теорема 2.2.3.Оператор Ф является С°°-гладким по совокупности переменных (и, Л*).

Следующие две теоремы описывают свойства отображения F'* относительно и при фиксированном Л*.

Теорема 2.2.4. Оператор F'*(-)Л* переводит слабо сходящуюся последовательность из пространства W\(Г2) в слабо сходящуюся при фиксированном X*.

Теорема 2.2.5. Оператор F'*{-)X* : Wl(Q) W42*(T2) ограничен при фиксированном А*.

Теорема 2.2.6. Оператор F'*(u) : W^O) —► W%*(£L) ограничен при фиксированном и.

В третьей главе исследуется существование бифуркаций нулевых точек обобщенного оператора Плато при варьировании контура на поверхности за счет введения параметра, являющегося радиусом области в R2. Приводятся примеры бифуркаций катеноида, геликоида; отсутствия бифуркаций у плоскости и нулевой минимальных поверхностей.

В параграфе 3.1 строится линеаризация обобщенного оператора Плато и показавается разрешимость линеаризованной задачи.

С этой целью, на минимальной поверхности и(х',у'), заданной в конформных координатах (х',у'), меняющихся в области S С R2 рассмотрим контур, заданный краевым условием и = ip(s) где — двумерный диск радиуса /х, = {(ж', у') : х'2 + у'2 = /I2} С Н С R2,s G Изучается бифуркация минимальных поверхностей от данной и, проходящей через данный контур = {«(ж', у') : (;х',у') G дйц]. Область на поверхности, ограниченная контуром Гд, является условной критической точкой функционала Дирихле

D,(u) =Л / \Vu\2dx'dy', (3.1.1)

0,ц где V = (£т,£?), при условиях Flfl(u) = и2, - и2, = 0,F2m(u) = uxiuyi = 0.

С помощью замены независимых переменных х' = fix, у' = цу с диска перейдем на диск единичного радиуса = {(ж, у) : z2 + ?/2 = l}.

Обобщенный оператор Плато в координатах (х,у) выглядит следующим образом

Ф(и, А"» = (Aw + 1-F'*(u)\*, -^F(ti)). (3.1.4)

Исследуется на существование точек бифуркации задача

Ф(и, A*,/i) = О, и дП <p(s).

3.1.5)

Линеаризация по (и, А*) задачи в точке (щ, Ад) имеет вид

Ah + ±F>*(h) XI + Д^'*(и0)Г, %F'(uo)h) = (0,0), h дП 0.

3.1.6)

Справедлива следующая теорема. Теорема 3.1.3. Пусть выполнено условие эллиптичности по h задачи Ah + \F'*(h)\Z +

Ah + ±F'*(h)\*0 + ±F'*(u0)C = 0, h

ЭП * ц* = 0.

Тогда для любого £* £ W2X* Ф W^*^) существует и единственно решение задачи (*), принадлежащее h = h{C).

3.2.1)

В параграфе 3.2 доказывается теорема о бифуркации. Подставим решение (*) виде в уравнения конформности координат uoxhx — ЩуЬу ~ 0

ЩхЬу + u0yhx = 0, получим

Щх(КС))х - Uoy(h(C))y = 0 uox(h(C))y + uoy(h(C))x = О

3.2.2)

Теорема 3.2.1. Пусть (uq^Xq) — минимальная поверхность, заданная б области и соответствующий ей множитель Лагранжа соответственно. Предположим, что: (i) £о фиксирован и является решением системы (3.2.2); (И) /и o,Xq такие, что выполнено условие эллиптичности задачи (*); in) (\q, F(ho)) ф 0, где ho — решение задачи (*), соответствующее множителю

Тогда — точка бифуркации минимальной поверхности, являющейся нулевой точкой обобщенного оператора Плато.

В параграфе 3.3 вычислены множители Лагранжа для катеноида, геликоида, проверено выполнение последней теоремы для этих поверхностей (исследовано существование бифуркаций); что касается плоскости и нулевой поверхности, то вопрос о бифуркации остается открытым.

В четвертой главе построена математическая модель двумерной минимальной поверхности и(х,у), определенной на области Г2, с закрепленной на ней точкой, которая фиксируется условием и(хо,уо) = со = const для некоторой точки (хо,уо) G intfl.

В параграфе 4.1 это сделано с помощью метода условного экстремума. Наложение подобного условия приводит к появления нового множителя Лагранжа А € R. Записывая условие и(хо, Уо)—со = О в интегральном виде, получим, что обобщенный оператор Плато содержит 6 - функцию. С помощью процедуры "сглаживания", то есть замены 6 - функции на соответствующие гладкие функции <5е, получим серию операторов

Фе(и, Л*, Л) = (Аи + F'*{u)А* + А<5е, F{u)). (4.1.5)

Нулевые точки таких операторов образуют последовательность, слабый предел которой и является минимальной поверхностью с наложенным условием и(хо, уо) = со.

В параграфе 4.2 четвертой главы исследуется существование бифуркаций минимальной поверхности с закрепленной на ней точкой, где параметром является радиус области О,.

1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин; Москва, - Наука, 1969. - 528 с.

2. Бернштейн С.Н. Уравнения в частных производных / С.Н. Бернштейн; Москва, Мир, 1977. - 382 с.

3. Борисович А.Ю. О функционально-операторном методе исследования бифуркаций минимальной поверхности / А.Ю. Борисович; Деп. в ВИНИТИ АН СССР 24.06.1985г., реф. N4442-85 Деп.

4. Борисович А.Ю. Оператор Плато и бифуркация минимальной поверхности / А.Ю. Борисович // Глобальный анализ и математическая физика. Воронеж, Изд-во ВГУ, 1987, с. 142154.

5. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и степень Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук СССР, 1977. т. 32, N4. С. 3-54.

6. Борисович Ю.Г. Новая редукция двумерной проблемы Плато к фредгольмовому оператору с компактным возмущением / Ю.Г. Борисович, Л.В. Стенюхин // Международная конференция, посвященная 80 летию А.Д. Мышкису: Тез. докл. - Воронеж, 2000. - С. 62-63.

7. Борисович Ю.Г. Методы глобального анализа в теории бифуркаций минимальных поверхностей / Ю.Г. Борисович, JI.B. Стенюхин / / Труды математического факультета ВГУ. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001. - С. 24-32.

8. Борисович Ю.Г. Проблема Плато и условный экстремум / Ю.Г. Борисович, JI.B. Стенюхин // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001. - С. 24-28.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики /B.C. Владимиров; Москва, Наука, 1976. - 528 с.

10. Данфорд Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Дж. Шварц; Москва, ИЛ, 1958, т.1. - 612 с.

11. Дао "Чонг Тхи. Мультиварифолды и классические многомерные задачи Плато / Дао Чонг Тхи // Изв. АН СССР, 1980, 44, N5, с. 1031-1065.

12. Дубровин В.А. Современная геометрия / В.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко; Москва, Наука, 1979. - 760 с.

13. Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач. / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров; Москва, Наука, 1974. - 479 с.

14. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин; Москва, -Наука, 1972. 623 с.

15. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений / МА. Красносельский, Г.М. Вайнико, П.П. За-брейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко; Москва, Наука, 1969. - 456 с.

16. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко; Москва, Наука, 1975. - 512 с.

17. Курант Р. Методы математической физики / Д. Гильберт; Москва Ленинград, - ИЛ, 1951. - 573 с.

18. Курант Р. Принцип Дирихде, конформные отображения и минимальные поверхности / Р. Курант; Москва, ИЛ, 1953. -310 с.

19. Куффер А. Нелинейные дифференциальные уравнения / А. Куффер, С. Фучик; Москва, Наука, 1988. - 304 с.

20. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская; Москва, Наука, 1973. - 451 с.

21. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева; Москва, Наука, 1973. - 576 с.

22. Люстерник Л.А. Об условных экстремумах функционалов / Л.А. Люстерник // Матем. сб. 41, 3, 1934, С. 390-401.

23. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев; Москва, Наука, 1965. - 334 с.

24. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. / Л Ниренберг; Москва, Мир, 1977. - 232 с.

25. Саймоне Дж. Минимальные подмножества римановых многообразий. Целочисленные потоки и минимальные поверхности / Дж. Саймоне; Москва, Мир, 1973. - 245 с.

26. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев; Ленинград, -Изд-во ЛГУ, 1950. 230 с.

27. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев; Москва, Наука, 1966. - 492 с.

28. Стенюхин Л.В. О бифуркциях минимальных поверхностей / Л.В. Стенюхин // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во "ДАС", 2001, - т. 12. - С. 60 -61.

29. Стенюхин Л.В. О бифуркциях минимальных поверхностей / Л.В. Стенюхин // Воронежская зимняя математическая школа 2002. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2002. - С. 81 - 82.

30. Стенюхин Л.В. О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями / Л.В. Стенюхин // Международнаяшкола-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2002. - С. 76 - 77.

31. Стенюхин JI.B. О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями / JI.B. Стенюхин // Труды математического факультета. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2002, - вып. 7. - С. 137 -141.

32. Тужилин А.А. Индексы типа Морса двумерных минимальных поверхностей в R3 и Н3 / А.А. Тужилин // Изв. АН СССР, сер. матем., N 3, 1991, С. 581 607.

33. Т?ужилин А.А. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей / А.А. Тужилин, А.Т. Фоменко; Москва, -Наука, 1991, 176 с.

34. Фоменко А.Т. Вариационные методы в топологии / А.Т. Фоменко; Москва, Наука, 1982. - 344 с.

35. Фоменко А.Т. Топологические вариационные задачи / А.Т. Фоменко; Москва, Наука, 1984. - 323 с.

36. Borisovich A.Yu. Functional Topological Properties of the Plateau Operator and Applications to the Study of Bifurcations in Problems of Geometry and Hydrodinamics / A.Yu. Borisovich // Advances in Soviet Mathematics, Vol. 15, AMS, 1993, P. 287 -330.

37. Borisovich A.Yu. Bifircations in some equivariant Plateau problem / A. Yu. Borisovich // New Developments in Global Analysis, Изд во ВГУ, Воронеж, 1995, С. 3 - 8.

38. Poston Т. The Plateau problem / T. Poston // An invitation to the whole of mathematics, Summer College on global analysis and its applications, 4 July 25 August 1972. - International Center for theoretical physics. Trieste, Italy, 1972.

39. Rado T. On the problem of Plateau / T. Rado // Springer, Berlin, 1933. P. 51 - 63.

40. Simons J. Minimal varieties in Riemannian manifold / J. Simons // Ann. Math. 88, 1968, P. 62 105.

41. Tromba A.J. On the number of simply connected minimal surfaces spanning a curve / A.J. Tromba; Memoirs of the AMS, 12, 1977, p. 194.