Методы исследования корректности разностных начально-краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБ7РГСКИЙ ГООТЙРСТБЕШШЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БАКАЕВ Николай фьевич

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОРРЕКТНОСТИ . РАЗНОСТНЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

01.01.07 - Вычислительная математика, 01.01.02 - Дифферевоиальные уравнения

Автореферат

Диссертации за соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1991

Работа выполнена в Научио-иселедовательсхеы институте импульсной техяикн (г.Москва) •

Официальны* оплоив!тн: доктор физико-математических «ауж, профессор Азбелев Николай Викторович;

доктор физико~иагвнатич!Ских шаук БакушикехиЙ Анатолий Борисов» доктор физико-матем&тичасккх наук Деыьянович Юрий Казимиро»ич

Вегушая организация: . МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ. ИНСТИТУТ

Защита состоится *♦ » чм^л^^р^. 1992 г. 1 —час, на заседании специализированного совета Д 063.57.30 по защит» диссертаций на соискание учеюР степени доктора физихо-ыатемагических наук в Санкт-Петербургской государственной унгаерва-тет».

С диссертацией моею ознакомиться 1 бвбдивте и ив к и М.Герькего Санкт-Нетербургсквго университета

Автореферат разведан * 1£)" ,Л4{Л сс^А. 1992 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ ОЕШШЗИРОВАННОГО СОВЕТА £ 063.57.X дошит С.А.Сушхов

Подписано в печать 02.01.92 г. Формат 60x90/16

Уся.п.я. 3,35. Печ.я. 2,75- Зак.121?. ТярЛОО эка.

Типография ВША имени Я.Е.Жуковского

ОБШ ХАРАлТЕЙЮЕ'Ш. -РАБОЙ

Реферируемая работа посвящена разработке нового направления теории методов исследования корректности разностных начально-краевых задач, характеризуемого последовательным учетам айали-1ческих структурных свойств этих задач. Развитей з диссертации здход позволяет выработать принципиально ноаке матеду решения зпросоз корректности, эффективно работающие в широком классе зилокений. 3 работе достроена общая теория корректности раз-эстных схем канонического вида в банаховых пространствах, кс-гедованы вопросы корректности разностных схем для аОстрактных ¡рзболических уравнений, изучены-классы корректных разностных сем для уравнения теплопроводности.

Актуальность теш. К настоящему моменту разработан ряд ш->авлений исследования корректности (устойчивости) разностных дач, например, мзтод преобразования Фурье, метод разделения ¡ременных, метод дифференциального приближения, метод энерге-1ческих неравенств, метод оценки функции Грина, метод, осноеак-гй на принципе максимума, и другие, ориентированные на более и менее конкретные классы задач. 3 последнее зреыа большое спространение получила трактовка разностных задач как onèpsîop-i-разностшх уравнений с параметром б банаховых (в частности, гильбертовых) пространствах, что позволяет с общих позиций дходить к исследованию разностных схем, используя методы тео-и операторов и дафферэнхшэльнкх уравнений. 3 рамках этой кон-шхии были развиты обдие подхода к исследованию корректности •стойчивости) разностных схем, охватывающие многие практические accu разностных схем и операторов задачи. 3 случае гильберто-х пространств построена в основном законченная теория коррект-сти главным образом на базе результатов работ А..А.Самарского,

А.В.Гудина и др. Последовательное изложение этой теории дано, например, в монографий А.А..Самарского, А.В'.Гулина "Устойчивость разностных схем. - Ы.: Еаука, 1973." Основным исходным моментом теории корректности разностных схем в гильбертовых пространствах является возможность подбора такой норш, в которой оператор перехода схемы оценивался бы единицей'или, по крайней мере, величиной + , а« Соп-ьЬ , где гг - шаг разностной сетки. Тогда произведения таких операторов оцениваются по норме некоторой константой, откуда .сразу же выводится свойство устойчивости. Однако, в случае произвольных банаховых пространств, как правило, норма оператора перехода существенно больше единицы, и указанный выае способ доказательства устойчивости не проходит. Таким образом, сложность геометрии произвольных банаховых пространств приводит к усугублению трудностей при исследовании разностных схем. многие работы были посвящены установлению априорных оценок в конкретных норках - равномерной норме и норме прос ранстза функций, • суммируемых со степенью |>. . 3 последние годы были также получены результаты по корректности разностных схем з нормах произвольных банаховых пространств на базе трактовки разностных схем как одерагорно-разностшх уравнений в этих прос рзнстзах. Важное место здесь занимают работы, выполненные П.Е.С болевекам и его учениками, Р.Хершем и Т.Каго, ¿.Бреннером и З.Тоиэ. Исследования, проведенные Р.Хершем, Т.Като, и.Ьреннероь •З.Тсш позволяют построить общие подходы к изучению корректное: разностных схем, применимые з широком классе схем, в т.ч. аплр< ксижрувдих начально-краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений. В то же время, область приложения резуль тов этих работ ограничена в том смысле, что они применимы к ра костным схемам с постоянный (т.е. не зависящим от номера слоя

зетки) оператором перехода, являвдшся функцией от исходного шератора задачи. Результаты работ ¡пколы Д.Е.Соболевского могут Зыть использованы для исследования корректности разностных схем, аппроксимирующих начально-краевые задачи для параболических равнений с переменными по времени и пространству коэффациента-№. Однако, развитые в этих работах методы ориентированы лишь и специальные классы разностных схем, не содержащие многих вак-гых практических схем.

Таким образом, до последнего времени не существовало общей :еории корректности линейных разностных схем в произвольных байховых пространствах, примепамой для анализа широких классов ;хем (в т.ч. с переменным оператором перехода, не обязательно шляющимся функцией от исходного оператора■задача). Ввиду выше-:казанного представляется чрезвычайно важным и актуальным разра-ютка общей теории корректности разностных схем со следующими юзможностями:

1°. наличие конструктивных, легко проверяемых на практике кри-'ериез корректности разностной задачи;

2е. допустимость рассмотрения и описания в ра?>®ах единообразно подхода широких .классов используемых ь приложениях разност-:ых схем, з т.ч. расщепленных разностных схем, схем с обобщенны-и исходными данными и др.;

3 . приемлемость теории для исследования задач с широким на-ором допустимых разностных операторов;

. о

4 . использование з принципе в качестве исходных - ароизволь-ых банаховых пространств.

Цель работы состояла в разработке общей теории корректности азяостных задач в банаховых пространствах, единообразно подхо-

дяще£ к'изучению разностных задач различные конструкции и допуска*:¡¿ей реализацию указанных выше требована! Iе-4е, в применении этой теории для анализа корректности разностных схем, возникаю-"

ири дискретизации абстрактных параболических уравнений, и, наконец, в построена практических критериез проверки корректности з шкалах сеточных банаховых пространств , 14 р^ &о (сеточник аналогов пространств Лебега) разностнзгх схем, возникающих в задачах теплопроводности.

Научная ноаизнз раоотн. В диссерта^ш впервые получены обще утверждения. о корректности линейных разностных схем в банаховых пространствах э теринах спектральных ограничений на так назнва-

■ экь'Й. генератор схекгг. На базе эти. результатов установлены совер аекно нозие критерии корректности разностных схем для абетр2кт-

■ кых параболических уравнений в терминах согласовании ограничена! на скашолы-разностной схемы а на спектральные характеристика исходных операторов разностной задачи. Указанные критерий позволяет дровести проверку корректности для значительно более широки до сравнению с ранее известны® семейств разностных схем. При зток, ряд ранее установленных результатов обобщен в различных на правлениях или усилен, лрсме того, вызедены новые условия коррег кости з скалах пространств , 4 4 р ¿оо разностных схем для иервоп к третьей начзльнэ-крзегдг. задач теплопроводности з тер-глинах ограничений на символа разностной схемы и кг гладкость козй^щиектсв исходной задачи, эффективно работаете 2 доголзво шроких классах разностных схем.

Тео'озтйР.ддкзя к яздатическая ценность работа. Предложенный в диссертации подход к гкзлпзу корректности разностных задач имее-весьг^а широкий диапазон применения. На его основе могут быть ис< следована не только изученные з работе метод Рушге-луттн и лине:

¡й многошаговый метод (ухе порождающие довольно широкие классы 13Н0СТШХ схем), но и другие известные методы дискретизации, на-!:азер, многоаэгоэы2 ьяогсстадший «етод, метод Розенброка, ме-|Д З.А.динокуроза с др. Раззнтая в работе операторная техника, так^е :,:етсдикд доказательств основных утверждений являются ори-;налыг«ш а представляют аооджс всего прочего а самостоятельный :?ерес для оочеи теория разностных и дифференциальных уравнений. :я деле:: практических црвлсхйешй установлены простые коксгрук-[вньге критерии корректности в шкалах сеточных пространств ¿¡.^ > разностных схем метода Рунге-Кутты и линейного многоша-!вого метода для начально-краевой задачи теплопроводности, корне могут быть распространены з принципе и на другие указанные :ше методы дискретизации. Кроме того, эти критерии легко могут :ть приспособлены для проверки корректности разностных задач, рождаемых, параболическими уравнениями з частных производных сишх (четных) порядков в пространстве или полупространстве. Аппобашя работы и публикации. Основные результаты диссертации кладызались ка:

- Межотраслевой научно-технической конференции "методы и сред-ва исследования однократных импульсных процессоз" («юскза,

90 г.), 24-й Воронежской 32!,шей математической школе (Зоронек, 31 г.), лекдунэрсдной конференции "Некорректно поставленные за-чи'з естественных науках" О-осквз, 1551 г.), всесоюзной матема-ческой конференции и I математической сколе по вычислительным укам (Лесная Доляна, 1951 г.);

- семинарах математических кафедр Механико-математического фа-

культета ¿московского государственного университета, факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университетз, «¡атематико-механического факультета Санкт--Детербургского государственного университета, Новосибирского государственного университета, Уральского государственного' университета, Воронежского государственного университета,- Пермского политехнического института, Московского инхенерно-физическо-го института;

- семинаре .¡¡аборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований (Дубна) и опубликованы в работах С 1-25).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (часть I), трех основных содержательных частей (части 2-4) к заключения (часть 5), а также содержит список литературы из 157 наименований и I иллюстрацию. Общий объем диссертации -- 287. стр.

С0да^-АН/1Е РАБОТЫ

Всюду яике сохраняется нумерация утверждений, определений и формул, принятая в тексте диссертации.

Во введении (часть I) цроанализировано современное состояние исследуемой проблемы, представлено содержание диссертации.

В части 2 изложена общая теория корректности линейных двухслойных разностных схем канонического вида в банаховых дростра* ствах.

В разделе 2.1 приведена постановка задачи а даны исходные опре-еления.

Пусть заданы семейства банаховых пространств Е^ и , ( ^ , ричем имеет место вложение Е^ с , равномерное по е 7С той смысле, что

усть также на промежутке [0JT] ,TsC0H.it*(Ь,оо] задано семейст-

0 сеток

шагом £>0 .В семействах; пар пространств^Ед^Е^ и сеток

рассмотрим двухслойную.разностную схему следующего канони-зского вида

¡;е ^ е - функция дискретного аргумента ¿к € , под-;жзщая определению; ^¿(ЗД - заданная функция дискретного ¡гумента Ьк со значениями в Ед^ , зависящая как от параметров ' V и X, и определяющая неоднородность в схеме (2.1.1); Е^ - начальное данное; ,Л^С^У и - некоторые

:2ствухвде в линейные ограниченные операторы, зависящие как

1 параметров (за исключением ), а татае от "С и г. . Оператор называется генератором разностной схемы >.1.1), а операторы ^.^(¿^ и - операторами сглакивания огзетственно по правой части и начальным данным.

К исходным данным схемы (2.1.1) относятся начальное данное

ас полная латах, а та те понятия полной (неполной) разрешимости рззяэетиод задачи (2,1.1) и ее полного (неполного) решения (тер-ыняи "полная разрешимость" и "полное решение" считаются эквивалентными соответственно терминам "разрешимость" и "решение"). Т#риайййогяя, связанная' о введением понятий обобщенных исходных даяшх, неполной разреаишстя задачи (2.1-Х) а ев неполного реше-

»•V

, иия, существенна» когда нормы .пространств Е^ и не являются равномерно до Я. е ■ зйзаэзлентвнш,

Ов^еДелеяйе 2,1,1, Пусть зэдэеы семзйетззо банаховых пространств семейство сеток с шагомК" . *£0мЬ>6), говорить, что действдаай в £ линейный ог-, раяичшашй (для .ткйего рксдрованного допустимого набора . оператор А^СЬЦ) удовлетворяет СД^--уеловии вря некотором натурально?»! А , есла

,1) спектр одоратора при в

принадлежит эашйугому связному жо-мсчщ А (с конфигурацией,' н& аавйс^щей. ©т 4? , , ), которое является объединением круга

й шкчмого мазаеетва сэкторов вида

[л.-, |

гд§ дадороэдвдй конечный набор точек на

окрршбитй .

причем ^ * 0 ;

2) выпояштзя ецек'^а вад©

- Л -

Ул 6 А, (О,Г,], УЛе 6 ¿£г

с некоторой константой Се , не зависящей от «Я. , , .

3 дальнейшем любое множество комплексной плоскости с конфигу-рацией.аналогачной конфигурации множества Л в" определения 2.1.1, называется множеством с конфигурацией типа (Л^ » а ?оч-ки на окруености{а;1а-11=^| - особыми точками.

Определение 2.1.2. Пусть заданы семейство банаховых пространств ¿^ , Д.е'Й и семейство сеток «Л^ с шагом Ьудем говорить, что действующий в ¿^линейный ограниченный оператор ^ , удовлетворяет-условию при некотором натуральном 9 1 , если

1) спектр оператора[^^.дФ^цри всех .Ле^ , «7^. принадлежит замкнутому множеству Л г , которое определяется .соотношением '

где А. - фиксированное множество с конфигурацией типа (А^) ;

2) выполняется оценка ' д

с некоторой константой С4 , не зависящей от «я , гг , Л- , .

5 разделе 2.2 установлены общие теоремы об устойчивости линейных двухслойных разностных схем в банаховых пространствах, представленных в каноническом'зиде (2.1.1), в случае Е^з Развитые здесь концепции являются основополагающими для всей работы. Использование спектральных характеристик генератора схемы

¿(^а*) и выделение особых точек множеству, содержащего спектр оператораЕр-т^Х^*^ • дайТ возможность сфошулиро вать достаточные условия, обеспечивающие подавление механизма генерации неустойчивости. Кроме того, показано, что операторы сглакивакия определенной конструкции дозволяют нейтрализовать негативную роль части особнх_точек и в принципе получать более сильные'характеристики устойчивости разностной схемы.

В пункте 2.2,1 установлены .основные исходные оценки на базе аппарата функциональногр исчисления■операторов в банаховом пространстве.

Эти оценки применены в пункте 2.2.2' для вывода априорных нера-• венсгв, зыразашщх устойчивость разностных схем вида (2.1.1) с достоянным (т.е. не зависящим от номера слоя разностной сетки) генератором.

Теорема 2.2.1. Пусть для разностной схемы (2.1.1) выполняются ограничения -^¿Д*)2 Л^, г .и генератор

удовлетворяет СА:^. } -условию в семействах пространств Ед^ И сеток со ^ . Тогда .при Т 00 справедлива следующая ацриорная оценка для решения задачи (2.1.1)

с некоторой не завлсяцеп от к , т , &>, константой Сг . ¿ели хе выполняется более жесткое (А^) -условие, то оценка (2.2.19) име ет место и при Т - 00 , т.е. для К.«<7,4.,...

Теорема 2.2.2. Пусть для разностной схеш (2.1.1) выполняются

51 , и генератор удовлетворяет (А±т) -У^"102123 ь семействах пространств Е^ и сг ток .-Тогда ириТ<0° справедлива более сильная, чем (2.2.15 оценка

I ^ггд^® 11^ М^"51 : ««.а,,

-г ± 1 Р^и!^], к -ОЛ-ЛУ*,

некоторыми неотрицательными константами Сг , не зависящими ; К , 1: , Д. , | . В случае выполнения более жесткого >зия оценка (2.2.20) имеет место и при Т =«*>, т.е. для любых = ОД, •.. , а константу можно принять равной нули. Теорема 2.2.3. Пусть для разностной схемы (2.1.1) выполняются 'раниченж генератор удов-

¡творяет СЛЛк)-Услоащз 3 семействам пространств и сеток операторы сглакивания и подчдндатсл условна

;е А^ - множество из определения 2.1.2, и ограначены в Е^ра'в-мерно по Я.б'Ж. . Тогда при Т* 00 дан решения ^.(¿^раз-

1Стной задачи (2.1.1) справедлива априорная сценка вида (2.2.20). ли же оператор ^^ удовлетворяет -условию, а множество

вырокдается в множество А (инснеотзо из определения 2.1.1), оценка (2.2.20) выполняется и при Т = 00 , т.е. для Ук=0Д... , константа тго^ет Зыть поломана равно:; нулю. . В пункте 2.2.3 выведены априорные неравенства з случае схем' да (2.1.1) с переменным (зависящим от номера слоя сетки) гене-тором.

Теорема 2.2.5. Пусть для разностной схемы (2.1.1) выполняются раничения £ 51 , а генератор •ИцбО удовлетворяет

^чг) ~УСЛ0ВШЗ в семействах пространств Е^ и сеток ^ и подчл-

няется требованию гладкости по параметру tK в форме с некоторыми константами Cs О

Тогда при Т * 00 для схемы (2.I.I) тлеет место априорная оценка

I Wl'jeM,* I»•«"

У t i (о,г.], VI.TL, V t. < ЙГ., Vi «[о, i>

с некоторыми неотрицательными константами С€ (X) >/*». не зависящими от X , Л. , Ьк ( Cf(t) может зависеть от I ). • Теорема 2,2.6. Пусть для разностной схемы (2.I.I) генератор удовлетворяет (Л ¿^-условию в семействах пространств и сеток «Jj. и подчиняется требованию гладкости по параметру " tk б фоше

IfüaiUr Ш^-Ш <1* С, [ М/.

V* 6 (о,гД VI« У к/: о^ * ■Т/г, 04 К *1Т/г - i, Vu. 6 Е^

с некоторыми константами ^ I(/«t Ö , не

зависящими от , t , X. , к , , и. (при этом предполагается, что оператор St^lß**) имеет обратный , который оп-

ределен на'множестве значении оператора ¿) ПРИ -ИЗых

сированных г е(о, ггс] Д * ^ , Ьк> е ^ ). Пусть, креме. ТЭго, операторы сглакивакия и А.^ удовле?ЩУ8ЭТ ееотношенйю

I к. (^¿А^М^1 и^ЛПА^ с,

где Л^ - множество из определения 2.1.2. ТоГДЭ ДрйТ^ев длй решения разностной задачи (2.1.1) справедлива йЯрернэя бдёйиа вида (2.2.41).

3 пункте 2.2.4 доказаны утверждения о сохраним сэдйй?ВЗ- устойчивости разностных схем при"слабых" возмДОкШС Рвнйрагбра ойбМы мы. Зти результаты -оказываются весьма.полезными при жзучешщ корректности конкретных практических классов разностные а%дц,

Раздел 2.3 посвящен выводу общих теорем об устбйчквеотя рзе» щелленных разностных схем в случае Е^ 3 , У Я. е . йоход= нам здесь является представление схемы в каноническом ЭйДё (2.1.1) при дополнительном предположении о возмоннб&9?и ел§ду}за&" го представления генератора

=^ХО+ЛаА) - ^аА)

с некоторыми линейными ограниченными з Е^ операторам! /^^(^У

. Ксследозание проблемы ограничивается рассмотрением елу- . чая ^^(Ь^) = . Таким образом, в рамках указанных пред-

положений изучаются в семействах пространств Ж И се-

ток расщепленные разностные схемы вида

Операторы йбШШйгея парциальными генератора!,щ

схеш (2.3.2).

Ьольшоё интерес для приложений. и весьма существенные трудности для исследования представляет случай, когда парциальные генераторы не коммутируют друг с другом. Удалось получить содержательные результаты в рамках предположения о так называемой почти

в том, что кошутатор парциальных генераторов хотя и отличен от нуля, ко "слабее" по силе их произведения.

3 пункте 2.3.1 получены основные исходные неравенства. Идея их построения основана на переходе от канонического вида (2.3.2) расщепленной схемы к общему каноническому виду (2.1.1) и установление нуакых спектральных свойств генератора схемы в общей канонической записи в сочетании с привлечением результатов раздела 2.2. Соответствующая техника опирается на аппарат упорядоченных некоммутирущих операторов и оценки-коммутаторов. В пункт 2.3.2 на- основе результатов пункта 2.3.1 установлены априорные оценки для расщепленных схем с постоянными, -а в пункте 2.3.3 -- с переменными парциальными генераторами. В пункте 2.3.4 представлена теория возмущений расщепленных разностных схем, исследующая свойство.сохранения устойчивости расщепленных схем при "слабых" возмущениях парциальных генераторов. Пункт 2,3.5 содержит краткое замечание о роли и возможностях введения в конструкцию расщепленной схемы операторов сглаживания.

3 разделе 2.4. проведено изучение корректности разностных схем вида (2.1.1) с обобщенными исходными данными (без предположения- равномерной по е Щ эквивалентности норм пространств Е^

и Е^ )..Прл этом, разработаны общие принципы анализа корректности разностных схем с обобщенными исходными данными. Принятая здесь методика исследования основана на дальнейшем развитии кон

, которая выражается

зепций, предложенных в разделе 2.2. Совокупность полученных в разделе 2.4 результатов можно рассматривать как обобщение теорий раздела 2.2.

3 дункте 2.4.1 изучены разностные схемы без операторов сгла- ■ кизания и установлены априорные оценки решения разностной задачи вверху (а в некоторых случаях и снизу). В пункте 2.4.-2 показано, это введение в разностную схему операторов сглаживания оцределен-юй конструкции позволяет улучшить характеристики корректности :хемы.

Раздел 2.5 посвящен выведу коэрцитивных априорных оценок для Разностных схем канонического вида (2.1.1). Предложены общие 1ршщипы решения вопросов коэрцитивной устойчивости двухслойных :хем, представленных в виде (2.1.1). Принятая в работе форма ко-фдитивной устойчивости непосредственно использует генератор схе-ш - объект-, возникающий в канонической записи (2.1.1).

3 части 3 изучены вопросы корректности разностных- схем, возникающих при дискретизации по эволюционной переменной задачи Кода с параметром для абстрактных параболических уравнений. Полу-:енные здесь результаты существенно опираются на общие теоремы :асти 2. Основными приемами исследования являются приведение раз-устной схемы к каноническому виду и анализ спектральных свойств е генератора. При этом, установлены совершенно новые точные ут-ерздения о корректности для двух весьма широких'классов раз-остных схем: класса схем, построенных на основе метода Рунге-Кутты, и класса,схем на основе линейного многошагового метода, ба указанных класса содерчсат схемы сколь угодно высокого доряд-а аппроксимации.

3 разделе 3.1 изложена постановка разностной задачи, получен-ол в рамках абстрактной формы метода Рунге-Кутты.

Пусть 'заданы семейства банаховых пространств Е^ и Ед^ А« "К, при этой, предполагается, -что при каждом фиксированном 71 (но не разномерно до^бЗД ) нормы Е^ и Е^ эквивалентны, и имеет' место разномерное по вложение: с Е.^ , У^

В семействе пар г рассматривается следующая задача Нога с параметром для абстрактного линейного дифференциального уравнения

«х^Т, (3.1.1)

где , £е[о/Г1 - функция со значенияш. из при "¿((о,Т] ,

.являющаяся решением задачи; - некоторый линейный ограни-

ченный оператор в , зависящий как'от парзкетрэв от ,

- некоторая заданная функция. от

¿«ад со зза-

«V л ^

ченияш в , зависящая от А. ; € - начальное данное Так кз, как к шие, вводится семейство сеток г с тагом Ъ на драиеаугке £0,ТЗ . Задаче (3.1.1) ставится в соответствие следующая разностная схема в семействах пар пространств^Е^) и се тек относительно функции » 00 ЗЕачени~

лка з (метод Рунге-Хукх)

^* £(3.1.2) гдеопределяйся из сдедуоцей системы уравнений натуральное 4 и коюлексныеХ , с^ , , являй

:арамеграмя, задающими конкретный зад схемы, - линейный ог-значенный в Е^ оператор, носящий как и в части 2 смысл оаера-'ора сглаживания по начальным данным. Схемы зада (3.1.2), (3,1.3) :азваны в работе РК-схемами.

л исходным данным задачи Коша (3.1.1) и разностной схемы 3.1.2),(3.1.3) относятся начальное данное и функция .

ак ке, как и в части 2., вводятся понятия собственных и обобден-кх исходных данных, а такзее полной -(неполной) разрешимости задали (3.1,2),(3.1.3) и ее полного (неполного) решения (как и выие, ■ерианы "полная разрешимость" и "полное решение" эквивалентны со-(тзегсгзенно терминам "разрешимость" а "решение").

При применении метода Рунге-Кутты к простейшей скалярной зв-;зче '

ча), Т;

где тг~тг&) - комплекснозначная функция, являющаяся решением ¡адачи, «А. - комплексный параметр, 1гв и - исходные дан-

ще задачи со значениями в поле комплексных чисел) разностная :хема (3.1.2),(3.1.3) с ® I переходит в следующую

а

ъ=[1- ¿Гг^М^у гг Е оу^^сД (3.1.4) ъ-(Ь = д) = ггв.

Определение 3.1.1. Заданные соотношением (3.1.4) функции <¿(2) ! ^(г) ¿> оудеы назывзть: функцию _ символом

'енератора схемы (3.1.2) ,(3,1.3), функции сС^С^) - ее корректа-зущики символами.

Определение 3.1.2. Размахом схемы (3.1.2) ,(3.1.3) называется комплексное число Лв , заданное формулой

л, = -¿ски, л (г}

где - символ генератора схемы.

Определение 3.1.3. Будем говорить, что разностная схема (3.1.2),(3.1.3) принадлежит типу ЯКС^) для некоторого значения параметра

, если

1. собственные числа матрицы локализованы в секторе

{^{м^ л\<т-1е}и{о1;

2. выполнено условие ' "

3. образ сектора

при отображении «г = ( <*-(£)>- символ генератора схемы) принадлежит некоторому множеству с конфигурацией типа (А^) .

Определение 3.1.4. Будем говорить, что разностная схема (3.1.2),(3,1.3) принадлежит типу ПК С1?") для некоторого значения параметра V * (о, ¿г ) , если

1, выполняются пл. 1 и 2 определения 3.1.3;

2. образ сектора

при отображении *<г * <¿(2) принадлежит некоторому множеству с конфигурацией типа (А.^) и. с особыми точками 0 , = <ХС, где - символ генератора схемы, «Я, - размах схемы.

Определение 3,1.5, Пусть в каждом из банахозых пространств ¿^ , задан линейный ограниченный (для каждого фиксиро-

ванного допустимого набора (Д,иг>) ) в оператор ,

>

(.6 ^ ,иг £ \л/ . Будем называть оператор В^О*} равномерно (по 1.6 # ,«ге"\лГ ) подупозитивным с углом , если

_ (3.1.7)

У*:!«^ Ы»?

некоторыми неотрицательными константами С3 , V , не зависящими , Цг , л. . Если, к тому ке, можно принять в (3.1.7) 2Г = О , то ператор (Кг) называется равномерно позитивным с углом V .

В разделе 3.2 установлен ряд утверждений о корректности РК-схем . случае Е^ = Е ^ , У^. « Ж .

3 пункте 3.2.1 изучены схемы типа СО при некотором

Ы'Д).

Зсвду далее для любой комплекснозначной мероморфной функции-¡7 обозначается через ее характеристика, задаЕае-

ая формулой

[(&, х)1 ¿*[Л1лт I ^р6>5)1]1.

Теорема 3.2.1. Пусть для РК-схемы (3.1.2),(3,1.3) выполняются граничения 4^(6)5 /4^ , = I • Пусть такяе оператор является равномерно по А. лолупозиглвнда в с углом У, , а сага схема (3.1.2) ,(3.1.3) принадлежи типу ЯКС'Опри некотором жксироваяном ^ е (0; ) , причем

¿о, ¿«¿л».,^ (3.2.16)

- корректирующие символы). Тогда при Т* °о и VЧ: , достаточно тало), УА« разностная задача (3.1.2), (3.1.3) федставима однозначно в каноническом виде (2.1.1) с

( - символ генератора схемы), и существует

¡динственное ее решение, удовлетворяющее к тому не априорной щенке

С || hli + (3.2.21)

K l X. -

-1 TL [(V-^ ОгТ . 14,(L +L, t)f ],

с некоторыми неотрицательными константами , не зазасща-

ыа от , Л, , ^ . 5сли, при этом, оператор является равномерно по Л. позитивным з Е^ с утлом f0 , то утверждение теоремы имеет место при Ts<» ii,«» , а константуможно принять равной нули.

Теорема 3.2.2. Пусть оператор Д^СО в. схеме (3.1,2),(3.1.3) является равномерно (по

ХеТг .¿«[0,Т1

) полупозитивным в Ej^ ( некоторым углом и удовлетворяет условию гладкости по

в форме

VL e 7t, Mi, seföjl, V«. e E^ (W e E£

с некоторыми неотрицательными константами ,Qe(o,-L 1,

б^Сод} , не зависящими от Д. , и. , гг , i , s ( ¿(i) - символ генератора схемы, индексом "*" обозначен переход к сопряженному пространству и сопряженному оператору, (ъ> u^ обозначает значение функционала Tr е на элементе м. € Е^ ). Пусть также сх1 ш (3.1.2),(3,1,3) принадлежит типу ЯК ОС) » причем

^[Е Л^К (3.2.23)

где функции (г) , 1,1,... являются элементам! матрица, обратной к матрице (([ Е я^!^ ( ^ - символ Кронекера), и выполняется соотношение = I . Тогда лриТ4«» к (2г0

достаточно мало), УХе^ разностная задача (3.1.2), (3.1.3) представила однозначно в каноническом здде (2.1.1), я существует единственное ее реиение, удовлетворяющее к тому ке априорной оценке

I и.»-®)

с некоторыми неотрицательными константами , не зави- ■

сящимк от г ,-2. , ( С-^СТ) может зависеть от 1 ), где - генератор схемы,

Условие (3.2.22) не удается прозерить в ряде практических приложений, когда /4- многомерный разностный оператор. Поэтому в пункте 3.2.1 получены также утверждения о корректности РК-схегл з раыках предположений, не требующих привлечения условия (3.2.22) а являющихся более подходящими для соответствующих приложений. Получаемые при этом априорные оценки являются условными, т.е. справедливы при дополнительных условиях согласования параметров V иХ . Однако, указанные условия согласования "с и X в практических приложениях приводят к весы® слабым ограничениям на соотношение шагов разностных сеток по различным переменным, необременительным для прикладных задач.

3 пункте 3.2.2 рассмотрены схемы типа при некотором

&тя этих схем важную роль играет конструкция корректирующих символов.

Теорема 3.2.5. Пусть для'гК-схемы (3.1.2),(3.1.3) выполняется ограничения 5 -1 . Пусть также оператор/4^'■ яв-

ляется равномерно по полупозитизным в пространстве Е^ с

углом , а сака схе:лз (3.1.2), (3.1,3) принадлежит тилу ПК • при некотором фиксированном ^^ , и справедливы соотноше-

ния (3.2.16). Гогда дриТ 00 ' и достаточно ма-

ло), УД. 6 разностная задача (3.1.2),(3.1.3) представши однозначно в каноническом виде (2.1.1) с -■- символ генератора схем), и существует единственное ее решение, удовлетворяющее к тому не априорной оценке

Если, ко всему прочему, оператор является равномерно по позитивным в Е^ о углом , то утверждение теорема имеет место и для Т*= « , при этом, моеко считать 2гв « ео . • Теорема 3.2.6. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.5 с тем лишь отличием, что оператор задан теперь формулой

= ' (3.2.65)

где - рациональная функция, аналитичнэя в окрестности

замкнутого сектора (3.2.1) и удовлетворяющая условию

¿у.[ Еф] * ^ [~*-0~ (3.2.66)

((¿.С^ - символ генератора схемы, - размах схемы). Кроме того, предположим, что корректирующие символы схемы ^Й) подчиняются ограничения:.;.

¿^[м^ф] 6 ^[А,- А®], 4,4,..., р. (3.2.67)

■где при Т «» а для У^е^г,] ( *г0 досгаточно мало), дача (3.1.2),(3.1.3) представила однозначно в каноническом ва-(2.1.1) Г и существует единственное ее

¡шение, удовлетворяющее к тому ке априорной оценке вида (3.2.21). ■•та, при этом, оператор является равномерно по позитиз-м в Ех с утлом , то утверздение теоремы имеет место и я Т * о« , « оо , причем мояно принять «О . • Теорема 3,2.7. Пусть в схеме (3.1.2),(3.1.3) оператор дается равномерно (аоЛ.е'Й. , ¿«10,74 ) полулозитавным в с и удовлетворяет условию (3.2.22) при . Пусть

кке схема (3.1.2), (3.1.3) принадлежит типу и

С^[А0-о(.ФЗ (3.2.68)

-ЗД - символ генератора схеш, - раз:,их схемы), а, кроме го, выполняются требования (3.2.23), (3.2.67). Лршем в схеме .1.2),(3.1.3)

(3,2.71)

е Е® - рациональная функция, удовлетворяющая тем >з огра-чениям, что и в условиях теорем 3.2.о. Тогда лрдТ '« ц для ^(О^К % достаточно мало), задача (3.1.2), (3.1.3)

едставкма однозначно з каноническом виде (2.1.1), и существует инстзекное ее решение, удоагетзоряидее к тому не априорной ■ енке вида (3.2.27).

3 пункте 3.2.3 исследованы весовые разностные схемы. Установ-но, что взиду своей простой структуры весовые схеш допускают лее детальный анализ условий корректности, чем, например, схе-тилов ПК СО и ПК . 3 часткосга, доказан ряд утзеркде-

ний о корректности зессвых схем в предположении введенных в диссертации требований равномерной у -полупозитивкости (-позитивности) и равномерной'усиленной У -полупозитивности (-позитивности) с утлом исходного оператора задачи, а также при определенных ограничениях'на вес схемы, который допускается-зависящим от параметров схемы X и .

3 пункте 3.2.4 теория раздела 3.2 применена к исследованию ряда практических семейств ?1\-схем. Все рассмотренные здесь схемы относятся либо к подклассу схем типа 11К, , либо к подклассу схем типа . Главную роль при этом играет установленная в

данном пункте теорема о связи /4 -устойчивых ( ¿4(1Р')-устойчи-

■ вых) методов Рунге-Кутты я схем типов ПК СО и ЯК (%) •

Раздел 3.3 посвящен изучению вопросов корректности ?К-схеы с

■ обобщенными исходными данными. Установленные здесь утверждения базируется на общей теории раздела 2.4 и лолучены в предположениях- равномерной полупозитианости (позитивности) с углом % € (о, ^¿г) исходного оператора задачи и гельдерозой зависимости его от эволюционного параметра, принадлежности РК-схемы типу ПК (У^) (а в некоторых случаях и типу ПК СО ) - определенных ограничений на скмзолы схема. Как оказэлось, в случае обобщенных исходных дакны чрезвычайно вакно поведение корректирующих символов схемы. Показано, что при стреатении последних к нулю на бесконечности можно добиться усиления априорных оценок, выражающих устойчивость схемы. если ввести в схему соответствующий оператор сглаживания по начальным данным. Рассмотрена такхе корректность некоторых практических семейств разностных схем при наличия в них обобщенных исходных данных.

В разделе 3.4 установлены неравенства коэрцитивной устойчивое ти РК-схем в предположениях, характерных для раздела-3.2. йсслё-

цование ограничено подклассом схем типа ПК СО . При этом, активно использованы результаты раздела 2.5,

3 разделе 3.5 изучены расщепленные разностные схемы, сконструированные на основе дискретизации по методу Рунге-Хутты. Отправным моментом, при этом, является предполагаемая -возможность представления исходного оператора задачи в зиде суммы двух (вообще говоря, нексшутирутоих)компонент. Переход к каждому новому слою сетки осуществляется путем двукратного последовательного применения метода Рунге-Кутты исходя из принятого расщепления исходного оператора задачи на компонента, что является фактически реализацией метода дробных шагоз. Априорные оценки для расщепленных разностных схем получены в предположениях так называемой почти коммутируемости "главных" частей- компонент расщепления исходного оператора, их разномерной полупозитивности с некоторым углом

гельдеровости по эволюционному параметру, а также при некоторых ограничениях на символы разностных, схем, характерных для пункта 3.2.1.

3 разделе З.В рассмотрен класс разностных схем, построенных на основе линейного многошагового метода.

3 пункте 3.6.1 изложена постановка разностной задачи, построенной в рамках абстрактной формы линейного многошагового метода.

Исходной, как и выше, является задача Копи (3.1.1), при этом, рассматривается только случай Е^ = Е^ , X & . Введем'семейство сеток Ю^, с шагом 2: на промежутке [0,Т] . Задаче (3.1.1) поставим в соответствие следующую разностную схему в семействах пространств Е^ и сеток со^

(3.6.1)

где сц^ , Л^ - коэффициенты, задающие конкретный •

звд схемы - дополнятельные' начальные дан-

ные , , ¿'=011г..1ул.-1 - зависящие от гг и 1 линейные огра-

ниченные в Е^ операторы, имеюцдае смысл операторов сглаживания по начальным данным, и остальные обозначения имеют прежний ' смысл.

Схема (3.6.1) получается на основе применения к задаче (3.1.1) линейного ыногошагозого метода■(с дополнительным введением операторов сглаживания до начальным .данным). Дня расчета по схеме (3.6.1) необходимо иметь помимо еще (кн.-!1) начальных значений , , ... , ■. которые на практике обычно вычисляются при помощи какого-либо одношагового■метода. Зля дальнейшего считается, что все начальные значения > заданы.

Понятия разрешимости задачи (3.6.1) и ее решения вводятся также , как и ваше Сз случае Е^ «-Е^ нет смысла говорить о неполной тазреиимости задачи и ее неполном решении).

г<М

¿ведем банахово пространство , элементами которого яв-

ляются • V«.-мерные зектора с компонентами ,

1,2,. из пространства . Норма з пространстве Е^

задается по формуле

где - числовой вектор в »«.-мерном

вещественном линейном пространстве, Н ^ - некоторая норма в этом пространстве. Ззедем также сетку

Зсли оператор [«.Д+-ь4вимеет обратный ограниченный, то схему (3.6.1) можно представать-в следующем эквивалентном виде ■

здесь и далее 1 - тсвдесгвенныи оператор в с^ ).

Ш* * Ш, С3.6.3)

Ш-^Л, т

леЩ^^^Х-,^^ ■ К 6 решение разностной за-

;ачи (3.6.3), рассматриваемое в пространстве Е^ , -

ли-

[ейный ограниченный (при любых фиксированных допустимых V , ,

4- ч г^"^

Ск ) оператор з п.^ с законом действия

(

I

о

-I I

О--I

о о

(

Ь

и

Ль} • -(^¿^А^^/У^/;

¿»¿А-.*-

.здесь-

- функция от Ьх € со значениями из Е^ , задаваемая формулой

~ начзльное данное задачи (3.5.3), -

- лпнеиный ограниченным оператор в с.} с законом действия

о

о

О ■■ о

0 • • • К^и V Ц

ГенератЬр «^дД^ схемы (3,6.3) называется.гаже геаераяорш ходяой схемы (3,6,1).

Определение 3,6.1. Будем называть - ^»^-ьв^рюу / 1 -1 0 ... О \

ас-

Л)

•I . . . О

.,.

гдо Д г}, ¿А-, > символом (датрдчным) гене-

ратора схемы

Определение 3.6,2, Будем говорить, что линейный многошаговый метод порождает разностную схему (3,6.1). типа ¿Л (?) ДО Нёю> торого. знэченаз параметра , если

2. выполняется. условие

»»и

асе корни уравнения (относительно «Д.

(3.6,4)

(3.6.5)

за исютчзиием единственного простого корня принадлежат с крытому кругу

(3.6.61

1, все корни уравнения

«v

4

ЕЛ*""'""0

(3.6.7

прлиаддегах отаркгаду кругу (&,в,о);

5. дляУ2:|ап^. 2-^ о кэряи урааиушы

И ¿Я© (3.6.8)

■личнк от нуля и принадлежат некоторому фиксированному множеству конфигурацией типа (Л.^) .

Определение 3.6.3. Будем говорить, что линейный многошаговый !Тод порождает разностную схему типа ¿Д. С^) ЛДя некоторого знания параметра ^с (о, ^г) , если

1. схема (3.6.1) не принадлежит типу ;

2. выполняются пп. I и 2 определения 3.6.2;

3. все корки уравнения (3.6.5) принадлежат замкнутому кругу

[л;|А| 4-1},. (3.6.3)

щчем на границе последнего могут располагаться лишь простые кор-1 (в силу условия (3.5.4) один из них обязательно равен 1 );

4. все корни уравнения (3.6.7) принадлежат замкнутому кругу ¡.6.9), причем на границе последнего могут располагаться лишь юстые корни;

5. множества корней уравнений (3.6.5) и (3.6.7) не переоекают-

I;

6. дляУг.-|я*£ корни уравнения (3.6,8) принадлежат жоторому фиксированному множеству с конфигурацией типа СЛ^) , ■ Ч^А и с особыми точками вО , , , но отличны ? значений Ъ>1 , ,•••, •

3 пункте 3.6.2 рассмотрены схемы типа при некотором •

Теорема 3.6.1. Пусть оператор не зависит от Ь , т.е.

¿й*^ и является равномерно (по К. ) полупозитивным с уг-зм , а схема (3.6.1) принадлежит типу [Л (Уд) л I >

= 0,1,.... Тогда приТ<-«> и лля\/тф,^{ % достаточно

ai&so) Ж схема (3.6,1) представит однозначно в каноническом виде (3.6.3) с генератором J^ift^^■ ^ для-нее епгравгагива априорная оценка - ' -

4. -JL

Z lytJ

Vl€ Vleh 1]

с некотграаа неотрицательными. константа, не зззайящи-щ ет г , -8. , , I . Есди, к тому же, ocsperop А^ нагнется вззнаиарно (до Л. ) пазитианым в с угаа , те одезза (3.3.23) выполняется при Т*®5» „2г0«<*= , а ^ в (.3.6.23) заохно принять равной нудю.

Теорзша 3.S.2. Пусть оператор assures равномерно (по Д.

t } дс^у-юзатггвнш в с углш ^{^а^г удовлетворяет усло-аьоЕ гагдаой зависимости по £ (3.2.22) пж-i-i, а также

и**

Ч^ГД]-!^ Не***Vu-< El

с некоторыми неотрицательными константами CiS .©^(Qil, S^fai) не зависящими от К , i , & , ы. (твеЗоззнге гдвдкости по i опета-тора (£) мокко снять а случае-^=0 ). Пусть так-

же- схема (3.5.1) принадлежит типу ~ ^ .

-огдз приТ*-®® и для

УгсФх!

; Г. достаточно мало), Vleft эта схема щэдстазимз однозначно в каноническом виде (3.6.3), и для нее слсзведзиза аплиорная оценка

Iv/.Nll- . Л ^Г, Л

(3.6.24,

- Д. Ч.

Уге (0,ГД VI« %, « VI

некоторыми неотрицательными константами , не^ зависд-

1ми от гг , , монет зависеть от £ У, где »^д/^к) -

генератор схемы (З.б.З) (и схемы (3.5,1)).

В пункте 3.6.3 исследованы схемы типа ¿/1 (£) при некотором Анализ данного подкласса схем проведен лишь з случае зстоянного (не зависящего от эволюционного параметра) исходного 1ератора задачи.

3 пункте 3,6.4 осуществлена проверка корректности для иекото-а. практических семейств разностных схем, построенных в рамках шейного многошагового метода. Закную роль, при этом, играет ус-шовленная-здесь теорема о связи А -устойчивых ( АСЧ?) -устой-¡вых) линейных многошаговых методов со схемами типов

В части 4 исследована корректность в шкалах банаховых прост-нств ,41 ^{>4 со разностных схем для многомерного уравне-

1я теплопроводности без • смешанных производных с переменными ко-дициентами в единичном кубе. Основное излокение проведено для [учая краевых условий третьего рода, однако основная масса полу-:нных результатов переносится и на случай краевых условий пер-го рода.

3 разделе 4.1 введены рэзностные операторы и даны постановки зностных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности, шструированных на основе метода Рунге-Кутты и линейного пошагового метода.

П-и-сть 2) =[о. 1]хГо. 1]к...*[о, 1] - 1г-мерный единичный куб; Х =

С—к2

(Хч^г,---;*^4) ~ совокупность УЬ одномерных координат;X ■

В кубе задается разностная сетка ' на-

бор шагов сетки по координатным направлениям) и определяется • стандартным образом сеточный оператор , аппроксимирующий

дифференциальный оператор

с краевыми условиями третьего (или первого) рода на границе куба

- некоторые заданные коэффициенты). 3 одномерном случае вместо обозначений

«-Д*) ,/Дх) ,сДх) используются соответственно«/^*),

Для начально-краевой задачи теплопроводности с оператором 4(£) .указанного вида строится разностная схема вида (3.1.2),(3.1.3) либо вида (3.6.1) в два этапа: вначале проводится полудискретизация исходной задачи, состоящая в замене дифференциального оператора /1ft) разностным оператором ; затем на основе дискре тизэции по t на некоторой сетке по методу Рунге-Кутты или линейному многошаговому методу конструируется соответствующая разностная схема.

3 разделе 4.2 установлены крайне важные для дальнейшего изложения сиектральные свойства введенных выше разностных эллиптиче< них операторов в шкалах сеточных банаховых пространств L вырэкавде условия разномерной У -полупозитивности (-позитив ности) и-м равномерной усиленной У -полупозитивности (-позити ности) с углом V, при любом этих операторов. Отсюда

как простое следствие, выведены и условия равномерной полупозит кости (позитивности) с углом соответствующих операторе

в пространствах ¿^Х. ■• Результаты формулируются в те]

х принадлежности коэффициентов оператора АС^) следующим фуак-ональным классам:

- класс функций . заданных и непрерывных по со-

кушюсти координат Х = к^)в замкнутой ограниченное р-

:ерной области Л и принимающих только положительные значения; 0_ (^ТЬЪУ класс комплекснозначных функций х) , ¿е[о,Т], обладающих свойствами: для любых фиксированных/■^/■••Л • е[0,Т] , Х- е функция функция кусочно-

епрерывна вместе с производными по Х^ до ^и-го порядка вклю-тельно, причем количество кусков непрерывности функции и ее ^ ■оизводных по ' равномерно по ¿е[0,Т] , X е!)^ огрэняче-, а максимумы по Х^ кусочно-непрерывных значений величин | , ограничены разномерно по

■[ОД]

'А.-1

0. ~ подкласс класса О , содержащий все не

висящие от Ь функции из ф^^Т] "10

С (1о,Т1*1)ц^ - класс комплекснозначных функций Т],

, таких что существуют и равномерно по ¿£[0,Т] ог-

ничены по модулю частные производные функции Свида Л- Л^ОА,...,^ ;

¿^ УВкУ подкласс класса С ^([О-Т!*10, содержащий все не висяцие от Ь функции из

3 разделе 4.3 доказаны некоторые разностные теоремы' влокекня, танавливающие соотношения между сетсчпыми аналогами пространств бега и Гельдера и соответствующими интерполяционными простран-вами, порождаемыми разностным эллиптическими операторам. Эти зультаты существенна яри изучении корректности разностных схем обобщенными исходными дзняыки для уравнения теплопроводности. 3 разделах 4.4-4.9 получены основные утверждения о корректное-

ти в банаховых пространствах , р * «*>. разностных схем для уравнения теплопроводности.

Раздел 4.4 посвящен изучению РК-схем. .

Определение 4.4.1. Будем говорить, что ?К-схема (3.1.2),(-3.1.3) принадлежит типу ИКв (типу ПК* ), если она принадлежит типу ПК Со (соответственно типу Й.К*0Р«У ) пря некотором % « (о, ^ } .

£ пункте 4.4.1 рассмотрены схемы типа &К0 . -3 дальнейших формулировках будут использоваться обозначение

и условие

а *

^0, (4.2.54)

Теорема 4.4.1. Пусть коэффициенты , ,

не зависят от , т.едДх>л/х) ,

¿Д...,К. , а, кроме того, выполняются условия (4.2.54). Пусть такхе схема (3.1.2),(3.1.3) принадлекат тип; ИКе , удовлетворяются условия (3.2.18) и принимается * I Тогда драТ<оо а идя Уггб(0,( 2г0 достаточно мало) раз

ностнзя задача (3.1.2),(3.1.3) с введенным в разделе 4.1 сеточным оператором (в данном случае

) представила одно

значно в каноническом зиде £2.1.1) с • арп этом, су-

ществует и единственно ее -решение и удовлетворяется априорная оде ка (3.2.21) при , оо . з определенных случаях этс

результат имеет место при более слзбых предположениях относитель-кох)^ С*), 1г,..уи_ . а огненно, при р » 4. достзто^

ко считать атреоовзнкй (4.2.54), при«.«!,

_ лОО с С+(Ъ)> такне без требований (4.2.54). 3 частном лучае а^Сх) з ,^(х) =сг (х) г о ,¿=1,2,..,,к. - некото-

ые положительные константы) все высказанные утзерздения справед-ивы приТ -00 :1г|1'«> , зд, в (3.2.21) мокко считать разной улв.

3 одномерном случае (>ъ*1 ) имеет место

Теорема 4.4.¿г.- Пусть- при и. = 4 коэффициенты а.х) ,х) удовлетворяют условиям

«Дх) ^ " кь, С X) в '

усть также схема (3.1.2), (3.1.3) принадлежит типу 1?.К0 . и ш-олнены условия (3.2.26), а такке условие

(«¿ф - сим-

ол генератора схемы). Примем = I • Тогда лриТ^°в и для достаточно мало),УД.€Я1 разностная задача (3.1.2), 3,1.3) с введенным в разделе 4.1 операторомпри пред-гзвима однозначно в каноническом зиле (2.1,1), и существует причем единственным образом) ее решение, а также удовлетворяется приорнзя оценка (3.2.27) приЕ^=^рД(_ Д^рбоо .

Установлен также многомерный аналог теоремы 4.4.2 в предполо-знии, что только старшие коэффициенты ^(^Х^ не зэ-

псят от t

для двумерного случая получены, кроме того, утверзде-

1Я, в которых допускается достаточно гладкая зависимость от гарших коэффициентов , <?= 1,1 , т.е. при ограничениях

но при этом накладываются требования согласованности X и -Я в форме

А*

геГД'V«&гДУХбЯ, .(4.4.5)

Очезддног требована С^.^,5) ;л^ло сзрь^даельны л* ирз.г::г;:ке. Ь пункте 4-.4.2 изучьш: схемы ткле .

Теорема 4.4.о. Пусть коз^диенты А^х) ,

■¿-12,.удовлетворяют условия::, приняты:.: з

литовке тео5эг.:^

4.4.1. Пусть, кроме тоге, схема (3.1.2),(3.1.3) принадлежит типу ПК* . и выполнены соотношения (¿>.¿.18). Тогда, если принять

, то праТ*-00 и ддяУгг€(&/£03( гг0 достаточно мало), разностная задача (3.1.2), (3.1.3) с введенным з разделе 4.1 разностным оператором (в данном случае Дд^)^/!^ ) дредставн-ма однозначно з каноническом виде (2.1.1) с и существует (причем единственны:,: обрззем) ее решение, а также справедлива априорная оценка (3.2. ¿4) л? и Е.^^г^ , 1 ^ ^ ^ . Если, пр этом, имеет место соотношение (3.2.6?), то з случае выбора ^^ в виде (3.2.55) с условие:,: (3.2.66) .выполняется еде и априорная оценка (3.2.21) пр:: Ед^Ц.^, . £сли «^(х)^ =¿¿00=-О . к _ некоторые положительные константы), тс высказанные утверждения справедливы ариТ=оо , аъ (3.2.21) :.:ожно считать разно:: кул:;.

3 одномерном случае (и.*1) имеет место

Теореиа 4.4.7. Лусть гргм.= 1 коз^1ид::ентыаДх) , удовлетворяют условия:.!, принятым 2 ¿ормулпрозке теоремы 4.4.2. Пусть также схема (3,1.2) ,(3.1.3) драка длезат , и за-

полнен- условия (3.2.2с), (¿7), (3.2.55), а еяерзтер принимается в здде (3.2.71) с условием (о.2.66). Тогда црйТ<°® г д»

хФхЪ достаточно мало) разностная задзчз (3.1.2), ¡.1.3) с взеденным в разделе 4.1 оператором дриИ-=1 пред-

•авима однозначно з каноническом виде (2.1.1) , и существует (при-

единственным образом) ее решение, а, кроме того, справедлива [риорная оценка айда (3.2.27) при ^ .

Установлен также многомерный аналог теоремы 4.4.7-3 преддоло-:нии, что только старшие коэффициенты ке за-

;сят от t■ .

Кроме того, з разделе 4.4 указаны з качестве примеров конкрет-:е практические семейства разностных схем, удовлетворяющих выве-нным условия!»! корректности.

3 разделе 4.5 изучены зесовые разностные схемы. Получены тео-мы об их условной (т.е. при дополнительном ограничении на со-кошение пагов разностных сеток) и безусловной корректности. Сильно рассмотрена разностная схема повышенного порядка точности, тановленные здесь результаты о корректности последней обобщают вестные результаты СД.Сердюковой на случай задач с краевыми лозиями, з также на случай пространств ¿.рД_ Д^р^оо Раздел 4.5 содержит анализ корректности РК-схем с обобщенными ходными данными в парах лрострзкстз^р^/^д^ % р б ос и . Изучены схемы типоз ИКС и • 3 качест-

примеров приведены конкретные семейства разностных схем, удоз-творяшщх условиям корректности. 3 пункте 4.6.1 рассмотрены зз-чи с независящими от времени, а в пункте 4.6.2 - с зависящими времени коэффициентами. Пункт 4.6.3 посвящен приложению полу-яных результатов к исследованию устойчивости разностных началь--краевых задач по краевым данным. Утверждения раздела 4.6 су-зтзенно опираются на теоремы, установленные з разделах 3.3,4.2 4.3.

3 разделе 4,7 на базе результатов разделов 3.4 и 4.2 установлены коэрцитивные оценки для РК-схем.

В разделе 4.8 исследованы расцепленные разностные схемы для ' двумерного уравнения теплопроводности, построенные на основе дис ретизации по кетоду Рунге-Кутты. Сказаны конкретные'семейства схем, удовлетворяющих-выведанным требованиям корректности. Проведенный анализ базируется глазным образом на результатах разде-. лоз 3.5 и 4.2.

3 разделе 4.9 изучены разностные схемы, полученные на основе линейного многошагового кетсда.

Определение 4.2.1. £удем говорить, что разностная схема - (3,6.1) принадлежит типу (типу ), если она принадле-

жит тиау ¿,/1(0 (соответственно типу ¿/1 (У5^) при некоторое

3 пункте 4.9.1 рассмотрены схемы типа ¿./Ц .

Теореьа 4.9.1. Пусть коз^аниенты о^б^х)

удовлетворяют условиям теореш 4.4.1, а схема (3.5.1) принадлежит типу и I ,£=0,1,...,. Тогда при

и-дляУ^^^З( достаточно мало),ЭДи$к разностная за-г дача (3,6.1) с введенным в разделе 4.1 разностным оператором/^ Сэ данном случае е ) дгредставима однозначно в каноничес ком ввде

(3,а.З) с^-^г^, и существует (причем единственным образом) ее решение , , а, кроме тоге выполняется априорная оценка (3.6.23) (где

/ чТ

при . £сли, при этом, дополнительв предположить сс^С*)* (а^ - некоторые положительные константы), то утверждения данной теоремы сщ ведливы ЕриТ««5 , 2ге * во , а з (3,6.23) мозшо считать рг ной нулю.

для зависящих от Ь коэффициентов наиболее точные результаты ?анавливаются в одномерном случае С И.» 4 ), Теорема 4.9.3. Пусть при и. = 1 ксэ^.циекты >влетворяот условиям теоремы 4.4.2, схемз (3.5.1) принадлежи? гу ¿/10 , причем 4^ ~ О (что соответствует методу

[^еренцировання назад), и, наконец, Л^^в I . Гог-

лриТ*«5 и для( достаточно мало) разност-

I задача (3.3,1) с ззеденным з разделе 4.1 оператором/4д(£) при I представила однозначно в каноническом виде (3.6.3), и су-тзует единственное ее решение, К«ОД...,Т/Ъ , удовлетворя-е к тилу не априорной оценке (3.6.24) (где

Получен такге аналогичный результат без предположений 4^О , ¡¿Д...,»«. , но при более жестких требованиях нал^х) Кроме того, в работе установлен многомерный аналог теоремы 5.3, когда только старшие коэффициенты (Ь,Х^ , ¿=¿,2,..., и, не эдсят от .

3 пункте 4.3.2 изучены схемы типа 1»/1в з случае не завися-с от Ь коэффициентов .¿¿(^х') I,И. .

Таким образом, в диссертации получены следующие основные ре-:ьтаты:

Построена общая теория корректности абстрактных линейных рзз-:тных схем определенного канонического вида "з банаховых прост-1стзах. 3 рамках этой теории установлены достаточные условия зректности в банаховых нормах для различных классов разностных зм в терминах спектральных ограничений на так называемый генера-? схемы.

Нэ основе развитой в работе общей теории исследованы вопросы зректности для двух широких практических классоз разностных

схем для-абстрактных линейках параболических ура-лений: класса схем метода Рузге-лут и класса схем линейного многошагового метода . Получена условия (главаым образом достаточные) корректносп CZ2M из этих классов з терминах согласованных ограничений кз сш-волы рзакэеткых схедг к к° спектральные характеристики исходных операторов задзчх-:.

3. 3 качестве приложений ь диссертации изучены условия корректно! ти в скалах ¿зкахозых пространств L^ ,1£=р&<х> рагкосгкых схе: метода ?укге-Кутты и линейного шогопагового метода для начально-краевой задачи теплопроводности без смешанных производных с переменными коэффициентам в области прягяоугольнэй формы. Даны про .тые конструктивные критерии корректности -эхах разностных схем в терминах ограничений на зшзолн схем д на падкость коэффициенте исходной задачи.

По теме диссертации опубликована работы:

1. ¿аев Теория устойчивости разностных схем в произвольны нормах // Докл. АН СССР. - 1967. - T.2S7, В 2. - С.275-272.

2. Бакаев H.i). Устойчивость разностных схем для параболических уравнений в произвольных нормах. -¿асть I // ВАНТ, сер. Методики. программы числ. резен. задзч матем. физики. - I9S7. - --С.09-75.

3. Бакаев K.D. Устойчивость разностных схем для параболических уравнений в произзатькых нормах. ^асть 2 // ЗАНГ, сер. методики программы числ. репен. задач матем. физики. - IS87. - Зып.2. -— С. 29—Зге .

4. Бакаев Н.^. Оценки устойчивости в равномерной метрике некото] классоз аддитивных разностных схем, аппроксимирующих параболичес кие уравнения / Деп. в ¿.П-ИГГИ, I9SS, й 6G43-388. - 92 с.

5. Бакаев H.ii. Теория устойчивости аддитивных разностных схем в

паховых норках / Дед. в üiülTii, 1988, Д 6044-388. - 32 с. Бакаев Н.Ю. Об оценке резольвенты разностного оператора зторо-лорядка с апериодическими краевыми условиями // Пробл. соврем, зрии периодач, двйкеняй. - йяевск: УдГУ, 1268, - 9. - С.73-84. Бакаев H.iO. Теория устойчивости аддитивных разностных схем в наховых пространствах // докл. Ал СССР. - ISgö. - I.3C5, .4 I. -С.16-21.

Бакаев Н8Ю. Оценки устойчивости одного общего метода дискретами // Дом. АЕ СССР. - 1989. - Т.303, л I. _ С.Ц-15. Бакаев К.Ю, йо доследовании одного класса разностных схем для авнения с постоянным оператором / Деп. в ШКйГй, 1289, д 731888. - 31 с.

. Бакаев Н.Ю. Об исследовании одного класса разное?"»« схем для авнения с переменным оператором / Дед. в Ш-ЩГК., JS89, В 732433. - 26 с,

. Бакаев Н.Ю, Об устойчивости одного класса разностных схем // нкдионалъио-дийференц. уравн. - Дермы ППй, IS60, - C.I0Q-X09. . Ьакаев Н.Ю. К исследованию устойчизоотй разностных схем метода нге-Кутты // краевые задачи. - Дермь; Ш1, IS89. - С.109-113, . Ьакаев Н.Ю, Оценки устойчивости разностных схем для да^ерен-злъного уравнения с постоянным оператором.I // Ди^ференц. уравн. частн. производными. - Новосибирск: СО АН СССР. 1989. - Ü.3-I4. , Вакаеь Н.Ю. Оценки устойчивости разностных схем для диадерен-ального уравнения с постоянным оператором.II // Теоремы вложения их прилож. к задачам матем. физики, - Новосибирск: СО АН СССР. -С.16-37.

Бакаев Н.Ю. Об исследовании устойчивости некоторых двухслойных зкостных схем // лурн. вычисл. матем. и матем. <£из. - 1390. -Т.30, ji I, - C.I5I-I55.

16, Бакаев Н.Ю. К теории коэрцитивной устойчивости двухслойных разностных схем // ди£ференд. ура вн.' - 1390.. - Т.26, Л 5. - С. 69с -900. '

1?. Бакаев Н.)и, Об устойчивости метода Рунге-Кутты для абстрактш линейных уравнений // Украинок, матем. курн. - 1990. - Т.42, И 5

- С.689-694.

18. Бакаев Н.ь, Устойчивость разностных схем для параболических уравнений в произвольных нормах. Засть 3 // ВАНТ, сер. ¿иатем. мо< делир. $изич. процессов. - 1990. - Бып.З. - С.56-61. 13. Бакаев Е.Ю, Об .исследовании третьей разностной краевой задач с параметром / Дед. в МШШ, 1990, Л 4294-290. - 24 с.

20. Бакаев Н.Ю. 0 корректности разностных схем с обобщенными исходными данными // Докл. АН .СССР.. - 1990. - Т.314, й 6. - С.129с -1297.

21. Бакаев Н.Ю. Об устойчивости весовых разностных схем // Украинок. матем. курн. - 1990. - Т.42, Л 9. - С.1254-1258.

22. Ьакаев Н.к>. Об устойчивости некоторых разностных схем с операторами сглаживания // ¿урн. вычисл. матем. и матем. физ. -

- 1991. - Т.31, Л I. - С.75-85. -

23. Бакаев Н.Ю. Оценка устойчивости метода Рунге-Кутты для дафф рвшаалышх уравнений с переменным оператором // Украинок, мате] курн. - 1991, - Т.43, & 2. - С.260-263.

24. Бакаев Н.Ю. Условные оценки устойчивости метода Рунге-Кутты для уравнения с переменным оператором // Украинок, матем. журн.

- 1991. - Т.43, » 4. - С/572-575.

25. Бакаев Н,Б'. многошаговый разностный метод для параболически уравкенай // &урн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1992. - Т.32, Я С. 261-276.