Методы и алгоритмы синтеза нелинейных и инвариантных измерительно-вычислительных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДППЛ ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Л0М01 ЮСОВА

Физический факультет

На правах рукописи УДК 519.21:519.72

ФИЛАТОВА Светлана Анатольевна

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ И ИНВАРИАНТНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНО - ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМ

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ушной степени кандидата физико — математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена па кафедре физики атмосферы математической геофизики физического факультета МГ им.М.В.Ломоиосова

Научный руководитель: доктор физико-математических нау

профессор Ю.П.Пытьев Официальные оппоненты: доктор физико-математических на]

ГА-Ососков

кандидат физико-математических на) П.В .Шевцов

Ведущая организация: Киевский университет им.Т.Г.Шевченко

Защита диссертации состоится " " _1992 г.

в ^^ час, на заседании Специализированного Совета К053.05.1 и Московском государственном университете им.М.В.Ломоиосова и адресу: 119099, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет аудитория _

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физическог факультета МГУ.

Автореферат разослал " ^^ " Л^/г/г ¿ ¿ 1э92 г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета ПА-Поляков

; АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

; "' Проблема анализа и интерпретации результатов косвенных измерений занимает одно из центральных мест в современных экспериментальных исследованиях. Причем все возрастающую роль играют измерительные системы (ИС), обладающие сложной структурой. Существует целый класс универсальных подходов к исследованию «мерительных систем, однако для сложных измерений большинство из гах оказывается малоэффективными или практически непригодными, ;сли, например, ИС являются существенно нелинейными или имеют ,ело с больимми объемами данных.

Предметом настоящего рассмотрения являются именно те сложные гамеритсльные системы, для результатов измерения которых геобходима дополнительная обработка. Фактически, добавление к змерительной системе вычислительной компоненты, реализующей лгоритм обработки, приводит к появлению качественно новой змерительной системы, а точнее: измерительно— вычислительной истемы (ИВС). I! связи с этим, основной представляется не проблема \учшепия результатов измерений (например, изображений) как 1ковых, а проблема оптимальной (в определенном смысле) совместной эганизацни процесса измерения и процесса последующей обработки ?зультатов, т.е. проблема синтеза оптимальной измерительно — ¿числительной системы.

Для эффективной работы со сложными измерительными системами (обходимо учитывать как специфику самого измерения, так и раниченность имеющихся вычислительных ресурсов непосредственно постановке зaл¿lчи синтеза ИВС. 13 диссертации расматриваются такие ассы сложных ИС, как инвариантные и нелинейные измерительные стсмы.

К числу характерных представителей инвариантных измерительных систем относится широкий класс систем регистрации изображений, таких, как оптические сканируготгще системы, томографические системы, радары с синтезированной апертурой, системы трехмерной микроскопии и ЛР- Измерительные системы такого рода обладают ярко выраженными специфическими свойствами, а именно: результаты измерения таких ИС нуждаются в серьезной дальнейшей обработке; для -них характерна работа с большими объемами данных; эти измерительные системы обладают высоким уровнем инвариантности и определенными свойствами локальности.

Принципиальным моментом является то, что системы такого рода обладают инвариантностью относительно некоторой группы преобразований (например, сдвигов, а в ряде случаев также поворотов и отражений полей зрения сигналов). Оказывается, что адекватный учет такой инвариантности может существенно упростить решение задачи синтеза ИБС и, таким образом, значительно снизить вычислителыше затраты как для построения оптимальной вычислительной компоненты ИВС (алгоритма обработки), так и для ее дальнейшего функционирования.

Задача синтеза оптимальной ИВС для инвариантной измерительной системы ставится как задача построения оптимального отображения (алгоритма обработки) из класса отображений с заданным носителем функции влияния, например, с заданной формой окна сканирования. Оказывается, что при определенных условиях такое оптимальное отображение также будет инвариантным. Это позволяет существенно сузить класс, в котором строится оптимальное отображение, что принципиально упрощает решение задачи синтеза ИВС.

Следует отметить, что чем шире группа преобразований, относительно которой измерительная система является инвариантной, гем уже класс инвариантных отображегпш (и тем сильнее упрощается задача синтеза ИВС), и тем более высокое качество синтезированной ИБС можег быть достигнуто при заданных вычислительных ресурсах [память и время).

В задачах синтеза нелинейных ИВС нередко возникает потребность ч альтернативном к вероятностному описании недетермшшрованности измерений. В диссертации исследуется возможность описания язмерителышх систем в терминах многозначных отображений.

Оказывается, многозначные измерительные системы представляют достаточно богатый фундамент для постановки и исследования :одержателыплх прикладных задач. Кроме того, несмотря на очень тростой способ описания эксперимента, в терминах многозначных >тображений оказывается возможным выразить аналоги многих фундаментальных понятий теории вероятностей и математической ггатистики. А именно: совместное распределение, условное Распределение, принцип Байеса и другие. Это позволяет взглянуть на оке известные результаты с иной точки зрения и использовать методологию теории статистических решений в нестохастическом имггсксте. В частности, сформулированный принцип Байеса для шогозначшлх ИС играет такую же роль, как его вероятностный грототип в теории статистических игр. Важное достоинство описания пмерений в терминах многозначных отображений — это техническая гростота и геометричность основных понятий и результатов, юзяоляющие активно привлекать к рассмотрению задач еометрическую интуицию, а к их реализации на ЭВМ — методы омпыотерной геометрии.

Целью работы является разработка математических методов ] алгоритмов для решения задач синтеза оптимальных нелинейных 1 инвариантных измерительно — вычислительных систем и приложен» полученных результатов к ряду практических задач.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

— Предложено описание инвариантных стохастических измерительных систем, охватывающее широкий класс измерений, играющих важную роль в современной науке и технике.

— Развит математический аппарат, с помощью которого поставлена и решена задача синтеза оптимальных инвариантных ИВС, эффективно учитывающая инвариантность относительно заданной группы преобразований.

— Предложешшй подход позволяет синтезировать оптимальные ИВС даже в случае потенциально бесконечных полей зрения сигналов.

— Создано универсальное программное обеспечение для исследовательских, экспериментальных и обучающих целей для измерительных систем с одномерными и двумерными дискретными полями зрения.

— Предложен способ описания измерительных систем в терминах многозначных отображений. Подробно исследованы возможности данного подхода в постановке и решении задач синтеза оптимальных ИВС.

— Исследована аналогия данного подхода с теоретике — вероятностным. В рамках многозначного описания оказывается возможным выразить аналоги многих фундаментальных понятий теории вероятностей и математической статистики. Сформулирован и доказан принцип Байеса для многозначных измерительных систем.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ

— Проведено всестороннее рассмотрение типичных для современных экспериментальных исследований инвариантных измерительных систем.

— Поставлена и решена задача синтеза оптимальных ИВС, позволяющая наиболее эффективно учитывать инвариантность измерений, благодаря чему удастся достичь существенного повышения качества сшттезироватшой ИВС при фиксированных вычислительных ресурсах.

— Развитая техника синтеза многознач}шх ИВС позволяет активно привлекать к исследованию сложных нелинейных ИС геометрическую интуицию, а к реализации на ЭВМ — методы компьютерной геометрии.

— Полученные теоретические результаты успешно применены при решении ряда практических задач: экологического мониторинга атмосферы на основе лидарного зондирования; синтеза ИВС формирования изображений; создания математического практикума по исследованию измерительно—вычислительных систем.

— Полученные результаты носят достаточно общий характер, что позволяет применять их для решения широкого класса задач.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации представлялись на:

— XV Международной конференции по лазерному зондированию (Томск, июль 1990г.);

— 1 Международной конференции "Информационные технологии ) анализе изображений и распознавании образов" (Львов, октябр] 1990г.);

— X Всесоюзной школе по оптике рассеивающих сред (Минск октябрь 1990г.);

— XVI Генеральной ассамблее Европейского геофизического обществг (Вейсбаден, ФРГ, апрель 1991г.);

— Международном симпозиуме по геофизике и дистанционном} зондированию ЮАКББ'Э! (Финляндия, июнь 1991г.);

— XI Всесоюзном симпозиуме по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах (Томск, июнь 1991г.);

— 13 Всемирном конгрессе по вычислительной и прикладной математике (Ирландия, Дублин, июль 1991г.);

— Всесоюзной школе "Дистанционные радиофизические методы исследования природной среды" (Барнаул, сентябрь 1991г.);

— XIV Международной конференции по Когерентной и Нелинейной оптике (С.-Петербург, сентябрь 1991г.);

— V Всесоюзном симпозиуме по вычислительной томографии (Звенигород, ноябрь 1991г.);

— а также: на ежегодных школах молодых ученых МГУ по автоматизации научных исследований (1989—1991гг.) и научных семинарах кафедры физики атмосферы и математической геофизики физического факультета МГУ (1989 —1991гг.).

СТРУКТУРА РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка

литературы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении сформулированы и обоснованы рассматриваемые в диссертации вопросы и кратко изложены результаты диссертации.

В первой главе рассматривается общее описание инвариантных относительно некоторой группы $ измерительных систем.

Инвариантная схема измерения сигнала/.'

£ = Л/+ V

описывается инвариантным линейным преобразованием А и симметричной корреляционной функцией шума V. Здесь / £ и V являются функциями на некоторых пространствах.

Пусть вычислительная компонента ИВС выполняет некоторое преобразование R, т.е. преобразует £ в Rt, (функции на некоторых

пространствах Ж и U, соответственно). Задача синтеза ИВС на базе

инвариантной измерительной системы ставится как задача построения оптимального отображения R из класса отображений с заданным

носителем А функции влияния. Носитель AcMxll является отношением между пространствами К и U; (fl,v)eA, если точка he. К может оказывать влияние на точку veU посредством R. Оптимальное отображение R обеспечивает максимальную точность ИВС в целом, т.е. минимальную среднюю погрешность оценки сигнала Uf (функции на U) во всех точках V:

R: { Е II R£,-Uf\\ \ \ Re3iA } ~ min, Vüg U

Оказывается, если носитель А — симметричен, то оптимальное отображение R также будет инвариантным. Именно это позволяет

существенно сузить класс, в котором строится оптимальное отображение, что принципиально упрощает решение задачи синтеза ИВС. Фактически, решение задачи синтеза оптимальной ИВС сводится к решению: системы линейных уравнений, причем размерность этой системы тем ниже, чем выше уровень инвариантности измерительной системы. Приведенные формулы описывают структуру данной системы линейных уравнений. Решение этой системы полностью определяет структуру вычислительного преобразователя, т.е. его возможную реализацию в качестве вычислительного алгоритма на ЭВМ или в спецпроцессоре. Рассматривается, например, задача оптимальной обработки изображений, заданных на гексагональной сеггке. Если схема формирования изображения является инвариантной не только относительно сдвигов, но и относительно поворотов и отражений, то учет такой дополнительной инвариантности позволяет снизить вычислительные затраты по памяти — более чем в 100 раз, по времени — более чем в 1500 раз.

Использование инвариантного отображения К позволяет осуществлять обработку в реальном масштабе времени на компьютере или с помощью спецпроцессора, оптималышм образом используя вычислительные ресурсы. Особо следует отметить, что алгоритм обработки и сложность его построения (время, вычислительные ресурсы) не зависит от объема данных, подлежащих обработке, (например, размеров обрабатываемого изображения), поскольку задача может быть ориентирована на потенциально бесконечный набор измерений. Время обработки пропорционально объему данных, и может быть снижено за счет применения специальных численных алгоритмов (таких как быстрые алгоритмы свертки и др.) или спецпроцессоров.

Более того, во многих случаях сигнал может обрабатываться непосредственно после поступления, параллельно процессу измерения.

Чем "шире" группа преобразований, относительно которой измерение является инвариантным, тем более высокое качество синтезированной ИБС может быть достигнуто при заданных вычислительных ресурсах (память и время). Это приводит к тому, что некоторая реорганизация измерения может привести к существенному "расширению" группы преобразований. В частности, эти соображения могут определять выбор схем сканирования для оптических или радиолокационных ИВС формирования изображений, в томографии и т.д., обеспечивающих максимально высокую инвариантность измерительной системы.

Рассматриваются примеры инвариантных ИС, включающие, в частности, примеры ИС формирования изображений на прямоугольной и гексагональной сетках.

В разделе 1.5 поставлена и решена задача калибровки для инвариантной ИС с неточно заданной информацией об операторе А. Априорная информация об операторе А в схеме измерения определяется как вероятностная мера (2 на пространстве всех возможных линейных операторов. Для серии калибровочных измерений известных сигналов вводится понятие калибровочной стратегии /3 как отображения, переводящего результат калибровочных измерений Щ в некоторое вычислительное преобразование Задача

¡салибровки ставигся как задача построения калибровочной стратегия Зф оптимальной относительно априорной информации О,, то есть такого отображения, которое доставляет минимум функционалу

Р)= ЕфЕдЛС(}(ЦГ),А) , где — погрешность

толпой ИВС для задагашх К и А. В силу байесовского принципа,

оптимальным оператором относительно априорной информации (2 результатов калибровочных измерений у/ будет оператор, оптималыи относительно условного распределения

В разделе 1.6 описана реализация полученных результатов д измерительных систем с одномерными и двумерными полями зрения квадратной и гексагональной сетках.

Во второй главе для описания недетерминированности измереш предлагается использовать, многозначные отображения. А имени считается, что измерительная система а задана, если для каждого /е

определено множество всех возможных результатов измерени отвечающих сигналу /, обозначаемое а/. Тогда тот факт, что £ являет« результатом измерения/ записывается как

а/

Далее прослеживается аналогия описания ИС многозначным отображениями с теоретико—вероятностным Описанием. Оказываете что практически все фундаментальные понятая теории вероятностей математической статистики имеют свои аналоги в новом контексте. : таким понятиям относятся понятия распределения, совмесгног распределения, условного распределения, независимости и др.

В разделе 2.3 рассматриваются задачи синтеза оптимальны многозначных ИВС. Пусть 11 — некоторое фиксированное множеств — пространство интерпретаций, и на множестве всех пар € %й определена функция — качество интерпретации £ для сигнала/.

Сначала рассматривается тривиальная задача принятия решешн для многозначных измерительных систем. Пусть имеется априорнш информация 9* С 3), то есть известно, чгго сигнал / всегда содержится I множестве Тривиальная задача состоит в построении элемент«

gtf e U, минимизирующего максимально возможную погрешность интерпретации относительно априорной информации З1:

hjg) = sup{ h(f, g) | /е 9 }

To есть

ftj(^J = min{ htfg) | ge U }.

Далее ставится задача синтеза оптимальной ИВС на базе данной ИС a:cJ)—^%. Пусть для трансформации результатов наблюдения ¿J е %

используется некоторое отображение г:31—^11. Тогда, при данном сигнале / и результате измерения § погрешность интерпретации равна h(f, rt). Поскольку каждому значению / может отвечать целое множество а/ значений то определим погрешность отображения Г при заданном £ как:

H(f,r) = sup{h(f,rt;) j §е<2/} Наконец, подобно тому, как при заданном З' критерий h порождал критерий hy на множестве U, Н порождает критерий Ну на множестве всех отображений из % в U:

Щт) = sup{ H(f,r) |/б?}

Наконец, задачу ситпеза оптимальной ИВС поставим как задачу построения такого отображения что

min{ Щг) | }

Цешгым фактом для решения задач синтеза ИВС является то, что эбщая задача сводится к тривиальной в силу следующего утверждения, шалогичного байесовскому притщипу в теории статистических игр. Пусть для фиксированных распределения

9 cz 2) и переходного

тспределепия Ь.'оИ—ьЗ) — условное распределение /

относительно и пусть для любого ¿|€ а9 существует решение

тривиальной задачи, оптимальное относительно условп

В разделе 2.4 рассмотрен случай, когда пространст интерпретаций является метрическим пространством. Обыч критерий качества Н определяется метрикой этого пространства. П этом решение задачи синтеза сводится к задаче построения цент шара, описанного около заданного множества, т.е. к одной классических задач компьютерной геометрии.

В следующих разделах приведены некоторые приме] многозначных ИВС, описана реализация алгоритма синте оптимальной ИВС для упрощенной модели лидарного зондирован* Далее исследуется линейная модель измерения с аддитивным шумом.

Третья глава посвящена приложениям полученных результатов практическим задачам лидарного мониторинга атмосферы.

В разделе 3.1 приводится описание измерительно — вычислит ельн< системы на базе лидарной измерительной системы для определен] концентраций поглощающих примесей в атмосфере по мет о^ дифференциального поглощения. Лидарная измерительная систел представляет собой сложную нелинейную систему больше размерности, однако позволяет произвести последовательно параллельную декомпозицию на простые компоненты: линейную И< ряд простых параллельных нелинейных ИС, многомерную линейну пространственно— инвариантную ИС, для каждой из которых строит< оптимальный вычислительный алгоритм. Полный алгоритм обработк (вычислительная компонента ИВС) представляется в ввд

параллельно — последовательной композиции соответствующих алгоритмов.

Раздел 3.2 посвящен проблеме калибровки лидарной ИБС. В \адарных исследованиях приходится сталкиваться с тем, что модель измерения известна неточно. Концепция калибровки ИВС реализована и действующей лидарной измерительно — вычислительной системе для определения концентраций атмосфертлх примесей в зонах тромышлешшх предприятий в реальном масштабе времени. Лидарная 4ВС создана на базе аэрозольного лидера.

Вычислительная компонента лидарной ИВС реализует комплексное )птимальное преобразование сигнала на основе адекватного учета: шриорной информации об измерительной системе, априорной информации о примесях или о распределении по размерам, алиброяочпых данных, данных лидарных измерений, формируя на ыходе оценки концентраций интересующих примесей или распределения частиц по размерам.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Поставлена и решена задача синтеза охггимальных ИВС, озволяющая наиболее эффективно учитывать инвариантность змерений, благодаря чему удается достичь существенного повышения ачества синтезированной ИВС при фиксированных вычислительных всурсах. Разработана универсальная математическая техника для ^следования и решения задач синтеза инвариантных ИВС.

Поставлена и решена задача калибровки инвариантных змерительных систем.

3. Разработаны алгоритмы и создано универсальное программно« обеспечение для исследовательских, экспериментальных и обучающие целей для измерительных систем с одномерными и двумерным» дискретными полями зрения.

4. Предложен и исследован способ описания измерительных систем б терминах многозначных отображений. Подробно исследовань возможности данного подхода в постановке и решении задач синтезе оптимальных ИВС. Сформулирован и доказан принцип Байеса для многозначных измерительных систем.

5. Разработана математическая техника для исследования многозначных измерительных систем. Поставлена и решена задача синтеза многозначных ИВС действующих в метрическое пространство.

6. Полученные теоретические результаты применены при решении следующих практических задач: определение концентраций поглощающих примесей в атмосфере по методу дифференциального поглощения; экологический мониторинг атмосферы с помощью лидарной ИВС на базе аэрозольного лидера; синтез ИВС формирования изображений; создание математического практикума по исследованию измерительно — вычислительных систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. A.V.Kurbatov, A.V.Migulin, Y.P.Pytev, S.A.Filatova. The Use oí Mathematical Reduction Technique in Lidar Measurements. 15th Int. Laser Radar Conference. Abstof papers, p.2, Tomsk, USSR, 1990,p.205 - 207.

2. Golubtsov P.V., Kozlov Л.Л., Pyt'ev Yu.P., Filatova S.A., Chulichcov A.Í. 1990, Hyperhigh Resolution Measuring Computer

System, Proceed. 1st Int.Conf.on Information Technologies for Image Analysis and Pattern Recognition ITlAPR'QO, USSR, Lviv, pp.34-38.

3. Голубцов П.В., Филатова C.A., Оптимальная локальная редукция для пространствешто — инвариантных измерительных систем// Математическое моделирование. 1990 Т. 2, №10, С.61—66.

4. S.A.Filatova, Yu.P.Pyfev, P.V.Golubtsov, A.V.Kurbatov, AV.Migulin. Structure of Measuring — Computer System for Laser Remote Sensing of Athmosphere. XVI General Assmb. of European Geophysical Society. //Annales geophysicae, Supp. to Vol.9, 1991,p.566.

5. S.AFilatova, P.V.Golubtsov, YuP.Pyt'ev, AV.Migulin, AV.Kurbatov Laser Monitoring of Atmospheric Impurities: Structure of Measuring —Computer System. Int.Geoscience and Remote Sensing Symposium IGARSS'91, June 3—6, 1991, Espoo, Finland. Abstracts of IEEE/URSI meeting, p.120-121.

6. П.В.Голубцов, С.АФилатова. Измерительно—вычислительная система формирования и коррекции изображений в атмосферной оптике. Тез. докл. XI Всес. Симп. по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах, Томск, 1991, с.106.

7. П.В.Голубцов, Ю.П.Пьггьев, С.А.Филатова. Измерительно — вычислительная система для лидарного мониторинга атмосферных примесей. Тез. докл. XI Всес. Симп. по распространению лазерного излучения в атмосфере и водных средах, Томск, 1991, с. 184.

8. FilatovaS A. and Golubtsov P.V., 1991, Invariance in Optimal Synthesis of Image Formation Measurement Computer Systems, Proceed. 13th World Cong, on Computation and Applied Mathematics IMACS'91, Ireland, Dublin, July 22-26, Vol.3, p.1010.

9. Filatova S.A., and Golubtsov P.V., 1991, Invariant Measuremei Computer Systems/Pattern Recognition and Image Analysis, 1, no.2.

10. Голубцов П.В., Пьггьев Ю.П., Филатова C.A. Структур измерительно—вычислительной системы в лидарно! зондировании атмосферы. Тез. докл. Всесоюзной пи Дистанционные радиофизические методы исследовали: природной среды. Барнаул 1991. с.6 —7.

11.. Голубцов П.В., Пытьев Ю.П., Филатова С.А Задача кали броню для ИВС лидарного зондирования атмосферы. Тез. докл Всесоюзной пне Дистанционные радиофизические методь исследования природной среды. Барнаул 1991. с.60—61.

12. Голубцов П.В. Филатова С.А. Учет инвариантности i измерительно вычислительных системах формировали* изображений. Тезисы XIV Межд.Конф. по Когерентной v Нелинейной Оптике КиНО'91, СССР, С.Петербург, 1991, Т.1, с.82 — 83.

13. Голубцов П.В., Ермолаев А.Г., Михеев О.В., Филатова С.А. Метрологические задачи лидарного зондирования атмосферы.

И сел. в области измерений времени и частоты: Сб. научн.тр. /НПО "В1ШИФТРИ". — М.~ 1991. —С.76 — 81.

14. П.В.Голубцов, Ю.П.Пытьев, С.А.Филатова. Измерительно— вычислительная система для лидарного мониторинга атмосферных примесей. //Оптика атмосферы, 1991, т.4, №10.